PROCVIČOVÁNÍ K MATURITĚ Z MATEMATIKY (PRO SP DN). Objem povrch těles. Mocnin s celým eponentem. Odmocnin, mocnin s rcionálním eponentem. Algebrické výrz. Lineární rovnice. Soustv lineárních rovnic o dvou třech neznámých 7. Lineární nerovnice 8. Kvdrtická rovnice 9. Soustv lineárních nerovnic, kvdrtická nerovnice 0. Funkce. Logritmická funkce, rovnice nerovnice. Eponenciální funkce, rovnice nerovnice. Goniometrické funkce rovnice. Řešení prvoúhlého trojúhelníku. Řešení obecného trojúhelníku. Aritmetická posloupnost 7. Geometrická posloupnost 8. Komplení čísl 9. Vrice, permutce, kombince 0. Binomická vět. Prvděpodobnost sttistik. Rovnice přímk, vektor. Vzájemná poloh dvou přímek, odchlk dvou přímek. Vzájemná poloh bodů přímk. Kuželosečk. Vzájemná poloh přímk kuželosečk 7. Úloh z pre 8. Ukázk přijímcích testů n VŠ
. OBJEM A POVRCH TĚLESA krchle, kvádr, válec, jehln, kužel, koule ) Prodlouží-li se hrn krchle o cm, zvětší se její objem o i zvětšené krchle. 8cm. Určete povrch původní ) Strn rotčního kužele měří 0 cm svírá s rovinou podstv úhel α 7 0. Vpočtěte poloměr, výšku, objem povrch kužele. ) Délk hrn kvádru jsou v poměru ::, jeho povrch je ) Objem kvádru je m. Určete objem kvádru. 80dm, jeho hrn jsou v poměru ::. Vpočítejte povrch. ) Vpočítejte povrch krchle, která je vepsán do koule o poloměru cm. ) Vpočítejte objem krchle která má tělesovou úhlopříčku 7 cm. 7) Kolikrát je větší poloměr koule opsné krchli, než poloměr koule této krchli vepsné. 8) Součet obshů obou podstv rotčního válce o výšce 7 cm je roven obshu jeho pláště. Vpočtěte objem tohoto válce. 9) Vpočtěte objem rotčního kužele, který má délku površk i průměr podstv roven cm. 0) Obsh stěn krbice, která má tvr kvádru jsou objem krbice. 7,cm ;,cm ;cm. Vpočtěte ) Z plstelín je vtvořen válec o výšce cm. Pk je přeměněn n kužel, jehož podstv je shodná s podstvou původního válce. Jká je výšk kužele? ) cm b) cm c) cm d) cm ) Krchle má hrnu 0 cm. Kvádr má jednu hrnu 0 cm druhou cm. Kolik cm měří třetí hrn kvádru c, je-li povrch krchle i kvádru stejný? ) c cm b) c, cm c) c, 7cm d) jiné řešení ) Krchli o hrně je opsán koule. Vpočítejte povrch této koule. ) O kolik procent se zvětší povrch koule, kdž se její poloměr zvětší o 0%?
. MOCNINY S CELÝM EXPONENTEM n-tá mocnin, zákld mocnin, mocnitel, n, prvidl pro počítání s mocninmi ) Uprvte npište podmínk, z kterých má výrz smsl: b c d ) c d b b) b c d b : c d z z c) : 0 8 7 ) Vpočtěte: 0 ) ( ) ( ) 7 ( ) 0 b) 9 c) ) Převeďte vjádřete ve tvru n 0, kde, 0, n Z : ) 9,km n cm c) 8,mm n m b),cm n m d),m n cm ) Npište čísl ve tvru ) 0,0000 0000 ( 0,00000) n 0, kde, 0, n Z vpočítejte: b) 9, 0000 0,07 0,98 700 0,00 ) Vjádřete čísl v desítkové soustvě vpočtěte (bez klkulčk) ) 0 0 9 0 0 0 b) 0 0 0 7 0
. ODMOCNINY, MOCNINY S RACIONÁLNÍM EXPONENTEM n-tá odmocnin, zákld odmocnin, odmocnitel, prvidl pro počítání s odmocninmi ) Uprvte: ) b) 9 9 c) d) ) Uprvte výsledek částečně odmocněte: ) 7 9, 0 b), f 0 ) Převeďte n mocnin s rcionálním eponentem uprvte. Výsledek zpište ve tvru odmocnin: ) b) b b, f 0 c) :, f 0 b, f 0 d), f 0 ) Zjednodušte:, 0 ) ( ) b), 0 ) Vpočítejte: ) 0 7 0 0 b) 8 7
. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY výrz, člen výrzu, opčný výrz, rozkld podle vzorců: (±b), (-b), (b)(-b), (±b), ±b ) Uprvte: ) ( ) ( ) ( ) b b - b b b b b b b) : c) d) ( ) ( ) ( ) e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f) 8 9 7 m m m m g) h) ( ) uv v u v uv v u v : ) b b ) b b) b b c) b b d) e) ) Pro ± je ( ) ) b) 0 c) d) e) ) Pro všechn přípustné hodnot, pltí: : ) b) c) d) e)
. LINEÁRNÍ ROVNICE lineární rovnice, počet řešení lin. rovnice ) Řešte proveďte zkoušku: d) 0 ) ( )( ) ( ) ( ) b) e) ( 9 ) 0 ( ) ( 8 ) c) 9 f) ) Kilogrm jednoho druhu bonbonů se prodává z 0 Kč, kilogrm druhého druhu bonbonů z 0 Kč, kilogrm směsi obou druhů stojí 0 Kč. Poměr, ve kterém jsou levnější bonbon smíchán s druhými je? ) N večírek přišlo třikrát více chlpců než děvčt. Po odchodu 8 chlpců 8 děvčt zblo n večírku pětkrát více chlpců než děvčt. Kolik chlpců kolik děvčt přišlo n večírek? ) Učitel mtemtik prohlásil: Šestinu život jsem žil jko chlpec, osminu život jko mldík, polovinu život jko muž v plné síle posledních let jsem v důchodu. Učitelův věk je v rozmezí: ) - 0 let b) 0 - let c) 70 let d) 70 7 let ) Petr otevřel nhodile oblíbenou knihu zjistil,že součet čísel stránek je 7. N kterých stránkách knihu otevřel? ) Nkldtelství připrvuje vdání nové knih. Nákld n kždý z prvních 70 výtisků doshují 80 Kč. Nákld n kždý výtisk jsou všk už jen Kč. Nkldtelství se rozhodlo prodávt knihu po 0 Kč. Jký nejmenší počet výtisků musí nkldtelství vdt, b z předpokldu, že se všechn výtisk prodjí, neblo vdání ztrátové. 7) N trsu dlouhou 8 km vjelo v 8 hodin uto A, v 8:0 uto B v 8: uto C. Do cíle dojel všechn tři ut njednou. Průměrné rchlosti ut A B se lišil o,km/h. O kolik se lišil průměrné rchlosti ut B C?
. SOUSTAVA LIN. ROVNIC O DVOU A TŘECH NEZNÁMÝCH metod řešení soustv lin.rovnic, počet řešení soustv lin.rovnic ) Řešte proveďte zkoušku: ) 0( ) 00 ( 7) e) ( )( ) ( )( 8) ( ) 0( ) ( )( 7) ( )( ) 7 b) 7 f) c) z 8 g) z z 0 z 0 z z 8 d) z h) z z 7 z 9 z 0 z 9 ) Do plechovek máme uskldnit 00 l oleje. Jestliže máme jen dv druh plechovek, to třílitrové pětilitrové, kolik plechovek kždého druhu budeme potřebovt? ) N louce se psou koně, ovce hus. Ovcí je více než hus. Ovce hus mjí dohromd noh hlv 00. Husí ovcí je třikrát víc než koní. Kolik je koní?
7. LINEÁRNÍ NEROVNICE lineární nerovnice, způsob řešení lin. nerovnice ) Řešte v R nerovnici: ) c) 0 f b) d) e) ( ) ( ) p f) ( ) ( )( ) 9 f g) p h) i) j) ( ) ( )( ) 7 8 ) Řešte v N: ) 7 f b) p
8. KVADRATICKÁ ROVNICE předpis kvdrtické rovnice, tp kvdrtické rovnice jejich řešení, diskriminnt kořen kvdrtické rovnice ) Řešte rovnici, určete druh rovnice proveďte zkoušku: ) b) ( 7) c) ( ) ( ) ( ) ( )( ) d) ( ) ( ) ( )( ) 0 e) 0 f) 7 ) Pro která n má rovnice n n 0 jeden dvojnásobný reálný kořen. ) Sestvte kvdrtickou rovnici, jejímiž kořen jsou čísl: ), b), c) ) Pro která m má dná rovnice ( ) ( m ) ( m ) 0 0, m dvojnásobný kořen? ) U dných kvdrtických rovnic určete kořen koeficient m, znáte-li kořen : ) m 0, 8 b) 7 m 0, ) Kdž vezmete dvě čísl lišící se o osm, znásobíte je nvzájem výsledek pk dělíte osmi, dostnete výsledek, který je o osm větší než součet obou původních čísel. Která jsou to čísl? ) Určete reálné číslo m tk, b rovnice m 0 neměl reálné kořen: ) m f 0 b) p 0 m,0 d) m p e) m m c) ( )
9. SOUSTAVY LIN. NEROVNIC, KVADRATICKÁ NEROVNICE metod řešení lin. kvdrtických nerovnic ) Řešte soustvu lin. nerovnic o jedné neznámé v R, řešení znázorněte n číselné ose: ) ( ) p ( ) c) ( ) p ( ) ( ) p 8 7 p 9 b) p f ( ) 9 d) ( ) ( ) ( ) p ) Řešte v R nerovnici: ) p 0 d) f 0 b) f 0 e) 9 0 c) 0 f) 9 p 0 7 ) N intervlu ; ) řešte nerovnici p 0. ) N intervlu ; řešte nerovnici 7 0.
0. FUNKCE Definice funkce, D f, H f, funkční hodnot v bodě, grf funkce, monotónnost, prostá fce., sudá lichá fce. ) Určete druh funkce, nčrtněte grf, stnovte D ( f ), H ( f ), rozhodněte zd funkce roste nebo klesá ) f :, ; ) d) f : b) f : e) f : c) f : Jk se nzývá funkce inverzní k funkci? ) Určete v oboru R definiční obor funkcí: ) f : d) f : ( ) 0 b) f : e) f : c) f : f) f : ) Reálné funkce f ž f jedné proměnné jsou dán svými předpis. Ke kždé funkci přiřďte odpovídjící grf určete její D ( f ), H ( f ). ) f : b) f : c) f :
. LOGARITMICKÁ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE logritmická funkce, D f, grf, dekdický přirozený logritmus, definice logritmu, vět o logritmech, úprv logritmu n jiný zákld ) Nčrtněte grf funkce stnovte D ( f ), H ( f ). d) f : log ( ) e) f 7 : log 0, log e) f : log ( ) f) f 8 : log 0, f) f : log ( ) g) f 9 : ( ) ) f : log b) f : c) f : log log, 0 ) Určete v R definiční obor funkcí: ) f : log b) f : log d) f : c) f : log( ) e) f : log( ) log f) f : log( ) ) Uprvte: ) log b) ( log ) log c) ln 9 ) Řešte nerovnice: ) log( ) 0 c) log p b) log( ) f log( ) d) log p ) Řešte rovnice: log log ) ( ) ( ) e) log ( ) log( ) log( 9) b) log ( ) log f) log( ) log c) log( ) log( ) log( ) log ( 9) d) g) log log log log ( ) h) log log ) Vpočtěte: ) log log0 0 log b) log log 0, c) log log log d) 9 log 0, log ( log ) log 0, 7) Množin řešení rovnice log( log ) je: ) 0 b) c) ; d) { ;0, } e) { 0,;0}
. EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE eponenciální funkce, D, f H, grf f ) Nčrtněte grf funkce stnovte ( f ) H ( f ) ) f : b) f : c) f : D,. d) f : g) f 7 : e) f : g) f 8 : 0, 0, f) f : i) f 9 : 0, ) Určete v R definiční obor funkcí: ) f : b) f : c) f : ) Řešte nerovnice: ) b) f c) ) Řešte rovnice: ) 9 c) b) d) 0 g) 0 h) 0 e) f) 8 i) 9 90 j) 7 ) Definičním oborem funkce je: ) f b) c) 0 d) R e) 0 R, ) Oborem funkčních hodnot funkce je množin R, pro niž pltí ) f b) f 0 c) p d) R e) p 0 7) Určete řešení rovnice ) b) c) d) e) log 8) Všechn řešení nerovnice p jsou ) p b) 0 p p c) p d) f e) p 9) Jestliže, pk pltí ) / b) log c) log d) 0 e) /
. GONIOMETRICKÉ FUNKCE A ROVNICE jednotková kružnice, zákldní vlstnosti funkcí: sinus, kosinus, tngens kotngens, význmné hodnot goniometrických funkcí, periodičnost, sudost lichost funkcí ) Nčrtněte grf funkce stnovte D ( f ), H ( f ). ) f : sin d) f : cot g b) f : cos e) f : g) f 7 : sin( 0 ) sin h) f 8 : cos( 90 ) c) f : tg f) f : sin i) f 9 : sin ) Vpočítejte: π π π π sin cos sin cos ) π π tg cot g b) sin 0 cos0 sin tg ( 0 ) cos70 c) ( cos ) ( sin 0 tg 0 ) cos sin π ) Řešte v R rovnici: ) sin cos 0 c) ( 8 ) b) cos sin π cos d) ( ) sin ) Zjednodušte: ) ( ) cos sin d) sin sin cos cos b) cos e) c) tg f) sin cos cos cos ) Je-li π sin, pk ) b) c) d) e) neeistuje ) Je-li tg α, pk cot g α ) b) c) 0 d) e) neeistuje
. ŘEŠENÍ PRAVOÚHLÉHO TROJÚHELNÍKU Pthgorov vět, Euklidov vět, prvoúhlý trojúhelník ) Prvoúhlý ABC má přeponu c 0cm výšku v c 8cm. Jk velké úsek vtíná výšk v c n přeponě c? ) Vpočítejte obsh trojúhelník, je-li jeho obvod cm, nejkrtší strn má délku cm. Trojúhelník je prvoúhlý. ) Určete vzdálenost vrcholu obdélník od jeho úhlopříčk, jsou-li jeho strn cm, b 0cm. ) Úsek přepon prvoúhlého trojúhelníku mjí délk: c cm, c b 8cm. Určete výšku trojúhelníku délk jeho odvěsen. ) Je dán trojúhelník o strnách 8,9, 0 cm. O kolik cm je třeb zkrátit všechn strn, b z nich blo možno sestrojit trojúhelník prvoúhlý? ) Výšk prvoúhlého trojúhelníku ABC dělí přeponu AB n dvě části c mm, c b mm. Jkou velikost má úhel β. 7) Ve čtverci ABCD se strnou cm je S střed strn AD P pt kolmice sestrojené z bodu C k úsečce BS. Jk velká je úsečk CP? 8) Uprostřed válcové nádrže s průměrem dn,8 m roste rákos, který ční nd vodou délkou 8 cm. Nkloníme-li stéblo rákosu, doshuje jeho konec hldin vod právě u okrje nádrže. Vpočítejte hloubku nádrže délku rákosu. 9) Jedn odvěsn prvoúhlého trojúhelníku se změní o % druhá odvěsn se o 0% zvětší. Jk se změní obsh trojúhelníku? ) zmenší se o,% c) zvětší se o,% b) zmenší se o 9% d) zvětší se o % 0) Urči, jký je obvod prvoúhlého trojúhelníku s obshem cm, pro jehož vnitřní úhel α pltí tg α 0,7 : ),cm b), c) 0 cm d) cm e) jiné řešení
. ŘEŠENÍ OBECNÉHO TROJÚHELNÍKU sinov kosinov vět ) Vpočtěte osttní prvk ABC, je-li dáno: cm, β 0 0, γ 9 0. ) Řešte ABC, je-li dáno: 0m, b m, c m. ) Řešte ABC, je-li dáno: b 8cm, c cm, α 0. ) V jkém zorném úhlu se jeví předmět 0 m dlouhý pozorovteli, který je od jednoho konce vzdálen 0 m od druhého 70 m? ) Vpočítejte nejmenší vnitřní úhel o strnách, 8. ) Ve vzdálenosti v 8 m od břehu řek bl vtčen bod A, B tk, že AB c 80 m. Z těchto bodů bl změřen bod C n protějším břehu řek pod úhl CAB α 0 CBA β 0 (viz obr.). Vpočtěte šířku řek. 7) Letdlo letí ve výšce h, km k pozorovtelně. V okmžiku prvního měření blo vidět pod výškovým úhlem α 8, při druhém měření pod výškovým úhlem β 8. Určete vzdálenost, kterou proletělo letdlo mezi oběm měřeními (viz obr.) 8) Je-li ω úhel sevřený strnmi p, q trojúhelník, pk pro zbývjící strnu r pltí: ) r p q pq cosω b) r p q c) r p q pq cosω d) r p q pq sin ω e) r p q pqsin ω
. ARITMETICKÁ POSLOUPNOST vzth pro n-tý člen, diference, součet n-členů ) V ritmetické posloupnosti je dáno: ) 8, d, určete s 8 c),, určete s 8 b), 7, určete s d),, určete s ) Aritmetická posloupnost má členů. Poslední člen je 8, součet všech členů je 88. Vpočítejte první člen diferenci v ritmetické posloupnosti. ) Ve které ritmetické posloupnosti pltí s s 0? ) Kolik prvních členů ritmetické posloupnosti dává součet: ) 0, je-li, d c) 0, je-li, d b), je-li, d d) 80, je-li, 8 ) Délk strn prvoúhlého trojúhelník tvoří tři po sobě jdoucí člen ritmetické posloupnosti. Určete délku přepon, kdž: ) krtší odvěsn je cm b) rozdíl délek odvěsen je cm ) Plechovk jsou nrovnán v deseti řdách nd sebou. Kždá všší řd má o jednu plechovku méně. Ve spodní řdě je plechovek. Kolik je všech plechovek? 7) Ab součet všech přirozených čísel od jedné do n přesáhl 000 000, musí být n rovno lespoň: ) 000 b) c) d) 8) V soutěži bl z prvních míst vplcen odměn v celkové hodnotě 00 Kč. Nejvšší odměn bl z první místo, z dlší umístění se odměn postupně snižovl, vžd o stejnou částku. Které tvrzení je prvdivé? ) součet částek pouze z.. místo je roven 800 Kč b) součet částek pouze z.. místo je roven 00 Kč c) součet částek pouze z.. místo je větší než 00 Kč d) součet částek pouze z.. místo nelze jednoznčně určit 9) Součet všech lichých čísel od do 99 je: ) 0 b) 00 c) 00 d) 00 e) 800 0) Mezi čísl 7 je vloženo pět čísel tk, že těchto sedm čísel tvoří ritmetickou posloupnost. Prvním vloženým číslem je: ) b) 7 c)8 d)0 e)
7. GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST vzth pro n-tý člen, diference, součet n-členů ) V geometrické posloupnosti je dáno: ), q, určete, s c),, 8 8 q určete, s b), q, určete 0, s d), q, určete, s ) V geometrické posloupnosti je dáno, q, s 8. Určete n. n, n ) Určete první člen kvocient geometrické posloupnosti, ve které pltí: ) 0 b) 0 8 0 0 ) V geometrické posloupnosti s kvocientem je první člen, poslední člen 0. Kolik členů má dná posloupnost jký je součet jejich členů. ) V geometrické posloupnosti je třetí člen 8 šestý 8. Kolik členů má tto posloupnost, je-li její poslední člen 8. ) V geometrické posloupnosti je dán kvocient. q člen. Určete hodnot členů 7) Geometrická posloupnost, která má, q má ) n b) n c) n d) n n e) 8) Určete počet prvních n členů geometrické posloupnosti, pro kterou pltí: ), q, 97, n? n, q, n, n b)? 9) Roční přírůstk dřev v lese se odhdují n %. Objem dřev v lese se zdvojnásobí přibližně z: ) let b) 0 let c) let d) 0let e) 0 let 0) Při testu nového ntibiotik první dávk okmžitě zstvil množení bkterií kždá dlší dávk plikovná v osmihodinových intervlech okmžitě usmrtil 0% zbývjících bkterií. N zčátku eperimentu blo ve vzorku právě 0 bkterií. Kolik bkterií bude ve vzorku právě po 8 hodinách od plikce první dávk? ) 0 b) 0 c) 0 d) e)
8. KOMPLEXNÍ ČÍSLA definice kompl.čísl, bsolutní hodnot kompl.č., komplení jednotk, opčné kompl. č., komplení jednotk, lgebrický goniometrický tvr kompl. č., mocnin imginární jednotk, Moivreov vět, umocnění kompl. č. v goniometrickém tvru ) Vjádřete komplení číslo v goniometrickém tvru: ) i d) i b) i 7 7 e) 0, 0,i c) i ) Pomocí Moivreov vět vpočítejte z výsledek zpište v lgebrickém tvru: ) z i c) z i b) z i d) z i ) Vpočítejte: i i i i ) ( ) i i 7 c) ( i) i 7 8 d) i i i i i i i i 9 b) ( i ) ( i ) i ) V oboru kompleních čísel řešte rovnici: ) 0 c) 0 b) 0 9 0 d) 0 ) Sestvte kvdrtickou rovnici s reálnými koeficient, jejichž jeden kořen je komplení číslo : ) i b) i ) Komplení číslo cosπ isin π je rovno: ) b) i c) d) i e) 0 i 7) Komplení číslo je rovno: i ) b) i c) d) i e) 0
9. VARIACE, KOMBINACE, PERMUTACE n- fktoriál,permutce, vrice, kombince, vlstnosti kombinčních čísel ) Řešte rovnici n množině celých čísel, proveďte zkoušku: 0 ) c) 9 0 0 b) 0 ) Zjednodušte: n ) n! ( n )! ( n )! ( n )! ( n )! ( n )! b) ( n )! ( n )! ( n 7)! ( n )! n! ( n )! c) n! ( n )! ( n )!!! d)! ) Řešte rovnici: ( n )! n! ),( n )! n! ( n )! b),( n )! c) ( n )! ( n )! ( n )! ( n )! ) Zákzník si vbírá mteriál pro štní skříně jeden druh dřev jeden tp doplňků. V nbídce je 7 druhů světlého dřev, druhů tmvého dřev, dále tp doplňků vhodných jen pro světlé dřevo, tpů vhodných jen pro tmvé dřevo univerzální tp pro jkýkoliv druh dřev. Kolik vhodných dvojic (dřevo doplňk) je možné nbídnout? ) V pizzerii přidávjí n zákldní pizzu podle přání zákzník žmpion, nivu, oliv, srdele, cibuli, klobásu, šunku, ppričk nebo nns. Kolik různých způsobů ochucení pizz lespoň jednou přísdou je? ) Vljk má být složen ze tří různobrevných vodorovných pruhů, k dispozici jsou brv: červená, modrá, bílá, zelená žlutá. ) Jký je počet všech vljek, které lze z těchto brev sestvit? b) Jký je počet všech vljek, které nemjí modrý pruh uprostřed? 7) Jký je počet všech pěticiferných přirozených čísel, v jejichž dekdickém zápisu jsou kždé cifr různé? 8) Určete kolik způsob lze z 8 chlpců dívek sestvit šestičlenné volejblové družstvo, mjí-li v něm být: ) právě dívk b) lespoň dívk 9) Jký je počet všech pěticiferných přirozených čísel, v jejichž dekdickém zápisu je kždá z cifer,,, které jsou větší než 0 000? 0) Kolik způsob lze rozsdit studentů n míst v učebně? ) Je dáno bodů v rovině, z nichž žádné tři neleží n téže přímce. Kolik přímek je možné těmito bod určit?
0. BINOMICKÁ VĚTA Binomická vět, k-tý člen binomického rozvoje, Psclův trojúhelník. Vpočítejte: ) ( ) 7 b) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) e) ( i ) 8 f) ( k ) ( k). Určete šestý člen binomického rozvoje: ) b) ( ) c) d) e) ( b b)
. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA klsická definice prvděpodobnosti, jev: jistý, nemožný, opčný ) Jká je prvděpodobnost, že mezi čísl ž 0 je prvočíslo? ) Délk výrobků v milimetrech: 8, 99, 99, 99, 000, 998, 00, 998, 998, 999, 00, 998, 997, 899, 998. Určete vriční šířku souboru, ritmet.průměr, modus, medián. ) Mezi výrobk jsou zmetk. Vbereme výrobků. Jká je prvděpodobnost, že mezi nimi nebude zmetek? ) Určete průměrnou známku z mtemtik, znáte-li počet žáků průměr.známku ve třídě. tříd počet žáků průměrná známk z mtemtik.a,.b 0,0.C,.D 9,.E 0,8 ) Ze třiceti žáků jedné střední škol dosáhli ve fzice výborného prospěchu žáci, chvlitebného 0 žáků, dobrého žáků, dosttečného žáků nedosttečného žák. Jká je prvděpodobnost, že žák náhodně dotázný školním inspektorem bl ze skupin: ) výborných b) chvlitebných nebo dobrých c) lepších než dosttečných? ) Z blíčku hrcích kret (8 žludů, 8 zelených, 8 červených, 8kulí) náhodně vtáhneme kret. Jká je prvděpodobnost, že ) všechn krt budou žlud b) budou žlud červené krt? 7) Následující tbulk zchcuje měsíční příjem (v tisících Kč) změstnnců určité firm. Určete průměrný měsíční příjem medián. Která z obou chrkteristik je vhodnější? měsíční příjem 7 0 0 0 0 80 četnost 8) Test všeobecných vědomostí pslo žáků, nejlepších žáků získlo ze 00 možných bodů průměrně 7, bodu, nejhorších žáků získlo průměrně,8 bod. Jký bl průměrný bodový zisk osttních žáků, jestliže všech žáků získlo průměrně 7,8 bodu? 9) Jestliže ritmetický průměr dvnácti různých přirozených čísel je, potom největší z těchto čísel může být rovno nejvýše jkému číslu?
. ROVNICE PŘÍMKY, VEKTOR co je to vektor, směrový normálový vektor, prmetrická rovnice přímk, obecná rovnice přímk ) Npište obecnou rovnici přímk, která je určen bod: ) A [ ; ], B [ ;] b) A [ ; ], B [ ; ] ) Npište prmetrické rovnice přímek, n kterých leží strn trojúhelníku s vrchol A, B, C, je-li: ) A [ ; ], B [ 7; ], C [ ; ] b) A [ ; ], B [,9 ], C [ ; ] ) Jsou dán bod A [ ; ], B [ ; ]. Vpočítejte souřdnice bodu C, který leží n ose spolu s bod A B tvoří rovnormenný trojúhelník se zákldnou AB. ) Je dán přímk p : 0. Stnovte rovnici přímk: ) m, která prochází bodem M [ ;] je rovnoběžná s přímkou p. R ; je kolmá k přímce p. b) r, která prochází bodem [ ] ) Vzdálenost bodu [ 0, ] A od počátku souřdného sstému je: ) b) 0 c) 0 d) e) 8 ) Přímk 7 0 vtíná n ose úsek: ) b) 7 c) 7 d) 0 e) 7 / 7) Rovnice přímk, která prochází bodem A [,] počátkem souřdného sstému je: ) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 0 8) Přímk, která n ose vtíná úsek q 0, je hodnot její směrnice má rovnici: ) 0 b) 0 c) 0 d) e) 0 9) Přímk, která svírá se záporným směrem os úhel n ose vtíná úsek q má rovnici: ) b) c) d) e) jiné řešení 0) Přímk o rovnici b c m 0 má rovnici: ) c / b b) b / c c) m / c d) m / c e) c / m
. VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK, ODCHYLKA DVOU PŘÍMEK odchlk dvou přímek, vzájemná poloh přímek v rovině ) Npište rovnici přímk p, která prochází bodem A je kolmá k přímce q : ) A [ ; ], q : 0 b) A [ ;7], q : 8 0 ) Vpočítejte odchlku přímek p q : ) p : t, t R q : r, r R t 9r b) p : t, t R q : t c) p : 0 q : 0 d) p : t, t R t q : 7 ) Určete vzájemnou polohu přímek p q : ) p : 0 q : t, t R t b) p : 0 q : 0 c) p : 0 q : 0 d) p : 0 q : 8 0 0 e) p : t, t R q : t, t R t t ) Npište obecnou rovnici přímk, která prochází bodem A je rovnoběžná s přímkou KL:,, K,, L, A,, K,, L, ) A [ ] [ ] [ ] b) [ ] [ ] [ ] ) Npište obecnou rovnici os úsečk AB:,, B, ) A [ ] [ ] b) A [ 7, ], B[, ]
. VZÁJEMNÁ POLOHA BODU A PŘÍMKY vzdálenost bodu od přímk, postup při počítání vzdálenosti dvou rovnoběžných přímek ) Určete vzdálenost rovnoběžek p, q : ) p : 0 q : 0 b) p : q :, 0 c) p : t, t R q : 0 t ) Je dán rovnice přímk : 0 ) který z bodů A, B leží n přímce p p bod A [ ; ], B [ ;] b) chbějící souřdnice bodu D [ d,9], b D p c) vzdálenost bodů A, B od přímk p, určete: ) V trojúhelníku ABC, kde [ ; ], B[ ; ], C[ ; ] k výpočtu obshu trojúhelníku. A vpočítejte výšku v c pk ji vužijte ) V trojúhelníku ABC, [ ; ], B[ 7;8 ], C[ 9;], obsh ABC. A určete výšku v, vpočítejte s její pomocí ) Je dán přímk q : t, t, t R. Určete její vzdálenost od rovnoběžné přímk p procházející počátkem souřdnicového sstému.
. KUŽELOSEČKY kružnice, elipse, hperbol, prbol - nákres, popis, střed, délk poloos, ecentricit, obecná prmetrická rovnice ) Npište rovnici kružnice ve středovém i obecném tvru, má-li střed S prochází bodem A. ) S [ ; ], A[ ; ] c) S[ ; ], A[ ;0] b) S [ ; ], A[ ; ] d) S[ 0; ], A[ ;0] ) Npište rovnici elips ve středovém tvru, která prochází bod, B, S[ 0;0] ) A [ 8; ], B[ ;] b) A [ ; ], B[ ; ] A : ) Zjistěte, zd rovnice je rovnicí elips. Je-li tomu tk, určete její střed délk os. ) 8 0 b) 0 0 c) 9 8 7 0 ) Je dán kružnice o rovnici bod A [ 0,]. Rozhodněte o poloze bodu A vzhledem ke kružnici: ) leží vně kružnice b) leží uvnitř kružnice c) nelze rozhodnout d) leží n kružnici
. VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A KUŽELOSEČKY počet společných bodů, způsob řešení ) Určete souřdnice společných bodů přímk kuželosečk k : ) p : 0 k : 0 b) p : t, t R k : 8 0 t c) p : 0 k : d) : p k : ( ) ( ) ) Určete číslo m tk, b přímk m 0 bl tečnou kružnice k :.
7. ÚLOHA Z PRAXE Pro DN ) Desk váží 7,kg při vlhkosti,%. Vpočtěte: ) kolik kg vod musíme odpřit, má-li se vsušit n vlhkost 0 %. b) kolik vod musí tkto vsušená desk přijmout, b měl vlhkost %. ) Pilřský výřez redukcí uprvený n válec má průměr cm délku,m. Při redukci bl z obvodu odebrán vrstv dřev o průměrné tloušťce odpdu vzniklého redukcí. mm. Vpočítejte % ) Vpočítejte průměr průřezu % výtěže pro výrobu hrnolu čtvercového průřezu, jestliže vsušený hrnol má být široký b 0mm dlouhý m (délk hrnoludélk výřezu). Přídvek n seschání v šířce hrnolu je,8mm. Pro SP N obr. je půdors obvodové zdi. Konstrukční výšk podlží je 8 cm. Vpočtěte objem zdiv spotřebu občejných cihel mlt u zdi A C u celé zdi. N m počítejte 80 ks cihel 0,8m mlt.
8. UKÁZKY PŘIJÍMACÍCH TESTŮ NA VŠ u testu je správná vžd pouze jedn odpověď TEST (FSI VUT v Brně) str. ) Je-li > 0, pk ) b) c) d) e) b ) ) b) c) d) e) b ) Nerovnice > má řešení ) < b) > c) < d) > e) > b ) Řešením nerovnice 0 je ) R b) 0 c) d) 0; e) nemá řešení b ) Rovnice 0 je rovnicí ) elips b) hperbol c) kružnice d) úsečk e) prbol b ) Přímk o rovnicích p : 0 ; q : 0 mjí společné právě: ) dv bod b) jeden bod c) žádný bod d) všechn bod e) nelze rozhodnout b 7) Množin všech bodů v prostoru stejně vzdálených od dvou různých pevných bodů je ) os souměrnosti b) rovin souměrnosti c) neeistuje d) koule e) kružnice b 8) Řešením rovnice sin sin( ) 0 jsou právě všechn R, pro která pltí ( k je celé číslo) b π o ) π kπ b) kπ c) R d) rovnice nemá řešení e) 0 9) Je-li sin cos, 0; π, potom π π ) 0 b) c) d) 0) 7 ( ) ( 7) ( ) ) 7 0 b) ( 0 ) c) ( ) π e) π 7 d) 0 e) není definováno b b
str. ) Rovnice 0 má v oboru kompleních čísel právě b ) čtři kořen b) tři kořen c) dv kořen d) jeden kořen e) žádný kořen log ) Nerovnice < má řešení ) > b) 0 < < c) < d) > e) < b ) Řešeními nerovnice jsou právě všechn R, pro která pltí ) 0 b) c) d) e) b ) n -tý člen geometrické posloupnosti ; q je ) n n b) n n c) n n d) n n e) n n b ) V desetilitrové nádobě je 8 litrů vod. Kolik procent objemu nádob bude tvořit její prázdná část, jestliže z ní vlejeme litrů? ) 80 b) c) 0 d) 7 e) 0 b ) Výrz je pro > 0 roven ) b) c) d) e) b 7) Výrz je kldný pro 9 ; ) všechn b) ( ) c) ( ;) d) > 0 e) není kldný pro žádné b 8) Součet všech vnitřních úhlů pětiúhelník je roven )80 o b) 70 o c) 0 o d) 0 o e) 70 o b 9) Výrz cos lze uprvit n tvr ) 0 b) sin c) sin d) 0) Je-li log, pk log sin e) sin ) ± 0. b) c) 0 d) ± 0 e) 0 b b b), b), b), d), e), b), 7b), 8c), 9b), 0e), ), b), c), b), ), b), 7c), 8d), 9e), 0c)
. tg cot g ) sin cos b) TEST (FAST VUT v Brně) str. c) d) sin cos sin e). sin cos. Všechn řešení nerovnice log p 0 jsou ) p 0 b) p c) ( 0;) d) ; e) žádné reálné.. Které reálné číslo je řešením rovnice ) 0 b) c) / d) nemá řešení e) /.. Střed kružnice vepsné obecnému trojúhelníku je v průsečíku ) výšek b) os strn c) os úhlů d) těžnic e) neeistuje.. Přímk o rovnici b c m 0 má směrnici ) c b) b b m c) c c d) m m e). c b. ln ) ln b) ln c) d) ln e). 7. Je-li cos 0,; 0; π /, pk tg ) b) c) d) e) není definován. 8. Kvdrtická rovnice 0 má jeden kořen i, druhý kořen je ) b) i c) i d) i e) i. 9. ) b) c) 0 d) e). 0. Všechn řešení nerovnice p 0 jsou reálná čísl,pro něž pltí ) f b) p c) d) R e) nerovnice nemá řešení.
. Dělení kompleních čísel ) i b) i str. i dostneme i c) i d) i e).. ) 70 b) 0 c) d) / e) 0.. Poměr obshu kruhu o poloměru r k délce jeho hrniční kružnice je ) π : r b) r π c) : r d) r : e) r : π.. Usměrněte zlomek, výsledek ) b) c) d) e).. Objem krchle o hrně ( ) je roven ) b) c) d) e).. Přičteme-li k číslům,7,7 stejné číslo, vzniknou první tři člen geometrické posloupnosti, jsou to ),0,0 b),9,8 c),8, d),9, e),7,. 0 7. 7 ) / b) / c) 0 d) / 7 e). 8. N souřdné ose určete všechn bod, které mjí od bodu [ 0;] ) [ ;0] b) [ ;] c) [ 0 ;7] d) [ 0;7 ], [ 0; ] e) [ ; ] A vzdálenost rovnou. 0. 9. V ritmetické posloupnosti je 0,, první člen této posloupnosti je ) 0 b) c) d) e). 0. V oboru reálných čísel řešte rovnici, ) 9; b) 0;7 c) -0;-7 d) e) nemá řešení d), c), c), c), b), b), 7c), 8d), 9), 0e), d), e), d), e), e), ), 7c), 8d), 9e), 0e).
TEST (MZLU v Brně). Výrz A. : B. je pro přípustné hodnot proměnných roven: C. D. ( ) E... Rovnice 8 0 má v oboru kompleních čísel řešení: A., ± i B., ± i C. nemá řešení D., ± i E. nekonečně mnoho.. Množin všech řešení nerovnice 8 8 A., (, ) B.,) 8 D. v oboru R je:, E. (, ) C. (, ) 8,.. Rovnostrnný kužel má výšku v. Jeho povrch je: A. π v B. π r C. π v D. πv E. π v. Funkce A. (,) log má v množině reálných čísel definiční obor: B. (, ) (, ) C. (,) D., E. (, ),.. Součet všech dvojciferných sudých přirozených čísel je: A. 7 B. 0 C. 700 D. 9 E. 970. n 7. Výrz n je pro přípustné hodnot přirozeného čísl n roven: n A. n n B. n n C. ( n ) ( n ) D. E. n 8. Rovnice ( sin ) cos má v oboru R pro přípustné hodnot řešení: π π π π A. kπ, kπ B. kπ, kπ π π π π C. kπ, kπ D. kπ, kπ π π E. kπ, kπ
9. Přímk, která prochází bodem A [, ] je kolmá n přímku p KL, K[, ], L[,], má obecnou rovnici: A. 7 0 B. 0 C. 0 D. 8 0 E. 0 0. Rovnice má v oboru R řešení: A. B., C. 0, D., E.,