13 Fourierova transformace v polárních souřadnicích. Hankelovy transformace

13 FOURIEROVA TRANSFORMACE V POLÁRNÍCH SOUŘADNICÍCH 1 13 Fourierova transformace v polárních souřadnicích. Hankelovy transformace 13.1 Základní výrazy Při výpočtech Fourierovy transformace funkcí (dvou proměnných), které mají n-četnou nebo úplnou rotační symetrii vzhledem k nějakému bodu bývá účelné transformovat Fourierův integrál do polárních souřadnic. Za tím účelem v integrálech zavedeme substituce F 1 (X 1, X ) = A f 1 (x 1, x ) = B f 1 (x 1, x ) exp [ ik(x 1 X 1 + x X )] dx 1 dx, (1) F 1 (X 1, X ) exp [ik(x 1 X 1 + x X )] dx 1 dx () a označíme x 1 = r cos ϕ, X 1 = R cos Φ, r, R, ), x = r sin ϕ, X = R sin Φ, ϕ, Φ, π) Dostaneme f 1 (x 1, x ) = f(r, ϕ), F 1 (X 1, X ) = F (R, Φ). F (R, Φ) = A f(r, ϕ) = B α+π α β+π kde α a β značí libovolný úhel. Mají-li funkce f(r, ϕ) a F (R, Φ) úplnou rotační symetrii, tj. platí-li můžeme integrály (3) a (4) přepsat do tvaru F (R) = A f (r) f (r) = B F (R) β f(r, ϕ) exp [ ikrr cos(ϕ Φ)] r dϕ dr, (3) F (R, Φ) exp [ikrr cos(ϕ Φ)] R dφ dr, (4) f(r, ϕ) = f (r), F (R, Φ) = F (R), (5) α+π α β+π Vnitřní integrály vypočteme s použitím vztahu B.13(6) pro n = : β α+π exp [ ikrr cos(ϕ Φ)] dϕ r dr, (6) exp [ikrr cos(ϕ Φ)] dφr dr. (7) J (z) = 1 exp(±iz cos ϑ) dϑ. π α Tak dostaneme Fourierovu transformaci rotačně symetrických funkcí vyjádřenu ve tvaru F (R) = πa f (r)j (krr) r dr = = A B k f (r)j (krr) r dr = A B H {f (r)}, (8) f (r) = πb F (R)J (krr) R dr = = B A k F (R)J (krr) R dr = B A H {F (R)}. (9)

13 FOURIEROVA TRANSFORMACE V POLÁRNÍCH SOUŘADNICÍCH Symbolem H {h(r)} = k h(r)j (krr) r dr (1) značíme Hankelovu transformaci nultého řádu (neboť její jádro obsahuje Besselovu funkci nultého řádu J ). Tato transformace je involutorní, jak ukážeme v odst.13.4. 13. Příklad: f(r, ϕ) = circ ( ) r a Funkce circ (r), r je definována vztahy circ (r) = 1, když r < 1, = 1, když r = 1, (1) =, když r > 1. Charakterizuje tedy funkce f(r, ϕ) = circ (r/a) propustnost stínítka tvořeného prázdným kruhovým otvorem o poloměru a v nepropustném okolí. Podle prvního ze vztahů 13.1(8) je F (R) = A B H { circ Tento integrál vypočteme pomocí vztahu B.8(9), v němž položíme ν = 1: ( r a = πa a)} J (krr) r dr. () Upravíme tedy výraz () do tvaru x zj (z) dz = xj 1 (x). (3) F (R) = πa (kr) z něhož použitím vztahu (3) dostaneme kar J (krr)krr d(krr), F (R) = πa (kr) karj 1(kaR) = A πa J 1(kaR) kar. (4) Funkce J 1 (x)/x je v teorii difrakce velmi důležitá. Charakterizuje totiž Fraunhoferovu difrakci na kruhovém otvoru v nepropustném stínítku, a tedy i vlnovou funkci obrazu bodu v obrazové rovině ideální čočky konečné velikosti. Je východiskem pro stanovení rozlišovací schopnosti čočky. Nazývá se Airyho funkcí a její centrální část bývá označována jako Airyho disk. Graf této funkce je na obr. 1. Vypočteme nyní inverzní Hankelovu transformaci { B A { ( r A H B H circ a)} } = B A k A πa = ka Tento integrál je však roven (viz např. [1], 6.51-3, [], str. 46) J 1 (kar) kar J (krr) R dr = J 1 (kar)j (krr) dr. J 1 (kar)j (krr) dr = 1, pro r < a, ka 1 =, pro r = a, ka =, pro r > a.

13 FOURIEROVA TRANSFORMACE V POLÁRNÍCH SOUŘADNICÍCH 3 Obrázek 1: Graf funkce J1(x) x. Je tedy { ( r ( r H H {circ = circ, a)}} a) jak jsme očekávali podle fundamentální věty o Fourierově transformaci. Fraunhoferovu difrakci na kruhovém otvoru tedy tvoří světlá centrální oblast a pak soustava koncentrických světlých a tmavých kroužků (viz obr. 9.(a)). Je zřejmé, že poloměry R n kružnic s nulovou intenzitou jsou určeny kořeny x 1,n funkce J 1 (x): R n = x 1,n ka. Naproti tomu poloměry R m kružnic s maximální intenzitou jsou určeny kořeny x,m Besselovy funkce J (x): Vyplývá to ze vztahu B.8(1) pro ν = 1 d dx R m = x,m ka. [ ] J1 (x) x = J (x) x, [ ] takže d J1(x) dx x = když x = x,m. Hodnoty prvních čtyř kořenů x 1,n a x,m jsou ([], str. 748, 749) x 1,1 = 3,83 = 1,π x,1 = 5,136 = 1,635π x 1, = 7,16 =,53π x, = 8,417 =,679π x 1,3 = 1,173 = 3,38π x,3 = 11,6 = 3,699π x 1,4 = 13,34 = 4,41π x,4 = 14,796 = 4,71π Hodnoty prvních pěti extrémů funkce J1(x) x resp. maxim funkce [ ] J1(x) x jsou uvedeny v tab. 1. Někdy je užitečné vědět, jaká část celkové energie prošlé kruhovým otvorem prochází v difrakčním obrazci vnitřkem kruhu o poloměru R. Tuto otázku zodpověděl Rayleigh v r. 1881 [3]. Uvedeme zde jeho výsledky. Rayleighova Parsevalova věta 5() má v případě prázdného kruhového otvoru tvar

4 13 FOURIEROVA TRANSFORMACE V POLÁRNÍCH SOUŘADNICÍCH x J 1(x) x ( ) J1(x) x 1 1 x,1, 133, 175 x,, 645, 4 x,3, 4, 16 x,4, 79, 8 Tabulka 1: Extrémy funkce J1(x) x a maxima funkce ( ) J1(x). x A π [ ( r circ r dr dϕ = B a)] A 4 (πa ) π [ ] J1 (kar) R dr dφ. Vyplývá z ní, že energie procházející celým difrakčním obrazcem je úměrná hodnotě A πa. Část energie procházející vnitřkem kruhu o poloměru R tedy je kar γ(r ) = = 1 A πa B A 4 (πa ) π ( AB π ) kar k R J 1 (x) x [ ] J1 (kar) R dr = kar dx (5) Tento integrál vypočteme tak, že vztah (viz B.8(8) pro ν = 1) rozšíříme faktorem J 1 (x) J 1 (x) x = J (x) J 1(x) J 1 (x) x = J (x)j 1 (x) J 1 (x)j 1(x) a v prvním sčítanci nahradíme J 1 (x) výrazem (viz B.8(7) pro ν = ) Dostaneme Takže x J 1 (t) t J 1 (x) x dt = 1 J 1 (x) = J (x). = J (x)j (x) J 1 (x)j 1(x) = 1 d [ J dx (x) + J1 (x) ]. [ ] x J (t) + J1 (t) = 1 [ ] 1 J (x) J1 (x), (6) t= neboť J () = 1, J 1 () =. S použitím vztahu (6) dostáváme pro část energie procházející ve Fraunhoferově difrakčním obrazci vnitřkem kruhu o poloměru R výraz γ(r ) = 1 J (kar ) J 1 (kar ), (7) který odvodil Rayleigh [3]. Graf této funkce je na obr.. Vzhledem k tomu, že tmavým kroužkům odpovídají hodnoty J 1 (kar ) =, tj. kar = x 1,n, je část energie procházející vnějškem kruhu vymezeného n-tým tmavým kroužkem právě hodnota J (x 1,n ). Pro první čtyři tmavé kroužky platí

13 FOURIEROVA TRANSFORMACE V POLÁRNÍCH SOUŘADNICÍCH 5 Obrázek : Graf funkce γ(r ) = 1 J (kar ) J 1 (kar ). J (x 1,1 ) =,16 J (x 1,3 ) =,6 J (x 1, ) =,9 J (x 1,4 ) =,48 Vidíme tedy, že Airyho diskem prochází téměř 84% světelné energie prošlé kruhovým otvorem. 13.3 Hankelova transformace m-tého řádu Mají-li být funkce f(r, ϕ) a F (R, Φ), jež spolu souvisejí Fourierovou transformací ve tvaru 13.1(3) a 13.1(4), jednoznačnými funkcemi v rovině, musí být periodické podle úhlové proměnné s periodou π. Rozvineme tedy tyto funkce ve Fourierovy řady podle úhlové proměnné ϕ resp. Φ. Koeficienty těchto rozvojů jsou funkcemi radiální proměnné r resp. R. Shledáme, že tyto koeficienty spolu souvisejí prostřednictvím Hankelovy transformace. Označíme tedy f(r, ϕ) = a (r) + [a m (r) cos mϕ + b m (r) sin mϕ] = m= m=1 = c m (r) exp(imϕ), (1)

6 13 FOURIEROVA TRANSFORMACE V POLÁRNÍCH SOUŘADNICÍCH kde Podobně a m (r) b m (r) = 1 π c m (r) = 1 π α+π α α+π α f(r, ϕ) cos sin (mϕ) dϕ, () f(r, ϕ) exp( imϕ) dϕ. (3) F (R, Φ) = A (R) + [A m (R) cos mφ + B m (R) sin mφ] = = m= m=1 C m (R) exp(imφ), (4) kde A m (R) B m (R) = 1 π C m (R) = 1 π β+π β β+π β F (R, Φ) cos sin Koeficienty a m (r), b m (r), c m (r) spolu zřejmě souvisejí vztahy (mφ) dφ, (5) F (R, Φ) exp( imφ) dφ. (6) a m = 1 (c m + c m ), b m = i (c m c m ), tj. c m = a m ib m, c m = a m + ib m (7) a podobně koeficienty A m (R), B m (R), C m (R). Vyjádříme nyní koeficient C m (R) prostřednictvím koeficientu c m (r). Za tím účelem dosadíme do (6) za funkci F vyjádření 13.1(3): C m (R) = 1 π = A π β+π F (R, Φ) exp( imφ) dφ = β β+π α+π Φ=β r= ϕ=α f(r, ϕ) exp [( ikrr cos(ϕ Φ)] dϕ r dr exp( imφ) dφ. (8) Poslední integrál znásobíme jedničkou ve tvaru exp(imϕ) exp( imϕ) a zaměníme pořadí integrace. Dostaneme C m (R) = A r α+π ϕ=α f(r, ϕ) exp( imϕ) 1 π Vnitřní integrál je podle B.13(6) roven β+π Φ=β exp [( im(φ ϕ) ikrr cos(φ ϕ)] dφ dϕ dr. takže 1 π β+π Φ=β exp [( im(φ ϕ) ikrr cos(φ ϕ)] dφ = ( i) m J m (krr), C m (R) = A ( i) m rj m (krr) α+π ϕ=α f(r, ϕ) exp( imϕ) dϕ dr.

13 FOURIEROVA TRANSFORMACE V POLÁRNÍCH SOUŘADNICÍCH 7 Vnitřní integrál je podle (3) roven πc m (r), takže dospíváme k závěru, že Transformaci C m (R) = πa ( i) m c m (r)j m (krr) r dr = = ( i) m A B k c m (r)j m (krr) r dr. (9) H m {h(r)} = k h(r)j m (krr) r dr (1) nazýváme Hankelovou transformací m-tého řádu. S použitím symboliky (1) dostáváme výraz (9) pro Fourierův koeficient C m (R) ve tvaru C m (R) = ( i) m A B H m {c m (r)}. (11) Naopak, chceme-li vyjádřit koeficient c m (r) prostřednictvím koeficientu C m (R), vyjdeme ze vztahu (3), do nějž za f(r, ϕ) dosadíme z 13.1(4): c m (r) = 1 π = B π α+π ϕ=α f(r, ϕ) exp( imϕ) dϕ = α α+π β+π R= Φ=β F (R, Φ) exp [(ikrr cos(ϕ Φ)] dφr dr exp( imϕ) dϕ. (1) Násobením jedničkou ve tvaru exp(imφ) exp( imφ) a záměnou pořadí integrace dostaneme c m (r) = B R Podle B.13(6) platí β+π Φ=β F (R, Φ) exp( imφ) 1 π α+π ϕ=α exp [( im(ϕ Φ) + ikrr cos(ϕ Φ)] dϕ dφ dr. takže 1 π α+π ϕ=α exp [( im(ϕ Φ) + ikrr cos(ϕ Φ)] dϕ = i m J m (krr), c m (r) = B i m RJ m (krr) β+π Φ=β F (R, Φ) exp( imφ) dφ dr. Integrál podle úhlové proměnné Φ je podle (6) roven πc m (R), takže dospíváme k závěru, že c m (r) = πb i m C m (R)J m (krr) R dr = = i m B A k C m (R)J m (krr) R dr = = i m B A H m {C m (R)}. (13) S použitím vztahů (7) a faktu, že pro celá čísla m platí J m (z) = ( 1) m J m (z) snadno odvodíme a m (r) b m (r) A m (R) B m (R) = i m B A k = ( i) m A B k A m (R) B m (R) J m(krr) R dr, (14) a m (r) b m (r) J m(krr) r dr. (15)

8 13 FOURIEROVA TRANSFORMACE V POLÁRNÍCH SOUŘADNICÍCH Je-li funkce f(r, ϕ) dána ve formě rozvoje ve Fourierovu řadu podle úhlové proměnné, můžeme její Fourierovu transformaci F (R, Φ) vypočítat rovněž ve tvaru Fourierova rozvoje podle úhlové proměnné, a to tak, že vypočteme (jednorozměrné) integrály (9) resp. (14), které udávají vztah mezi koeficienty rozvojů. Totéž platí pro libovolnou dimenzi N prostoru E N při rozvoji Fourierova páru funkcí podle úhlových proměnných v (hyper)sférických souřadnicích. Vždy stačí počítat jednorozměrné integrály. 13.4 Involutornost a fundamentální věta Hankelových transformací Hankelova transformace m-tého řádu je zřejmě involutorní, tj. platí H(R) = k h(r) = k Vyplývá to z fundamentální věty: V bodech spojitosti funkce f(r), r >, je h(r)j m (krr) r dr, (1) H(R)J m (krr) R dr. () v bodech nespojitosti platí H m {H m {f(r)}} = f(r), (3) H m {H m {f(r)}} = 1 [f(r + ) + f(r )]. (4) Důkaz: [ ] H m {H m {f(r)}} = k R r f(r )J m (kr R) dr J m (krr) dr = R= r = [ ] = k r f(r ) J m (kr R)J m (krr) R dr dr. r = R= Integrál v hranaté závorce vede na Diracovu distribuci R= (viz např. [4], 1.8-9). Je tedy J m (kr R)J m (krr) R dr = 1 k = kr= 1 k r δ(r r) J m (kr R)J m (krr) kr d(kr) = H m {H m {f(r)}} = f(r )δ(r r) dr = f(r) v bodech spojitosti, = 1 [f(r + ) + f(r )] v bodech nespojitosti. 13.5 Rozvoj Fourierovy transformace v mocninnou řadu podle radiální proměnné a ve Fourierovu řadu podle úhlové proměnné Uvažujme o Fourierově transformaci F (R, Φ) rozvinuté ve Fourierovu řadu podle úhlové proměnné F (R, Φ) = A (R) + [A m (R) cos mφ + B m (R) sin mφ], (1) m=1 s koeficienty 13.3(15), v nichž za a m (r) a b m (r) dosadíme výrazy 13.3(): A m (R) B m (R) = A ( i) m α+π α f(r, ϕ) cos sin (mϕ) dϕj m(krr) r dr. ()

13 FOURIEROVA TRANSFORMACE V POLÁRNÍCH SOUŘADNICÍCH 9 Z mocninné řady Besselovy funkce J m (krr) = s= ( 1) s s! (m + s)! ( krr ) m+s je vidět, že rozvoj koeficientů A m (R), B m (R) v mocninnou řadu začíná až m-tou mocninou radiální proměnné R. Funkce cos (mφ), sin (mφ) jsou tedy násobeny koeficienty, jejichž rozvoj v mocninnou řadu obsahuje jen mocniny R m a vyšší: A m (R) B m (R) = A ( i) m s= ( 1) s s! (m + s)! α+π α f(r, ϕ) cos sin (mϕ) dϕ ( krr ) m+s r dr. (3) Použijeme-li vztahů a označení ( 1) s = ( i) s, p p! = (p)!! = p (p ) 4, A l,m B l,m = dostaneme pro koeficienty (3) výrazy α+π α f(r, ϕ) r l+1 cos sin (mϕ) dϕ dr, (4) A m (R) B m (R) = A s= ( ikr) m+s (s)!! (m + s)!! Rozvoj (1) Fourierovy transformace F (R, Φ) je pak tvaru A m+s,m B m+s,m. F (R, Φ) = A { + s= m=1 s= ( ikr) s (s!!) A s, + ( ikr) m+s [ A m+s,m cos(mφ) + B m+s,m sin(mφ)] }. (5) (s)!! (m + s)!! Uvážíme-li, že jednotliví sčítanci obsahují index s jen ve dvojnásobku, zavedeme-li označení m + s = l (6) a chápeme-li prvou sumu ve složených závorkách jako část dvojné řady odpovídající indexu m =, můžeme přepsat rozvoj (5) do tvaru { F (R, Φ) = A ( ikr) l 1 + ( 1)l A l, (l!!) + + l= m=1 l=m ( ikr) l 1 + ( 1)l+m 1 [ A l,m cos(mφ) + B l,m sin(mφ)] }. (7) (l m)!! (l + m)!! Tento rozvoj je stále ještě Fourierovou řadou Fourierovy transformace F (R, Φ) podle úhlové proměnné Φ s koeficienty rozvinutými v mocninnou řadu. Zaměníme-li pořadí sčítání, dostaneme mocninnou řadu Fourierovy transformace podle radiální proměnné R s koeficienty tvořenými lineárními kombinacemi funkcí cos(mφ), sin(mφ): [ 1 + ( 1) F (R, Φ) = A ( ikr) l l A l, (l!!) + + l= l 1 + ( 1) l+m 1 { Al,m cos(mφ) + B l,m sin(mφ) }]. (8) (l m)!! (l + m)!! m=1

1 13 FOURIEROVA TRANSFORMACE V POLÁRNÍCH SOUŘADNICÍCH Tento výraz je jednoduchou řadou, neboť koeficient u R l je součtem konečného počtu sčítanců, pro něž je m l. Obdobně platí kde [ 1 + ( 1) f(r, ϕ) = B ( ikr) l l a l, (l!!) + + l= l 1 + ( 1) l+m 1 { al,m cos(mϕ) + b l,m sin(mϕ) }], (9) (l m)!! (l + m)!! m=1 a l,m b l,m = α+π α F (R, Φ)R l+1 cos sin (mφ) dφ dr. (1) Na vztahu (8) je pozoruhodné, že Fourierova transformace je vyjádřena prostřednictvím konstant A l,m, B l,m vyjádřených integrály (4). Není třeba počítat pro každý bod R, Φ dvojný integrál představující Fourierovu transformaci 13.1(4), ale stačí vypočíst integrály (4). Chceme-li počítat Fourierovu transformaci jen v určité oblasti kolem počátku, stačí jich vypočíst jen nevelký počet. Tento počet se ještě zmenší, když funkce f(r, ϕ) má nějakou symetrii, zejména n-četnou při n > 1. Platí-li totiž pro všechna r, ϕ ( f(r, ϕ) = f r, ϕ + π ), (11) n jsou koeficienty Fourierova rozvoje této funkce takové, že a rovněž a m (r) = b m (r) =, když m pn, p = 1,,... A m (R) = B m (R) =, A l,m = B l,m =, když m pn. Fourierova transformace je pak vyjádřena řadou [ 1 + ( 1) F (R, nφ) = A ( ikr) l l A l, (l!!) + l= [l/n] + p=1 1 + ( 1) l+pn 1 { Al,pn cos(pnφ) + B l,pn sin(pnφ) }], (1) (l pn)!! (l + pn)!! v níž [l/n] značí celou část čísla l/n a koeficienty jsou dány integrály (4) nebo, využijeme-li n-četné symetrie A l,pn B l,pn = n α+π/n α f(r, ϕ) r l+1 cos sin (pnϕ) dϕ dr. (13) Z tvaru (1) Fourierovy transformace je zřejmé, že koeficienty u l-té mocniny radiální proměnné R jsou lineární kombinací funkcí cos(pnφ), sin(pnφ), v nichž pn může nabývat jen těch nezáporných celistvých násobků symetrie n, jež nepřevyšují l. Jinými slovy, koeficient u R l obsahuje jen funkce cos(pnφ), sin(pnφ) v nichž p [l/n]. Konkrétně, máme-li např. desetičetnou symetrii, je koeficient u prvých deseti mocnin radiální proměnné R, R, R,..., R 9 nezávislý na úhlové proměnné Φ. Koeficient u mocnin R 1, R 11,..., R 19 je tvořen lineární kombinací funkcí cos(φ), cos(1φ), sin(1φ). Dalších deset mocnin R,..., R 9 má koeficienty, jež jsou kombinacemi právě jen funkcí cos(φ), cos(1φ), sin(1φ), cos(φ), sin(φ). Atd. Tím se vysvětluje, proč Fraunhoferovy difrakční obrazce objektů s n-četnou symetrií mívají kolem středu úplnou kruhovou symetrii, v určité vzdálenosti od středu prostou n-četnou (resp. n-četnou, při n lichém) symetrii a čím dále od středu je tato n-četná symetrie členitější. (Pozor, nejde o specifickou vlastnost

13 FOURIEROVA TRANSFORMACE V POLÁRNÍCH SOUŘADNICÍCH 11 Fourierovy transformace. Tuto vlastnost mají všechny funkce s n-četnou symetrií, které mají všechny derivace ve středu symetrie, tj. lze je rozvést v mocninnou řadu kolem středu symetrie.) Počet nenulových koeficientů A l,pn, B l,pn polynomu l-tého stupně v proměnné R, tvořeného prvními l + 1 členy řady (1) klesá s rostoucím n. Počet nenulových koeficientů A l,pn, B l,pn se ještě dále sníží, když funkce f(r, ϕ) je zrcadlově symetrická nebo antisymetrická podle přímky ϕ =, ϕ = π. Zvolíme-li v integrálu (13) α = π/n dostaneme v případě symetrie a v případě antisymetrie A l,pn = n π/n f(r, ϕ) r l+1 cos(pnϕ) dϕ dr, B l,pn =, (14) A l,pn =, B l,pn = n π/n f(r, ϕ) r l+1 sin(pnϕ) dϕ dr. (15) 13.6 Příklad: n kruhových otvorů rovnoměrně rozmístěných podél kružnice Vyjádříme nyní funkci propustnosti nepropustného stínítka, v němž je n kruhových otvorů o poloměru a rovnoměrně rozmístěných podél kružnice o poloměru r. Pól r = soustavy souřadnic zvolíme ve středu kružnice, podél níž jsou otvory rozmístěny a směr ϕ = zvolíme ke středu některého z otvorů (viz obr. 3). Stínítko má tedy n-četnou symetrii kolem pólu r = a n přímek zrcadlení ϕ = πj/n, ϕ = π(1 + j/n), j =, 1,..., n 1. Obrázek 3: Soustava kruhových otvorů rovnoměrně rozmístěných po obvodu kružnice. Funkce propustnosti je rovna jedné v otvorech a nule v nepropustných částech. Má tedy tvar {[ r + r rr cos ( ϕ π n f(r, ϕ) = circ j)] } 1/, (1) a jenž vyjádřen konvolucí je mnohem názornější: ( r f(r, ϕ) = circ a) δ(r r ) δ r j= j= (ϕ πn ) j. () Podle věty o Fourierově transformaci konvoluce a podle 13.(4) dostaneme pro Fourierovu transformaci funkce () výraz

1 13 FOURIEROVA TRANSFORMACE V POLÁRNÍCH SOUŘADNICÍCH kde F (R, Φ) = 1 ( r {circ A a)} FT δ(r r ) FT r δ j= (ϕ πn ) j = = A πa J 1(kaR) kar ns n(kr R, Φ), (3) A δ(r r ) ns n (kr R, Φ) = FT r δ j= (ϕ πn ) j. (4) Je tedy Fourierova transformace (3) charakterizována funkcí S n (kr R, Φ) amplitudově modulovanou rotačně symetrickou funkcí J 1 (kar)/(kar). Tato modulace se v okolí pólu R = projevuje tím méně, čím menší je a/r (v obrázcích 4 a 5 je a/r = 1/ a obrázky zachycují jen centrální část difrakčního obrazce vymezenou prvním kořenem funkce J 1 (kar), tj. kar = 3.83). Pro další výpočty odhlédneme od této rotačně symetrické modulace Airyho funkcí J 1 (kar)/kar. Fyzikálně to znamená, že nahradíme kruhové otvory konečné velikosti bodovými zdroji. Matematicky to znamená, že se podle (4) budeme zabývat Fourierovou transformací součtu funkcí delta. Vypočítáme nejdříve Fourierovu řadu tohoto součtu: Koeficienty δ(r r ) r j= δ (ϕ πn ) j = a (r) + a (r) = 1 α+π δ(r r ) π α r j= a pn (r) = 1 α+π δ(r r ) π α r j= j= = 1 δ(r r ) cos (pn πn ) π r j = = n π a pn (r) cos (pnϕ). (5) p=1 δ (ϕ πn ) j dϕ = n π δ (ϕ πn ) j cos (pnϕ) dϕ = δ(r r ), (6) r δ(r r ), (7) r jsou všechny stejné, jak lze očekávat (jde vlastně o nekonečnou mřížku tvořenou body). Fourierova řada (5) je tedy tvaru δ(r r ) δ (ϕ πn ) [ ] r j = n δ(r r ) 1 + cos (pnϕ). (8) π r j= Fourierovu transformaci této funkce vypočteme třemi způsoby a) Přímo pomocí vztahu 13.1(3): δ(r r ) FT r = A = A j= α+π α δ j= (ϕ πn ) j = p=1 δ(r r ) δ (ϕ πn ) j exp[ ikrr cos(φ ϕ) ] dϕ dr = [ exp ikr R cos j= (Φ πn j )]. (9)

13 FOURIEROVA TRANSFORMACE V POLÁRNÍCH SOUŘADNICÍCH 13 Obrázek 4: Fraunhoferova difrakce na soustavě kruhových otvorů rovnoměrně rozmístěných po obvodu kružnice.

14 13 FOURIEROVA TRANSFORMACE V POLÁRNÍCH SOUŘADNICÍCH Obrázek 5: Fraunhoferova difrakce na soustavě kruhových otvorů rovnoměrně rozmístěných po obvodu kružnice.

13 FOURIEROVA TRANSFORMACE V POLÁRNÍCH SOUŘADNICÍCH 15 Ze vztahů (4) a (9) je zřejmé, že S n (kr R, Φ) = 1 n [ exp ikr R cos (Φ πn )] j. (1) j= b) Pomocí Fourierovy řady 13.3(4) podle úhlové proměnné Φ: δ(r r ) FT r δ j= (ϕ πn ) j = A (R) + s koeficienty 13.3(15), které po dosazení (6) a (7) jsou tvaru A pn (R) cos(pnφ), (11) p=1 Ze (4), (11) a (1) vyplývá A pn (R) = ( i) pn A B k a pn (r)j pn (krr)r dr = = A n( i) pn δ(r r ) J pn (krr) dr = = A n( i) pn J pn (kr R). (1) S n (kr R, Φ) = J (kr R) + ( i) pn J pn (kr R) cos(pnφ). (13) p=1 c) Pomocí mocninné řady 13.5(1) v radiální proměnné R s koeficienty 13.5(13), které v našem případě nabývají tvaru: A l,pn = n B l,pn =, S n (kr R, Φ) = π/n π/n δ(r r ) j= δ (ϕ πn ) j r l cos(pnϕ) dϕ dr = = nr l, (14) ( ikr R) l l= 1 + ( 1)l (l!!) + [l/n] p=1 (15) 1 + ( 1) l+pn cos(pnφ). (16) (l pn)!! (l + pn)!! Z těchto výsledků lze získat velké množství zajímavých vztahů. Uvedeme nejprve zobecnění Jacobiových vzorců: Porovnáním výrazů (1) a (13) a označením kr o R = z dostáváme 1 [ exp iz cos (Φ πn )] n j = J (z) + j= ( i) pn J pn (z) cos(pnφ). (17) Jacobiovy rozvoje B.1(8), B.1(9) se dostanou pro n = 1 porovnáním reálné a imaginární části rovnice (17) p=1 cos(z cos Φ) = J (z) + ( 1) p J p (z) cos(pφ), sin(z cos Φ) = p=1 ( 1) p J p+1 (z) cos [ (p + 1)Φ ]. p=

16 13 FOURIEROVA TRANSFORMACE V POLÁRNÍCH SOUŘADNICÍCH Obrázek 6: Siemensova hvězdice s 7 ti četnou symetrií. 13.7 Příklad: Siemensova hvězdice Siemensova hvězdice se též nazývá radiální mřížka nebo Jewellův test. Je tvořena rovnoplochými kruhovými výsečemi, které jsou střídavě propustné a nepropustné (viz obr. 6). Je to útvar s n-četnou symetrií, kde n bývá dosti vysoké číslo, např. n = 36 ([5], [6], str. 79 až 81), n = 7 ([7]) nebo dokonce n = 1 ([8], str. 15). Siemensovy hvězdice se často používají ke studiu přenosových funkcí zobrazovacích soustav, tj. ke studiu přenosu prostorových frekvencí ([9], [6], [8], str. 148 15). Proto obsah prostorových frekvencí Siemensovy hvězdice podrobně prostudujeme a budeme příslušnými výpočty ilustrovat probíranou látku. Začneme tím, že vyjádříme koeficienty rozvojů funkce propustnosti a její Fourierovy transformace do Fourierových řad podle úhlové proměnné. Soustavu polárních souřadnic zvolíme tak, že její pól koinciduje se středem n-četné symetrie a směr ϕ = prochází středem propustného sektoru (viz obr. 7). Pak funkci propustnosti hvězdice charakterizují výrazy f(r, ϕ) = 1, když ϕ = všude jinde. ( π n j π n, π n j + π ), r (, a), j = 1,,..., n, n (1) Poněvadž jde o sudou funkci proměnné ϕ a vzhledem k n-četné symetrii, má Fourierova řada tvar kde f(r, ϕ) = a (r) + a pn (r) cos(pnϕ), () p=1 a (r) = n π/n dϕ = 1, když r a, π π/n a (r) =, když r > a,

13 FOURIEROVA TRANSFORMACE V POLÁRNÍCH SOUŘADNICÍCH 17 Obrázek 7: Fraunhoferovy difrakční obrazce od Siemensových hvězdic s n četnou symetrii (n =, 3,..., 7).

18 13 FOURIEROVA TRANSFORMACE V POLÁRNÍCH SOUŘADNICÍCH a pn (r) = n π/n cos(pnϕ) dϕ = 1 π π/n πp sin pπ, když r a, a pn (r) =, když r > a. Je zřejmé, že koeficient a pn (r) je roven nule, když p je sudé číslo. Dostáváme tak a (r) = 1, a (m+1)n (r) = ( 1) m, m =, 1,,..., když r a, (m + 1)π (3) a (r) = a (m+1)n (r) =, když r > a, a mn (r) =, když m = 1,,.... (4) Funkce propustnosti Siemensovy hvězdice rozvinutá ve Fourierovu řadu podle úhlové proměnné má tedy tvar f(r, nϕ) = 1 + π m= f(r, nϕ) =, když r > a. ( 1) m m + 1 cos[ (m + 1)nϕ ], když r a, (5) Je zřejmé, že funkci propustnosti Siemensovy hvězdice můžeme zapsat ve tvaru kde funkce f(r, nϕ) = 1 [ ( r ] circ + f 1 (r, nϕ), (6) a) f 1 (r, nϕ) = 4 π m= ( 1) m m + 1 cos[ (m + 1)nϕ ], když r a, f 1 (r, nϕ) =, když r > a (7) je funkcí propustnosti hvězdice, která se od Siemensovy hvězdice liší tím, že v původně nepropustných sektorech Siemensovy hvězdice obrací fázi, tj. tam, kde při r a je f(r, nϕ) =, je f 1 (r, nϕ) = 1. Difrakční jevy (Fresnelovy) od tohoto typu mohou být užitečné pro vytyčování přímek (srov. [1]). Fourierova transformace F (R, nφ) funkce propustnosti Siemensovy hvězdice má Fourierovu řadu tvořenou týmiž členy jako řada (5), tj. F (R, nφ) = A (R) + A (m+1)n (R) cos [ (m + 1)nΦ ]. (8) m= Její koeficienty vypočteme podle 13.3(15) z koeficientů (3): A (R) = A π a J (krr) r dr, A (m+1)n (R) = A ( i) n ( 1) m(n+1) m + 1 Koeficient A (R) vypočteme stejně jako v 13.() až (4) a dostaneme A (R) = A πa Koeficienty A (m+1)n (R) vypočteme použitím vztahu (viz [11], str. 51) x J r (t) t dt = rx s= a J (m+1)n (krr) r dr. J 1 (kar) kar. (9) r + s + 1 (r + s + )(r + s) J r+s+1(x).

13 FOURIEROVA TRANSFORMACE V POLÁRNÍCH SOUŘADNICÍCH 19 A (m+1)n (R) = A πa 4 ( 1) m(n+1) 1 ( i)n π m + 1 (kar) = A πa 8n ( i)n π ( 1)m(n+1) s= kar (m + 1)n + s + 1 [(m + 1)n + s + ][(m + 1)n + s] J (m+1)n (t) t dt = J (m+1)n+s+1 (kar). (1) kar Koeficienty A (R), A (m+1)n (R) jsou vyjádřeny funkcemi J r (t)/t. Tyto funkce mají několik pozoruhodných vlastností (jsou např. Hankelovými transformacemi Zernikových polynomů, lze z nich vybrat ortogonální systémy na intervalu (, 1) s vahou t), a proto byly nazvány Airyho funkcemi (viz [1], str. 77). Jsou definovány vztahem takže A r,s (t) = (1 + δ r, δ s, ) J r+s+1(t), (11) t A, (t) = J1(t) t, A,1 (t) = J3(t) t, A, (t) = J5(t) t,... A 1, (t) = J(t) t, A 1,1 (t) = J4(t) t, A 1, (t) = J6(t) t,... A, (t) = J3(t) t, A,1 (t) = J5(t) t, A, (t) = J7(t) t,.... Koeficienty (9), (1) tak můžeme napsat ve tvaru.. A (R) = A πa A,(kaR), (1) A (m+1)n (R) = A πa 8n ( i)n π ( 1)m(n+1) (m + 1)n + s + 1 [(m + 1)n + s + ] [(m + 1)n + s] A (m+1)n,s(kar). (13) s= Fourierova transformace funkce propustnosti Siemensovy hvězdice rozvinutá ve Fourierovu řadu podle úhlové proměnné F (R, nφ) = A πa je součtem dvou funkcí s= { A, (kar) + ( i) n 16n π ( 1) m(n+1) cos [(m + 1)nΦ] m= (m + 1)n + s + 1 [(m + 1)n + s + ] [(m + 1)n + s] A (m+1)n,s(kar) } (14) F (R, nφ) = 1 A πa A, (kar) + 1 F 1(R, nφ), (15) z nichž první je polovinou Fourierovy transformace funkce propustnosti prázdného kruhového otvoru o poloměru a (a je proto nezávislá na úhlové proměnné) a dvojná řada F 1 (R, nφ) = A ( i) n 16na ( 1) m(n+1) cos [(m + 1)nΦ] s= m= (m + 1)n + s + 1 [(m + 1)n + s + ] [(m + 1)n + s] A (m+1)n,s(kar) (16)

13 FOURIEROVA TRANSFORMACE V POLÁRNÍCH SOUŘADNICÍCH je Fourierovou transformací radiální mřížky dokonale propouštějící amplitudu všemi sektory, jejíž sousední sektory však obracejí fázi procházejícího světla. Ve Fourierově řadě (16) je koeficientem u cos[(m + 1)nΦ] nekonečná řada Airyho funkcí, jež začíná funkcí A (m+1)n, (kar). To naznačuje, že dvojnou řadu ve (14) lze přerovnat v jednoduchou řadu, což nyní učiníme. Zavedeme označení jehož použitím přejde výraz (16) do tvaru kde v (m+1)n+s (kar) = [(m + 1)n + s + 1] A (m+1)n,s(kar) [(m + 1)n + s + ] [(m + 1)n + s], (17) u m (nφ) = ( 1) m(n+1) cos [ (m + 1)nΦ ], F 1 (R, nφ) = A ( i) n 16na S(kaR, nφ), (18) S(kaR, nφ) = [ ] u m (nφ) v (m+1)n+s (kar). m= V řadě s= v (m+1)n+s(kar) vytvoříme součty po n sčítancích: s= v (m+1)n+s = s= + = v (m+1)n+s + v (m+3)n+s + s= s= v (m+r+1)n+s + s= V m+r, r= kde V m+r (kar) = v [(m+r)+1]n+s (kar). s= Dvojnou řadu S(kaR, nφ) pak přerovnáme takto: S = u m m= r= V m+r = = u V + u V 1 + u V + u V 3 +... + u 1 V 1 + u 1 V + u 1 V 3 +... + u V + u V 3 +... +... ( m ) = u V + (u + u 1 )V 1 + (u + u 1 + u )V +... + u l V m +... = ( m ) u l V m. m= l= Tím je dvojná řada S vyjádřena jednoduchou řadou [ m ] S(kaR, nφ) = u l (nφ) v (m+1)n+s (kar). (19) m= Součet tvořící prvý faktor jednotlivých sčítanců lze vyjádřit takto: l= s= l=

13 FOURIEROVA TRANSFORMACE V POLÁRNÍCH SOUŘADNICÍCH 1 m u l (nφ) = l= = m ( 1) l(n+1) cos [ (l + 1)nΦ ] = l= 1 [1 + ( 1) n cos(nφ)] { [ ] [1 + ( 1) n ] cos(nφ) 1 ( 1) (n+1)(m+1) cos[(m + 1)nΦ] + } + [1 ( 1) n ] ( 1) (n+1)(m+1) sin(nφ) sin[(m + 1)nΦ], () což lze očekávat, považujeme-li součet m l= u l za reálnou část součtu exp(inφ) m [ ( 1) n+1 exp(inφ) ] l l= prvých m+1 členů geometrické posloupnosti. Vzhledem k (19) a () lze funkci F 1 (R, nφ) přepsat z tvaru (18) do tvaru jednoduché řady F 1 (R, nφ) = ( A ( i) n 8na ) 1 + ( 1) n v (m+1)n+s (kar) cos(nφ) m= s= { [ ] [1 + ( 1) n ] cos(nφ) 1 ( 1) (n+1)(m+1) cos[(m + 1)nΦ] + } + [1 ( 1) n ] ( 1) (n+1)(m+1) sin(nφ) sin[(m + 1)nΦ], (1) Tento poněkud složitý výraz je použitelný pro libovolné přirozené číslo n. Faktory [1 ± ( 1) n ] však naznačují, že pro n sudá nebo n lichá se výraz (1) zjednoduší. Upravíme tedy ve výrazu (1) členy obsahující mocniny ( i) n a ( 1) n : ( i) n {...} 1 + ( 1) n cos(nφ) Funkce F 1 (R, nφ) má tedy tvar F 1 (R, nφ) = A ( 1) n 8na cos(nφ) když n je sudé číslo, zatímco F 1 (R, nφ) = A i = ( 1) n 1 + ( 1) m cos[(m + 1)nΦ], když n je sudé číslo cos(nφ) = i( 1) n+1 sin[(m + 1)nΦ], když n je liché číslo. sin(nφ) m= ( 1) n+1 8na sin(nφ) {1 + ( 1) m cos[(m + 1)nΦ]} v (m+1)n+s (kar), () m= s= sin[(m + 1)nΦ] v (m+1)n+s (kar), (3) když n je liché číslo. (Připomínáme, že funkce v (m+1)n+s (kar) jsou podle (17) úměrné Airyho funkcím (11).) Je hodno pozoru, že výraz () je reálný, neboť jde o Fourierovu transformaci reálné a středově symetrické funkce, zatímco výraz (3) je ryze imaginární, neboť jde o Fourierovu transformaci reálné a středově antisymetrické funkce. Dosadíme-li výrazy () resp. (3) do (15), dostaneme Fourierovu transformaci funkce propustnosti příslušné Siemensovy hvězdice. Vyjádříme nyní Fourierovu transformaci funkce propustnosti Siemensovy hvězdice ve tvaru mocninné řady radiální proměnné R (viz 13.5(1)). Integrály 13.5(14) mají vzhledem k (1) tvar s= A l, = n A l,(m+1)n = n a a π n π n r l+1 dϕ dr = π al+ l +, r l+1 cos[(m + 1)nϕ] dϕ dr = ( 1)m a l+ (l + )(m + 1).

13 FOURIEROVA TRANSFORMACE V POLÁRNÍCH SOUŘADNICÍCH Mocninná řada 13.5(1) má tedy v případě Siemensovy hvězdice tvar F (R, nφ) = A πa l= ( ikar) l l + { 1 + ( 1) l (l!!) + 4 [ 1 + ( 1) l+n ] [ ( 1 l n 1)] ( 1) m π m + 1 m= Je zřejmé, že mocninná řada funkce F 1 (R, nφ) je cos[(m + 1)nΦ] [l (m + 1)n]!! [l + (m + 1)n]!! F 1 (R, nφ) = A a ( ikar) l 1 + ( 1)l+n l + l= [ 1 ( l n 1)] m= ( 1) m cos[(m + 1)nΦ] m + 1 [l (m + 1)n]!! [l + (m + 1)n]!!. (4) (Z výrazu 1 + ( 1) l+n je opět zřejmé, že funkce F 1 je reálná, když n je sudé číslo, a ryze imaginární, když n je liché číslo.) Reference [1] Gradshteyn I. S., Ryzhik I. M.: Table of Integrals, Series, and Products. Academic Press, New York and London 1994. [] Watson G. N.: A Treatise on the Theory of Bessel Functions. nd ed. At the University Press, Cambridge 1966. [3] Rayleigh J. W.: On images formed without reflection or refraction. Philosophical Magazine 11 (1881), 14 18. Též Scientific Papers Vol. I, At the University Press, Cambridge 1899, 513 517. [4] Korn A. G., Korn T. M.: Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. McGraw Hill Book Co., Inc., New York 1961. [5] Roeder H.: Das Auflősungsvermőgen bei der photographischen Aufnahme (das Sch arfendetail). I VII. Die Photographische Industrie, Berlin (1941), 351 45. [6] Rőhler R.: Informationstheorie in der Optik. Wissenschaftliche Verlagsgesellschaft, Stuttgart 1967. [7] Komrska J.: Fraunhofer diffraction from sector stars. Optica Acta 3 (1983), 887 95. [8] Goodman J. W.: Introduction to Fourier Optics. nd ed. McGraw-Hill, New York 1996. [9] Lindberg P.: Measurement of Contrast Transmission Characteristics in Optical Image Formation. Optica Acta 1 (1954), 8 89. [1] Ojeda Castañeda J., Andrés P., Martínez Corral M.: Zero axial irradiance by annular screens with angular variation. Applied Optics 31 (199), 46 46. [11] Luke Y. L.: Integrals of Bessel Functions. McGraw Hill Co., New York 196. [1] Zeitler E.: Reconstruction with Orthogonal Functions. In: Electron Tomography: Three-Dimensional Imaging with the Transmission Electron Microscope (ed. by J. Frank). Plenum Press, New York 199, 63 89.

13 FOURIEROVA TRANSFORMACE V POLÁRNÍCH SOUŘADNICÍCH Obrázek 8: Části difrakčního obrazce z 7 ti četné Siemensovy hvězdice (viz obr. 6). 3

4 13 FOURIEROVA TRANSFORMACE V POLÁRNÍCH SOUŘADNICÍCH Obrázek 9: Normovaná Fourierova transformace F (R, nφ)/f () charakteristické funkce 7 ti četné Siemensovy hvězdice (viz obr. 8). Čárkovaně jsou vyznačeny záporné hodnoty Fourierovy transformace.

13 FOURIEROVA TRANSFORMACE V POLÁRNÍCH SOUŘADNICÍCH 5