Příklady k přednášce - Spojité modely Michael Šebek Atomatické řízení 5 Evropký ociální fond Praha & EU: Invetjeme do vaší bdocnoti -5-5
Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Řešení tavové rovnice v čaové oblati xt () () (), (), () () 8 6 xt + t x t t Při řešení v čaové oblati najdeme vlatní číla ( I A) p ( ) det + 6+ 8, 4 a předpokládáme tavovo matici přechod ve tvar t 4t t 4t Ke + Ke Ke 3 + Ke 4 Φ() t t 4t t 4t K5e + K6e K7e + K8e Kontanty najdeme ze známých vlatnotí matice Φ() I K+ K, K3+ K4, K5 + K6, K7 + K8 Φ () A K 4K, K 4K, K 4K 8, K 4K 6 3 4 5 6 7 8 takže t 4t t 4t e e e e Φ() t t 4t t 4t 4e + 4e e + e Michael Šebek ARI-Pr--5
Řešení tavové rovnice v čaové oblati Atomatické řízení - Kybernetika a robotika a odezva na počáteční tav je Φ( t) x() t 4t e e t 4t 4e + 4e dále Φ( t τ ) B a z toho t ( tτ) 4( tτ) e e ( tτ) 4( tτ) e + e t t 4 4 t τ t τ t 4t e e dτ e e dτ e + e 8 4 8 Φ( t τ) B( τ) dτ t t t τ 4t 4τ t 4t e e dτ + e e dτ e e Takže celková odezva je 7 t 7 4t t + e e 8 4 8 x() t Φ() t x() + Φ( t τ) B( τ) dτ 7 t 7 4t e + e Michael Šebek ARI-Pr--5 3
Řešení Laplaceovo tranformací Atomatické řízení - Kybernetika a robotika xt () xt () + t (), x(), t () () t 8 6 + 6 + 6 8 + 6+ 8 + 6+ 8 I A 8 6 I A + + 6+ 8 8 + 6+ 8 + 6+ 8 ( ) ( ) Obraz odezvy je celkem + 6 + 6+ ( ) ( ) + 6+ 8 + 6+ 8 + 6+ 8 x() ( I A) B() + ( I A) x + 8 7 ( ) 6 8 6 8 ( 6 8) + + + + + + + 6+ 7 7 + ( + )( + 4) 8 4( + ) 8( + 4) 7 7 7 + ( + )( + 4) ( + ) ( + 4) a čaový průběh odezvy je tejný jako v minlém řešení Michael Šebek ARI-Pr--5 4
Řešení Laplaceovo tranformací Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Dále: z rozklad na parciální zlomky + 6 + 6+ 8 + 6+ 8 8 + 6+ 8 + 6+ 8 + + 4 ( + ) ( + 4) 4 4 + + + + 4 + + 4 ( I A) je zřejmé, že to je obraz tavové matice přechod >> Fiinv([ ; ]-A) Fi 6 + -8 ------------ 8 + 6 + ^ >> xfi*([;]+[;/]) x + 6 + ^ -7 --------------- 8 + 6^ + ^3 >> xpartial(x()) x -7/8 7/4 /8 ----- ----- --- 4 + + >> xpartial(x()) x 7/ -7/ ----- ----- 4 + + >> Fipartial(Fi(,)) Fi - ----- ----- 4 + + Michael Šebek ARI-Pr--5 5
Příklad: Směrování atelit Atomatické řízení - Kybernetika a robotika IO model Stavový model x + x y x [ ] Charakteritický polynom d J ϕ Fd C ϕ ωω, F c J ϕ d x, Fc, y ϕ ω J p ( ) det det a řešení tavových rovnic L-tranformací x() () () + x y () () + x() [ ] Michael Šebek ARI-Pr--5 6
Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Stavová matice přechod Φ () k k Řešení v čaové oblati pro k k I () l l Φ l l Příklad: Směrování atelit det( I A) t () t t τ Φ Φ( t τ ) x, t () () t t ( t τ) dτ t t τ τ τ t Φ ( t) x(), Φ( t ) B( ) d dτ t A () k + lt k + lt Φ t k + lt k + lt t + xt () t t yt () + Michael Šebek ARI-Pr--5 7
Příklad: Divný ytém Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Blokově a rovnicemi x y x x + x x x x x x y x tavový model výpočet řešení (Laplace) x +, [ ] x y x + + x() () + () x () + () ( + )( ) ( + )( ) + x Michael Šebek ARI-Pr--5 8
Příklad: Divný ytém Atomatické řízení - Kybernetika a robotika a výtp je y () () + [ + ] x() ( + )( ) ( + )( ) () + x() + x() ( + ) ( + ) ( ) přeno odezva na počáteční tav charakteritický polynom v. jmenovatel přeno: p ( ) ( + ) ( ) d ( ) ( + ) Odezva na kok ilně závií na počátečním tav nlový a nenlový počáteční tav x ( ) x ( ) x ( ) x ( ). Michael Šebek ARI-Pr--5 9
Příklad: Jiný divný ytém Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Kakáda (mód je odblokován vtpní nlo) přeno je. řád a tabilní v x x y G () + + x ale úplný tavový popi je. řád: pro x x + x x x y + x [ ] [ ] x yx, v charakteritický polynom je p( ) det( I A) ( + )( ) Michael Šebek ARI-Pr--5
Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Příklad: Kanonické formy řiditelnoti Kanonická forma řiditelnoti (někdy také forma fázových proměnných) y ( ) + 7+ + 7+ 3 3 ( ) 4 + 6 + 9 + 4 + 6 + 9 + 7 x x + 9 4 6 9 6 y 7 x [ ] jiná varianta kanonická formy řiditelnoti - Controller Canonical Form Y() + 7+ 3 U( ) + 9 + 6 + 4 7 x x x x 3 y 9 6 4 [ 7 ] x 3 x 3 x x y Michael Šebek ARI-Pr--5 4 9 6 4 x x+ y x
Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Příklad: Kanonické formy pozorovatelnoti Kanonická forma pozorovatelnoti - Oberver Canonical Form 7 + + Y() 3 U() 9 6 4 + + + 3 9 x 6 x+ 7 4 y x [ ] 7 x x x x 3 y 7 x 3 x 3 x x y 9 6 4 Michael Šebek ARI-Pr--5 9 6 4 4 x 6 x+ 7 9 y x [ ]
Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Přeno Příklad: Kakádní realizace y ( ) 4 4 F () 3 ( ) 4 + 6 + 9 + ( + )( + 3)( + 4) Můžeme realizovat jako kakád (érii) bytémů. řád 4 ( + ) ( + 3) ( + 4) () 4 ( + ) x () x () x () 3 ( + 3) ( + 4) y () 4 x 3 x 3 x x x x y 3 4 4 x 3 x+ 4 y x [ ] Michael Šebek ARI-Pr--5 3
Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Přeno Můžeme realizovat jako paralelní pojení bytémů. řád 4 x x x x 3 x 3 x 3 Příklad: Paralelní realizace y ( ) 4 4 F () 3 ( ) 4 + 6 + 9 + ( + )( + 3)( + 4) y ( + ) 4 ( + 3) ( + 4) 4 + ( + ) ( + 3) ( + 4) rozklad na parciální zlomky x 3 x+ 4 4 4 y [ ] x jo-li (faktory) póly náobnoti, je tavová matice diagonální (viz Jordanův kanonický tvar matice) Michael Šebek ARI-Pr--5 4 Xx () x () X () xx () 3
Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Přeno Příklad: Paralelní realizace - vícenáobné póly y ( ) ( + 3) F () + ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Můžeme realizovat jako paralelní pojení bytémů max.. řád x x x x y x 3 x 3 x x+ jo-li (faktory) póly náobnoti větší než, nemí být tavová matice diagonální, ale může být blokově diagonální y [ ] x Jordanův tvar matice může být ložený z bloků větší velikoti než ( + ) ( + ) ( + ) Michael Šebek ARI-Pr--5 5
Výpočet tranformační matice Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Někdy dány oba modely (ve tarých a nových ořadnicích) a hledáme přímo z tranformačních vztahů to vypočítat nejde? Anew T AoldTB, new T Bold, Cnew ColdT Tranformjme tedy matici C B A B A B n new new new new new new a z toho je ( T A T) ( T A T) n T Bold T B old old T B old old T T n Bold AoldBold Aold Bold T C C pokd inverze exitje Obdobně ze vztah (pokd inverze exitje) T O Neboť platí kde obě matice jo tvar new old O O old new new O T old Michael Šebek ARI--5 6 C old Ci i i O CA i n- CA i i i new, old T
Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Odezva na vtp a počáteční podmínky Odezva na vtpní ignál a počáteční tav je celkem [ Cadj( I A) B + det( I A) D] Cadj( I Ax ) b () n ( ) cx () y () () + + det( IA) det( IA) a () d() a () kde a () je charakteritický polynom ytém d () je jmenovatel L-obraz vtpního ignál výtp můžeme rozložit na parciální zlomky / módy takto y () Složky přílšné kořenům a () Složky přílšné kořenům d () + + ložky přílšné kořenům a () přirozená odezva ncená odezva odezva na poč. tav Michael Šebek ARI--5 7
Požití parciálních zlomků při výpočt odezvy Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Ryzí racionální fnkci n () d (), kde d () má kořeny reálné a, m i j-náobné reálné komplexní ck σk ± jωk a n l -náobné komplexní cl σl ± jωl a tedy polynom d () má rozklad na kořenové činitele m j ( ai ) ( ) ( ( + σ ) + ωk )) ( σl + ωl )) d () b j k ( + ) nejprve rozložíme na parciální zlomky n () α βj β β mj j i j + + + + m j d ( ) ( a ) ( b ) ( ) i j bj ( b ) j γk + δk ε l + ϕ l εl + ϕl εnl + ϕ l nl l + + + + + n l ( + σk ) + ωk ( + σl) + ωl (( + σl) + ωl )) (( + σl) + ωl )) Při zpětné tranformaci každý zlomek zpětně tranformjeme zvlášť dle vzorců at, ( ai ) e 3 ωk σt ωk σt e in ω kt, e ( inω ktωktcoωkt) ( + σk) + ωk (( + σk) + ωk) m j bt + σ σt ω ( ) t t e, k + σ σ e co ω, m te inω j ( b ) ( m kt kt )! ( + σ ) + ω (( + σ ) + ω ) j j Jednotlivým ložkám e říká módy k k k k n l b j Michael Šebek ARI-Pr--5 8
Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Příklad: Odezva na vtp i počáteční tav x 5 x x 3 x + x x( ) y [ 3 ] [ ], x + x( ) obecná odezva + 3 y ( ) ( ) x( ) + x( ) + 5 + 5 + 3 odezva na jednotkový kok a počáteční tav () Michael Šebek ncená + y () + 5 + 3 5 35 y () + + 5 + 3 přirozená 3 yt () + e e 5 5 5t 3t det( I A) ( + 5)( + 3) x ( ), x ( ) volný pád ARI-Pr--5 ncená na vtp přirozená volný pád celková t:.:5; nc.4*one(,length(t)); pri.6*exp(-5*t);vol-exp(-3*t); plot(t,nc,t,pri,t,vol,t,nc+pri,... t,nc+pri+vol) 9
Příklad -pokračování Atomatické řízení - Kybernetika a robotika U() G () + + 5 x ( ) Y() det( I A) ( + 5)( + 3) Im 5 3 Re + 3 x ( ) + 5 + 3 + pól vtpního ignál generje nceno odezv pól přeno generje přirozeno odezv pól charakteritického polynom 5 35 Y() + generje volno odezv + 5 + 3 reálný pól -a generje exponenciální odezv e -ta 3 5t 3t nly a póly kombinjí vliv módů yt () e + e 5 5 ncená přirozená volný pád Michael Šebek ARI-Pr--5
Příklad: Odhad odezvy z polohy pólů Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Když ná např. zajímá odezva na kok ytém () ( + 3) y () ( + )( + 4)( + 5) můžeme ji jednodše odhadnot tak, že naznačíme rozklad na parciální zlomky K K K3 K4 y () + + + ( + ) ( + 4) ( + 5) zřejmě vtpní pól generje vynceno kokovo odezv a póly přeno generjí jednotlivé exponenciální ložky přirozené odezvy zpětno L-tranformací dotaneme yt () K + Ke + Ke + Ke t 4t 5t 3 4 přetože výpočet kontant není ložitý, kontanty ná čato nezajímají mnohdy tačí vědět, které ložky odezva obahje Michael Šebek ARI-Pr--5
Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Ještě k modelům: změna měřítka amplitdy Změna měřítka amplitdy (škálování) zjednodšje analýz i návrh Odhadneme maximální očekávané/povolené hodnoty změn ignálů v pracovním režim Vyjdeme z odchylkového model (přeno) y G + Gd d vzniklého třeba lineární aproximací a velikot každé veličin tlačíme pod vydělením d, d maximální odhadnto nebo povoleno odchylko max maxd y míme škálovat polečně e, r neboť mají tejné jednotky a jo vázány e r y y r e Můžeme požít r nebo čatěji e y, r, e max max : maxe maxe maxe Potp formalizjeme požitím faktorů De maxed, maxd, d maxdd, r maxr a doazením dotaneme y De G D+ De Gd Ddd, e yr Někdy k tom ještě zavedeme škálovano referenci. r r r D r r D r D D r max r e r e Pak je dt (), rt () a pomocí t () iljeme o et () Michael Šebek ARI-Pr--5
Příklad: Vytápění pokoje Atomatické řízení - Kybernetika a robotika energetická rovnováha: změna energie v pokoji přítok energie (zanedbáváme akmlaci ve těnách) d dt tepelná kapacita pokoje [J/K] změna tepla vnitř ( C T ) Q + α ( T T ) V teplota pokoje [K] přívod tepla přívod tepla [W] ztráty do okolí 5 zavedeme τ C V α a děláme LT pro nlovo pp. T T() α Q TO τ+ + τ+. T() Q+ TO + + O koeficient přetp tepla [W/K] venkovní teplota [K] ( ) α W K C kj K [ J K] Michael Šebek ARI-Pr--5 3 V, p CV [ ] T K [ ] QW T [ ] O K α [ W K] pracovní bod Qp kw, Tp TO, p K odchylkový model T T Tˆ, d C T Q α T V + α + dt O
Příklad: Vytápění pokoje Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Zavedeme relativní bezrozměrné proměnné T () Q () TO () y () ; () ; d () T Q T max max O,max kde ze zadání Tmax K; Qmax kw ; TO,max K operacemi T() Qmax TO,max Q+ T T + T Q + T T τ α τ max max max max O,max dotaneme Qmax TO,max y () () + d () τ+ α Tmax τ+ Tmax y () () + d () + + O Michael Šebek ARI-Pr--5 4
Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Ča většino měříme v ekndách, ale počítání velmi rychlými nebo pomalými ytémy může být špatně podmíněné a nmerický výpočet může být chybný Je proto žitečné mět změnit jednotk ča. Například mezi čaem t [] a čaem τ[m] platí vztah τ kt kde k Dopad na derivování je dx dx dx d x d x x k, x k, dt d( τ k) dτ dt dτ a tak e tavová rovnice tranformje na Jí v měřítk ča τ Ještě k modelům: změna čaového měřítka k x () t Ax() t + B() t x ( τ ) Ax( ) B( ) k τ + k τ ( ) ( ) ( ) τ τ τ τ τ τ g ( ) I A B I A k B k ki A B Tedy τ což odpovídá, neboť proměnná v LT má rozměr /ča Dále platí pro čaové kontanty T τ Michael Šebek ARI-Pr--5 5 kt
Příklad: změna čaového měřítka Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Rychlý ocilátor přirozeno frekvencí ω n 5.rad 6 ϕ( t) + 5. ϕ( t) t ( ) (ai khz) Změníme-li jednotk ča ze ekndy na milieknd ( τ t ) Pak a rovnice v miliekndách je 6 ( ) ( ) d ϕτ ϕ t d ϕτ ( ) dτ + 5 ϕτ ( ) ( τ) dτ Z první rovnice dotaneme přeno, ze drhé 6 y () () y ( τ ) () + 5. τ + 5 Z porovnání je zřejmé, že τ Změna ve tavovém model (pro x ϕ, x ϕ ) je x () t x() t t () 6 x() t 5 x() t + x ( τ). x( τ) ( τ ) 3 x( τ) + 5 x( τ) g () g ( ) 6 + 5. + 5 τ Michael Šebek ARI-Pr--5 6 τ
Atomatické řízení - Kybernetika a robotika CSTbx: (lti), tf, zpk tep, imple, initial, PolTbx: df, (ldf, rdf, mdf), abcd, pol nm, den SymbMathTbx: ymbolické výpočty laplace, ilaplace Spojité modely v Matlab objekty a fnkce Michael Šebek ARI-Pr--5 7