MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 26 LEONA JURÁČKOVÁ

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Kotigečí pojištěí a pozůstalostí důchody Bakalářská práce Leoa Juráčková Vedoucí práce: doc PaedDr RNDr Staislav Katia, PhD Bro 26

Bibliografický záza Autor: Název práce: Studijí progra: Studijí obor: Vedoucí práce: Leoa Juráčková Přírodovědecká fakulta, Masarykova uiverzita Ústav ateatiky a statistiky Kotigečí pojištěí a pozůstalostí důchody Mateatika Fiačí a pojistá ateatika doc PaedDr RNDr Staislav Katia, PhD Akadeický rok: 25/26 Počet stra: xiii + 66 Klíčová slova: Pojištěí více životů; Kotigečí pojištěí; Pozůstalostí důchody; Netto pojisté; Kotigečí pravděpodobosti; Pojistá ateatika; R v pojištěí; Pseudokód; Úrtostí tabulky

Bibliographic Etry Author: Title of Thesis: Degree Prograe: Field of Study: Supervisor: Leoa Juráčková Faculty of Sciece, Masaryk Uiversity Departet of Matheatics ad Statistics Cotiget isurace ad reversioary auities Mateatics Fiacial ad Isurace Matheatics doc PaedDr RNDr Staislav Katia, PhD Acadeic Year: 25/26 Nuber of Pages: xiii + 66 Keywords: Multiple life isurace; Cotiget isurace; Reversioary auities; Net isurace; Cotiget probabilities; Actuarial atheatics; R i isurace; Pseudocode; Mortality tables

Abstrakt Předěte této bakalářské práce jsou spojité odely v pojištěí více životů, kotigečí pojištěí a pozůstalostí důchody Jsou zde podrobě diskutováy a odvozey vzorce pro výpočet jedorázového a běžého etto pojistého těchto odelů a základě spojitého přístupu V praktické části je uvedeo ěkolik příkladů včetě řešeí poocí a grafického zázorěí toho, jak se ěí současá hodota pojištěí v závislosti a vstupích věcích pojištěých osob Abstract Ai of this Bachelor s thesis is to study cotiuous odels of ultiple life isurace, cotiget isurace ad reversioary auities We will discuss ad derive forulas for sigle et preiu ad regular et preiu of these odels with cotiuous approach I the practical part there are soe exaples icludig solutios i There are also graphs showig how preiu volue depeds o issue ages of isured persos

Poděkováí Mé ejvětší poděkovaí patří pau doc PaedDr RNDr Staislavu Katiovi, PhD za odboré vedeí é bakalářské práce, za jeho čas, vstřícost, ilý a přátelský přístup, za ceé připoíky a ápady, které i po celou dobu psaí práce poskytoval, a za ispiraci do dalšího studia ateatiky Prohlášeí Prohlašuji, že jse svoji bakalářskou práci vypracovala saostatě s využití iforačích zdrojů, které jsou v práci citováy Bro 25 květa 26 Leoa Juráčková

Obsah Úvod Přehled použitého začeí viii x Kapitola Základí pojy Základí vztahy 2 Úrtostí odely 4 3 Koutačí fukce 6 4 Defiice stavů 9 Kapitola 2 Kotigečí pravděpodobosti Kapitola 3 Netto pojištěí 4 3 Jedorázové pojištěí za jedorázové etto pojisté 4 32 Důchodové etto pojištěí za jedorázové etto pojisté 23 Kapitola 4 Aplikace a reálá data 4 4 Ipleetace do R 4 42 Mauálí výpočet 47 Závěr 48 Příloha 49 Seza použité literatury 66 vii

Úvod Odepaěti je lidský život prováze růzýi ejistotai a riziky Sado se ůže stát, že se v životě člověka ečekaě objeví ějaká situace, se kterou se sá eůže vypořádat Situace, která by ohla ohrozit jeho životí úroveň, či apříklad fiačí stabilitu jeho rodiy Naštěstí se již des proti těto epředvídatelý riziků lze dobře chráit Pojišt ovy abízejí epřeberé ožství produktů, díky iž ůžou lidé v případě ečekaé události lépe čelit její ásledků Saostatou kapitolu pak tvoří právě životí pojištěí Mezi jeho ejzákladější části patří pojištěí pro případ srti, pojištěí pro případ dožití, síšeé pojištěí, jež je kobiací dvou předchozích, a pojištěí důchodové V případě pojisté události je pak pojišt ova povia vyplatit dohodutou pojistou částku Je však podstaté, aby a všechy výplaty těchto krytí ěla vždy dostatek fiací, ebot dopředu ikdy elze předpovědět, kdy které pojisté události astaou Na délku lidského života se dá pohlížet jako a áhodou veličiu, jejíž rozděleí je ezáé, ale paraetry tohoto rozděleí jse schopi určitýi ateaticko-statistickýi etodai odhadout A zde přichází práce pro pojistého ateatika, jehož jedí z hlavích úkolů je staovit sazby pojistého tak, aby veškeré příjy pojišt ovy byly v rovováze s jejíi výdaji Kroě klasického dobře záého pojištěí jedoho života lze sjedat i pojištěí skupiové, což je pojištěí více osob forou jedé pojisté slouvy Pod touto skupiou osob si ůžee představit apříklad ažele, rodiče s děti, zaěstace určité firy, čley daého sportovího klubu, či kliety jisté cestoví kaceláře Výhodou skupiového pojištěí oproti idividuálíu je apříklad ižší cea Tato bakalářská práce si klade za cíl obezáit čteáře s tí, jak se staovuje výše pojistého pro růzé druhy pojištěí více životů Chcee vytvořit přehledý systé výpočtů vzorců pro staoveí výše pojistého pro růzé druhy pojištěí více životů a kotigečího pojištěí více životů V to avíc bude figurovat i podíka a pořadí, ve které kokrétí osoby z daého souboru ají uírat V této práci jse zvolili situaci, kdy ejprve zeře osoba ozačeá jako x Podobě bycho však ohli zvolit i kteroukoliv jiou osobu z daé -tice Jak již bylo zíěo, úkole pojisté ateatiky je alézt stav, kdy všechy příjy pojišt ovy budou rovy její výdajů Staoveé pojisté se pak dá rozdělit a etto pojisté a brutto pojisté Netto pojisté je počítáo tak, aby pojistiteli v průěru pokrylo vypláceé pojisté plěí Přičtee-li k této částce ještě správí áklady pojišt ovy, bezpečostí přirážku a zisk pojišt ovy, dostáváe takzvaé brutto pojisté V této bakalářské práci se budee věovat pouze etto pojistéu V literatuře též ozačováo jako ryzí pojisté, čisté pojisté, rizikové pojisté viii

Úvod ix Netto pojisté ůže pojišt ova od pojistíků vybírat dvěa způsoby Bud to jedorázově, kdy celé pojisté ikasuje ajedou při uzavřeí pojisté slouvy, ebo jej ůže dostávat v pravidelých splátkách 2 Takovéu způsobu se říká běžě placeé pojisté Z důvodu velkého rozsahu bakalářské práce se však běžě placeéu etto pojistéu věovat ebudee Z hlediska vypláceí pojisté částky lze jedorázové i běžé etto pojisté rozdělit opět do dvou skupi A to a jedorázové pojištěí a důchodové pojištěí Při jedorázové pojištěí je po ástupu pojisté události celá pojistá částka vyplacea ajedou, kdežto při důchodové pojištěí je pojistá částka rozdělea do vícero splátek, které bude pojištěý, případě skupia pojištěých, po zvoleou dobu dostávat Všechy výpočty těchto pojištěí ůžee provádět dvěa způsoby Bud to poocí diskrétího aebo spojitého přístupu Spojitý přístup vychází ze spojitého odelováí úrtosti a spojitého úročeí Myšleka je taková, že připisováí úroků probíhá v ekoečě alých časových itervalech, tudíž při odvozováí spojitých pojištěí ůžee vycházet z jejich diskrétích ekvivaletů, pouze suy ahradíe itegrále Spojitý přístup avíc a rozdíl od diskrétího připouští úrtí kdykoliv v průběhu roku, e je a jeho koci Proto by spojitá pojištěí v pojisté ateatice ěla být stále používaější a v této práci se budee věovat právě ji Text práce bude rozčleě do čtyř kapitol V prví kapitole čteáři připoeee základí pojy a vztahy pro pojištěí jedoho života, které dále zevšeobecíe pro -tici životů Uvedee, jaké růzé stavy ohou v této -tici existovat a jak je v celé práci budee začit 3 Druhá kapitola bude věováa kotigečí pravděpodoboste, tedy takový pravděpodoboste, kdy avíc beree v úvahu i pořadí úrtí v daé skupiě Nabyté zalosti pak uplatíe ve třetí kapitole Ta bude stěžejí částí bakalářské práce a za cíl si klade vytvořit systeatický přehled spojitých pojištěí více životů s důkladý odvozeí vzorců z hlediska spojitého přístupu V posledí kapitole poto uvedee ěkolik příkladů, které by v pojisté praxi ohly astat Tyto příklady vyřešíe jedak klasický ručí dosazeí do vzorce, jedak poocí fukce vytvořeé poocí Budee zde také ilustrovat, jak se ěí výše pojistého v závislosti a to, kolik let je pojištěý osobá v době uzavřeí pojisté slouvy V této práci ai ikde jide ebudee uveřejňovat kódy, které jse pro autoatický výpočet současých hodot pojištěí vytvořili V posledí části proto echáe čteáře prostředictví pseudokódu alespoň ahlédout, jak jse při prograováí v postupovali 2 Nejčastěji s ročí ebo ěsíčí frekvecí plateb 3 Všecho začeí bude odpovídat eziárodí aktuárské otaci, viz [8]

Přehled použitého začeí Základí pojy l x l xy l x x l x+ l x+:y+ l x +:x + d x d xy počet všech živých ve věku x počet všech eporušeých dvojic v letech x a y počet všech eporušeých -tic v letech x,x počet všech živých ve věku x + počet všech eporušeých dvojic v letech x + a y + počet všech eporušeých -tic v letech x +,x + počet všech zeřelých ve věku x počet všech porušeých dvojic v letech x a y d x x počet všech porušeých dvojic v letech x,x p x pravděpodobost, že se x-letá osoba dožije věku x + p xy pravděpodobost, že se x-letá osoba dožije věku x + a y-letá osoba dožije věku y + p x x pravděpodobost, že se osoby v letech x,x dožijí věků x +,x + p x p xy p x x pravděpodobost, že se x-letá osoba dožije věku x + pravděpodobost, že se x-letá osoba dožije věku x + a y-letá osoba dožije věku y + pravděpodobost, že se osoby v letech x,x dožijí věků x +,x + q x pravděpodobost, že se x-letá osoba edožije věku x + q xy pravděpodobost, že se x-letá osoba edožije věku x + a y-letá osoba edožije věku y + q x x pravděpodobost, že se osoby v letech x,x edožijí věků x +,x + q x q xy q x x pravděpodobost, že se x-letá osoba edožije věku x + pravděpodobost, že se x-letá osoba edožije věku x + a y-letá osoba edožije věku y + pravděpodobost, že se osoby v letech x,x edožijí věků x +,x + x

Přehled použitého začeí xi Koutačí fukce i úroková íra d diskotí íra v diskotí faktor µ itezita úrtosti ω liití věk 4 N x x S x x C x x M x x R x x N x x S x x C x x M x x R x x Cx x Mx x Rx x diskotovaý počet -tic dožívajících se věku x,x diskrétí koutačí fukce prvího řádu počtu -tic dožívajících se věku x,x diskrétí koutačí fukce druhého řádu počtu -tic dožívajících se věku x,x diskotovaý počet porušeých -tic v letech x,x diskrétí koutačí fukce prvího řádu počtu porušeých -tic v letech x,x diskrétí koutačí fukce druhého řádu počtu porušeých -tic v letech x,x diskotovaý počet -tic dožívajících se věku x,x spojitá koutačí fukce prvího řádu počtu -tic dožívajících se věku x,x spojitá koutačí fukce druhého řádu počtu -tic dožívajících se věku x,x diskotovaý počet porušeých -tic v letech x,x spojitá koutačí fukce prvího řádu počtu porušeých -tic v letech x,x spojitá koutačí fukce druhého řádu počtu porušeých -tic v letech x,x spojitá kotigečí koutačí fukce diskotovaého počtu -tic porušeých úrtí osoby ve věku x spojitá kotigečí koutačí fukce prvího řádu diskotovaého počtu -tic porušeých úrtí osoby ve věku x spojitá kotigečí koutačí fukce druhého řádu diskotovaého počtu -tic porušeých úrtí osoby ve věku x 4 V celé práci používáe ω 5 dle [2]

Přehled použitého začeí xii Slovíček pojistých pojů 5 Pojistitel Pojistík Pojištěý Pojisté Pojisté plěí Pojistá událost Pojistá částka Obyšleý Pojistá doba Současá hodota právická osoba, která sí provozovat pojišt ovací čiost dle zvláštího předpisu fyzická či právická osoba, jež s pojistitele uzavřela pojistou slouvu a á poviost platit pojisté osoba, a jejíž život, zdraví, ajetek, či jié hodoty se pojištěí vztahuje úplata za poskytutí pojisté ochray árok pojištěého vůči pojišt ově plyoucí z důsledku pojisté události ahodilá skutečost, ke které se váže vzik poviosti pojistitele poskytout pojisté plěí fiačí částka, která je pojištěéu vyplacea poté, co dojde k pojisté události osoba, které vziká právo a pojisté plěí v případě úrtí pojištěého doba, po kterou je pojištěéu poskytováa pojistá ochraa hodota, která je diskotovaá do současosti Jedorázové pojištěí za jedorázové etto pojisté E x x A x x Ax x A x x : Ax x : k A x x k Ax x k A x x : k A x x : IA dočasé pojištěí pro případ dožití doživotí pojištěí do prvího úrtí doživotí kotigečí pojištěí do prvího úrtí dočasé pojištěí do prvího úrtí dočasé kotigečí pojištěí do prvího úrtí doživotí pojištěí do prvího úrtí odložeé o k let doživotí kotigečí pojištěí do prvího úrtí odložeé o k let dočasé pojištěí do prvího úrtí odložeé o k let dočasé kotigečí pojištěí do prvího úrtí odložeé o k let doživotí pojištěí do prvího úrtí s lieárě rostoucí pojistou částkou IA x x IA x x doživotí kotigečí pojištěí do prvího úrtí s lieárě rostoucí pojistou částkou dočasé pojištěí do prvího úrtí s lieárě rostoucí pojistou částkou DA x x : IA x x : dočasé kotigečí pojištěí do prvího úrtí s lieárě rostoucí pojistou částkou dočasé pojištěí do prvího úrtí s lieárě klesající pojistou částkou A x x : A x x : x x : DA x x : dočasé kotigečí pojištěí do prvího úrtí s lieárě klesající pojistou částkou síšeé pojištěí do prvího úrtí síšeé kotigečí pojištěí do prvího úrtí 5 Ispirováo pojy dostupýi z: http://wwwaxiapojistovacz/zajia-vas/ slovik-zakladich-poju-v-pojistovictvi

Přehled použitého začeí xiii Důchodové pojištěí za jedorázové etto pojisté ä x x ä x x 2 x a x x ä x x 2 x ä x x : ä x x 2 x : a x x : ä x x 2 x : k ä x x k ä x x 2 x k a x x k a x x 2 x k ä x x : k ä x x 2 x : k a x x : k a x x 2 x : Iä Iä x x x x 2 x Ia x x Ia x x 2 x Iä Iä x x : x x 2 x : Ia x x : Ia x x 2 x Dä Dä x x : x x 2 x : Da x x : Da x x 2 x : pojištěí doživotího předlhůtího důchodu do prvího úrtí kotigečí pojištěí doživotího předlhůtího důchodu do prvího úrtí pojištěí doživotího polhůtího důchodu do prvího úrtí kotigečí pojištěí doživotího polhůtího důchodu do prvího úrtí pojištěí dočasého předlhůtího důchodu do prvího úrtí kotigečí pojištěí dočasého předlhůtího důchodu do prvího úrtí pojištěí dočasého polhůtího důchodu do prvího úrtí kotigečí pojištěí dočasého polhůtího důchodu do prvího úrtí pojištěí doživotího předlhůtího důchodu do prvího úrtí odložeé o k let kotigečí pojištěí doživotího předlhůtího důchodu do prvího úrtí odložeé o k let pojištěí doživotího polhůtího důchodu do prvího úrtí odložeé o k let kotigečí pojištěí doživotího polhůtího důchodu do prvího úrtí odložeé o k let pojištěí dočasého předlhůtího důchodu do prvího úrtí odložeé o k let kotigečí pojištěí dočasého předlhůtího důchodu do prvího úrtí odložeé o k let pojištěí dočasého polhůtího důchodu do prvího úrtí odložeé o k let kotigečí pojištěí dočasého polhůtího důchodu do prvího úrtí odložeé o k let pojištěí doživotího předlhůtího důchodu do prvího úrtí s lieárě rostoucí pojistou částkou kotigečí pojištěí doživotího předlhůtího důchodu do prvího úrtí s lieárě rostoucí pojistou částkou pojištěí doživotího polhůtího důchodu do prvího úrtí s lieárě rostoucí pojistou částkou kotigečí pojištěí doživotího polhůtího důchodu do prvího úrtí s lieárě rostoucí pojistou částkou pojištěí dočasého předlhůtího důchodu do prvího úrtí s lieárě rostoucí pojistou částkou kotigečí pojištěí dočasého předlhůtího důchodu do prvího úrtí s lieárě rostoucí pojistou částkou pojištěí dočasého polhůtího důchodu do prvího úrtí s lieárě rostoucí pojistou částkou kotigečí pojištěí dočasého polhůtího důchodu do prvího úrtí s lieárě rostoucí pojistou částkou pojištěí dočasého předlhůtího důchodu do prvího úrtí s lieárě klesající pojistou částkou kotigečí pojištěí dočasého předlhůtího důchodu do prvího úrtí s lieárě klesající pojistou částkou pojištěí dočasého polhůtího důchodu do prvího úrtí s lieárě klesající pojistou částkou kotigečí pojištěí dočasého polhůtího důchodu do prvího úrtí s lieárě klesající pojistou částkou

Kapitola Základí pojy V této kapitole postupě vybudujee základy, a kterých budee v celé práci stavět Nejprve stručě zopakujee ejdůležitější pojy a vztahy, které platí pro pojištěí jedoho života Ty vzápětí rozšíříe obecě a základí pojy libovolé -tice životů Následě se budee zabývat itezitou úrtosti, krátce se zííe o úrtostích zákoech, zadefiujee koutačí fukce, jedotlivé druhy stavů a trochu podroběji rozvedee stavy složeé Při psaí této kapitoly budee vycházet převážě z kih [], [3] a [7] Při začeí budee vycházet z eziárodí aktuárské otace [8] V celé práci budee předpokládat ásledující: pojistě-techická úroková íra je běhe délky trváí pojištěí eěá, úrtost pojištěých osob se řídí daýi úrtostíi tabulkai, jedotlivá úrtí v ráci -tice osob jsou avzáje ezávislá, porušeí této -tice ůže astat pouze úrtí, životy všech osob se řídí stejý zákoe úrtosti, osobou x yslíe osobu ve věku x, kde x, -ticí osob rozuíe osoby, které ají x,x 2,x let, kde x i pro i, Základí vztahy Pravděpodobostí rozděleí S poocí pravděpodobostích istruetů ůžee vytvořit pravděpodobostí odel úrtosti, jež je založe a áhodé veličiě T Ta udává délku života jedice ezi okažike jeho arozeí a úrtí, přičež paraetry rozděleí této veličiy jse schopi odhadout Toto rozděleí ůžee popsat poocí distribučí fukce F t PT t V praktických příkladech v kapitole 4 budee počítat s úrokovou írou 4 %

Kapitola Základí pojy 2 Kroě distribučí fukce F t ůžee zavést také fukci přežití S t jako S t PT > t PT t F t Náhodou veličiou T x popisujee délku života x-letého jedice, kterého jse áhodě vybrali z dostatečě velkého souboru x-letých osob, ezi věke x a okažike jeho úrtí Její rozděleí popisujee distribučí fukcí ve tvaru 2 F x t PT x t PT x +t T > x Px < T x +t PT > x Podobě fukci přežití z věku x do věku x +t vyjádříe jako S x t PT x > t PT > x +t T > x PT > x +t PT > x F x +t F x F x S x +t S x Práci s těito distribučíi fukcei si zjedodušíe zavedeí ásledujících sybolů: pravděpodobost dožití ve věku x p x S x PT x >, pravděpodobost toho, že se x-letá osoba dožije věku x +t pravděpodobost úrtí ve věku x t p x S x t PT x > t, q x F x PT x, pravděpodobost toho, že osoba ve věku x zeře těsě před dosažeí věku x +t Míry dožití tq x F x t PT x t V pojištěí jedoho života počet osob živých ve věku x začíe sybole l x Stejý způsobe zavedee počet žijících -tic v letech x,x 2,x jako l x x 2 x l x l x2 l x Ročí íru dožití p x jedé osoby z věku x do věku x + vyjádříe jako p x l x+ l x, tedy jako podíl počtu všech živých ve věku x + ku počtu všech živých ve věku x v daé roce Pravděpodobost, že x-letá osoba bude aživu i dalších let, je rova p x l x+ l x, 2 Využijee zde vztahu pro podíěou pravděpodobost: PA B PA B PB, kde PB >

Kapitola Základí pojy 3 což je podíl počtu všech živých ve věku x + ku počtu živých ve věku x v daé roce Aalogicky pro vícero životů se pravděpodobost, že -tice osob v letech x,x 2,,x zůstae eporušea úrtí i dalších let, rová p x x 2 x p x p x2 p x l x + l x l x2 + l x2 l x + l x Tedy je to souči pravděpodobostí, že osoba x přežije dobu, osoba x 2 přežije dobu a tak dále Míry úrtí Počet zeřelých ve věku x v pojištěí jedoho života začíe d x a platí d x l x l x+, tedy d x je rozdíle ezi počte osob, které a začátku roku byly aživu, a počte osob, jež běhe doby jedoho roku zeřely Aalogicky počet -tic porušeých běhe roku úrtí d x x 2 x l x x 2 x l x +:x 2 +::x + 2 je rozdíle ezi počte -tic, které a začátku roku byly aživu, a počte -tic, jež běhe doby jedoho roku byly porušey alespoň jedí úrtí Dále pro ročí íru úrtí q x osoby ve věku x platí q x l x l x+ l x d x l x, což eí ic jiého, ež vyjádřeí pravděpodobosti úrtí jako podíl počtu osob zeřelých ve věku x ku počtu všech živých ve věku x v daé roce Obdobě pravděpodobost, že stav spojeého života -tice osob bude běhe ásledujícího roku poruše, zapíšee jako q x x 2 x q x q x2 q x l x x 2 x l x +:x 2 +::x + l x x 2 x d x x 2 x l x x 2 x Dále platí, že q x x 2 x + p x x 2 x, to zaeá, že -tice osob v průběhu trváí doby let bude bud porušea alespoň jedí úrtí, ebo všechy osoby z této -tice zůstaou aživu Itezita úrtosti Abycho ohli zavést poje itezity úrtosti, usíe ejprve zát hustotu áhodé veličiy T, která, jak už bylo řečeo, ozačuje délku života jedice ezi věke a okažike jeho úrtí Tu začíe jako f t a platí pro i f t d dt F t d dt tq d dt t p d dt t p

Kapitola Základí pojy 4 Tedy pro hustotu áhodé veličiy T x platí f x t d dt F xt d dt tq x d dt t p x d dt t p x Slovy je hustota f x t derivací distribučí fukce délky života ve věku x, což je pravděpodobost, že x-letá osoba zeře před uplyutí doby t Protože platí, že pravděpodobost úrtí a pravděpodobost dožití je rova jedé, ůžee derivovaý výraz rozdělit a dva čley a koečě dostáváe, že hustota veličiy T x je rova záporě vzaté derivaci pravděpodobosti t p x Itezitu úrtosti začíe jako µ x a ůžee ji chápat jako začátek křivky hustoty f x t ebo jako pravděpodobost úrtí za daou časovou jedotku Platí kde S x µ x f x S x f x f x xp xp d dx x p d dx l xp d dx ls x, Itezitu úrtosti budee hojě využívat v kapitole 3 při odvozováí růzých druhů pojištěí Protože se tato bakalářská práce věuje -tici životů, je třeba ještě vědět, že itezita porušeí spojeého života -tice osob je rova součtu itezit úrtosti jedotlivých osob z této -tice, tedy µ x +t:x +t µ x +t + + µ x +t Odvozeí ůžee alézt apříklad v literatuře [] 2 Úrtostí odely µ xi +t i Itezita úrtosti se chová podle paraetrických rozděleí pravděpodobosti Rozděleí však eusí odhadovat vybraé charakteristiky přežití a úrtí p x, q x dostatečě Můžou být vhodé je a ějaké věkové itervalu Neůžee je používat bez toho, abycho apř teste dobré shody ezjistili, jestli je epirická distribučí fukce dostatečě blízko teoretické distribučí fukci V praxi využíváe apříklad tato rozděleí: Gopertzův odel, Makehaův odel, expoeciálí rozděleí, Weibullovo rozděleí, log-orálí rozděleí, log-logistické rozděleí, gaa rozděleí Paraetry těchto rozděleí je třeba odhadout z věrohodostí fukce poocí růzých uerických optializačích etod Této probleatice by však ohla být věováa celá diploová práce Proto

Kapitola Základí pojy 5 jse při vytvářeí úrtostích tabulek do této bakalářské práce pro usaděí použili ezi lety rovoěrou itezitu úrtosti vypočítaou poocí aproxiace µ x d x + d x 2l x, kterou jako jedu z ožých aproxiací uvádí autor v literatuře [] Tato aproxiace předpokládá rovoěrou úrtost a jedotlivých věkových itervalech a všeobecě eusí být ejvhodější aproxiací itezity úrtosti

Kapitola Základí pojy 6 3 Koutačí fukce Při psaí této podkapitoly jse vycházeli převážě z kih [9] a [] V praxi se často setkáváe se stále se opakujícíi součiy a součty Pro urychleí a zjedodušeí výpočtů se jejich hodoty tabelovaly a azýváe je koutačíi čísly či koutačíi fukcei Ty se odvíjí od hodot l x, d x z úrtostích tabulek a výšky úrokové íry i vyskytující se v diskotí faktoru v Pro jedoduchý život rozlišujee koutačí fukce ultého řádu: D x je diskotovaý počet osob dožívajících se věku x a platí D x l x v x, C x je diskotovaý počet osob zeřelých ve věku x a platí C x d x v x+, prvího řádu: N x je součet D x+t od věku x až po koec úrtostí tabulky a platí ωx N x t D x+t, M x je součet C x+t od věku x až po koec úrtostí tabulky a platí ωx M x t C x+t, druhého řádu: S x je součet N x+t od věku x až po koec úrtostí tabulky a platí ωx S x t N x+t, R x je součet M x+t od věku x až po koec úrtostí tabulky a platí ωx R x t M x+t Se zalostí vztahů a 2 ůžee aalogicky zavést koutačí fukce pro -tici životů Abycho zjedodušili a předevší zpřehledili zápis těchto fukcí, budee od této chvíle v celé práci aísto výrazu iω x,ω x 2,ω x používat sybol Uved e yí vztahy pro výpočet koutačích fukcí pro -tice osob Pro koutačí fukce počtu eporušeých -tic D,N,S a počtu porušeých -tic C,M,R platí: l x x v x + +x, 2 N x x D x +t:x +t, t

Kapitola Základí pojy 7 S x x N x +t:x +t, t C x x d x x v x + +x +, M x x R x x C x +t:x +t, t M x +t:x +t t Nevýhodou diskrétích koutačích fukcí je, že porušeí stavu ůže astat pouze a koci roku Teto edostatek odstraňují spojité koutačí fukce, které připouštějí porušeí kdykoliv v průběhu roku Spojitý přístup využíváe v případech, kdy á být pojistá sua vyplacea bezprostředě po úrtí Při začeí budee používat stejé syboly, jako v diskrétí případě, pouze ad daý sybol koutačí fukce či pojištěí připíšee pruh, jako apříklad D, C atd Spojité koutačí fukce získáe jedoduše itegrováí jejich diskrétího ekvivaletu Platí D x +t:x +t dt, C x x D x +t:x +t µ x +t:x +t dt, N x x D x +t:x +t dt S x x N x +t:x +t dt t t D x +t:x +t, M x x N x +t:x +t, R x x C x +t:x +t dt M x +t:x +t dt C x +t:x +t, t M x +t:x +t t Pro zajíavost poocí prograu vykreslíe průběh koutačích fukcí dvojic tvořeých uže ve věku x a žeou ve věku y Při výpočtu hodot koutačích čísel používáe hodoty l x, l y, d x, d y, které jsou dostupé z [2], a uvažujee úrokovou íru i 4% Pro vykresleí používáe fukci terraicolors, přičež odstíy zeleé barvy ukazují ejižší hodoty daé koutačí fukce a postupě přes odstíy žluté, hědé až po bílou barvu zázorňují árůst těchto hodot 2 3 4 5 6 7 8 9 5 5 2 25 4 45 55 3 2 3 4 5 6 7 8 9 5 5 5 5 5 3 2 3 4 5 6 7 8 9 D xy a Spojitá koutačí fukce D xy 2 3 4 5 6 7 8 9 C xy b Spojitá koutačí fukce C xy Obrázek : Spojité koutačí fukce ultého řádu, a ose x je věk uže a a ose y věk žey v letech

Kapitola Základí pojy 8 2 3 4 5 6 7 8 9 2 4 6 8 2 2 3 4 5 6 7 8 9 2 5 5 35 25 2 3 4 5 6 7 8 9 N xy a Spojitá koutačí fukce N xy 2 3 4 5 6 7 8 9 M xy b Spojitá koutačí fukce M xy Obrázek 2: Spojité koutačí fukce prvího řádu, a ose x je věk uže a a ose y věk žey v letech 2 3 4 5 6 7 8 9 5 5 25 2 3 4 5 6 7 8 9 2 4 6 3 5 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 S xy R xy a Spojitá koutačí fukce S xy b Spojitá koutačí fukce R xy Obrázek 3: Spojité koutačí fukce druhého řádu, a ose x je věk uže a a ose y věk žey v letech Nakoec zavedee ještě další typ koutačích fukcí a to kotigečí koutačí fukce Od předchozích se liší tí, že avíc obsahují údaj o podíce a pořadí úrtí v ráci -tice osob Toto pořadí je ozačeo čísle ad idexe daé osoby z -tice Kotigečí koutačí fukce á sysl zavádět pouze pro počty porušeých -tic Defiuje tedy Cx x D x +t:x +t µ x +t dt, M x x Cx +t:x +t dt Cx +t:x +t, t Rx x M x +t:x +t dt Mx +t:x +t t

Kapitola Základí pojy 9 4 Defiice stavů Popisy jedotlivých stavů ůžee alézt v bakalářské práci [] Zde proto uvedee pouze jejich stručé shrutí společě s eziárodí začeí dle [8] Stav jedoduchého života x-leté osoby Příklad ejjedoduššího stavu, který se váže pouze k životu jedé osoby ve věku x, je stav jedoduchého života Je poruše bud to uplyutí doby let v případě, že se jedá o pojištěí a dožití s časový ohraičeí let, aebo úrtí pojištěého běhe této doby, pokud se jedalo o pojištěí a srt Stav spojeého života v -tici osob Stav, který vziká, když je všech osob aživu, a kočí prví úrtí libovolé osoby z této -tice Začíe jej x x 2 x Stav do posledího úrtí v -tici osob Stav, který je poruše posledí úrtí v -tici pojištěých To zaeá, že stav existuje, dokud žije alespoň jeda osoba z původího souboru osob Začíe jej jako x x 2 x Stav, kdy je právě r osob z -tice pojištěých aživu Stav, který vziká, když z původích pojištěých je právě r osob aživu, a zaiká společě s r + -í úrtí Budee jej začit [r] 3 x x 2 x Stav, kdy je alespoň r osob z -tice pojištěých aživu Stav, který vziká ve chvíli, kdy je všech osob aživu a kočí r + -í úrtí Začíe jej r x x 2 x Složeé stavy Složeé stavy vzikají kobiací jedoho ebo více stavů jedoduchého či spojeého života Tí ůžee získat ekoečě oho složeých stavů, které elze ijak zevšeobecit K jejich pochopeí á však bude úplě stačit chápat jedotlivé druhy stavů, ebot složeý stav je jejich současý ástup Uvedee yí ěkolik příkladů, které čteáři poohou k pochopeí

Kapitola Základí pojy a x:yz A x:yz ä wx:yz A wx:yz a [r] x x 2 x :y je doživotí spojitý polhůtí důchod vypláceý, pokud osoba x a alespoň jeda z osob y a z jsou aživu, je doživotí pojištěí a srt vyplaceé po srti osoby x ebo po srti druhého z dvojice yz, pokud by tato událost astala dříve, je doživotí spojitý předlhůtí důchod vypláceý, pokud je alespoň jeda osoba z dvojice wx aživu a dokud jsou aživu oba z dvojice yz, je doživotí pojištěí a srt vyplaceé po uskutečěí druhé z událostí: prví úrtí ve dvojici wx, srt druhého z dvojice yz, je doživotí spojitý polhůtí důchod vypláceý, pokud právě r osob z -tice x,x 2,x je aživu a současě pokud je aživu osoba y Stav jedostraého přežití v -tici osob Stav, který vziká po srti kokrétí osoby, v ozačeí je to osoba před sybole, a trvá do koce existece stavu za títo sybole Je to speciálí případ složeých stavů, který používáe při výpočtech pozůstalostích důchodů a v této práci jej budee využívat v sekci 32 Začíe jej jako x x 2 x

Kapitola 2 Kotigečí pravděpodobosti Cíle této kapitoly je obezáit čteáře s probleatikou kotigečích pravděpodobostí pro dva a více životů, které budou potřeba k pochopeí odvozeí vzorců kotigečích pojištěí v kapitole 3 Iforace o těchto pravděpodobostech jse získali předevší z kih [] a [7] Pojd e si ejprve říct, co to vůbec kotigečí pravděpodobosti jsou a k čeu slouží Kotigečí pravděpodobosti jsou takové pravděpodobosti, u kterých se zohledňuje i pořadí uíráí jedotlivých osob Toto pořadí se ozačuje čísle uístěý ad ebo pod idexe věku daého pojištěého Nejsáze tuto skutečost vysvětlíe a příkladu Měje pravděpodobost q 2 Číslo pod idexe osoby x říká, že tato osoba á zeřít jako xyz prví v pořadí Číslo ad idexe osoby y pak zaeá, že tato osoba bude uírat jako druhá v pořadí a k jejíu úrtí se váže ástup pojisté události Jako další příklad ůžee uvést qxy Títo sybole začíe pravděpodobost, že ve dvojici xy osoba y zeře běhe časového itervalu let před osobou x Kotigečí pravděpodobosti pro dvojici životů Nyí se podrobější budee věovat jedoduššíu z těchto příkladů, tedy pravděpodobosti qxy Předpokládeje, že obě osoby z dvojice xy přežijí dobu t a osoba y poto zeře běhe krátkého časového úseku dt, kde dt Poto ůžee psát pravděpodobost úrtí y běhe doby let jako qxy t p xy µ y+t dt, 2 kde t p xy je pravděpodobost, že x i y přežijí oba dobu t, a µ y+t je itezita úrtosti ve věku y +t V toto případě eí řečeo, kdy uírá x s výjikou toho, že se tak usí stát až po srti y Kdybycho chtěli, aby srt x astala také běhe doby let, začili bycho tuto pravděpodobost q 2 xy Je tedy zřejé, že ezi hodotou qxy a q 2 xy usí být rozdíl V prví případě úrtí osoby x ůže astat kdykoliv po srti y V to druhé je uté, aby se tak stalo také běhe doby let Z toho také plyou dva růzé druhy pojištěí Jediá ožost, kdy se pravděpodobosti qxy a q 2 xy budou rovat, je v případě, že položíe Důkaz ůžee ajít apříklad v kize [7] Zde ve stručosti ukážee alespoň jeho ideu Platí, že q 2 xy t p y t p x µ x+t dt

Kapitola 2 Kotigečí pravděpodobosti 2 Itegrováí per partes a dosazeí ezí ůžee výraz upravit až do tvaru t p xy µ y+t dt qxy, číž dokážee původí tvrzeí, že q 2 xy q xy Tak, jako jse vyjádřili pravděpodobost úrtí q xy poocí vztahu 2, vyjádříe stejě i pravděpodobost q 2 xy q 2 xy t p y t p x µ x+t dt t p x µ x+t dt t p x µ x+t dt t p xy µ x+t dt q x q xy t p y t p x µ x+t dt Slovy ůžee pravděpodobost, že oba z dvojice xy zeřou běhe doby let s podíkou, že srt x astae až jako druhá, vyjádřit jako určitý itegrál ze součiu pravděpodobosti úrtí osoby y a pravděpodobosti, že osoba x přežije dobu t a poto běhe krátkého časového okažiku zeře Po drobé úpravě rovice dostáváe q x q xy + q 2 xy, tedy pravděpodobost úrtí x běhe let ůžee získat jako součet pravděpodobosti, že x zeře jako prví a pravděpodobosti, že x zeře jako druhý z dvojice xy Což je logické, protože pokud á x běhe let zeřít, stae se tak před ebo po srti y před uplyutí doby let Kotigečí pravděpodobosti pro trojici životů Nyí podobý způsobe ukážee výpočet pravděpodobosti úrtí pro trojici osob xyz Je třeba si uvědoit, že á-li apříklad osoba x běhe let zeřít, astae její srt bud to jako prví, druhá, ebo třetí v pořadí z trojice xyz Tedy postupě q xyz t p xyz µ x+t dt je pravděpodobost, že x zeře z původí trojice xyz jako prví v pořadí běhe doby let, přičež a pořadí a době úrtí zbylých osob ezáleží Vypočítáe ji jako určitý itegrál z pravděpodobosti, že trojice xyz přežije dobu t a poté x běhe krátké doby zeře, což začí itezita úrtosti µ x+t 2 Další případe je, že srt x astae jako druhá v pořadí To zapíšee jako q 2 xyz t p [] t p x µ x+t dt t p y + t p z 2 t p yz t p x µ x+t dt q xy + q xz 2 q xyz, yz kde t p [] začí pravděpodobost, že právě jeda osoba z dvojice yz je po době t aživu, a yz t p x µ x+t pravděpodobost, že x přežije dobu t a pak běhe krátkého časového úseku zeře Výsledek je poto součte pravděpodobosti, že x zeře z dvojice xy jako prví za dobu let a pravděpodobosti, že x zeře z dvojice xz jako prví za dobu let, ius dvojásobek pravděpodobosti, že x zeře z trojice xyz jako prví za dobu let Viz defiice stavu 3

Kapitola 2 Kotigečí pravděpodobosti 3 3 Posledí ožostí je, že x uírá jako třetí v pořadí q 3 xyz t p y t p z t p x µ x+t dt t p y t p z + t p yz t p x µ x+t dt q x q xy q xz + q xyz Výsledek je poto tvoře čtyři čley Pravděpodobostí úrtí x za dobu, pravděpodobosti, že x zeře jako prví z dvojic xy a xz za dobu, a pravděpodobostí, že x zeře jako prví z trojice xyz za dobu Odsud lze vidět, že kotigečí pravděpodobosti trojice osob vždy lze vyjádřit jako pravděpodobosti závisející a prví úrtí To ěkdy ůže být velice užitečé při odvozováí výpočtů růzých druhů pojištěí Kotigečí pravděpodobosti s podíkai a předešlá úrtí Při výpočtech ůžee kroě podíky a pořadí úrtí počítat ještě i s podíkai a pořadí předešlých úrtí Ty, jak je již zíěo výše, začíe číselý idexe pod ozačeí věku daé osoby Například sybol qxyz 2 dává pravděpodobost, že běhe let osoba y zeře jako druhá za podíky, že x uírá ještě před í Osoba z zeře jako třetí v pořadí bud také běhe let ebo kdykoliv po uplyutí této doby Hodotu qxyz 2 ejsáze vypočítáe s ohlede a srt y jako qxyz 2 t p x t p yz µ y+t dt t p yz µ y+t dt t p xyz µ y+t dt q yz qxyz

Kapitola 3 Netto pojištěí Tato kapitola je věováa výpočtů vzorců etto pojistého pro růzé druhy životích pojištěí Každý vzorec je zde uvede a jedotkovou pojistou částku, přičež pro jiou pojistou částku stačí výsledý vzorec je touto hodotou vyásobit Ve stručosti si ještě připoeňe, co už bylo řečeo v úvodu Netto pojisté se počítá tak, aby pokrylo áklady pojišt ovy související s pojistýi plěíi včetě tvorby rezerv Jestliže k etto pojistéu připočítáe i áklady spojeé s vedeí a správou příslušé pojisté slouvy, dostaee tzv brutto pojisté Netto pojisté ůže být placeo bud to jedorázově ebo běžě Při jedorázové placeí je celé pojisté zaplaceo ajedou V praxi se však častěji setkáe s běžý placeí, kdy pojistík pojisté platí v pravidelých splátkách a to bud to dočasě ebo doživotě V této kapitole budee pro každý druh pojištěí uvádět postupě v logické ávazosti tři případy: pojištěí pro dvojici osob, pojištěí pro -tici osob, kotigečí pojištěí pro -tici osob, pokud existuje Odvozováí vzorců pro výpočet etto pojistého pro dvojice osob je věováa bakalářská práce [], zde proto uvádíe pouze výsledky, ke který autorka došla Následuje podrobé odvozeí pojištěí pro libovolou -tici osob Tí chcee docílit kotrastu ezi pojištěí dvojic a -tic Nakoec je zde ukázáo, jak se od pojištěí -tice osob přijde ke kotigečíu pojištěí Tyto tři kroky děláe proto, že chcee, aby čteáři bylo jasé, jak se k výsledéu vzorci došlo Při odvozováí kotigečích pojištěí pro případ srti využíváe kotigečí pravděpodobosti a jejich vlastosti rozebraé v kapitole 2 Jako odrazový ůstek k odvozeí ěkterých vzorců á sloužily zdroje [] [2], [5], [6] a [] 3 Jedorázové pojištěí za jedorázové etto pojisté Podkapitola 3 je věováa takový druhů pojištěí, kdy pojistík zaplatí pojisté v plé výši jedorázově a v případě pojisté události je pojištěéu pojistá částka vyplacea také jedorázově Dle zákoa č 363/999 Sb, o pojišt ovictví je pojišt ova povia vytvářet techické rezervy 4

Kapitola 3 Netto pojištěí 5 Pojištěí pro případ dožití a dobu let Pojištěí pro dvojici osob Pojistá částka je vyplacea dvojici osob xy, jestliže se dvojice dožije koce pojisté doby Pokud jede z dvojice běhe této doby zeře, pojištěí bez áhrady zaiká Současou hodotu pojištěí E xy vypočítáe jako E xy D x+:y+ D xy Pojištěí pro -tici osob Pojistá částka je vyplacea -tici osob x x, jestliže se -tice dožije koce pojisté doby Pokud alespoň jede z -tice běhe této doby zeře, pojištěí bez áhrady zaiká Současou hodotu pojištěí E x x vypočítáe jako E x x v p x x v l x +:x + l x x x + +x v v x + +x D x +:x + Kotigečí pojištěí pro -tici osob Kotigečí pojištěí pro případ dožití eexistuje 2 Doživotí jedorázové etto pojištěí do prvího úrtí Pojištěí pro dvojici osob Pojistá částka je vyplacea pozůstalé osobě z dvojice xy poté, co zeře prví osoba z této dvojice Současou hodotu pojištěí A xy vypočítáe jako A xy M xy D xy 3 Pojištěí pro -tici osob Pojistá částka je vyplacea pozůstalý osobá z původí -tice poté, co zeře prví osoba z této -tice Současou hodotu pojištěí A x x vypočítáe jako A x x v t t p x x µ x +t:x +t dt v t l x +t:x +t v x + +x µ x +t:x l +t x x v x + +x D x +t:x +t µ x +t:x +t dt t dt C x +t:x +t M x x Kotigečí pojištěí pro -tici osob Pojistá částka je vyplacea osobá x 2,x poté, co zeře osoba x Zeře-li ěkterá osoba z této -tice dřív, pojištěí bez áhrady zaiká Současou hodotu pojištěí A x x vypočítáe jako Ax x v t t p x x µ x +t dt v t l x +t:x +t v x + +x µ x +t l x x v x + +x D x +t:x +t µ x +t dt t dt C x +t:x +t M x x 32

Kapitola 3 Netto pojištěí 6 3 Dočasé jedorázové etto pojištěí do prvího úrtí Pojištěí pro dvojici osob Pojistá částka je vyplacea pozůstalé osobě z dvojice xy, jestliže v průběhu ásledujících let zeře jeda osoba z této dvojice Současou hodotu pojištěí A xy: vypočítáe jako A xy: M xy M x+:y+ D xy Pojištěí pro -tici osob Pojistá částka je vyplacea pozůstalý osobá z původí -tice, jestliže zeře jeda osoba z této -tice Současou hodotu pojištěí A x x : vypočítáe jako A x x : v t t p x x µ x +t:x +t dt v t t p x x µ x +t:x +t dt v t t p x x µ x +t:x +t dt v t l x +t:x +t v t l x +t:x +t t µ x +t:x l +t dt x x v x + +x D x +t:x +t µ x +t:x +t dt C x +t:x +t v x + +x C x +t:x +t t l x x µ x +t:x +t v x + +x v x + +x dt D x +t:x +t µ x +t:x +t dt M x x M x +:x + Kotigečí pojištěí pro -tici osob Pojistá částka je vyplacea osobá x 2,x, poté, co zeře osoba x, stae-li se tak před uplyutí doby let od uzavřeí pojištěí Zeře-li ěkterá osoba z této -tice dřív, pojištěí bez áhrady zaiká Současou hodotu pojištěí A x x : vypočítáe jako Ax x : v t t p x x µ x +t dt v t t p x x µ x +t dt v x + +x v t l x +t:x +t µ x +t l x x v x + +x D x +t:x +t µ x +t dt dt C x D +t:x +t x x Cx +t:x +t t t v t l x +t:x +t µ x +t l x x D x +t:x +t µ x +t dt v t t p x x µ x +t dt v x + +x v x + +x M x x M x +:x + dt 4 Doživotí jedorázové etto pojištěí do prvího úrtí odložeé o k let Pojištěí pro dvojici osob Pojistá částka je vyplacea pozůstalé osobě z dvojice xy poté, co zeře jeda osoba z této dvojice a zároveň obě přežijí dobu k let od uzavřeí pojištěí Současou hodotu pojištěí k A xy vypočítáe jako k A xy M x+k:y+k D xy

Kapitola 3 Netto pojištěí 7 Pojištěí pro -tici osob Pojistá částka je vyplacea pozůstalý osobá z původí -tice poté, co zeře jeda osoba z této -tice a zároveň zůstae eporušea prvích k let od uzavřeí pojištěí Současou hodotu pojištěí k A x x vypočítáe jako k A x x v t t p x x µ x +t:x +t dt v t l x +t:x +t v x + +x µ x +t:x k k l +t x x v x + +x k D x +t:x +t µ x +t:x +t dt tk dt C x +t:x +t M x +k:x +k Kotigečí pojištěí pro -tici osob Pojistá částka je vyplacea osobá x 2,x poté, co zeře osoba x, stae-li se tak ejdříve k let od uzavřeí pojištěí V ostatích případech pojištěí bez áhrady zaiká Současou hodotu pojištěí k A x x vypočítáe jako 33 k Ax x v t t p x x µ x +t dt v t l x +t:x +t µ x +t k k l x x k D x +t:x +t µ x +t dt C tk v x + +x v x + +x dt x +t:x +t M x +k:x +k 34 5 Dočasé jedorázové etto pojištěí do prvího úrtí odložeé o k let Pojištěí pro dvojici osob Pojistá částka je vyplacea pozůstalé osobě z dvojice xy poté, co zeře osoba jeda osoba z této dvojice, jestliže se tak stae po uplyutí ejéě k let, ale ejvýše však let od uzavřeí pojištěí Současou hodotu pojištěí k A xy: vypočítáe jako k A xy: M x+k:y+k M x++k:y++k D xy Pojištěí pro -tici osob Pojistá částka je vyplacea pozůstalý osobá z původí -tice poté, co zeře osoba jeda osoba z této -tice, jestliže se tak stae po uplyutí ejéě k let, ale ejvýše však let od uzavřeí pojištěí Současou hodotu pojištěí k A x x : vypočítáe jako +k k A x x : v t t p x x µ x +t:x +t dt v t l x +t:x +t µ x +t:x k k l +t x x v t l x +t:x +t µ x +t:x +k l +t x x k tk v x + +x v x + +x dt D x +t:x +t µ x +t:x +t dt C x +t:x +t dt t+k M x +k:x +k M x ++k:x ++k +k C x +t:x +t dt v x + +x v x + +x dt D x +t:x +t µ x +t:x +t dt Kotigečí pojištěí pro -tici osob Pojistá částka je vyplacea osobá x 2,x poté, co

Kapitola 3 Netto pojištěí 8 zeře osoba x, jestliže se tak stae po uplyutí ejéě k let, ale ejvýše však let od uzavřeí pojištěí Současou hodotu pojištěí k Ax x : vypočítáe jako +k k Ax x : v t t p x x µ x +t dt v t l x +t:x +t µ x +t k k l x x v t l x +t:x +t µ x +t +k l x x k C tk v x + +x v x + +x dt D x +t:x +t µ x +t dt x +t:x +t dt t+k M x +k:x +k M x ++k:x ++k +k v x + +x v x + +x dt D x +t:x +t µ x +t dt C x +t:x +t dt 6 Doživotí jedorázové etto pojištěí do prvího úrtí s lieárě rostoucí pojistou částkou Pojištěí pro dvojici osob Pojistá částka je vyplacea pozůstalé osobě z dvojice xy, přičež výše plěí je závislá a počtu let od uzavřeí pojištěí Tedy v případě úrtí v prví roce pojištěí je pozůstalé osobě vyplace jedoásobek pojisté částky, ve druhé roce pojištěí dvojásobek pojisté částky atd Současou hodotu pojištěí IA vypočítáe jako xy IA xy R xy D xy Pojištěí pro -tici osob Pojistá částka je vyplacea pozůstalý osobá z původí -tice, přičež výše plěí je závislá a počtu let od uzavřeí pojištěí Tedy v případě úrtí v prví roce pojištěí je pozůstalý osobá vyplace jedoásobek pojisté částky, ve druhé roce pojištěí dvojásobek pojisté částky atd Současou hodotu pojištěí IA x x vypočítáe jako IA x x t + v t t p x x µ x +t:x +t dt t + v t l x +t:x +t µ x +t:x l +t x x t v x + +x v x + +x t + D x +t:x +t µ x +t:x +t dt t + C x +t:x +t t dt M x +t:x +t R x x 35 Kotigečí pojištěí pro -tici osob Pojistá částka je vyplacea osobá x 2,x, jestliže osoba x zeře jako prví v pořadí, přičež výše plěí je závislá a počtu let od uzavřeí pojištěí Tedy v případě úrtí v prví roce pojištěí je pozůstalý osobá vyplace jedoásobek pojisté

Kapitola 3 Netto pojištěí 9 částky, ve druhé roce pojištěí dvojásobek pojisté částky atd Současou hodotu pojištěí IA x x vypočítáe jako IA x x t + v t t p x x µ x +t dt t t + v t l x +t:x +t l x x µ x +t t + D x +t:x +t µ x +t dt M x +t:x +t R x x t v x + +x v x + +x dt t + C x +t:x +t 36 7 Dočasé jedorázové etto pojištěí do prvího úrtí s lieárě rostoucí pojistou částkou Pojištěí pro dvojici osob Pojistá částka je vyplacea pozůstalé osobě z dvojice xy poté, co zeře jeda osoba z této dvojice, ale současě se zeřelá osoba edožije více ež let od uzavřeí pojištěí Výše plěí je závislá a počtu let od uzavřeí pojištěí Tedy v případě úrtí v prví roce pojištěí je pozůstalé osobě vyplace jedoásobek pojisté částky, ve druhé roce pojištěí dvojásobek pojisté částky atd Současou hodotu pojištěí IA vypočítáe jako xy: IA xy: R xy R x+:y+ M x+:y+ D xy Pojištěí pro -tici osob Pojistá částka je vyplacea pozůstalý osobá z původí -tice poté, co zeře jeda osoba z této -tice, ale současě se zeřelá osoba edožije více ež let od uzavřeí pojištěí Výše plěí je závislá a počtu let od uzavřeí pojištěí Tedy v případě úrtí v prví roce pojištěí je pozůstalý osobá vyplace jedoásobek pojisté částky, ve druhé roce pojištěí dvojásobek pojisté částky atd Současou hodotu pojištěí IA x x : s využití vztahu 35 vypočítáe jako IA x x : t + v t t p x x µ x +t:x +t dt t + v t l x +t:x +t µ x +t:x l +t x x t + v t l x +t:x +t µ x +t:x l +t x x v x + +x v x + +x v x + +x v x + +x t + D x +t:x +t µ x +t:x +t dt R x x t + C x +t:x D +t x x t dt dt 35 R x x R x x + Cx +:x + + + 2 C x ++:x ++ + R x x Cx +:x + +C x ++:x ++ + + + C x +:x + + 2C x ++:x ++ + R x x M x +:x + R x +:x +

Kapitola 3 Netto pojištěí 2 Kotigečí pojištěí pro -tici osob Pojistá částka je vyplacea osobá x 2,x, jestliže osoba x zeře před uplyutí doby let od uzavřeí pojištěí, přičež výše plěí je závislá a počtu let od uzavřeí pojištěí Tedy v případě úrtí v prví roce pojištěí je pozůstalý osobá vyplace jedoásobek pojisté částky, ve druhé roce dvojásobek pojisté částky atd Současou hodotu pojištěí IA x x : s využití vztahu 36 vypočítáe jako IA x x : t + v t t p x x µ x +t dt t + v t l x +t:x +t µ x +t l x x v x + +x v x + +x t + D x +t:x +t µ x +t dt R x x t + Cx D +t:x +t x x t t + v t l x +t:x +t l x x µ x +t dt 36 R x x v x + +x v x + +x dt R x x + C x D +:x + + + 2 Cx x x ++:x ++ + R x x C x +:x + +C x ++:x ++ + + + C x +:x + + 2C x ++:x ++ + R x x M x +:x + R x +:x + 8 Dočasé jedorázové etto pojištěí do prvího úrtí s lieárě klesající pojistou částkou Pojištěí pro dvojici osob Pojistá částka je vyplacea pozůstalé osobě z dvojice xy poté, co zeře jeda osoba z této dvojice, ale současě se tato osoba edožije více ež let od uzavřeí pojištěí Výše plěí je závislá a počtu let od uzavřeí pojištěí Tedy v případě úrtí v prví roce pojištěí je pozůstalé osobě vyplace -ásobek pojisté částky, ve druhé roce pojištěí -ásobek pojisté částky atd Současou hodotu pojištěí DA vypočítáe jako xy: DA xy: M xy R x+:y+ + R x++:y++ D xy Pojištěí pro -tici osob Pojistá částka je vyplacea pozůstalý osobá z původí -tice poté, co zeře jeda osoba z této -tice, ale současě se tato osoba edožije více ež let od uzavřeí pojištěí Výše plěí je závislá a počtu let od uzavřeí pojištěí Tedy v případě úrtí v prví roce pojištěí je pozůstalý osobá vyplace -ásobek pojisté částky, ve druhé roce pojištěí

Kapitola 3 Netto pojištěí 2 -ásobek pojisté částky atd Současou hodotu pojištěí DA x x : vypočítáe jako DA x x : t v t t p x x µ x +t:x +t dt t v t t p x x µ x +t:x +t dt t v t l x +t:x +t µ x +t:x l +t x x t v t l x +t:x +t µ x +t:x l +t x x t v x + +x v x + +x v x + +x v x + +x t D x +t:x +t µ x +t:x +t dt t D x +t:x +t µ x +t:x +t dt tc x +t:x +t t t v t t p x x µ x +t:x +t dt dt dt tc x +t:x +t Cx x + C x +:x + + C x ++:x ++ 2C x ++2:x ++2 Cx x +C x +:x + + C x +:x + + 2C x +2:x +2 + + + C x ++:x ++ + 2C x ++2:x ++2 + M x x R x +:x + + R x ++:x ++ Kotigečí pojištěí pro -tici osob Pojistá částka je vyplacea osobá x 2,x, jestliže osoba x zeře před uplyutí doby let od uzavřeí pojištěí, přičež výše plěí je závislá a počtu let od uzavřeí pojištěí Tedy v případě úrtí v prví roce pojištěí je pozůstalý osobá vyplace -ásobek pojisté částky, ve druhé roce pojištěí -ásobek pojisté částky atd Současou hodotu pojištěí DA x x : vypočítáe jako DA x x : t v t t p x x µ x +t dt t v t t p x x µ x +t dt t v t l x +t:x +t µ x +t l x x t v t l x +t:x +t v x + +x v x + +x v x + +x t v t t p x x µ x +t dt dt µ x +t dt l x x v x + +x t D x +t:x +t µ x +t dt tc x D +t:x +t x x tcx +t:x +t t t C x x + C x +:x + + t D x +t:x +t µ x +t dt

Kapitola 3 Netto pojištěí 22 C x ++:x ++ 2C x ++2:x ++2 Cx D x +C x x x +:x + + C x +:x + + 2C x +2:x +2 + + + C x ++:x ++ + 2C x ++2:x ++2 + M x x R x +:x + + R x ++:x ++ 9 Síšeé jedorázové etto pojištěí do prvího úrtí Pojištěí pro dvojici osob Pojistá částka je vyplacea dvojici osob xy, jestliže se dvojice dožije koce pojisté doby, ebo je vyplacea pozůstalé osobě v případě, že běhe doby let od uzavřeí pojištěí jeda osoba zeře Současou hodotu pojištěí A xy: vypočítáe jako A xy: M xy M x+:y+ + D x+:y+ D xy Pojištěí pro -tici osob Pojistá částka je vyplacea -tici osob, jestliže zůstae eporušea do koce pojisté doby, ebo je vyplacea pozůstalý osobá v případě, že běhe doby let od uzavřeí pojištěí jeda osoba zeře Současou hodotu pojištěí A x x : vypočítáe jako A x x : v t t p x x µ x +t:x +t dt + v p x x v t t p x x µ x +t:x +t dt v t t p x x µ x +t:x +t dt + v p x x v t l x +t:x +t v t l x +t:x +t l x x µ x +t:x +t v x + +x v x + +x v x + +x µ x +t:x l +t dt + v l x + +x x +:x + v x x v x + +x l x x v x + +x D x +t:x +t µ x +t:x +t dt D x +t:x +t µ x +t:x +t dt + + D x +:x + t C x +t:x +t t C x +t:x +t + D x +:x + dt M x x M x +:x + + D x +:x + Kotigečí pojištěí pro -tici osob Pojistá částka je vyplacea -tici osob, jestliže zůstae eporušea do koce pojisté doby, ebo je vyplacea osobá x 2,x v případě, že běhe doby let od uzavřeí pojištěí osoba x zeře Současou hodotu pojištěí Ax x : vypočítáe jako Ax x : v t t p x x µ x +t dt + v p x x v t l x +t:x +t µ x +t l x x v t l x +t:x +t v x + +x µ x +t l x x v x + +x dt + v v x+ +x p x x v x + +x v x + +x v x + +x dt

Kapitola 3 Netto pojištěí 23 D x +t:x D +t µ x +t dt D x +t:x +t µ x +t dt + D x +:x + x x C x D +t:x +t x x Cx +t:x +t + D x +:x + t t M x x M x +:x + + D x +:x + 32 Důchodové etto pojištěí za jedorázové etto pojisté V podkapitole 32 rozeberee výpočet vzorců pro takové druhy pojištěí, kdy pojistík zaplatí pojisté v plé výši jedorázově, přičež pojistá částka je pojistitele vyplácea v pravidelých splátkách Nejprve vždy opět ukážee vzorec pro dvojici osob, vzápětí jej odvodíe všeobecě pro -tici osob, a poté odvodíe vzorec pro pojištěí -tice osob s podíkou a pořadí úrtí stejě, jako tou bylo v podkapitole 3 U důchodů se však tato podíka a rozdíl od pojištěí a srt běžě začí sybole, kde osoba před sybole je ta, jejíž srt je podíkou pro ástup pojisté události, a osoby za í ty, který á být důchod vypláce Těto druhů podíěých pojištěí říkáe pozůstalostí či kotigečí důchody 2 Důchody ůžee rozlišit a předlhůtí, které jsou pojišt ovou vyplácey a začátku úrokového období, a polhůtí, vypláceé a koci úrokového období Předlhůtí od polhůtích rozlišujee přehláskou ad sybole důchodu Při odvozováí důchodových pojištěí vycházíe z jejich diskrétích ekvivaletů pro jede život Pojištěí doživotího předlhůtího důchodu do prvího úrtí Pojištěí pro dvojici osob Důchod je vypláce pozůstalé osobě vždy a počátku pojistého roku poté, co zeře jeda osoba z této dvojice, a vyplácí se po zbytek života pozůstalé osoby Současou hodotu ä xy vypočítáe jako ä xy N xy D xy Pojištěí pro -tici osob Důchod je vypláce pozůstalý osobá vždy a počátku pojistého roku poté, co zeře jeda osoba z této -tice, a vyplácí se do posledího úrtí v ráci pozůstalých osob Současou hodotu ä x x vypočítáe jako ä x x v t t p x x dt v t l x +t:x +t l x x x + +x v v x + +x dt D x +t:x D +t dt N x x x x 2 V literatuře též ozačováy jako jedostraé důchody

Kapitola 3 Netto pojištěí 24 Kotigečí pojištěí pro -tici osob Důchod je vypláce osobá x 2,x vždy a počátku pojistého roku poté, co zeře osoba x a její srt astae jako prví v pořadí Vyplácí se do posledího úrtí v ráci pozůstalých osob Současou hodotu ä x x 2 x vypočítáe jako ä x x 2 x v t t p x t p x2 x dt v t l x 2 +t:x +t v t l x +t:x +t l x x x + +x v v x + +x dt D x2 x l x2 x x 2 + +x v v x 2 + +x dt D x2 +t:x +t dt D x +t:x +t dt N x 2 x D x2 x N x x ä x2 x ä x x 37 2 Pojištěí doživotího polhůtího důchodu do prvího úrtí Pojištěí pro dvojici osob Důchod je vypláce pozůstalé osobě vždy a koci pojistého roku poté, co zeře jeda osoba z této dvojice, a vyplácí se po zbytek života pozůstalé osoby Současou hodotu a xy vypočítáe jako a xy N x+:y+ D xy Pojištěí pro -tici osob Důchod je vypláce pozůstalý osobá vždy a koci pojistého roku poté, co zeře jeda osoba z této -tice, a vyplácí se do posledího úrtí v ráci pozůstalých osob Současou hodotu a x x vypočítáe jako a x x v t t p x x dt v t l x +t:x +t l x x N x +:x + x + +x v v x + +x dt D x +t:x D +t dt x x Kotigečí pojištěí pro -tici osob Důchod je vypláce osobá x 2,x vždy a koci pojistého roku poté, co zeře osoba x a její srt astae jako prví v pořadí Vyplácí se do posledího úrtí v ráci pozůstalých osob Současou hodotu ä x x 2 x vypočítáe jako a x x 2 x v t t p x t p x2 x dt v t l x 2 +t:x +t v t l x +t:x +t l x x x + +x v v x + +x dt D x2 x l x2 x x 2 + +x v v x 2 + +x dt D x2 +t:x +t dt D x +t:x +t dt N x 2 +:x + D x2 x N x +:x + a x2 x a x x 38 3 Pojištěí dočasého předlhůtího důchodu do prvího úrtí Pojištěí pro dvojici osob Důchod je vypláce pozůstalé osobě vždy a začátku pojistého roku poté, co zeře jeda osoba z této dvojice, a vyplácí se, dokud je pozůstalá osoba aživu, ejdéle