MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová
Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které jsem vyprcovl smosttě. Všechy zdroje, prmey literturu, které jsem při vyprcováí používl ebo z ich čerpl, v práci řádě cituji s uvedeím úplého odkzu příslušý zdroj. Vedoucí práce: RNDr. Pvel Šišm
Obsh Prohlášeí... Obsh... Poslouposti... Pojem poslouposti... Rekuretí určeí poslouposti...8 Některé vlstosti posloupostí...0 Aritmetické geometrické poslouposti... Aritmetické poslouposti... Užití ritmetických posloupostí...9 Geometrické poslouposti... Užití geometrických posloupostí... Vlstosti ritmetických geometrických posloupostí...8 Limity poslouposti...0 Výsledky ávody k řešeí úloh...7 Sezm zkrtek zček...
Poslouposti Pojem poslouposti Fukce, jejíž defiičí obor je moži N všech přirozeých čísel ebo její podmoži typu {,,, k}, kde k N, se zývá posloupost. Posloupost ( ), jejíž defiičí obor je moži N se zývá ekoečá posloupost. Posloupost posloupost. ( ) k, jejíž defiičí obor je moži {,,, k} se zývá koečá Příkld V soustvě souřdic v roviě obrázku (Obr. ) je zobrzeo prvích sedm čleů jisté ekoečé poslouposti ( ). Vypište je: 0 0 7 - - Obr. Řešeí, 0,,,,,. 7 Příkld () f. Prví čle poslouposti je tedy. Vypočtěte prvích šest čleů poslouposti zdé vzorcem pro -tý čle ( ). Řešeí Prví čle poslouposti je hodot fukce f v bodě, po doszeí do vzorce dosteme
Dále: f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) 9 8 Prvích šest čleů poslouposti jsou tedy čísl,, 9,,, 8. Příkld Určete vzorcem -tý čle poslouposti posloupost zdou ěkolik prvími čley:,,,,,, Řešeí Vidíme, že, tj. liché sudé čley + poslouposti se liší pouze ve zméku. Vidíme, že zákldem bude číslo bude ásobeo mociou čísl. Protože u sudých čleů je lichá moci čísl musí být mocitel tvru +. Tvr -tého čleu poslouposti je ( ) +. Grfem poslouposti ( ) přičemž A má souřdice [, ], kde N, R. Grfem koečé poslouposti je moži vzájem izolových bodů A, A,, A,, ( ) k je koečá moži vzájem izolových bodů A, A,, A,, A k přičemž A má souřdice [, ], kde N, R. Příkld Zázorěte prvích čleů poslouposti Řešeí,,,,. Zázorěí těchto čleů je obrázku (Obr. )..
,, 0, 0 0 Obr. Cvičeí. Překreslete si do sešitu ásledující tbulky doplňte je: 7 8! 7 si π 0. Npište prvích pět čleů těchto posloupostí: ( ) ) b) c) cos π d) ( ). Vypište prvích šest čleů poslouposti dé vzorcem pro -tý čle: ) b) ( ) ( ( ) ) d) + e) ( ( ) ) ) + ( ) c) ( ). Vypište prvích šest čleů poslouposti dé vzorcem pro -tý čle: ) cos π π b) si. Npište prvích deset čleů poslouposti h, která je dá tkto, h() 0, je-li mociou čísl, h(), eí-li mociou čísl. Máme mysli mociu s přirozeým expoetem.
. Njděte vyjádřeí -tého čleu koečé poslouposti: ),,,, c),, 0,,, 7 8 9 b),,,,, 9 7 8 79 d) tg 0, tg 0, tg 0, tg 80 e) log, log, log8, log, log 8 0 7. Určete vzorcem pro -tý čle tyto koečé poslouposti: ),,,,, b),,,,,, c),,,, d),,,,,,, 8. Posloupost ( ) je defiová tkto: Je-li číslo prvočíslo, je, eí-li číslo prvočíslo, je 0. Určete čley, 7,,, 9,, 89, 99, 0, 00. 9. Zjistěte, která z čísel,, jsou čley poslouposti ( 8) 0. V ekoečé poslouposti ( ) +. je pro kždé sudé číslo, pro kždé liché číslo pltí. Zpište tuto posloupost vzorcem pro -tý čle.. Njděte záko vytvořeí poslouposti vyjádřete její -tý čle: ),, 9, 7, 8 b),,, 7, 9, c) 0,, 8,,. Zázorěte grficky prvích pět čleů poslouposti: ( ) ) ( ( ) ) c) ( ) ) b) + ( ) +. Je dá posloupost (8 0 ). Kolik bodů grfu této poslouposti leží: ) d osou x; b) vlevo od osy y. 7
Rekuretí určeí poslouposti Nechť je posloupost ( ) zdá vzorcem pro -tý čle:... + c + c, kde c c,..., R kde pro ěkteré i {,..., }, c + c + c může pltit, že 0. Pk řekeme, že posloupost je zdá rekuretě (z ltiského recurrere, což zmeá vrceti se zpět). c i... Příkld Nechť, +. Určete prvích sedm čleů této poslouposti. + Řešeí Do rekuretího vzorce budeme postupě doszovt vypočíté hodoty, dokud ezískáme prvích sedm čleů. 7 + + + + 7 + 7 + + + + + + + 7 Prvích sedm čleů zdé poslouposti jsou čísl,, 7,,,, 7. Pozámk: Posloupost zdá rekuretě, může být tké zdá jiými vzorci pro vyjádřeí -tého čleu poslouposti v závislosti předchozích čleech ež rekuretím vzorcem uvedeým v předchozí defiici. Lze použít příkld vzorce: c +, kde c R + c, kde c R 8
Cvičeí. Njděte prvích sedm čleů poslouposti ( ), v íž je: ) 0, + b) b 0, b, b + b c) c,c,c c d) + c - d 0,,d 0,d + d + d. Vypište prvích sedm čleů poslouposti ( ) ), + + b), + c) + d),. Určete dé poslouposti rekuretě: ) ( ( + ) ) b) +, +, která je dá rekuretě: c) ( log0 ). Určete prví sedmý čle poslouposti, pro kterou pltí: + ) b) 0. Určete prví čle poslouposti ( ) N je +. + + + 0, 0, pro kterou pltí,, pro všech,. Njděte záko vytvořeí poslouposti vyjádřete rekuretím vzorcem: ),,, 0,, b),,,,, 8,,,, 9
Některé vlstosti posloupostí Posloupost Posloupost ( ) Je-li r < s, pk r < s. ( ) Je-li r < s, pk r > s. se zývá rostoucí, právě když pro všech r, s N pltí: se zývá klesjící, právě když pro všech r, s N pltí: Příkld Dokžte, že posloupost ( ) Řešeí b je klesjící. Vypíšeme si ěkolik prvích čleů poslouposti ( ) b, b, b, b, b 8 9 b > b +. 7 b : vidíme, že pro kždé {,,, } pltí Zdá se, že posloupost pltí: eboli: ( b ) je klesjící. K tomu je všk uté ověřit, že pro všech N Úprvmi erovosti dosteme postupě: b > > > b + > ( + ) ( + + + ) + + + < + + + Tto erovost je prvdivá pro kždé N. Tímto jsme dokázli, že posloupost ( ) klesjící. b je 0
Posloupost ( ) se zývá eklesjící, právě když pro všech r, s N pltí: Je-li r < s, pk r s. Posloupost ( ) se zývá erostoucí, právě když pro všech r, s N pltí: Je-li r < s, pk r s. Příkld b Rozhoděte, zd posloupost ( ) Řešeí + je erostoucí ebo eklesjící. Opět si vypíšeme prvích ěkolik čleů poslouposti: b, b, b, b, 7 9 b {,, }, b b + vidíme, pro kždé pltí. Zdá se, že posloupost b ) je erostoucí. K tomu je všk uté ověřit, že pro všech N pltí: eboli: Úprvmi erovosti postupě dosteme: b b + + + + ( ) + + + + + > 0 Tto erovost je prvdivá pro kždé N. Tím jsme ukázli, že posloupost b ) je erostoucí. Dokoce vidíme, že posloupost je klesjící. ( ( Poslouposti poslouposti. ( ), které jsou erostoucí ebo eklesjící, se zývjí mootóí
Příkld Rozhoděte, zd je posloupost Řešeí ( log ) mootóí. Vypíšeme si ěkolik prvích čleů poslouposti: 0, 0, 0, 0, 0. Víme, že logritmus o jkémkoli zákldu je vždy 0. Vidíme, že tto posloupost má všechy čley stejé. Dá posloupost tedy eí i rostoucí i klesjící, le je mootóí. Posloupost ( ) pro všech N je h. Posloupost ( ) pro všech N je d. se zývá shor omezeá, právě když existuje tkové číslo h R, že se zývá zdol omezeá, právě když existuje tkové číslo d R, že Posloupost ( ) se zývá omezeá, právě když je omezeá shor i zdol. Příkld Dokžte, že posloupost Řešeí Vypíšeme si ěkolik čleů poslouposti: je omezeá. 8 0,,,,,,... Vidíme, že ejmeší čle je 0 9 ejvětší čle se přibližuje. Posloupost číslem 0. Nyí toto tvrzeí musíme dokázt pro N: 0 0 je omezeá shor číslem zdol < 0
Prví erovost bude vždy pltit, protože zlomek ikdy epřevýší číslo pro >. Rovost ste pouze pro. Druhá erovost pltí vždy pro kždé N. Posloupost je tedy omezeá shor číslem zdol číslem 0. Dohromdy je tedy posloupost omezeá. Cvičeí. Zjistěte, zd posloupost + je rostoucí ebo klesjící.. Rozhoděte, zd ásledující poslouposti jsou rostoucí ebo klesjící: ) log b) ( ) c) 7 ( log ) 0, ) d) ( cosπ e) ( ) + 0. Rozhoděte, zd posloupost ( ), je erostoucí ebo eklesjící.. Zjistěte, které z ásledujících posloupostí jsou mootóí: ) ) ( log ) d) ( cos( )) π b) ( c). Pro která x R je posloupost ( ), x : + ) rostoucí ; b) klesjící; c) mootóí.. Rozhoděte, které z ásledujících posloupostí jsou shor omezeé; zdol omezeé; omezeé: + ) ([ ( ) ] ) ( ) + b) c) ( ) 7. Je dá posloupost log. ) Dokžte, že dá posloupost je rostoucí; ( ) d) tg π b) rozhoděte, zd uvedeá posloupost je shor omezeá, zdol omezeá, omezeá; c) vyjádřete tuto posloupost rekuretě.
Aritmetické geometrické poslouposti Aritmetické poslouposti Aritmetickou posloupostí rozumíme tkovou číselou posloupost ( ), v íž se rozdíl mezi libovolými dvěm po sobě jdoucími čley eměí (je kosttí). Teto rozdíl, tj. +, ozčíme d zveme diferece ritmetické poslouposti. Je-li posloupost tvr: ( ) ritmetická s diferecí d, pk vzorec pro -tý čle poslouposti má ( ) d +. Příkld Zpište prvích pět čleů ritmetické poslouposti, jejíž prví čle diferece d. Zázorěte je v soustvě souřdic. Řešeí Prví čle je ze zdáí. Druhý čle je, třetí čle, čtvrtý čle pátý čle. Tyto čley pk zázoríme v soustvě souřdic (viz Obr. ): - - 0 Obr. V ritmetické poslouposti ( ) s diferecí d pltí pro kždé N rekuretí vzorec: + + d.
Příkld V ritmetické poslouposti této poslouposti čle. Řešeí ( ) jsou dáy její čley, 8. Určete difereci 7 Uvedeé čley dosdíme do vzorce pro -tý čle, vyřešeím dosteme difereci poslouposti: d d ( 7 ) 7 + d 8 + d Zjistili jsme tedy, že diferece d. Nyí určíme čle : tedy čle 8. + ( )( ) + ( ) 8 ; V ritmetické poslouposti ( ) s diferecí d pltí pro všech r, s N vzorec: s ( s r) d +. r Příkld V ritmetické poslouposti čley 7. ( ) Řešeí Nejdříve podle vzorce spočteme difereci d. Pltí tedy: jsou dáy její čley, 8. Určete difereci d 8 + (8 ) d + d d Tedy diferece d. Dále spočítáme čle podle vzorce: Tedy prví čle poslouposti. + d d
Nkoec spočítáme čle 7 podle stejého vzorce: 7 7 7 + Sedmáctý čle poslouposti je tedy 7. + (7 ) d Součtem s prvích čleů ritmetické poslouposti čleů poslouposti, tj. + +... +. Součet s vypočítáme vzorcem: s ( + ). ( ) rozumíme součet prvích Důkz vzorce: Nejdříve si zpíšeme součet prvích čleů vzestupě poté sestupě: s s + Tyto dvě rovice yí sečteme: Pltí: Je tedy: +... + 0 k + +... + +... + 0 k k + +... + k ( ) + ( + ) +... + ( + ) + ( ) s + k + k... + + + kd k + k + (( k) )d kd ( kd ) ( kd ) k + + k + + + Odtud plye, že kždý z sčítců je rove +. Můžeme proto psát: s ( ) s + ( + )
Příkld Určete součet prvích deseti čleů ritmetické poslouposti, ve které je,. Řešeí Nejdříve musíme zjistit difereci, potom prví desátý čle poslouposti: 7, + d, d d, + (7 ) d 7, + ( ) d +, 0 0 0 7, 7, + (0 ) d 7, + 9, Nyí dosdíme do vzorce zjistíme součet prvích deseti čleů poslouposti: Součet prvích deseti čleů je tedy 0. s s s 0 0 0 0 0 0 ( 7, + 7,) Cvičeí. Vypište prvích šest čleů ritmetické poslouposti ( ) ), d b), d c) 0,, d, d), d 0. Vypište prvích pět čleů ritmetické poslouposti ( ) ) 8, d b) 8, 9 c), 8 d), 0 7, ve které pltí:, ve které pltí:. Určete prví čle difereci d ritmetické poslouposti ( ), ve které pltí: + 9 ) b) 8 0 + 9 +, c) + + 0 0 d) + 7 0. Určete součet prvích k čleů ritmetické poslouposti ( ) +.. V ritmetické poslouposti je 8, d. Určete idex prvího čleu této poslouposti, který je kldým číslem. 7
. Délky str prvoúhlého trojúhelíku jsou tři po sobě ásledující čley ritmetické poslouposti, délk delší odvěsy je,8 dm. Vypočítejte délky zbývjících str. 7. V tbulce jsou ěkteré údje o ritmetických posloupostech. Překreslete si tbulku doplňte ji: d s 8 0 0 0, 0 0 00 8. Obvod trojúhelíku je, velikosti str jsou celá čísl tvoří tři z sebou jdoucí čley ritmetické poslouposti. Určete velikosti str tohoto trojúhelík. 9. V ritmetické poslouposti je,8 d 0,. Kolik z sebou jdoucích čleů, počíje prvím, je třeb sečíst, by součet byl větší ež 70? 0. Mezi čísl 7 vložte čísl tk, by s dými čísly tvořil ritmetickou posloupost o součtu. Určete počet vložeých čísel difereci tkto vytvořeé ritmetické poslouposti.. Určete ritmetickou posloupost, ve které pltí: + + 7 Kolik čleů poslouposti dává součet 8?. Osm čísel tvoří ritmetickou posloupost. Určete ji, víte-li, že součet prostředích čleů + souči krjích 8.. Určete ritmetickou posloupost, ve které + 0 0 s. 8
Užití ritmetických posloupostí Příkld Část střechy domu má tvr lichoběžíku je třeb ji pokrýt tškmi. Víme, že do řdy u hřebeu se vejde 8 tšek, do spodí řdy při okpu 0 tšek. Přitom tšky budou srováy do řd tk, že v kždé ásledující řdě bude o jedu tšku více ež v řdě předchozí. Kolik je třeb tšek pokrytí části střechy? Řešeí Počty tšek v řdách směrem od hřebeu k okpu přibývjí vždy o jedu. To zmeá, že počty tšek v jedotlivých řdách tvoří čley ritmetické poslouposti, jejíž diferece d. Nším úkolem je určit počet tšek, které stčí k pokrytí části střechy. K tomuto budeme moci využít vzorec pro součet prvích čleů ritmetické poslouposti. Víme, že 8, 0, ezáme všk ještě (které ozčuje počet řd). K výpočtu ezámého využijeme vzorec pro výpočet -tého čleu poslouposti: Nyí můžeme vypočítt s 8 : 0 8 + ( ) s s 8 8 8 8 (8 + 0) 8 N pokrytí příslušé střechy je tedy potřeb 8 kusů tšek. Cvičeí. Ocelové roury se skládjí do vrstev tk, že roury kždé horí vrstvy zpdjí do mezer dolí vrstvy. Do kolik vrstev se složí 90 rour, jsou-li v ejhořejší vrstvě roury? Kolik rour je v ejspodější vrstvě?. Buduje se hlediště letího ki přibližě pro 00 diváků. Do prví řdy je pláováo 0 seddel, do kždé ásledující řdy postupě o seddl více. Kolik řd seddel bude mít hlediště? 9
. Vypočtěte vitří úhly šestiúhelíku, tvoří-li úhly ritmetickou posloupost ejmeší je 70. Součet všech úhlů v šestiúhelíku je 70.. Dělík vyrobí z směu součástek. Kdyby zvyšovl svůj výko deě o jedu součástku, kolik součástek by vyrobil z 8 dí?. Dělík obsluhuje utomtických stvů, z ichž kždý vyrobí z hodiu k metrů látky. Prví stv uvede v chod v 8:00 hod. kždý ásledující zpojí vždy z miut. Kolik metrů látky je vyrobeo, když zpíá posledí stv?. Jká je teplot v šich dolech 0 m pod povrchem, víme-li, že teplot Země přibývá o C m hloubky je-li v hloubce m stálá teplot + 9 C? 7. Jk dlouho by pdl koule do hloubky 9, m, bylo-li zjištěo, že v prví vteřiě proléte dráhu s,90 m v kždé dlší vteřiě o 9,808 m více ež v předchozí? 0
Geometrické poslouposti Geometrickou posloupostí rozumíme tkovou číselou posloupost ( ), v íž se podíl libovolých dvou po sobě jdoucích čleů eměí (je kosttí). Teto podíl, tj. +, ozčíme q zveme kvociet geometrické poslouposti. ( ) Obecý -tý čle geometrické poslouposti o kvocietu q je dá vzorcem: q. + Příkld Zpište prvích pět čleů geometrické poslouposti, jejíž prví čle q 0,. Zázorěte je v soustvě souřdic v roviě. 8 kvociet Řešeí Prví čle poslouposti je ze zdáí 8. Dlší čley poslouposti dopočítáme pomocí vzorce: ( 0,) 8 ( 0,) ( ) ( 0,) ( 0,) ( ) 0, Nyí vypočíté čley zobrzíme v soustvě souřdic v roviě (viz Obr. ). 8 7 0 - - 0 - - Obr.
V geometrické poslouposti vzorec: ( ) s kvocietem q pltí pro kždé N rekuretí + q. Příkld ( ) V geometrické poslouposti b jsou dáy její čley b, b 8. Určete kvociet této poslouposti čley b, b, b b. Řešeí Kvociet q vypočítáme pomocí vzorce: 8 q q q q Nyí víme, že kvociet q můžeme spočítt čley b, b, b b. b b b b ( ) ( ) ( ) 8 q b 8 ( ) b ( ) ( ) V geometrické poslouposti ( ) s kvocietem q pltí pro všech r, s N vzorec: s r s r q. Příkld V geometrické poslouposti Řešeí ( b ) Kvociet q vypočítáme pomocí vzorce: jsou dáy její čley b b q b b. Určete q b.
Po doszeí čleů ze zdáí do tohoto vzorce dostáváme: q q q q Tedy kvociet q. A yí spočítáme prví čle poslouposti b : Tedy prví čle poslouposti je. b b b b q ( ) Součtem s prvích čleů geometrické poslouposti ( ) rozumíme součet prvích čleů poslouposti, tj. + + +.... Součet s lze vypočítt vzorci: ) s pro q ; b) q s pro q. q Důkz vzorců: ) Pro kždé N je, tedy: s. + +... + b) Nejdříve píšeme součet prvích čleů ásledě jej vyásobíme kvocietem q: s q s + q +... + q q +... + q Tyto dvě rovice odečteme po úprvě dostáváme: s ( q ) q. + q
Vzhledem k tomu, že q, můžeme obě stry rovice vydělit číslem (q ) dosteme hledý vzorec. Příkld ( 0 ) Vypočítejte součet prvích osmi čleů geometrické poslouposti, ( ) Řešeí Nejdříve si vypočítáme prví druhý čle poslouposti: 0, 0, ( ) 0, ( ) ( ) 0, Již záme prví dv čley poslouposti tk můžeme vypočítt kvociet q: q. A yí můžeme spočítt součet prvích osmi čleů podle vzorce: s s s 8 8 8 8 q q ( ) ( ) 8 ( ) 8 Tedy součet prvích osmi čleů poslouposti je 8.. Cvičeí. Vypište prvích šest čleů geometrické poslouposti ( ) ) 0,, q b), q 0, c),, q d),, q. V geometrické poslouposti ( ), ve které pltí: jsou dáy její čley, 8. Určete kvociet q této poslouposti čley,,.. Určete prví čle kvociet geometrické poslouposti, v íž pltí: + + 9 7
. V geometrické poslouposti ( ) c jsou dáy její čley c, c. Určete q c.. Vypište prvích pět čleů geometrické poslouposti ( ), ve které pltí: ), q b), 0 c) 0, 9 0. Zjistěte, která z čísel 8,,, 0, 8 jsou čley geometrické poslouposti ( ) 7, q. 7. Určete prví čle kvociet geometrické poslouposti ( ) + ) b) + + c) + +, ve které pltí: d) + + 0, v íž je 8. Mezi čísl 8 7 vložte pět tkových čísel, by spolu s dvěm dými tvořil prvích sedm čleů geometrické poslouposti. ( ) 9. Vypočítejte součet prvích osmi čleů geometrické poslouposti ( ) 0. Kolik čleů geometrické poslouposti ( 0 ) ež? 0,., musíme sečíst, by součet byl větší. Součet prvích čtyř čleů geometrické poslouposti je s 80. Určete je, víte-li, že pltí 9.. Vyroste-li z rok z jedoho zr průměrě zr, jké možství zr vyroste z jedoho zr z let?. Určete počet prvích čleů geometrické poslouposti ( ) ( 9) 7,, s. +, záte-li
Užití geometrických posloupostí Příkld Bk poskytl podikteli počátkem roku 000 úvěr ve výši 000 000,- Kč, to dobu tří let s ročí úrokovou mírou % (úrokovcí období je rok). Podiktel spltí půjčku ve třech stejých ročích splátkách, prví po jedom roce od poskytutí úvěru. Kolik koru bude čiit jed splátk? (Jedá se o složeé úrokováí). Řešeí Nezámou je výše jedé splátky, ozčme ji k Kč. Dluh podiktele koci roku 000 (bk si připsl úroky): Dluh počátku roku 00 (po prví splátce): [ 0 ( 0) ] +, Kč. [ 0 ( 0) ] +, k Kč. Dluh počátku roku 00 (po připsáí úroků z dluhu z rok 00 po druhé splátce): [ k] Kč [( 0 ( + 0,) k) ( + 0,) k] Kč 0 ( + 0,) k( 0,) Dluh počátku roku 00 (po třetí splátce): [( 0 ( + 0, ) k( 0, ) k)( + 0, ) k] 0 ( + 0, ) k( 0, ) k( 0, ) k Kč [ ]Kč Úvěr počátku roku 00 bude splce je tedy: 0 0 ( + 0, ) k( 0, ) k( 0, ) ( + 0, ) k ( 0, ) + ( 0, ) k 0 ( + ) 0 S využitím vzorce pro součet prvích čleů geometrické poslouposti dosteme: Odtud je: 0 Jed splátk čií 0 7 Kč. ( + 0) ( + 0, ) ( + 0, ), k 0. 0 k ( + 0,) ( + 0,) k 07. 0,.
Cvičeí. Kupec chtěl koupit koě. S prodvčem se dohodl tkto: koě doste zdrmo, zpltí pouze hřebíky v jeho podkovách. Kždá podkov je přibit šesti hřebíky, celkem jich tedy je. Z prví hřebík zpltí groš, z druhý groše, z kždý dlší zpltí dvkrát tolik co z předchozí. Kolik grošů by měl kupec zpltit?. Určete velikost ejmešího vitřího úhlu prvoúhlého trojúhelíku, víte-li, že velikosti jeho úhlů tvoří tři po sobě jdoucí čley geometrické poslouposti.. V roce 97 bylo v ší republice 7 počítčů. Určete, ve kterém roce byl u ás použit prví počítč, jestliže od zvedeí počítčů ž do roku 97 čiil ročí přírůstek %.. Drát má průměr mm. Jedím protžeím se průměr drátu zmeší o 0 %. ) Jký bude průměr drátu po deseti protžeích? b) Po kolik protžeích bude průměr drátu meší ež mm?. Kvádr, jehož hry tvoří geometrickou posloupost, má povrch S 78 součet hr, které procházejí jedím vrcholem, je. Vypočtěte objem V kvádru.. Světelý pprsek ztrácí při průchodu skleěou deskou své jsosti. Jká je jsost pprsku po průchodu pěti stejými deskmi? 7. Kolik je uto ukládt počátkem kždého roku po dobu deseti let, chceme-li mít kocem desátého roku střádáo 0 000,- Kč při % složitém úrokováí. 8. Jistý druh bktérií se rozmožuje v přízivých podmíkách tk, že kždá bkterie se z půl hodiy rozdělí dvě. Kolik bkterií vzike tkto z hodi? 9. Kuřák prokouří ročě přibližě 000,- Kč. Kolik by ušetřil z 0 let, jestliže by tuto částku ukládl kocem kždého roku vkldí kížku s % úrokováím? 0. Vkldtel uložil počátku roku do bky 000,- Kč termíový vkld rok s ročí úrokovou mírou 9 %. Úrokovcí období je rok. Jkou celkovou částku bude mít termíovém vkldu koci roku. Úroky z vkldu jsou zdňováy %.. Vkldtel uložil počátku roku termíový vkld roky částku 000,- Kč. Ročí úroková mír je 9, %. Jk vysokou částku bude mít koci druhého roku, jestliže si v průběhu celé doby evybírl úroky je-li úrokovcí období čtvrt roku. 7
Vlstosti ritmetických geometrických posloupostí Aritmetické geometrické poslouposti mjí stejé vlstosti jko všechy poslouposti, tj. mohou být rostoucí, klesjící, erostoucí, eklesjící, mootóí; zdol ebo shor omezeé, omezeé. Příkld Rozhoděte, zd posloupost ( ), kde, d, je rostoucí ebo klesjící, omezeá. Řešeí Nejdříve si črteme grf (Obr. ): 7 0-0 7 8 9 0 - Obr. Posloupost ( ) je zřejmě rostoucí: Pro kždé N je + + tedy < +. Posloupost. ( ) je omezeá zdol číslem, protože pro všech přirozeá čísl je Zjistíme, zd je tto posloupost shor omezeá. Ptáme se tedy, zd existuje ějké číslo h R tkové, že pro všech N je h, čili: ( ) h + Tto posledí erovost všk pltí je pro tková přirozeá čísl, pro ěž je kždé > h + je > h. Posloupost ( ) eí shor omezeá eí tedy omezeá. h +. Pro ( ) Aritmetická posloupost s diferecí d je rostoucí pro d > 0 klesjící pro d < 0. 8
Pro ritmetickou posloupost s diferecí d pltí: ) Je-li d > 0, pk je zdol omezeá, le eí shor omezeá; b) Je-li d < 0, pk je shor omezeá, le eí zdol omezeá; c) Je-li d 0, pk je shor omezeá i zdol omezeá. Geometrická posloupost ( ) s kvocietem q je: ) Rostoucí pro q >, > 0 ebo 0 < q <, < 0; b) Klesjící pro 0 < q <, > 0 ebo q <, < 0. Geometrická posloupost ( ) s kvocietem q je: ) Omezeá, právě když q ebo 0; b) Zdol omezeá, le eí shor omezeá, právě když > 0, q > ; c) Shor omezeá, le eí zdol omezeá, právě když < 0, q > ; d) Neí omezeá i shor i zdol, právě když 0, q <. Cvičeí. Uveďte příkldy ritmetických posloupostí, které jsou rostoucí; klesjící; ejsou i rostoucí i klesjící.. Vyjádřete vzorcem pro -tý čle geometrickou posloupost ( ), ve které je c 0,, q 0,. Rozhoděte pk, zd je tto posloupost rostoucí či klesjící; shor omezeá či zdol omezeá.. Uveďte příkldy geometrických posloupostí, které jsou rostoucí; klesjící; ejsou i rostoucí i klesjící. 9
Limity poslouposti Řekeme, že posloupost ( ) je kovergetí, právě když existuje tkové číslo R, že pltí: Ke kždému ε > 0 existuje 0 N tk, že pro všech přirozeá čísl 0 je < ε. Číslo se pk zývá limit poslouposti ( ) Skutečost, že posloupost ( ). má limitu rovu číslu, zpisujeme: lim čteme limit pro jdoucí k ekoeču je rov ebo stručěji limit je. Poslouposti, které ejsou kovergetí, se zývjí divergetí. Příkld Je dá posloupost + kterého počíje pltí < 0, 0.. Zjistěte, zd existuje tkový čle této poslouposti, od Řešeí Určíme všech N, pro která pltí + < 00. Protože zlomek dostáváme: + je kldý pro všech N, pltí < + 00 >, Počíje čleem pltí pro všechy čley poslouposti < 0, 0. + + odtud 0
Příkld Zázorěte v krtézské soustvě souřdic ěkolik prvích čleů poslouposti ( ) zjistěte ke kterému číslu posloupost koverguje. Řešeí Čley dé poslouposti jsou čísl,,,,,,... Grfické zázorěí prvích šesti čleů poslouposti je obrázku (Obr. ). Je zřejmé, že obrzy všech čleů dé poslouposti lze umístit do pásu určeého rovoběžkmi s osou x, které procházejí př. body [0, ] [0, ]. 0,8 0, 0, 0, 0-0, -0, -0,8 - A A -0, 0 A A A A Obr. Vidíme, že čley této poslouposti se s rostoucím eomezeě blíží k číslu 0, tz. že tto posloupost koverguje k 0. Přitom všk pro žádé epltí, že ( ) 0. Příkld ( b ) Dokžte, že posloupost, b je kovergetí. + Řešeí Obrázek (Obr. 7) ás vede k hypotéze, že čley této poslouposti se s rostoucím eomezeě blíží k číslu, čili lim. +
0,8 0, 0, 0, 0 0 8 Obr. 7 Nším úkolem je tedy dokázt, že ke kždému ε > 0 existuje 0 N tk, že pro všech přirozeá čísl 0 je b < ε, čili < ε. + Tuto erovici s ezámou N. Nejprve uprvíme výrz, který tvoří levou stru této erovice:. + + + + Doszeím do původí erovice můžeme yí přejít k ásledující erovici tu vyřešíme: < ε + + > ε > ε Řešeím erovice jsou všech přirozeá čísl >, čili pro všech tto pltí ε b < ε. Z 0 můžeme vzít př. celé číslo z itervlu, + ε ε. ( b ) Posloupost, b je tedy kovergetí její limitou je číslo : + lim b.
Říkáme, že posloupost ( ) má evlstí limitu plus ekoečo, právě když pro kždé reálé číslo K existuje tkové 0 N, že pro všech přirozeá čísl 0 je > K. Zpisujeme: lim +. Říkáme, že posloupost ( ) má evlstí limitu míus ekoečo, právě když pro kždé reálé číslo L existuje tkové 0 N, že pro všech přirozeá čísl 0 je < L. Zpisujeme: lim. Příkld Zjistěte limitu poslouposti (, 0, ). Řešeí Nejdříve si zázoríme prvích ěkolik čleů v soustvě souřdic (Obr. 8):,, 0, 0-0, 0 7 8 9 0 - -, - Obr. 8 Vidíme, že posloupost s rostoucím stále klesá (diverguje k ). To le musíme dokázt. Ať zvolíme jkkoli mlé reálé číslo L, vždy existuje 0 N tkové, že pro všech 0 je b < L. Číslo 0 můžeme zjistit zákldě řešeí erovice:,, < L L -, > 0, Z 0 lze vzít jkékoli přirozeé číslo, které je větší ež, 0, ) posloupost ( má evlstí limitu zpíšeme: (, 0, ) lim. L -, 0,. Tudíž řekeme, že
Věty o limitách posloupostí ( ) ( ) Jsou-li poslouposti, b kovergetí přitom lim, lim b, b + pk jsou kovergetí i poslouposti ( ) ( ), ( ) b ( ) b,, c b kde c je libovolé reálé číslo. Přitom pltí: lim lim lim ( + b ) ( b ) ( b ) lim ( c ) lim lim lim, + lim b limb limb c lim + b; b; b; c. Jsou-li poslouposti, ( ) ( b ) kovergetí, lim, lim b přitom b b 0 b 0 pro všech N, pk je kovergetí i posloupost pltí: b lim lim. b limb b Kždá geometrická posloupost ( ) kovergetí lim 0., pro jejíž kvociet q pltí q <, je Příkld Rozhoděte, zd posloupost Řešeí je kovergetí, pk vypočtěte její limitu.. Poslouposti (), jsou kovergetí proto je i kovergetí posloupost. Pltí: lim lim lim lim 0 0 0.
Cvičeí. Je dá posloupost ( ) c, + c. ) Vypočítejte prvích deset čleů této poslouposti zázorěte je v soustvě souřdic v roviě. b) Rozhoděte, zd je ( ) c) Je-li ( ) c kovergetí ebo divergetí svůj závěr zdůvoděte. c kovergetí, zpište její limitu.. Rozhoděte, které z ásledujících posloupostí jsou kovergetí které z ich mjí limitu rovu číslu 7: ) ( 7) b) 7 + 7 c) 7 + d). Dokžte, že pltí: + ) lim b) ( e) 7 + ( ) f) 7 ( ) ( + ) lim 0 ) ( 7) ( 7) c) + 7 lim + 7 c. Pro která c, d R je posloupost d. Rozhoděte, které z uvedeých posloupostí jsou kovergetí: ( ) + + ) b) 0 0 c) 0, ( ) (, ) (, ) kovergetí určete její limitu.. Rozhoděte, které z ásledujících posloupostí jsou kovergetí, mjí evlstí limitu + ebo, jsou divergetí emjí vlstí limitu: ) ( ) b) ( ) c) ( ) ) d) 7. Rozhoděte, které z ásledujících posloupostí jsou kovergetí, mjí evlstí limitu + ebo, jsou divergetí emjí vlstí limitu: ( ) ) log0 b) ( log ) c) 0, ( cos( π ) ) d) ( si ( π ) )
( ) + 8. Posloupost koverguje k. Dokžte zázorěte grficky. + 9. Ukžte, že posloupost 0. Vypočítejte limitu: ( + )! lim.! ( + )! je kovergetí vypočítejte její limitu.
Výsledky ávody k řešeí úloh Pojem poslouposti.! :,,,, 0, 70, 00, 00 si π :, 0,, 0,, 0,. ),,,, ; b) 0,,,, 0; c) 0,, 0,, 0; d),, 8,, 8. ),,,,, ; b),,,,, 8; c),, 8,,, ; d) 0, 8, 0,, 0, 8; e) 0,, 0, 8, 0,.. ), 0,, -,, 0; b). 0, 0,, 0,,,, 0,,. ) ; b) + ; c) + 7. ) () ; b) ( ) 7 8. 0,,, 0,, 0,, 0,, 0 9., o, e., + ( ), 0. ( ) ( ) ), ; d) tg.0 ; e) log( ). ( ) ( ) 8 + ; c) ( ) ; d) ( ) ( ). ) ; b) ; c) ( ), 0,,, 0. 9. ),,,, (Obrázek ); b), 0,, 8, (Obrázek ); c),,,, 8 (Obrázek ) 0 0 - - Obrázek 7
0-0 - - - - - -7-8 -9-0 - - - - - Obrázek,, 0,7 0, 0, -0, 0-0, -0,7 -, - 0 Obrázek. ) ; b) žádý Rekuretí určeí poslouposti. ) 0, 9, 7, 7,, 89, 77; b) 0,, 0,, 0,, 0; c),,,,,, ; d) 0 -, 0,, 0, 0, 0, 0.. ),,,,, 7, 8; b),, 8,,,, 8; c),,,,,, ; d),,,,, 9 97. 9. ), + +, + + ( + ) ; b), + + ; c) + +, + +, + + 8. ), 7 ; b), 7 0. 0 ( + ) +, ( + ) 8
. ), + ( + ) + ; b),, + + + Některé vlstosti posloupostí. rostoucí.. ) klesjící; b) rostoucí; c) klesjící; d) i rostoucí i klesjící; e) klesjící.. eklesjící.. ) e (rostoucí); b) e (rostoucí); c) o; d) e (i rostoucí i klesjící).. ) x > 0; b) x < 0; c) x 0.. ) omezeá; b) zdol omezeá; c) shor omezeá; d) omezeá 7. b) zdol omezeá; c) log ; + log + Aritmetické poslouposti. ),,, 8, 0, ; b),,, 8,, ; c) 0,,,,,,,, 8; d),,,,,.. ),, 8,, ; b),, 8,, 0; c), 0,,, 8; d) 7,, 9,,.. ), d ; b) 9,7, d, ; c) 0, d 0 ; d) dvě řešeí, 7; 9, d 7 [Řešíme kvdrtickou rovici 7 + 0 0 ].. k ( k + 7).,., dm, dm. [Řešíme rovici (,8 d ) +,8 (, 8 + d ) s ezámou d R]. 7. d s 0, 8 0 0 0, 7, 0, 0 0 0 0 00 8. Máme čtyři možosti: {8, 8, 8}, {7, 8, 9}, {, 8, 0}, {, 8, }. 9. 0 0. d,, vkládám 0 čísel (7, 0,,, 9,,, 8,, )., d 7, sečteme sedm prvích čleů.. Jsou dvě možosti: buď 8, d ebo, d. 8, d Užití ritmetických posloupostí. vrstev, rour. 7. d 0, α 70, α 90,, α 70. součástek. 0 metrů. 8 C 7. si 0 vteři 9
Geometrické poslouposti. ) 0,; 0,; 0,; 0,8; ;,; b) 0; ;,;,; 0,; 0,; c),;,;,;,;,;,; d),;,;,;,;,;,. q ; ; 8; ;., q. q ; c. ), 8,,, ; b),,, 8, ; c) dvě možosti:,,,, 0;,,,, 0., 8 o, zbytek e 7. ) Dvě možosti:, q ;, q [Přejdeme k soustvě rovic (+q), q (q+) (q ); je-li q, pk q + řešíme rovici q + q (q+) (q-) ; pro q bychom v prví rovici dé soustvy rovic dostli 0 ]; b) dvě možosti:, q 0, ;, q ; c), q ; [ + ( + ) q]; d) dvě možosti:, q 0;, q [ + q (q+) 0, právě když 0 ebo q 0 ebo q ; vyšetříme všechy tyto přípdy] 8. 8 ; ; ; ; 8; 9 ; 7 9. 8 0. Součet libovolého počtu čleů poslouposti je vždy meší ež..,, 8,. si 8 zr [Prví čle poslouposti kvociet q ]. Užití geometrických posloupostí. 777 grošů. α 8 0'. v roce 98 [Předpokládejte, že prví počítč byl použit let před rokem 97 kvociet bude +0,].. ),7 mm; b) si po protžeích. V 7. Jsost pprsku je 7. Je uté ukládt 80,0 Kč 8. 8 9. 0,- Kč 0. 7,0 Kč 9,. 7 8,0 Kč [ 000 ( + 0,8 00 ) 8 ] Vlstosti ritmetických geometrických posloupostí. c 0,, klesjící, shor i zdol omezeá. 0
Limity posloupostí. ),,,,,, 7, 8, 9, 0, Obrázek ; b) kovergetí [Dokážeme že ke kždému ε > 0 existuje 0 N tk, že pro všech přirozeá čísl 0 je c < ε čili + < ε.]; c) lim c,9,8,7,,,,,, 0 7 8 9 0 Obrázek. ), b), c) kovergetí, limit je 7; d) kovergetí, limit je ; e) divergetí; f) kovergetí, limit je +. [) + + ; b) ( )( + ) ; c) 7 7 7 + + +.]. Kovergetí pro tyto přípdy: d 0; d 0 zároveň c 0. V prvím přípdě je limit c, ve druhém přípdě 0. (Je-li d 0 c 0 pk je posloupost divergetí). d., b) kovergetí; c) eí kovergetí. ) + ; b) ; c) divergetí, emá evlstí limitu; d) kovergetí 7. ) + ; b) ; c) divergetí, emá evlstí limitu; d) kovergetí, 0 8. Posloupost je zázorě obrázku (Obrázek ).,, 0,8 0, 0, 0, 0 0 7 8 9 0 9. limit je Obrázek 0.
Litertur [] Bed P., Dňková B., Skál J.: Sbírk mturitích příkldů z mtemtiky, Státí pedgogické kldtelství Prh 9 [] Bušek I.: Řešeé mturití úlohy z mtemtiky, Státí pedgogické kldtelství Prh 98 [] Bydžovský B., Vojtěch J.: Mthemtik pro ejvyšší třídu reálek, JČM Prh 9 [] Delvethl K. M. kol.: Kompedium mtemtiky, Kiží klub Prh 00 [] Jrík J.: Poslouposti řdy, Mldá frot Prh 979 [] Kubát J.: Sbírk úloh z mtemtiky pro příprvu k přijímcím zkouškám vysoké školy, Státí pedgogické kldtelství Prh 988 [7] Odvárko O.: Mtemtik pro gymázi Poslouposti řdy, Prometheus Prh 99 [8] Odvárko O.: Sbírk úloh z mtemtiky pro gymázi Poslouposti řdy, Prometheus Prh 000 [9] Polák J.: Přehled středoškolské mtemtiky, Prometheus Prh 000 [0] Smid J., Odvárko O.: Mtemtik pro III. ročík gymázií Poslouposti řdy reálých čísel, Státí pedgogické kldtelství Prh 989 [] Vyší J.: O ekoečých řdách, Jedot českosloveských mtemtiků fysiků Prh 98
Sezm zkrtek zček N moži všech přirozeých čísel R moži všech reálých čísel N prvek áleží do možiy všech přirozeých čísel < b prvek je meší ež prvek b > b prvek je větší ež prvek b b prvek je meší ebo rove prvku b b prvek je větší ebo rove prvku b b prvek se erová prvku b hodot prvku je přibližě! fktoriál čísl. Jeho hodot je rov součiu... ( )