ANALÝZA SRÁŽKOVÝCH MAXIM

Rožovský, J., Litschma, T. (ed): Semiář Extrémy počasí a podebí, Bro,. březa 4, ISBN 8-8669-2- Marie Budíková, Ladislav Budík Summary Aalysis of precipitatio maxima ANALÝZA SRÁŽKOVÝCH MAXIM Database of daily maxima precipitattio i a year was completed i our istitute i souther Moravia. We choose 33 year maxima series i years 933-2 (pic.). They were aalysed usig record theory. All 33 serieses were i good agreemet with theory with exceptio of last years, durig which umber of records rose up. This is agaist theory. Pic.8 shows record umber durig 7 years o 33statios. Pic. 9 shows umber of records i each year i all statioes ad o the pic. is cumulative frequecy of records i all statios. The we tried to use movig records with te years computig widow. I 7 years log series it would be records. Average umber of records was 97, but for each series it was betwee 77 ad 224. There is somethig out of chace. After some aalyse we asumed, that series of movig records looks like pile. If umber of records is higher the, series looks more like pile the higher umber of movig records is. Pile is orieted to the right. If umber of movig records is lower the, series looks more like pile the lover umber of movig records is. Pile is the orieted to the left. If umber of movig records is about the series looks chaotic. Examples are o pic. 3 6. Pic.7 shows backwards series Valtice. From this follows that series of year daily precipitatio maxima is ot so chaotic we supposed till ow. I followig paper we tried to solve this coclusio. At 2th ad 3th pictures we ca see umber of records i map of sother Moravia. We aalysed also movig records as oe average series of the all 33 series. Such series has periodic character (pic.8). It is ot much chaotic. Above metioed results are also described i [2]. Úvod V letech 997 a 2 byla začá část aší republiky postižea katastrofálími povoděmi. Byly zapříčiěy dlouhotrvajícími vydatými dešti. Takové extrémí situace jsou vždy sledováy se zájmem (v tomto případě samozřejmě i s obavami). V rámci matematické statistiky dokoce existuje odvětví zvaé teorie rekordů, které se zabývá zkoumáím extrémích situací. V ašem příspěvku bychom vás rádi sezámili s ěkterými zajímavými pozatky, které vyplyuly ze zkoumáí rekordů v časových řadách deích srážkových úhrů. Popis dat V okruhu působosti brěské pobočky ČHMÚ existuje či existovalo více ež 4 srážkoměrých staic. Srážky se měří deě jako úhr srážek za dobu od 7 h ráo jedoho de do 7 h ráo druhého de pomocí přístroje zvaého srážkoměr. Je to v podstatě ádoba se zámou plochou, v íž se zachycují srážky a měří jejich objem. Te se přepočte a výšku sloupce vody v mm, jež by pokryl příslušou plochu, kdyby eodtekl a evypařil se. Ladislav Budík, budik@chmi.cz, Český hydrometeorologický ústav, p. Bro, Kroftova 43, 66 67 Bro Žabovřesky RNDr. Marie Budíková PhD, budikova@math.mui.cz, Masarykova uiverzita, přírodovědecká fakulta, katedra aplikovaé matematiky, Jaáčkovo ám. 29a, 62 Bro

Na řadě staic je pozorováí prováděo již od koce 9. století. Bohužel občas docházelo k přesuům ebo rušeím staic. Některé zázamy se dokoce ztratily a řady pozorováí jsou esouvislé. Podařilo se ajít 33 staic, které epřetržitě měří srážky od roku 933 do současosti (pro aše účely do roku 2). Z každého roku byla vybráa ta deí srážka, která dosáhla ejvyšší hodoty. Máme tedy k dispozici 33 časových řad deích srážkových maxim v letech 933 až 2. Rozmístěí staic je uvedeo v ásledující mapce a obr. Obr. Pojem rekordu, středí hodota a rozptyl počtu rekordů Věujme se yí základům teorie rekordů []. Nechť X,..., X je áhodý výběr ze spojitého rozložeí. Pro jedoduchost budeme áhodou veličiu i její číselou realizaci ozačovat týmž symbolem X i, i =,...,. Číslo X se azývá rekord. Pro i 2 je X i rekord, když X i max {X,..., X i- }. Zavedeme áhodou veličiu R, která udává počet rekordů v poslouposti X,..., X. Je zřejmé, že R =, kde Y Y i i= i E ( R ) = E Yi = E(Y i ) =, i= i= i= i je idikátor rekordu, tj., je - li Xi rekord Yi =. Náhodá veličia Yi má alterativí rozložeí jiak s parametrem (i )! ϑ i = P(Y i = ) = =. Její středí i! i hodota je E(Y i ) = i a rozptyl D(Yi ) =, i =,...,. Nyí již sado i i vypočteme středí hodotu a rozptyl počtu rekordů:

D ( R ) = D Yi = D(Y i ) = =. 2 = i= i= i i i= i i= i V ašem případě máme 33 staic s délkou sledováí 7 let. V poslouposti délky = 7 je středí hodota počtu rekordů E( R 7 ) = + + K + = 4, 8328 a rozptyl 2 7 D( R 7 ) = + + K + + + K+ = 3, 2 2 2. 2 7 2 7 V ásledující tabulce máme uvedey počty rekordů ve sledovaých 33 staicích: Bzeec 3 Jemice 6 Sloup 2 Náměšť a Haé 5 Kuchařovice 2 Babice ad Svitavou 2 Morkovice 8 Džbáice 7 Židlochovice 4 Bystřice p. Host. 8 Bystřice ad Per. 5 Rohozá 6 Dřevohostice 6 Štěpáov 5 Třebíč 5 Rusava 7 Olešice 5 Heraltice 6 Holešov 5 Nové Město a Mor. 5 Bohdalov 5 Velíková Velká Bíteš 3 Velké Meziříčí Napajedla 4 Stvolová-Vlkov 4 Ždáice 6 Uherský Brod 4 Letovice 4 Valtice 4 Strážice a Mor. 3 Blasko 3 Stráí 6 Průměr počtu rekordů je 4,88 a rozptyl 3,7784. Vidíme tedy, že empirické údaje vykazují dobrou shodu s teoretickými hodotami. Co se týká středí hodoty počtu rekordů v poslouposti délky, uveďme pro zajímavost takové hodoty, pro ěž tato středí hodota poprvé překročí číslo N, N = 2, 3,...,. N 2 3 4 5 6 7 8 9 4 3 83 227 66 674 455 2367 Údaje v této tabulce lze iterpretovat tak, že apř. letý člověk zažije v ějaké áhodé poslouposti (apř. v teplotí ebo srážkové řadě) v průměru 3 rekordy, 3 letý 4 rekordy a teprve 83 letý 5 rekordů. Pravděpodobostí rozložeí počtu rekordů Pro r =, 2,..., ozačme p r, hodotu pravděpodobostí fukce áhodé veličiy R v bodě r, tj. p r, = P(R = r). Pro r = a r = lze pravděpodobost p r, staovit jedoduchou kombiatorickou úvahou. Nechť r =. Jede rekord zameá, že ejvětší hodota je X. Všech uspořádáí veliči X,..., X je! a přízivých uspořádáí, tj. těch, kdy ejvětší hodota je a začátku, je (-)!. Tedy ( )! p, = =.! Nechť r =. rekordů zameá, že veličiy X,..., X jsou uspořádáy vzestupě. Takové uspořádáí je jeom jedo. Tedy p, =.!

Ostatí pravděpodobosti se vypočítají podle rekuretího vzorce: p r, = p r, = pr, + pr,, který platí pro každé přirozeé, r, r, přičemž p, = a p r, =. (Důkaz věty se provede pomocí věty o sčítáí pravděpodobostí využitím elemetárích vlastostí pravděpodobosti.) Na ásledujících obrázcích 2 až 7 jsou zázorěy průběhy pravděpodobostí fukce počtu rekordů pro =, 5, 25, 5, a.,35 =,35 = 5,35 = 25,3,3,3,25,25,25,,,,5,5,5,,,,5,5,5,,, -,5 2 4 6 8 2 4 -,5 2 4 6 8 2 4 -,5 2 4 6 8 2 4,35 = 5,35 =,35 =,3,3,3,25,25,25,,,,5,5,5,,,,5,5,5,,, -,5 2 4 6 8 2 4 Obr.2 až 7 -,5 2 4 6 8 2 4 -,5 2 4 6 8 2 4 V ašem souboru 33 staic s délkou pozorováí = 7 let odhademe pravděpodobostí fukci počtu rekordů pomocí relativí četosti. V další tabulce jsou uvedey dosažeé počty rekordů, jejich relativí četosti (v %) a pravděpodobosti p r,7 (v %). r 2 3 4 5 6 7 8 9 r.čet. 3,3 9,9 2,2 8,8 24,24 8,8 6,6 6,6, 3,3 p r,7,43 6,88 5,42 2,6 2,4 6, 9,6 4,69,92,67 Průběh relativích četostí a pravděpodobostí fukce máme zázorě graficky a obrázku č.8: 26 24 22 8 6 4 2 8 6 4 2-2 2 4 6 8 2 rel.freq. probab. Obr.8

K ověřeí hypotézy, že pozorovaé relativí četosti ejsou v rozporu s teoretickými pravděpodobostmi, použijeme χ 2 test dobré shody. Testová statistika abývá hodoty 6,3323, odpovídající p-hodota je,63, tedy a asymptotické hladiě výzamosti,5 elze zamítout hypotézu o shodě empirických a teoretických údajů. Následující obrázky 9 a ukazují závislost počtu rekordů a kumulativího počtu rekordů a čase. 35 3 25 5 5-5 93 94 96 97 99 6 4 8 6 4 93 94 96 97 99 obr.9 Křivka kumulativího počtu rekordů vcelku slušě kopíruje teoretickou křivku až a míré výkyvy. Výzamá změa je a koci křivky od poloviy 8. let. 2. derivace, ač by podle teorie eměla, měí zaméko a počty rekordů začíají dramaticky růst. To může i azačovat, že vlastosti dat emusí zcela vyhovovat teorii rekordů. Vlastosti rekordů v klouzavých desetiletých obdobích Výskyty rekordů v řadě délky jsou závislé a struktuře dat, apř. v případě srážkových maxim záleží a tom, zda obr. začátek řady spadá do suchého či vlhkého období. Abychom teto efekt poěkud elimiovali, rozhodli jsme se zkoumat počty rekordů v klouzavých desetiletých obdobích, tj. v letech 933 942, 934 943,..., 993 2. Protože jsme echtěli ztratit iformace obsažeé a koci souboru, uvažovali jsme ještě devítileté období 994 2, osmileté 995 2 atd. až jedoleté 2. Nejprve se budeme zabývat průměrým počtem rekordů a jedotlivých staicích. V tabulce máme uvedey středí hodoty počtu rekordů v řadě délky, =,..., : 2 3 4 5 6 7 8 9 E(R ),5,8333 2,833 2,2883 2,45 2,5929 2,779 2,829 2,929 V řadě délky = 7 se vyskytuje 6 desetiletých klouzavých období, jedo devítileté atd. až jedo jedoleté. Středí hodota počtu rekordů tedy bude 6 2,929 + 2,829 + K +,5 + = 97,96. Situaci a jedotlivých staicích zachycuje tabulka.

92 Bzeec Jemice 97 Sloup 99 Náměšť a Haé 8 Kuchařovice 82 Babice ad Svitavou Morkovice 225 Džbáice 97 Židlochovice 79 Bystřice p. Host. 8 Bystřice ad Per. Rohozá Dřevohostice 84 Štěpáov Třebíč 9 Rusava 94 Olešice 2 Heraltice Holešov 82 Nové Město a Mor. 97 Bohdalov 6 Velíková 24 Velká Bíteš 8 Velké Meziříčí 96 Napajedla 79 Stvolová-Vlkov 84 Ždáice 93 Uherský Brod 99 Letovice 77 Valtice 77 Strážice a Mor. Blasko 96 Stráí 93 Následující dvě mapy zázorňují izoliie teréu a izoliie počtu rekordů. 95 ROHOZNA JEMNICE HERALTICE TŘEBÍČ VELKÉ MEZIŘÍČÍ VELKÁ BÍTEŠ 92 DŽBÁNICE KUCHAŘOVICE 7 2 92 SLOUP BLANSKO BABICE N.S. ŽIDLOCHOVICE VALTICE 7 NÁMĚŠT N.H. 222 ŽDÁNICE 23 7 29 2 MORKOVICE 26 BZENEC DŘEVOHOSTICE BYSTŘICE P.H. HOLEŠOV STRÁŽNICE NAPAJEDLA RUSAVA 23 VELÍKOVÁ UHERSKÝ BROD STRÁNÍ JEMNICE NOVÉ MĚSTO N.MOR. OLEŠNICE STVOLOVA LETOVICE BYSTŘICE N.P. BOHDALOV- ŠTĚPÁNOV BOHDALOV- ROHOZNA VELKÉ MEZIŘÍČÍ HERALTICE TŘEBÍČ NOVÉ MĚSTO N.MOR. OLEŠNICE 92 BYSTŘICE N.P. ŠTĚPÁNOV VELKÁ BÍTEŠ 7 KUCHAŘOVICE STVOLOVA LETOVICE SLOUP BLANSKO BABICE N.S. MORKOVICE ŽIDLOCHOVICE DŽBÁNICE 2 VALTICE 7 NÁMĚŠT N.H. 222 ŽDÁNICE 23 7 29 26 BZENEC STRÁŽNICE 92 2 DŘEVOHOSTICE BYSTŘICE P.H. HOLEŠOV NAPAJEDLA UHERSKÝ BROD STRÁNÍ RUSAVA 23 VELÍKOVÁ 92 obr. Jsou to zajímavé mapy, ale obtížě se iterpretují. Teoretická suma klouzavých rekordů jedé řady by měla být asi. Kolísá ale od 77 do 225. Rozdíl mezi ejmeším a ejvětším možstvím klouzavých rekordů v růzých řadách je 48, což je čtvrtia celkového teoretického počtu rekordů. To je příliš velký rozdíl. Rozdíly v hodotách, v ichž začíáme počítat rekordy a okrajích řady, emohou tak velký rozdíl vykazovat ai teoreticky. To by ěkteré řady musely začíat dlouhodobým miimem a všech prvích deset hodot měit jedím směrem a jiá řada obr.2 zase opačě, což eí pravda. Pokud by ale řady vykazovaly jako celek lehkou pilovitost průběhu jedím či druhým směrem, dalo by se sado dosáhout i větších rozdílů. Vysvětleím příčiy takového jevu bude obtížé, protože teto jev eodpovídá dosavadím představám. Na ásledujících obrázcích je vidět dva typické zástupce krajích poloh spektra sumy klouzavých rekordů. Valtice mají 77 rekordů, tj méě ež a Bohdalov má 6 rekordů, což je více. Porováím obou obrázků vidíme, že u Valtic je spíše tedece k pomalému poklesu maxim křivky a prudkému vzrůstu, u Bohdalova je to aopak.

Valtice Bohdalov 8 8 6 6 4 4 93 94 96 97 99 93 94 96 97 99 obr.3 Přiblížit se to dá ještě klouzavými maximy s hodotou a pravém okraji oka (ikoliv ve středu oka).pokud počítáme idex determiace v lieárí regresi vyjadřující závislost počtu rekordů obr.4 v klouzavých desetiletých okech a klouzavých -letých maximech (=2,3,4,5,6), potom ejvyšší hodotu (,74) poskytují čtyřletá maxima. Valtice Bohdalov 8 8 6 6 4 4 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 obr.5 Zameá to tedy, že u části staic (ižší počty rekordů, ež je teoretická hodota) po rychlém ástupu rekordí srážky dochází k poměrě pomalému kývavému poklesu maximálí ročí srážky. Pokud je rekordů více, ež udává teorie, je ástup rekordí srážky kývavě postupý a potom dojde k prudkému poklesu. Mezi tím jsou růzé přechody. Obecě rekordy obr.6 a růzých staicích astávají v růzou dobu, mohou samozřejmě astat i ve stejou dobu. Na dalším obrázku je průběh řady čtyřletých klouzavých maxim a staici Valtice zobraze pozpátku. Pak je charakter průběhu velmi podobý ormálímu průběhu a staici Bohdalov.

8 6 4 3 4 5 6 7 Obr.7 Pro řady délky =, 2,, je teoretický součet rekordů E(R ) + + E(R ) = 22,7. Průměré počty rekordů v klouzavých desetiletých obdobích a všech vybraých 33 staicích zachycuje ásledující obrázek. 28 27 26 25 24 23 22 2 9 93 94 96 97 99 obr.8 Tato časová řada vykazuje periodický charakter. Fisherův test periodicity prokázal a 5% hladiě výzamosti tři periody, a to periody o délce 3,8, 2 a,5 roku. Iterpretace výsledků Z výsledku aalýzy rekordů 33 řad vyplývá ěkolik překvapivých závěrů. Průběh rekordů deích maximálích srážkových úhrů za rok ukazuje, že data v rámci jedé staice ejsou zcela áhodá, ale hodoty se v průběhu ěkolika let těžko defiovatelým způsobem částečě ovlivňují (viz tzv. pilovitost dat). Dosud při zpracováí dat používaý předpoklad říká, že ročí maxima srážek i průtoků v řekách jsou avzájem ezávislá. To, zdá se, zcela eplatí.

Hodoty počtu klouzavých desetiletých rekordů se vzájemě mezi řadami růzí tak, že to elze vysvětlit statistickými odchylkami áhodých výběrů, avíc tyto odchylky vykazují určitou vazbu a hydrologicko-pedologicko-geografické podmíky okolí jedotlivých staic. Tyto odchylky emohou vyplývat jedozačě z obecého klimatu. Růzí se i poměrě blízko položeé řady a je tu viditelá vazba a místí podmíky. Tyto rozdíly mohou být utvářey vztahy v místím (malém) koloběhu vody. Pak by se dala prví pracoví hypotéza původu těchto rozdílů ajít v ásledujících vztazích. Jestliže a daém místě v daém čase jsou srážky podstatě větší ež poteciálí evapotraspirace, pak deí srážková maxima arůstají až se objeví v obecém klimatu velmi suchý rok. V takovémto případě je počet klouzavých rekordů vyšší ež teoretická hodota. Jsou-li srážky dlouhodobě výzamě ižší ež evapotraspirace potom zásoba vody v krajiě klesá a klesají srážková maxima dotud, pokud se v obecém klimatu eobjeví velmi vlhký rok, který zvýší zásoby vody v půdách s velkými vodími kapacitami a v důsledku toho vzroste výpar a tím i srážková maxima. Ta potom v letech, kdy srážky jsou meší ež poteciálí evapotraspirace zase s vysýcháím krajiy klesají. Jestliže kapacity půd jsou velmi ízké ebo dlouhodobě je srážka zhruba stejá jako evapotraspirace je počet klouzavých rekordů přibližě stejý jako udává teorie. Domíváme se, že je podstatý vztah mezi kapacitou půd a srážkami a poteciálí evaraspirací a srážkami. Jestliže srážky z ějakého důvodu emohou přejít zpět do evapotraspirace, potom se realizuje model, kde počet klouzavých rekordů je zhruba rove teoretické hodotě. Z výše řečeého vyplývá, že ročí maxima deích srážek v místech s růzými půdími podmíkami, poteciálím výparem a geografickými podmíkami obecě astávají v růzých letech pokud se místa výzamě liší alespoň v jedé z uvedeých vlastostí. Data klouzavých desetiletých rekordů jsou výrazě periodická. Jsou tedy období, kdy se rekordy vyskytují častěji a období, kdy pravděpodobost jejich výskytu je ižší. To přijatelě vysvětluje výkyvy v křivce kumulativích rekordů za 7 roků. Nicméě z toho také plye, že časová posloupost ročích maxim srážek přiejmeším eí zcela áhodá. Závěr Z předložeých výsledků zpracováí vyplývá, že řady ročích maxim deích srážkových úhrů ejsou zřejmě zcela áhodé, ale vzájemě se ovlivňují v čase, pravděpodobě v závislosti a podmíkách výparu a podílu zachyceé vody ze srážky v širším okolí pozorovacího místa. Literatura [] Jiří Aděl: Matematika áhody, Matfyzpress, Praha. [2] Budíková M., Budík L.: Aalysis of precipitatio maxima. Folia Fac. Sci. Nat. Uiv. Masarykiaae Bruesis, Mathematica (4) Summer School DATASTAT 3 Proceedigs. (i prit)