Vektorová a tenzorová analýza

Vektorová a tenzorová analýza studijní text Jaroslav Vlček Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB-TU Ostrava 7. září 215

2

Obsah 1 Kartézské tenzory 5 1.1 Ortogonální transformace............................... 5 1.1.1 Bodově-vektorový prostor........................... 5 1.1.2 Ortogonální transformace........................... 6 1.2 Kartézské tenzory................................... 9 1.2.1 Tenzory 1. a 2. řádu.............................. 9 1.2.2 Tenzory M-tého řádu............................. 9 1.2.3 Speciální tenzory................................ 1 1.2.4 Operace s tenzory............................... 11 1.2.5 Hlavní směry a invarianty tenzoru 2. řádu.................. 12 2 Základy tenzorové analýzy 15 2.1 Úvodní pojmy...................................... 15 2.1.1 Skalární funkce................................. 15 2.1.2 Vektorové funkce................................ 17 2.1.3 Tenzorová funkce................................ 2 2.2 Derivace tenzorové funkce............................... 2 2.2.1 Derivace a diferenciál............................. 2 2.2.2 Diferenciální operátory............................. 21 2.2.3 Složené operátory............................... 22 2.3 Křivkové a plošné integrály.............................. 23 2.3.1 Křivkové integrály............................... 23 2.3.2 Plošné integrály................................ 25 2.4 Charakteristiky tenzorových polí........................... 26 2.4.1 Lokální charakteristiky............................. 26 2.4.2 Globální charakteristiky............................ 28 2.4.3 Gaussova Ostrogradského věta........................ 3 2.4.4 Stokesova věta................................. 3 2.4.5 Nezávislost na integrační cestě........................ 31 3 Tenzorový aparát statické teorie pružnosti 33 3.1 Úvod........................................... 33 3.1.1 Motivace - tahová zkouška........................... 33 3.1.2 Zobecnění základní pojmy.......................... 34 3.2 Tenzor napětí...................................... 35 3.2.1 Zavedení..................................... 35 3.2.2 Podmínky rovnováhy.............................. 37 3.2.3 Hlavní napětí, kvadrika napětí........................ 38 3

4 OBSAH 3.2.4 Speciální případy tenzoru napětí....................... 38 3.3 Tenzor deformace.................................... 39 3.3.1 Tenzor konečných deformací.......................... 39 3.3.2 Tenzor malých deformací........................... 41 3.3.3 Rovnice kompatibility deformací....................... 43 3.4 Zobecněný Hookeův zákon............................... 43 3.4.1 Zobecněný Hookeův zákon........................... 43 3.4.2 Elastické moduly................................ 44 3.5 Rovnice mechaniky kontinua............................. 46 3.5.1 Statické rovnice pružnosti........................... 46 3.5.2 Dynamické rovnice............................... 46 3.5.3 Okrajové podmínky v úlohách pružnosti................... 47 4 Materiálová anizotropie 51 4.1 Materiálová anizotropie obecně............................ 51 4.1.1 Základní charakteristiky............................ 51 4.1.2 Krystalové soustavy.............................. 52 4.2 Umělá anizotropie v optice.............................. 53 4.2.1 Piezoelektrický jev............................... 53 4.2.2 Magnetooptický jev.............................. 54 5 Vybrané aplikace tenzorového počtu 55 5.1 Proudění nestlačitelných tekutin........................... 55 5.2 Tenzor setrvačnosti................................... 56

Kapitola 1 Kartézské tenzory 1.1 Ortogonální transformace 1.1.1 Bodově-vektorový prostor Bodově-vektorový prostor obsahuje body X = [x 1, x 2,..., x n ], Y = [y 1, y 2,..., y n ] atd. a vektory u = (u 1, u 2,..., u n ), v = (v 1, v 2,..., v n ) atd. Bude-li hrát roli umístění vektoru, přiřadíme dvojici bodů X, Y vektor u = XY = (y 1 x 1, y 2 x 2,..., y n x n ). Souřadnice bodů, resp. složky vektorů tvoří n-tice reálných (R) nebo komplexních (C) čísel. Proto budeme prostor označovat jednoduše R n, resp. C n. Číslo n představuje dimenzi prostoru, obvykle bude n = 2 nebo n = 3. Operace v R n 1. sčítání vektorů: (u + v) i = u i + v i, 2. násobení vektoru číslem: (a.u) i = a.u i, a R. Linearita R n u, v R n a 1, a 2 R a 1 u + a 2 v R n. Skalární součin vektorů n u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + + u n v n = u i v i. i=1 Metrické vlastnosti velikost (norma) vektoru: u = u u = ( n u 2 i i=1 směrové kosiny (= kosiny úhlů, které vektor svírá se souřadnými osami): cos α i = u i u, geometrická interpretace skalárního součinu (α... odchylka vektorů): ) 1 2 u v = u. v. cos α, u v = u v (ortogonalita pro u, v )., 5

6 KAPITOLA 1. KARTÉZSKÉ TENZORY Kartézský souřadný systém a báze ve R 3 Základní báze e 1 = (1,, ), e 2 = (, 1, ), e 3 = (,, 1) je ortonormální, tj. současně ortogonální, e i e j = δ ij = { 1, i = j,, i j, δ ij... Kroneckerovo delta, a jednotková, protože e i = 1, i, j = 1, 2, 3. Pro libovolný vektor u R 3 platí 3 u = (u 1, u 2, u 3 ) = u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 = u i e i. i=1 Prostor R 3 je metrický lineární prostor se skalárním součinem. Další operace ve R 3 (a) vektorový součin: u v = (u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v 2 u 2 v 1 ) = geometrická interpretace: velikost u v = u. v. sin α směr u u v, v u v orientace u, v, u v tvoří pravotočivou soustavu e 1 e 2 e 3 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 (b) smíšený součin u (v w) = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 (c) dyadický (tenzorový) součin u v = u 1 v 1 u 1 v 2 u 1 v 3 u 2 v 1 u 2 v 2 u 2 v 3 u 3 v 1 u 3 v 2 u 3 v 3, (u v) ij = u i v j 1.1.2 Ortogonální transformace Rotace kartézského souřadného systému kolem počátku ve R 3 - viz obr. 1.1: e 1, e 2, e 3... původní ortonormální báze, e 1, e 2, e 3... nová ortonormální báze e i = e i = 1, e i e j = e i e j = δ ij

1.1. ORTOGONÁLNÍ TRANSFORMACE 7 x 3 x 3 x 2 e 3 e 3 e 2 e 1 e 2 x 2 e 1 x 1 x 1 Obrázek 1.1: Kartézský souřadný systém původní (plnou čarou) a otočený (čárkovaně). Vyjádření nové báze pomocí báze původní: e 1 = a 11 e 1 + a 12 e 2 + a 13 e 3, e 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2 + a 23 e 3, e 3 = a 31 e 1 + a 32 e 2 + a 33 e 3, (1.1) resp. v maticové formě e 1 e 2 e 3 = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 e 1 e 2 e 3 = A e 1 e 2 e 3. (1.2) Matice A se nazývá matice přechodu od nečárkované báze k čárkované. Libovolný řádek v (1.1) lze zapsat v kompaktní formě 3 e i = a ij e j = a ij e j. (1.3) j=1 Sumační konvence Přes index, který se ve výrazu vyskytuje dvakrát, se automaticky sčítá (od 1 do n), aniž se píše výraz. Konvence je zřejmá z následujících ukázek: 3 τ ii = τ 11 + τ 22 + τ 33 = τ ii, n u i v i = u i v i = u v, 3 a ij a ik = a ij a ik. i=1 i=1 i=1 Určíme význam koeficientů a ij v matici A. Vynásobíme skalárně (1.3) vektorem e j, e i e j = a ij a ij = e i. e j. cos( x i x j) = cos( x i x j). Tento výsledek znamená, že koeficient a ij představuje úhel, který svírá i-tá nová osa s j-tou původní osou. Zpětná transformace z čárkované báze do nečárkované má tvar obdobný jako (1.3): 3 e j = b ji e i = b ji e i, (1.4) i=1

8 KAPITOLA 1. KARTÉZSKÉ TENZORY kde b ji = e j e i = cos( x j x i ) jsou prvky matice B, jejíž vlastnosti stanovíme. Protože cos( x j x i ) = cos( x i x j), musí být a ij = b ji, tj. B = A. Složenou transformací obdržíme opět původní bázi, tudíž A B = A A = I, kde I je jednotková matice. Odtud plyne, že matice transponovaná je současně maticí inverzní, A = A 1. To znamená, že matice A je ortogonální, a proto platí, že její determinant je bud 1 nebo -1 a dále a ik b kj = a ik a jk = δ ij. i i Analogicky je (za použití sumační konvence) a ij.a ik = δ jk. Rotace kartézského souřadného systému kolem počátku je tedy ortogonální transformace, zobecněním je následující definice. Transformace jednoho kartézského systému na druhý se nazývá ortogonální, je-li zprostředkována ortogonální maticí A = (a ij ), tj. platí-li Ortogonální transformace vektoru V původním souřadném systému je za použití (1.4) a ij.a ik = δ jk. (1.5) u = (u 1, u 2, u 3 ) = u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 = u j e j = u j a ji e i, v novém souřadném systému Porovnáním dostáváme neboli v maticovém tvaru u = (u 1, u 2, u 3) = u ie i. u i = u j a ji = a ij u j (1.6) u 1 u 2 u 3 = A u 1 u 2 u 3. Příklad Dokážeme, že při ortogonální transformaci v prostoru libovolné dimenze se nemění (je tzv. invariantní) skalární součin vektorů u v = u i v i : Cvičení u v = u iv i = a ij u j a ik v k = a ij a ik u j v k = δ jk u j v k = u j v j. (1) Otočení o úhel φ ve R 2 je určeno maticí ( cos φ sin φ A = sin φ cos φ ). Určete vektor u = A u, je-li u = (2, 3). Řešte nejprve obecně a pak pro úhel φ = π 3. (2) Dokažte, že matice A je ortogonální: A = 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1.

1.2. KARTÉZSKÉ TENZORY 9 1.2 Kartézské tenzory Pouze některé geometrické a fyzikální veličiny jsou invariantní, tj. nemění se při změně souřadného systému (například všechny skaláry a některé další veličiny). Pro ostatní veličiny chceme stanovit způsob jejich popisu, který při zvoleném typu transformace (např. ortogonální) funguje vždy stejně. Tato motivace vede k pojmu TENZOR. 1.2.1 Tenzory 1. a 2. řádu Připomínáme, že uvažujeme pouze ortogonální transformace v kartézských souřadných systémech. Ty jsou zprostředkovány ortogonálními maticemi splňujícími podmínku (1.5). Uspořádaná n-tice v = (v 1, v 2,..., v n ), která při ortogonální transformaci vyhovuje vztahu se nazývá tenzor prvního řádu neboli vektor. v i = a ij v j (1.7) Matice T = (T ij ), i, j = 1,..., n se nazývá kartézský tenzor druhého řádu, mění-li se její prvky při ortogonální transformaci podle vztahu Poznámky skalár pozažujeme za tenzor nultého řádu, T ij = a ik a jl T kl. (1.8) kartézským tenzorem 2. řádu je každá čtvercová matice, jejímiž prvky jsou čísla nebo funkce, tj. T 11 T 12 T 13 T = T 21 T 22 T 23, T 31 T 32 T 33 typickými tenzorovými veličinami (2. řádu) jsou například napětí a deformace v mechanice, dyadický součin vektorů, materiálové vlastnosti anizotropních prostředí apod. Příklad Ověříme tenzorový charakter dyadického součinu vektorů W = u v, tj. W kl = u k v l v R n. Transformace podle (1.8) dává což jsme měli dokázat. 1.2.2 Tenzory M-tého řádu W ij = u iv j = a ik u k a jl v l = a ik a jl u k v l = a ik a jl W kl, Soubor veličin T = (T i1 i 2 i M ), i m = 1,..., n neboli M-rozměrná matice se nazývá kartézský tenzor M-tého řádu v prostoru R n, mění-li se jeho prvky při ortogonální transformaci podle vztahu T i 1 i 2 i M = a i1 j 1 a i2 j 2... a im j M T j1 j 2 j M. (1.9) Jak je patrno, je počet složek tenzoru M-tého řádu v R n roven n M.

1 KAPITOLA 1. KARTÉZSKÉ TENZORY Příklad Levi-Civitův tenzor třetího řádu je definován vztahem 1 pro sudou permutaci indexů, ε ijk = 1 pro lichou permutaci indexů, pro i = j nebo j = k nebo k = i. (1.1) Tento tenzor má celkem 3 3 = 27 prvků, z nichž ovšem jen 6 je nenulových (viz obr. 1.2). Ukážeme jeho transformační vlastnost podle (1.9): ɛ ijk = a il a jm a kn ɛ lmn = a i1.(a j2 a k3 a j3 a k2 ) + a i2.(a j3 a k1 a j1 a k3 ) + a i3.(a j1 a k2 a j2 a k1 ) = = a i1 a i2 a i3 a j1 a j2 a j3 a k1 a k2 a k3 = 1, ijk = 123, 231, 312, 1, ijk = 321, 213, 132,, v ostatních případech = ɛ ijk. Budou-li totiž všechny tři indexy různé, dostáváme determinant ortogonální matice A, který je roven ±1 v závislosti na pořadí řádků. Jsou-li si některé dva indexy rovny, budou se rovnat odpovídající řádky matice a její determinant bude nulový. 1 1 k = 3 1 1 k = 2 i = 1, 2, 3 1 1 k = 1 j = 1, 2, 3 Obrázek 1.2: Levi-Civitův tenzor. 1.2.3 Speciální tenzory (a) Izotropní tenzory Jejich složky se při ortogonální transformaci nemění. Příkladem je, jak bylo ukázáno v předchozím paragrafu, Levi-Civitův tenzor. Stejnou vlastnost má také Kroneckerův tenzor (Kroneckerovo delta), nebot δ ij = a ik a jl δ kl = a ik a jk = δ ij. (b) Symetrické a antisymetrické tenzory Symetrický tenzor 2. řádu: T ij = T ji, Antisymetrický tenzor 2. řádu: T ij = T ji,

1.2. KARTÉZSKÉ TENZORY 11 u tenzorů vyšších řádů se symetrie (antisymetrie) týká pouze vybrané dvojice indexů; kupříkladu Levi-Civitův tenzor je antisymetrický, a proto ɛ ijk = ɛ jik atd. U tenzorů 2. řádu je zřejmá analogie se symetrickými, resp. antisymetrickými maticemi. Platí například, že každý tenzor 2. řádu lze rozložit na součet symetrického a antisymetrického tenzoru 2. řádu.: T ij = 1 2 (T ij + T ji ) + 1 2 (T ij T ji ) = S ij + A ij, kde S ij je symetrický tenzor (určen šesti prvky) a A ij antisymetrický tenzor (určen třemi prvky). 1.2.4 Operace s tenzory (A) Slučování tenzorů (sčítání, odčítání) Slučujeme soumístné složky tenzorů téhož řádu, tj. P ijk + Q ijk = R ijk apod. Příkladem je součet symetrického a antisymetrického tenzoru v předchozím paragrafu. (B) Úžení tenzorů Ze složek tenzoru vybereme ty, které mají dva indexy stejné, a algebraicky je sečteme; výsledkem je tenzor řádu o dva nižšího než tenzor původní. Příklad (s použitím sumační konvence): Úžením tenzoru 2. řádu vznikne skalár: B iikl = B 11kl + B 22kl + B 33kl = B kl. T ii = T 11 + T 22 + T 33 = Tr T ( trace stopa matice). (C) Násobení tenzorů Rozlišujeme tzv. vnější a vnitřní součin. (C1) Vnější součin. Násobíme každou složku prvního tenzoru postupně každou složkou druhého tenzoru; výsledkem je tenzor, jehož řád je roven součtu řádů násobených tenzorů, např. P ijk.q lm = R ijklm apod. Příkladem je dyadický součin dvou vektorů z odstavce 1.1.1: u 1 v 1 u 1 v 2 u 1 v 3 W = u v = u 2 v 1 u 2 v 2 u 2 v 3 neboli W ij = u i v j. u 3 v 1 u 3 v 2 u 3 v 3 Násobení skalárem: výsledkem je tenzor téhož řádu - viz předchozí paragraf. (C2) Vnitřní součin. Vznikne úžením vnějšího součinu. Jako příklad uvažujme vnější součin matice a vektoru, kterým je tenzor třetího řádu A ij u k = T ijk ; chceme-li zapsat tenzorově vnitřní součin A.u = v, bude výsledkem vektor tj. tenzor třetího řádu zúžený přes index j. A ij u j = v ijj = v i,

12 KAPITOLA 1. KARTÉZSKÉ TENZORY Příklady (a) Zúžením dyadického součinu vektorů obdržíme skalární součin, nebot u.v = u i v i = Tr (u v). (b) δ ij δ ik = δ jk (úžíme tenzor 4. řádu). (c) Dokážeme, že tenzor η ijkl = A.δ ij δ kl + B.δ ik δ jl + C.δ il δ jk (1.11) je pro libovolná čísla A, B, C izotropním tenzorem 4. řádu. Podle transformační definice tenzoru je η ijkl = a ir a js a kt a lu η rstu = a ir a js a kt a lu.(a.δ rs δ tu + B.δ rt δ su + C.δ ru δ ts ) = = A a ir δ }{{ rs a } js a kt a lu δ tu +B a }{{} ir δ rt a }{{} js δ su a kt a lu + C a ir δ ru a }{{}}{{} js δ ts a kt a lu = }{{} a is a lt a it a ju a ir a jt = A. a is a js a kt a tl +B. a }{{}}{{} it a kt a }{{} ju a lu +C. a iu a lu a }{{} kt a jt δ ij δ kl δ ik δ il (d) Dokážeme, že pro vektorový součin platí Využijeme definici Levi-Civitova tenzoru: }{{} δ jl }{{} δ jk = η ijkl. u v = ɛ ijk e i u j v k. (1.12) ɛ ijk e i u j v k = e 1 (u 2 v 3 u 3 v 2 ) + e 2 ( u 1 v 3 + u 3 v 1 ) + e 3 (u 1 v 2 u 2 v 1 ) = = e 1 e 2 e 3 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 = u v. 1.2.5 Hlavní směry a invarianty tenzoru 2. řádu Zaměříme se nyní na symetrické tenzory 2. řádu, které mají četné aplikace například v mechanice. Označme libovolný z nich S 11 S 12 S 13 S = S 12 S 22 S 23, S 13 S 23 S 33 takže S ij = S ji. Lze ho chápat jako matici kvadratické formy v proměnných x 1, x 2, x 3 tvořících (sloupcový) vektor x. Formu lze zapsat způsobem obvyklým v algebře, x S x = S 11 x 2 1 + S 22 x 2 2 + S 33 x 2 3 + 2S 12 x 1 x 2 + 2S 13 x 1 x 3 + 2S 23 x 2 x 3, nebo tenzorově (s využitím sumační konvence) jako S ij x i x j. Tento tenzor 4. řádu je zúžen v obou indexech, jedná se tedy o skalár. Položíme-li ho roven nějaké konstantě (kladné nebo záporné), obdržíme rovnici kvadratické plochy v R 3. Nazýváme ji kvadrikou přidruženou k tenzoru S ij : S ij x i x j = ±K 2.

1.2. KARTÉZSKÉ TENZORY 13 Chceme-li určit, o jaký typ kvadriky se jedná, lze to provést na základě vlastních čísel (spektra) matice S. Vlastním číslům odpovídají vlastní vektory, které určují směry hlavních os kvadriky. Připomeňme nyní, jak se formuluje a řeší úloha na vlastní čísla a vlastní vektory matice. Každý hlavní směr u je řešením rovnice Su = λu, tenzorově S ij u j = λu i, kde λ je v případě symetrického tenzoru reálné číslo. Po přepsání do tvaru (S λi)u =, tenzorově (S ij λδ ij )u j =, vidíme, že pro získání netriviálního řešení u musí být determinant matice soustavy roven nule: S ij λδ ij =, tj. Po rozepsání obdržíme rovnici třetího stupně S 11 λ S 12 S 13 S 12 S 22 λ S 23 S 13 S 23 S 33 λ =. λ 3 I 1 λ 2 + I 2 λ I 3 =, (1.13) jejímž řešením jsou vlastní čísla λ 1, λ 2, λ 3. Jejich struktura charakterizuje typ kvadratické plochy, například navzájem různé λ 1, λ 2, λ 3 > odpovídají trojosé (nerotační) eliptické ploše, λ 1 = λ 2 = λ 3 znamená kulovou plochu, λ 1 = λ 2 >, λ 3 < určuje hyperbolickou plochu s osou rotace x 3 atd. Násobnost kořenů je tedy známkou symetrie kvadriky. Důležitou vlastností spektra vlastních čísel matice je to, že se nemění při ortogonální transformaci, tj. jsou nezávislé na volbě souřadného systému. Proto je pro konkrétní tenzor invariantní charakteristická rovnice (1.13) a tedy i její koeficienty. Nazýváme je invarianty tenzoru 2. řádu a mají, jak je známo z algebry, tento tvar: I 1 = S 11 + S 22 + S 33 = S ii, I 2 = S 11 S 12 S 12 S 22 + S 11 S 13 S 13 S 33 I 3 = S (determinant matice S). + S 22 S 23 S 23 S 33, Příklad Určete hlavní směry a typ přidružené kvadriky tenzoru 6 2 2 S = 2 5. 2 7 1. vlastní čísla: Charakteristická rovnice 6 λ 2 2 S λi = 2 5 λ = = λ 3 + 18λ 2 99λ + 162 = 2 7 λ

14 KAPITOLA 1. KARTÉZSKÉ TENZORY má kořeny λ 1 = 3, λ 2 = 6, a λ 3 = 9. Přidruženou kvadrikou je nerotační elipsoid v obecné poloze o rovnici 6x 2 1 + 5x 2 2 + 7x 2 3 4x 1 x 2 + 4x 1 x 3 = K 2. 2. vlastní vektory (hlavní směry kvadriky = směry hlavních os elipsoidu): Vlastní čísla postupně dosazujeme do matice S λi a řešíme homogenní algebraickou soustavu pro složky jednotlivých vlastních vektorů. λ 1 = 3... 3 2 2 2 2 2 4 u 11 u 12 u 13 = Matice má hodnost dvě, řešením soustavy je libovolný násobek vektoru u 1 = (2, 2, 1). Analogicky získáme zbývající dva vlastní vektory: Cvičení. λ 2 = 6... u 2 = ( 1, 2, 2), λ 3 = 9... u 3 = (2, 1, 2). (1) Vyjádřete pomocí Levi-Civitova tenzoru smíšený součin vektorů. (2) Vysvětlete, proč je vektorový součin vektorů antikomutativní, u v = v u. (3) Určete hlavní směry a typ přidružené kvadriky tenzoru T = 4 1 4 2 1 2. (4) Dokažte platnost identity ɛ ijk ɛ klm = δ jm δ il δ jl δ im. (5) S použitím předchozího vztahu ověřte platnost vzorce pro dvojný vektorový součin: a (b c) = (a c)b (a b)c. (1.14)

Kapitola 2 Základy tenzorové analýzy 2.1 Úvodní pojmy 2.1.1 Skalární funkce Základní označení Ω R n, n = 2, 3... oblast, Ω = Γ... její hranice, Ω = Ω Γ... uzavřená oblast (uzávěr oblasti Ω), X = [x 1, x 2, x 3 ] Ω... bod oblasti, x = (x 1, x 2, x 3 )... jeho polohový vektor. Zobrazení f(x) : Ω R představuje skalární funkci definovanou na oblasti Ω předpisem f(x 1, x 2 ) v rovině, resp. f(x 1, x 2, x 3 ) v prostoru. V prvním případě je jejím grafem plocha v R 3, ve druhém přímá grafická interpretace není k dispozici. Lze však zavést tzv. ekviskalární hladiny f(x 1, x 2, x 3 ) = C jako plochy, na nichž funkce dosahuje stejných hodnot (pro funkci dvou proměnných jsou ekviskalárními hladinami křivky na ploše). Podle typu pole nesou hladiny svůj název, například izotermy, izobary, ekvipotenciály, vrstevnice apod. Důležité třídy funkcí: C k (Ω)... prostory funkcí se spojitými derivacemi na oblasti Ω až do řádu k včetně, L p (Ω)... prostory funkcí absolutně integrovatelných v p té mocnině na Ω, tj. funkcí, pro něž konverguje integrál f(x) p dω. Ω Je-li plocha S grafem funkce f(x 1, x 2 ) C 1 ( Ω), tj. se spojitými parciálními derivacemi (alespoň) prvního řádu, existuje v každém jejím bodě normálový vektor ( n(x) = f, f ), 1. (2.1) x 1 x 2 Orientované přírůstky funkce f ve směru jednotlivých os lze aproximovat tečnými vektory ( τ 1 dx 1 = 1,, f ) ( dx 1, τ 2 dx 2 =, 1, f ) dx 2. x 1 x 2 15

16 KAPITOLA 2. ZÁKLADY TENZOROVÉ ANALÝZY Jejich vektorový součin tvoří orientovaný element plochy (přesněji její tečné roviny): kde ds = τ 1 dx 1 τ 2 dx 2 = n(x 1, x 2 )dx 1 dx 2, (2.2) n(x 1, x 2 ) = τ 1 τ 2 = ( f, f ), 1 x 1 x 2 je výše uvedený normálový vektor. Velikost elementu je pak ( ) f 2 ( ) f 2 ds = n dx 1 dx 2 = + + 1 dx 1 dx 2. (2.3) x 1 x 2 Plocha s uvedenými vlastnostmi se nazývá hladká. Příklady 3 1. Skalární funkce dvou proměnných f(x) = 3x 1 x 4 2 je třídy C1 (Ω) na libovolné oblasti Ω neobsahující bod(-y) osy x 1, nebot f = 2 3 x 4 2 x, 1 f x 2 = 4x 1 3 x 2, 2 f x 2 1 =, 2 f x 1 x 2 = 4 3 x 2, kde poslední z parciálních derivací 2. řádu není pro x 2 = spojitá. 2. Uvažujme na jednotkovém kruhu Ω = { x 1} funkci 2 f x 2 2 = 4x 1 3 3 x 2, g(x) = 1. x 2 1 + x2 2 Integrací s použitím transformace do polárních souřadnic dostáváme Ω f(x) dω = 2π dϕ 1 dρ = 2π, Ω f(x) 2 dω = 2π dϕ 1 1 ρ dρ =. Proto platí: g(x) L 1 (Ω), ale g(x) / L 2 (Ω). 3. Elektrostatický potenciál bodového náboje Q umístěného v počátku souřadného systému je pro bod X R 3 dán vztahem V (X) = Q 1 4πε x, kde ε je permitivita prostředí. Ekvipotenciální hladiny V (X) = C jsou soustředné kulové plochy o rovnicích x = Q ( ) Q 2 4πεC, tj. x2 1 + x 2 2 + x 2 3 =. 4πεC 4. Tlakové pole je na oblasti Ω = ( 1, 3) ( 1, 2) popsáno funkcí p(x) = x 1 x 2 x 1. Grafem je sedlová plocha, izobarami jsou rovnoosé hyperboly o rovnicích p(x) = C neboli x 2 = 1 + C x 1. Průmět některých izobar do roviny p = je na obr. 2.1.

2.1. ÚVODNÍ POJMY 17 2.5 2 3 2.5 1.5 1 1.5 1.5.5 1 1.5 2.5 1 3.5 3 1.5 2.5.5.5 1 1.5.5.5 1 1.5 Obrázek 2.1: Izobary funkce p = x 1 x 2 x 1. 2.1.2 Vektorové funkce Důležitým speciálním případem jsou vektorové funkce jedné reálné proměnné, ϕ : t 1, t 2 R 3, ϕ(t) = (x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t)). (2.4) Koncové body vektorů ϕ(t) tvoří jistou křivku K v prostoru definovanou na intervalu t 1, t 2. Je-li ϕ(t) a současně x i (t) C 1 ( t 1, t 2 ), nazývá se K hladkou křivkou. Je zřejmé, že k ní v každém jejím bodě t existuje tečna odpovídající tečnému vektoru ϕ(t) = (ẋ 1 (t), ẋ 2 (t), ẋ 3 (t)) (tečkou na příslušným symbolem značíme derivaci podle parametru t). Po částech hladká křivka je sjednocením konečného počtu hladkých křivek majících společné pouze krajní body. Relacemi (2.4) je dána konkrétní parametrizace křivky K. Každá křivka má nekonečně mnoho parametrizací. Dále budeme předpokládat, že ϕ(t) je prosté zobrazení, tj. jedná se o regulární křivku (v žádném bodě sama sebe neprotíná). Orientace křivky se stanovuje zadáním počátečního a koncového bodu, není-li uzavřená. Křivka je uzavřená, jestliže ϕ(t 1 ) = ϕ(t 2 ). Orientace rovinné uzavřené křivky proti směru hodinových ručiček je definována jako kladná. V prostoru je třeba kladnou orientaci křivky zadat vzhledem k zvolenému směru podle pravidla pravé ruky. Příklady 1. Mějme v rovině parabolu x 2 = 2x 1 x 2 1 orientovanou od bodu [,] k bodu [2,]. Její bezprostřední parametrizaci obdržíme, položíme-li x 1 = t: ϕ(t) = (t, 2t t 2 ), t, 2. Jiná z možných parametrizací vznikne, položíme-li x 1 = 1 + cos s: ψ(s) = (1 + cos s, sin 2 s), s, π. Snadno se lze přesvědčit, že první z parametrizací je souhlasná se zadanou orientací křivky, zatímco ve druhém případě se s rostoucím parametrem s pohybujeme po křivce opačným směrem (nesouhlasná parametrizace).

18 KAPITOLA 2. ZÁKLADY TENZOROVÉ ANALÝZY 2. Je dána křivka K = {x 2 1 + x2 2 = 4, x 1 + x 3 = 2} orientovaná souhlasně s kladným směrem osy x 3. Úkolem je najít vhodnou parametrizaci souhlasnou s orientací. Jedná se o eliptický řez rovinou na rotační válcové ploše obr. 2.2. Nejprve využijeme zřejmou parametrizaci řídící kružnice válcové plochy o poloměru 2: x 1 = 2 cos t, x 2 = 2 sin t. Z rovnice roviny snadno dovodíme zbývající vztah x 3 = 2 x 1 = 2 2 cos t a zapíšeme výslednou parametrizaci elipsy: ϕ(t) = (2 cos t, 2 sin t, 2 2 cos t), t, 2π. Obrázek 2.2: K parametrizaci elipsy v prostoru. Abychom se přesvědčili, že získaná parametrizace je souhlasná se zadanou orientací (viz šipku na obr. 2.2), dosadíme do funkce ϕ(t) postupně tři rostoucí hodnoty parametru t, například, π/2 a π. Vidíme, že jim odpovídající body [2,,], [,2,2] a [-2,,4] na křivce za sebou následují ve směru zvolené orientace. Zobrazení F(X) : Ω R 3 představuje vektorovou funkci F = (F 1, F 2, F 3 ) o složkách F i (x 1, x 2, x 3 ). Za vhodných předpokladů reprezentují vektorové pole F tzv. vektorové linie definované tak, že v libovolném bodě X definičního oboru má vektor F(X) směr tečny k těmto liniím. To znamená, že je kolineární (rovnoběžný) s vektorem dx = (dx 1, dx 2, dx 3 ), platí tedy F dx = o (F 2 dx 3 F 3 dx 2, F 3 dx 1 F 1 dx 3, F 1 dx 2 F 2 dx 1 ) = (,, ). (2.5) Tento výsledek obvykle zapisujeme jako soustavu tří diferenciálních rovnic dx 1 F 1 = dx 2 F 2 = dx 3 F 3, (2.6) z nichž stačí vyřešit kteroukoli vybranou dvojici. Výsledkem jsou dva systémy ploch v prostoru, Φ((x 1, x 2, x 3 ) = C 1, Ψ((x 1, x 2, x 3 ) = C 2,

2.1. ÚVODNÍ POJMY 19 které se protínají právě v hledaných křivkách. Případná parametrizace je finálním krokem. Vektorové linie často nesou názvy související s typem vektorového pole které reprezentují. Mluvíme pak o trajektoriích či proudnicích u pole rychlostí, o siločarách či magnetických indukčních čarách. Příklady 1. Je dáno rovinné silové pole F = (x 1 cos x 2, sin x 2 ). Odvod te rovnice jeho siločar. Jedná se o jednodušší variantu předchozího výsledku vystačíme s jedinou diferenciální rovnicí dx 1 = dx 2, x 1 cos x 2 sin x 2 kterou lze snadno separovat a dojít k obecnému řešení x 2 = arcsin(cx 1 ). 2. Rychlostní pole v prostoru je popsáno funkcí v = (x 1 x 2 x 3, x 2 1x 3, x 2 1x 2 ), x 1, x 2, x 3. Úkolem je určit vektorovou linii (trajektorii) jdoucí bodem M = [1,, 1]. Výchozí soustava rovnic (2.6): První dvojice dává výsledek druhá dx 1 x 1 x 2 x 3 = dx 2 x 2 1 x 3 = dx 3 x 2 1 x 2 x 1 dx 1 = x 2 dx 2 x 2 1 + x 2 2 = C 1, x 2 dx 2 = x 3 dx 3 x 2 2 + x 2 3 = C 2. Jedná se o dva navzájem kolmé systémy koaxiálních válcových ploch. Dosazením souřadnic bodu M obdržíme C 1 = C 2 = 1, tedy průnik dvou kolmých rotačních válcových ploch o stejném poloměru.. Obrázek 2.3: K příkladu 2. Hledanou křivkou je elipsa (resp. její čtvrtina v prvním oktantu) na obr. 2.3 s parametrizací ϕ(t) = (cos t, sin t, cos t), t, π/2.

2 KAPITOLA 2. ZÁKLADY TENZOROVÉ ANALÝZY 2.1.3 Tenzorová funkce Tenzorová funkce (druhého řádu) je zobrazení T(X) : Ω R n R n, T ij = T ij (x 1,..., x n ). Konkrétně pro n = 3 je T 11 (X) T 12 (X) T 13 (X) T(X) = T 21 (X) T 22 (X) T 23 (X). T 31 (X) T 32 (X) T 33 (X) Obecná tenzorová funkce T(X) přiřazuje každému bodu X Ω tenzor řádu M s prvky T i1 i 2 i M (X). Tenzorová funkce libovolného řádu s konkrétní interpretací (teplota, rychlost, deformace, permitivita apod.) se nazývá tenzorové pole. 2.2 Derivace tenzorové funkce 2.2.1 Derivace a diferenciál Je-li každá složka tenzorové funkce T(x) diferencovatelná na oblasti Ω, pak tenzor T/ x, x = (x 1,..., x n ) se složkami T i1 i 2 i M T i1 i = lim 2 i M (x 1,..., x j + x j,..., x n ) T i1 i 2 i M (x 1,..., x j,..., x n ) x j x j x j nazýváme totální derivací funkce T(x) v bodě x. Totální derivace je tenzor řádu M + 1. Příklady (v R 3 ) (a) Je-li T(x) skalár, pak jeho totální derivací je vektorová funkce ( ) T T x = T T,,. x 1 x 2 x 3 (b) Derivováním vektorové funkce T(x) = (T 1 (x 1, x 2, x 3 ), T 2 (x 1, x 2, x 3 ), T 3 (x 1, x 2, x 3 )) obdržíme maticovou funkci (tenzor 2. řádu) T x = T i x j = T 1 T 1 T 1 x 1 x 2 x 3 T 2 T 2 T 2 x 1 x 2 x 3 T 3 T 3 T 3 x 1 x 2 x 3. (c) Dalším derivováním získáme tenzor třetího řádu s dvaceti sedmi složkami T x = T ij x k. Diferenciál tenzorové funkce T(x) v bodě x Ω je definován jako lineární funkce vektoru přírůstků dx = (dx 1, dx 2,..., dx n ) vztahem Jedná se o tenzor řádu M (stejně jako T). dt(x, dx) = T x dx.

2.2. DERIVACE TENZOROVÉ FUNKCE 21 Příklad (M = 1) Diferenciál vektorové funkce T(x) = (T 1, T 2, T 3 ) získáme jako součin matice z výše uvedeného příkladu (b) a vektoru (dx 1, dx 2, dx 3 ) : dt(x, dx) = T i x j dx j = T 1 x 1 dx 1 + T 1 x 2 dx 2 + T 1 x 3 dx 3 T 2 x 1 dx 1 + T 2 x 2 dx 2 + T 2 x 3 dx 3 T 3 x 1 dx 1 + T 3 x 2 dx 2 + T 3 x 3 dx 3 V řádcích jsou skalární difrenciály jednotlivých složek vektorové funkce. 2.2.2 Diferenciální operátory dt 1 = dt 2. dt 3 Gradient Gradientem skalární funkce T (x) = T (x 1, x 2,..., x n ) nazýváme její totální derivaci, tj. vektor grad T = T ( ) T T T =,,...,. x i x 1 x 2 x n Divergence Divergence vektorové funkce T(x) = (T 1, T 2,..., T n ) je stopa její totální derivace, tj. skalár ( ) T div T = Tr = T 1 + T 2 +... + T n = T i. x x 1 x 2 x n x i Ze zápisu s využitím sumační konvence je zřejmé, že se jedná o zúžený tenzor 2. řádu. Rotace (jen v R 3 ) Rotací vektorové funkce T(x) = (T 1, T 2, T 3 ) nazýváme vektor ( T3 rot T = T 2, T 1 T 3, T 2 T ) 1 x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 x 2 = ɛ ijk T k x j e i. Hamiltonův operátor (nabla) Předchozí operace bývají velmi často zapisovány pomocí diferenciálního operátoru 1. řádu ( ) =,,..., x 1 x 2 x n nazývaného Hamiltonův operátor: grad T = T ; div T = T; rot T = T; s využitím definice vektorového součinu dostáváme další vyjádření rotace: e 1 e 2 e 3 rot T = x 1 x 2 x 3 T 1 T 2 T 3 T x = T.

22 KAPITOLA 2. ZÁKLADY TENZOROVÉ ANALÝZY 2.2.3 Složené operátory Formálně lze v R 3 ze tří operátorů prvního řádu grad, div, rot složit celkem 9 operátorů druhého řádu grad grad div grad rot grad grad div div div rot div grad rot div rot rot rot Operátory vytištěné kurzívou nelze realizovat, protože gradient lze aplikovat pouze na skalární funkci, zatímco divergenci a rotaci výhradně na vektor. Pro složené operátory vytištěné tučně platí: div grad = = 2 =, kde je Laplaceův operátor; = 2 x 2 + 2 1 x 2 + 2 2 x 2 3 rot rot T = grad div T T, T = ( T 1, T 2, T 3 ) (uvádíme bez důkazu). Zbývající operátory dávají při aplikaci nulový výsledek: rot grad T = T = podle definice vektorového součinu; v tenzorovém vyjádření obdržíme ( ) T 2 T rot grad T = ɛ ijk = ɛ ijk =, x j x k x j x k protože pro každé pevně zvolené i získáme dvě smíšené derivace 2. řádu lišící se pouze znaménkem. Důsledek: je-li rot F = na oblasti Ω, pak je funkce F na této oblasti gradientem nějaké skalární funkce T : F = grad T. div rot T = ( T) =, nebot v tomto smíšeném součinu jsou dva vektory stejné. V tenzorovém zápisu dostáváme pro i-tou složku: Příklady (div rot T) i = ( ) T k ɛ ijk x i x j = ɛ ijk 2 T k x i x j = (pro každé k jde o dvě smíšené parciální derivace opačného znaménka). Důsledek: je-li div F = na oblasti Ω, pak je možno funkci F na této oblasti reprezentovat rotací jisté vektorové funkce T: F = rot T. (a) Dokážeme, že pro libovolnou skalární funkci ϕ platí div (ϕ.t) = T grad ϕ + ϕ div T. Zápis pomocí Hamiltonova operátoru: div (ϕt) = ϕ x i T i + ϕ T i x i = T grad ϕ + ϕ div T. (ϕ.t) = ϕ T + ϕ.div T.

2.3. KŘIVKOVÉ A PLOŠNÉ INTEGRÁLY 23 (b) Označíme r = (x 1, x 2, x 3 ) bodu x, r = r a vypočteme grad Protože ( ) 1 = 1 = x i r x i x 2 1 + x2 2 + x2 3 dostáváme ( ) 1 grad r x i ( 1 r ). (x 2 1 + x2 2 + x2 3 )3 = x i ( x1 = r 3, x 2 r 3, x ) 3 r 3 = (x 1, x 2, x 3 ) r 3 = r r 3. Cvičení Ve cvičeních (1) a (2) je namísto (x 1, x 2, x 3 ) použito (x, y, z). (1) Je dána skalární funkce T = 3x 2 y xyz xz 2. Určete grad T a T. (2) Vypočtěte rot G pro funkci G = (x 2 z 2, yz, x 2 + y 2 ). (3) Určete div (r 3 ). (4) Určete totální derivaci G pro funkci G z příkladu (2). (5) Dokažte: rot (ϕt) = ϕ rot T + grad ϕ T. 2.3 Křivkové a plošné integrály 2.3.1 Křivkové integrály V zájmu lepší přehlednosti přejdeme od indexovaných proměnných x 1, x 2, x 3 ke standardnímu značení x, y, z: P = [x, y, z]... bod v prostoru, r = (x, y, z)... jeho polohový vektor. Dále bude K (po částech) hladká křivka s parametrizací ψ(t) = (x(t), y(t), z(t)), t t 1, t 2, ψ(t) = (ẋ(t), ẏ(t), ż(t))... tečný vektor křivky ve zvolené parametrizaci, dl = (dx, dy, dz) = ψ(t) dt... orientovaný element křivky, dl = (dx) 2 + (dy) 2 + (dz) 2 = ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 dt = ψ(t) dt... jeho velikost, h(x, y, z)... hustota veličiny na křivce K, F = (F 1 (x, y, z), F 2 (x, y, z), F 3 (x, y, z))... vektorové pole na křivce a v jejím okolí. Křivkový integrál I. druhu vyjadřuje množství veličiny na křivce: H = h(x, y, z) dl. (2.7) Výpočet převodem na určitý integrál vzhledem k parametrizaci: K r 3, K h(x, y, z) dl = t 2 t 1 h(x(t), y(t), z(t)) ψ(t) dt. (2.8)

24 KAPITOLA 2. ZÁKLADY TENZOROVÉ ANALÝZY Ve speciálním případě h 1 na K vyjadřuje integrál I. druhu délku křivky: Příklad Elektrický vodič ve tvaru čtvrtiny závitu pravidlné šroubovice K dl = L. (2.9) ψ(t) = (3 cos t, 3 sin t, 2t), t, π/2 má měrný odpor ρ(x, y, z) = xy. Vypočtěte celkový odpor. Výpočet: K ψ(t) = ( 3 sin t, 3 cos t, 2), ψ(t) = 13, R = ρ(x, y, z) dl = Křivkový integrál II. druhu: K π/2 K 9 cos t sin t 13 dt = = 9 2 13. P = F(x, y, z) dl = F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz = F i dx i, (2.1) kde F dl je průmět vektoru pole do tečného vektoru křivky. Poslední výraz je zápisem v původní tenzorové symbolice včetně sumační konvence. Je třeba si uvědomit, že křivkový integrál II. druhu závisí na orientaci křivky. Zvolená parametrizace pak musí být souhlasná se zadanou orientací. Výpočet spočívá opět převodu na určitý integrál: K K t 2 t 2 F(x, y, z) dl = (F 1 (t), F 2 (t) F 3 (t)) ψ(t) dt = (F 1 ẋ + F 2 ẏ + F 3 ż) dt. (2.11) t 1 t 1 Příklad Je dán oblouk paraboly K = {z = 1 x 2 y 2, y = x, x, z } orientovaný ve směru rostoucí souřadnice x. Máme vypočíst Nejprve provedeme parametrizaci křivky K: Dále pokračujeme podle (2.11): K F dl, F = (xy, z, x). ψ(t) = (t, t, 1 2t 2 ), t, 2/2. 2/2 (t 2, 1 2t 2, t) (1, 1, 4t) dt = 2/2 (3t 2 + 1) dt = 3 4 2.

2.3. KŘIVKOVÉ A PLOŠNÉ INTEGRÁLY 25 2.3.2 Plošné integrály Analogicky jako u křivkových integrálů vyjadřuje plošný integrál I. druhu množství veličiny o hustotě h na ploše S: H = h(x, y, z) ds. (2.12) Ve speciálním případě h 1 na S je číselně roven velikosti plochy S: S S ds = S. V souladu s článkem 2.1.1 je S = {[x, y, z] R 3, z = f(x, y), [x, y] D R 2 }. Výpočet se děje převodem na dvojný integrál přes oblast D, která je průmětem plochy S do roviny z =, přičemž pro element ds platí vztah (2.3): ( f ) 2 H = h(x, y, z) ds = h(x, y, f(x, y)) + x S Příklad Střecha budovy je pokryta sněhem (obr. 2.4) o plošné hustotě D γ = γ 1 + c(y + z), kde γ a c jsou konstanty. Vypočtěte celkovou hmotnost sněhové zátěže. ( ) f 2 + 1 dxdy. (2.13) y z n b y b a a x α Obrázek 2.4: Sněhová kalamita. Při výpočtu nehraje roli výška budovy, ale její půdorys a úhel sklonu střechy α, který pokládáme rovněž za zadaný. Rovnice střešní roviny je z = ky, k = tan α, takže pro normálový vektor platí: n = (, k, 1), n = n = k 2 + 1. Hledanou hmotnost sněhu vyjádříme plošným integrálem I. druhu: γ m = γ(x, y, z) ds = 1 + c(y + z) ds = γ 1 1 + c(k + 1)y dxdy. S S Integrační oblast je půdorys budovy D =, a, b, výpočet dvojného integrálu vede k výsledku m = aγ k 2 + 1 ln [1 + bc(k + 1)]. c(k + 1) D

26 KAPITOLA 2. ZÁKLADY TENZOROVÉ ANALÝZY Pro vstupní data a = 6 m, b = 3 m, α = 3, γ = 75 kgm 3, c = 6 m 1 obdržíme hodnotu 1856 kg. Plošný integrál II. druhu vektorové funkce F(x, y, z) na orientované ploše S zavádíme předpisem F ds, resp. F n ds, (2.14) S kde n je jednotkový vektor normály. Výrazy jsou kompatibilní, druhý z nich obdržíme z prvního užitím relací (2.2) a (2.3). Jako v přechozím případě uvažujeme explicitně zadanou (dvojstrannou) plochu S = {[x, y, z] R 3, z = f(x, y), [x, y] D R 2 }. Její orientaci budeme pokládat za kladnou tehdy, svírá-li normálový vektor ostrý úhel s osou z. Výpočet plošného integrálu II. druhu se opět děje převodem na dvojný integrál: F ds = F(x, y, f(x, y)) n(x, y) dxdy. (2.15) S D Příklad Vypočteme integrál z funkce F = (, z 2, x 2 +y 2 ) na části kuželové plochy z 2 = x 2 +y 2, z 1 v prvním oktantu orientované ve směru vnější normály. Rovnice plochy je z = x 2 + y 2, takže pro normálový vektor platí ( ) n(x, y) = ( f x, f y, x 1) = x 2 + y, y 2 x 2 + y, 1. 2 S Jeho směr je ovšem na celé ploše dovnitř kuželové plochy, takže vzhledem k zadání je nutno vynásobit integrál znaménkem minus. Podle (2.15) tedy bude ( ) F ds = (, x 2 + y 2, x 2 + y 2 x ) x 2 + y, y 2 x 2 + y, 1 dxdy = 2 S D = D (y x 2 + y 2 x 2 y 2 ) dxdy = = 1 4 π 8. Výpočet je proveden s použitím transformace do polárních souřadnic. 2.4 Charakteristiky tenzorových polí 2.4.1 Lokální charakteristiky Aplikací diferenciálních operátorů na konkrétní fyzikální pole můžeme v libovolném bodě (tj. lokálně) získat informace o jeho vlastnostech. Gradient a derivace ve směru Mějme dáno skalární pole T = T (x 1, x 2, x 3 ) a zvolme libovolný směr jako vektor s = (s 1, s 2, s 3 ). Derivaci funkce T ve směru s definujeme jako skalární veličinu T s = s grad T, s = s s,

2.4. CHARAKTERISTIKY TENZOROVÝCH POLÍ 27 kde s je jednotkový (normovaný) vektor s. Důsledkem je známý fakt, že gradient funkce T = T (X) udává směr největší změny této funkce v bodě X. Je to zřejmé z následujícího vyjádření derivace ve směru: s grad T = s grad T (X) cos α. Protože s = 1, bude tento výraz maximální tehdy, když pro úhel α mezi gradientem a vektorem s bude platit cos α = 1. To nastane pro α =, tj. splynou-li směry vektorů s a grad T (X). Zřídlovost pole Aplikujeme-li operátor divergence na vektorové pole T v bodě X = (x 1, x 2, x 3 ), obdržíme skalární hodnotu (číslo). Je-li div T(X) =, nazývá se X nezřídlový bod. Je-li div T(X), je X zřídlovým bodem. Specielně se X nazývá zřídlo, je-li div T(X) >, resp. propad, když div T(X) <. Platí-li na nějaké oblasti Ω div T(X) = (div T(X) ), říkáme, že pole T je na této oblasti nezřídlové (zřídlové). Divergence tedy umožňuje charakterizovat míru zřídlovosti pole neboli distribuci zdrojů na oblasti Ω. Příklad Ukážeme, že pole F = (x 2 1 x 2, 2x 2 x 3, x 2 3 2x 1x 2 x 3 ) je nezřídlové na libovolné oblasti v R 3. div F = F i x i = 2x 1 x 2 2x 3 + 2x 3 2x 1 x 2 =. Vírovost pole Jesliže na oblasti Ω platí rot T = (rot T ), nazývá se pole T nevírové (vírové). Podle 2.2.3 je rot grad ϕ = pro každou funkci ϕ C 2 (Ω). Proto lze nevírové pole T vyjádřit jako gradient jistého skalárního pole ϕ, tj. T = grad ϕ. Pole ϕ se nazývá potenciál vektorového pole T (pole T je potenciálové). Příklady (a) Vyšetříme vírovost rychlostního pole tuhého tělesa rotujícího kolem osy s konstantní úhlovou rychlostí ω. Bez újmy na obecnosti budeme uvažovat rotaci kolem osy x 3 = z - viz obrázek 2.5, kde je dále ω = (,, ω)... vektor úhlové rychlosti, r = (x, y, z)... polohový vektor libovolného bodu tělesa, v = ω r = ( ωy, ωx, )... postupná (obvodová) rychlost, protože v ω, v r. Výpočtem obdržíme rotaci rychlostního pole rot v = (,, 2ω). Tento výsledek ukazuje, že rychlostní pole rotujícího tělesa je vždy vírové. (b) Mějme vektorové pole F = (x 2 x 3, x 1 x 3, x 1 x 2 ). Snadno lze ukázat, že je nevírové, nebot rot F = (,, ) =. Proto existuje jeho potenciál ϕ takový, že F = grad ϕ. Toto pole je navíc nezřídlové, protože div F =. Spojením těchto dvou vlastností dostáváme div grad ϕ = neboli ϕ =, což je Laplaceova diferenciální rovnice. Protože každá funkce, která vyhovuje této rovnici, se nazývá harmonická, je skalární pole ϕ harmonické.

28 KAPITOLA 2. ZÁKLADY TENZOROVÉ ANALÝZY ω z v r x Obrázek 2.5: Rotace kolem osy. y 2.4.2 Globální charakteristiky Tyto charakteristiky se ve vektorové analýze vyjadřují prostřednictvím integrálních operátorů na křivkách či plochách nacházejících se v oblasti Ω R 3. Dvě základní veličiny, které v této souvislosti studujeme, jsou cirkulace pole po křivce a tok pole uzavřenou plochou. Metody jejich výpočtu jsme ukázali v kapitole 2.3. Posuv vektoru F po křivce K se vyjádřuje křivkovým integrálem 2. druhu Je-li křivka při posuvu pole F uzavřená, hovoříme o cirkulaci pole po křivce a značíme ji C = F dl. (2.16) K Například v mechanice udává tento integrál práci vykonanou silou F působící po dráze K. Tok vektoru plochou je reprezentován plošným integrálem 2. druhu (orientovaným) S F ds = 1 2 ( 1)i 1 ε ijk F i dx j dx k = F 1 dx 2 dx 3 + F 2 dx 1 dx 3 + F 3 dx 1 dx 2, (2.17) S S kde ds = (dx 2 dx 3, dx 1 dx 3, dx 1 dx 2 ) je orientovaný element plochy S. Bude-li například F pole rychlosti proudící tekutiny, pak tento plošný integrál udává objemový průtok plochou S za jednotku času. V případě toku pole F uzavřenou plochou S píšeme Q = F ds. (2.18) Příklady (a) Vypočteme cirkulaci pole F = (x 2 + yz, 2yz zx, y 2 ) po kružnici K, která je řezem parabolické plochy x 2 + y 2 + z = 2 rovinou z = 1. Orientace křivky je souhlasná s osou z viz obr. 2.6. Pro zadanou úlohu zvolíme parametrizaci ψ(t) = (cos t, sin t, 1), t, 2π, takže C = 2π ( ) cos 2 t + sin t, 2 sin t cos t, sin 2 t S ( sin t, cos t, ) dt = 2π dt = 2π.

2.4. CHARAKTERISTIKY TENZOROVÝCH POLÍ 29 2 z 1 K 1 1 y x Obrázek 2.6: Kružnice na parabolické ploše. 6 z G G G n G 3 2 y x Obrázek 2.7: Tok rovinou v I. oktantu. (b) Stanovíme tok pole G = (x, 3y+z, 2x) částí roviny 2x+3y+z 6 = určené podmínkami x, y, z. Normálový vektor n je orientován souhlasně s osou z viz obr. 2.7. V zadaném příkladě je z = 6 2x 3y a vektor n = (2, 3, 1) je konstantní, protože se jedná o rovinu. Proto Q = S G ds = D xy (x, 6 2x, 2x) (2, 3, 1) dx dy = 3 (18 6x) 2 2 3 x dy dx = 36. V dalším výkladu ukážeme, jak jsou uvedené globální (integrální) charakteristiky svázány s lokálními, tj. se zřídlovostí a vírovostí pole.

3 KAPITOLA 2. ZÁKLADY TENZOROVÉ ANALÝZY 2.4.3 Gaussova Ostrogradského věta Necht pole F = (F 1, F 2, F 3 ) má spojitě diferencovatelné složky na jednoduše souvislé oblasti Ω ohraničené (po částech) hladkou kladně orientovanou plochou S, tj. F i C 1 (Ω). Pak platí: F ds = div F dω. (2.19) S Ω Jinými slovy: tok pole uzavřenou plochou je roven objemovému integrálu divergence pole. Kladnou orientací uzavřené plochy rozumíme orientaci ve směru její vnější normály. Pro nezřídlové pole, v němž div F = na Ω, platí jako důsledek Gaussovy Ostrogradského věty F ds =. S Opačné tvrzení však neplatí: je-li S F ds =, pak může jít jak o nezřídlové pole, tak o pole zřídlové, v němž však jsou kladné a záporné zdroje v rovnováze. Příklad Určete tok pole F = (xy z 2, 2xz, y x 2 ) vnějškem povrchu krychle, a, a, a. Bez použití G. O. věty by se výpočet provedl jako součet šesti plošných integrálů přes jednotlivé stěny krychle. Při její aplikaci však snadno určíme div F = y a dosadíme do objemového integrálu: 2.4.4 Stokesova věta F ds = y dω = S Ω a a dx a y dy dz = 1 2 a4. Necht pole F = (F 1, F 2, F 3 ) má spojitě diferencovatelné složky na jednoduše souvislé oblasti Ω R 3, v níž leží hladká plocha S ohraničená hladkou souhlasně orientovanou křivkou K. Pak platí: F dl = rot F ds. (2.2) K S Křivka i plocha mohou být případně pouze po částech hladké. Při souhlasné orientaci splňují pravidlo pravé ruky: ukazuje-li palec pravé ruky směr normály k ploše S, míří její prsty ve směru souhlasné orientace křivky K. Na místě je otázka, zda ve Stokesově větě můžeme plochu S procházející křivkou K volit libovolně (ve smyslu předpokladů věty). Odpověd je kladná, jak vyplývá z následující analýzy. Mějme libovolnou uzavřenou křivku K ležící na uzavřené ploše S ohraničující objem Ω (obr. 2.8). Touto křivkou je plocha rozdělena na dvě opačně orientované části S + 1, S 2. Uvažujme dále pole G C1 (Ω). Pro jeho tok uzavřenou plochou S můžeme jednak použít Gaussovu Ostrogradského větu, G ds = div G dω, S Ω jednak ho můžeme určit jako součet plošných integrálů, G ds = S S + 1 G ds + S 2 G ds.

2.4. CHARAKTERISTIKY TENZOROVÝCH POLÍ 31 n S 1 + K n S 2 Obrázek 2.8: K výkladu nezávislosti na integrační ploše u Stokesovy věty. Necht je nyní speciálně G = rot F jako na pravé straně (2.2). Protože div rot F =, je celkový tok uzavřenou plochou S nulový, a tedy G ds + G ds =, neboli G ds = G ds. S + 1 S 2 S + 1 S + 2 Kterákoli z ploch jdoucích křivkou K dává tedy při použití Stokesovy věty stejný výsledek. Výhodu možnosti volby ukazuje následující příklad. Příklad Použijeme Stokesovu větu k řešení příkladu (a) z kapitoly 2.4.2. Kružnicí K na obr. 2.6 prochází kromě generující parabolické plochy celá řada dalších ploch. Nejvýhodnější pro výpočet bude rovina z = 1, jejíž normálový vektor n = (,, 1) máme bezprostředně k dispozici. Průmětem kružnice do roviny z = je obvod kruhu D xy = {x 2 + y 2 1}. Snadno získáme rot F = (x, y, 2z), takže C = F dl = (x, y, 2z) (,, 1) dx dy = 2 dx dy = 2 D xy = 2π. K D xy Symbolem D xy je označena velikost průmětu D xy, v našem případě obsah kruhu o poloměru 1. D xy 2.4.5 Nezávislost na integrační cestě V nevírovém poli (rot F = ) musí být cirkulace K F dl = pro libovolnou uzavřenou křivku K. Současně plyne z podmínky F = grad U existence potenciálu U(x, y, z). Není-li křivka uzavřená, můžeme výpočet křivkového integrálu snadno provést následujícím způsobem. Označíme po řadě A a B její počáteční a koncový bod, takže při parametrizaci ψ(t) = (x(t), y(t), z(t)), t t 1, t 2 je ψ(t 1 ) = A, ψ(t 2 ) = B. Pak F dl = [U(x, y, z)] B A = U(B) U(A), (2.21) nebot podle formule pro derivaci složené funkce je K grad U dl = t 2 K t 1 grad U(ψ(t)) ψ(t) dt = t 2 t 1 [U xẋ(t) + U yẏ(t) + U zẏ(t)] dt = t 2 t 1 U(t) dt.

32 KAPITOLA 2. ZÁKLADY TENZOROVÉ ANALÝZY Tento výsledek znamená, že v potenciálovém poli hodnota křivkového integrálu nezávisí na integrační cestě. Jeden ze způsobů stanovení potenciálu ukazuje další příklad. Příklad Máme vypočíst integrál I = K F dl, kde F = (2xy z, x 2, 2z x) a křivka K je úsečka mezi body A= [1, 1, 1] a B= [2, 3, 4]. Nejprve výpočtem ověříme, že jde o potenciálové pole, nebot rot F =. Jelikož F = grad U, bude U x = 2xy z = U = (2xy z) dx = x 2 y zx + C 1 (y, z), U y = x 2 = U = x 2 dy = x 2 y + C 2 (x, z), U z = 2z x = U = (2z x) dz = z 2 xz + C 3 (x, y). Hledaný potenciál je sjednocením této trojice funkcí: Pro integrál I pak podle (2.21) dostáváme Cvičení U(x, y, z) = x 2 y zx + z 2 + C. I = [x 2 y zx + z 2 ] [2,3,4] [1,1,1] = 19. (1) Intenzita elektrostatického pole bodového náboje q v prostředí s permitivitou ε umístěného v počátku souřadného systémuje dána vztahem E = q 4πε r r 3. Dokažte, že pole E je pro r nezřídlové a nevírové. (2) Změna energie ideálního plynu při adiabatickém ději je vyjádřena rovnicí δu = δq + δa = c v dt + p dv. S použitím stavové rovnice ideálního plynu (p V = R T ) dokažte, že tato změna závisí na průběhu děje (nemá potenciálový charakter). (3) Vypočtěte posuv pole G = (z, z, y) po úsečce z bodu [1,, 1] do bodu [, 1, ]. (4) Určete tok pole G z předchozího příkladu povrchem části kulové plochy x 2 + y 2 + z 2 = r 2, x, y, z ve směru vnější normály. (5) Jakou práci vykoná síla F = (x + y, y z, y) působící po obvodu trojúhelníka vyt atého v rovině 2x + 3y + z 6 = souřadnými rovinami? (Pozn.: trojúhelník je znázorněn na obr. 2.4 vpravo.) (6) Vyčíslete tok pole F = (2xz, y, x) vnějškem povrchu válce {x 2 + y 2 9, z 6}. (7) Dokažte, že pole G = (y 2 + z, 2xy z 2, x 2yz) je potenciálové a vypočtěte jeho posuv mezi body [ 1, 1, 2] a [1, 1, 2].

Kapitola 3 Tenzorový aparát statické teorie pružnosti 3.1 Úvod Matematický aparát statické (a následně i dynamické) teorie pružnosti patří k typickým oblastem, v nichž se uplatňují přednosti tenzorového počtu. V této kapitole se budeme věnovat odvození a vlastnostem tenzoru napětí a tenzoru deformace a rovněž jejich vzájemnému vztahu, který je představován zobecněným Hookeovým zákonem. 3.1.1 Motivace - tahová zkouška Budeme se nyní zabývat určením vztahu mezi napětím τ a deformací e. Jako modelovou situaci budeme uvažovat tahovou zkoušku dlouhé úzké tyče. Předpokládáme, že je podrobena jednosměrnému tahu silou F ve směru osy x 1 (obr. 3.1), přičemž se její průřez S nemění. F S x 1 l l Obrázek 3.1: Tahová zkouška. Působící normálové napětí je τ = F S a tahová síla prodlouží tyč délky l o l, takže deformace je dána poměrným prodloužením e = l l Diagram tahové zkoušky na obr. 3.2 ukazuje příklad vztahu mezi napětím a deformací (jedná se o určitý typ oceli). Významné body na grafu představují mez pevnosti τ c ; 33.

34 KAPITOLA 3. TENZOROVÝ APARÁT STATICKÉ TEORIE PRUŽNOSTI τ c τ τ b τ e τ a malé deformace e Obrázek 3.2: Grafická závislost mezi napětím a deformací. mez kluzu τ b ; mez pružnosti τ e : pro τ τ e se těleso po odlehčení vrátí do původního stavu (hovoříme o pružné deformaci), pro τ > τ e část deformace přetrvává (plastická deformace); mez úměrnosti τ a, která vymezuje důležitou oblast lineární pružnosti (τ < τ a ), kde je napětí přímo úměrné deformaci: τ = E e. (3.1) Tento vztah se nazývá základní Hookeův zákon a konstantou úměrnosti v něm je tzv. Youngův modul pružnosti E [Nm 2 ]. Spojením předchozích vztahů dostáváme e = 1 E τ neboli l l = 1 E F S. (3.2) V obecném případě je popis napět ového a tedy i přetvárného stavu mnohem komplikovanější, a proto musíme zavést bohatší teoretický aparát. 3.1.2 Zobecnění základní pojmy Budeme popisovat stav napjatosti na elementárním objemu V tělesa Ω (obr. 3.3). Na tento objem působí dva druhy sil: vnitřní síly mají stejný účinek ve všech jeho bodech (např. setrvačné síly, tíhová síla aj.), plošné síly působící zvnějšku různým způsobem v bodech jeho povrchu (jde o působení okolních elementů). Výchozí předpoklady V Ω R 3... kompaktní (jednoduše souvislá) oblast, V... její hranice (po částech hladká), F... hustota objemových sil, ν(p )... normálový vektor hranice v bodě P V, T (ν) (P )... hustota plošných sil působících v bodě P, v němž má povrch normálu ν, T i, F i C( V ).

3.2. TENZOR NAPĚTÍ 35 Γ V Ω N ν V P T (ν) (P) F S Obrázek 3.3: Objemové a plošné síly. Všimněme si ještě několika typických atributů vektoru napětí (ν normály): je jednotkový vektor 1. T (ν) = T ( ν) (zákon akce a reakce), 2. T (ν) ν = N (normálové napětí), 3. T (ν) N.ν = S, S = S (tečné napětí). 3.2 Tenzor napětí 3.2.1 Zavedení Povrchová síla působí nejen v bodě P, ale také v jeho okolí na plošném elementu S. Ten má obecnou polohu v prostoru, a proto vektor napětí T (ν) rozložíme do tří plošek rovnoběžných se souřadnými rovinami, aby bylo možné vzájemné porovnání napět ových stavů v různých bodech s různými normálami. Jako elementární objem V zvolíme čtyřstěn obr. 3.4. Velikost trojúhelníkové plošky kolmé na osu x j, j = 1, 2, 3, označíme S j. Příslušný normálový vektor bude tedy opačný k bázovému vektoru příslušnému dané ose, tj. ν (j) = e j. Vektory napětí na těchto ploškách označíme T (j). Je-li čtyřstěn v rovnováze, musí být výslednice všech působících sil (plošných i objemových) nulová: T (1) S 1 + T (2) S 2 + T (3) S 3 + T (ν) S + FV = o. (3.3) Pro objem čtyřstěnu platí známý vzorec V = 1 3h S, kde h je výška jakožto kolmá vzdálenost stěny S od protějšího vrcholu. Dále je zřejmé, že úhel normál ν (j) = e j a ν je roven úhlu, který svírají elementy S j a S. Platí tedy, že S j = cos( ν (j), ν) S = ν j S. Upravíme-li výše uvedený bilanční vztah vydělením S, dostáváme rovnost T (1) ν 1 T (2) ν 2 T (3) ν 3 + T (ν) + 1 hf = o. (3.4) 3