CVIČNÝ TEST 20 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Jsou dána tři celá čísla A, B, C. Zvětšíme-li číslo A o 1, číslo B o 2 a číslo C o 3, bude aritmetický průměr těchto nově vytvořených čísel roven 7. Jaký je aritmetický průměr čísel A, B a C? VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Je dána funkce f: y = a [cos (x + p)] + q, kde a, p, q R {0}. Graf funkce f ukazuje obrázek. 2 Určete součet čísel a + p + q. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Jsou dána čísla a 1 2 a 2a + 2, kde a R, jejichž obrazy na číselné ose ukazuje obrázek. Pro obrazy těchto čísel platí, že jejich vzdálenost je rovna 3. 3 Určete číslo a. 1 bod 2 Maturita z matematiky 03
4 Řešte soustavu rovnic pro x, y 0: 3 x 1 y = 5 max. 3 body 2 x + 3 y = 7 Do záznamového listu uveďte celý postup řešení soustavy. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Matrace tvaru kvádru se skládá z pěnové výplně a bezešvého vaku z bavlněné látky s hrubým tkaním o vysoké gramáži. Hranol pěnové výplně matrace o hustotě 25 kg m 3 má v cm rozměry 150 x 200 x 15. Vak představuje 10 % váhy celé matrace. 5 Určete váhu celé matrace. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 max. 2 body Jsou dány dva trojúhelníky. Jeden má rozměry 10 cm, 8 cm a 6 cm a vnitřní úhel ψ proti nejkratší straně. Druhý je rovnoramenný se základnou délky 11 cm a rameny o délce 7 cm, jehož vnitřní úhly při základně mají velikost φ. 6 Který z úhlů φ, ψ má větší velikost? max. 2 body Maturita z matematiky 03 3
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Součet tří po sobě přímo jdoucích členů aritmetické posloupnosti je roven 18, součin těchto čísel je roven 120. 2 body 7 Která z možností představuje poměr těchto čísel seřazených vzestupně dle velikosti? A) 1 : 3 : 10 B) 1 : 3 : 5 C) 2 : 5 : 10 D) 2 : 7 : 10 E) 3 : 4 : 10 2 body 8 Jakou vzdálenost má bod P [0; 1] od přímky p = {[4m; 1 2 + 3m], m R}? A) 5 B) 1 5 C) 2 5 D) 3 5 E) 4 5 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Jsou dány výrazy V(x) = x 4 x 9 a W(x) = x 4 x 9. max. 2 body 9 Rozhodněte o každém tvrzení (9.1 9.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 9.1 Výrazy V(x) a W(x) mají stejný definiční obor. 9.2 Výrazy V(x) a W(x) mají pro x = 13 stejnou hodnotu. 9.3 Existuje x R takové, že V(x) = 2 3. 9.4 Existuje x R takové, že W(x) = 6. ANO NE 4 Maturita z matematiky 03
max. 4 body 10 Přiřaďte každému z mnohočlenů (10.1 10.4), ve kterých a, b jsou přirozená čísla, jeho vyjádření ve tvaru součinu (A F). 10.1 2a 2 4ab 2b 2 + ab 10.2 4b 2 a 2 10.3 a 2 2ab 10.4 a 2 4ab + 4b 2 A) (a 2b)a B) (a 2b)(2a + b) C) (a 2b)(a + 2b) D) (a 2b)(a 2b) E) 2b(2a + b) F) (2b a)(2b + a) KONEC TESTU Maturita z matematiky 03 5
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ 1 bod 1 Jsou dána tři celá čísla A, B, C. Zvětšíme-li číslo A o 1, číslo B o 2 a číslo C o 3, bude aritmetický průměr těchto nově vytvořených čísel roven 7. Jaký je aritmetický průměr čísel A, B a C? Vyjádříme aritmetický průměr čísel A, B, C celým číslem m. A + B + C = m A + B + C = 3m 3 Vyjádříme aritmetický průměr čísel po zvětšení dle zadání: (A + 1) + (B + 2) + (C + 3) = 7 A + B + C + 6 = 21 3m = 15 m = 5 3 Aritmetický průměr původních čísel je 5. Řešení: 5 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Je dána funkce f: y = a [cos (x + p)] + q, kde a, p, q R {0}. Graf funkce f ukazuje obrázek. 2 Určete součet čísel a + p + q. 1 bod Graf funkce y = cos x byl posunut o π směrem doleva, proto je p = π. 2 2 Protože amplituda funkce je oproti y = cos (x + π 2 ) poloviční, je číslo a, které ji určuje, rovno 1. Jelikož graf funkce f je posunut o 1 směrem dolů, je q = 1. 2 2 2 Funkce f má tedy předpis: f: y = 1 2 [ cos (x + π 2 )] 1 2 Součet čísel a + p + q = 1 2 + π 2 1 2 = π 2. Řešení: π 2 6 Maturita z matematiky 03
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Jsou dána čísla a 1 2 a 2a + 2, kde a R, jejichž obrazy na číselné ose ukazuje obrázek. Pro obrazy těchto čísel platí, že jejich vzdálenost je rovna 3. 3 Určete číslo a. 1 bod Určíme vzdálenost obrazů čísel jako rozdíl většího a menšího: 2a + 2 (a 1 2 ) = 3 4a + 4 2a + 1 = 6 2a = 6 5 a = 1 2 Řešení: 1 2 4 Řešte soustavu rovnic pro x, y 0: 3 x 1 y = 5 max. 3 body 2 x + 3 y = 7 Do záznamového listu uveďte celý postup řešení soustavy. Zavedeme nové proměnné m, n: 1 x = m; 1 y = n A řešíme soustavu s novými proměnnými m, n: 3m n = 5 2m + 3n = 7 Z první rovnice vyjádříme n = 3m 5 a dosadíme do rovnice druhé: 2m + 3(3m 5 ) = 7 11m = 22 m = 2 n = 3 2 5 n = 1 A z hodnot nových proměnných určíme hodnoty původních proměnných x, y: 1 x = m 1 m = x x = 1 2 1 y = n 1 n = y y = 1 Řešením soustavy je [ 1 2 ;1]. Řešení: [ 1 2 ;1] Maturita z matematiky 03 7
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Matrace tvaru kvádru se skládá z pěnové výplně a bezešvého vaku z bavlněné látky s hrubým tkaním o vysoké gramáži. Hranol pěnové výplně matrace o hustotě 25 kg m 3 má v cm rozměry 150 x 200 x 15. Vak představuje 10 % váhy celé matrace. 5 Určete váhu celé matrace. max. 2 body Váhu pěnové výplně označíme m, hustotu pěny ρ, objem pěnové výplně V a celkovou váhu matrace včetně vaku M. Ze zadání plyne: ρ = 25 kg m 3 V = (1,8 m) (2 m) (0,15 m) = 0,54 m 3 m = Vρ M = m 0,9 Dosadíme do poslední rovnice: M = Vρ (0,54 m3 ) (25 kg m 3 ) = 15 kg 0,9 0,9 Celá matrace váží 15 kg. Řešení: 15 kg VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 Jsou dány dva trojúhelníky. Jeden má rozměry 10 cm, 8 cm a 6 cm a vnitřní úhel ψ proti nejkratší straně. Druhý je rovnoramenný se základnou délky 11 cm a rameny o délce 7 cm, jehož vnitřní úhly při základně mají velikost φ. 6 Který z úhlů φ, ψ má větší velikost? max. 2 body 8 Maturita z matematiky 03
K porovnání použijeme kosinovou větu: cos ψ = 102 + 8 2 6 2 2 10 8 = 0,8 cos φ = 112 + 7 2 7 2 = 0,79 2 11 7 Protože čím ostřejší úhel, tím větší hodnota jeho funkce kosinus, je úhel ψ ostřejší, tedy φ je větší. Téhož závěru dosáhneme, jestliže úhly dopočteme. Není to ovšem nutné. Řešení: φ VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Součet tří po sobě přímo jdoucích členů aritmetické posloupnosti je roven 18, součin těchto čísel je roven 120. 2 body 7 Která z možností představuje poměr těchto čísel seřazených vzestupně dle velikosti? A) 1 : 3 : 10 B) 1 : 3 : 5 C) 2 : 5 : 10 D) 2 : 7 : 10 E) 3 : 4 : 10 Vyjádříme zadanou trojici takto (a je prostřední člen, d je diference aritmetické posloupnosti): a d; a; a + d Sestavíme zadané vztahy: (a d) + a + (a + d) = 18 (a d)a(a + d) = 120 Z první rovnice určíme a: (a d) + a + (a + d) = 18 3a d + d = 18 3a = 18 a = 6 Dosadíme a = 6 do rovnice druhé: (a d)a(a + d) = 180 6(6 d)(6 + d) = 6(36 d 2 ) = 120 36 d 2 = 20 d = 4 d = 4 Jedná se o posloupnost čísel (seřazených vzestupně) 2, 6 a 10. Poměr těchto čísel seřazených vzestupně je po zkrácení 1 : 3 : 5, tj. správná je možnost B. Řešení: B Maturita z matematiky 03 9
2 body 8 Jakou vzdálenost má bod P [0; 1] od přímky p = {[4m; 1 2 + 3m], m R}? A) 5 B) 1 5 C) 2 5 D) 3 5 E) 4 5 Určíme obecnou rovnici přímky p. s p = (4; 3) n p = (3; 4) p: 3x 4y + c = 0 [0; 1 2 ] p 3 0 4 1 2 + c = 0 c = 2 p: 3x 4y + 2 = 0 Nyní dle vzorce určíme vzdálenost d bodu P[0; 1] od přímky: d = Pp = 3 0 4 1 + 2 = 2 = 2 3 2 + 4 2 5 5 Správná je tedy možnost C. Řešení: C VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Jsou dány výrazy V(x) = x 4 x 9 a W(x) = x 4 x 9. max. 2 body 9 Rozhodněte o každém tvrzení (9.1 9.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 9.1 Výrazy V(x) a W(x) mají stejný definiční obor. 9.2 Výrazy V(x) a W(x) mají pro x = 13 stejnou hodnotu. 9.3 Existuje x R takové, že V(x) = 2 3. 9.4 Existuje x R takové, že W(x) = 6. ANO NE 9.1 Definiční obor výrazu V(x) je průnik podmínek x 4 a x > 9, tj. interval (9; + ), zatímco u výrazu W(x) je definičním oborem množina řešení nerovnosti v podílovém tvaru x 4 0. Takovým řešením je x 9 množina (- ; 4 (9; + ). Tvrzení je nepravdivé. 10 Maturita z matematiky 03
9.2 Protože x = 13 vyhovuje oběma podmínkám, je možné jej do obou výrazů dosadit. V(13) = 13 4 13 9 = 9 4 = 3 2 W(13) = 13 4 13 9 = 9 4 = 3 2 V(13) = W(13) Tvrzení je pravdivé. 9.3 Ověříme řešením rovnice za výše uvedených podmínek: x 4 = 2 x 9 3 x 4 = 4 9(x 4) = 4(x 9) 5x = 36 + 36 5x = 0 x = 0 x 9 9 Takové x ale odporuje podmínce výrazu V(x). Tvrzení je nepravdivé. 9.4 Ověříme řešením rovnice za výše uvedených podmínek: x 4 = 6 x 9 x 4 = 6 x 4 = 6(x 9) 4 + 54 = 5x 5x = 50 x = 10 x 9 Takové x sice neodporuje podmínce výrazu W(x), je ale přesto nutné provést zkoušku: L = 10 4 10 9 = 6 1 = 6 = P Tvrzení je pravdivé. Řešení: NE, ANO, NE, ANO max. 4 body 10 Přiřaďte každému z mnohočlenů (10.1 10.4), ve kterých a, b jsou přirozená čísla, jeho vyjádření ve tvaru součinu (A F). 10.1 2a 2 4ab 2b 2 + ab 10.2 4b 2 a 2 10.3 a 2 2ab 10.4 a 2 4ab + 4b 2 A) (a 2b)a B) (a 2b)(2a + b) C) (a 2b)(a + 2b) D) (a 2b)(a 2b) E) 2b(2a + b) F) (2b a)(2b + a) Maturita z matematiky 03 11
10.1 Provedeme postupné vytýkání. 2a 2 4ab 2b 2 + ab = 2a(a 2b) b(2b a) = (a 2b)(2a + b) Řešení: B 10.2 Provedeme rozklad podle vzorce. 4b 2 a 2 = (2b a)(2b + a) Řešení: F 10.3 Vytkneme: a 2 2ab = a(a 2b) Řešení: A 10.4 Rozložíme podle vzorce: a 2 4ab + 4b 2 = (a 2b)(a 2b) Řešení: D KONEC TESTU 12 Maturita z matematiky 03
III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 20 17 výborně 16 14 chvalitebně 13 11 dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 5 1 bod π 2 2 1 bod 1 2 3 1 bod 4 Zavedeme nové proměnné m, n: 1 x = m; 1 y = n A řešíme soustavu s novými proměnnými m, n: 3m n = 5 2m + 3n = 7 Z první rovnice vyjádříme n = 3m 5 a dosadíme do rovnice druhé: 2m + 3(3m 5 ) = 7 11m = 22 m = 2 n = 3 2 5 n = 1 A z hodnot nových proměnných určíme hodnoty původních proměnných x, y: 1 x = m 1 m = x x = 1 2 max. 3 body 1 y = n 1 n = y y = 1 Řešením soustavy je [ 1 2 ;1]. Řešení: [ 1 2 ;1] 5 15 kg max. 2 body 6 φ max. 2 body 7 B 2 body 8 C 2 body 9 max. 2 body 4 podúlohy 2 b. 9.1 NE 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 9.2 ANO 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 9.3 NE 9.4 ANO Maturita z matematiky 03 13
10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 10.1 B 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 10.2 F 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 10.3 A 10.4 D 14 Maturita z matematiky 03
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 4 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 20 17 výborně 16 14 chvalitebně 13 11 dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 1 bod 2 1 bod 3 1 bod 4 max. 3 body 5 max. 2 body 6 max. 2 body 7 2 body 8 2 body 9 max. 2 body 4 podúlohy 2 b. 9.1 3 podúlohy 1 b. 9.2 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 9.3 0 podúloh 0 b. 9.4 Maturita z matematiky 03 15
10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 10.1 3 podúlohy 3 b. 10.2 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 10.3 0 podúloh 0 b. 10.4 16 Maturita z matematiky 03