POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Prostějov 2010
2 Posloupnosti Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí. Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.
Posloupnosti 3 Obsah Posloupnosti a řady... 5 Posloupnosti a jejich vlastnosti... 5 Posloupnosti a jejich vlastnosti... 7 Varianta A... 7 Posloupnosti a jejich vlastnosti... 8 Varianta B... 8 Posloupnosti a jejich vlastnosti... 9 Varianta C... 9 Aritmetická posloupnost... 10 Aritmetická posloupnost... 11 Varianta A... 11 Aritmetická posloupnost... 13 Varianta B... 13 Aritmetická posloupnost... 15 Varianta C... 15 Geometrická posloupnost... 17 Geometrická posloupnost... 18 Varianta A... 18 Geometrická posloupnost... 20 Varianta B... 20 Geometrická posloupnost... 22 Varianta C... 22 Limita posloupnosti... 24 Limita posloupnosti... 29 Varianta A... 29 Limita posloupnosti... 31
4 Posloupnosti Varianta B... 31 Limita posloupnosti... 33 Varianta C... 33 Nekonečná geometrická řada... 35 Nekonečná geometrická řada... 37 Varianta A... 37 Nekonečná geometrická řada... 39 Varianta B... 39 Nekonečná geometrická řada... 41 Varianta C... 41
Posloupnosti 5 Posloupnosti a řady Posloupnosti a jejich vlastnosti Definice funkce Funkce na množině je předpis, který každému číslu z množiny přiřazuje právě jedno reálné číslo. Množina se nazývá definiční obor funkce. Definice posloupnosti Každá funkce, jejímž definičním oborem je množina všech přirozených čísel, se nazývá nekonečná posloupnost. Každá funkce, jejíž definiční obor je množina všech přirozených čísel, kde 0 je pevně dané číslo z, se nazývá konečná posloupnost. Rozdílný způsob zápisu u funkce a posloupnosti: Funkce Posloupnosti Hodnota funkce v bodě 3 je 8 hodnota posloupnosti v bodě 3 je 8 3 8 3 8 (čteme: třetí člen posloupnosti je 8) Hodnota funkce v bodě n je 0 (čteme: n-tý člen posloupnosti je 0) 0 Zápis funkce: : 2 1 Zápis posloupnosti: 21 Zápis posloupnosti 1.) vzorcem pro n-tý člen.. např. 3 1 ; 5 2 2.) rekurentně (v latině recurrere = vraceti se) V posloupnosti jsou dány první člen nebo první členy a vzorec, podle kterého vypočítáme další členy na základě znalosti členů předchozích. Nevýhodou je, že libovolný člen posloupnosti můžeme určit jen tehdy, jestliže známe předcházející členy.
6 Posloupnosti Vlastnosti posloupností Posloupnost 1 se nazývá rostoucí, právě když pro všechna, platí: Je-li, pak. Posloupnost 1 se nazývá klesající, právě když pro všechna, platí: Je-li, pak. Posloupnost 1 je rostoucí, právě když pro všechna je 1. Posloupnost 1 je klesající, právě když pro všechna je 1. Posloupnost 1 se nazývá neklesající, právě když pro všechna přirozená čísla, platí: Je-li, pak. Posloupnost 1 se nazývá nerostoucí, právě když pro všechna přirozená čísla, platí: Je-li, pak. Posloupnost 1 je neklesající, právě když pro všechna je 1. Posloupnost 1 je nerostoucí, právě když pro všechna je 1. Každá rostoucí posloupnost je neklesající. Každá klesající posloupnost je nerostoucí. Posloupnosti, které jsou nerostoucí nebo neklesající, se nazývají monotónní posloupnosti. Posloupnost 1 se nazývá shora omezená, právě když existuje reálné číslo takové, že pro všechna je. Posloupnost 1 se nazývá zdola omezená, právě když existuje reálné číslo takové, že pro všechna je. Posloupnost se nazývá omezená, je-li omezená shora a zároveň zdola.
Posloupnosti 7 Posloupnosti a jejich vlastnosti Varianta A Vypište prvních sedm členů posloupnosti zadané rekurentně: 5, ;. 5 1 2 10 3 4 5 6 Varianta A Varianta B Varianta C 16 Výsledek řešení: 5; ; 10; ; ; ;16 Příklady k procvičení: 1.) Vypište prvních sedm členů posloupnosti zadané rekurentně: 1, 1, ;. Řešení: 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1 2.) Vypište prvních sedm členů posloupnosti zadané rekurentně: 1, 2, 8;. Řešení: 1; 2; 4; 1; 2; 4; 1 3.) Vypište prvních šest členů posloupnosti dané rekurentně: 3, 2;. Řešení: 3; 5; 7; 9; 11; 13 4.) Vypište prvních šest členů posloupnosti dané rekurentně: 3, 2 ;. Řešení: 3; 6; 12; 24; 48; 96
8 Posloupnosti Posloupnosti a jejich vlastnosti Varianta B Posloupnost vyjádřenou vzorcem pro -tý člen vyjádřete rekurentně. 2 ; 2; 2 1 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 2; Příklady k procvičení: 1.) Posloupnost vyjádřenou vzorcem pro -tý člen 2 vyjádřete rekurentně. Řešení: 3, 1 2.) Posloupnost vyjádřenou vzorcem pro -tý člen 2 vyjádřete rekurentně. Řešení: 2, 2 3.) Posloupnost vyjádřenou vzorcem pro -tý člen 2 vyjádřete rekurentně. Řešení: 2, 2 4.) Posloupnost vyjádřenou vzorcem pro -tý člen 2 vyjádřete rekurentně. Řešení: 2,
Posloupnosti 9 Posloupnosti a jejich vlastnosti Varianta C Rozhodněte, zda je posloupnost 24 rostoucí či klesající. 24 1 2 1 4 2423 Posloupnost je rostoucí, protože pro každé je 2423 2 4 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Posloupnost je rostoucí. Příklady k procvičení: 1.) Rozhodněte, zda je posloupnost 2 3 rostoucí či klesající. Řešení: Posloupnost je klesající. 2.) Rozhodněte, zda je posloupnost 44 rostoucí či klesající. Řešení: Posloupnost je klesající od druhého členu. 3.) Rozhodněte, zda je posloupnost rostoucí či klesající. Řešení: Posloupnost je rostoucí. 4.) Rozhodněte, zda je posloupnost Řešení: Posloupnost je klesající. rostoucí či klesající.
10 Posloupnosti Aritmetická posloupnost Jde o speciální typ posloupnosti. Posloupnost 1 se nazývá aritmetická, právě když existuje takové reálné číslo, že pro každé přirozené číslo je 1 Číslo se nazývá diference posloupnosti. Platí tedy pro každé, že 1 V aritmetické posloupnosti platí: 1 1 ; š, Pro součet prvních členů aritmetické posloupnosti 1, tedy pro 1 2 3 platí 2 1 Vlastnosti aritmetických posloupností Aritmetická posloupnost s diferencí je rostoucí pro 0 a klesající pro 0. Pro aritmetickou posloupnost s diferencí platí: a) je-li 0, pak je zdola omezená, ale není shora omezená. b) je-li 0, pak je shora omezená, ale není zdola omezená c) je-li 0, pak je omezená shora i zdola.
Posloupnosti 11 Aritmetická posloupnost Varianta A Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, ve které platí: 10 : 2 Vyjádříme všechny členy v soustavě rovnic pomocí prvního členu: 3 4 6 710 20 2 Po úpravě dostaneme soustavu 4 20 10 20 2 Z druhé rovnice plyne, že 20, což dosadíme do rovnice první Dopočítáme první člen Řešení úlohy tedy je: 2,0,1. 4 20 20 10 100 10 0,1 20 0,12 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 2,0,1.
12 Posloupnosti Příklady k procvičení: 1.) V aritmetické posloupnosti je 20, 4. Kolikátý člen je roven číslu 100? Řešení: 21. člen 2.) Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, ve které platí: 2 8 Řešení: 3,2 3.) Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, ve které platí: Řešení:, 2 4.) Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, ve které platí: 6 15 Řešení: NŘ
Posloupnosti 13 Aritmetická posloupnost Varianta B Řešte rovnici s neznámou : 5 6 15 16 25 26 1 221 Na levé straně máme dvě aritmetické posloupnosti (liché členy a sudé členy), obě s diferencí 10. Určíme součet lichých členů 2 2 1 Obdobně určíme součet sudých členů 55 110 2 66 110 2 a dosadíme do původní rovnice 2 55 110 66 110 1 221 2 Upravíme 2 10 10 10 12 10 10 1 221 2 5 5 1 221 10 1 2210, 1 1 4 10 1 221 2 10 1 48 841 20 1 221 20 Neznámá musí být z množiny přirozených čísel, takže rovnice má pro nás pouze jedno řešení, přicházející v úvahu 11 Takže je 22. člen na levé straně, což je jedenáctý člen posloupnosti tvořené ze sudých členů, proto Varianta A Varianta B Varianta C 10 6 100 106 Výsledek řešení: 106
14 Posloupnosti Příklady k procvičení: 1.) Řešte rovnici s neznámou : Řešení: 32 2.) Řešte rovnici s neznámou : Řešení: 96 3.) Řešte nerovnici s neznámou : 468270 1611162126970 369123999 Řešení: 26; 27; 28; 4.) Určete součet všech přirozených čísel, která vyhovují nerovnici 12 2 15 55 50 10 3 3 Řešení: 59 1 711
Posloupnosti 15 Aritmetická posloupnost Varianta C V aritmetické posloupnosti známe třetí člen 18. Určete podmínku pro diferenci tak, aby platilo 150. Vyjádříme součet prvních devíti členů První člen vyjádříme pomocí třetího členu 9 2 2182 Devátý člen vyjádříme pomocí třetího členu Dosadíme do součtu 6186 9 18 2 18 6 2 Součet má být menší nebo roven 150 9 36 4 150 2 918 2 150 18 2 50 3 2 50 3 18 2 4 3 2 3 Varianta A Varianta B Výsledek řešení: Varianta C
16 Posloupnosti Příklady k procvičení: 1.) Tři čísla, která tvoří tři následující členy aritmetické posloupnosti, mají součet 60 a součin 7 500. Určete tato čísla. Řešení: 15; 20; 25 2.) Mezi kořeny kvadratické rovnice 10 16 0 vložte čtyři čísla tak, aby spolu s vypočtenými kořeny vzniklo šest následujících členů aritmetické posloupnosti. Řešení: 2; 3,2; 4,4; 5,6; 6,8; 8 3.) V aritmetické posloupnosti určete první člen a diferenci, víte-li, že platí: 60 170. Řešení: 8,2 4.) V aritmetické posloupnosti je první člen 10 a diference 2. Vypočítejte člen, který je roven jedné šestině součtu všech členů předchozích. Řešení: 4, 30
Posloupnosti 17 Geometrická posloupnost Jde o další speciální typ posloupnosti. Posloupnost 1 se nazývá geometrická, právě když existuje takové reálné číslo, že pro každé přirozené číslo je 1 Číslo se nazývá kvocient geometrické posloupnosti. Platí tedy pro každé, že V geometrické posloupnosti platí: 1 1 1 š, Pro součet prvních členů geometrické posloupnosti 1 s kvocientem platí: a) je-li 1, pak b) je-li 1, pak 1 1 1 1 Vlastnosti geometrických posloupností Geometrická posloupnost 1 s kvocientem je a) rostoucí, právě když 1 0,1 nebo 1 0,1 b) klesající, právě když 1 0; 01 nebo 1 0,1 Geometrická posloupnost 1 s kvocientem a) je omezená, právě když 1 nebo 1 0 b) je zdola omezená, ale není shora omezená, právě když 1 0,1 c) je shora omezená, ale není zdola omezená, právě když 1 0,1 d) není omezená ani shora, ani zdola, právě když 1 0,1
18 Posloupnosti Geometrická posloupnost Varianta A Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, ve které platí: 9 10 Vyjádříme všechny členy v soustavě pomocí prvního členu a dosadíme do soustavy Po úpravě ; 9 10 9 10 Z druhé rovnice vyjádříme neznámou a dosadíme do první rovnice 10 100 9 Upravíme 100 1 9 Po zkrácení dostáváme 100 91 100 9 18 9
Posloupnosti 19 Máme kvadratickou rovnici 9 82 9 0, 82 82 4 9 9 2 9 82 80 18 Úloha má tedy dvě řešení: ; 81 nebo 9; Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: ; 81 nebo 9; Příklady k procvičení: 1.) Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, ve které platí: 1,5 40,5 Řešení: 0,5;3 2.) Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, ve které platí: 110 220 Řešení: 22; 2 3.) Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, ve které platí: 360 144 Řešení: 3;2 3 072; 4.) V geometrické posloupnosti je 64,. Kolikátý člen je roven číslu? Řešení: 12. člen
20 Posloupnosti Geometrická posloupnost Varianta B Vypočítejte součet prvních deseti členů geometrické posloupnosti, ve které platí: 16; 4 Určíme kvocient geometrické posloupnosti jako podíl druhého a prvního členu 4 16 1 4 Nyní můžeme použít vzorec pro součet členů geometrické posloupnosti 1 1 do kterého dosadíme 16 1 4 1 1 16 4 1 1 048 575 1 048 576 5 4 64 5 1 048 575 209 715 1 048 576 16 384 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte součet prvních devíti členů geometrické posloupnosti, ve které platí: 8,1 Řešení: 72 2.) Vypočítejte součet prvních jedenácti členů geometrické posloupnosti, ve které platí: Řešení: 1 366 2,2
Posloupnosti 21 3.) Vypočítejte součet prvních deseti členů geometrické posloupnosti, ve které platí: 6,1 Řešení: 0 4.) V geometrické posloupnosti známe první člen a kvocient 2. Určete tak, aby platilo 8 200. Řešení: 10
22 Posloupnosti Geometrická posloupnost Varianta C Délky hran kvádru tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti, součet délek všech hran kvádru je 84 cm. Vypočítejte povrch kvádru, víte-li, že jeho objem je 64. Označme hrany kvádru,, postupně,,. Objem kvádru je dán vztahem Po dosazení 64 4 Součet všech hran kvádru o stranách,, je 4 4 4 Po dosazení Dosadíme 4 Po úpravě 4 4 4 84 16 16 16 84 16 68 16 0 4 17 4 0, 17 17 4 4 4 2 4 17 15 8 4; 1 4
Posloupnosti 23 Hledané délky hran kvádru jsou: 1, 4, 16 Můžeme tedy vypočítat povrch podle vzorce 2 21 41 164 16 168 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 168 Příklady k procvičení: 1.) Mezi kořeny kvadratické rovnice 10 16 0 vložte čtyři čísla tak, aby spolu s vypočítanými kořeny vzniklo šest následujících členů geometrické posloupnosti. Řešení: 2; 2 4 ;2 16;4 2;4 8;8 2.) V geometrické posloupnosti s prvním členem 36 určete kvocient tak, aby platilo: Řešení: 3; 2 252 3.) V geometrické posloupnosti platí: 9. Určete,. Řešení: \0, 2 4.) Součet prvních tří členů geometrické posloupnosti je 38, součet následujících tří členů této posloupnosti je. Vypočítejte,,. Řešení: 18,,
24 Posloupnosti Limita posloupnosti Pojem limita posloupnosti je dosti náročný, proto si ho objasníme nejprve na příkladu: Vypište prvních šest členů posloupnosti, 1 2 a vyznačte jejich obrazy v soustavě souřadnic. Určíme prvních šest členů dosazením do předpisu posloupnosti za. 9 5 ; 21 10 ; 29 15 ; 41 20 ; 49 25 ; 61 30 Z obrázku vidíme, že prvních šest členů posloupnosti se stále více přibližuje číslu 2. Lze říci, že se postupně zmenšuje vzdálenost obrazu členů posloupnosti od čísla 2. Vypočítáme si 2 pro prvních šest členů posloupnosti: 2 1 5 2 1 20 2 1 10 2 1 25 2 1 15 2 1 30
Pokusme se dokázat, že pro všechna přirozená čísla 7 je 2 1 1 5 2 21 1 5 2 1 5 Vypočítáme tedy všechna, pro která platí 2 Tedy 1 5 1 30 6 Pro všechna přirozená čísla 7 je 2. Zkusme zvolit ještě menší číslo než, např. 10, a pokusme se najít přirozené číslo takové, aby pro všechna přirozená čísla platilo 2 10. 2 10 1 5 10 5 10 000 2 000 To znamená, že podmínka je splněna od 2 001. členu. Je tedy zřejmé, že ať zvolíme jakékoliv kladné reálné číslo ε, vždy najdeme takové, že pro všechna je 2. Říkáme, že posloupnost, 1 2 je konvergentní a číslo 2 nazýváme limita této posloupnosti. Zapisujeme lim 1 1 5 22 Říkáme, že posloupnost je konvergentní, právě když existuje číslo takové, že platí: Ke každému 0 existuje tak, že pro všechna přirozená čísla je. Číslo se nazývá limita posloupnosti. Zapisujeme lim (čteme: limita pro n jdoucí k nekonečnu je rovna a). Posloupnosti, které nejsou konvergentní, se nazývají divergentní.
26 Posloupnosti Definici limity můžeme vyslovit také takto: Číslo se nazývá limita posloupnosti, právě když ke každému kladnému číslu ε existuje tak, že pro všechna přirozená čísla platí. Definici konvergence posloupnosti můžeme zapsat také takto: Říkáme, že posloupnost je konvergentní, právě když existuje číslo takové, že platí: Ke každému ε 0 existuje tak, že pro všechna přirozená čísla je ;. Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Každá konvergentní posloupnost je omezená. Věty o limitách posloupností 1.) Jestliže posloupnosti, jsou konvergentní a přitom lim,lim pak je konvergentní i posloupnost a platí: lim lim lim 2.) Jestliže posloupnost je konvergentní a je divergentní, pak je divergentní i posloupnost. 3.) Jsou-li, konvergentní posloupnosti, a platí lim,lim pak je konvergentní i posloupnost a platí: lim lim lim
Posloupnosti 27 4.) Jestliže posloupnosti, jsou konvergentní a přitom lim,lim pak je konvergentní i posloupnost a platí: lim lim lim 5.) Je-li posloupnost konvergentní a platí lim pak je konvergentní i posloupnost, kde je libovolné reálné číslo a platí lim lim 6.) Jsou-li, konvergentní posloupnosti, a platí lim,lim a přitom 0 a 0 pro všechna, pak je konvergentní i posloupnost a platí: lim lim lim 7.) Platí, že je konvergentní posloupnost a 1 lim 0 Konvergence aritmetických a geometrických posloupností Aritmetická posloupnost Aritmetické posloupnosti s diferencí 0 jsou konvergentní, aritmetické posloupnosti s diferencí 0 nejsou omezené, proto jsou divergentní. Geometrická posloupnost
28 Posloupnosti Geometrická posloupnost, ve které je 1, není omezená, a proto není konvergentní. Geometrická posloupnost s kvocientem 1 je konvergentní, její limita je 1. Geometrická posloupnost, ve které je 1, je konvergentní a její limita je 0. Nevlastní limita posloupnosti Říkáme, že posloupnost má nevlastní limitu plus nekonečno, právě když pro každé reálné číslo existuje takové, že pro všechna přirozená čísla je. Zapisujeme lim Říkáme, že posloupnost má nevlastní limitu minus nekonečno, právě když pro každé reálné číslo existuje takové, že pro všechna přirozená čísla je. Zapisujeme lim Posloupnosti, které mají nevlastní limitu nebo, nepatří mezi konvergentní posloupnosti; jsou to posloupnosti divergentní. Pokud tedy používáme pojem limita, máme vždy na mysli vlastní limitu. Pro každou posloupnost nastane právě jeden z těchto případů: 1.) Posloupnost je konvergentní a její limitou je nějaké reálné číslo : lim 2.) Posloupnost je divergentní a má nevlastní limitu : lim 3.) Posloupnost je divergentní a má nevlastní limitu : lim 4.) Posloupnost je divergentní a přitom nemá ani nevlastní limitu, ani nevlastní limitu.
Posloupnosti 29 Limita posloupnosti Varianta A Je dána posloupnost,. a) vypište prvních devět členů této posloupnosti b) dokažte, že pro všechna je 1; 2. c) ověřte, že pro všechna přirozená čísla 10 je 1 d) je-li posloupnost konvergentní, určete její limitu a) 2; ; 0; ; ; ; ; ; b) 1 2 3 3 2 c) 3 0 1 CBD 1 d) 6 CBD 3 3 lim lim 3 lim 1 1 3 lim lim lim 1 1 01 1 1 Varianta A Varianta B Varianta C
30 Posloupnosti Příklady k procvičení: 1.) Je dána posloupnost,. Posloupnost je konvergentní, její limita je 1. Zvolte 1 a určete všechna, pro která platí 1. Řešení: 2.) J e dána posloupnost,. Posloupnost je konvergentní, její limita je 1. Zvolte 0,5 a určete všechna, pro která platí 1. Řešení: 1 3.) J e dána posloupnost,. Posloupnost je konvergentní, její limita je 1. Zvolte 5 10 a určete všechna, pro která platí 1. Řešení: 19 4.) Je dána posloupnost 0,2. Řešení:, 0,2 10,. Ověřte, že pro všechna přirozená čísla 10 je,
Posloupnosti 31 Limita posloupnosti Varianta B Rozhodněte, které z posloupností jsou konvergentní a určete jejich limity. a) b) c) d) a) posloupnost je konvergentní b) posloupnost je divergentní 5 5 3 3 lim lim 0 1 c) posloupnost je konvergentní d) posloupnost je konvergentní 3 57 lim 2 lim 6 3 5 7 2 6 3 2 5 5 8 6 8 lim 7 lim 6 3 7 3 0 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:a) K; 0. b) D. c) K;. d) K; 0.
32 Posloupnosti Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte: Řešení: 3 2.) Vypočítejte: Řešení: 0 3.) Vypočítejte: Řešení: 0 4.) Vypočítejte: Řešení: 4 lim 31 lim 7 5 lim 6 lim 1 4
Posloupnosti 33 Limita posloupnosti Varianta C Vypočítejte: 12 lim 2 3 V čitateli máme aritmetickou posloupnost s diferencí 1, takže určíme její součet. 2 1 Dosadíme do čitatele lim 2 1 2 3 lim 1 4 6 lim 1 4 6 1 4 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte: Řešení: 3 2.) Vypočítejte: Řešení: 0 3 2 lim 1 2 lim 2 1 2
34 Posloupnosti 3.)Vypočítejte: lim 2 2 2 Řešení: 4.) Vypočítejte: lim 1 2 3 Řešení:
Posloupnosti 35 Nekonečná geometrická řada Je dána geometrická posloupnost, pro jejíž koeficient platí 1. Vytvořme posloupnost částečných součtů: Lze dokázat, že tato posloupnost je konvergentní. Je-li geometrická posloupnost, pro jejíž kvocient platí 1, pak posloupnost, je konvergentní a platí lim 1. Důkaz: Protože 1, je posloupnost konvergentní a její limita je 0. Vypočítáme tedy limitu posloupnosti. lim lim 1 1 1 lim lim 1 0 1 1 1 Nekonečnou geometrickou řadou se nazývá symbol který se zapisuje též ve tvaru, a čteme suma od rovno jedné do nekonečna. Pokud je posloupnost konvergentní, říkáme, že nekonečná řada je konvergentní, a limitu nazýváme součet nekonečné řady. Jestliže posloupnost je divergentní, říkáme, že nekonečná řada je divergentní.
36 Posloupnosti Je-li nekonečná řada konvergentní a je-li její součet roven, pak zapisujeme Symbolem sumy tedy označujeme nejen nekonečnou řadu, ale také její součet, pokud existuje. Nekonečná geometrická řada, ve které 0, je konvergentní, právě když pro její kvocient platí 1. Pro součet konvergentní nekonečné geometrické řady platí 1
Posloupnosti 37 Nekonečná geometrická řada Varianta A Periodické číslo 5,487 zapište zlomkem v základním tvaru. Číslo 5,487 můžeme zapsat ve tvaru: 54 10 87 10 87 10 87 10 Uvažujme tedy nekonečnou geometrickou řadu čili řadu 87 10 87 10 87 10 87 10 Jde o nekonečnou geometrickou řadu s kvocientem 10. Tato řada je konvergentní ( 1) a její součet 87 10 1 110 87 1000 99 100 Takže číslo 5,487 můžeme zapsat ve tvaru 54 10 87 990 5 433 990 1811 330 87 990 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:
38 Posloupnosti Příklady k procvičení: 1.) Periodické číslo 0; 8 zapište zlomkem v základním tvaru. Řešení: 2.) Periodické číslo 0, 370 zapište zlomkem v základním tvaru. Řešení: 3.) Periodické číslo 1,032 zapište zlomkem v základním tvaru. Řešení: 4.) Periodické číslo 25,67 zapište zlomkem v základním tvaru. Řešení:
Posloupnosti 39 Nekonečná geometrická řada Varianta B Určete, pro která je nekonečná geometrická řada konvergentní a potom určete její součet. 4 Řadu můžeme rozepsat 4 4 4 Kvocient tedy je 4 1 4 Aby byla řada konvergentní, musí platit 1. 1 4 1 Najdeme nulový bod absolutní hodnoty 4 1.) V intervalu ; 4 je výraz v absolutní hodnotě záporný, takže řešíme nerovnici 1 4 1 Jmenovatel na levé straně je záporný, takže při vynásobení nerovnice tímto jmenovatelem musíme změnit znaménko nerovnosti 1 4 1 4 5 ; 5 2.) V intervalu 4; je výraz v absolutní hodnotě kladný, takže řešíme nerovnici 1 4 1 Jmenovatel na levé straně je kladný, takže při vynásobení nerovnice tímto jmenovatelem neměníme znaménko nerovnosti 1 4 1 4 3 3;
40 Posloupnosti Řada je tedy konvergentní pro ; 5 3;. Pak můžeme určit její součet 1 1 4 1 1 4 4 4 1 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: ; 5 3; ; Příklady k procvičení: 1.) Určete, pro která je nekonečná geometrická řada konvergentní a potom určete její součet. Řešení: ; ; 248 16 2.) Určete, pro která je nekonečná geometrická řada konvergentní a potom určete její součet. 1 2 Řešení: 0; 1; 3.) Určete, pro která je nekonečná geometrická řada konvergentní a potom určete její součet. Řešení: 0,01; 01; 4.) Řešte rovnici s neznámou Řešení: 0,3 2 3 139 10
Posloupnosti 41 Nekonečná geometrická řada Varianta C Nad výškou rovnostranného trojúhelníka je sestrojen rovnostranný trojúhelník, nad jeho výškou je sestrojen rovnostranný trojúhelník atd. Postup se stále opakuje. Jak velký je součet obsahů všech trojúhelníků, má-li strana trojúhelníka délku? Výška v trojúhelníku je Obsah tohoto trojúhelníku tedy je Výška v trojúhelníku je 3 2 3 4 3 4 3 16 3 4 Obsah tohoto trojúhelníku je Určíme kvocient jako podíl obsahů 3 2 3 4 2 3 3 16 3 4 3 3 16 3 4
42 Posloupnosti Pak součet řady je 1 3 4 1 3 4 3 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: 3 Příklady k procvičení: 1.) Do čtverce o délce strany je vepsána kružnice, do ní je znovu vepsán čtverec, do tohoto čtverce je vepsána opět kružnice atd. Vypočítejte součet obsahů všech takto získaných čtverců. Řešení: 2 2.) Vypočítejte délku nekonečné spirály, která vznikne spojením bodů,,,, čtvrtkružnicemi. Střed první čtvrtkružnice je v bodě 0; 0, krajní body jsou 4; 0; 0; 4. Střed druhé čtvrtkružnice je v bodě 0; 2, krajní body jsou 0; 4, 2; 2. Střed třetí čtvrtkružnice je v bodě 1; 2, krajní body jsou 2; 2; 1; 1. Střed čtvrté čtvrtkružnice je v bodě 1; 1,5, krajní body jsou 1; 1; 0,5; 1,5. Tento postup stále opakujeme. Řešení: 4 3.) Vypočítejte délku nekonečné lomené čáry, která se skládá z úseček,,,,. Souřadnice krajních bodů úseček jsou 1; 0; 1; 1; 0; 1; 0; 0,5; 0,5; 0,5; 0,5; 0,75; 0,25; 0,75; 0,25; 0,625 Řešení: 4 4.) V daném rovnostranném trojúhelníku o straně 6 sestrojte kolmici z vrcholu na stranu, patu kolmice označte. Bodem veďte rovnoběžku se stranou, průsečík této rovnoběžky se stranou označte. Patu kolmice z bodu na stranu označte, průsečík strany a rovnoběžky se stranou vedené bodem označte. Patu kolmice z bodu na stranu označte, průsečík strany a rovnoběžky s vedené bodem označte. Tento postup stále opakujte. Vypočítejte délku nekonečné lomené čáry, která vznikne uvedeným způsobem. Řešení: 12 6 3