CVIČNÝ TEST 27 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Karel povídá: Myslím si celé číslo. Je záporné. Nyní jej umocním na druhou. Pak odečtu 16. Výsledek vydělím dvojnásobkem čísla, které jsem si původně myslel. Nový výsledek vynásobím 30 % původně myšleného čísla. Když jsem to všechno spočetl, vyšlo mi číslo 3. 1 Které číslo si Karel původně myslel? 1 bod VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Je dán rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou AC, jehož výška v c na stranu AB má délku 4 cm. Dále je dán bod D v polorovině BCA tak, že CD AB a obsah vytvořeného trojúhelníka ACD je 16 cm 2. 2 Určete délku úsečky CD. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 Pro přípustné hodnoty proměnné x je dán výraz V(x) = 1 x : x 1 x2. x 3.1 Určete definiční obor D výrazu V(x). max. 2 body 3.2 Určete V ( 1 8 ). 2 Maturita z matematiky 04
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Nádobka na akrylovou barvu má tvar rotačního tělesa (podobně jako na obrázku), které vzniklo spojením tří válců různých průměrů a výšek. Nejužší válec na vršku nádobky má poloměr r 1 = 2 cm, pod ním se nachází širší válec s poloměrem r 2 = 3 cm a větší část nádobky tvoří nejširší válec s poloměrem r 3 = 4 cm. Jejich výšky jsou v poměru 2 : 1 : 4, seřadíme-li válce podle poloměrů vzestupně. Objem nádobky je 50,9 cl. 4 Určete výšku nádobky. (Výsledek zaokrouhlete na celé cm.) VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Pro přípustné hodnoty proměnné x je dána rovnice x x 2 4 2x x = 3. 2 x 1 bod 5.1 Určete množinu D, která je maximálním definičním oborem rovnice. 5.2 Kolik existuje reálných čísel x, které splňují tuto rovnici? max. 2 body VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Je dána přímka p jejím bodem A[1; 3] a směrovým vektorem s = (1; 2). max. 3 body 6.1 Určete obecný tvar přímky q, která je rovnoběžná s přímkou p a prochází počátkem kartézské soustavy souřadnic. 6.2 Určete průsečík P přímky r, která prochází bodem A a je kolmá k přímce p, se souřadnicovou osou x. (V záznamovém listu uveďte celý postup řešení.) Maturita z matematiky 04 3
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 7 Je dána funkce f, jejíž graf je na obrázku. Grafem funkce je dvojice úseček protínajících se v počátku kartézské soustavy souřadnic. max. 2 body 7 Rozhodněte o každém tvrzení (7.1 7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Funkce f je sudá. 7.2 Funkce f je prostá. 7.3 Funkce f má předpis y = 2 x x; x 1; 3. 7.4 f(3) = 1. ANO NE VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Je dána pro x R rovnice x + (x + 3) + (x + 6) + (x + 9) + + (x + 297) = 14 350. 8 Která z možností určuje interval, ve kterém se nachází řešení této rovnice? A) ( ; 10) B) ( 10; 4) C) 4; 6) D) 4; 6 E) (6; + ) 2 body 4 Maturita z matematiky 04
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Vzdálenost dvou míst je 730 km. Z místa M vyjelo v 10:00 hodin osobní auto průměrnou rychlostí 60 km h 1. O půl hodiny později mu vyjelo v ústrety z místa N jiné osobní auto jedoucí o 20 km h 1 vyšší průměrnou rychlostí. (Zanedbejte jakékoliv další očekávatelné vlivy, které by mohly výsledky ovlivnit.) max. 2 body 9 Která z možností A E určuje čas setkání obou aut a vzdálenost místa setkání od místa M? A) 5:30; 300 km B) 5:30; 400 km C) 15:00; 330 km D) 15:30; 330 km E) 15:30; 400 km max. 4 body 10 Přiřaďte každé ze situací (10.1 10.4) skupinu (A F), která ji reprezentuje. 10.1 Vybíráme z osmi různých barev tři na vymalování tří různě barevných polí na vlajkové trikoloře. 10.2 Vybíráme z osmi různě barevných růží tři do kytice. 10.3 Přemísťujeme osm různě barevných triček na polici v obchodě. 10.4 Rozdělíme tři stejné bonbóny mezi osm dětí. A) permutace bez opakování z 8 prvků B) permutace s opakováním z 8 prvků C) variace 3. třídy bez opakování z 8 prvků D) variace 3. třídy s opakováním z 8 prvků E) kombinace 3. třídy bez opakování z 8 prvků F) kombinace 3. třídy s opakováním z 8 prvků KONEC TESTU Maturita z matematiky 04 5
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Karel povídá: Myslím si celé číslo. Je záporné. Nyní jej umocním na druhou. Pak odečtu 16. Výsledek vydělím dvojnásobkem čísla, které jsem si původně myslel. Nový výsledek vynásobím 30 % původně myšleného čísla. Když jsem to všechno spočetl, vyšlo mi číslo 3. 1 Které číslo si Karel původně myslel? 1 bod Karel si myslí číslo z Z z < 0. z 2 16 3z = 3 / 20z 2z 10 3z 3 48z = 60z 3z 3 108z = 0 3z (z 2 36) = 0 z(z 6)(z + 6) = 0 Tato rovnice má jen jedno záporné celočíselné řešení, z = 6. Řešení: 6 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Je dán rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou AC, jehož výška v c na stranu AB má délku 4 cm. Dále je dán bod D v polorovině BCA tak, že CD AB a obsah vytvořeného trojúhelníka ACD je 16 cm 2. 2 Určete délku úsečky CD. 1 bod Určíme obsah trojúhelníka ACD. Je nutné si uvědomit, že výška v c trojúhelníka ABC je zároveň výškou trojúhelníka ACD. S ACD = CD v c CD = 2S ACD 2 16 cm2 = CD = 8 cm 2 vc 4 cm Velikost strany CD je 8 cm. Řešení: CD = 8 cm 6 Maturita z matematiky 04
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 Pro přípustné hodnoty proměnné x je dán výraz V(x) = 1 x : x 1 x2. x 3.1 Určete definiční obor D výrazu V(x). max. 2 body Definiční obor výrazu V(x) určíme pomocí podmínek výrazů pod odmocninou a v dělitelích. x > 0 1 x 2 > 0 1 x 0 Z grafu vyplývá, že definičním oborem výrazu je množina D = (0; 1). Řešení: D = (0; 1) 3.2 Určete V ( 1 8 ). Výraz zjednodušíme pro přípustné hodnoty x (0; 1). V(x) = 1 x : 1 x 2 = 1 x x = 1 1 = 1 x x x 1 x 2 1 1 + x 1 + x Nyní určíme hodnotu výrazu pro x = 1 8. V( 1 8 ) = 1 = 1 = 1 + 1 8 8 = 2 2 9 9 3 8 Řešení: V( 1 8 ) = 2 2 3 Maturita z matematiky 04 7
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Nádobka na akrylovou barvu má tvar rotačního tělesa (podobně jako na obrázku), které vzniklo spojením tří válců různých průměrů a výšek. Nejužší válec na vršku nádobky má poloměr r 1 = 2 cm, pod ním se nachází širší válec s poloměrem r 2 = 3 cm a větší část nádobky tvoří nejširší válec s poloměrem r 3 = 4 cm. Jejich výšky jsou v poměru 2 : 1 : 4, seřadíme-li válce podle poloměrů vzestupně. Objem nádobky je 50,9 cl. 4 Určete výšku nádobky. (Výsledek zaokrouhlete na celé cm.) Nádobka se skládá ze tří válců: V 1 (r 1 = 2 cm, v 1 = 2x cm); V 2 (r 2 = 3 cm, v 2 = x cm) a V 3 (r 3 = 4 cm, v 3 = 4x cm) Celková výška nádobky je v = 7x cm. Objem nádobky převedeme na cm 3. 50,9 cl = 0,509 l = 0,509 dm 3 = 509 cm 3 Vypočteme objem celé nádobky jako součet objemů jednotlivých válců: V 1 + V 1 + V 1 = 509 cm 3 r 12 πv 1 + r 22 πv 2 + r 32 πv 3 = 509 r 12 v 1 + r 22 v 2 + r 32 v 3 = 509 π (2) 2 2x + (3) 2 x + (4) 2 4x = 509 π 509 x = π(8 + 9 + 64) x = 2 Výška celé nádobky je v = 7x cm = 14 cm. Řešení: v = 14 cm 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Pro přípustné hodnoty proměnné x je dána rovnice x x 2 4 2x x = 3. 2 x 5.1 Určete množinu D, která je maximálním definičním oborem rovnice. max. 2 body Určíme podmínky vyplývající ze jmenovatelů zlomků: x 2 0 2x x 2 0 x 0 x 0 x 2 Definičním oborem rovnice je množina D = R {0; 2}. Řešení: D = R {0; 2} = ( ; 0) (0; 2) (2; + ) 8 Maturita z matematiky 04
5.2 Kolik existuje reálných čísel x, které splňují tuto rovnici? Vynásobíme obě strany rovnice společným jmenovatelem zlomků: x 2 4 = 3(x 2) x 2 4 = 3x 6 x 2 3x + 2 = 0 (x 2)(x 1) Řešením rovnice jsou čísla x 1 = 2 x 2 = 1. Kořen x 1 D, z toho plyne, že rovnice má jen jeden jediný kořen. Řešení: jeden VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Je dána přímka p jejím bodem A[1; 3] a směrovým vektorem s = (1; 2). max. 3 body 6.1 Určete obecný tvar přímky q, která je rovnoběžná s přímkou p a prochází počátkem kartézské soustavy souřadnic. Určíme normálový vektor přímky q, do vytvořené obecné rovnice dosadíme souřadnice počátku soustavy souřadnic, abychom určili chybějící koeficient. s n q n q = (2; 1) q: 2x y + c = 0 O[0; 0] c = 0 q: 2x y = 0 Řešení: q: 2x y = 0 6.2 Určete průsečík P přímky r, která prochází bodem A a je kolmá k přímce p, se souřadnicovou osou x. (V záznamovém listu uveďte celý postup řešení.) Určíme normálový vektor přímky r, do vytvořené obecné rovnice dosadíme souřadnice bodu A, abychom určili chybějící koeficient. s n r n r = (1; 2) r: x + 2y + c = 0 A[1; 3] c = 7 r: x + 2y 7 = 0 Abychom určili průsečík přímky r s osou x, dosadíme y = 0 do rovnice přímky r. x + 2 0 7 = 0 x = 7 P[7; 0] Řešení: P[7; 0] Maturita z matematiky 04 9
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 7 Je dána funkce f, jejíž graf je na obrázku. Grafem funkce je dvojice úseček protínajících se v počátku kartézské soustavy souřadnic. max. 2 body 7 Rozhodněte o každém tvrzení (7.1 7.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Funkce f je sudá. 7.2 Funkce f je prostá. 7.3 Funkce f má předpis y = 2 x x; x 1; 3. 7.4 f(3) = 1. ANO NE 7.1 Funkce f není sudá, její graf není souměrný podle souřadnicové osy y. Tvrzení je nepravdivé. 7.2 Protože například pro f(x) = 3 existují dva vzory x 1 = 1 x 2 = 3, funkce není prostá. Tvrzení je nepravdivé. 7.3 Funkci s předpisem f: y = 2 x x; x -1; 3 lze po odstranění absolutních hodnot zapsat i takto: 2x x = x; x 0; 3 y = { 2x x = 3x; x 1; 3 Zobrazené úsečky předpisům y = x; x 0; 3 a y = 3x; x 1; 3 odpovídají (což můžeme ověřit např. dosazením krajních bodů). Tvrzení je pravdivé. 7.4 Určíme-li funkční hodnotu pro x = 3, jedná se o y = 3, tj. f(3) = 3 1. Tvrzení je nepravdivé. Řešení: NE, NE, ANO, NE 10 Maturita z matematiky 04
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Je dána pro x R rovnice x + (x + 3) + (x + 6) + (x + 9) + + (x + 297) = 14 350. 8 Která z možností určuje interval, ve kterém se nachází řešení této rovnice? A) ( ; 10) B) ( 10; 4) C) 4; 6) D) 4; 6 E) (6; + ) 2 body Na levé straně rovnice se nachází součet n po sobě jdoucích členů aritmetické posloupnosti s diferencí d = 3, prvním členem a 1 = x a n-tým členem a n = x + 297. Určíme tento součet a porovnáme s čísle 14 350. n 1 = a n a d 1 n = x + 297 x + 1 = 100 s 3 100 = (x + x + 297) 100 2 s 100 = 100x + 14 850 14 350 = 100x + 14 850 500 = 100x x = 5 Řešení rovnice leží pouze v intervalu ( 10; 4), tj. správná je možnost B. Řešení: B VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Vzdálenost dvou míst je 730 km. Z místa M vyjelo v 10:00 hodin osobní auto průměrnou rychlostí 60 km h 1. O půl hodiny později mu vyjelo v ústrety z místa N jiné osobní auto jedoucí o 20 km h 1 vyšší průměrnou rychlostí. (Zanedbej jakékoliv další očekávatelné vlivy, které by mohly výsledky ovlivnit.) 2 body 9 Která z možností A E určuje čas setkání obou aut a vzdálenost místa setkání od místa M? A) 5:30; 300 km B) 5:30; 400 km C) 15:00; 330 km D) 15:30; 330 km E) 15:30; 400 km První vozidlo rychlost 60 km h 1, čas do místa setkání t, ujetá dráha do místa setkání s. Druhé vozidlo rychlost 80 km h 1, čas do místa setkání t 0,5, ujetá dráha do místa setkání 730 s. Součet drah obou vozidel v místě setkání byl roven vzdálenosti míst M a N. Sestavíme rovnici, přičemž využijeme vztahu s = v t. 730 = 60t + 80(t 0,5) 730 = 60t + 80t 40 770 = 140t t = 5,5 s = 60 5,5 s = 330 Auta se setkají v 15:30, v místě vzdáleném 330 km od místa M. Správně je možnost D. Řešení: D Maturita z matematiky 04 11
max. 4 body 10 Přiřaďte každé ze situací (10.1 10.4) skupinu (A F), která ji reprezentuje. 10.1 Vybíráme z osmi různých barev tři na vymalování tří různě barevných polí na vlajkové trikoloře. 10.2 Vybíráme z osmi různě barevných růží tři do kytice. 10.3 Přemísťujeme osm různě barevných triček na polici v obchodě. 10.4 Rozdělíme tři stejné bonbóny mezi osm dětí. A) permutace bez opakování z 8 prvků B) permutace s opakováním z 8 prvků C) variace 3. třídy bez opakování z 8 prvků D) variace 3. třídy s opakováním z 8 prvků E) kombinace 3. třídy bez opakování z 8 prvků F) kombinace 3. třídy s opakováním z 8 prvků 10.1 Vybíráme z osmi různých barev tři na vymalování tří různě barevných polí na vlajkové trikoloře. Prvky se neopakují, záleží na jejich pořadí (vlajka v barvě červená-bílá-modrá je jiná, než bílá-modrá-červená, jako v případě vlajky Lucemburska a Ruska), tudíž se jedná o variace 3. třídy bez opakování z 8 prvků. Řešení: C 10.2 Vybíráme z osmi různě barevných růží tři do kytice. Prvky se neopakují, nezáleží na jejich pořadí (kytice složená z jedné červené, jedné bílé a jedné modré růže je stejná, jako složená z jedné modré, jedné bílé a jedné červené růže), tudíž se jedná o kombinace 3. třídy bez opakování z 8 prvků. Řešení: E 10.3 Přemísťujeme osm různě barevných triček na polici v obchodě. Protože jenom měníme pořadí vzájemně různých prvků ve skupině, jedná se o permutace bez opakování, v tomto případě z 8 prvků. Řešení: A 10.4 Rozdělíme tři stejné bonbóny mezi osm dětí. Prvky se opakují, nezáleží ale na pořadí, který bonbon dostane dané dítě jako první a který případně jako druhý, přičemž třikrát za sebou vybíráme jedno z osmi dětí, které bonbon dostane, proto se jedná o kombinace 3. třídy s opakováním z 8 prvků. Řešení: F KONEC TESTU 12 Maturita z matematiky 04
III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 20 17 výborně 16 14 chvalitebně 13 11 dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 6 1 bod 2 CD = 8 cm 1 bod 3 3.1 D = (0; 1) 1 bod 1 2 2 8 3 3.2 V ( ) = 1 bod 4 v = 14 cm 1 bod 5 5.1 D = R {0; 2} = ( ; 0) (0; 2) (2; + ) 1 bod 5.2 jeden 1 bod 6 6.1 q: 2x y = 0 1 bod 6.2 Určíme normálový vektor přímky r, do vytvořené obecné rovnice dosadíme souřadnice bodu A, abychom určili chybějící koeficient. s n r n r = (1; 2) r: x + 2y + c = 0 A[1; 3] c = 7 r: x + 2y 7 = 0 Abychom určili průsečík přímky r s osou x, dosadíme y = 0 do rovnice přímky r. x + 2 0 7 = 0 x = 7 P[7; 0] max. 2 body Řešení: P[7; 0] Maturita z matematiky 04 13
7 max. 2 body 4 podúlohy 2 b. 7.1 NE 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 7.2 NE 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 7.3 ANO 7.4 NE 8 B 2 body 9 D 2 body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 10.1 C 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 10.2 E 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 10.3 A 10.4 F 14 Maturita z matematiky 04
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 6.2 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 20 17 výborně 16 14 chvalitebně 13 11 dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 1 bod 2 1 bod 3 3.1 1 bod 3.2 1 bod 4 1 bod 5 5.1 1 bod 5.2 1 bod 6 6.1 1 bod 6.2 max. 2 body Maturita z matematiky 04 15
7 max. 2 body 4 podúlohy 2 b. 7.1 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 7.2 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 7.3 7.4 8 2 body 9 2 body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 10.1 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 10.2 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 10.3 10.4 16 Maturita z matematiky 04