Limita a spojitost funkce

Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném bodě, tj. chováním funkce v nějakém nekonečně malém okolí tohoto bodu. Pomocí lokálního chování funkce v každém bodě množiny M pak usuzujeme na chování funkce na celé množině M, tzv. globální chování, které nás většinou zajímá. Je-li dána funkce y = f() a bod a, který je vnitřní bod definičního oboru, snažíme se tuto funkci v bezprostředním okolí bodu a přibližně nahradit nějakou jednodušší funkcí, u které jsme schopni zkoumat její vlastnosti. V diferenciálním počtu budeme nahrazovat dané funkce polynomy, tj. budeme se snažit napsat f() c 0 + c 1 ( a) + c 2 ( a) 2 +..., (1) kde c 0, c 1,... jsou nějaké konstanty. Ty se snažíme vybrat tak, aby chyba, kterou uděláme, když nahradíme funkci polynomem určitého stupně byla v okolí bodu a, tj. pro malá a, co nejmenší. Například, pokud se snažíme nahradit funkci y = f() a okolí budu = a lineární funkcí, tj. přímkou, je z grafického názoru přirozené vybrat tuto přímku tak, aby byla tečnou ke grafu funkce y = f() v bodě [ a; f(a) ]. Jestliže do vztahu (1) dosadíme = a, dostaneme c 0 = f(a). Vztah (1) pak můžeme pro a napsat jako f() f(a) c 1 + c 2 ( a) +.... a Konstantu c 1 dostaneme tak, že do pravé strany tohoto vztahu dosadíme = a. Bohužel na levé straně je neurčitý výraz 0. Přitom je pro každé z okolí bodu a na levé straně 0 definovaný výraz, který je pro malá a může skoro rovnat nějakému číslu c 1. Nejprve budeme přesně definovat, co máme na mysli tvrzením funkce y = f() se v bezprostředním okolí bodu a skoro rovna A, tj. itu funkce. Definice. Necht je dána funkce f(), bod a R, který je hromadný bod definičního oboru D f, a A R. Jestliže ε > 0 δ > 0 ; D f ; 0 < a < δ je A f() < ε (2) (ke každému ε > 0 eistuje δ > 0 takové, že pro každé z definičního oboru funkce f(), které se nerovná a a jehož vzdálenost od bodu a je menší než δ, je vzdálenost bodu f() od bodu A menší než ε), řekneme, že funkce f() má v bodě a itu A. Tento výrok budeme zapisovat jako f() = A. Limitě z této definice, tj. když bod a i ita A jsou konečná reálná čísla, se říká vlastní ita ve vlastním bodě. Budeme ještě definovat ity pro a = ±, tj. ity v nevlastním bodě, a ity, které jsou rovny ±, tzv. nevlastní ity. Definice. Necht je dána funkce f() a bod a R, který je hromadným bodem D f. Jestliže K δ > 0 ; D f ; 0 < a < δ je f() > K, (3) 1

říkáme, že má funkce f() v bodě a R itu +. Tento výrok zapisujeme jako f() = +. Definice. Necht je dána funkce f() a A R. Jestliže je + hromadným bodem D f a ε > 0 K R ; D f ; > K je A f() < ε, (4) říkáme, že má funkce v bodě + vlastní itu A. Tento výrok zapisujeme jako f() = A. Definice. Necht je dána funkce f() a + je hromadným bodem D f. Jestliže K L ; D f ; > L je f() > K, (5) říkáme, že funkce f() má v bodě + itu + a píšeme f() = +. Podobně se definují ity v bodě a ity rovné. Všechny definice ity lze jediným způsobem zapsat pomocí okolí bodů. Definice. Necht je dána funkce f(), bod a R, který je hromadný bod D f a A R. Jestliže ke každému okolí U(A) bodu A eistuje okolí V (a) bodu a takové, že pro každé z definičního oboru funkce f(), které je prvkem okolí V (a) a a patří hodnota funkce f() do okolí U(A) bodu A, tj. U(A) V (a) ; D f V (a) ; a je f() U(A), (6) říkáme, že funkce f() má v bodě a itu A. Limita funkce je pokud eistuje, pouze jedna. To je tvrzení následující věty. Věta. Jestliže eistuje f() = A je tato ita jediná. Důkaz: Necht eistují f() = A a f() = B a platí A B. Protože A B, eistují okolí U(A) a U(B) takové, že U(A) U(B) =. Podle definice ity (6) eistují okolí V A (a) a V B (a) bodu a takové, že pro každé D f V A (a), a, je f() U(A) a pro každé D f V B (a), a, je f() U(B). Protože je bod a hromadný bod D f, obsahuje množina D f V A (a) V B (a) alespoň jeden bod a. Pak ale je f() U(A) U(B) =. To je nemůže být pravda (= spor). Proto není pravda tvrzení: Eistují f() = A a f() = B a platí A B, a platí jeho negace. To je právě tvrzení věty. Důkaz tohoto typu se v matematice nazývá důkaz sporem. Jeho logická podstata spočívá A B je ekvivalentní výroku A B. Jeho negace je A B. Při důkazu sporem dokážeme, že tento výrok, tj. A B, neplatí. Proto musí platit jeho negace, tj. výrok A B, což je ekvivalentní výroku A B. 2

Definici ity funkce můžeme ještě rozšířit tak, že nebudeme při itě uvažovat všechna D f, ale pouze M D f. V podstatě se jedná o itu zúžené funkce f M. Definice. Necht je dána funkce f(), množina M D f, bod a, který je hromadný bod množiny M a A R. Jestliže U(A) V (a) ; M V (a) ; a je f() U(A), (7) říkáme, že funkce f() má v bodě a vzhledem k množině M itu A. Toto tvrzení zapisujeme jako f() = A. M Pro takové ity platí věta: Věta. Necht eistuje f() = A. Necht je M D f a bod a je hromadný bod množiny M. Pak platí f() = f() = A. M Limity funkcí vzhledem k množinám se pro funkci jedné reálné proměnné používají ve dvou případech, když je M posloupnost a když je M = (a, + ) nebo M = (, a). Věta. f() = A právě tehdy, když pro každou posloupnost n D f takovou, že n a a n = a, je f( n ) = A. n n Tato věta převádí výpočet ity funkce na výpočet ity posloupnosti a v některých případech může být užitečná. Příklad: Jestliže víte, že eistuje (1+) 1/, je tato ita rovna e, protože posloupnost n = 1 n splňuje předpoklady věty a platí ( ) 1/n 1 + n = (1 + 1 ) n = e. n n n Jestliže je a R a M = (a, + ), resp. M = (, a), mluvíme o itě funkce v bodě a zprava, resp. zleva. Definice. Necht je a R hromadný bod množiny D f (a, + ) a A R. Jestliže U(A) δ > 0 ; D f ; 0 < a < δ je f() U(A), (8) říkáme, že funkce f() má v bodě a itu zprava rovnou A a píšeme + f() = A. Podobně, necht je a R hromadný bod množiny D f (, a) a A R. Jestliže U(A) δ > 0 ; D f ; 0 < a < δ je f() U(A), (9) říkáme, že funkce f() má v bodě a itu zleva rovnou A a píšeme f() = A. Limity zprava a zleva se nazývají jednostranné ity a itu f() budeme nazývat oboustranná ita funkce f() v bodě a. 3

Věta. Pokud je bod a hromadným bodem množin D f (a, + ) a D f (, a) eistuje oboustranná ita funkce f() v bodě a právě tehdy, když eistují obě jednostranné ity funkce f() v bodě a a jsou si rovny. Tato věta se často používá k tomu, abychom ukázali, že ita funkce neeistuje. 2 + 3 Příklad. Ukažte, že neeistuje ita 1 ( 1). 3 Řešení: Jestliže dosadíme = 1, vidíme, že se jedná o itu typu 4, tj. tato ita rovna 0 2 + 3 ±. Protože pro > 1 je 1 > 0, platí = +, a protože pro < 1 je 1 + ( 1) 3 2 + 3 1 < 0, je =. A protože jsou tyto ity různé, oboustranná ita 1 ( 1) 3 neeistuje. Limity funkcí počítáme většinou tak, že známe základní ity a ostatní ity počítáme pomocí základních it a určitých vět. Je věcí každého, jaké ity bude považovat za základní. Uvedeme některé ity, které byste měli umět zpaměti (1 + )1/ = e, a vlastně všechny ity typu p e = 0, q p R, q > 0, ln p = 0, q p R, q > 0, sin = 1, e 1 = 1, ln(1 + ) = 1 f( + h) f() h 0 h = f (). Pro algebraické operace s itami platí Věta. Jestliže eistují ity f() = A R, g() = B R a α, β R, a je-li a hromadný bod D f D g (pro podíl D f/g ) pak platí ( ) αf() + βg() = αa + βb, ( f() g() ) = AB, f() g() = A B, za předpokladu, že jsou výrazy vpravo definovány v R. Připomeňme, že nejsou definovány výrazy typu, 0,, 0 0. 4

Jestliže předpokládáme, že bod a je hromadným bodem definičních oborů průniku všech funkcí, jsou následující věty bezprostředním důsledkem definice ity. Věta. Jestliže na nějakém okolí bodu a platí f() g(), je f() g(). Věta. Jestliže na nějakém okolí bodu a platí f() g() h(), a eistují f() = h() = A, pak je g() = A. sin Příklad: Dokažte, že = 1. Řešení: Protože funkce f() = sin sin je sudá, stačí ukázat, že + = 1. Úhel v obloukové míře budeme měřit délkou oblouku na jednotkové kružnici se středem v počátku O = [0; 0] od kladné vodorovné polopřímky, na které leží bod P = [1; 0]. Bod M, který odpovídá velikosti úhlu 0 pak má souřadnice M = [cos ; sin ]. Obsah pravoúhlého trojúhelníka s přeponou OM a odvěsnou na polopřímce OP je roven P 1 = 1 cos sin a je menší než obsah kruhové výseče OP M, která je P 2 2 = 1. Tedy pro 2 (0, 1 π) platí nerovnost 2 cos sin sin = 2 2 1 cos. Na druhé straně je obsah výseče OP M menší než obsah pravoúhlého trojúhelníka a odvěsnou OP, jehož přepona leží na polopřímce OM, který je P 3 = 1 tg. Z toho dostaneme pro (0, 1 π) nerovnost 2 2 Celkově tedy pro (0, 1 π) platí 2 2 tg 2 = sin 2 cos = cos sin. cos sin 1 cos. sin A protože cos = 1, je podle předchozí věty + + = 1. Věta. f() = 0 právě tehdy, když f() = 0. Věta. Jestliže je f() = 0 a eistuje okolí bodu a, ve kterém je funkce g() omezená, je f()g() = 0 Příklad: Protože = 0 a platí nerovnost sin 1 1, je ( sin 1 ) = 0. Nyní uvedeme větu, které se týká ity složené funkce h = g f. Jde o to, kdy můžeme počítat itu složené funkce počítat jako dvě ity, nejprve itu funkce f a následně itu funkce g. Přesněji, jsou dány funkce f : X Y a g : Y Z. Necht a je hromadný bod množiny X a f() = A. Necht je A hromadný bod množiny Y a eistuje g(y) = B. Otázka y A je, kdy je h() = g ( f() ) = B? 5

Příklad: Necht je f : R R definována předpisem f() = 0 a g : R R definována jako g(y) = 0 pro y 0 a g(0) = 1. Pak je f() = 0 a g() = 0. Ale pro složenou funkci h() = g ( f() ) = g(0) = 1 0. Tento příklad ukazuje, že obecně nelze itu složené funkce počítat jako dvě ity. Problém spočívá v tom, že při definici ity g(y) = B nebereme v úvahu samotný y A bod y = A. Proto musíme vyloučit případ, kdy v každém okolí bodu a eistuje bod a takový, že f() = A, nebo do definice ity funkce g(y) zahrnout i bod A. Věta: Necht jsou dány funkce f : X Y, g : Y Z a h = g f : X Z. Necht a je hromadný bod množiny X a f() = A. Necht je A hromadný bod množiny Y a eistuje g(y) = B. Necht eistuje prstencové okolí P (a) bodu a takové, že pro každé y A P (a) je f() A. Pak je h() = B. Jestliže do definice ity funkce f() v bodě a zahrneme i samotný bod a dostaneme tzv. funkci spojitou v bodě a. Definice. Řekneme, že funkce f() je spojitá v bodě a D f, jestliže platí ε > 0 δ > 0 ; D f ; a < δ je f(a) f() < ε. (10) Body a D f, ve kterých je funkce f() spojitá, jsou dvojího druhu: 1. a je izolovaný bod D f ; 2. a je hromadný bod D f a f() = f(a). Věta. Necht jsou dány funkce f : X Y, g : Y Z a h = g f : X Z. Necht a je hromadný bod množiny X, f() = A a necht je funkce g(y) spojitá v bodě A. Pak je h() = g( f() ) = g ( ) f() = g(a). Definice. Necht je dána funkce f() a M D f. Říkáme, že funkce f() je spojitá na množině M, je-li spojitá v každém bodě množiny M. Funkce f() spojité na D f nazýváme spojité. Všechny elementární funkce, které jsme definovali v minulé přednášce jsou spojité. Například funkce f() = 1 je spojitá, protože = 0 není prvkem D f. Proto se předcházející věta používá velmi často. Jako příklad ukážeme použití této věty při výpočtu it typu 1. Příklad: Je-li f() = 0, pak platí ( 1 + f() ) g() = ep ( ( f() g() ) ). (11) 6

Řešení: Protože podle předpokladu je f() = 0, eistuje okolí U(a) bodu a takové, že pro každé U(a) \ {a} je 1 + f() > 0. Tedy podle definice platí v tomto okolí ( ) ( ) g() 1 + f() = e g() ln 1+f(). Protože je funkce e spojitá v R, platí ( ) ( g() 1 + f() = ep g() ln( 1 + f() )). Protože je ln(1 + ) = 1, je funkce F () definovaná pro ( 1, + ) předpisem ln(1 + ) pro 0, F () = 1 pro = 0 spojitá. Podle věty o itě součinu a uvedené věty o itě složené funkce je tedy g() ln( 1 + f() ) ( ) ( ) ln 1 + f() ( ) = g() f() = g() f(). f() Pomocí it se počítají tzv. asymptoty ke grafu funkce y = f(). Asymptoty jsou v podstatě přímky, ke kterým se blíží graf funkce v krajním bodě definičního oboru nebo v bodě nespojitosti funkce f(). Definice. Přímka = a se nazývá svislou asymptotou ke grafu funkce y = f(), jestliže v bodě a eistuje aspoň jedna nevlastní jednostranná ita funkce f(), tj. když f() = ± nebo f() = ±. + Příklad: Funkce y = + 1 3 + 2 2 2 = + 1 ( + 2)( + 1)( 1) má definiční obor ( 2, 1) (1, + ). Protože f() =, 2 + f() = +, 1 + jsou přímky = 2 a = 1 svislé asymptoty ke grafu funkce y = f(). Ale protože není přímka = 1 asymptota. f() = 0, 1 Definice. Přímka y = k + q se nazývá asymptota ke grafu funkce y = f() v bodě +, resp. v bodě, jestliže ( ) ( ) f() k q = 0, resp. f() k q = 0. (12) 7

Je-li k = 0 nazývá se asymptota vodorovná a je-li k 0 mluvíme o šikmé asymptotě. Je zřejmé, že pokud eistuje ita f() = q, resp. f() = q, je přímka y = q vodorovná asymptota ke grafu funkce v bodě +, resp. v bodě. Je-li přímka y = k + q asymptota ke grafu funkce y = f() v bodě ±, je f() k q 0 = ± Jestliže známe k, lze najít hodnotu q jako itu f() f() = k, tj. k = ± ±. q = ± ( f() k ). Příklad: V bodech ± najděte asymptoty funkce y = 2 + 2 +. Řešení: Pro jde o výraz typu +. Protože je ( 2 + 2 + ) ( 2 + 2 + )( 2 + 2 ) = 2 + 2 2 = 2 + 2 = 1, = je přímka y = 1 vodorovná asymptota ke grafu funkce v bodě. Pro + se jedná o výraz + + a vodorovná asymptota v bodě = + neeistuje. Abychom našli šikmou asymptotu, najdeme nejprve k = 2 + 2 + = 2. Člen q je pak ( q = 2 + 2 ) = 2 = 2 + 2 + = 1. ( 2 + 2 )( 2 + 2 + ) 2 + 2 + = Tedy v bodě + šikmá asymptota přímka y = 2 + 1. Pro spojité funkce platí mnoho užitečných vět, z nichž některé lze najít ve skriptech. Zde uvedeme pouze jednu větu, kterou budeme potřebovat při výpočtu globálních etrémů spojité funkce na kompaktní, tj. omezené a uzavřené, množině M. Věta. Je-li funkce f() spojitá na kompaktní množině M, eistují body min, ma M takové, že pro každé M je f( min ) f() f( ma ). Tvrzení této, tzv. Weierstrassovy věty, lze vyjádřit tak, že každá funkce spojitá na kompaktní množině M má v množině M minimum a maimum. Důkaz: Aby bylo vidět, jak se v matematice dokazují věty, uvedeme pro zajímavost důkaz této věty. Zároveň na důkazu budeme demonstrovat důležitou vlastnost kompaktních 8

množin, že pro každou posloupnost n prvků kompaktní množiny M eistuje z ní vybraná podposloupnost, která má itu v M. Nejprve ukážeme, že každá funkce f(), která je spojitá na kompaktní množině M je na M omezená. Předpokládejme, že funkce f() na množině M omezená není. Pak je každému n N je množina M n = { M ; f() > n } neprázdná. Z každé množiny M n vybereme prvek n. Takto dostaneme posloupnost n M. Protože je množina M kompaktní, eistuje posloupnost y n vybraná z posloupnosti n, která konverguje k prvku y M, tedy y n = y M. Podle definice vybrané posloupnosti je y n M n, a tedy n f(y n ) > n. Protože je funkce f() spojitá na množině M, je f(y) = n f(y n ) = +, což je spor se spojitostí funkce f() v bodě y M. Podobně se ukáže, že funkce f() je na množině M omezená zdola. Označme A = { f() R ; M }. Protože je funkce f() na množině M omezená, je omezená i množina A, a proto eistují S = sup A R a s = inf A R. Podle definice suprema a infima platí pro každé M nerovnosti s f() S. Pro každé n N označme A n = { M ; f() > S 1 n }. Podle definice suprema, je pro každé n N množina A n neprázdná. Z každé množiny A n vybereme prvek n A n. Tím dostaneme posloupnost n M. Protože M je kompaktní, lze z ní vybrat posloupnost y n, která konverguje k prvku y M. Protože je y n A n, platí nerovnost S 1 n f(y n) S. Jestliže označíme y = n y n M, dostaneme ze spojitosti funkce f() v bodě y ( S 1 ) = S f(y n ) = f(y) S, n n n tj. f(y) = S. Tedy eistuje y = ma M, pro které platí S = f( ma ) f() M. Důkaz eistence prvku min M je obdobný. 9

Řešené příklady Příklad 1. Najděte ity 4 + 2 a) 2 8 + 5 2 (1 ) 4 2 + 3 + 1 4 + 2 c) 2 8 + 5 (1 ) 4 2 + 3 + 1, b) 1, d) Řešení: Když do výrazu v itě dosadíme = 2, dostaneme 24 + 2 2 2 8 2 + 5 13 (1 2) 4 2 2 + 3 2 + 1 = 23. A protože je tento výraz definovaný v R, je 2 4 + 2 2 8 + 5 (1 ) 4 2 + 3 + 1 = 4 + 2 2 8 + 5 (1 ) 4 2 + 3 + 1, 4 + 2 2 8 + 5 (1 ) 4 2 + 3 + 1. 13 23. Jestliže do výrazu v itě dosadíme = 1, dostaneme výraz 0 0, který v R není definován. Proto výraz trochu upravíme. Označme P () = 4 + 2 2 8 + 5. Už víme, že P (1) = 0. Protože = 1 je kořen polynomu P (), musí eistovat polynom P 1 () takový, že P () = ( 1)P 1 (). Dělením dostaneme P 1 () = 3 + 2 + 3 5, tj. P () = 4 + 2 2 8 + 5 = ( 1)( 3 + 2 + 3 5). Protože P 1 (1) = 0, musí eistovat polynom P 2 () takový, že P 1 () = ( 1)P 2 (). Dělením zjistíme, že P 2 () = 2 + 2 + 5. Tedy Tedy hledaná ita je 1 P () = 4 + 2 2 8 + 5 = ( 1) 2 ( 2 + 2 + 5). 4 + 2 2 8 + 5 (1 ) 4 2 + 3 + 1 = 1 ( 1)2 ( 2 + 2 + 5) (1 ) 4 2 + 3 + 1 = 1 1 2 + 2 + 5 (1 ) 4 2 + 3 + 1. Protože jsou ity { 1 1 pro > 1, 1 = 1 pro < 1, 1 + 1 4 + 2 2 8 + 5 (1 ) 4 2 + 3 + 1 = 4 + 2 2 8 + 5 (1 ) 4 2 + 3 + 1 = 1 1 + 2 + 2 + 5 42 + 3 + 1 = 1, 2 + 2 + 5 42 + 3 + 1 = 1 10

a ita v případě b) neeistuje. V případě c) postupujeme podobně, jako jsme postupovali v případě it posloupností. To znamená, že napíšeme 4 + 2 2 8 + 5 (1 ) 4 2 + 3 + 1 = = 2 1 + 2 2 8 3 + 5 4 2 ( 1 1) 4 + 3 1 + = 2 1 + 2 2 8 3 + 5 4 ( 1 1) 4 + 3 1 + = 1 2 2. Podobně postupujeme i v případě d). Občas si ale musíme dát pozor na to, že 2 = a ne, tj. pro < 0 je 2 =. Proto dostaneme 4 + 2 2 8 + 5 (1 ) 4 2 + 3 + 1 = 1 2. Limity z příkladů c) a d) se často objevují v příkladech, které dostanete před písemkou. Obvykle se počítají tak, že ve výrazech ponecháte pouze nejvyšší mocniny, tj. 4 + 2 2 8 + 5 (1 ) 4 2 + 3 + 1 = 4 4 = 1 2 2, 4 + 2 2 8 + 5 (1 ) 4 2 + 3 + 1 = 4 4 = 1 2 2. Příklad 2. Najděte itu + 2 3 + + 1 3 2 + 3. Řešení: Tuto itu nelze počítat tak, že v odmocninách necháme pouze nejvyšší mocniny. Problém je v tom, že pro > 0 dostaneme po úpravě + 2 1 + 2 3 + + 1 3 2 + 3 = 1 3/2( 1 + 2 + 3 1 1 + 3 3) = 1 + 2 1 = ( 1 + 2 + 3 1 1 + 3 3) ve jmenovateli itu typu 0, kterou nelze počítat jako součin it. Proto výraz v itě nejprve upravíme. Snad už známým postupem dostaneme + 2 + 2 3 + + 1 3 2 + 3 = 3 + + 1 3 2 + 3 3 + + 1 + 3 2 + 3 3 + + 1 + 3 2 + 3 ( + 2 3 + + 1 + 3 2 + 3 ) = 2 + 2 A protože se v této itě už nevyskytuje výraz typu jako v původní itě, je ( + 2 + 2 3 + + 1 3 2 + 3 = 3 + + 1 + 3 2 + 3 ) = = 11 2 + 2 ( 3 + 3) = 2. 2.

Příklad 3. Najděte itu 1 cos 2 ln(1 + ). Řešení: Jedná se o itu typu 0. Tyto ity budeme později počítat pomocí derivaci. 0 Ukážeme, jak lze tuto itu počítat pomocí známých it, které jsme uvedli v přednášce. Protože platí 1 cos 2 = sin 2 + cos 2 (cos 2 sin 2 ) = 2 sin 2, je Víme, že sin 1 cos 2 ln(1 + ) = = 1. Proto je 1 cos 2 ln(1 + ) = 2 protože, jak víme, platí sin 2 sin 2 ln(1 + ) = 2 sin sin ( sin ln(1 + ) = 2 sin = 2 = 1 a ln(1 + ) ln(1 + ) = 2, = 1. sin ln(1 + ). ) = ln(1 + ) arctg Příklad 4. Najděte itu. Řešení: Označme = tg y, kde y ( 1 π, 1 π). Pak je arctg = y a arctg = 0. A 2 2 protože pro 0 je y 0, platí podle věty o itě složené funkce arctg = y 0 arctg(tg y) tg y y = y 0 tg y = y cos y y 0 sin y = cos y y 0 y 0 y sin y = 1. Příklad 5. Najděte itu ( ) 1+3 2 1. 2 + 3 Řešení: V tomto příkladě se jedná o itu typu 1. Tyto ity se obvykle, podobně jako u posloupností, počítají pomocí vztahu (11). Protože 2 1 2 + 3 = 1 + 4 2 + 3 a 4 = 0, je podle (11) 2 + 3 ( ) 1+3 ( 2 1 = 1 + 4 ) 1+3 ( ) 4(1 + 3) = ep = e 6. 2 + 3 2 + 3 2 + 3 Příklad 6. Najděte itu 1 + sin 2. Řešení: Podle definice je 1 + sin 2 = ( 1 + sin 2 ) 1/. Jedná se tedy o itu typu 1. Podle (11) dostaneme ( ) sin 2 1 + sin 2 = ep = e 2, 12

protože po substituci y = 2 získáme sin 2 = 2 sin 2 2 = 2 sin y y 0 y = 2. Příklad 7. Najděte všechny asymptoty ke grafu funkce f() = 3 + 2 2 + 4 e. 2 2 Řešení: Protože z rovnice 2 2 = 0 plyne, = 1 nebo = 2, je definiční obor funkce f() roven (, 1) ( 1, 2) (2, + ). Asymptoty budeme hledat v krajích bodech definičního oboru, tj. v bodech 1 =, 2 = 1, 3 = 2 a 4 = +. Přitom v bodech 2 = 1 a 3 = 2 mohou být svislé asymptoty a v bodech 1,4 = ± vodorovné nebo šikmé asymptoty. Aby v bodě 2 = 1 měl graf funkce y = f() svislou asymptotu, musí být alespoň jedna z jednostranných it v tomto bodě nevlastní. Například pro itu zprava dostaneme 3 + 2 2 + 4 e f() = 1 + 1 + ( + 1)( 2) =, protože v bodě = 1 je čitatel roven 6 e > 0 a pro ( 1, 2) je jmenovatel záporný. Podobně v bodě 3 = 2 je 3 + 2 2 + 4 e f() = 2 + 2 + ( + 1)( 2) = +, protože čitatel je v tomto bodě roven 12 e 2 > 0 a jmenovatel je pro > 2 kladný. Dostali jsme tak dvě svislé asymptoty = 1 a = 2. Aby měl graf funkce y = f() v bodě + vodorovnou asymptotu = a, musí eistovat konečná ita f() = a. Při výpočtu této ity je dobré si uvědomit, že pro velká je e p daleko větší, než jakákoliv mocnina. Toto tvrzení je vyjádřeno itou e = 0 pro každé p R. Proto dostaneme 3 + 2 2 + 4 e 2 2 e = 2 2 ( ) 3 + 2 2 + 4 1 =, e ( ) e 3 Protože 2 2 = + a + 2 2 + 4 1 = 1. e Graf funkce y = f() tedy nemá v bodě = + vodorovnou asymptotu. Ale ještě může v bodě = + eistovat šikmá asymptota y = k+q. Pak musí eistovat konečná ita f() k =. V našem případě dostaneme stejně jako dříve f() = 3 + 2 2 + 4 e ( 2 2) Tedy v bodě = + nemá graf dané funkce asymptotu. =. 13

Podobně budeme postupovat při hledání asymptoty v bodě =. Protože e = 0, dostaneme f() = 3 + 2 2 + 4 e 2 2 3 = =. 2 Tedy v bodě = nemá graf dané funkce vodorovnou asymptotu. Budeme tedy hledat šikmou asymptotu y = k + q. Pro směrnici k dostaneme k = f() = 3 + 2 2 + 4 e ( 2 2) 3 = = 1. 3 Pokud asymptota v bodě = eistuje, je y = + q. Hodnotu q najdeme jako itu ( ) ( ) 3 + 2 2 + 4 e q = f() k = = 2 2 2 2 + 4 e = 2 2 = 2 2 = 2. 2 Tedy graf funkce y = 3 + 2 2 + 4 e má svislé asymptoty = 1 a = 2 a 2 2 šikmou asymptotu y = + 2 v bodě =. 14