Lineární diferenciální rovnice n tého řádu

Kapitola 2 Lineární diferenciální rovnice n tého řádu 2.1 Cauchyova úloha pro lineární rovnici n tého řádu Klíčová slova: obyčejná lineární diferenciální rovnice n tého řádu, rovnice s konstantními koeficienty, rovnice s proměnnými koeficienty, pravá strana rovnice, homogenní rovnice, nehomogenní rovnice, Cauchyova úloha, počáteční okamžik, počáteční hodnota, počáteční podmínka, počáteční úloha, řešení rovnice, řešení Cauchyovy úlohy 2.1.1 Matematický popis dynamiky fyzikálních systémů 1. Budeme vyšetřovat pohyb kuličky o hmotnosti m, která se působením pružiny pohybuje po pevné tyči, jak je načrtnuto na obrázku 2.1 a). u(t) R S L C a) æ i(t) u(t) b) æ Obrázek 2.1: Schémata vyšetřovaných fyzikálních systémů Předpokládejme, že rovnovážný stav kuličky je ve středu S tyče. Označme u(t) vzdálenost středu kuličky od bodu S v okamžiku t. Pak derivace u(t) udává rychlost pohybu kuličky v okamžiku t a druhá derivace ü(t) udává její zrychlení. Na pohybující se kuličku působí v okamžiku t jednak síla pružiny, jejíž velikost označíme F 1 (t), a jednak odpor prostředí, jehož velikost označíme F 2 (t). Předpokládejme navíc, že kulička je při svém pohybu vystavena působení nějaké vnější časově proměnné síly (např. větru). Velikost její složky působící podél tyče označme F 3 (t). Z fyziky víme, že síla pružiny působí podél tyče vždy ve směru ke středu S a je přímo úměrná výchylce u(t), tj. F 1 (t) = ku(t), kde číslo k > 0 se nazývá koeficient pružnosti pružiny. Odpor prostředí působí rovněž podél tyče, avšak proti směru pohybu kuličky a je přímo úměrný rychlosti kuličky, tj. F 2 (t) = q u(t), q > 0. Podle druhého Newtonova pohybového zákona je celková síla působící na pohybující se kuličku v okamžiku t rovna součinu hmotnosti m kuličky a jejího zrychlení ü(t) v okamžiku t. Oud a z předchozí úvahy 39

40 KAPITOLA 2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE N TÉHO ŘÁDU plyne rovnost a tedy mü(t) = F 1 (t) + F 2 (t) + F 3 (t) = ku(t) + q u(t) + F 3 (t), ü(t) q m u(t) + k m u(t) = 1 m F 3(t). Označme ještě F 3(t) m = b(t). Dostali jsme tak vztah ü(t) q m u(t) + k u(t) = b(t), (2.1) m který musí splňovat funkce u(t) popisující pohyb kuličky po tyči. Vztah (2.1) vyjadřujeme také slovy, že funkce u(t) je řešením obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu ẍ q m ẋ + k x = b(t). (2.2) m Uvědomme si, že při odvození vztahu (2.1) jsme podstatně využili druhého Newtonova pohybového zákona. Tento úzký vztah mezi zákony dynamiky a diferenciálními rovnicemi dává tušit, proč mají diferenciální rovnice 2. řádu při vyšetřování dynamických jevů takovou důležitost. 2. Analogickou rovnici dostáváme i při vyšetřování časového průběhu intenzity elektrického proudu v jednoduchém RLC obvodu. Vyšetřujeme časový průběh proudu i(t) protékajícího v okamžiku t elektrickým obvodem, jehož schéma je na obrázku 2.1 b). Předpokládejme, že sériový RLC obvod je v okamžiku τ připojen na zdroj střídavého napětí u(t). Pak v každém okamžiku t τ protéká každým prvkem obvodu tentýž proud i(t), ale na každém prvku je obecně jiné napětí. Označme u L (t), resp. u R (t), resp. u C (t) velikost napětí v okamžiku t na cívce, resp. na odporu, resp. na kondenzátoru. Z fyziky je známo, že mezi těmito napětími a proudem i(t) platí vztahy u L (t) = L di(t) du C (t), u R (t) = Ri(t), kde L je indukčnost cívky, R je velikost ohmického odporu a C je kapacita kondenzátoru. Podle druhého Kirchhoffova zákona je u L (t) + u R (t) + u C (t) = u(t), t τ. (2.4) Oud derivováním dostáváme du L (t) Z prvních dvou rovností v (2.3) plyne du L (t) + du R(t) = L d2 i(t) 2, + du C(t) du R (t) Oud a z (2.3) dosadíme do (2.5). Dostaneme tak rovnost L d2 i(t) 2 + R di(t) Označíme-li di(t) i(t) = v(t), = v(t), můžeme rovnost (2.6) přepsat na tvar = du(t) = R di(t) = 1 i(t), (2.3) C, t τ. (2.5), t τ. + 1 du(t) i(t) =, t τ. (2.6) C d 2 i(t) 2 = v(t), 1 L v(t) + R L v(t) + 1 v(t) = b(t), t τ. LC du(t) = b(t), Vidíme, že časový průběh intenzity elektrického proudu v uvažovaném sériovém obvodu se dvěma dynamickými prvky vyhovuje lineární diferenciální rovnici 2. řádu ẍ + R L ẋ + 1 x = b(t). (2.7) LC

2.1. CAUCHYOVA ÚLOHA PRO LINEÁRNÍ ROVNICI N TÉHO ŘÁDU 41 Jak uvidíme později, má tato rovnice nekonečně mnoho řešení popisujících nekonečně mnoho možných časových průběhů intenzity proudu ve vyšetřovaném obvodu. Zadáme-li však pevně hodnoty napětí v počátečním okamžiku τ například na odporu a na cívce, je tím už jednoznačně zadána i počáteční hodnota napětí na kondensátoru u C (τ) = u(τ) u R (τ) u L (τ), ale i počáteční hodnoty intenzity proudu a její derivace i(τ) = 1 R u R(τ), di(τ) = 1 L u L(τ). Těmito hodnotami je jednoznačně určen i časový průběh intenzity proudu i(t) pro všechna t τ. Označíme-li ξ 1 = i(τ), ξ 2 = di(τ), můžeme říci, že tato funkce i(t) je řešením Cauchyovy úlohy ẍ + R L ẋ + 1 LC x = b(t), x(τ) = ξ 1, ẋ(τ) = ξ 2. (2.8) V našich úvahách jsme předpokládali, že parametry R, L a C jsou konstanty. Kdyby některý z nich měnil s časem svoji hodnotu, mluvili bychom pak o rovnici s proměnnými koeficienty. 2.1.2 Cauchyova úloha pro lineární rovnici n tého řádu Budeme se zabývat obyčejnou lineární diferenciální rovnicí n tého řádu x (n) + a n 1 (t)x (n 1) + + a 1 (t)ẋ + a 0 (t)x = b(t), (2.9) kde funkce a n 1 (t),, a 1 (t), a 0 (t) a b(t) jsou definovány a spojité na nějakém intervalu I. Jsou-li všechny koeficienty a k (t), k = 0, 1,..., n 1, konstanty, mluvíme o lineární diferenciální rovnicí n tého řádu s konstantními koeficienty. V opačném případě, tj. závisí-li alespoň jeden z těchto koeficientů na proměnné t, mluvíme o lineární diferenciální rovnicí n tého řádu s proměnnými koeficienty. Je-li funkce b(t) v rovnici (2.9) tzv. pravá strana rovnice identicky nulová na intervalu I, pak říkáme, že rovnice (2.9) je homogenní. V opačném případě mluvíme o nehomogenní rovnici. m rovnice (2.9) rozumíme reálnou funkci u(t) definovanou a mající n-tou derivaci na intervalu I a splňující podmínku u (n) (t) + a n 1 (t)u (n 1) (t) + + a 1 (t) u(t) + a 0 (t)u(t) = b(t), t I. (2.10) Jsou-li navíc dána reálná čísla τ I (tzv. počáteční okamžik) a ξ 1, ξ 2,..., ξ n R (tzv. počáteční hodnoty), pak mluvíme o Cauchyově (také počáteční) úloze pro rovnici (2.9) a zapisujeme ji x (n) + a n 1 (t)x (n 1) + + a 1 (t)ẋ + a 0 (t)x = b(t), x(τ) = ξ 1, ẋ(τ) = ξ 2,..., x (n 1) (τ) = ξ n. (2.11) m úlohy (2.11) nazýváme každé řešení u(t) rovnice (2.9), které splňuje počáteční podmínky u(τ) = ξ 1, u(τ) = ξ 2,..., u (n 1) (τ) = ξ n. (2.12) Dá se ukázat, že úloha (2.11) má pro každou volbu počátečního okamžiku τ I a počátečních hodnot ξ 1, ξ 2,..., ξ n právě jedno řešení a že toto řešení je definováno na celém intervalu I. Budeme pro ně používat označení u(t; τ, (ξ 1, ξ 2,..., ξ n )), nebo, označíme-li ξ = (ξ 1, ξ 2,..., ξ n ), stručně u(t; τ, ξ). Příklady

42 KAPITOLA 2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE N TÉHO ŘÁDU 1. Rovnice ẍ + 5ẋ + 4x = 0 má koeficienty a 1 (t) = 5, a 0 (t) = 4. Jsou to konstantní funkce, a tedy spojité pro všechna t R. Proto každé její řešení je definováno pro všechna t R. Snadno se ověří, že pro každou volbu reálných čísel c 1 a c 2 je funkce řešením této rovnice. 2. Rovnice je rovnice s proměnnými koeficienty u(t) = c 1 e 4t + c 2 e t, t R, ẍ t t 1 ẋ + 1 t 1 x = 0 a 1 (t) = t t 1, a 0(t) = 1 t 1, t 1, které jsou spojité na intervalech (, 1) a (1, ). To znamená, že i každé její řešení je definováno buď na intervalu (, 1) nebo na intervalu (1, ). Snadno se ověří, že například funkce jsou řešeními této rovnice. 3. m Cauchyovy úlohy u 1 (t) = t, t (, 1), u 2 (t) = t, t (1, ) ẍ + ẋ 2x = 0, x(0) = 2, ẋ(0) = 11 je funkce u(t; 0, (2, 11)) = 5e t 3e 2t, t R. 2.2 Homogenní lineární diferenciální rovnice Klíčová slova: vektorový prostor řešení, báze řešení, fundamentální systém řešení, obecný tvar řešení, standardní báze, standardní fundamentální systém, Wronského matice, wronskián, charakteristická rovnice, charakteristický polynom, charakteristická hodnota 2.2.1 Struktura prostoru řešení homogenní rovnice Vektorový prostor řešení Budeme se podrobněji zabývat vlastnostmi řešení homogenní rovnice ẍ + a 1 (t)ẋ + a 0 (t)x = 0. (2.13) Ukážeme, že množina všech řešení rovnice (2.13) tvoří vektorový prostor. K tomu stačí ukázat, že pro každá dvě řešení u 1 (t), u 2 (t), t I, a pro každé dvě reálné konstanty c 1, c 2 je také lineární kombinace u(t) = c 1 u 1 (t) + c 2 u 2 (t), t I, řešením rovnice (2.13). To je však snadné. Podle předpokladu platí ü 1 (t) + a 1 (t) u 1 (t) + a 0 (t)u 1 (t) = 0, takže ü 2 (t) + a 1 (t) u 2 (t) + a 0 (t)u 2 (t) = 0, ü(t) + a 1 (t) u(t) + a 0 (t)u(t) = = c 1 ü 1 (t) + c 2 ü 2 (t) + a 1 (t) [ c 1 u 1 (t) + c 2 u 2 (t) ] + a 0 (t) [ c 1 u 1 (t) + c 2 u 2 (t) ] = = c 1 [ü1 (t) + a 1 (t) u 1 (t) + a 0 (t)u 1 (t) ] + c 2 [ü2 (t) + a 1 (t) u 2 (t) + a 0 (t)u 2 (t) ] = 0.

2.2. HOMOGENNÍ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 43 Další úvahy ilustrujeme nejdříve na příkladě. Přímým dosazením do rovnice ẍ 3ẋ + 2x = 0 (2.14) snadno ověříme, že funkce u 1 (t) = e t, u 2 (t) = e 2t, t R, (2.15) jsou jejími řešeními. Jelikož jedna z nich není konstantním násobkem druhé, jsou lineárně nezávislé. To znamená, že vektorový prostor všech řešení rovnice (2.14) má dimenzi nejméně 2. Ukážeme, že každé řešení u(t) rovnice (2.14) lze vyjádřit jako lineární kombinaci řešení (2.15) u(t) = c 1 e t + c 2 e 2t, t R, (2.16) a tedy funkce (2.15) tvoří bázi dvourozměrného vektorového prostoru řešení rovnice (2.14). Víme, že řešení u(t) je jednoznačně určeno počátečními hodnotami u(0) = ξ 1, u(0) = ξ 2. Máme tedy najít konstanty c 1 a c 2 v (2.16) tak, aby byly splněny tyto počáteční podmínky, tj. u(0) = c 1 e 0 + c 2 e 0 = c 1 + c 2 = ξ 1, u(0) = c 1 e 0 + 2c 2 e 0 = c 1 + 2c 2 = ξ 2. Oud c 1 = 2ξ 1 ξ 2, c 2 = ξ 2 ξ 1. Ukázali jsme tak, že Cauchyova úloha má řešení Předpis na pravé straně můžeme upravit na tvar ẍ 3ẋ + 2x = 0, x(0) = ξ 1, ẋ(0) = ξ 2 (2.17) u(t; 0, (ξ 1, ξ 2 )) = (2ξ 1 ξ 2 )e t + (ξ 2 ξ 1 )e 2t, t R. (2.18) u(t; 0, (ξ 1, ξ 2 )) = ξ 1 ( 2e t e 2t) + ξ 2 ( e 2t e t), t R. (2.19) Vidíme, že hledané řešení je lineární kombinací dvou lineárně nezávislých řešení v 1 (t) = 2e t e 2t, v 2 (t) = e 2t e t, t R, vyhovujících počátečním podmínkám v 1 (0) = 1, v 1 (0) = 0 a v 2 (0) = 0, v 2 (0) = 1, tj. řešení u(t; 0, (1, 0)) = 2e t e 2t, u(t; 0, (0, 1)) = e 2t e t, t R. (2.20) Tato řešení představují velice speciální a užitečný typ báze vektorového prostoru všech řešení rovnice (2.14). Jde o tzv. standardní bázi, kterou zavedeme obecně za chvíli. Známe-li totiž standardní bázi, pak řešení Cauchyovy úlohy (2.17) píšeme rovnou bez jakéhokoliv počítání koeficientů c 1 a c 2, protože příslušné koeficienty, jak je vidět ze vztahu (2.19), jsou přímo počáteční hodnoty ξ 1 a ξ 2. Báze prostoru řešení Nyní tyto úvahy, které jsme prováděli pro konkrétní rovnici, provedeme pro obecný případ rovnice 2. řádu. Vyšetřujeme Cauchyovu úlohu pro homogenní rovnici ẍ + a 1 (t)ẋ + a 0 (t)x = 0, x(τ) = ξ 1, ẋ(τ) = ξ 2. (2.21) Nechť u 1 (t), u 2 (t) jsou řešení této úlohy splňující tzv. standardní počáteční podmínky u 1 (τ) = 1, u 1 (τ) = 0 ; u 2 (τ) = 0, u 2 (τ) = 1, (2.22) tj. u 1 (t) = u(t; τ, (1, 0)), u 2 (t) = u(t; τ, (0, 1)), t I. (2.23) Pak lze každé řešení u(t; τ, ξ) úlohy (2.21) psát ve tvaru u(t; τ, (ξ 1, ξ 2 )) = ξ 1 u(t; τ, (1, 0)) + ξ 2 u(t; τ, (0, 1)), t I. (2.24) Skutečně, u(t; τ, (ξ 1, ξ 2 )) je řešením úlohy (2.21) a splňuje počáteční podmínky u(τ; τ, (ξ 1, ξ 2 )) = ξ 1 u 1 (τ) + ξ 2 u 2 (τ) = ξ 1, u(τ; τ, (ξ 1, ξ 2 )) = ξ 1 u 1 (τ) + ξ 2 u 2 (τ) = ξ 2.

44 KAPITOLA 2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE N TÉHO ŘÁDU Z rovnosti (2.24) plyne, že množina všech řešení homogenní rovnice (2.13) tvoří dvourozměrný vektorový prostor. Z lineární algebry víme, že každá dvě lineárně nezávislá řešení homogenní rovnice (2.13) tvoří tzv. bázi, nebo také fundamentální systém řešení rovnice (2.13). Nechť u 1 (t), u 2 (t) je libovolná báze řešení rovnice (2.13). Pak lze každé řešení u(t) rovnice (2.21) psát jako lineární kombinaci u(t; c 1, c 2 ) = c 1 u 1 (t) + c 2 u 2 (t), t I. (2.25) Tuto lineární kombinaci nazýváme obecným tvarem řešení rovnice (2.13) (nebo také obecným řešením) rovnice (2.13). Hledáme-li řešení Cauchyovy úlohy (2.21) pro konkrétně zadané počáteční podmínky, musíme určit hodnoty koeficientů c 1, c 2 v (2.25) pomocí počátečních údajů τ, ξ 1 a ξ 2. Postupujeme při tom takto. Dosadíme počáteční okamžik τ do rovnosti (2.25) a do rovnosti, kterou z rovnosti (2.25) dostaneme derivováním obou jejich stran. Využijeme-li podmínek u(τ; c 1, c 2 ) = ξ 1, u(τ; c 1, c 2 ) = ξ 2, dostaneme soustavu u(τ; c 1, c 2 ) = c 1 u 1 (τ) + c 2 u 2 (τ) = ξ 1, u(τ; c 1, c 2 ) = c 1 u 1 (τ) + c 2 u 2 (τ) = ξ 2 (2.26) dvou lineárních algebraických rovnic, jejíž matice je tzv. Wronského matice. Dá se ukázat, že její determinant, zvaný wronskián ( ) u1 (τ), u W [u 1, u 2 ](τ) = det 2 (τ) u 1 (τ), u 2 (τ) (2.27) je nenulový pro všechna τ I. Můžeme tedy ze soustavy (2.26) jednoznačně určit koeficienty c 1, c 2 a dosadit je do (2.25), abychom dostali hledané řešení Cauchyovy úlohy (2.21). Zvolíme-li za bázi prostoru řešení rovnice (2.13) funkce (2.23), pak právě popsaný postup hledání hodnot parametrů c 1, c 2 pomocí soustavy (2.26) odpadá, protože, jak vidíme z rovnosti (2.24), je c 1 = ξ 1, c 2 = ξ 2. (2.23) představují tzv. standardní bázi, nebo také standardní fundamentální systém řešení rovnice (2.13). Vztah (2.24) ukazuje, že standardní báze má mezi všemi bázemi výjimečné postavení. Všechny pojmy a tvrzení tohoto odstavce se velice přirozeně dají přenést na rovnice obecně n tého řádu. Příslušné modifikace formulací přenecháváme čtenáři. Příklady 1. Máme najít řešení Cauchyovy úlohy ẍ + 9x = 0, x(0) = 5, ẋ(0) = 6, standardní bázi prostoru řešení a vyjádřit řešení Cauchyovy úlohy pomocí standardní báze, známe-li dvě lineárně nezávislá řešení u 1 (t) = cos 3t, u 2 (t) = sin 3t, t R, příslušné rovnice. Nejdříve ukážeme, že funkce cos 3t a sin 3t jsou lineárně nezávislé. Skutečně, má-li platit rovnost c 1 cos 3t + c 2 sin 3t = 0 pro všechna t R, pak například pro t = 0 musí být c 1 = 0 a pro t = π/6 musí být c 2 = 0. Tvoří tedy funkce cos 3t a sin 3t bázi řešení a u(t, c 1, c 2 ) = c 1 cos 3t + c 2 sin 3t, t R, je obecný tvar řešení. Nejdříve najdeme řešení zadané Cauchyovy úlohy. Koeficienty c 1 a c 2 spočítáme ze soustavy u(0) = c 1 cos 0 + c 2 sin 0 = 5, u(0) = c 1 ( 3 sin 0) + c 2 3 cos 0 = 6, takže c 1 = 5, c 2 = 2 a hledaným řešením je funkce u(t; 0, (5, 6)) = 5 cos 3t 2 sin 3t, t R.

2.2. HOMOGENNÍ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 45 Nyní najdeme standardní bázi u 1 (t) u(t; 0, (1, 0)), u 2 (t) u(t; 0, (0, 1)) a ukážeme, že platí rovnost u(t; 0, (5, 6)) = 5u 1 (t) 6u 2 (t). Abychom našli standardní bázi řešení, sestavíme soustavy rovnic u(0) = c 1 cos 0 + c 2 sin 0 = 1, u(0) = c 1 ( 3 sin 0) + c 2 3 cos 0 = 0, u(0) = c 1 cos 0 + c 2 sin 0 = 0, u(0) = c 1 ( 3 sin 0) + c 2 3 cos 0 = 1. Z první soustavy dostáváme c 1 = 1, c 2 = 0, z druhé soustavy dostáváme c 1 = 0, c 2 = 1/3. Hledanou standardní bázi tedy tvoří funkce u 1 (t) = cos 3t, u 2 (t) = 1 sin 3t, t R. 3 Vidíme, že skutečně platí u(t; 0, (5, 6)) = 5u 1 (t) 6u 2 (t) = 5 cos 3t 2 sin 3t, t R. 2. Máme najít řešení Cauchyovy úlohy ẍ t t 1 ẋ + 1 t 1 x = 0, x(τ) = ξ 1, ẋ(τ) = ξ 2, τ, t (1, ) a standardní bázi prostoru řešení, známe-li dvě řešení příslušné rovnice. u 1 (t) = t, u 2 (t) = e t, t (1, ) Nejdříve ukážeme, že funkce t a e t jsou lineárně nezávislé. Skutečně, má-li rovnost c 1 t + c 2 e t = 0 platit pro všechna t > 1, pak například pro t = 2 a t = 4 dostáváme soustavu 2c 1 + e 2 c 2 = 0, 4c 1 + e 4 c 2 = 0, která má zcela zřejmě pouze triviální řešení c 1 = c 2 = 0. Tvoří tedy funkce t a e t bázi řešení a u(t) = c 1 t + c 2 e t, t (1, ), je obecný tvar řešení. Koeficienty c 1 a c 2 pro příslušnou Cauchyovu úlohu spočítáme ze soustavy Je takže u(τ) = c 1 τ + c 2 e τ = ξ 1, u(τ) = c 1 + c 2 e τ = ξ 2. c 1 = 1 τ 1 (ξ 1 ξ 2 ), c 2 = e τ τ 1 (τξ 2 ξ 1 ), u(t; τ, (ξ 1, ξ 2 )) = 1 τ 1 (ξ 1 ξ 2 )t + e τ τ 1 (τξ 2 ξ 1 )e t = Hledanou standardní bázi řešení tvoří funkce t e t τ = ξ 1 τ 1 + ξ τe t τ t 2, t > 1. τ 1 u 1 (t; τ, (1, 0)) = t et τ τ 1, u 2(t; τ, (0, 1)) = τet τ t, t > 1. τ 1

46 KAPITOLA 2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE N TÉHO ŘÁDU 2.2.2 Lineární diferenciální rovnice n tého řádu s konstantními koeficienty Nyní se budeme zabývat homogenní lineární diferenciální rovnicí n tého řádu s konstantními koeficienty x (n) + a n 1 x (n 1) + + a 1 ẋ + a 0 x = 0, (2.28) kde všechny koeficienty a n 1,, a 1, a 0 jsou reálné konstanty. Podle definičního vztahu (2.10) je funkce u(t) řešením rovnice (2.28) na intervalu I právě tehdy, když splňuje rovnost u (n) (t) + a n 1 u (n 1) (t) + + a 1 u(t) + a 0 u(t) = 0 pro všechna t I. (2.29) Z této rovnosti vidíme, že funkce u(t) a její derivace jsou lineárně závislé. Takovou vlastnost má exponenciální funkce. Pokusíme se proto hledat řešení rovnice (2.28) ve tvaru exponenciální funkce Do vztahu (2.29) dosadíme derivace funkce (2.30) a dostaneme rovnost u(t) = e λt, t R. (2.30) λ n e λt + a n 1 λ n 1 e λt + + a 1 λe λt + a 0 e λt = 0. Po zkrácení nenulovým faktorem e λt dostaneme algebraickou rovnici n tého stupně λ n + a n 1 λ n 1 + + a 1 λ + a 0 = 0. (2.31) Vidíme, že funkce (2.30) vyhovuje podmínce (2.29) právě tehdy, když číslo λ je kořenem algebraické rovnice (2.31). Rovnice (2.31) se nazývá charakteristická rovnice, polynom na levé straně rovnice (2.31) se nazývá charakteristický polynom a kořeny charakteristického polynomu se nazývají charakteristické hodnoty rovnice (2.28). Z algebry víme, že algebraická rovnice n tého stupně s reálnými koeficienty má n kořenů, které mohou být jak reálné tak i komplexní, jednoduché nebo vícenásobné. Přitom platí, že když komplexní číslo λ = σ+iω je k násobným kořenem, pak také číslo komplexně sdružené λ = σ iω je k násobným kořenem. Nyní popíšeme tvar řešení rovnice (2.28) pro jednotlivé typy charakteristických hodnot. Je-li charakteristická hodnota λ reálné číslo, pak funkce (2.30) je řešením rovnice (2.28). Je-li charakteristická hodnota λ = σ + iω komplexní, pak funkce u(t) = e λt = e (σ+iω)t = e σt cos ωt + ie σt sin ωt, t R, (2.32) vyhovuje sice podmínce (2.29), ale není řešením rovnice (2.28), jelikož je to komplexní funkce. Abychom našli řešení i v tomto případě, dosadíme do vztahu (2.29) derivace funkce (2.32) u (k) (t) = dk k (eσt cos ωt) + i dk k (eσt sin ωt). Po rozdělení na reálnou a imaginární část zjistíme, že obě funkce e σt cos ωt, e σt sin ωt, t R, (2.33) splňují podmínku (2.29), a představují tedy dvě řešení rovnice (2.28) příslušející dvěma komplexně sdruženým charakteristickým hodnotám λ = σ + iω, λ = σ iω. Snadno se ukáže, že funkce (2.33) jsou lineárně nezávislé. Skutečně, má-li platit rovnost c 1 e σt cos ωt + c 2 e σt sin ωt = 0 pro všechna t R, pak po dosazení t = 0 dostaneme c 1 = 0 a po dosazení t = π/2ω dostaneme c 2 = 0, čímž je lineární nezávislost řešení (2.33) dokázána.

2.2. HOMOGENNÍ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 47 Zbývá najít řešení pro případ vícenásobných charakteristických hodnot. Je-li λ reálná k násobná charakteristická hodnota, pak jí přísluší k lineárně nezávislých řešení u 1 (t) = e λt, u 2 (t) = te λt,..., u k (t) = t k 1 e λt, t R. (2.34) Pro důkaz tohoto tvrzení viz např. 1 věta 10.15. My zde ověříme toto tvrzení pro rovnici druhého řádu. Aby rovnice ẍ + a 1 ẋ + a 0 x = 0 měla dvojnásobnou charakteristickou hodnotu λ, musí pro její koeficienty platit a 1 = 2λ, a 0 = λ 2. Podmínka (2.29) má pak tvar ü(t) 2λ u(t) + λ 2 u(t) = 0 pro všechna t R. Čtenář si přímým dosazením snadno ověří, že tuto podmínku splňuje jak funkce u(t) = e λt, tak i funkce u(t) = te λt. Důkaz lineární nezávislosti je rovněž jednoduchý, protože rovnost c 1 e λt + c 2 te λt = 0 pro všechna t R je ekvivalentní s rovností c 1 + c 2 t = 0 pro všechna t R, která je splněna pouze pro c 1 = c 2 = 0. Je-li charakteristická hodnota λ = σ + iω k násobná, pak funkce (2.34) splňují podmínku (2.29) i v tomto případě, a tedy funkce u 1 (t) = e σt cos ωt, v 1 (t) = e σt sin ωt, u 2 (t) = te σt cos ωt, v 2 (t) = te σt sin ωt, u k (t) = t k 1 e σt cos ωt, v k (t) = t k 1 e σt sin ωt, t R, (2.35) představují 2k lineárně nezávislých řešení rovnice (2.28). Důkaz tohoto tvrzení lze najít např. ve výše citovaném textu, lemma 10.19. Příklady 1. Hledejme řešení Cauchyovy úlohy ẍ + ẋ 2x = 0, x(0) = 2, ẋ(0) = 11. (2.36) Charakteristická rovnice λ 2 + λ 2 = 0 má dva různé reálné kořeny λ 1 = 1, λ 2 = 2. Těmto dvěma různým reálným charakteristickým hodnotám přísluší podle (2.30) dvě lineárně nezávislá řešení rovnice (2.36), a to u 1 (t) = e t, u 2 (t) = e 2t, t R. Obecným tvarem řešení rovnice (2.36) je dvouparametrický systém funkcí u(t, c 1, c 2 ) = c 1 e t + c 2 e 2t, t, c 1, c 2 R. (2.37) Abychom našli řešení Cauchyovy úlohy (2.36), musíme najít hodnoty koeficientů c 1, c 2. Ty najdeme podle (2.26) jako řešení soustavy lineárních algebraických rovnic u(0) = c 1 e 0 + c 2 e 2 0 = 2, u(0) = c 1 e 0 2c 2 e 2 0 = 11, takže c 1 = 5, c 2 = 3. Nalezené konstanty dosadíme do (2.37) a dostaneme hledané řešení Cauchyovy úlohy (2.36). Je to funkce u(t; 0, (2, 11)) = 5e t 3e 2t, t R. 1 Nagy, J.: Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic, SNTL Praha, 1978

48 KAPITOLA 2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE N TÉHO ŘÁDU 2. Hledejme řešení Cauchyovy úlohy ẍ 4ẋ + 4x = 0, x(τ) = 1, ẋ(τ) = 0. (2.38) Charakteristická rovnice λ 2 4λ + 4 = 0 má jeden dvojnásobný reálný kořen λ 1 = λ 2 = 2. Této reálné charakteristické hodnotě přísluší podle (2.34) dvě lineárně nezávislá řešení rovnice (2.38), a to u 1 (t) = e 2t, u 2 (t) = te 2t, t R. Obecným tvarem řešení rovnice (2.38) je dvouparametrický systém funkcí u(t, c 1, c 2 ) = c 1 e 2t + c 2 te 2t, t, c 1, c 2 R. (2.39) Abychom našli řešení Cauchyovy úlohy (2.38), musíme najít hodnoty koeficientů c 1, c 2. Ty najdeme podle (2.26) jako řešení soustavy lineárních algebraických rovnic u(0) = c 1 e 2τ + c 2 τe 2τ = 1, u(0) = 2c 1 e 2τ + c 2 (1 + 2τ)e 2τ = 0, takže c 1 = (1 + 2τ)e 2τ, c 2 = 2e 2τ. Nalezené konstanty dosadíme do (2.39) a dostaneme hledané řešení Cauchyovy úlohy (2.38). Je to funkce 3. Hledejme řešení Cauchyovy úlohy u(t; τ, ( 1, 0)) = [ 2(t τ) 1 ] e 2(t τ), t R. ẍ 2ẋ + 2x = 0, x(0) = ξ 1, ẋ(0) = ξ 2. (2.40) Charakteristická rovnice λ 2 2λ + 2 = 0 má dva komplexně sdružené kořeny λ 1 = 1 + i, λ 2 = 1 i. Těmto dvěma komplexně sdruženým charakteristickým hodnotám přísluší podle (2.33) dvě lineárně nezávislá řešení rovnice (2.40), a to u 1 (t) = e t cos t, u 2 (t) = e t sin t, t R. Obecným tvarem řešení rovnice (2.40) je dvouparametrický systém funkcí u(t, c 1, c 2 ) = e t (c 1 cos t + c 2 sin t), t, c 1, c 2 R. (2.41) Abychom našli řešení Cauchyovy úlohy (2.40), musíme najít hodnoty koeficientů c 1, c 2. Ty najdeme podle (2.26) jako řešení soustavy lineárních algebraických rovnic c 1 = ξ 1, c 1 + c 2 = ξ 2, takže c 1 = ξ 1, c 2 = ξ 2 ξ 1. Nalezené konstanty dosadíme do (2.41) a dostaneme hledané řešení Cauchyovy úlohy (2.40). Je to funkce u(t; 0, (ξ 1, ξ 2 )) = [ ξ 1 cos t + (ξ 2 ξ 1 ) sin t ] e t, t R. Úlohy Máme najít řešení Cauchyovy úlohy 1. ẍ + ẋ 2x = 0, x(0) = 0, ẋ(0) = 3. [u(t; 0, (0, 3)) = e t e 2t, t R.] 2. ẍ + 8ẋ + 15x = 0, x(0) = 2, ẋ(0) = 2. [u(t; 0, ( 2, 2)) = 2e 5t 4e 3t, t R.] 3. ẍ 5ẋ + 6x = 0, x(0) = 1, ẋ(0) = 3. [u(t; 0, (1, 3)) = e 3t, t R.]

2.2. HOMOGENNÍ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 49 4. ẍ + 8ẋ + 16x = 0, x(0) = 4, ẋ(0) = 0. [u(t; 0, (4, 0)) = (4 + 16t)e 4t, t R.] 5. ẍ 6ẋ + 9x = 0, x(0) = 0, ẋ(0) = 13. [u(t; 0, (0, 13)) = 13te 3t, t R.] 6. ẍ + x = 0, x(0) = 3, ẋ(0) = 4. [u(t; 0, (3, 4)) = 3 cos t + 4 sin t, t R.] 7. ẍ + 4x = 0, x(0) = 1, ẋ(0) = 4. [u(t; 0, (1, 4)) = cos 2t 2 sin 2t, t R.] 8. ẍ + 6ẋ + 13x = 0, x(0) = 0, ẋ(0) = 2. [u(t; 0, (0, 2)) = e 3t sin 2t, t R.] 9. ẍ 2ẋ + 5x = 0, x(π/2) = 0, ẋ(π/2) = 1. [u(t; π/2, (0, 1)) = 1 2 et π/2 sin 2t, t R.] 2.2.3 Snižování řádu rovnice Popis metody V předchozích úvahách jsme úlohu řešit homogenní rovnici převedli na úlohu najít bázi řešení této rovnice. Pro hledání báze řešení neexistují, bohužel, žádné obecné metody. Známe-li však jedno netriviální řešení homogenní rovnice 2. řádu, můžeme tuto rovnici převést na rovnici 1. řádu. Používá se k tomu algoritmus snižování řádu rovnice, který nyní popíšeme. Nechť v(t) je známé nenulové řešení homogenní rovnice ẍ + a 1 (t)ẋ + a 0 (t)x = 0. (2.42) V této rovnici provedeme záměnu proměnné x za novou proměnnou y pomocí vztahu Dostaneme rovnost a po zřejmé úpravě x = v(t)y. (2.43) v(t)y + 2 v(t)ẏ + v(t)ÿ + a 1 (t)[ v(t)y + v(t)ẏ] + a 0 (t)v(t)y = 0, v(t)ÿ + [2 v(t) + a 1 (t)v(t)]ẏ + [ v(t) + a 1 (t) v(t) + a 0 (t)v(t)]y = 0. Podle předpokladu je funkce v(t) řešením homogenní rovnice, a tedy koeficient u y je roven nule. Dostali jsme tak rovnici ÿ + 2 v(t) + a 1(t)v(t) ẏ = 0. v(t) Provedeme v ní další záměnu proměnné y za novou proměnnou z, která vede na rovnici 1. řádu m této rovnice je funkce z(t) = exp ż + 2 v(t) + a 1(t)v(t) v(t) ẏ = z, (2.44) z = 0. ( ) 2 v(t) + a1 (t)v(t), t I. (2.45) v(t) Vrátíme-li se nyní přes transformace (2.44), (2.43), můžeme psát y(t) = z(t), x(t) = v(t)y(t), t I. (2.46) v(t) a x(t) jsou lineárně nezávislá. Tvoří bázi řešení homogenní rovnice (2.42). Příklady

50 KAPITOLA 2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE N TÉHO ŘÁDU 1. Máme najít bázi řešení rovnice ẍ známe-li jedno její řešení u(t) = e t, t > 1. t t 1 ẋ + 1 t 1 x = 0, t > 1, V rovnici provedeme transformaci proměnné x = e t y. Po dosazení a jednoduchých úpravách dostaneme rovnici ( ÿ + 1 1 ) ẏ = 0. t 1 Další transformace proměnné z = ẏ vede na rovnici 1. řádu ( ż + 1 1 ) z = 0, t 1 mající řešení [ ( z(t) = exp 1 1 ) ] = e t+ln(t 1) = (t 1)e t, t > 1. t 1 Pak y(t) = z(t) = (t 1)e t = te t, t > 1. Konečně, hledané druhé řešení je x(t) = e t y(t) = e t ( te t ) = t, t > 1. Hledanou bázi řešení pak tvoří například funkce e t a t, t > 1. 2. Jako příklad ukažme, jak se dá snížit řád rovnice 3. řádu na rovnici 1. řádu, známe-li dvě lineárně nezávislá řešení. Budeme hledat bázi řešení lineární diferenciální rovnice... x + a 2 (t)ẍ + a 1 (t)ẋ + a 0 (t)x = 0, t I, (2.47) známe-li dvě lineárně nezávislá řešení v 1 (t) > 0 a v 2 (t) > 0. Substitucí x = yv 1, a tedy ẋ = ẏv 1 + y v 1, ẍ = ÿv 1 + 2ẏ v 1 + y v 1,... x =... y v 1 + 3ÿ v 1 + 3ẏ v 1 +... y v 1 převedeme rovnici (2.47) na rovnici v 1... y + (3 v 1 + a 2 v 1 )ÿ + (3 v 1 + 2a 2 v 1 + a 1 v 1 )ẏ + (... v 1 + a 2 v 1 + a 1 v 1 + a 0 v 1 )y = 0. Vidíme, že koeficient u y je nulový, neboť funkce v 1 je řešením rovnice (2.47). Nyní substitucí z = ẏ dostáváme rovnici z + 3 v 1 + a 2 v 1 ż + 3 v 1 + 2a 2 v 1 + a 1 v 1 z = 0. (2.48) v 1 v 1 Jelikož je y = x, je z(t) = ẏ(t) = d ( ) x(t), takže z dvou známých řešení v 1 (t) a v 2 (t) zadané v 1 v 1 (t) rovnice můžeme sestavit jedno řešení rovnice (2.48), a to w(t) = d ( ) v2 (t). v 1 (t) V rovnici (2.48) provedeme opět substituci z = wu, ż = ẇu + w u, z = ẅu + 2ẇ u + wü a po jednoduché úpravě dostaneme rovnici ( 2ẇ ü + w + 3 v ) 1 + a 2 v 1 u = 0. v 1

2.3. NEHOMOGENNÍ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 51 Oud pomocí substituce q = u dostaneme lineární diferenciální rovnici 1. řádu ( q + 2 ẇ w + 3 v ) 1 + a 2 v 1 q = 0, v 1 jejímž řešením je například funkce q(t) = 1 w 2 (t)v1 3(t) e a 2(t). Převedeme nyní toto nalezené řešení q na hledané třetí řešení x(t) rovnice (2.47) pomocí zpětných substitucí. Je (vynecháváme drobnější úpravy) u(t) = q(t), z(t) = w(t)u(t) = d ( ) v2 (t) v 1 (t) q(t), y(t) = z(t) = v 2(t) v 1 (t) v2 (t) q(t) q(t), v 1 (t) x(t) = v 1 (t)y(t) = v 2 (t) v2 (t) q(t) v 1 (t) q(t). v 1 (t) 2.3 Nehomogenní lineární diferenciální rovnice Klíčová slova: obecný tvar řešení nehomogenní rovnice, partikulární řešení, kvázipolynomiální pravá strana, metoda odhadu, metoda variace konstant 2.3.1 Struktura prostoru řešení nehomogenní rovnice Struktura řešení Naše úvahy budeme provádět nejdříve pro rovnice 2. řádu. Nechť u 1 (t) a u 2 (t) je libovolný fundamentální systém řešení homogenní lineární diferenciální rovnice 2. řádu Pak kromě jiného platí rovnosti ẍ + a 1 (t)ẋ + a 0 (t)x = 0. (2.49) ü 1 (t) + a 1 (t) u 1 (t) + a 0 (t)u 1 (t) = 0, ü 2 (t) + a 1 (t) u 2 (t) + a 0 (t)u 2 (t) = 0. (2.50) Z rovnosti (2.25) víme, že každé řešení této rovnice má tvar u(t; c 1, c 2 ) = c 1 u 1 (t) + c 2 u 2 (t), kde c 1 a c 2 jsou vhodné reálné konstanty. S podobnou situací se setkáváme i u nehomogenní rovnice ẍ + a 1 (t)ẋ + a 0 (t)x = b(t), t I. (2.51) Množina všech řešení nehomogenní rovnice (2.51) netvoří sice vektorový prostor, (nepatří do ní např. nulová funkce, protože nehomogenní rovnice nemá triviální řešení), přesto však zde jistá analogie s homogenní rovnicí je. Je-li totiž w(t) jedno libovolné řešení nehomogenní rovnice (2.51), pak každé její řešení v(t) lze psát ve tvaru v(t; c 1, c 2 ) = c 1 u 1 (t) + c 2 u 2 (t) + w(t), t I, (2.52) kde c 1 a c 2 jsou reálné konstanty. Důkaz tohoto tvrzení je obdobný jako u každé lineární rovnice. Dosazením do rovnice (2.51) se snadno přesvědčíme, že (2.52) je řešením. Dále nechť je v(t) libovolné řešení rovnice (2.51). Pak rozdíl v(t) w(t) je řešením homogenní rovnice, a tedy existují konstanty c 1, c 2 R takové, že v(t) w(t) = c 1 u 1 (t) + c 2 u 2 (t).

52 KAPITOLA 2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE N TÉHO ŘÁDU Nyní stačí psát v(t) = v(t; c 1, c 2 ). Funkci (2.52) nazýváme obecným tvarem řešení (také obecným řešením) nehomogenní rovnice (2.52). Ukažme, že pro jakkoli zvolené počáteční údaje τ, ξ 1, ξ 2 lze určit hodnoty koeficientů c 1 a c 2 tak, že příslušná funkce v(t) bude řešením Cauchyovy úlohy ẍ + a 1 (t)ẋ + a 0 (t)x = b(t), x(τ) = ξ 1, ẋ(τ) = ξ 2. (2.53) Podobně jako jsme postupovali u homogenní rovnice, i nyní vytvoříme pomocí počátečních údajů τ, ξ 1, ξ 2 a rovnosti (2.52) soustavu dvou lineárních algebraických rovnic v(τ; c 1, c 2 ) = c 1 u 1 (τ) + c 2 u 2 (τ) + w(τ) = ξ 1, v(τ; c 1, c 2 ) = c 1 u 1 (τ) + c 2 u 2 (τ) + ẇ(τ) = ξ 2, jejíž matice je opět, jako v případě homogenní rovnice, Wronského matice, a je tedy regulární. Z této soustavy můžeme nyní jednoznačně vyjádřit hledané hodnoty koeficientů c 1 a c 2 a dosadit je do (2.52). Všechny pojmy a tvrzení tohoto odstavce se velice přirozeně dají přenést na lineární diferenciální rovnice obecně n tého řádu. Příslušné modifikace formulací přenecháváme čtenáři. 2.3.2 Metoda odhadu Metoda odhadu pro b(t) = Q r (t)e σt V předchozím odstavci jsme ukázali, že k získání obecného tvaru řešení nehomogenní rovnice potřebujeme znát jedno její konkrétní (říká se také partikulární) řešení. Nyní popíšeme metodu odhadu tvaru řešení, která umožňuje pro jistou poměrně rozsáhlou a z hlediska praktického použití významnou třídu pravých stran takové řešení najít. Jde o pravé strany vytvořené jako součty součinů funkcí t k, e σt, sin ωt a cos ωt. Takové funkce nazýváme kvázipolynomy a mluvíme pak o diferenciální rovnici s kvázipolynomiální pravou stranou. Budeme hledat partikulární řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice n tého řádu s konstantními koeficienty x (n) + a n 1 x (n 1) + + a 1 ẋ + a 0 x = Q r (t)e σt, (2.54) kde všechny koeficienty a n 1,, a 1, a 0 jsou reálné konstanty, Q r (t) je polynom stupně r. Důležitou roli při hledání odhadu tvaru partikulárního řešení hraje exponent σ exponenciální funkce na pravé straně. Tvar odhadu totiž závisí na tom, zda toto číslo σ je či není charakteristickou hodnotou příslušné homogenní rovnice. V případě, že je charakteristickou hodnotou, závisí na její násobnosti. V dalším textu budeme v této souvislosti říkat, že číslo σ je k násobná charakteristická hodnota, přičemž v případě, že σ není charakteristickou hodnotou, klademe k = 0. V souladu s definicí (2.10) je reálná funkce w(t) řešením rovnice (2.54) právě tehdy, když splňuje rovnost w (n) (t) + a n 1 w (n 1) (t) + + a 1 ẇ(t) + a 0 w(t) = Q r (t)e σt pro všechna t R. (2.55) Dosadíme-li do levé strany diferenciální rovnice (2.54) za x a jeho derivace funkci t j e σt a její derivace, dostaneme pro j < k nulovou funkci a pro j k funkci tvaru p(t)e σt, kde p(t) je polynom stupně j k. Můžeme tedy partikulární řešení rovnice (2.54) hledat ve tvaru w(t) = t k R(t)e σt, t R, (2.56) kde R(t) je polynom stupně r, jehož koeficienty můžeme najít např. metodou neurčitých koeficientů. Analogicky postupujeme i při řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice n tého řádu s konstantními koeficienty x (n) + a n 1 x (n 1) + + a 1 ẋ + a 0 x = s Q rj (t)e σjt, (2.57) j=1

2.3. NEHOMOGENNÍ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 53 kde Q rj (t), j = 1, 2,..., s, je polynom stupně r j a σ j je k j násobná charakteristická hodnota. V tomto případě můžeme úlohu (2.57) převést na s úloh typu (2.55). Snadno se totiž ověří, že pro lineární rovnice platí toto tvrzení: Jsou-li funkce w j (t) pro j = 1, 2,..., s řešeními rovnice x (n) + a n 1 x (n 1) + + a 1 ẋ + a 0 x = g j (t), j = 1, 2,..., s, (2.58) pak funkce w(t) = w 1 (t) + w 2 (t) + + w s (t) je řešením rovnice x (n) + a n 1 x (n 1) + + a 1 ẋ + a 0 x = g 1 (t) + g 2 (t) + + g s (t). (2.59) Tato vlastnost lineárních rovnic se také nazývá princip superpozice. Podle tohoto tvrzení stačí najít pro každé j = 1, 2,..., s řešení w j (t) rovnice (2.55) s Q r (t)e σt = Q rj (t)e σjt a součet w 1 (t) + w 2 (t) + + w s (t) takto nalezených řešení bude řešením rovnice (2.57). Často však postupujeme při výpočtu tak, že i řešení rovnice (2.57) hledáme najednou ve tvaru w(t) = t k1 R 1 (t)e σ1t + t k2 R 2 (t)e σ2t + + t ks R s (t)e σst, t R, (2.60) kde R j (t) je polynom stupně r j a σ j je k j násobná charakteristická hodnota. Příklady 1. Máme najít obecný tvar řešení rovnice ẍ + 2ẋ + x = te t. (2.61) Hledáme obecný tvar řešení nehomogenní rovnice s kvázipolynomiální pravou stranou typu (2.54). Nejdříve najdeme fundamentální systém řešení příslušné homogenní rovnice. Charakteristická rovnice λ 2 + 2λ + 1 = 0 má dvojnásobný kořen λ = 1, a tedy fundamentální systém je tvořen funkcemi e t, te t. Jelikož koeficient σ = 1 v exponentu pravé strany je dvojnásobným kořenem charakteristické rovnice, hledáme partikulární řešení w(t) podle (2.56) ve tvaru Vypočteme první a druhou derivaci w(t) = t 2 (at + b)e t = (at 3 + bt 2 )e t. (2.62) ẇ(t) = (2bt + 3at 2 bt 2 at 3 )e t, ẅ(t) = (2b + 6at 4bt 6at 2 + bt 2 + at 3 )e t a dosadíme do rovnice (2.61). Po jednoduché úpravě dostaneme rovnost (2b + 6at)e t = te t. Oud porovnáním koeficientů u stejných funkcí dostaneme rovnice 6a = 1, 2b = 0. Je tedy a = 1 6, b = 0. Dosadíme do (2.62) a dostaneme partikulární řešení w(t) = 1 6 t3 e t, t R. Obecným tvarem řešení rovnice (2.61) je tedy dvouparametrický systém funkcí v(t; c 1, c 2 ) = c 1 e t + c 2 te t + 1 6 t3 e t, t, c 1, c 2 R. 2. Máme najít obecný tvar řešení rovnice... x 2ẋ + 4x = te 2t. (2.63)

54 KAPITOLA 2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE N TÉHO ŘÁDU Hledáme obecný tvar řešení nehomogenní rovnice s kvázipolynomiální pravou stranou typu (2.54). Nejdříve najdeme fundamentální systém řešení příslušné homogenní rovnice. Charakteristická rovnice λ 3 2λ+4 = 0 má tři jednoduché kořeny λ 1 = 2, λ 2 = 1+i, λ 3 = 1 i, a tedy fundamentální systém je tvořen funkcemi e 2t, e t cos t, e t sin t. Jelikož koeficient σ = 2 v exponentu pravé strany je jednoduchým kořenem charakteristické rovnice, hledáme partikulární řešení w(t) podle (2.56) ve tvaru w(t) = t(at + b)e 2t = (at 2 + bt)e 2t. (2.64) Vypočteme první, druhou a třetí derivaci funkce w(t) a dosadíme do rovnice (2.63). Po jednoduché úpravě dostaneme rovnost (20at 12a + 10b)e 2t = te 2t. Zkrátíme exponenciální funkcí a porovnáme koeficienty u stejných mocnin. Dostaneme rovnice 12a 10b = 0, 20a = 1. Je tedy a = 1 20, b = 3. Dosadíme do (2.64) a dostaneme partikulární řešení 50 w(t) = 1 100 (6t + 5t2 )e 2t, t R. Obecným tvarem řešení rovnice (2.63) je tedy tříparametrický systém funkcí v(t; c 1, c 2, c 3 ) = c 1 e 2t + c 2 e t cos t + c 3 e t sin t + 1 100 (6t + 5t2 )e 2t, t, c 1, c 2, c 3 R. 3. Máme najít obecný tvar řešení rovnice ẍ ẋ = e t + e 2t + t. (2.65) Hledáme obecný tvar řešení nehomogenní rovnice s kvázipolynomiální pravou stranou typu (2.57) s s = 3, r 1 = r 2 = 0, r 3 = 1, σ 1 = 1, σ 2 = 2, σ 3 = 0. Nejdříve najdeme fundamentální systém řešení příslušné homogenní rovnice. Charakteristická rovnice λ 2 λ = 0 má kořeny λ 1 = 0, λ 2 = 1, a tedy fundamentální systém je tvořen funkcemi 1 a e t. Exponenty σ 1 = 1 a σ 3 = 0 jsou jednoduchými charakteristickými hodnotami, takže partikulární řešení w(t) hledáme podle (2.60) ve tvaru w(t) = tae t + be 2t + t(ct + d). (2.66) Vypočteme první a druhou derivaci funkce w(t) a dosadíme do rovnice (2.65). Po jednoduché úpravě dostaneme rovnost (a 1)e t + (2b 1)e 2t (2c + 1)t d + 2c = 0. (2.67) Jelikož funkce e t, e 2t, t, 1 jsou lineárně nezávislé, musí být koeficienty v lineární kombinaci (2.67) vesměs nulové. Je tedy a = 1, b = 1 2, c = 1, d = 1. Dosadíme do (2.66) a dostaneme partikulární 2 řešení w(t) = te t + 1 2 e2t 1 2 t2 t, t R. Obecným tvarem řešení rovnice (2.65) je tedy dvouparametrický systém funkcí v(t; c 1, c 2 ) = c 1 + c 2 e t + te t + 1 2 e2t 1 2 t2 t, t, c 1, c 2 R. Úlohy 1. Uveďte, v jakém tvaru budete hledat partikulární řešení následujících rovnic. (a) ẍ 5ẋ + 6x = 3t 3 + 8t. [w(t) = at 3 + bt 2 + ct + d.] (b) ẍ 3ẋ + 2x = te 2t + e t. [w(t) = t(at + b)e 2t + ce t.] (c)... x + ẍ = 1 2t + te t. [w(t) = t 2 (at + b) + t(ct + d)e t.]

2.3. NEHOMOGENNÍ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 55 (d)... x + 2ẍ + ẋ = 1 + 2t 2 e t. [w(t) = at + (bt 2 + ct + d)e t.] (e)... x 3ẍ + 3ẋ x = (1 t)e t + 2. [w(t) = t 3 (at + b)e t + c.] 2. Máme najít obecný tvar řešení následujících rovnic. (a) ẍ 3ẋ + 2x = 2t 3 30. [ v(t; c 1, c 2 ) = c 1 e t + c 2 e 2t + 1 ] 4 (4t3 + 18t 2 + 42t 15), t, c 1, c 2 R. (b) ẍ 4ẋ + 4x = 3e 2t + e t + 1. [ v(t; c 1, c 2 ) = (c 1 + c 2 t)e 2t + 3 2 t2 e 2t + 1 9 e t + 1 ] 4, t, c 1, c 2 R. (c) ẍ + x = 2t 3 t + 2 2e t [v(t; c 1, c 2 ) = c 1 cos t + c 2 sin t + 2t 3 13t + 2 e t, t, c 1, c 2 R.] (d)... x 3ẋ + 2x = (4t 2 + 4t 10)e t. [v(t; c 1, c 2, c 3 ) = (c 1 + c 2 t)e t + c 3 e 2t + (t 2 + t 1)e t, t, c 1, c 2, c 3 R.] (e)... x 6ẍ + 11ẋ 6x = 12t 2 e 3t e 2t. [v(t; c 1, c 2, c 3 ) = c 1 e t + c 2 e 2t + c 3 e 3t + (2t 3 9t 2 + 21t)e 3t + te 2t, t, c 1, c 2, c 3 R.] 3. Nalezněte řešení následujících Cauchyových úloh. (a) ẍ ẋ = 2(1 t), x(0) = 1, ẋ(0) = 1. (b) ẍ + ẋ = 2t 3, x(0) = 0, ẋ(0) = 1. [u(t; 0, (1, 1)) = e t + t 2, t R.] [u(t; 0, (0, 1)) = 6(1 e t ) + t 2 5t, t R.] (c) ẍ + 6ẋ + 9x = (2t + 1)e t, x(0) = 5, ẋ(0) = 1 8. [u(t; 0, (5, 1 8 )) = e 3t (5 + 15t) + 1 8 tet, t R.] (d) ẍ 2ẋ = (t 2 + t 3)e t, x(0) = ẋ(0) = 2. [u(t; 0, (2, 2)) = e 2t (t 2 + t 1)e t, t R.] [ ] (e) ẍ 4x = 4e 2t, x(0) = ẋ(0) = 0. u(t; 0, (0, 0)) = te 2t sinh 2t, t R. 2 (f) ẍ + x = t 3 + 6t + e t, x(0) = ẋ(0) = 0. [ u(t; 0, (0, 0)) = t 3 + 1 ( sin t cos t + e t ) ], t R. 2 (g)... x ẋ = 6 3t 2, x(0) = ẋ(0) = ẍ(0) = 1. [u(t; 0, (1, 1, 1)) = t 3 + e t, t R.] Metoda odhadu pro b(t) = Q r (t) cos ωt Postupem popsaným výše můžeme hledat také partikulární řešení rovnice resp. x (n) + a n 1 x (n 1) + + a 1 ẋ + a 0 x = Q r (t) cos ωt, (2.68) x (n) + a n 1 x (n 1) + + a 1 ẋ + a 0 x = Q r (t) sin ωt, (2.69) kde Q r je polynom r tého stupně a ω je libovolné reálné číslo. Vyjdeme-li z rovnosti Q r (t)e iωt = Q r (t) cos ωt + iq r (t) sin ωt, (2.70) pak vidíme, že pravá strana rovnice (2.68), resp. (2.69) je reálná, resp. imaginární složka funkce (2.70). Nalezneme-li komplexní funkci z(t), která vyhovuje rovnici x (n) + a n 1 x (n 1) + + a 1 ẋ + a 0 x = Q r (t)e iωt, (2.71)

56 KAPITOLA 2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE N TÉHO ŘÁDU pak reálná, resp. imaginární složka funkce z(t) bude řešením rovnice (2.68), resp. (2.69). Přitom funkci z(t) hledáme ve tvaru z(t) = t k R(t)e iωt, t R, (2.72) kde R(t) je polynom stupně r, jehož komplexní koeficienty můžeme najít např. metodou neurčitých koeficientů a k je násobnost čísla iω jako kořene charakteristické rovnice. rovnice (2.68) i rovnice (2.69) má tvar kde R 1 (t), R 2 (t) jsou vhodné polynomy. Analogicky postupujeme i v případě rovnice w(t) = R 1 (t) cos ωt + R 2 (t) sin ωt, (2.73) x (n) + a n 1 x (n 1) + + a 1 ẋ + a 0 x = Q r (t)e σt cos ωt, (2.74) resp. V těchto případech hledáme řešení ve tvaru x (n) + a n 1 x (n 1) + + a 1 ẋ + a 0 x = Q r (t)e σt sin ωt. (2.75) z(t) = t k R(t)e (σ+iω)t, t R, (2.76) kde R(t) je opět polynom stupně r, jehož komplexní koeficienty můžeme najít např. metodou neurčitých koeficientů a k je násobnost čísla σ + iω jako kořene charakteristické rovnice. Pro řešení rovnic tohoto typu platí následující tvrzení. Nechť je dána nehomogenní lineární diferenciální rovnice x (n) + a n 1 x (n 1) + + a 1 ẋ + a 0 x = P r (t)e σt cos ωt + Q s (t)e σt sin ωt, (2.77) kde P r (t), resp. Q s (t) je polynom s reálnými koeficienty stupně r, resp. s, čísla σ, ω jsou reálná, ω 0, číslo σ + iω je k násobným kořenem charakteristické rovnice. Pak rovnice (2.77) má řešení ve tvaru w(t) = R 1 (t)t k e σt cos ωt + R 2 (t)t k e σt sin ωt, (2.78) kde R 1 (t), R 2 (t) jsou polynomy s reálnými koeficienty, jejichž stupeň je roven většímu ze stupňů r, s polynomů P r (t), Q s (t). Příklady 1. Máme najít obecný tvar řešení rovnice ẍ + x = sin t. (2.79) Máme najít obecný tvar řešení nehomogenní rovnice s kvázipolynomiální pravou stranou typu (2.69). Nejdříve najdeme fundamentální systém řešení příslušné homogenní rovnice. Charakteristická rovnice λ 2 + 1 = 0 má dva komplexně sdružené kořeny λ 1 = i, λ 2 = i, a tedy fundamentální systém je tvořen funkcemi cos t, sin t. Jelikož koeficient iω = i v exponentu pravé strany je kořenem charakteristické rovnice, hledáme partikulární řešení jako imaginární část komplexní funkce z(t) podle (2.76) ve tvaru z(t) = ate it, (2.80)

2.3. NEHOMOGENNÍ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 57 vyhovující rovnici ẍ + x = e it. (2.81) Vypočteme první a druhou derivaci funkce z(t) a dosadíme do rovnice (2.81). Po jednoduché úpravě zjistíme, že musí platit a = i/2. Je tedy z(t) = i t 2 eit = t 2 sin t i t 2 cos t, t R. Partikulárním řešením rovnice (2.79) je imaginární složka funkce z(t), tj. funkce w(t) = t 2 cos t, t R. Obecným tvarem řešení rovnice (2.79) je tedy dvouparametrický systém funkcí v(t; c 1, c 2 ) = c 1 cos t + c 2 sin t t 2 cos t, t, c 1, c 2 R. w(t) jsme mohli hledat také přímo v reálném tvaru w(t) = at cos t + bt sin t. Po dosazení ẅ(t) a w(t) do rovnice (2.79) za ẍ a x a po jednoduché úpravě dostaneme rovnost (1 + 2a) sin t 2b cos t = 0 pro všechna t R. Protože funkce sin t a cos t jsou lineárně nezávislé, musí platit 1 + 2a = 0, 2b = 0, takže opět dostáváme w(t) = (t/2) cos t. 2. Máme najít obecný tvar řešení rovnice ẍ + x = (4t + 2) cos t + 6 sin t. (2.82) rovnice (2.82) můžeme hledat buď pomocí principu superpozice tak, že hledáme řešení rovnic typu (2.68), resp. (2.69) pro každého sčítance na pravé straně zvlášť, nebo ho hledáme jako pro rovnici (2.77) podle vzorce (2.78) ve tvaru w(t) = t(at + b) cos t + t(ct + d) sin t. Dosadíme-li hodnoty w(t) a ẅ(t) do rovnice (2.82) za x a ẍ, dostaneme po jednoduché úpravě rovnost 4(c 1)t cos t + 2(a + d 1) cos t 4at sin t + (2c 2b 6) sin t = 0 pro všechna t R. Funkce t cos t, cos t, t sin t, sin t jsou lineárně nezávislé, takže koeficienty lineární kombinace musí být rovny nule. Oud plyne a = 0, b = 2, c = d = 1. w(t) má tedy tvar Hledaný obecný tvar řešení je pak w(t) = (t 2 + t) sin t 2t cos t, t R. v(t; c 1, c 2 ) = c 1 cos t + c 2 sin t + (t 2 + t) sin t 2t cos t, t, c 1, c 2 R. 3. Máme najít obecný tvar řešení rovnice ẍ 3ẋ + 2x = 10e t cos 2t. (2.83) Obecný tvar řešení homogenní rovnice je c 1 e t + c 2 e 2t. Partikulární řešení w(t) hledáme podle (2.72) jako reálnou složku komplexní funkce z(t) = ae (1+2i)t, (2.84)

58 KAPITOLA 2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE N TÉHO ŘÁDU kde a je nějaké komplexní číslo, které dostaneme tak, že do rovnice (2.83) dosadíme hodnoty w(t), ẇ(t), ẅ(t) za x, ẋ, ẍ. Standardním postupem tak dostaneme a = 2 + i. Je tedy takže z(t) = ( 2 + i)e (1+2i)t = e t (2 cos 2t + sin 2t) ie t (2 sin 2t cos 2t), Hledaný obecný tvar řešení rovnice (2.83) je w(t) = e t (2 cos 2t + sin 2t), t R. v(t; c 1, c 2 ) = c 1 e t + c 2 e 2t e t (2 cos 2t + sin 2t), t R. Úlohy 1. Uveďte, v jakém tvaru budete hledat partikulární řešení následujících rovnic; zde Rz, resp. Iz je reálná, resp. imaginární, část komplexního čísla z. (a) ẍ + 4ẋ + 3x = e t cos t + 5 sin 3t. [w(t) = R(pe ( 1+i)t ) + I(qe 3it ) = ae t cos t + be t sin t + c cos 3t + d sin 3t.] (b) ẍ + 6ẋ + 10x = e 3t + 2e 3t cos t. [w(t) = R ( pe 3t + tqe (3+i)t) = ae 3t + bte 3t cos t + cte 3t sin t.] (c)... x + 4ẍ + 5ẋ + 2x = e t cos 2t + te 2t sin t. [ ] w(t) = R(pe ( 1+2i)t ) + I((qt + r)e ( 2+i)t ) = = ae t cos 2t + be t sin 2t + (ct + d)e 2t sin t + (ft + g)e 2t cos t. (d)... x + 2ẍ + ẋ = sin 2 t + e t cosh t. [w(t) = R(pt + qe 2t + re 2it ) = at + be 2t + c sin 2t + d cos 2t.] 2. Máme najít obecný tvar řešení následujících rovnic. (a) ẍ + x = 6 sin 2t. (b) ẍ + 4x = sin 2t. (c) ẍ x = 2 sin t 4 cos t. [v(t; c 1, c 2 ) = c 1 cos t + c 2 sin t 2 sin 2t, t, c 1, c 2 R.] [v(t; c 1, c 2 ) = c 1 cos 2t + c 2 sin 2t 1 4 t cos 2t, t, c 1, c 2 R.] [v(t; c 1, c 2 ) = c 1 e t + c 2 e t + 2 cos t sin t, t, c 1, c 2 R.] (d) ẍ x = cos 2 t. [v(t; c 1, c 2 ) = c 1 e t + c 2 e t 1 10 (cos 2t + 5), t, c 1, c 2 R.] (e) ẍ + x = cos t + cos 2t. [v(t; c 1, c 2 ) = c 1 cos t + c 2 sin t + 1 6 (3t sin t 2 cos 2t), t, c 1, c 2 R.] (f) ẍ + x = 2 sin t + 4t cos t. [v(t; c 1, c 2 ) = c 1 cos t + c 2 sin t + t 2 sin t, t, c 1, c 2 R.] (g) ẍ + 9x = 32(1 + t) sin t + 12 sin 3t + 6 cos 3t. [ v(t; c1, c 2 ) = c 1 cos 3t + c 2 sin 3t + 4(1 + t) sin t cos t+ +t sin 3t 2t cos 3t, t, c 1, c 2 R. (h) ẍ 4x = (4 4t)e t cos t (2t + 6)e t sin t. [v(t; c 1, c 2 ) = c 1 e 2t + c 2 e 2t + te t cos t + e t sin t, t, c 1, c 2 R.] (i) ẍ 2ẋ + 2x = 2e t cos t 4te t sin t. [v(t; c 1, c 2 ) = c 1 e t cos t + c 2 e t sin t + t 2 e t cos t, t, c 1, c 2 R.] (j) ẍ + 4ẋ + 5x = e 2t (1 + 2 cos t) + e t (3 5t) sin t + 32t 2 cos t. [ v(t; c1, c 2 ) = e 2t (c 1 cos t + c 2 sin t) + e 2t (1 + t sin t) + e t (2t 4) cos t e t (t 1) sin t + (4t 2 4t + 1) cos t + (4t 2 8t + 5) sin t, t, c 1, c 2 R. (k) ẍ + 5ẋ + 4x = 32 cos 4t + 8 sin 4t + 3t sin t + 5(t + 1) cos t. [v(t; c 1, c 2 ) = c 1 e t + c 2 e 4t + sin 4t cos 4t + t sin t + cos t, t, c 1, c 2 R.] (l)... x + 2ẍ + 5ẋ = e t (4 sin 2t 8 cos 2t). [v(t; c 1, c 2 ) = c 1 + e t (c 2 cos 2t + c 3 sin 2t) + te t cos 2t, t, c 1, c 2, c 3 R.] ] ]

2.3. NEHOMOGENNÍ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 59 (m)... x 3ẍ + 3ẋ x = 6e t + t 3 + 4 sin t. [ v(t; c1, c 2 ) = e t (c 1 + c 2 t + c 3 t 2 ) + t 3 e t t 3 9t 2 36t 60+ + sin t cos t, t, c 1, c 2, c 3 R. 3. Nalezněte řešení následujících Cauchyových úloh. (a) ẍ + x = 6 sin 2t, x(0) = 0, ẋ(0) = 4. (b) ẍ + 4x = 2 cos 2t, x(0) = 0, ẋ(0) = 4. (c) ẍ + 9x = 5 cos 3t, x(0) = 2, ẋ(0) = 1. (d) ẍ + 4x = sin 2t, x(0) = 0, ẋ(0) = 0. (e) ẍ + x = cos t + sin 2t, x(0) = 0, ẋ(0) = 0. (f) ẍ + x = sin 2t, x(0) = 0, ẋ(0) = 0. 2.3.3 Metoda variace konstant [u(t; 0, (0, 4)) = 2 sin 2t, t R.] [u(t; 0, (0, 4)) = 1 2 (t + 4) sin 2t, t R.] [u(t; 0, (2, 1)) = 2 cos 3t 1 3 sin 3t + 5 6t sin 3t, t R.] [u(t; 0, (0, 0)) = 1 8 (sin 2t 2t cos 2t), t R.] [u(t; 0, (0, 0)) = 1 6 ((3t + 4) sin t 2 sin 2t), t R.] [u(t; 0, (0, 0)) = 1 3 (2 sin t sin 2t), t R.] V předchozích odstavcích jsme ukázali, jak se dá najít partikulární řešení nehomogenní rovnice v případě, že pravá strana je kvázipolynom. Nyní popíšeme metodu variace konstant, která umožňuje takové řešení najít i v některých obecnějších případech. Z metodických důvodů budeme tento algoritmus popisovat pro rovnici 3. řádu... x + a 2 (t)ẍ + a 1 (t)ẋ + a 0 (t)x = b(t), (2.85) kde předpokládáme, že všechny koeficienty a k (t) i pravá strana b(t) jsou definované a spojité na nějakém intervalu I. Vycházíme z předpokladu, že funkce u 1 (t), u 2 (t) a u 3 (t) tvoří bázi řešení příslušné homogenní rovnice, tj. že kromě jiného platí... u k (t) + a 2 (t)ü k (t) + a 1 (t) u k (t) + a 0 (t)u k (t) = 0 pro všechna t I, k = 1, 2, 3. (2.86) Partikulární řešení w(t) rovnice (2.86) budeme hledat ve tvaru ] w(t) = c 1 (t)u 1 (t) + c 2 (t)u 2 (t) + c 3 (t)u 3 (t), t I, (2.87) kde c 1 (t), c 2 (t), c 3 (t) jsou funkce, které máme najít. Pro tyto tři neznámé máme zatím jedinou podmínku, a to, aby funkce w(t) z (2.87) vyhovovala rovnici (2.86). Další dvě podmínky budeme volit tak, aby derivace funkce w(t) měly poměrně jednoduchý tvar. V další úvaze, která popisuje vlastní algoritmus výpočtu, budeme vynechávat označení proměnné t. V derivaci v = c 1 u 1 + c 2 u 2 + c 3 u 3 + ċ 1 u 1 + ċ 2 u 2 + ċ 3 u 3 položíme všude v I. Analogicky v druhé derivaci ċ 1 u 1 + ċ 2 u 2 + ċ 3 u 3 = 0 (2.88) položíme všude v I. Nyní spočteme ještě třetí derivaci v = c 1 ü 1 + c 2 ü 2 + c 3 ü 3 + ċ 1 u 1 + ċ 2 u 2 + ċ 3 u 3 ċ 1 u 1 + ċ 2 u 2 + ċ 3 u 3 = 0 (2.89)... v = c 1... u 1 + c 2... u 2 + c 3... u 3 + ċ 1 ü 1 + ċ 2 ü 2 + ċ 3 ü 3

60 KAPITOLA 2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE N TÉHO ŘÁDU a dosadíme v, v, v,... v do (2.85) za x, ẋ, ẍ,... x. Po jednoduché úpravě dostaneme c 1 (... u 1 + a 2 ü 1 + a 1 u 1 + a 0 u 1 ) + + c 2 (... u 2 + a 2 ü 2 + a 1 u 2 + a 0 u 2 ) + + c 3 (... u 3 + a 2 ü 3 + a 1 u 3 + a 0 u 3 ) + + ċ 1 ü 1 + ċ 2 ü 2 + ċ 3 ü 3 = b(t). První tři sčítance v této rovnosti jsou vzhledem k předpokladu (2.86) nulové, takže platí všude v I. Podmínky (2.88) až (2.90) představují soustavu tří rovnic ċ 1 ü 1 + ċ 2 ü 2 + ċ 3 ü 3 = b(t) (2.90) ċ 1 u 1 + ċ 2 u 2 + ċ 3 u 3 = 0, ċ 1 u 1 + ċ 2 u 2 + ċ 3 u 3 = 0, ċ 1 ü 1 + ċ 2 ü 2 + ċ 3 ü 3 = b(t) (2.91) pro derivace hledaných funkcí. Determinant matice této soustavy je wronskián lineárně nezávislých řešení u 1 (t), u 2 (t), u 3 (t), a je tedy nenulový, takže ze soustavy (2.91) můžeme jednoznačně určit funkce ċ 1 (t), ċ 2 (t), ċ 3 (t). Oud integrací dostaneme hledané koeficienty funkce w(t) z (2.87). Příklady 1. Máme najít partikulární řešení w(t) rovnice ẍ 2ẋ + x = et 1 + t 2. (2.92) Charakteristická rovnice λ 2 2λ + 1 = 0 má jeden dvojnásobný reálný kořen λ 1 = λ 2 = 1. Této reálné charakteristické hodnotě přísluší podle (2.34) dvě lineárně nezávislá řešení příslušné homogenní rovnice, a to u 1 (t) = e t, u 2 (t) = te t, t R. Obecným tvarem řešení rovnice (2.92) je dvouparametrický systém funkcí Partikulární řešení w(t) hledáme ve tvaru v(t, c 1, c 2 ) = c 1 e t + c 2 te t + w(t), t, c 1, c 2 R. w(t) = c 1 (t)e t + c 2 (t)te t, t R, (2.93) kde funkce c 1 (t), c 2 (t) budeme hledat metodou variace konstant. Jejich derivace najdeme jako řešení soustavy (2.91), a tedy v našem případě jako řešení soustavy lineárních algebraických rovnic Jsou to funkce Oud po integraci ċ 1 (t)e t + ċ 2 (t)te t = 0, ċ 1 (t)e t + ċ 2 (t)(1 + t)e t = e t 1 + t 2. ċ 1 (t) = t 1 + t 2, ċ 2(t) = 1 1 + t 2. c 1 (t) = 1 2 ln(1 + t2 ), c 2 (t) = arctg t. Hledaným partikulárním řešením úlohy (2.92) je funkce [ w(t) = 1 ] 2 ln(1 + t2 ) + t arctg t e t, t R.