Analytická geometrie II: Geometrické transformace

Analytická geometrie II: Geometrické transformace Naďa Stehlíková 2006 2008 Tento materiál vzniká postupně na základě skript Geometrické transformace (metoda analytická) autorů M. Hejný, D. Jirotková, N. Stehlíková, PedF UK, 1997. Není s nimi však totožný, obsahuje nový materiál, jiné pořadí apod. 1

Použité značky N, Z, R množina všech přirozených čísel/ celých čísel/ reálných čísel 2Z množina všech sudých celých čísel M množina M M matice M I [E n ] množina všech izometrií v E n g f, gf složené zobrazení f složeno s g (v tomto pořadí) f 1 inverzní zobrazení k zobrazení f AB velikost úsečky AB QED konec důkazu (quod erat demonstrandum) E 1, E 2 Eukleidovská přímka/ rovina I 0 [E 1 ], I 0 [E 2 ] grupa všech izometrií v E 1 / E 2 zachovávajících počátek I [E 1 ], I [E 2 ] grupa všech izometrií v E 1 / E 2 M = X Z bod M je střed dvojice bodů X, Z {} prázdná množina t u, t u posunutí o vektor u s M, s 0 středová souměrnost se středem souměrnosti M/ v počátku r β otočení o úhel β R(β), R(M, β) matice otočení o úhel β, kolem bodu O/ kolem bodu M s m osová souměrnost s osou souměrnosti m S(µ), S(M, µ) matice osové souměrnosti s osou, která svírá s osou x úhel µ a prochází bodem O/ bodem M I matice identity, jednotková matice T( u), T([u; v]), T(u, v) matice posunutí o vektor u = [u; v] U(m, n; α), V(m, n; µ) matice ( izometrie ) a b a, b, c, d matice c d MNO obsah trojúhelníka MNO AOB velikost úhlu AOB A 1, A 2 afinní přímka/ rovina A 0 [A 1 ], A 0 [A 2 ] grupa všech afinit v A 1 / A 2 zachovávajících počátek A [A 1 ], A [A 2 ] grupa všech afinit v A 1 / A 2 f a,b afinita na A 1 x ax + b f X afinita v A 2 určená maticí X Ω, Γ osnova přímek, směr Σ svazek přímek D diskriminant δ determinant matice a, b, c, d IN V množina všech samodružných bodů IN V množina všech samodružných přímek P, Q simplex 2

Přehled základních pojmů Zobrazení f : E n E n se nazývá izometrie, nebo-li shodnost na E n, jestliže pro libovolné body X, Y E n je f(x)f(y ) = XY. Tedy izometrie je zobrazení, které zachovává vzdálenost. Množinu všech izometrií na E n označíme I [E n ]. Zobrazení id : E n E n, X X, které každý bod nechává na místě, se nazývá identita na E n. Jsou-li f, g dvě zobrazení E n E n, pak složením (superpozicí) těchto zobrazení v uvedeném pořadí rozumíme zobrazení g f : E n E n, X g(f(x)). Jestliže navíc platí g f = id, pak zobrazení g se nazývá inverzní k f a označuje se f 1. Zobrazení f : E n E n je involutorní (stručně involuce), když f = f 1. Zobrazení f : M M je injektivní (když f(x 1 ) = f(x 2 ), pak x 1 = x 2 ); f je surjektivní pro každé w M existuje x M tak, že f(x) = w. K zobrazení f existuje inverzní zobrazení f 1, právě když je f vzájemně jednoznačné, tj. injektivní (prosté) a surjektivní (na). Je-li g inverzní k f, pak je f inverzní ke g (f = g 1 ) a platí g f = f g. Zobrazení f : M M je transformací právě tehdy, když je bijektivní, tedy injektivní (prosté) a současně surjektivní (na). Tedy f je transformace existuje f 1. Nechť X je bod a P je podmnožina v M. Řekneme, že X je samodružný nebo též invariantní bod transformace f, když f(x) = X. Řekneme, že M je samodružná, invariantní množina transformace f, jestliže f(m) = M. Upozornění: Podmínka f(m) = M říká, že bod ležící v M se transformací f převede opět do bodu ležícího v M, nikoli však nutně do sebe. Např. posunutí podél přímky p tuto přímku jako celek, tedy jako množinu bodů, zachová, i když nezachová žádný z jejích bodů. 3

Přehled transformací Shodná transformace (shodnost): Pro každé dva body roviny X a Y a jejich obrazy X a Y platí X Y = XY. Podobná transformace (podobnost): Pro každé dva body roviny X a Y a jejich obrazy X a Y platí X Y = k XY, kde k R + je poměr podobnosti. Afinní transformace (afinita): Pro každé tři kolineární body roviny X, Y, Z a jejich obrazy X, Y, Z platí, že X, Y, Z jsou také kolineární a (XY Z) = (X Y Z ). Projektivní transformace (kolineace): Pro každé čtyři různé kolineární body roviny V, X, Y, Z a jejich obrazy V, X, Y, Z platí, že V, X, Y, Z jsou také různé kolineární a (V XY Z) = (V X Y Z (V XY ) ). (V XY Z) je dvojpoměr a je definován jako (V XY Z) = (V XZ). Jejich základní vlastnosti jsou přehledně znázorněny v tabulce (Kuřina, 10 geometrických transformací): Kolinearita Shodnost Poměr velikostí dělící po- dvojpoměr bodů úseček úseměr 3 4 bodů ček bodů Shodnost + + + + + Podobnost + - + + + Afinita + - - + + Kolinearita + - - - + V tomto textu se budeme zabývat prvními třemi typy transformací, a to zejména z hlediska analytického. 4

Kapitola 1 Opakování poznatků ze syntetické geometrie Pro pochopení úvah v tomto textu jsou nutné následující poznatky: Definice shodností v rovině. Skládání shodností v rovině a naopak jejich rozklad na osové souměrnosti. 1.1 Úlohy skládání izometrií A. Dokažte, že každé posunutí t u lze vyjádřit psát jako složení dvou osových souměrností t u = = s b s a, kde a b, u je kolmý na zaměření přímky b, b = t u (a). 2 Řešení: Řešení je zřejmé z obrázku 1.1a. B. Dokažte, že každé otočení r M,ϕ lze vyjádřit jako složení dvou osových souměrností r M,ϕ = = s b s a, kde {M} = a b a orientovaný úhel a, b je ϕ 2. Řešení: Řešení je zřejmé z obrázku 1.1b. C. Nechť A, B jsou body a c, d přímky. Dokažte, že pak platí (a) s A s B s A = s X, kde X = s A (B), (c) s c s A s c = s X, kde X = s c (A), (b) s A s c s A = s y, kde y = s A (c), (d) s c s d s c = s y, kde y = s c (d). Řešení: Řešení přenecháme čtenáři. 5

Obrázek 1.1: 1.2 Věta důležité rovnosti skládání izometrií Nechť a, b, c, d jsou čtyři ne nutně různé přímky procházející počátkem O. Pak platí tvrzení: 1. s b s a je otočení r β α kolem počátku O o úhel β α; 2. s b s a = s d s c, právě když orientovaný úhel přímek a, b je shodný s orientovaným úhlem přímek c, d; 3. s c s b s a je osová souměrnost s d, přičemž orientovaný úhel a, b je shodný s orientovaným úhlem d, c; 4. s a s b s a = s c orientovaný úhel přímek a, b se rovná orientovanému úhlu přímek c, a. 5. s c s b s a = s a s b s c. Důkaz: Tvrzení 1 bylo dokázáno v předmětu Elementární geometrie II a jeho analytický důkaz bude podán později. Tvrzení 2 je důsledkem předchozího. Je-li totiž s b s a = r β α a s d s c = r δ γ, pak s b s a = = s d s c r β α = r δ γ β α = δ γ + kπ pro vhodné k Z orientovaný úhel přímek a, b je shodný s orientovaným úhlem přímek c, d. Tvrzení 3: s c s b s a = s c s c s d = s d (podle tvrzení 2) orientovaný úhel přímek a, b se rovná orientovanému úhlu přímek d, c, tj. γ δ = β α + kπ (viz obrázek 1.2a). Tvrzení 4: s a s b s a = s c (podle tvrzení 3) α γ = β α + kπ přímka a je jednou z os přímek c, b, tj. c = s a (b) (viz obrázek 1.2b). Tvrzení 5: Víme, že s c s b s a = s x, s a s b s c = s y. Pak s x s y = s c s b s a s a s b s c = = s c s b id s b s c = s c id s c = id. Tedy s x s y = id, s x = s y, nebo-li x = y. Proto 6

s c s b s a = s a s b s c. Obrázek 1.2: 1.3 Cvičení skládání izometrií A. Nechť p, q, r jsou přímky těžnic rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníka P QR s pravým úhlem u vrcholu R. Zjistěte, jak vypadá zobrazení: (a) s p s q s r, (d) s r s p s q s r s p s q, (b) s p s q s p, (e) s r s p s q s p s q s r, (c) s q s r s p s q, (f) s p s q s p s r. B. Předchozí úlohu řešte v případě, že přímky p, q, r jsou (a) osy stran rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníka, (b) strany rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníka, (c) osy vnitřních úhlů trojúhelníka s úhly 50, 60, 70. 7

1.4 Definice grupa transformací Nechť M je neprázdná množina (bodů) a T neprázdná množina transformací (bijekcí) f. T je grupa transformací na M, jestliže jsou splněny dvě podmínky: f T f 1 T, (1.1) f, g T g f T. (1.2) Dlouhý termín budeme často zkracovat slovem grupa. Grupa, která má konečný počet prvků, se nazývá konečná grupa. Grupa H, která je podmnožinou grupy G, se nazývá podgrupa grupy G. Jestliže navíc G H, pak podgrupu H nazýváme vlastní podgrupou grupy G. Řekneme, že podmnožina T grupy H je generátor grupy H (T generuje H), jestliže se každá transformace z H dá psát jako složení konečného počtu transformací z T a transformací k nim inverzních. Pak píšeme H = G [T ]. Místo přesného G [{f, g}] píšeme často stručně G [f, g] apod. Poznámka: S pojmem grupa se setkáváme v mnoha oblastech matematiky. Víme například, že množina R vzhledem k operaci + je grupa, či množina regulárních matic typu 2 2 M 2 je grupa vzhledem k operaci násobení matic. Tyto grupy píšeme jako dvojice symbolů (množina,operace), tedy (R, +), případně (M 2, ). Měli bychom tedy nahoře definované grupy psát přesně (T, ), (G, ), apod. Nebudeme to dělat, protože v našich úvahách budou vystupovat pouze dvě grupové operace, a to v grupách transformačních a v grupách maticových. Z kontextu bude vždy jasné, o jakou grupu jde. 1.5 Úlohy grupy A. Dokažte, že pro každou transformační grupu G je id G. Důkaz: Podle definice je G neprázdná. Tedy existuje f G. Podle (1.1) pak f 1 G. Podle (1.2) pak id = f f 1 G. B. Je struktura (I 0 [E 2 ; ), kde I 0 [E 2 ] je množina shodností, které zachovávají počátek, grupa? Řešení: Ano. (Ověřte vlastnosti grupy podle definice.) C. Najděte všechny dvouprvkové podgrupy grupy I 0 [E 2 ] (I 0 [E 2 ] je grupa všech izometrií, které zachovávají počátek). Řešení: Z předchozího cvičení víme, že každá dvouprvková grupa má tvar {id, f}, kde f id. Protože podle (1.2) je f 2 {id, f}, je buď f 2 = f, nebo f 2 = id. Vztah f 2 = f implikuje f = id a dostáváme spor. Tedy f je nutně involuce. V množině rotací existuje jediná, která je involucí. Je to r π, nebo-li středová souměrnost. V množině osových souměrností je každý prvek involucí. Tím jsou všechny možnosti vyčerpány. 8

Závěr: Hledaná grupa je buď {id, s m }, kde m je libovolná přímka jdoucí počátkem, nebo {id, r π }. D. Dokažte následující tvrzení kritérium podgrupy. Nechť (G, ) je grupa a H neprázdná podmnožina množiny G. Pak (H, ) je podgrupa grupy (G, ), právě když jsou splněny dvě podmínky: (1) f H f 1 H, tj. H je uzavřená vůči invertování, (2) f, g H f g H, tj. H je uzavřená vůči skládání. Důkaz: Jsou-li splněny podmínky (1) a (2), pak z neprázdnosti H plyne, že existuje-li f H, podle (1) je f 1 H a podle (2) je f f 1 H. Tedy neutrální prvek patří do H. Asociativnost v H je důsledkem asociativnosti v G. Tedy H je grupa. Naopak, když některá z podmínek (1), (2) není splněna, H nemůže být grupou, protože zde není definována operace skládání, nebo invertování. 1.6 Cvičení A. Ke každému n N existuje aspoň jedna podgrupa G grupy I 0 [E 2 ], která má právě n prvků. Dokažte. B. Zjistěte, zda (a) množina I r 0 [E 2 ] všech rotací, (b) množina I o 0 [E 2 ] všech osových souměrností je podgrupou grupy I 0 [E 2 ]. C. Najděte podgrupu {id, f, g, h} grupy I 0 [E 2 ] takovou, že f, g, h jsou všechno involuce. D. Najděte přímky m, n tak, aby grupa G [s m, s n ] měla právě (a) čtyři, (b) pět, (c) šest, (d) dvacet prvků. E. Najděte izometrii f I 0 [E 2 ] tak, aby grupa G [f] generovaná prvkem f obsahovala jak rotaci r π, tak i rotaci (a) r π, (b) r π, (c) r π, (d) r 2 3 4 5 3π, (e) r 5π, (f) r 2 π. 5 7 F. Je izometrie f v předchozím cvičení jediná? 9

Kapitola 2 Analytické vyjádření izometrií v E 2 V této kapitole si postupně odvodíme analytické vyjádření všech shodností v rovině. 2.1 Úlohy analytický popis otočení kolem počátku A. Najděte analytický popis otočení r π 2, tj. otočení o 90 kolem bodu O. Řešení: Z prvního semestru analytické geometrie víme, že otočením vektoru u = [u; v] o +90 (tj. proti pohybu hodinových ručiček) vznikne vektor u = ( v; u). Tedy pro bod X[x; y] platí r π 2 (X) = X [x ; y ], kde x = y, y = x. B. Najděte analytický popis otočení r π 4, tj. otočení o 45 kolem bodu O. Řešení: Nechť r π 4 (X) = X, tj. bod X[x; y] se otočením kolem bodu O o úhel +45 zobrazí do bodu X [x ; y ]. Naším úkolem je najít čísla x, y pomocí čísel x, y. Najděme nejprve bod Z = r π (X) = 2 = [ y; x], pak bod U[u; v] = X Z. Víme, že body O, U, X leží na přímce. Dokonce víme, že vektor OX je 2-násobek vektoru OU, neboť OX = OX = 2 OU (viz obrázek 2.1a). Tedy x = 2 u, y = 2 v. Dalším výpočtem dostaneme x = 2 u = 2(x y), 2 y = 2 v = 2(x + y). 2 Oba předchozí případy zobecňuje následující úloha. C. Najděte analytický popis otočení r β, tj. otočení o úhel β kolem bodu O. Řešení: Nechť r β (X) = X. Tedy bod X[x; y] se otočením kolem O o orientovaný úhel β zobrazí do bodu X [x ; y ]. Naším úkolem je najít čísla x, y pomocí čísel x, y, β. Snadné řešení poskytují polární souřadnice. Nechť X O. Označme d = OX = OX a α velikost úhlu XOI, kde I[1; 0]. 10

Tedy otočením polopřímky OI o úhel α kolem počátku O dostaneme polopřímku OX (viz obrázek 2.1b). Pak platí x = d cos α, y = d sin α, x = d cos(α + β), y = d sin(α + β). Odtud x = d cos(α + β) = d cos α cos β d sin α sin β = x cos β y sin β, y = d sin(α + β) = d sin α cos β + d cos α sin β = y cos β + x sin β. Tyto vztahy můžeme zapsat i pomocí matic, jak ukazuje věta 2.2. Obrázek 2.1: 2.2 Věta maticový popis otočení kolem bodu O Zobrazení r β : E 2 E 2, X[x; y] X [x ; y ], které je dáno v maticovém tvaru předpisem ( ) ( ) ( ) x cos β sin β x y = (2.1) sin β cos β y je izometrie. Je to otočení kolem počátku O o orientovaný úhel β. Příslušnou matici označíme R(β). Nulovému otočení, tj. identitě, odpovídá jednotková matice I. Platí R(β) = I β = 2kπ, k Z. Úmluva: Místo dlouhého otočení, které je popsáno maticí R(β) budeme stručně psát otočení R(β). Důkaz: Třetí část věty je zřejmý důsledek druhé části, kterou jsme dokázali v předchozím cvičení 2.1C. Zbývá dokázat část první, tedy že se jedná o izometrii. 11

Ze syntetické geometrie již víme, že otočení je izometrie, takže vlastně není co dokazovat. Přesto však dokažme tuto část věty analyticky. Jednak to bude výživné cvičení, jednak uvidíme příklad těžkopádnosti analytické metody ve srovnání se syntetickou. Zvolme libovolné body X[x; y] a U[u; v] a označme r β (X) = X [x ; y ], r β (U) = U [u ; v ]. Potřebujeme dokázat, že XU = X U. Počítejme: X U 2 = (x u ) 2 + (y v ) 2 = = ((x cos β y sin β) (u cos β v sin β)) 2 + ((y cos β + x sin β) (v cos β + u sin β)) 2 = = ((x u) cos β (y v) sin β) 2 + ((y v) cos β + (x u) sin β) 2 = = (x u) 2 + (y v) 2 = XU 2. QED. Poznámka: Všimněte si, že bod O, který jsme v řešení úlohy 2.1C z našich úvah vyloučili, také vyhovuje vztahu (2.1). 2.3 Úlohy skládání zobrazení A. Nechť r α je rotace kolem počátku o úhel α dána maticí R(α) a r β rotace kolem počátku o úhel β dána maticí R(β). Zjistěte, jak vypadá matice zobrazení r β r α. Řešení: Nechť X[x; y] je libovolný bod. Označme r α (X) = X [x ; y ], r β (X ) = X [x ; y ]. Pak ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x cos α sin α x x cos β sin β x y =, sin α cos α y y = sin β cos β y, ( ) ( ) ( ) ( ) x cos β sin β cos α sin α x odkud y =. sin β cos β sin α cos α y Hledaná matice zobrazení s b s a je tedy součinem matic R(β) R(α). B. Najděte geometrickou interpretaci matice R(β) R(α). Řešení: Protože ( ) cos β cos α sin β sin α cos β sin α sin β cos α R(β) R(α) = = sin β cos α + cos β sin α sin β sin α + cos β cos α ( ) cos(α + β) sin(α + β) = = R(α + β), sin(α + β) cos(α + β) je součinem matic R(β) R(α) dáno otočení kolem počátku O o úhel (α + β). Poznání zformulujeme ve větě 2.4. 12

2.4 Věta násobení matic a skládání zobrazení Nechť f, g jsou zobrazení E 2 E 2 (ne nutně izometrická), která jsou popsána maticemi F, G. Pak zobrazení g f je popsáno maticí G F. Jinak: Geometrické operaci skládání zobrazení odpovídá algebraická operace náso- bení matic (ve stejném pořadí). Důkaz: Postup řešení úlohy 2.3A zopakujeme s libovolnými maticemi. 2.5 Úlohy analytický popis posunutí a rotace kolem libovolného bodu A. Najděte analytický popis posunutí t u : E 2 E 2 o vektor u [u; v] a zapište t u pomocí matice. Řešení: První část úlohy je snadná (viz obr. 2.2a). t u : E 2 E 2, X[x; y] X [x ; y ], x = x + u, y = y + v. (2.2) Potíže jsou s druhou částí úlohy. Matice posunutí na rozdíl od matice rotace z věty 2.2 nemůže být druhého řádu. Trik spočívá v tom, že ke dvěma souřadnicím bodu X[x; y] z E 2 přidáme třetí, umělou souřadnici, a sice 1. Pak lze vztahy (2.2) zapsat takto: x 1 0 u x y = 0 1 v y. (2.3) 1 1 Příslušnou matici značíme T( u) nebo T(u; v). Alternativně k zápisu X[x; y] budeme psát někdy též X[x; y; 1] s formální třetí souřadnicí 1. K nedorozumění s bodem v E 3 nedojde, protože všechny naše úvahy jsou v E 2. B. V úloze 2.3A jsme viděli, jak snadné je skládání zobrazení pomocí matic. Stojíme před problémem, jak pomocí matic skládat otočení s posunutím. Matice R(β) je totiž druhého a matice T( u) třetího řádu. Co s tím? Lze tuto potíž překonat? Řešení: Lze, a to poměrně jednoduše. Matici R(β) rozšíříme na matici 3 3 tak, abychom uchovali to nejdůležitější chceme, aby bylo skládání zobrazení popsáno násobením matic. Hledaná matice musí převést libovolný bod [x; y; 1] do bodu [x ; y ; 1]. Odtud plyne, že poslední řádek hledané matice má tvar (). Není pak těžké nahlédnout, že cos β sin β 0 R(β) = sin β cos β 0. (2.4) 13

C. Najděte matici R(2, 3; π 2 ) otočení r M, π 2 kolem bodu M[2; 3] o úhel π 2. Řešení: Hledané otočení vyjádříme jako složení tří izometrií. Libovolný bod X[x; y] můžeme do polohy X [x ; y ] = r M, π (X) přemístit postupem (viz obr. 2.2b): 2 X t u Y r π 2 Z t u X, kde t u : E 2 E 2, [x; y] [x + 2; y + 3] je posunutí o vektor u (2; 3) a r π : E2 E 2, [x; y] [ y; x] je otočení o π kolem počátku O. 2 2 Pomocí matic dostaneme R(2, 3; π) = T( u) R(0, 0; π ) T( u), tedy 2 2 R(2,3; π 1 0 2 0 1 0 1 0 2 0 1 5 2 ) = 0 1 3. 1 0 0. 0 1 3 = 1 0 1. D. Najděte matici R(u, v; α) otočení r M,α kolem bodu M[u; v] o úhel α. Řešení: Zopakujeme postup řešení předchozí úlohy s obecnými maticemi, tj. R(u, v; α) = = T( u) R(0, 0; α) T( u), kde u(u; v). Výsledek je podán ve větě 2.6. Obrázek 2.2: 2.6 Věta maticový popis rotace Nechť r M,α je otočení kolem bodu M[u; v] o úhel α. Pak cos α sin α u(1 cos α) + v sin α R(u, v; α) = sin α cos α v(1 cos α) u sin α je matice otočení r M,α. 14

Důkaz: Stačí prověřit rovnost R(u, v; α) = T( u) R(0, 0; α) T( u). (2.5) 2.7 Úlohy analytické vyjádření osové souměrnosti A. Najděte analytické vyjádření osové souměrnosti kolem osy x. 1 0 0 Řešení: Analytické vyjádření lehce vyčteme z obrázku: x = x, y = y. Maticí: 0 1 0 B. Najděte analytické vyjádření osové souměrnosti kolem osy y. 1 0 0 Řešení: Analytické vyjádření lehce vyčteme z obrázku: x = x, y = y. Maticí: 0 1 0 C. Najděte analytické vyjádření osové souměrnosti kolem osy prvního a třetího kvadrantu u. 0 1 0 Výsledek: Rovnicemi: x = y, y = x. Maticí: 1 0 0 D. Najděte analytické vyjádření osové souměrnosti kolem přímky o. Přímka o prochází počátkem a svírá s kladnou částí osy x úhel α. Řešení: Můžeme postupovat např. tak, že si uvědomíme, že složíme-li s x a s o, dostaneme otočení o úhel 2α. Tedy s x s o = r 2α a v maticovém vyjádření S 1 S 2 = R(0, 0; 2α), kde S 1 je matice osové souměrnosti s x a kde S 2 je matice osové souměrnosti s o. Po úpravě dostaneme s o = r 2α s x a v maticovém vyjádření S 2 = R(0, 0; 2α) S 1. Můžeme tedy počítat: ( ) cos 2α sin 2α sin 2α cos 2α ( ) ( ) 1 0 cos 2α sin 2α = 0 1 sin 2α cos 2α E. Najděte analytické vyjádření osové souměrnosti kolem obecné přímky o. Přímka o svírá s kladnou částí osy x úhel α. Řešení: Podobně jako u hledání analytického vyjádření rotace v úloze 2.5D využijeme posunutí. Na ose o zvolíme libovolný bod M[u; v]. Pak s o = t u s o t u, kde o je přímka rovnoběžná s osou o a procházející počátkem a o = t u(o) a vektor u(u; v). Označme matici osové souměrnosti podle osy, která prochází bodem o souřadnicích [u; v] a má směrový vektor (cos α; sin α), jako S(u, v; α). Převedeme-li výše uvedenou rovnost do maticového vyjádření, dostaneme S(u, v; α) = T( u) S(0, 0; α) T( u). To už je jen kalkulace a její výsledek udává věta 2.8. 15

F. Najděte analytické vyjádření osové souměrnosti kolem přímky o, která je dána rovnicí ax + by + c = 0. Řešení: Označíme X[x; y] a jeho obraz v osové souměrnosti X [x ; y ]. Protože vektor XX je kolmý na osu o, platí XX = k (a; b), kde k R {0}. Tedy x = x + k a, y = y + k b. Dále musíme najít číslo k. Nechť S = X Y. Bod S má souřadnice [ 2x + k a ; 2y + k b ]. 2 2 Protože S o, platí 2x + k a 2 a + 2y + k b 2 b + c = 0. Z této rovnosti vyjádříme k a dosadíme do rovnic pro x a y. Dostáváme x = x 2a(ax + by + c), y 2b(ax + by + c) = y. a 2 + b 2 a 2 + b 2 Zde není účelné převádět rovnice do maticového vyjádření. 2.8 Věta maticový popis osové souměrnosti Nechť s m je osová souměrnost podle přímky m dané bodem M[u; v] a směrovým vektorem m (cos α; sin α). Pak cos 2α sin 2α u(1 cos 2α) v sin 2α S(u, v; α) = sin 2α cos 2α v(1 + cos 2α) u sin 2α je matice osové souměrnosti s m. Nechť s m je osová souměrnost podle přímky m dané rovnicí ax + by + c = 0. Rovnice této osové souměrnosti jsou x 2a(ax + by + c) = x, y 2b(ax + by + c) = y. a 2 + b 2 a 2 + b 2 2.9 Cvičení analytické vyjádření rotace a osové souměrnosti V úlohách A K předpokládáme, že rotace je kolem počátku a osová souměrnost kolem přímky procházející počátkem. Budeme používat zkrácené označení R(α) a S(α). A. Nechť s a je osová souměrnost podle přímky a a s b osová souměrnost podle přímky b. Přímky a a b procházejí počátkem. Zjistěte, jak vypadá matice zobrazení s b s a. 16

B. Najděte geometrickou interpretaci matice S( β 2 ) S( α 2 ). C. Napište matici I. otočení kolem počátku o úhel (a) 45, (b) 135, (c) 60, (d) 435, II. osové souměrnosti, jejiž osa prochází počátkem a svírá s osovu x úhel (e) 45, (f) 135, (g) 60, (h) 435, (i) 0. D. Zjistěte, pro která x, y R platí (a) R(x) R(y) = R(x y), (b) R(x) R(y) = R(x + y), (c) S(x) S(y) = S(x y). E. Stručně zapište (a) S(3x) S(x), (b) S(x) S(2x), (c) S(x) S(y), (d) S(x) S(2x) S(x), (e) S(x) S(y) S(x), (f) S(x) S(y) S(z). F. Stručně zapište S(x 1 ) S(x 2 )... S(x n ). G. Stručně zapište (a) S(0) R(y), (b) R(y) S(0), (c) S(x) R(y), (d) R(y) S(x), (e) R(y) S(x) R( y), (f) S(x) R(y) S(x) R(y). H. Řešte maticovou rovnici a najděte její geometrickou interpretaci: (a) R 2 (x) = I (jednotková matice I, viz 2.2), (b) R 4 (x) = I, (c) R 3 (x) = I, (d) R 6 (x) = I, (e) R 5 (x) = I. I. Řešte maticovou rovnici a najděte její geometrickou interpretaci: (a) S 2 (x) = I, (b) S 3 (x) = = I, (c) S(x) S(2x) = I, (d) S( x) S( y ) = R(π), (e) S( x) R(y) = R(x) S( y ), (f) 2 2 2 2 S(x) R(y) = R(z). J. Nechť α R. Označme G [R(α)] množinu všech transformací, které lze získat z transformací R(α) a R( α) operací skládání. Zjistěte počet prvků množiny G [R(α)] pro (a) α = 0, (b) α = π, (c) α = π 2, (d) α = π 3, (e) α = 2π 5, (f) α = π 6, (g) α = π 12, (h) α = 2π n, kde n N je dané. K. Najděte všechna x R, pro která G [R(x)] = G [R(α)], když α nabývá stejných hodnot jako v předchozím cvičení. L. Najděte analytické vyjádření shodnosti, znáte-li tři vzory a jejich tři obrazy, a tyto shodnosti geometricky popište. (a) [0; 0] [3; 0], [1; 0] [3; 1], [0; 1] [4; 0] (b) [0; 0] [5; 4], [1; 0] [5; 3], [0; 1] [4; 4] (c) [1; 1] [0; 0], [0; 1] [0; 1], [ 2; 1] [0; 3] (d) [1; 1] [0; 1], [0; 1] [0; 2], [ 2; 1] [0; 4] M. Zjistěte, zda existuje shodnost, pro niž platí A[10; 0] A [0; 0] a B[25; 20] B [0; 25]. Pokud ano, najděte její analytické vyjádření. 17

2.10 Úlohy analytické vyjádření posunuté souměrnosti A. Zjistěte, zda transformace daná rovnicemi x = x + 1 a y = y je shodnost. Pokud ano, geometricky ji charakterizujte. Řešení: Lehce ověříme, že pro každé libovolné body X, Y a jejich obrazy X, Y platí XY = X Y. Jedná se tedy o shodnost. Na první pohled se zdá, že jde o osovou souměrnost viz věta 2.8. Zkusme najít samodružné body. Získáme soustavu rovnic x = x + 1, y = y, která však nemá řešení. Žádný samodružný bod tedy neexistuje a nejde o osovou souměrnost. Zkusíme-li si najít několik bodů a jejich obrazů, zjistíme, že se jedná o nepřímou shodnost. Zatím jsme neodvodili analytické vyjádření posunuté souměrnosti. To řeší následující úloha. B. Odvoďte analytické vyjádření posunuté souměrnosti, známe-li úhel, který svírá osa souměrnosti s osou x a vektor posunutí (rovnoběžný s osou souměrnosti). Řešení: Podle definice získáme posunutou souměrnost tak, že složíme osovou souměrnost a posunutí s vektorem posunutí, který je rovnoběžný s osou osové souměrnosti, a to v libovolném pořadí. Tomu odpovídá analytický způsob řešení: Provedeme výpočet: V = S(u, v; α) T(k cos α, k sin α), kde k R {0}. 1 0 k cos α cos 2α sin 2α u(1 cos 2α) v sin 2α V(m, n; α) = 0 1 k sin α sin 2α cos 2α u sin 2α + v(1 + cos 2α) = cos 2α sin 2α m = u(1 cos 2α) v sin 2α + k cos α = sin 2α cos 2α n = u sin 2α + v(1 + cos 2α) + k sin α C. Geometricky interpretujte shodnost z úlohy A. Řešení: Dosazením konkrétních hodnot do obecné matice posunuté souměrnosti získáme soustavu rovnic: 18

cos 2α = 1, sin 2α = 0, k cos α + u u cos 2α v sin 2α = 1, k sin α + v + v cos 2α u sin 2α = 0. Řešením tedy je α = π, k = 1, v = 0, u je libovolné reálné číslo. Uvedené rovnice jsou tedy rovnicemi posunuté souměrnosti s osou o: y = 0 a vektorem posunutí (1; 0). D. Najděte kritérium, podle něhož poznáme, zda matice G je matice osové nebo posunuté souměrnosti. cos 2α sin 2α m G = sin 2α cos 2α n Řešení: Osová a posunutá souměrnost se liší počtem samodružných bodů. Hledáme-li známým postupem samodružné body, dospějeme k soustavě rovnic x = x cos 2α + y sin 2α + m, y = x sin 2α y cos 2α + n s neznámými x a y. Po úpravě máme x(cos 2α 1) + y sin 2α + m = 0, x sin 2α (cos 2α + 1)y + n = 0 Vyjádříme-li z první rovnice x a dosadíme do druhé rovnice, po úpravě získáme rovnost n(cos 2α 1) + m sin 2α = 0. Po další úpravě pak dostáváme m cos α + n sin α = 0. Tedy můžeme formulovat kritérium: Matice G je maticí osové souměrnosti, právě když m cos α+n sin α = 0. V opačném případě to je matice posunuté souměrnosti. 2.11 Úloha charakteristika izometrií Najděte všechny izometrie, které lze v maticovém tvaru zapsat předpisem f : E 2 E 2, X(x; y; 1) X (x ; y ; 1), (2.6) 19

x p q m x y = r s n. y, kde p, q,..., w R. (2.7) 1 u v w 1 Řešení: Nechť U[u; v] je libovolný bod a f(u) = U [u ; v ]. Pak z podmínky f je izometrie plyne, že pro všechny X, U je XU = X U, čili (x u) 2 +(y v) 2 = (x u ) 2 +(y v ) 2 = ((px+qy) (pu+qv)) 2 +((rx+sy) (ru+sv)) 2 =... Zvolený postup je těžkopádný. Počítání si ulehčíme tím, že místo obecného vztahu zvolíme tři konkrétní a jednoduché vztahy. Vezměme trojúhelník OIJ, kde O[0; 0; 1], I[1; 0; 1], J[0; 1; 1] se zobrazí na trojúhelník O I J, kde O = f(o) = [m; n; w], I = f(i) = [p + m; r + n; u + w], a J = f(j) = = [q + m; s + n; v + w]. Protože poslední souřadnice všech tří bodů musí být 1, máme u = v = 0 a w = 1. Dále platí základní vazby OI = 1 O I = 1 p 2 + r 2 = 1, (2.8) OJ = 1 O J = 1 q 2 + s 2 = 1, IJ = 2 I J = 2 pq + rs = 0, neboť I J 2 = (p q) 2 +(r s) 2 = p 2 +r 2 +q 2 +s 2 2(pq+rs) = 2 2(pq+rs) = IJ 2 = 2. Z geometrických vztahů OI = OI, OJ = OJ a IJ = I J jsme získali algebraické vztahy p 2 + r 2 = 1, q 2 + s 2 = 1, pq + rs = 0. (2.9) Ze vztahů (2.9) plyne, že vektory OI = p (p; r; 0) a OJ = q (q; s; 0) jsou jednotkové a na sebe kolmé ( p = 1, q = 1, p q = 0). Body I, J leží tedy na jednotkové kružnici. Z toho vyplývá, že q = ( r; p; 0) nebo q = (r; p; 0) (q = r a s = p, nebo q = r, s = p) a že existuje takový úhel µ, µ R, že p = cos µ a r = sin µ. Je zřejmé, že µ a µ určují stejnou matici (a tedy stejnou izometrii), právě když µ = µ+2kπ, k Z, tj. právě když se liší o celočíselný násobek čísla 2π. Existuje tedy, a to jediné, µ 0; 2π) tak, že p = cos µ, r = sin µ. Jestliže je f izometrie, pak její matice má tvar cos µ sin µ m M = sin µ cos µ n, (2.10) nebo 20

cos µ sin µ m N = sin µ cos µ n. (2.11) 2.12 Věta charakteristika izometrií Zobrazení (2.6), které je dáno vztahem (2.7), je izometrií, právě když platí (2.8). Každá taková izometrie se dá zapsat ve tvaru (2.10), nebo (2.11), kde µ, m, n R jsou vhodná čísla. Naopak, každá z matic (2.10) a (2.11) je maticí izometrie pro libovolné µ, m, n R. Uvedené matice můžeme také zapsat takto: A B C B ±A D, kde A 2 + B 2 = 1. A B C Přímá shodnost je dána maticí B A D, kde A 2 +B 2 = 1. Nepřímá shodnost A B C je dána maticí B A D, kde A 2 + B 2 = 1. Důkaz: Důkaz první a druhé části byl již udělán. Třetí část věty se dokáže trpělivým výpočtem. 2.13 Cvičení shodnosti v rovině A. Geometricky charakterizujte shodnosti s rovnicemi (a) x = y +1, y = x+1, (b) x = x+1, y = y + 6. B. Determinant matice z věty 2.12 je 1, nebo 1. Zjistěte, zda platí věta: Matice F je maticí shodnosti v rovině právě tehdy, když absolutní hodnota jejího determinantu je 1. C. Zjistěte geometrický popis izometrie f I[E 2 ] dané maticí e e 0 e e 1 e e e 2e (a) e e 0, (b) e e e, (c) e e 1, (d) kde e = 1 2. e e 1 e e e e, D. Vyšetřete izometrii f I[E 2 ], která je dána maticí 21

0, 8 0, 6 1 0, 8 0, 6 3 0, 8 0, 6 1 (a) 0, 6 0, 8 3, (b) 0, 6 0, 8 1, (c) 0, 6 0, 8 1. Zjistěte, zda se některý z uzlových bodů A[1; 1], B[1; 2], C[1; 3] izometrií f zobrazí opět do uzlového bodu. Najděte všechny uzlové body [x; y], které se zobrazí transformací f opět do uzlových bodů. E. Nechť s J I[E 2 ] je středová souměrnost podle bodu J[0; 1] a s O I[E 2 ] středová souměrnost podle počátku O. (a) Popište geometrický tvar izometrií f 1 = s J s O, f 2 = s J s O s J f 3 = s J s O s J s O, f 4 = s J s O s J s O s J. (b) Předchozí úlohu zobecněte. Popište izometrii f n. (c) Napište matici transformace f n pro n N. (d) Transformace f n je definována pro n = 1, 2, 3,... Bylo by ji možné přirozeným způsobem definovat i pro n = 0, 1, 2, 3,...? (e) Nechť F = {f n ; n N}. Popište geometricky i analyticky grupu G [F ]. F. Nechť kromě označení s O z předchozí úlohy je s m I[E 2 ] osová souměrnost podle přímky m dané rovnicí x y = 2. (a) Popište geometrický tvar izometrií g 1 = s m s O, g 2 = s m s O s m, g 3 = s m s O s m s O, g 4 = s m s O s m s O s m. (b) Předchozí úlohu zobecněte. Popište izometrii g n. (c) Napište matici transformace g n pro n N. (d) Bylo by možné přirozeným způsobem definovat i g 1? (e) Nechť G = {g n ; n N}. Popište geometricky i analyticky grupu G [G]. G. Předchozí úlohu řešte v případě, že bod O všude nahradíte bodem J[0; 1]. H. Zjistěte, pro jakou volbu parametrů p, q R je daná matice maticí izometrie f I[E 2 ] a vyšetřete její geometrický tvar. 0 p 0 p q 0 p 0 0 (a) p 0 0, (b) 0 1 0, (c) 0 q 0, 0 0 q p q q 0 p q p p 0 (d) 0 1 p, (e) p 0 q, (f) p q 0. I. Doplňte scházející čísla v dané matici tak, aby tato byla maticí izometrie g I[E 2 ] a vyšetřete její geometrický tvar. Najděte všechna řešení. 22