Klasifiace iolovaých sigulárích bodů (ráceě ISB) C... možia omlexích čísel oo... eoečo є... áleží Nechť je fuce f() holomorfí v prstecovém oolí є C včetě eoeča a echť eí v defiičím oboru fuce f. Pa aýváme iolovaým sig. bodem fuce f, rátce hovoříme o sigularitě. Jsou 3 typy sigularit. ODSTRANITELNÁ sigularita - jestliže limita fuce v sigulárím bodě má oečou limitu (oečé číslo) př. + cos x sigularita je PÓLEM fuce - jestliže limita fuce v sigulárím bodě má limitu př. PODSTATNÁ sigularita - jestliže limita fuce v sigulárím bodě eexistuje e / př. pro je ebo aebo pro ulu e si --------------------------------------------------- Defiice ásobosti ořee Nechť je f() holomorfí a prstecovém oolí, pa číslo pro teré platí f( ) f '( ) f ''( )... f - derivace ( ) a f -tá derivace ( ) se aývá ásobost ořee Defiice ásobosti pólu Nechť je pól fce f. Řád (ebo taé ásobost) pólu je rova ásobosti jao ořee fuce h ( ) f( ) dyž a h( ) Defiice reidua Nechť fuce f() má v bodě є C svoji sigularitu (resp. ), oeficiet a- (resp. -a) v Lauretově rovoji v oolí bodu se aývá reiduum fuce f() v bodě. po. epleťme si pojem oeficiet a čle Lauretova rovoje. Když apíšete do písemy že reiduum je pro... -a čle Laur. rovoje byť faticy víte, že oeficiet je číselý ásobe člea L.r., ta vám a to uberou v písemce a defiováí reidua dost bodů. Pamatujme - reiduum je jistý oeficiet čleu L. rovoje. --------------------------------------------------- Ja a výpočet reiduí fucí v jedotlivých druích sigularit? Reiduum v odstraitelé sigularitě oečého bodu (apř. ) je vždy Reiduum v odstraitelé sigularitě se musí počítat, vi vorce:
res.( f( ) f( )) ebo res.( f ' ( )) Fita pro usaděí v jedom případě odstr. sigularity v. Mějme fuci, terá má v odstr. ISB a stupeň polyomu (poor - ejedá se o stupeň ořee jao ásobost!!) jmeovatele je alespoň o vyšší ež čitatele. Pa reiduum res. Ja se poá Lauretovi řady, že fuce rovedeá v oolí eoeča má v tom bodě odstrait. sigularitu? Taová řada bude mít poue regulárí část (hlaví bude ulová). Zjištěí ásobosti pólu Musí se brát fuce současě jaý má oře ásobosti čitatel ve jištěém ISB a jaý jmeovatel v tom stejém ISB. Aby byl bod pólem fuce f(), musí být alespoň oře jmeovatele o stupeň větší ež oře čitatele v tom ISB. po: je-li ásobost čitatele rova aebo dooce ásobost ořee vyšší ež ořee jmeovatele, pa se ejedá o pól, ale o odstrait. sigularitu. př. si ( ) f( ) ( ) de čitatel má oře ás. a jmeovatel oře ás., tedy -, výslede je: ISB v bodě je jedoásobý pól fuce f() (ebo taé jedoduchý pól fuce) výpočet reidua v daém ISB jao pólu fuce: d res lim (( ). f( )) ( )! d de stupeň derivace (,,...) Usaděí výpočtu reidua pro jedoduchý ( jedoásobý) pól čitatel fuce resp. holomorfí část fuce vememe jao fuci g() jmeovatel fuce, ve terém je problém - ISB, vememe jao fuci h() Pa derivujeme h() podle a do čitatele (terý je holomorfí) dosadíme hodotu pólu ve terém reiduum počítáme a rověž taé do derivovaého jmeovatele. Vyjde přímo reiduum v tom pólu. Poud vyjde po dosaeí / pa použijeme limitu a l'hospitala. Poor, teto postup poue pro jedoduchý pól!! Ja se poá Lauretovi řady, že fuce rovedeá v oolí pólu má v tom bodě iolovaou sigularitu? je pól ásobosti právě tehdy, dyž a- oeficiet Laur. řady eí rove ule, oeficiety a l jsou rovy pro všecha l<-, má tedy oečě moho eul. čleů v hlaví části. Reiduum v podstaté sigularitě se edá žádým přímým výpočtem či vorcem vypočítat. Na výběr máme je působy jištěí reidua: - roviutím fuce v Lauretovu řadu v oolí ISB a podle defiice reidua vyčíst oeficiet a- (pro oečý ISB), resp. oeficiet -a (pro ISB jao ) aebo - jistit sigularity ve všech ostatí ISB, což budou póly popř. póly + odstraitelá
sigularita v, sečíst jejich reidua a jejich součet reiduí je vlastě jao důslede reiduové věty rove mius reiduu v eoeču. Ja se poá Lauretovi řady, že fuce rovedeá v oolí bodu podstaté sigularity má v tom bodě podstatou sigularitu? Lauretova řada taové fuce rovedeá v tom bodě bude mít eoečě oeficietů hlaví části eulových. Postřehy: Neapomíejme a ISB v, je téměř v aždé fuci. Poud vša má fuce π + perioda -ásobý π pól ebo odstrait. sigularitu a v ich má opaující se sigularitu (apř. 4 ), pa ebude mít fuce ISB v, poor - uto vždy ještě ověřit limitou, protože výjiměčě se stává, že i ta má fuce sigularitu v. př. ajděme ISB pro fuci f( ) si( ) řešeí: evidetě a prví pohled bude mít fuce ISB v bodech, fuce má π jedoásobý pól (ásobost jmeovatele mius ásobost čitatele je rovo ) a to /-ásobě pro є Z mimo uly. Avša limita v eoeču je, čili jedá se rověž o jedoásobý pól. Pro ISB jao ebude sigularitou, protože v oolí uly leží ějaý bod (fuce eí v oolí tohoto bodu holomorfí). Výpočet itegrálů pomocí reiduové věty Defiice reiduové věty Mějme fuci, terá je holomorfí a ějaé otevřeé možiě mimo iolovaé sigulárí body. Dále mějme Jordaovu řivu ladě orietovaou (tj. proti směru hodi. ručiče) a itegrál po řivce C f() d a v iteriéru řivy (tj. vitří oblasti řivy) leží ISB,,..., až. Pa itegrál po této řivce je rove součtu reiduí v jedotlivých ISB rát π j. V ápisu: C f( d ) π j. res f( ) i i N po. důslede reiduové věty Nechť fuce f je holomorfí v C mimo možiu jejích ISB, pa platí, že součet všech reiduí v ISBodech uavřeých Jordaovou řivou C a přičteým reiduem v je rovo ule. V ápisu: N i resf( ) res f( ) i Teto fat se velice výhodě a hojě používá při řešeí moha fucí a hledáí jejich reiduí v daých ISB (resp. výpočtům itegrálů reid. větou), u ichž výpočet reiduí by apř. v ěoliaásobém pólu dělal problémy už u druhé derivace podle vorce pro výpočet
ásobého pólu. př. máme řivový itegrál d. Křiva C je dáa, čili ružice pol. ( + ) C řešeí: Řešíme ejprve ásobost ořee jmeovatele, což je rovice Vidíme, že řešeím je bodů po ružici a vrcholech stoúhelíu, to budou jedoásobé póly. Taovýto výpočet všech reiduí je vša těžo proveditelý, proto použijeme důslede reiduové věty. Protože se jedá o odstraitel. sigularitu v (limita v je de oečé číslo), použijeme vorec pro výpočet reidua (jede e dvou). Výslede reidua v je, podle důsledu reiduové věty by ta byl součet reiduí v -řešeích ořee jmeov. rovo MINUS reiduu v, tudíž - *π j a itegrál se celově rová. př. mějme itegrál fuce, dále Jordaovu řivu jao ružici ( -).( -3) s poloměrem R a středem v ule, a body sigularit víme že jsou, 3. Ja by musela řiva vypadat, aby itegrál fuce byl: a) b) ad a) řiva esmí rohodě obsahovat v iterieru body sigularit. Poud ta, pa bude itegrál určitě rový ad b) jaáoli jiá řiva obepíající body buď aebo oba. Typy itegrálů pro výpočet pomocí reiduové věty A) Itegrály s více ja od dva řády vyšším řádem polyomu jmeovatele ež čitatele máme itegrál od - do, polyom čitatele P(x), jmeovatele Qm(x) stupě,m čili v ápisu + P( x) dx Qm( x) Pa má-li stupeň m jmeovatele o větší ež stupeň čitatele, itegrál počítáme jao součet reiduí v jedotlivých ISB rát π j. Poor!, bereme je reidua, terá jsou ad reálou osou, čili Im >. př. itegrál x dx ( x + a ) Ao, polyom jmeovatele je o dva větší ež čitatele - podmía splěa. Přepíšeme a itegrál jao d ( + a ) ulové body jmeovatele jsou + - j.a, ale protože bereme je body ad reálou osou, platí poue +ja. Dále stadardí výpočet pomocí reiduí (dvoj. pól). poáma: esmí idy vyjít jao výslede omplexí číslo. Vždy musí vyjít reálé. Poud ám vyšlo omplexí číslo, máme ěde chybu.
B) Itegrály se cos(x), si(x) po ružici ( až π) Pro tyto itegrály se používá substituce, a cos(x) substituujeme výra + a si(x) substituujeme výra j a vždy ještě výra ásobíme čleem j Opět apliujeme reiduovou větu (čili součet reiduí v jedotlivých ISB rát πj) C) Itegrály typu ( P(x) / Qm(x) )*e^(jx) pro všecha xєr Stupeň polyomu Q musí být alespoň o jede vyšší ež stupeň polyomu P ( tedy m > +) Dále počítáme opět reiduovou větou jao tomu bylo u itegrálů typu A) - bereme sigularity je ad reálou osou (čili pro Im > ) a sečteme jejich reidua rát πj. po. Poud máme v čitateli si(x), ahradíme sius expoecielou e^(jx) a ve výsledu bereme ve výsledu je jeho imagiárí část. jx To vyplývá rovosti itegrálu e cos( x) si( x) dx + j. dx ěco ěco ěco Poud je v čitateli cos(x) pa opět cosius podobě ahradíme expoecielou e^(jx) a bereme v úplém výsledu je jeho reálou část. Kotrolou je, že musí vždy vyjít reálé číslo. Dobré rady, pro osvěžeí paměti. Eulerovy vtahy: jx e cos( x) + j.si( x) jx e cos( x) j.si( x) a jeho omplexě sdružeá hodota 4 + x. hledáme ulové body polyomu e j π Pa řešeím jsou 4 řešeí jao 4 body, určeé vrcholy čtyřúhelía 4, dále 3π/4, 5π/4 a 7π/4. Protože vša máme fuci proměé x, ta se berou v úvahu je reidua prví dvě 4 4 (ad reálou osou). V případě x + a máme řešeí a*e^jπ/4, a*e^3π/4. Je-li apř. jmeovatel ^ - pa ulové body jsou, + - Je-li apř. jmeovatel ^3 - pa ulové body jsou Je-li apř. jmeovatel ^ + pa ulové body jsou, + - j atd. Občas bude apotřebí roložit argumet goiometricé fuce pro to, abychom problémové reiduum mohli saději ajít Lauretovy řady. Pa použijeme tyto součtové vorce: ejámější: pro Laur. řady se využívá: výjimečě: cos( x) cos ( x) si ( x) si ( a) ( cos( a)) si ( x) + cos ( x) cos (a-b) cos (a) * cos (b) + si(a) * si (b) cos (a+b) cos (a) * cos (b) - si(a) * si (b) si (a-b) si (a) * cos (b) - cos(a) * si (b) si (a+b) si (a) * cos (b) + cos(a) * si (b) cos ( a) (+ cos( a)) Tyto vorce se mohou hodit e oušce, ědy je uté jich použít pro dárý výpočet!! Přílady jsou často áludé a áeřé (bohužel) právě v tom, že vyžadují aprosto ebytě ějaou úpravu, aby vůbec řešeí vedlo e správému cíli.
Z trasformace Defiice Nechť máme možiu posloupostí Z. Trasformací Z aýváme obraeím možiy posloupostí Z (de v Z jsou fuce maximálě expoeciálího růstu) a možiu K, de K jsou fuce s odstraitelou sigularitou v eoeču, defiovaé gramatia Z trasformace: ) pravidlo liearity a Za ( ) F( ) Zca (. ) cf. ( ) Za (. a ) F a Za (. ) ' F. ( ) ) pravidlo o ásobeí pro všecha a 3) pravidlo o derivaci obrau de F '() je derivace obrau další užitečé obray: obra řady ostat c a řady ostatího čísla a mocěého a -tou c. Zc () Zcccc (,,,,...) Za ( ) Z(, aa,,...) a odvoeí Z ( ) řešeí: uto použít pravidlo o derivaci obrau jao po: co je ědy uté použít při pěté Z-trasformaci je ačarovat pravý posu opět a řadu. To vyjadřuje vtah: Z { F( )} ( a.( )) a a a Za (, a, a,...) ( F( ) ) ( F( ) ) pro přílad Mohdy se používá defiice poslouposti diferecí, objevuje se u oušových příladů v diferečích rovicích. Diferecí rodíl ásledujícího a předchoího čleu poslouposti: ( a ) ( a a ) ( a a, a a, a a,...) + 3 Z( a ) ( ) F( ) a. Za (. ) Z (. ) ( ) Pro řešeí obvláště diferečích rovic se ám bude hodit posu poslouposti doleva ebo doprava. Posu doprava: Z(,,,...,, a, a,...) F( ) de je počet posuutí (ul). de je počet čleů, teré musím přemáout abych posuul posloupost doleva. Posu doleva: a trasformaci diferece apíšeme jao po. důa diferece bývá jao úloha ve ouš. písemách, je vša výjimečě sadý, což ebývá v důaech u Matematiy 5 až as ta běžé. Řešeí: vyjdeme posuu doprava, de Za ( + ) F. ( ) a. a dále že Za ( ) F( ) Pa tedy Za ( ) Za ( ) F. ( ) a. F( ) ( ) F( ) a. +
Defiice ovoluce Mějme poslouposti a, b. Defiujeme ovoluci jao a platí: c ( a ) ( b ) de o o tetorát ačí prostý souči ( a ) ( b ) ( c ) de ačí ovolutiví souči Iverí trasformace Z Metody výpočtu jsou praticy, teoreticy 3 (ta třetí metoda počítáa jao s ovolucí) - rovoj v Lauretovu řadu (méě výhodé při složitých rovojích, obvláště u složitých periodicých fucí) ebo itegrálím vyjádřeím aebo a - idetitu le chápat jao Lauretovu řadu se středem v, pa čle F( ) π j π j c c a d F( ) d + toho plye, že posloupost vypočteme e součtů reiduí fuce ( ) ( e) i i a res F ( ( ). ) Jde o rutii výpočet reiduí, teré jsou většiou poue jedoásobé ebo dvojásobé póly fuce F(). Neapomíejme přidat čle -, dělá se v tom častá chyba. př: proveďte pětou Z trasformaci výrau řešeí: ajdeme ISB fuce, což jsou póly jao dvojásobý pól a e jao jedoásobý pól. Dále spočítáme reidua res ( ). ( ) [ ] ' lim ( e) ( ) ( e ) e ( e ). ( ) e res ( ) ( ) [( )] ' e e e ( e ) ee ( ) e a aoec sečteme tato vypočteá reidua a e e + ee ( ) e ( e) po: le taé ěteré jedoduché výray přímo pětě trasformovat pomocí áladích pravidel gramatiy Z trasformace. Má to vša jedo úsalí - jamile uděláme chybu v roladu fuce a parciálí lomy (abychom dostali taové výray, teré jdou sado pomocí gramatiy přetrasformovat), jsme s pytli, protože výsledy jsou pa o dost jié ež má správě vyjít. Proto gramatiu Z trasf. s přímým přetrasformováím používejme je v případě a prví pohled jasých ávěrů. př.:.( )( ) + ( ) ( )( ) + ( ) ( )( )
př. lasicá diferečí rovice, včetě ejběžějších áludostí co vás mohou u oušy potat y a y a a vyjádříme si poslouposti: ( y ) Y( ) y + + + +.( ) a počátečí podmíy: y, y 5, y ( y ) ( Y( ) y + ) ( Y( ) ) y Y y y Y ( ) ( -)[ ( -). ( ) -. ] -. ( -)[ ( -). ( ) -. ] - 5. - a (( -) ) ( a) F( ) de tlustá teča je ov. souči Nastíě bylo poue ačáte řešeí - vyjádřeí čleů diferečí rovice be dalšího výpočtu. Lauretovy řady Defiice Nechť є C, středem v bodě. Součet s() Lauretovy řady a s ( ) + a ( ) + + + ( ) Defiice pro Lř se středem v oo : + Řada a de a є C, se aývá Lř se středem v eoeču. a ( ) pa řada de a є C, є Z se aývá Lauretova řada se de prví suma se aývá hlaví část Lauretovy řady se středem v bodě a druhá suma se aývá regulárí část Lauretovy řady (dále je Lř) v bodě. Věta o overgeci Lř Nechť řada a ( ) má poloměry overgece R (hlaví část) a R (regulárí část). Je-li splěa erovost R < R pa řada overguje ABSOLUTNĚ v meiruží P (, R, R) a eoverguje v žádém bodě mimo uávěr P (, R, R). Je-li R > R pa řada eoverguje. Situaci overgece v meiruží áorňuje obráe: (de je střed overgece daé Lř) po: pro určeí poloměrů overgece R a R používáme odmociového ebo podílového riteria. Poor! V písemách bývá ědy eje určeí poloměrů overgece, ale i mohdy esadá úloha uvedeé fuce při adaém poloměru overgece vytvořit Lř. Vyžaduje to jistý matematicý cvi při těchto úlohách, terý ísáme drilu počítáím příladů e sript. eoverguje R R overguje Neoverguje
Nejdůležitější a ejámější fuce vyjádřeé Taylorovým rovojem +.... ( ) ( ) ( ) e! e!. e e ( ) si( ) j (+ )! j j + + e + e ( ) cos( ) ( )! j j + po: u fuce sius je v expoeciálím vyjádřeí ve jmeovateli imagiárí jedota, u fuce cosius vša eí - bacha a to. Fourierova trasformace Před avedeím defiice je uté si ujasit, co vlastě abíí Fourierova trasformace. Tedy máme ějaou fuci - předmět, terou defiičí formulí převedeme do Fourierova obrau a jedá se o tv. přímou Fourierovu trasformaci. Rověž platí ale i pětě, že fuci jao obra můžeme opět další (podobou) defiičí formulí převést pět a ísat ta fuci jao předmět a tomuto směru trasformováí říáme pětá Fourierova trasformace. Převádět fuce přímou aebo pětou trasformací můžeme buď defiice aebo pomocí již odvoeé tv. gramatiy, což jsou pravidla pro rychlejší jištěí obrau ebo voru Fourierovy trasformace, teré vycháejí defiice přímé Fourierovy trasformace (dále ve vtahu textu již je FT ebo ve vorcích F). Defiice přímé FT: Fourierova trasformace fuce je fuce, terou budeme ačit f(p) se stříšou, pєr a defiovaou předpisem jpt jpt f( p) f() t e dt a le taé apsat jao F( p) f() t e dt π π Riema - Lebegovo lemma: Je-li fuce f є L (R), pa pro FT plati: (i) f(p) je spojitá fuce (fuce se dá itegrovat) (ii) lim f( p) p +
Defiice pěté FT: Nechť fuce f(p) є L (R), pa pětou (ebo taé iverí) Fourierovu trasformaci defiujeme předpisem + jpt + jpt () ( ) a le taé apsat jao F () ( ) f t f p e dp t f p e dp π π po: a prví pohled podobost vtahů přímé a pěté FT ás svádí poplést si terá je terá. Ta především v přímé FT je u expoeciely mius a u pěté plus (aačeo výraě). Dále itegrujeme u přímé FT podle proměé t, aopa u pětéft itegrujeme podle proměé p. Tyto dvě věci se dost často plete, chybuje se v tom do té doby ež si člově dobře osvojí obě defiice. Gramatia Fourierovy trasformace Nechť F f() t f( p) jap () f( t a) e f( p) posu v čase p () f( at) f pro a měa měříta (scallig) a a (3) F f(- t) f( p) pravidlo o ojugaci jat Pa platí pravidla: (4) F e f() t f( p a) pravidlo modulace, projeví se jao posu po: všiměme si, že pravidlo (4) je iverí pravidlu (). Všecha tato čtyři pravidla se odvodí defiice přímé FT. Poor, odvoeí se objevuje ve oušových příladech, je uto si acvičit odvoeí. Vyjma prvího a druhého pravidla, terá se dají se alostí ja a to poměrě dobře odvodit, jsou ostatí odvoeí obtížá! Další pravidla - jsou to důležité dvě věty o derivaci voru a obrau Věta o derivaci voru Je-li fuce f(t) spojitě diferecovatelá a f(t), f '(t) є L (R), pa platí pravidlo: F f'( t) ( p) jp. f( p) tedy lidově řečeo Furierova trasformace derivovaé fuce f(t) se rová ásobu imagiárí jedoty j a proměé p a Furierova obrau fuce (před jejím derivováím). Pro -tou derivaci tedy platí ( ) F f () t ( p) ( jp). f( p) Věta o derivaci voru Je-li fuce f'(t) є L (R), pa Fourierův obra f(p) je diferecovatelá fuce a platí d F{ f() t }( p) j. f( p) dp tedy Furierův obra fuce f(t) je rove ásobu imagiárí jedoty j a derivovaého Furierova obrau fuce f(t) podle proměé p. př: ( ) t f() t e t p Máme fuci a víme, že e e Určete pomocí gramatiy FT postup, ja by se upravila fuce f(t).
řešeí: posouváme vlastě v čase o jediču. Proto použijeme pravidlo (): ( t ) p jp e e. e de bylo důraěo v prví expoeciele áhrada posouvajícího člea a a jediču, dále ásobeí mei expoecielami. př: echť máme číslo a. Pa máme ějaou fuci f(t), terá má svůj Fourierův obra f(p). Dále mějme fuci g(t) vyjádřeou jao t a gt () f b Úolem je alét Furierův obra fuce g(t), čili vlastě alét g(p). řešeí: a výběr v tomto případě máme dooce dvě možé cesty. Prví je použít scallig (měa měříta, pravidlo ()) a pa apliovat posu v čase (pravidlo ()). Nebo druhý postup ejprve použít posu v čase a až pa apliovat scallig. V obou případech dojdeme e stejému výsledu. Podle prvího postupu: pa tedy postup je t t a f() t f f pro b b b t a resp. druhý postup f() t f ( t a) f pro b b jap f( p) b. f( p) e. b. f( p) a výslede jap F gt () g( p) e. b. f( p) př: mějme fuci u(p) f(p) a pomocí gramatiy FT ajděte Fourierův předmět této fuce u(p). p p řešeí: t víme, že f f( at) pa f a f ( at) u( p) f a a a př: mějme fuci g(t) t. f(t-) a pomocí gramatiy FT ajděte Fourierův obra této fuce g(t). řešeí: gt () t. f( t ) upravíme a gt () ttf.. ( t ) de máme ásobeu fuci f(t-) dvěma "t" a víme-li že platí věta o derivaci voru tf. () t jf. '( p) jap dále použijeme pravidlo () posuu v čase f( t a) e f( p) jp jp pa prví "t" vyjádříme: tf. ( t ) j.( e f ( p))' j.( j). e. f '( p) jp jp a druhé "t" vyjádříme t.( t f( t )) j.( e f '( p))'. e. f ''( p) jp výslede je gt () e. f ''( p) jp ebo taé možo jia apsat F gt () e. f ''( p)
Laplaceova trasformace Defiice Nechť fuce f(t) je omplexí fuce defiovaá a itervalu <, >. Laplaceova trasformace fuce f(t) je omplexí fuce F(p) a pєc defiovaá ta, že mají ladou reálou část p větší ež ula (Re p>) určeé vtahem pt F( p) f() te dt F(p) situaci uáže obráe Oblast defiičího oboru fuce F(p) Re p. Postačující podmía existece Laplaceovy trasformace: f() t Me. at pro a > Čili fuce f(t) esmí růst rychleji ež expoecielím růstem. Možiu fucí maximálě expoeciálího růstu aýváme možiu L. Příladem fuce více ež expoeciálího ( at.) t růstu je apř. f() t e a ta se edá již převádět Laplaceovou trasformací. Tvreí: Nechť f(t)є L. Laplaceova trasformace F(p) je defiováa v poloroviě a je v této možiě holomorfí. Důslede: f(t)є L lim F ( p ), Re p Věty o traslaci Mějme jedotový so, defiovaý pa L ap ( t a) f( t a) e. f() t () t pro t > () t jia a poud eí fuce připraveá posuu, upravíme: L ap ( t a) f() t e. f( t+ a) { p C Re p > a } Pravidlo o obrau periodicé fuce Nechť f(t)є L je periodicá fuce s periodou T >. Pa pro Laplaceovu trasformaci F Lf platí: F( p) T f() te e pt pt dt
Věta o obrau mocié řady Je-li fuce α f() t a. t, t, a., >, α >! pa Lf() t a pro Re p > α + p Itegrálí vyjádřeí iverí Laplaceovy trasformace (poračováí) doplňový souhr láty Matematiy 5 - sepsal Petr Hlaváče, vere.4 software pro texty: Text6, pro vorce: TeXaide