.4.11 Konstruke n zákldě výpočtu I Předpokldy: Pedgogiká poznámk: Je důležité si uvědomit, že následujíí sled příkldů neslouží k tomu, y si žái upevnili mehniký postup n dělení úseček. Jediné, o y si měli pmtovt, že ve všeh příkldeh využijí podonost trojúhelníků úsečku, n kterou si oznčí potřený počet dílů. Vše osttní y měli vymýšlet v konkrétní situi smi. Sled je uprvený tk, y tupému opkování mo nepřál, nví si n tuli ukzujeme i dlší možnosti, pokud řešíme prolémy v lvii snžím se žák směrovt vždy n trohu jiné řešení. Pokud nejsou shopni následujíí příkld smi vyřešit, ereme to jko náznk toho, že postup ještě neovládli správně. Ryhlost postupu v této hodině hodně závisí n tom, jk ryhle se studenti oprostí od mehnikého opkování zčnou tvůrčím způsoem používt podonost trojúhelníků. Doporučuji postup neuspěht v přípdě potřey přesunout příkld 5 do dlší hodiny. Orázky u následujííh příkldů jsou shválně kresleny "kždý jink" (kreslím je tk i při hodině n tuli), y žái viděli, že jejih tvr není důležitý. Př. 1: Úsečku rozděl odem n dvě části tk, y pltilo: : = :. Njdi o nejvíe různýh způsoů, jk n řešení využít podonost trojúhelníků. od dělí úsečku n dvě části o třeh (úsečk ) dvou (úsečk ) díleh elá úsečk má pět dílů. 5 Trojúhelníky 5 jsou si podoné v poměru: = úsečky si musí ýt podoné ve 5 5 stejném poměru = nlezli jsme 5 poždovný od. Pomonou úsečku můžeme kreslit i z druhé strny. Trojúhelníky 5 jsou si podoné v poměru: = úsečky si musí ýt 5 5 podoné ve stejném poměru = 5 nlezli jsme poždovný od. 5 Příkld můžeme vyřešit i přímo pouze poměrem : = :, tím, že nkreslíme dv trojúhelníky nvzájem podoné s tímto poměrem. 1
Trojúhelníky jsou si podoné v poměru: = úsečky si musí ýt podoné ve stejném poměru = nlezli jsme poždovný od. Že všehny postupy vedou ke stejnému výsledku, se sndno přesvědčíme tím, že všehny orázky položíme n see. 5 5 Při dělení úsečky postupujeme ve dvou kroíh: Uvědomíme si, kolik dílů mjí jednotlivé vzdálenosti, které n úseče mjí vzniknout. Njdeme vhodnou podonost trojúhelníků, kterými můžeme tkovou situi relizovt. Pmtovt si dlší podronosti postupu není rozumné, protože tím omezujeme své možnosti regovt n různé situe. Pedgogiká poznámk: Po všeh (u těh, kteří příkld nevyřeší smi, n tom trvám) hi, y nkreslili i druhou možnost řešení, s úsečkou vyházejíí z druhého krjního odu. Př. : Úsečku rozděl odem n dvě části tk, y pltilo: ) : = 1: ) : = : ) : = 1: N úseče vzniknou tři vzdálenosti (závore počet dílů): (), (1), (1). N řešení můžeme použít liovolný z postupů uvedenýh v předhozím příkldě.
Trojúhelníky 1 jsou si podoné v 1 1 poměru: = úsečky si musí 1 1 ýt podoné ve stejném poměru = nlezli jsme poždovný od. ) : = : N úseče vzniknou tři vzdálenosti (závore počet dílů): (), (1), (). N řešení můžeme použít liovolný z postupů uvedenýh v předhozím příkldě. Trojúhelníky jsou si podoné v poměru: s úsečky si musí ýt podoné ve stejném poměru = nlezli jsme poždovný od. Př. : Jsou dány ody,. N příme nrýsuj všehny ody tk, y pltilo: ) : = : 4, ) : = :. Hledej o nejúspornější způso nrýsování. ) : = : 4 Velmi podoné předhozím příkldům, le máme ody hledt n elé příme od může ležet i mimo úsečku, zřejmě před odem. Konstruke: 4 1 ) : = : Vzdálenost je větší než vzdálenost opět njdeme dv ody, o udou ležet mimo úsečku.
1 Pedgogiká poznámk: Žákům, kteří v odě ) nkreslí pouze jeden od (vždy to ývá ten n úseče ) podoně jko v předhozíh příkldeh v první fázi připomínám, y si přečetli pořádně zdání (změn z úsečky n přímku má určitě svůj význm). I když jim eisteni druhého odu mimo úsečku někdo pordí, měli y se ho pokusit njít smi. U oou příkldů se snžím motivovt žáky k tomu, y kreslili úsporně (nerýsovli zytečně dvě sdy trojúhelníků). Pedgogiká poznámk: V následujííh příkldeh opět nejde o ni jiného Př. 4: Jsou dány úsečky o délkáh,,. Sestroj úsečku o déle =. Njdi oený postup, jk sestrojit ez měřítk poždovnou úsečku pro liovolné konkrétní délky úseček,,. Zkonstruuj úsečku pro konkrétní délky = 6m, = 5m, = 4m. Změř její délku zkontroluj ji pomoí numerikého výpočtu. Umíme konstruovt pomoí podonýh trojúhelníků pokusíme se uprvit výrz n rovnost dvou poměrů: = / :. = rovnost poměrů dvou strn (pltí u podonýh trojúhelníků). Získnou rovnost můžeme využít víe způsoy. = úsečky o délkáh, tvoří modrý (n orázku šrfovný) trojúhelník, jemuž je podoný červený trojúhelník se strnmi,. Jednu dvojii strn tvoří strny o délkáh,, druhou strny o délkáh,. 4
= úsečky o délkáh, tvoří modrý (n orázku šrfovný) trojúhelník, jemuž je podoný červený trojúhelník se strnmi,. Jednu dvojii strn tvoří strny o délkáh,, druhou strny o délkáh,. Pedgogiká poznámk: Při postupu s tulí nehávám žákům čs, y podle slovního rozoru poměru smi nkreslili orázek. Že oěm způsoy získáme stejný výsledek, se opět můžeme přesvědčit překrytím orázků (ez výplní). Výrz = je délkou úsečky jejíž velikost se nzývá čtvrtá geometriká úměrná úseček o délkáh,,. Při čtvrté geometriké úměrné (i při mnoh dlšíh příkldeh) postupujeme ve dvou kroíh: Uprvíme zdný vzth n rovnost dvou poměrů. Njdeme vhodnou podonost trojúhelníků, kterými můžeme tkovou situi relizovt. Př. 5: Vyřeš příkld 4 ještě jednou s jink uprveným výhozím poměrem. Rovnost můžeme vydělit i délkou : = / :. = rovnost poměrů dvou strn (pltí u podonýh trojúhelníků). Získnou rovnost můžeme využít víe způsoy. 5
= úsečky o délkáh, tvoří modrý (n orázku šrfovný) trojúhelník, jemuž je podoný červený trojúhelník se strnmi,. Jednu dvojii strn tvoří strny o délkáh,, druhou strny o délkáh,. Druhá možnost. = úsečky o délkáh, tvoří modrý (n orázku šrfovný) trojúhelník, jemuž je podoný červený trojúhelník se strnmi,. Jednu dvojii strn tvoří strny o délkáh,, druhou strny o délkáh,. Pedgogiká poznámk: Většin žáků si smozřejmě všimne, že jsme získli dv stejné orázky v opčném pořdí. Rozhodně netrvám n tom, y žái dodělávli oě možnosti. Př. 6: Je dán úsečk o jednotkové déle úsečky o délkáh,. Nrýsuj: ) úsečku o déle =, ) úsečku o déle d =, ) úsečku o déle e = +. Při rýsování používej úsečky délek = 4m, = 5m. Jednotkovou úsečku kresli o déle m. Výsledky zkontroluj numeriky. 1 ) úsečk o déle = Prolém: Pokud heme použít podonost trojúhelníků, potřeujeme n oou strnáh rovnosti poměry, shází všk jedn délk. 6
Řešení: Známe délku jednotkové úsečky do rovnosti můžeme doplnit jedničku (kterou můžeme dělit dle liosti). = = 1 = úsečky o délkáh, tvoří modrý 1 (n orázku šrfovný) trojúhelník, jemuž je podoný červený trojúhelník se strnmi, 1. Jednu dvojii strn tvoří strny o délkáh, 1, druhou strny o délkáh,. 1 Numeriká kontrol (dosdíme do vzthu velikosti úseček vypočteme velikost ): 4 8 = = m = 1,6m 5 5 ) úsečku o déle d = Nejdříve uprvíme výrz: d = / : d = úsečky o délkáh, tvoří 1 modrý (n orázku šrfovný) trojúhelník, jemuž je podoný červený trojúhelník se strnmi d,. Jednu dvojii strn tvoří strny o délkáh d,, druhou strny o délkáh 1,. d = 1. d Numeriká kontrol: 1 d d 5 d 10m = 1 4 = =. ) úsečku o déle e = + Nejdříve uprvíme výrz: e e = + úsečky o délkáh, + tvoří modrý (n orázku šrfovný) trojúhelník, jemuž je podoný červený trojúhelník se strnmi e,. Jednu dvojii strn = e + / : =. + tvoří strny o délkáh +,, + e 7
druhou strny o délkáh e,. 4 16 Numeriká kontrol: e = e d 1, 78m + = 4 + 5 = 9 =. Pedgogiká poznámk: Délk jednotkové úsečky m je volen kvůli jednoduššímu rýsování i kvůli otížnější početní kontrole. Př. 7: Petáková: strn 78/vičení 9 Shrnutí: K dělení úseček i ke konstruki některýh výrzů používáme přímou úměru. 8