Program SMP pro kombinované studium

Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0 2 1, C = 2 1 0 3 určete A + C, A + B, A 3C, A.B, B.A, A.C, C.A. 2. Určete A.B, B.A a A.B B.A pro matice 1 2 0 2 1 1 2 2 1 2 0 1 1 2 0 0 1 1 B = B = 2 1 0 1 5 1 0 1 3 2 1 2 1 2 1 1 2 4 ;. 3. Pro matice 2 3 1 2 0 2 B = ověřte, že platí (A + B) T = A T + B T. 1 0 2 1 1 2 1

2) Lineární vektorové prostory 1. Ukažte, že polynomy q 1 (x) = x 2 + x + 1, q 2 (x) = x + 3, q 3 (x) = x 2 + 2x 1 tvoří bázi prostoru P 2 všech polynomů do stupně 2 (včetně nulového polynomu). Určete souřadnice polynomu p(x) = x 2 3x 6 vzhledem i. k bázi < q i > 3 i=1 prostoru P 2, ii. ke kanonické bázi prostoru P 2. 2. Podprostor U v prostoru R 5 uspořádaných pětic reálných čísel je generován prvky u 1 = 1, 2, 1, 1, 1 T, u 2 = 2, 1, 1, 2, 3 T, u 3 = 3, 2, 1, 1, 2 T, u 4 = 2, 5, 1, 2, 2 T. Určete dimenzi dim(u) podprostoru U a alespoň jednu bázi podprostoru U. 3. Ověřte, zda V je podprostor prostoru L. Pokud ano, určete jeho bázi a dimenzi: L = P 2, V = {p(x) = ax 2 + c; a, c R}; L = P 2, V = {p(x) = bx + 3; b R}; (c) L = R 2,2, V = {B R 2,2 ; A.B = B.A}, kde matice α β 1 1 je pevně daná, např.. γ δ 1 1 3) Determinanty Určete determinant det A matice A : 1. 2 1 4 3 5 3 4 0 5 0 3 4 5 2 1 1 5 2 4 3 4 6 0 7 0, 2

2. 3 2 4 2 2 4 3 6 5 3 3 2 3 3 4 2 3 3 2 4 4 3 5 2 3. 4) Hodnost matice 1. Určete hodnost matice A : 1 2 3 4 5 6 2 1 0 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 7 5 5 5 3 1 2 1 1. 2. Nalezněte inverzní matici k matici A : (c) 2 2 3 1 1 0 1 2 1 1 2 3 4 5 6 2 1 0 1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20 3

(d) cos α sin α kde α R je libovolné reálné číslo. 3. Určete matici X z maticové rovnice: sin α cos α, 2 2 3 1 1 0 1 2 1 X. 2 2 3 1 1 0 1 2 1.X = = 10 9 2 0 3 3 3 7 4 10 9 2 0 3 3 3 7 4. 5) Lineární zobrazení 1. Zobrazení L: R 2,2 P 2 je zobrazení z prostoru R 2,2 všech čtvercových matic řádu 2 do prostoru P 2 všech polynomů do stupně 2 (včetně nulového polynomu): ( ) a b L = (a + 2d)x 2 + (2a c)x + (c + 4d). c d Ověřte, že zobrazení L je lineární zobrazení. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. (c) Podobně určete obraz ImL zobrazení L. (d) Určete matici M zobrazení L v kanonických bázích příslušných lineárních vektorových prostorů. 1 2 (e) Pro matici B = nalezněte obraz L(B) a souřadnice 3 1 B a L(B) vzhledem k příslušným kanonickým bázím jednotlivých lineárních prostorů. Ověřte, že platí M. B = L(B). 4

(f) Určete matici M zobrazení L vzhledem k bázím B 1 = 1 0 2 1 v prostoru R 2,2, v prostoru P 2., B 2 = 1 1 1 2, B 3 = 1 1 2 0, B 4 = r 1 (x) = x 2 1, r 2 (x) = x 2 + 1, r 3 (x) = 2x + 3 2. Určete inverzní zobrazení L 1 k izomorfismu L: R 2,2 R 4 : ( ) a b L = c d 2 1 1 2 = a + b + c + d, a + 2b + 3c + 4d, a + 3b + 6c + 10d, a + 4b + 10c + 20d. 3. Určete matici T přechodu od báze k bázi p 1 (x) = x 2, p 2 (x) = x, p 3 (x) = 1 q 1 (x) = x 2 + x + 1, q 2 (x) = x + 3, q 3 (x) = x 2 + 2x 1 v prostoru P 2 všech polynomů do stupně 2 (včetně nulového polynomu). Pro prvek p(x) = x 2 3x 6 ověřte, že T. p = p, kde p jsou souřadnice prvku p v bázi p 1, p 2, p 3 a p jsou souřadnice prvku p v bázi q 1 (x), q 2 (x), q 3 (x). 6) Soustavy lineárních algebraických rovnic 1. Určete všechna řešení soustavy lineárních algebraických rovnic: 5x 1 + x 2 + x 3 2x 4 = 18, x 1 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 4, 2x 1 7x 2 + 8x 3 + 14x 4 = 6, 4x 1 + 3x 2 2x 3 6x 4 = 14, 3x 1 5x 2 + 4x 3 + 7x 4 = 7. 5

(c) (d) 3x 1 3x 2 + 2x 3 + 17x 4 + 2x 5 = 0, x 1 x 2 + 2x 3 + 3x 4 + 4x 5 = 0, x 1 + x 2 7x 4 + x 5 = 0, 2x 1 2x 2 + 3x 3 + 8x 4 + 8x 5 = 0. x 1 + 2x 2 x 3 + 3x 4 = 5, 2x 1 3x 2 + 3x 3 4x 4 = 17, 3x 1 + 4x 2 + 2x 3 2x 4 = 8, x 1 + 3x 2 2x 3 + 7x 4 = 4. x 1 + 2x 2 x 3 + 3x 4 + 4x 5 = 1, 2x 1 + 4x 2 3x 3 + 5x 4 + 13x 5 = 3, 3x 1 6x 2 + 2x 3 9x 4 3x 5 = 10, x 1 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 1, x 1 + 2x 2 + 6x 4 + 7x 5 = 2, 4x 1 + 8x 2 5x 3 + 8x 4 + 9x 5 = 5. 2. Určete všechna řešení soustavy lineárních algebraických rovnic v závislosti na reálném parametru: (c) x 1 + x 2 + λx 3 = 1, x 1 + λx 2 + x 3 = 1, λx 1 + x 2 + x 3 = 1. x 1 + 2x 2 + q.x 3 = 5, x 1 + x 2 + x 3 = 2, 2x 1 + q.x 2 + 8x 3 = 4. x 1 + 2x 2 + x 3 = a 2, 2x 1 3x 2 + a.x 3 = 1, 7x 1 + 12.x 2 + a 2.x 3 = 4a 2 3. 3. K řešení soustavy s regulární maticí využijte postupně všechny tři metody, tj. Gaussovu eliminační metodu, Cramerovo pravidlo a řešení soustavy s využitím inverzní matice: x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 3, x 1 + 3x 2 + 2x 3 = 1, 2x 1 + x 2 + 3x 3 = 6. 6

7) Polynomy Určete všechny kořeny polynomu p(x) a napište rozklad polynomu p(x) na součin kořenových činitelů a reálný rozklad polynomu p(x). 1. p(x) = 2x 7 + 17x 6 11x 5 153x 4 + 29x 3 + 304x 2 + 52x 96 ; 2. p(x) = x 9 13x 7 10x 6 + 31x 5 + 52x 4 + 105x 3 + 134x 2 + 60x + 72 ; 3. p(x) = x 4 16 ; 4. p(x) = x 4 + 81 ; 5. p(x) = x 6 7x 3 8. 8) Jordanův tvar matice 1. Určete všechna vlastní čísla matice A, stanovte k nim příslušné vlastní vektory, určete Jordanův kanonický tvar J matice A. Určete matici T, pro kterou platí T.J.T 1 a ověřte platnost této rovnosti. (c) 1 1 1 5 21 17 6 26 21 4 6 15 1 3 5 1 2 4 4 5 2 2 2 1 1 1 1. 2. Pro daný lineární operátor L: R 3 R 3 určete vlastní čísla. Je operátor L diagonizovatelný? Pokud ano, určete bázi v prostoru R 3, pro kterou je matice tohoto lineárního operátoru diagonální. L(x 1, x 2, x 3 T ) = 0, 2x 1, x 2 T, 7

L(x 1, x 2, x 3 T ) = 20x 1 +8x 2 12x 3, 3x 1 +10x 2 3x 3, 6x 1 +4x 2 +2x 3 T. 9) Skalární násobení ( Eukleidovský vektorový prostor ) 1. Určete ortogonální bázi podprostoru V prostoru R 4, který je generován prvky y 1 = 1, 2, 1, 3 T, y 2 = 4, 1, 1, 1 T, y 3 = 7, 7, 4, 10 T, y 4 = 3, 1, 1, 0 T (při skalárním násobení (u, v) = u T.v ). 2. Určete ortogonální bázi podprostoru V v lineárním vektorovém prostoru C(a, b) všech reálných funkcí spojitých na intervalu a, b, kde je skalární násobení definováno předpisem (f, g) = b a f(x)g(x)dx pro každé f, g C(a, b). Podprostor V je generován funkcemi na intervalu a, b = 0, π 2, a, b = 0, π. 1, cos x, sin x 3. Určete ortogonální průmět v 0 prvku v L do podprostoru L 1, je-li L = R 5, v = 3, 1, 2, 4, 5 T a podprostor L 1 je generován prvky u 1 = 1, 0, 2, 1, 2 T, u 2 = 1, 1, 2, 0, 1 T, u 3 = 1, 2, 1, 1, 1 T, u 4 = 3, 1, 1, 2, 2 T. 4. Nalezněte polynom z prostoru P 2 všech polynomů do stupně 2 (včetně nulového polynomu), který je nejlepší aproximací funkce f(x) = x v normě indukované skalárním násobením (g, h) = 1 0 g(x)h(x)dx. (Návod: Nalezněte ortogonální průmět funkce f do prostoru P 2. ) 5. Metodou nejmenších čtverců určete polynom p(x) stupně nejvýše 1, který aproximuje naměřené hodnoty : x -1 0 0 1 1 3 y(x) -3,5 0 0 0,5 0,5 5 8

10) Kvadratické formy 1. Je dána kvadratická forma κ(x) = 31x 2 1 31x 2 2 + 44x 2 3 + 10x 1 x 2 + 40x 1 x 3 + 40x 2 x 3. Určete inercii in(κ) a definitnost kvadratické formy κ(x). Napište kvadratickou formu κ(x) ve tvaru lineární kombinace čtverců souřadnic. 9