Elementární křivky a plochy

Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin (resp. jejich podmnožin). V této části rozšíříme množinu studovaných objektů i na nelineární křivky a plochy. Objekty a množiny objektů. Kromě popisu geometrických objektů pomocí souřadnic máme k dispozici ještě další možnosti. Můžeme použít systém rovnic f j (x 1, x 2,..., x n ) = 0, kde j = 1, 2,..., k nebo parametrické vyjádření dané předpisem x i = x i (t 1, t 2,..., t m ), kde i = 1, 2,..., n. Poznamenejme jen, že studovaný objekt je považován za souhrn dílčích objektů (nejčastěji bodů nemusí však tomu být vždy, např. svazek nadrovin je souhrn nadrovin apod.); parametry t i R potom 1

Geometrie II představují vnitřní souřadnice těchto dílčích objektů vztažené k lokální soustavě souřadnic celkového objektu. Např. rovina ϱ E 3 je jednoznačně určena svými homogenními souřadnicemi ñ = (n 0, n 1, n 2, n 3 ), dále ji můžeme chápat jako množinu bodů, jejichž souřadnice x i vyhovují rovnici f(x) = n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 + n 0 = 0, popř. lze použít parametrické vyjádření x = x(t 1, t 2 ) = a + t 1 u + t 2 v, kde n = u v, přičemž (t 1, t 2 ) jsou vnitřní souřadnice bodů roviny ϱ vztažené k lokálnímu souřadnému systému S A; u, v. Počet navzájem nezávislých souřadnic dílčích objektů, které jsou nutné k jednoznačnému určení jistého dílčího objektu, udává dimenzi celkového objektu, který je souhrnem uvedených dílčích objektů. Přitom n+1 homogenních souřadnic udává stejnou dimenzi jako n nehomogonenních souřadnic, tj. dimenzi n. Jedna rovnice f(x 1, x 2,..., x n ) = 0 s n proměnnými souřadnicemi x i dílčích objektů popisuje (n 1)-dimenzionální objekt. Každá další nezávislá rovnice snižuje dimenzi vždy o 1. Aplikujme výše uvedené poznatky na konkrétní příklady. Prostor E 3 má tedy jakožto množina rovin dimenzi 3 (každá rovina má 4 homogenní souřadnice). Rovina ϱ jakožto souhrn bodů má dimenzi 2 (každý bod roviny je jednoznačně určen 2 parametry u, v lokální souřadnice). Lineární rovnice v proměnných x 1, x 2, x 3 (souřadnice bodů v E 3 ) popisuje rovinu jako dvojdimenzionální bodovou množinu; rovnice v proměnných n 0, n 1, n 2, n 3 (homogenní souřadnice roviny v E 3 ) popisuje dvoudimenzionální množinu rovin, která je částí prostoru E 3 jakožto souhrnu všech rovin. Svazek nadrovin má dimenzi 1, neboť každá nadrovina svazku je popsána dvěma homogenními souřadnicemi t 0, t 1. A.2 Křivky a jejich tečny Ačkoliv je pojem křivky dosti názorný, z hlediska matematického je poměrně složitě definovatelný. Zjednodušeně řečeno, křivkou nebo její 2

A.2. Křivky a jejich tečny částí budeme rozumět jednodimenzionální množinu bodů eukleidovského prostoru E n. DEFINICE A.2.1: Křivkou nazýváme množinu právě těch bodů eukleidovského prostoru E n, jejichž kartézské souřadnice jsou dány souřadným vektorem x = (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)), kde x i (t) jsou reálné funkce reálné proměnné t definované na nějakém intervalu I R, které mají spojité derivace podle t alespoň prvního řádu. Přísluší-li několika hodnotám parametru t jediný bod, pak takovýto bod nazýváme několikanásobný. Jestliže chápeme parametr t jako čas, potom křivka k : x = x(t) představuje dráhu. Uvažujme nyní dva různé body křivky X 0 : x(t 0 ) a X : x(t) = x(t 0 + h). Přímka spojující tyto dva body je sečnou křivky k se směrovým vektorem 1 h (x(t 0 + h) x(t 0 )). Přímku, která je limitním případem sečny X 0 X pro X X 0, nazýváme tečna křivky v bodě X 0. Její směrový vektor pak nabývá tvaru ẋ 0 = d dt x(t x(t 0 + h) x(t 0 ) x(t) x(t 0 ) 0) = lim = lim = h 0 h t t0 t t 0 = lim t t0 x 1(t) x 1(t 0) t t 0 x 2(t) x 2(t 0) t t 0 x 3(t) x 3(t 0) t t 0 = dx 1(t 0) dt dx 2(t 0) dt dx 3(t 0) dt. Bod x 0 = x(t 0 ) křivky k se nazývá regulární, jestliže existuje derivace ẋ 0 = d dt x(t 0) 0; v regulárním bodě x 0 křivky k je možné jednoznačně sestrojit tečnu této křivky, jejíž parametrická rovnice je y(λ) = x 0 + λẋ 0. 3

Geometrie II Body křivky, které nejsou regulární označujeme jako singulární. Křivka, která je tvořena výhradně regulárními body, se nazývá hladká. Jestliže opět interpretujeme parametr t jako čas a tím pádem x(t) jako dráhu, potom vektor ẋ(t) představuje rychlost. Rovinné křivky. V eukleidovské rovině E 2 můžeme body křivky (nebo její části) při pevně zvolené kartézské soustavě souřadnic analyticky popsat pomocí parametrického vyjádření k : x = x(t) = (x 1 (t), x 2 (t)), kde t J R, popř. můžeme použít implicitní rovnici nebo explicitní rovnici k : f(x 1, x 2 ) = 0 k : x 2 = g(x 1 ). Zvláštním typem rovinných křivek jsou křivky, které jsou popsány algebraickou rovnicí n-tého stupně: k : a ij x i 1x j 2 = a 00 + a 10 x 1 + a 01 x 2 + a 11 x 1 x 2 +... = 0, i,j=0 kde n = max(i + j). Tyto křivky nazýváme algebraické křivky n-tého stupně; algebraické křivky stupně n = 2, 3, 4... se nazývají kuželosečky, kubiky, kvartiky... Není-li f polynomem, křivka k : f(x 1, x 2 ) = 0 se nazývá transcendentní. A.3 Plochy a jejich tečné roviny Obdobně jako v případě křivky nám pro první vymezení poslouží pojem dimenze. Plochou nebo její částí budeme rozumět dvoudimenzionální množinu bodů eukleidovského prostoru E n. 4

A.3. Plochy a jejich tečné roviny DEFINICE A.3.1: Plochou nazýváme množinu právě těch bodů eukleidovského prostoru E n, jejichž kartézské souřadnice jsou dány souřadným vektorem x = (x 1 (u, v), x 2 (u, v),..., x n (u, v)), kde x i (u, v) jsou reálné funkce dvou reálných proměnných u, v definované na dvojrozměrné oblasti B R 2, které mají spojité parciální derivace alespoň prvního řádu. Parametry u, v představují vnitřní křivočaré souřadnice bodů plochy P tzv. Gaussovy souřadnicemi. Jestliže v parametrickém vyjádření x = x(u, v) plochy P položíme u = u 0 = konst., resp. v = v 0 = konst., dostáváme jednoparametrické rovnice x = x(u 0, v), resp. x = x(u, v 0 ), které v obou případech popisují křivky ležící na ploše P. Pro u = u 0 = konst. dostáváme tzv. v-křivky, pro v = v 0 = konst. dostáváme tzv. u-křivky plochy P (tzv. parametrické křivky). Souhrn u- a v křivek vytváří na ploše tzv. souřadnicovou síť. Pro pevně zvolený bod X 0 = x(u 0, v 0 ) na ploše P představuje x u = u x(u 0, v 0 ) směrový vektor tečny u-křivky v bodě X 0 ; x u = v x(u 0, v 0 ) směrový vektor tečny v-křivky v bodě X 0. Odchylka ϕ tečen parametrických křivek v bodě X udává odchylku parametrických křivek v bodě X a platí cos ϕ = x u x v x u x v. Je-li ve všech bodech plochy ϕ = π 2, potom hovoříme o tzv. ortogonální síti. Jestliže pro bod X = x(u 0, v 0 ) P platí n(u 0, v 0 ) = x u (u 0, v 0 ) x v (u 0, v 0 ) o, nazýváme jej regulární bod plochy P s parametrizací x = x(u, v). V opačném případě hovoříme o singulárním bodu. 5

Geometrie II Rovnice u = ϕ(t), v = ψ(t) (t I) definují parametricky na ploše P křivku k : x = (x 1 [ϕ(t), ψ(t)], x 2 [ϕ(t), ψ(t)],..., x n [ϕ(t), ψ(t)]) za předpokladu, že funkce ϕ(t), ψ(t) mají na intervalu I spojité derivace alespoň prvního řádu a t I leží (ϕ(t), ψ(t)) v množině B. Každá křivka k P se nazývá křivka plochy, každá tečna každé křivky plochy P se nazývá tečna plochy P. Rovina τ se nazývá tečná rovina plochy P v bodě X 0, jestliže každá přímka roviny τ procházející bodem X 0 je tečnou plochy P. Bod X 0 se nazývá bod dotyku. Kolmice v bodě dotyku k tečné rovině plochy P se nazývá normála plochy v bodě X 0. Směrový vektor normály plochy P v bodě X = x 0 = x(u 0, v 0 ) je n = x u (u 0, v 0 ) x v (u 0, v 0 ) a parametrická rovnice této normály má tvar y(λ) = x 0 + λn. Plochy v prostoru. V eukleidovském prostoru E 3 můžeme body plochy (nebo její části) při pevně zvolené kartézské soustavě souřadnic analyticky popsat pomocí parametrického vyjádření P : x = x(u, v) = (x 1 (u, v), x 2 (u, v), x 3 (u, v)), kde (u, v) B R 2, popř. můžeme použít implicitní rovnici nebo explicitní rovnici P : f(x 1, x 2, x 3 ) = 0 P : x 3 = g(x 1, x 2 ). Je-li plocha P popsána explicitní rovnicí x 3 = g(x 1, x 2 ) kde (x 1, x 2 ) B R 2, potom snadno určíme parametrické vyjádření této plochy ve tvaru P : x = x(u, v) = (u, v, g(u, v)), kde (u, v) B R 2. 6

A.4. Válcová a kuželová plocha V tomto případě hovoříme o tzv. Eulerově parametrizaci. Zvláštním typem ploch v prostoru E 3 jsou plochy, které jsou popsány algebraickou rovnicí n-tého stupně: P : a ijk x i 1x j 2 xk 3 = 0, i,j,k=0 kde n = max(i + j + k). Tyto plochy nazýváme algebraické plochy n-tého stupně; algebraické plochy stupně n = 2 se nazývají kvadriky. Není-li f polynomem, plocha P : f(x 1, x 2, x 3 ) = 0 se nazývá transcendentní. Poznamenejme ještě, že v eukleidovském prostoru E 3 lze tečnou rovinu plochy P v bodě x 0 = x(u 0, v 0 ) popsat pomocí obecné rovnice n(x x 0 ) = 0, kde n = x u (u 0, v 0 ) x v (u 0, v 0 ) je normálový vektor v bodě x 0. Křivky v prostoru. V eukleidovském prostoru E 3 můžeme body křivky samozřejmě popsat parametricky (viz předcházející kapitolu). Další možností je určit křivku prostřednictvím dvou nezávislých rovnic k : f 1 (x 1, x 2, x 3 ) = 0, f 2 (x 1, x 2, x 3 ) = 0. Obě rovnice f 1 = 0, f 2 = 0 popisují dvě plochy P 1, P 2 a tudíž je křivka k = P 1 P 2 jejich průsečnou křivkou. Algebraická plocha n-tého stupně je proťata rovinou, která není její součástí v algebraické křivce n-tého stupně. A.4 Válcová a kuželová plocha Válcová a hranolová plocha. Nechť je dána křivka k : y = y(u), u I a přímka s se směrovým vektorem s. Válcovou plochou rozumíme množinu všech přímek daného směru s (tzv. povrchových přímek, popř. površek), které protínají danou křivku k (tzv. řídicí křivku). Parametrické vyjádření válcové plochy má tvar x = y(u) + vs, (u, v) I R. 7

Geometrie II Je-li k mnohoúhelník (tzv. řídicí mnohoúhelník), potom hovoříme o hranolové ploše. Povrchové přímky jdoucí vrcholy řídicího mnohoúhelníka nazýváme hrany. Množina všech přímek plochy, které protínají stranu řídicího mnohoúhelníka, tvoří tzv. stěnu hranolové plochy. Kuželová a jehlanová plocha. Nechť je dána křivka k : y = y(u), u I, která se nazývá řídicí křivka a bod S k, jenž nazýváme vrchol. Kuželovou plochou rozumíme množinu všech přímek procházejících bodem S (tzv. povrchových přímek, popř. površek), které protínají řídicí křivku k. Parametrické vyjádření kuželové plochy je x(u, v) = s + v(y(u) s), (u, v) I R. Je-li k mnohoúhelník (tzv. řídicí mnohoúhelník), potom hovoříme o jehlanové ploše. Povrchové přímky jdoucí vrcholy řídicího mnohoúhelníka nazýváme hrany. Množina všech přímek plochy, které protínají stranu řídicího mnohoúhelníka, tvoří tzv. stěnu jehlanové plochy. Tečná rovina válcové a kuželové plochy. Uvažujme na válcové, popř. kuželové ploše bod A = x(u 0, v 0 ) jakožto průsečík površky s a tvořicí křivky k : y = y(u) evidentně je v případě válcové plochy v 0 = 0 a v případě kuželové plochy v 0 = 1. Normálový vektor plochy v bodě A můžeme vypočítat { ẏ s (válcová plocha) n = x u (u 0, v 0 ) x v (u 0, v 0 ) = ẏ (y s) (kuželová plocha), kde ẏ je směrový vektor tečny tvořicí křivky v bodě A a s, resp. (y s) je směrový vektor površky válcové, resp. kuželové plochy. Odtud je vidět, že tečnou rovinu τ A v bodě A = k s lze určit pomocí površky s a tečny t k řídicí křivky k v bodě A. Nechť B = x(u 0, v 1 ), v 1 v 0, je libovolný bod na površce s různý od bodu A = x(u 0, v 0 ) = s k. 1 Vypočteme normálový vektor plochy v bodě B { ẏ s (válcová plocha) n 1 = x u (u 0, v 1 ) x v (u 0, v 1 ) = v 1 ẏ (y s) (kuželová plocha). 1 V případě kuželové plochy uvažujeme rovněž B S. 8

A.5. Plochy vznikající pohybem křivek Je vidět, že n n 1, a proto tečná rovina v bodě B je totožná s tečnou rovinou τ A. A.5 Plochy vznikající pohybem křivek Parametrické vyjádření plochy často získáme ze znalosti principu, jakým byla tato plocha vytvořena. Příkladem mohou být plochy vznikající pohybem křivek, které nejsou dráhou pohybu (plochy v tomto případě chápeme jako jednoparametrické soustavy křivek). Tvořicí křivku k : y = y(u), u I R podrobíme jistému pohybu popsanému rovnicí x = Ay + b, A T A = E. Skutečnost, že pohyb závisí na parametru v, vyjádříme zápisem b = b(v), A = A(v), A(v) T A(v) = E, v J R. Každý bod tvořící křivky k opisuje tedy určitou trajektorii (podle předpokladu různou od křivky k), jejichž souhrnem je plocha s parametrickým vyjádřením x(u, v) = A(v)y(u) + b(v), (u, v) I J R 2 (A.1) Podle druhu pohybu rozeznáváme např. plochy translační (posunutí), rotační (otočení) nebo šroubové (šroubový pohyb). Plochy je možné třídit rovněž i podle tvořící křivky např. přímkové plochy. Rotační plochy. Rotační plocha vzniká rotací tvořicí křivky k kolem přímky o, kterou nazýváme osa rotační plochy. Je-li speciálně o = x 3, potom má rotace vyjádření x = cos v sin v 0 sin v cos v 0 0 0 1 y, kde v J = 0, 2π). (A.2) Z rovnice (A.1) dostáváme pro k : y = y(u) = ( y 1 (u), y 2 (u), y 3 (u) ) T, u I parametrické vyjádření rotační plochy cos v sin v 0 x(u, v) = sin v cos v 0 ( y 1 (u), y 2 (u), y 3 (u) ) T = 0 0 1 9

Geometrie II = y 1 (u) cos v y 2 (u) sin v y 1 (u) sin v + y 2 (u) cos v y 3 (u), (u, v) I J. (A.3) Rotací libovolného bodu A tvořicí křivky k kolem osy o vzniká tzv. rovnoběžková kružnice (rovnoběžka) se středem [0, 0, y 3 (u i )] a poloměrem r(u i ) = y 2 1 (u i) + y 2 2 (u i). Řez rotační plochy rovinou, která prochází osou rotační plochy, se nazývá meridián. Rotační plocha se při otočení kolem své osy reprodukuje (zobrazuje sama na sebe), a proto můžeme každý meridián chápat rovněž jako tvořicí křivku. Je-li jakožto tvořicí křivka dán např. meridián ležící v souřadné rovině x 2 = 0 s vyjádřením m = m(u) = ( m 1 (u), 0, m 3 (u) ) T, u I, potom z (A.3) dostáváme parametrické vyjádření x(u, v) = m 1(u) cos v m 1 (u) sin v, (u, v) I J. (A.4) m 3 (u) Snadno se přesvědčíme, že v tomto případě je parametrická síť ortogonální (pro všechny body plochy platí ẋ u ẋ v = 0). 10