Úvod do aalýz časových řad Doc.Ig. Jaa Hačlová, CSc. Kaedra maemaických meod v ekoomice Ig. Lubor Tvrdý Kaedra regioálí ekoomik Ekoomická fakula, VŠB-TU Osrava Osrava, 003 - -
Úvod do aalýz časových řad Obsah Úvod... 3 Teoreické základ pro aalýzu časových řad... 3. Základí pojm... 3.. Druh časových řad... 3.. Grafická aalýza... 3..3 Popisé charakerisik... 5. Základí úprav časových řad... 8.. Doplěí chbějících hodo... 8.. Trasformace měříka a kombiace časových řad... 8..3 Časový posu... 9..4 Sezóí diferece... 9..5 Kumulaiví souče... 9..6 Vhlazováí časových řad... 0.3 Problém časových řad... 0.4 Meod aalýz časových řad... 3 Příklad č. : Aalýza mír ezaměsaosi v okrese Karviá... 3 3. Grafická a saisická deskripce... 3 3. Očisěí časové řad od sezóích vlivů... 5 3.3 Tvorba modelu Expoeciálí vrováí druhého supě... 6 3.4 Výsledá predikce... 8 4 Příklad č. : Posup aalýz ukazaelů a úrovi obce... 30 4. Deskripce saisická a grafická... 30 4. Aalýza vzahů... 33 5 Závěr... 33 Lieraura... 33 - -
Úvod Cílem aalýz časových řad je věšiou kosrukce vhodého modelu. Sesrojeí dobrého modelu ám zpravidla umoží porozumě mechaismu, a jehož základě vzikají hodo časové řad, a pochopi podmík a vazb, keré působí a vzik ěcho hodo. Na základě změ ěcho podmíek či vazeb lze simulova jejich vliv působící změ ve vývoji časové řad. Dalším cílem je vužií ěcho získaých pozaků při předpovědi budoucího chováí. Používaé posup jsou založe a pricipu, že "hisorie se opakuje". Teo předpoklad bývá v praxi splě s růzou přesosí, a proo je vhodé u vhlazováí a předpovědí v časových řada uvádě i spolehlivos získaých výsledků a hodoi úspěšos predikce. Teoreické základ pro aalýzu časových řad. Základí pojm Časovou řadou rozumíme posloupos hodo ukazaelů, měřeých v určiých časových iervalech. To ierval jsou zpravidla rovoměré (ekvidisaí, a proo je můžeme zapsa ásledujícím způsobem:,,, eboli,,,, kde začí aalzovaý ukazael, je časová proměá s celkovým počem pozorováí... Druh časových řad Časové řad čleíme podle charakeru ukazaele: okamžikové - hodoa ukazaele k určiému okamžiku (apř. poče evidovaých uchazečů, iervalové - velikos sledovaého ukazaele závisí a délce iervalu, za kerý je sledová (apř. měsíčí áklad a rekvalifikace. Podle druhu ukazaelů rozlišujeme časové řad obsahující: absoluí ukazaele (očišěé, odvozeé ukazaele (součové, poměrové... Grafická aalýza Aalýza časových řad se v současosi provádí výhradě a počíačích pomocí vhodého sofwaru. Velká věšia saisických a ekoomerických sofwarů má algorim ěcho aalýz zabudovaé ve svých sadardích abídkách. Bohužel program EXCEL mezi ě epaří, proo - 3 -
se budeme muse věova relaivě jedoduchým algorimům, keré lze vsvěli. Pro pokročilejší aalýz časových řad doporučujeme saisické sofwar: SPSS, STATISTICA, S +. V programu EXCEL je ejvhodější daovou srukurou pro časové řad sadardí daová maice ve keré je prví řádek voře krákým ázvem proměé a poom ásledují aměřeé hodo. Jede řádek daové maice obsahuje pozorováí v jedom časovém okamžiku. Hodo jsou seřaze podle času, vzesupě. Ukázka daové maice v EXCELu uvádí abulka, kerá zahruje vývoj měsíčí mír ezaměsaosi v Karvié (% u_ki za období lede 995 březe 996. Tab. : Daová maice vývoje měsíčí mír ezaměsaosi v Karvié ( u_ki v % Daum Rok Měsíc u_ki I.95 995 7,53 II.95 995 7,38 III.95 3 995 3 7,8 IV.95 4 995 4 7,00 V.95 5 995 5 6,84 VI.95 6 995 6 6,9 VII.95 7 995 7 7,30 VIII.95 8 995 8 7,37 IX.95 9 995 9 7,4 X.95 0 995 0 7,8 XI.95 995 7,9 XII.95 995 7,0 I.96 3 996 7,40 II.96 4 996 7,37 III.96 5 996 3 7,9 Kromě proměé výše defiovaé se obvkle používají další časové proměé dle pu časových řad. Pokud pracujeme s ročími údaji je vhodé zavés další proměou rok. U čvrleích da kromě proměé r i proměou q, jež abývá hodo až 4 podle čvrleí. A aalogick posupujeme i u měsíčích údajů. Vedle ěcho umerických proměých se používá v programu EXCEL i proměá ve formáu daum apř. ve varu I.99 pro grafické zázorěí časových řad. Pro zobrazeí časových řad a jejich prvoí aalýzu slouží spojicové graf. Vodorová osa u ěcho grafů zazameává časovou proměou a a svislé ose se zobrazují hodo ukazaele časové řad. Příkladem spojicového grafu vývoje mír ezaměsaosi v okrese Karviá v leech 995 až 00 je obr.. - 4 -
% 5,0 0,0 5,0 0,0 5,0 0,0 Obr. : Vývoj mír ezaměsaosi v okrese Karviá I.95 IV.95 VII.95 X.95 I.96 IV.96 VII.96 X.96 I.97 IV.97 VII.97 X.97 I.98 IV.98 VII.98 X.98 I.99 IV.99 VII.99 X.99 I.00 IV.00 VII.00 X.00 I.0 IV.0 VII.0 X.0 I.0 IV.0 VII.0 X.0 Spojicový graf může zahrova i více časových řad, avšak měříko a svislé ose je sejé. Dalším důležiým grafem v EXCELu je graf XY bodový, kerý sleduje vývoj časové řad a vývoji hodo časové řad x z., že zázorí bod se souřadicemi [x, ] pro každý časový okamžik. Teo p grafu je vhodý u regresí aalýz...3 Popisé charakerisik daum Charakerisik poloh (průměr Při práci s časovými řadami je ěkd důležié zjisi jejich průměré hodo: prosý arimeický průměr vážeý arimeický průměr ; v, kde v je váha ukazaele v čase ; v + + 3 + d + d 3 + L + d vážeý chroologický průměr ch, d + d + Ld délka jedolivých časových iervalů. kde d je - 5 -
- 6 - Charakerisik variabili Nejdůležiější mír variabili ve saisice paří rozpl a směrodaá odchlka: rozpl je arimeickým průměrem kvadráů odchlek od arimeického průměru: ( s ; směrodaá odchlka je odmociou z rozplu ( s s. Mír damik Jedoduché mír damik časových řad umožňují charakerizova jejich základí rs chováí. Mezi základí mír damik časové řad paří: absoluí přírůsek (prví diferece a průměrý absoluí přírůsek ; koeficie (empo růsu, k kde,,, a průměrý koeficie růsu 3 k k k k L ; meziročí koeficie růsu apř. v případě čvrleí časové,, ( 4 4 k kde 5, 6,, ; relaiví přírůsek δ a průměrý relaiví přírůsek k δ. Korelace Korelace vjadřuje relaiví míru závislosi ve vzájemém vývoji dvou časových řad apř. a x a je dáa vzahem ( ( ; x x s s x x s. Hodo korelace blížící se ke hraičí hodoě vjadřují, že obě sledovaé časové řad mají zcela opačý směr v jejich
časovém vývoji. Hodo s x blížící se k prozrazují, že časové řad x a se vvíjí éměř shodě s hlediska sejých směrů pohbů a vkazují sejou relaiví míru ve vzájemém vývoji. Sacioárí a esacioárí časová řada Chováí časové řad může ze saisického hlediska buď podléha změám v průměru či variabiliě (řada esacioárí, ebo bý sále sejá (řada sacioárí. Zhruba řečeo o zameá, že u sacioárí řad ejsme schopi a základě zjišěých saisických paramerů, jako jsou arimeický průměr hodo ebo jejich rozpl, schopi odliši jede úsek řad od druhého. Nesacioárí řada aopak vkazuje změ v chováí: apříklad arimeický průměr hodo ze začáku řad je sigifikaě jiý ež průměr čleů a koci (o akové řadě říkáme, že vkazuje red. Sacioárí chováí je podsaým předpokladem ěkerých pů aalýz. Je pak řeba sacioariu esova a řadu případě vhodým způsobem rasformova s cílem odsraěí esacioari. Vývoj mír ezaměsaosi v ČR Vývoj absoluích diferecí mír ezaměsaosi v ČR,00 0,00 8,00 0,60 0,40 0,0 6,00 0,00 4,00-0,0 0 9 8 37 46 55 64 73 8 9,00-0,40 0,00-0,60 9 7 5 33 4 49 57 65 73 8 89-0,80 Obr. : Vývoj měsíčí mír ezaměsaosi v ČR od roku 995 do polovi roku 00 V grafu je vobraze průběh pické esacioárí časové řad, vkazující rosoucí red, sezóí vliv v průběhu každého roku a s časem rosoucí rozpl (sezóí odchlk od průměru se sále zvěšují. Taková řada evkazuje žádou časovou změu paramerů, proože její obecý čle ezávisí ai a čase, ai a předchozích čleech řad. V lierauře se i-ý čle časové řad s charakerem ezávislých realizací ormálě rozložeé áhodé veliči se sřeí hodoou µ 0 a kosaím rozplem ozačuje jako bílý šum. Taková řada je svým způsobem ejáhodější ze všech rozumých časových řad, proože o jejím příším čleu v podsaě evíme a základě předchozího průběhu víc, ež že půjde o ějaké číslo kolem ul. Název bílý šum vzikl z oho, že ao časový řada obsahuje rovoměrý podíl frekvečích složek všech vlových délek podobě jako bílé svělo obsahuje složk všech barev spekra. - 7 -
3 5 7 9 0,8 0,6 0,4 0, 0 3 5 7 9 3 5 7 9 3 33 35 37 39 4 43 45 47 49 5 53 55 57 59 6 63 65 67 69 7 73 75 77 79 8-0, -0,4-0,6-0,8 - Obr. 3: Bílý šum. Základí úprav časových řad V další čási jsou shru ejčasější rasformace či úprav výchozí časové řad. Mohé sofwarové produk zahrují modul pro o auomaické výpoč... Doplěí chbějících hodo V časové řadě může ěkeré pozorováí chbě a bývá ěkd ué je před zahájeím dalších výpočů dopli. Doplěé údaje samozřejmě ejsou plohodoé a jejich příomos sižuje věrohodos aalýz. Podle účelu rasformace lze posupova ěkerým z ásledujících přísupů: Nahradi chbějící hodo ulami. Teo způsob lze doporuči ehd, evíme-li o řadě ic aebo je o, že její průměrý čle b měl bý ulový (ak omu bývá apř. u aměřeých odchlek od ějaké očekávaé hodo řízeého procesu. Nahradi chbějící hodo ějakou cerálí charakerisikou souboru aměřeých hodo, kokréě jeho arimeickým průměrem ebo mediáem. Lze přiom brá cerálí charakerisiku buď celého souboru, ebo pouze okolích bodů. Nahradi chbějící hodou lieárí ierpolací mezi sousedími bod. Hodí se pro řad, keré vkazují výrazou servačos. Nahradi chbějící hodo redem v celém souboru, získaém regresí vhodé křivk. Nahradi chbějící hodo odhadem založeým a zámém či odhaduém modelu chováí procesu... Trasformace měříka a kombiace časových řad Nelieárí rasformace měříka časové řad se používá především pro polačeí či zmírěí esacioari řad v případě, kd apř. s rosoucími hodoami řad rose i rozpl čleů. Pak může logarimováí ebo odmocěí eo problém polači. Po provedeí aalýz se - 8 -
k původímu měříku vráíme zpěou rasformací: v případě logarimováí je o rasformace expoeciálí fukcí, v případě odmocěí rasformace umocěím. Někd bývá vhodé zkombiova ěkolik časových řad apř. jejich sečeím ebo vděleím jedé řad druhou (vpočíáím poměru...3 Časový posu Časový posu zameá vvořeí časové řad opožděé resp. předbíhající časovou řadu, ale jiak s í oožou. Předsavuje o vlasě posuuí časové řad dopředu případě dozadu oproi původí časové řadě. Nově vvořeé proměé mají ovšem a začáku, resp. a koci olik chbějících hodo, o kolik kroků se posu prováděl...4 Sezóí diferece Sezóí diferece je diferece mezi okamžik, vzdáleými o celisvý ásobek délk period. Například u da s iervalem jede měsíc, u ichž defiujeme ročí sezóí cklus, se sezóí diferece. řádu počíá jako rozdíl údaje z leošího leda míus údaje z loňského leda, z leošího úora míus loňského úora ad. Diferece vjadřuje velikos změ, ke keré došlo mezi dvěma časovými okamžik měřeí. Je-li kladá, řada v daém čase rose, je-li záporá, řada klesá. Diferecí se daa zbavují lieárího redu, sezóí diferecí sezóích vlivů...5 Kumulaiví souče Opačou operací k difereci je kumulaiví souče časové řad. Jeho hodoa se rová souču všech hodo od počáku řad až po daý okamžik. Posupou aplikací diferece a kumulaivího souču získáme původí řadu opožděou o jede časový ierval a zvěšeou ebo zmešeou o ějakou kosau. Důležiou časovou řadou je řada vziklá kumulaivím součem bílého šumu. Říká se jí áhodá procházka, proože ikd elze předvída, zda ao fukce se obráí vzhůru ebo dolů. Někd je éž azýváa procházkou opilého ámoříka. Podle zákoiosi áhodé procházk b se měli řídi apř. ce akcií a burze. Náhodá procházka je hladší ežli bílý šum, jelikož iegrace polačuje všší frekvečí složk a zvýrazí ižší frekvece. - 9 -
3 5 7 9 3,5 3,5,5 0,5 0 3 5 7 9 3 5 7 9 3 33 35 37 39 4 43 45 47 49 5 53 55 57 59 6 63 65 67 69 7 73 75 77 79 8-0,5 - Obr. 4: Náhodá procházka j. epredikovaelá časová řada..6 Vhlazováí časových řad Pokud je ěkerá veličia měřea v příliš krákých časových iervalech, může se sá, že ásledující čle se eliší éměř ičím jiým, ež ahodilými odchlkami, jakýmsi šumem, kerý se přičíá ke správé hodoě sledovaé veliči. Pokud lze předpokláda, že ao ahodilá chba očekávaou hodou jedou zvěší a jid zase zmeší (její sředí hodoa je ulová a jedolivé chb ejsou vzájemě závislé (j. ekorelovaé, můžeme pak očekáva, že zprůměrováím ěkolika po sobě ásledujících pozorováí budou se chb mí edeci avzájem ruši, zaímco skuečá sledovaá hodoa procesu ím vike. Na omo pozorováí jsou založe meod vhlazováí časových řad. Sředové klouzavé průměr: hodoa je ahrazea arimeickým průměrem sebe a ejbližších předchozích pozorováí, ležících ejdále do daé časové vzdáleosi. Klouzavé průměr z předchozích hodo: hodoa je ahrazea arimeickým průměrem sebe a ejbližších předchozích pozorováí. Klouzavé mediá: hodoa je ahrazea mediáem sebe a ejbližších pozorováí, ležících ejdále do daé časové vzdáleosi. Jedou z aplikací ěcho meod je aké vhlazeí sezóích vlivů, pokud jako rozpěí zadáme délku jedé period. V případě měsíčích da s ročí periodiciou je rozpěí..3 Problém časových řad Při zpracováí da ve formě časové řad se poýkáme s možsvím problémů, keré jsou právě pro časové řad specifické. Jedá se především o problém: s volbou časových bodů: o okamžikové, o iervalové; - 0 -
s kaledářem: o růzá délka měsíců, o růzý poče víkedů v měsíci, o růzý poče pracovích dů v měsíci, o pohblivé svák; s délkou časových řad; esrovaelosí da. Diskréí časové řad obsahují pozorováí v určiých espojiých časových bodech a mohou vzika rojím způsobem: buď přímo diskréí svou povahou, ebo vzikají diskreizací spojié časové řad, případě agregací či průměrováím hodo za daé časové období. Problém s kaledářem zameají růzá délka kaledářích měsíců, růzý poče pracovích dí v měsíci, pohblivé svák (apř. velikooce. To epravidelosi mohou mí překvapivé ásledk, avšak je možé je očisi od ěcho problémů: apř. vrováí růzého poču dí v měsíci: ( očišěá p p, kde hodoa očišťovaého ukazaele, p poče pracovích dí v měsíci, p - průměrý poče pracovích dí v měsíci za rok (30,4 či jiý základ apř. 30 dí. Někeré krákodobé epravidelosi v kaledáři mohou bý odsraě pomocí agregace apř. použijeme-li čvrleě agregovaé hodo míso původích měsíčích údajů. Problém s délkou časových řad souvisí s počem pozorováí při aalýze časových řad, ale je ezbé respekova i viří srukuru řad. Na jedé sraě ěkeré aalýz časových řad vžadují určiou miimálí délku řad (apř. Boxův-Jekisův přísup předpokládá miimálě 50 pozorováí, a sraě druhé u velice dlouhých časových řad je ebezpečí, že v průběhu ohoo časového období se měí charakerisik modelu a udíž viří srukura geerující řadu se sává s rosoucí délkou obížě modelováa v případě modelů předpokládající sabilí chováí paramerů. Problém s esrovalosí jedolivých měřeí souvisí s výběrovým vzorkem a zároveň reprezeaivosí ohoo vzorku i s hlediska časového vývoje. V případě možé volb časových bodů pozorováí sledujeme cíl ašeho zkoumáí, možosi periodici původí časové řad, změ ve vývoji a viří srukuře časové řad. Při aalýza časové řad bchom měli vcháze miimálě ze 30 pozorováí, což je apř. v případě ročích - -
ukazaelů problemaické. Rověž bchom měli respekova ekvidisaí j. (sejě vzdáleé časové bod.. 4 Meod aalýz časových řad Výběr meod aalýz časových řad závisí a řadě fakorů, ke kerým paří: účel aalýz (apř. rozpozáí mechaismu geerováí hodo časové řad a předpovídáí jejího budoucího vývoje p časové řad, zkušeosi saisika, dosupá daabáze, sofwarové a hardwarové vbaveí. Základí meod a posup k aalýze časových řad: dekompozice časové řad, Boxova-Jekisova meodologie, lieárí damické model, spekrálí aalýza časových řad. Dekompozičí meoda rozkládá časovou řadu a redovou, cklickou, sezóí a essemaickou složku a zabývá se ideifikací i modelováím zejméa ssemaických složek, především redové a sezóí složk. Boxova-Jekisova meodologie bere v úvahu při kosrukci modelu časové řad reziduálí složku, kerá může bý vořea korelovaými (závislými áhodými veličiami. Boxova- Jekisova meodologie ed eje může zpracováva časové řad s avzájem závislými pozorováími, ale dokoce ěžišě jejich posupů spočívá právě ve všeřováí ěcho závislosí eboli zv. korelačí aalýze. Kombiují se auoregresiví model AR(p s model klouzavých průměrů reziduálí složk MA(q. V případě esacioárí časové řad se provádí sacioarizace apř. diferecováím a zjišťuje se řád s paramerem d. Výsledý model se poom ozačuje jako ARIMA(p,d,q, v případě sezóích vlivů SARIMA model. Lieárí damické model jsou zpravidla příčié (kauzálí model, kde je vsvělovaá proměá vsvělováa vývoje svých zpožděích hodo či dalších vsvělujících fakorů. Rozdíl od modelu Box-Jekise spočívá v om, že zde kromě popisovaé časové řad a bílého šumu vsupují ješě další časové řad příčié fakor. Spekrálí aalýza časových řad má a rozdíl od předcházejících ří případů odlišý přísup spočívající v om, že se zkoumaá časová řada považuje za směs siusových a kosiusových křivek s růzými ampliudami a frekvecemi. Časo se rověž hovoří o zv. fourierovské aalýze. Pomocí speciálích saisických ásrojů se zjišťuje obraz o ieziě zasoupeí jedolivých frekvecí v časové řadě (zv. spekrum řad. Dále bude pozoros věováa dekompozici časové řad. - -
Dekompozice časové řad Při klasické aalýze časových řad se vchází z předpokladu, že každá časová řada může obsahova čři složk: a red (Tr, b sezóí složku (Sz, c cklickou složku (C, d áhodou složku (E. Prováděí rozkladu (dekompozice si klade za cíl saději ideifikova pravidelé chováí časové řad ež původí erozložeé řad. Tred vjadřuje obecou edeci vývoje zkoumaého jevu za dlouhé období. Je výsledkem dlouhodobých a sálých procesů. Tred může bý rosoucí, klesající ebo může exisova řada bez redu. Tredová složka se věšiou modeluje pomocí maemaických křivek. Sezóí složka je pravidelě se opakující odchlka od redové složk. Perioda éo složk je meší ež celková velikos sledovaého období. Rověž se ao složka může měi svůj charaker. % 5,0 0,0 5,0 0,0 5,0 0,0 Obr. 5: Vývoj mír ezaměsaosi v okrese Zojmo I.95 IV.95 VII.95 X.95 I.96 IV.96 VII.96 X.96 I.97 IV.97 VII.97 X.97 I.98 IV.98 VII.98 X.98 I.99 IV.99 VII.99 X.99 I.00 IV.00 VII.00 X.00 I.0 IV.0 VII.0 X.0 I.0 IV.0 VII.0-3 - X.0 daum Cklická složka udává kolísáí okolo redu v důsledku dlouhodobého cklického vývoje, kd dochází ke sřídáí fází růsu a poklesu. Jedolivé ckl se vvářejí za zpravidla období delší ež jede rok a mohou mí epravidelý charaker z. růzou ampliudu. Ckl jsou v ekoomických časových řadách způsobe ekoomickými i eekoomickými fakor a časo
jsou obížě pozorovaelé. V posledích leech se věuje pozoros zejméa echologickým, iovačím či demografickým cklům. Obrázek 6 zobrazuje vývoj cklické složk pro hrubý árodí produk v USA. 4500 4000 3500 3000 500 000 965 966 967 968 969 970 97 97 973 974 975 976 977 978 979 980 98 98 983 984 985 986 987 988 989 mld. $ rok Obr. 6: Vývoj hrubého árodího produku USA a leech 965-989 (reálé ce k roku 98 v mld. $ Náhodá (sochasická složka vjadřuje ahodilé a jié essemaické essemaické výkv (apř. chb měřeí. Předpokládá se, že áhodá složka je vořea zv. bílým šumem s ormálím rozděleím. Pod pojmem bílý šum rozumíme ekorelovaé (vzájemě ezávislé áhodé veliči s ulovou sředí hodoou a kosaím rozplem. Vlasí dekompozice časové řad může zhrova formu adiiví ebo muliplikaiví. Adiiví dekompozice má var : Tr + C + Sz + E. Při adiivím rozkladu jsou jedolivé složk uvažová ve svých skuečých absoluích hodoách a jsou měře v jedokách řad. Na obrázku č. 7 je schemaik zázorě příklad dekompozice adiiví form časové řad. - 4 -
Obr. 7: Adiiví dekompozice časové řad Muliplikaiví forma má var: Tr C Sz E. Po adiiví dekompozici jsou jedolivé složk časové řad ve sejých měrých jedokách jako původí řada. Adiiví dekompozice se používá v případě, že variabilia hodo časové řad je přibližě kosaí v čase. Po muliplikaiví dekompozici je redová složka časové řad ve sejých měrých jedokách jako původí časová řada, ale osaí složk (cklická, sezóí, essemaická jsou v relaivím vjádřeí. Teo způsob dekompozice se používá v případě, že variabilia časové řad rose v čase, ebo se v čase měí. Na jedé sraě kladou dekompozičí meod pozoros zejméa a ssemaické složk časové řad a předpokládá se, že jedolivá pozorováí jsou avzájem ekorelováa. V omo případě je maemaickým ásrojem v dekompozičích meodách zejméa regresí aalýza. Aalýza redu Tred v časových řadách je možé popsa pomocí redových fukcí a klouzavých průměrů. Modelováí redu pomocí redových fukcí se používá v případě, kd red odpovídá určié - 5 -
fukci apř. lieárí, kvadraické, expoeciálí, S-křivk apod. Modelováí redu pomocí klouzavých průměrů se používá, jesliže je vývoj časové řad v důsledku silého vlivu essemaické složk erovoměrý ebo má exrémí hodo. Při modelováí redu pomocí redových fukcí se vchází z ásledujících předpokladů: Časová řada je pro,,..., uspořádaá posloupos hodo v čase, keré získáme měřeím určiého ukazaele ve sejě dlouhých časových iervalech. Časovou řadu je možé zapsa ve varu Y + E, kde Y předsavuje eoreický model ssemaické složk vývoje ekoomického ukazaele Y v čase a E vjadřuje essemaickou složku. Tao essemaická složka má charaker bílého šumu (ulová sředí hodoa, kosaí rozpl, vzájemá lieárí ezávislos, kerý se avíc řídí ormálím rozděleím. V aalýze časových řad lze vjádři Y f(. Pokud se jedá pouze o časovou řadu s redovou složkou, poom fukce f je redová fukce. Je-li v časové řadě rověž sezóí složka ebo cklická složka, poom je Y kompozicí modelů ěcho složek. Exisují dva základí přísup k elimiaci redu (vrováí, vhlazeí časové řad, kd se odsraňují sezóí, cklické a áhodé flukuace: klasické posup elimiace redu (maemaické aalické přísup, adapiví posup, keré auomaick reagují a případé změ v charakeru redu (apř. a změ ve směrici lieárího redu. Maemaické aalické přísup zahrují meod, při ichž se sažíme popsa red aalick ěkerou jedoduchou křivkou. Po odhadu paramerů éo křivk lze poom kosruova bodovou ebo iervalovou předpověď za předpokladu, že charaker redové fukce se eměí. Při omo posupu se předpokládá, že aalzovaá časová řada má var: Tr + E, ebo bla a eo var převedea. Základí redové fukce pro,,..., : Kosaí red má var Tr β 0, odhad redu je Tr, odhad rozplu essemaické složk je s. E s Lieárí redová fukce Tr β 0 + β, Odhad lieárího redu je Tr β + β, odhad rozplu essemaické složk je s E (. 0-6 -
Kvadraická redová fukce (parabola má var Tr β 0 + β + β, odhad redu je Tr β + β + β, odhad rozplu essemaické složk je s E ( 3. 0 Expoeciálí redová fukce má var Tr β 0 β, kde paramer β 0, β > 0 se odhadují meodou ejmeších čverců, proože redová fukce se po logarimické úpravě převede a lieárí fukci. Odhad redu je Tr β 0β a odhad rozplu essemaické složk upraveé po logarimické rasformaci je s E (. ( β 0 +β S-křivka má var Tr e, kerý se po logarimické rasformaci dá převés a var hperbol ltr β 0 + β. Paramer odhadujeme opě meodou ejmeších čverců. Odhad redu je logarimováím s a odhad rozplu essemaické složk je po liearizaci (. ( β0 + β Tr e E Modifikovaý expoeciálí red má var Tr γ + β 0 β, kde β 0 < 0, 0 < β < a γ > 0. Kosaa γ je asmpoou (úroví saurace, hladiou asceí, ke keré red časové řad pro koverguje. Přírůsek expoeciálího redu β je pomalejší, ež přírůsek lieárího redu. Modifikovaý expoeciálí red je populárí v markeigu. Je o však elieárí fukce, kerou eí možé liearizova žádou rasformací, a proo se její paramer odhadují ieraivími meodou. To meod vžadují výpoče počáečích odhadů paramerů fukce, keré se dají získa apř. meodou čásečých součů ebo meodou vbraých bodů. Logisický red je uvede ve varu Pearlov-Reedov redové fukce Tr, γ + β 0β jejíž iverzí fukce γ + β 0β má var modifikovaého expoeciálího redu. Tr Paramer se po iverzí rasformaci odhadují sejým způsobem, jako pro modifikovaý expoeciálí red. - 7 -
β * * * Gomperzův red má var Tr γβ 0, resp. Tr γ + β 0 β. Křivka má horí asmpou γ * lγ a vjadřuje hraici asceí pro. Paramer původího redového modelu se po rasformaci odhadují jako u modifikovaého expoeciálího redu ebo jedoduchého expoeciálího redu. Předpovídáí pomocí redových fukcí Jedím ze základích účelů modelováí časových řad v čase,,..., je vužií ěcho modelů, v případě jejich saisické výzamosi, k předvídáí apř. předpověď exrapolací. Exrapolací se rozumí kvaiaiví odhad budoucích hodo časové řad, keré vzikají prodloužeím vývoje z miulosi a příomosi do budoucosi s horizoem +, +,..., T, za předpokladu, že se eo vývoj ezměí. Exrapolačí předpovědi rozdělujeme a bodové a iervalové. Bodová předpověď exrapolace ex ae se určuje v čase do okamžiku T a ozačuje se ( T. Horizoem předpovídáí se rozumí poče období (T- od bodu do budoucosi. ( α 00% ierval předpovědi (apř. 95% je ierval, ve kerém se s pravděpodobosí ( α 00% (apř. 95% achází skuečá hodoa T z. T ( ± α / ( ( + s p l α je ( 00%, kde ( l / ( + - 8 - α kvail Sudeova rozděleí s -(l+ supi volosi, kde (l+ je poče odhaduých paramerů v polomiálích fukcích, s p je směrodaá chba předpovědi v horizou (T-. Kdž určujeme exrapolace, a se předpokládá, že vbraý model je správý a skuečé paramer modelu se v čase eměí. V moha siuacích jsou o předpoklad ereálé, proože proces, kerý geeruje vývoj časové řad se měí v čase. Čím je horizo předpovědi delší, ím je možé očekáva věší chb předpovědi. Chba předpovědi při exrapolaci je dáa vzahem: ET T ( T, kde ( T je bodová předpověď v čase T a T je skuečá hodoa v čase T. Chbu předpovědi lze rozloži a dvě složk: ET ( T YT + ( YT ( T, kde ( T YT je chba způsobeá volbou modelu( předpokládá se správá volba j. ao složka 0 a ( YT ( T je chba způsobeá odhadem paramerů modelu. Příklad bodové a iervalové předpovědi pro lieárí redovou fukci: bodová předpověď : T β + β (, ( 0 T ( α 00% předpovědí ierval : v ( T ( T ± se / ( + + α, ( /
kde s E je směrodaá odchlka reziduí. Při výběru redové fukce je ué respekova : graf časové řad resp. její rasformace, ierpolačí kriéria ( směrodaá odchlka reziduí, koeficie deermiace, koeficie auokorelace reziduí, es paramerů, exrapolačí kriéria (průměré charakerisik chb předpovědí ex pos, graf předpověď-skuečos. Grafická aalýza slouží k předběžému výběru vhodé redové fukce: kolísá-li řada prvích diferecí okolo ul, volíme kosaí red; kolísá-li řada prvích diferecí kolem eulové kosa, použijeme lieárí red; jesliže má řada prvích diferecí přibližě lieárí red a řada druhých diferecí kosaí red, volíme kvadraický red; kolísá-li řada koeficieů růsu ebo řada prvích diferecí okolo eulové hodo, volíme jedoduchý expoeciálí red; jesliže má řada l přibližě hperbolický průběh, volíme S-křivku; jesliže řada podílů sousedích diferecí ( ( / kolísá okolo eulové kosa, volíme modifikovaý expoeciálí red; jesliže řada podílů sousedích diferecí ( l l /( l l kolísá okolo eulové hodo, volíme Gomperzovu křivku. Ierpolačí kriéria zkoumají charaker rozdílů skuečých hodo a vrovaých hodo. Mezi mír přesosi vrováí áleží ásledující charakerisik reziduí: souče čvercových chb (Sum of Squared Error ( SSE E, SSE průměrá (sředí čvercová chba MSE a průměrá absoluí chba MAE. - 9 -
Klasická aalýza časových řad předpokládá, že redová fukce má v čase kosaí paramer. V delším časovém období je eo předpoklad ereálý, proo je vhodé vužíva adapiví echik, jako je meoda klouzavých průměrů a expoeciálí vrováváí. Klouzavý průměr Meoda klouzavých průměrů se zakládá a mšlece, že časovou řadu pro,,..., rozdělíme a kraší časové úsek o poču hodo m+, a kerých odhadujeme lokálí polomické red určiého supě. Např. kosaí red se popisuje polomem ulého supě, lieárí red polomem prvího supě. Prví čás časové řad má m+ hodo, keré ozačujeme,,..., m+, z ich odhademe paramer lokálího redu vhodým polomem a vpočíáme jeho odhad T r m+, sejý polom odhademe a druhé skupiě hodo řad,, 3,..., m+ a vpočíáme odhad lokálího redu T r m+, ímo klouzavým způsobem pokračujeme až do koce časové řad. V sezóích časových řadách se redová složka odhaduje pomocí cerovaých klouzavých průměrů, proože délka klouzavé čási je sudé číslo. - 0 -
Expoeciálí vhlazováí Je vhodé zejméa pro krákodobou predikci redů. Tao echika, eáročá a čas a eoreické zalosi, rozvíjí mšleku vhlazováí pomocí klouzavých průměrů. Meoda expoeciálího vrováváí je založea a všech předchozích pozorováích, přičemž jejich váha (w směrem do miulosi klesá podle expoeciálí fukce: w ( α α (viz obrázek 8, kde je poče pozorováí a α je vrovávací kosaa v iervalu (0;. w 0,4 0,3 0, 0, 0,0 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 Obr. 8: Vývoj váh (w dle expoeciálí fukce v čase ( pro α 0,7 a 3. Iezia zapomíaí, vjádřeá velikosí alf, se saoví a základě charakeru časové řad. Hledá se aková hodoa α, u keré je ejmeší SSE příp. MSE. V programu EXCEL se pro hledáí exrému fukcí používá ásroj Řešiel. Expoeciálí vrováí prvího supě. Teo ejjedodušší způsob vrováí lze použí pouze a časové řad, keré evkazují žádý red, avšak při aalýze ukazaelů rhu práce se věšiou epoužívá, ale uvádíme ho pro pochopeí složiějších form. U časových řad, keré jsou ve varu Tr + E, lze v případě kosaího redu ahradi redovou složku (Tr kosaou, j. Tr β 0. Úkolem je ed aléz odhad parameru β 0, kerý se v omo případě rová vrovaé hodoě. Vrovaá časová řada se vpočíá podle ásledujícího rekureího vzorce: ˆ ( ˆ α + α. Pokud se α blíží k hodoě ak rose vliv miulých pozorováí. Pro hledáí vhodé α se věšiou doporučuje ierval <0,7;. Výše uvedeý vzorec lze přepsa i do ásledujícího varu: ˆ ˆ ( ( ˆ + α, kerý vsvěluje vvářeí ové vrovaé hodo z předchozí vrovaé hodo, opraveou o chbu daou rozdílem mezi skuečou a předcházející vrovaou hodoou. Problémem rekureích vzorců je saovi odhad vrovaé hodo pro, kerou ezáme. Exisují sice algorim jak uo hodou saovi, ale ejjedodušší je aproximova ji skuečou hodoou v čase. Meoda expoeciálího vrováí brz a uo epřesos zapomee, z. že po případém počáečím odklou se vrovaé hodo brz přiblíží k aměřeým pozorováím. Příklad expoeciálího vrováí ukazuje a simulovaých daech obrázek 9. - -
6 5 4 3 3 5 7 9 3 5 7 9 3 5 7 9 3 33 35 37 39 4 43 45 47 49 5 Obr. 9: Expoeciálí vrováí prvího supě s predikcí. Expoeciálí vrováí druhého supě Dvojié expoeciálí vrováí používáme v případě, kd lze předpokláda, že v krákém období bude mí redová složka lieárí formu: Tr β 0 + β.. Předpoklad lieari v krákém období je v praxi velice rozšíře. Posup si předvedeme a ásledujícím příkladu. - -
3 Příklad č. : Aalýza mír ezaměsaosi v okrese Karviá V éo časi si ukážeme pický posup při aalýze časových řad z ásledou predikcí a příkladu vývoje mír ezaměsaosi v okrese Karviá v období 995 00. Budou sledová ásledující krok aalýz časové řad:. grafická a saisická deskripce,. očisěí časové řad od sezóích vlivů, 3. vorba modelu (expoeciálí vrováí druhého supě s predikcí, 4. kosrukce výsledé predikce. 3. Grafická a saisická deskripce Kromě klasického zobrazei časové řad, jak jej můžee vidě a obr č.. Je vhodé pro saoveí sezóosi provés resrukuralizaci da pomoci koigečí abulk. Novou daovou maici je zapořebí vvoři ak, ab rok bl ve sloupcích a měsíce v řádcích, viz ásledující abulka. Tab. : Resrukurovaá daová maice. Rok Měsíc 995 996 997 998 999 000 00 00 7,53 7,40 8,4 0,67 4,63 8,6 7,88 8,63 7,38 7,37 8,55 0,6 5,09 8,69 7,78 8,57 3 7,8 7,9 8,56 0,78 5,53 8,80 7,7 8,46 4 7,00 7,4 8,59 0,8 5,75 8,36 7,49 8,46 5 6,84 7,04 8,6 0,9 5,88 8,8 7, 8, 6 6,9 7,3 9,07,59 6,36 8,53 7,46 8,49 7 7,30 7,67 9,76,0 7,5 8,73 8,04 9,03 8 7,37 7,85 0,06,60 7,39 8,7 8,06 9,9 9 7,4 8, 0, 3,00 7,57 8,64 7,79 9,3 0 7,8 8,0 0, 3,07 7,76 8,05 7,76 9,3 7,9 8,6 0,5 3,33 7,87 7,87 7,70 9,4 7,0 8,40 0,39 3,76 8, 8,04 8,0 9,58 Z éo abulk pak lze vvoři ásledující graf 0, ve kerém lze pozorova sezóos, kerá se eprojevuje ak výrazě jak apř. u okresu Zojmo (viz. obr 5. Je vidě že charaker sezóosi je u okresu Karviá ovlivě především od 5. měsíce árůsem poču absolveů. Z důvodu srukur zaměsaosi v okrese se zde eprojevuje pická variabilia způsobeá sezóími pracemi. - 3 -