Vektorová a tenzorová analýza

Vektorová a tenzorová analýza studijní text Jaroslav Vlček Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB-TU Ostrava 19. září 217

2

Obsah 1 Kartézské tenzory 5 1.1 Základní pojmy..................................... 5 1.1.1 Bodově-vektorový prostor........................... 5 1.1.2 Změna báze v R n................................ 6 1.1.3 Lineární zobrazení v R n............................ 6 1.2 Ortogonální transformace............................... 7 1.2.1 Ortonormální báze............................... 7 1.2.2 Ortogonální matice a jejich vlastnosti.................... 8 1.2.3 Lineární zobrazení při ortogonální transformaci............... 9 1.3 Kartézské tenzory................................... 1 1.3.1 Zavedení..................................... 1 1.3.2 Operace s tenzory............................... 11 1.3.3 Speciální vlastnosti tenzorů.......................... 12 1.4 Tenzory v aplikacích.................................. 14 1.4.1 Materiálová anizotropie............................ 14 1.4.2 Tenzor napětí.................................. 15 1.4.3 Piezoeektrický jev............................... 16 1.5 Tenzory 2. řádu..................................... 16 1.5.1 Hlavní směry a invarianty tenzoru 2. řádu.................. 16 1.6 Levi-Civitův tenzor................................... 18 1.6.1 Zavedení a základní vlastnosti......................... 18 1.6.2 Cvičení..................................... 19 2 Základy tenzorové analýzy 21 2.1 Úvodní pojmy...................................... 21 2.1.1 Skalární funkce................................. 21 2.1.2 Vektorové funkce jedné proměnné....................... 23 2.1.3 Vektorové funkce................................ 24 2.1.4 Tenzorové funkce................................ 26 2.2 Derivace tenzorové funkce............................... 26 2.2.1 Derivace a diferenciál tenzorové funkce.................... 26 2.2.2 Diferenciální operátory............................. 27 2.2.3 Složené operátory............................... 27 2.2.4 Tenzor deformace................................ 29 2.3 Křivkové a plošné integrály.............................. 31 2.3.1 Křivkové integrály............................... 31 2.3.2 Plošné integrály................................ 33 2.3.3 Integrální věty................................. 34 3

4 OBSAH 2.4 Charakteristiky tenzorových polí........................... 36 2.4.1 Globální charakteristiky............................ 36 2.4.2 Lokální charakteristiky............................. 38 2.4.3 Příklad Maxwellovy rovnice......................... 4 2.4.4 Nezávislost na integrační cestě........................ 41 3 Aplikace tenzorového aparátu 43 3.1 Tenzor setrvačnosti................................... 43 3.2 Statická teorie elasticity................................ 44 3.2.1 Motivace.................................... 44 3.2.2 Speciální případy tenzoru napětí....................... 46 3.2.3 Rovnice kompatibility deformací....................... 47 3.3 Zobecněný Hookeův zákon............................... 48 3.3.1 Zobecněný Hookeův zákon........................... 48 3.3.2 Elastické moduly................................ 49 3.4 Rovnice mechaniky kontinua............................. 5 3.4.1 Podmínky rovnováhy.............................. 5 3.4.2 Statické rovnice pružnosti........................... 51 3.4.3 Dynamické rovnice............................... 52 3.4.4 Okrajové podmínky v úlohách pružnosti................... 53 3.4.5 Proudění nestlačitelných tekutin....................... 54 3.5 Krystalové soustavy.................................. 55 3.6 Umělá anizotropie v optice.............................. 57 3.6.1 Magnetooptický jev.............................. 57

Kapitola 1 Kartézské tenzory 1.1 Základní pojmy 1.1.1 Bodově-vektorový prostor Bodově-vektorový prostor obsahuje body X = [x 1, x 2,..., x n ], Y = [y 1, y 2,..., y n ] atd. a vektory u = (u 1, u 2,..., u n ), v = (v 1, v 2,..., v n ), respektive u apod., jedná-li se o sloupcové vektory. Bude-li hrát roli umístění vektoru, přiřadíme dvojici bodů X, Y vektor u = XY = (y 1 x 1, y 2 x 2,..., y n x n ). Souřadnice bodů, resp. složky vektorů tvoří n-tice reálných (R) nebo komplexních (C) čísel. Proto budeme prostor označovat jednoduše R n, resp. C n. Číslo n představuje dimenzi prostoru, obvykle bude n = 2 nebo n = 3. Operace v R n 1. sčítání vektorů: (u + v) i = u i + v i, 2. násobení vektoru číslem: (a.u) i = a.u i, a R. Linearita R n u, v R n a 1, a 2 R a 1 u + a 2 v R n. Skalární součin vektorů n u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + + u n v n = u i v i. i=1 Metrické vlastnosti Velikost (norma) vektoru: u = u u = ( n u 2 i i=1 Směrové kosiny (= kosiny úhlů, které vektor svírá se souřadnými osami): cos α i = u i u, Geometrická interpretace skalárního součinu (α... odchylka vektorů): ) 1 2 u v = u. v. cos α, Ortogonalita: u v = u v (u, v o ). Vzhledem k uvedeným vlastnostem je R n metrický lineární prostor se skalárním součinem. 5,

6 KAPITOLA 1. KARTÉZSKÉ TENZORY 1.1.2 Změna báze v R n Je-li dána původní báze {h 1, h 2,..., h n }, pak vektory nové báze {h 1, h 2,..., h n} lze vyjádřit jako lineární kombinace vektorů původní báze: h 1 = a 11 h 1 + a 12 h 2 + + a 1n h n, h 2 = a 21 h 1 + a 22 h 2 + + a 2n h n, h n = a n1 h 1 + a n2 h 2 + + a nn h n. (1.1) Koeficienty a ij tvoří matici přechodu od původní k čárkované bázi: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =.... (1.2) a n1 a n2 a nn Této změně báze odpovídá změna souřadnic libovolného vektoru na čárkované, takže vzhledem k (1.1) bude u = (u 1, u 2,..., u n ) = u 1 h 1 + u 2 h 2 + + u n h n, (1.3) u = (u 1, u 2,..., u n) = u 1h 1 + u 2h 1 + + u nh n = = u 1(a 11 h 1 + a 12 h 2 + + a 1n h n ) + + u n(a n1 h 1 + a n2 h 2 + + a nn h n ). (1.4) Porovnáním (1.3) a (1.4) dostáváme soustavu u 1 = a 11 u 1 + a 21u 2 + + a n1u n, u 2 = a 12 u 1 + a 22u 2 + + a n2u n, u n = a 1n u 1 + a 2nu 2 + + a nnu n neboli u = A u. Souřadnice vektoru v nové bázi tedy získáme řešenímúlohy u = v níž hraje klíčovou roli matice přechodu mezi bázemi A. 1.1.3 Lineární zobrazení v R n ( A ) 1 u, (1.5) Libovolná čtvercová matice T dimenze n zprostředkovává lineární zobrazení v prostoru R n tak, že vzoru u přiřazuje jeho obraz v podle vztahu v = Tu. (1.6) Linearita spočívá ve skutečnosti, že T zobrazuje lineární kombinaci vektorů opět na jejich lineární kombinaci, a to s týmiž koeficienty, nebot T(k 1 u 1 + k 2 u 2 + + k m u m ) = k 1 Tu 1 + k 2 Tu 2 + + k m Tu m = k 1 v 1 + k 2 v 2 + + k m v m. Je-li navíc matice T regulární, tj. det(t), existuje inverzní matice T 1, která zprostředkuje inverzní zobrazení u = T 1 v.

1.2. ORTOGONÁLNÍ TRANSFORMACE 7 Podívejme se nyní, jak se zobrazovací relace promění při změně báze, popsané vztahem (1.5). Nahradíme-li v něm všechny veličiny jejich obrazy, bude tj. v = T u (A ) 1 v = T (A ) 1 u, (A ) 1 Tu = T (A ) 1 u. Porovnáním obou stran získáme transformovanou matici zobrazení ve tvaru 1.2 Ortogonální transformace 1.2.1 Ortonormální báze T = (A ) 1 TA. (1.7) Báze {e 1, e 2,... e n } v R n se nazývá ortonormální, je-li současně ortogonální a jednotková, tj. platí-li { 1, i = j, e i = 1, e i e j = δ ij =. (1.8), i j. Základní (standardní) bází nazýváme ortonormální bázi, pro niž (e i ) j = δ ij, tj. i tý vektor má všechny složky nulové s výjimkou i té, která je rovna jedné. Geometricky se jedná o směrové vektory souřadných os kartézského souřadného systému v R n. Odvodíme matici přechodu od báze (1.8) k jiné ortonormální bázi {e 1, e 2,... e n}. Nejprve zapíšeme vyjádření i tého vektoru nové báze vzhledem k bázi původní: n e i = a i1 e 1 + a i2 e 2 + + a in e n = a ij e j = a ij e j. (1.9) Poslední výraz představuje zápis pomocí tzv. sumační konvence, která spočívá v tom, že přes index, který se ve výrazu vyskytuje dvakrát, se automaticky sčítá (od 1 do n), aniž se píše výraz. Použití konvence je zřejmé z následujících ukázek: n u i v i = u i v i = u v, a ij u j = a i1 u 1 +a i2 u 2 + +a in u n, 3 τ ii = τ 11 +τ 22 +τ 33 = τ ii (v R 3 ). i=1 i=1 Vynásobíme-li skalárně vyjádření (1.9) vektoru nové báze vektorem e j báze původní, dostáváme j=1 e i e j = a ij a ij = e i. e j. cos( x i x j) = cos( x i x j). (1.1) Tento výsledek znamená, že koeficient a ij představuje kosinus úhlu, který svírá i-tá nová osa s j-tou původní osou, což nám umožní blíže určit význam koeficientů a ij v matici přechodu A. Zpětná transformace z čárkované báze do nečárkované má tvar obdobný jako (1.9), 3 e j = b ji e i = b ji e i, (1.11) i=1 kde b ji = e j e i = cos( x j x i ) jsou prvky matice B, jejíž vlastnosti stanovíme. Protože cos( x j x i ) = cos( x i x j), musí být a ij = b ji, tj. B = A. Jelikož složenou transformací obdržíme opět původní bázi, musí platit A B = I, tudíž A A = I neboli A = A 1, (1.12) kde I je jednotková matice. Matice s touto vlastností se nazývají ortonormální nebo (častěji a jednoduše) ortogonální.

8 KAPITOLA 1. KARTÉZSKÉ TENZORY 1.2.2 Ortogonální matice a jejich vlastnosti Je-li matice A ortogonální, pak (1) det(a) = ±1, protože det(a.b) = det(a).det(b) a současně det(a) = det(a ), musí být pro ortogonální matici det(a).det(a ) = det 2 (A) = 1, odkud plyne tvrzení. (2) i a ika jk = a ik a jk = δ ij, a ij.a ik = δ jk. Slovy: skalární součin dvou různých řádků (dvou různých sloupců) ortogonální matice je roven nule, norma každého řádku (sloupce) je rovna jedné (v zápise je ukázáno použití sumační konvence). (3) Součin matice A s jinou ortogonální maticí je opět ortogonální matice. Je-li C = A.B, pak C 1 = (A.B) 1 = B 1.A 1 = B.A = (A.B) = C. Interpretujeme-li ortogonální matici geometricky ve smyslu (1.1), násobení touto maticí představuje rotaci kartézského souřadného systému kolem počátku, jak ilustruje v R 3 obr. 1.1. x 3 x 3 x 2 e 3 e 3 e 2 e 1 e 2 x 2 e 1 x 1 x 1 Obrázek 1.1: Kartézský souřadný systém původní (plnou čarou) a otočený (čárkovaně). Cvičení (a) Snadno lze ukázat, že matice ( cos φ sin φ A = sin φ cos φ ). je ortogonální a představuje otočení kolem počátku v R 2 o úhel φ v kladném směru. (b) Rotaci v R 3 kolem osy x 3 o úhel α odpovídá matice R α = cos α sin α sin α cos α 1, podobně je rotace kolem osy x 1 o úhel γ popsána maticí 1 R γ = cos γ sin γ. sin γ cos γ

1.2. ORTOGONÁLNÍ TRANSFORMACE 9 Složením těchto rotací v uvedeném pořadí obdržíme opět rotaci s ortogonální maticí R = R α.r γ. Vypočtěte ji nejprve obecně a pak pro α = γ = π/2. (c) Dokažte, že matice A je ortogonální: A = 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1. 1.2.3 Lineární zobrazení při ortogonální transformaci Ortogonální transformace vektoru ( Nejprve ukážeme, jak se mění souřadnice vektoru. Podle (1.5) je obecně u = A ) 1 u. Je-li A ortogonální, pak (A ) 1 ( = A ) = A, a proto se vektor u při přechodu mezi ortogonálními bázemi (tzn. při rotaci souřadného systému kolem počátku) transformuje na vektor u = Au, tj. u i = a ij u j. (1.13) Důsledkem je důležité tvrzení, že při ortogonální transformaci v prostoru libovolné dimenze se nemění (je tzv. invariantní) skalární součin vektorů, jelikož u v = u iv i = a ij u j a ik v k = a ij a ik u j v k = δ jk u j v k = u j v j = u v. (1.14) Obraz matice lineárního zobrazení Obdržíme ho na základě relace (1.7), v níž uplatníme definiční vlastnost ortogonální matice A: V indexovém zápisu má tento výsledek tvar T = (A ) 1 TA = ATA. (1.15) T ij = a ik T kl a lj neboli T ij = a ik a jl T kl. (1.16) Cvičení (d) Při rotaci s maticí dle příkladu (a) na straně 8 najděte obraz vektoru u = (2, 3). Řešte nejprve obecně a pak pro úhel φ = π 3. (e) Je dán vektor b = (2, 1, ). Proved te jeho otočení pomocí matice R z příkladu (b) pro uvedené úhly α, γ. Ukažte a graficky znázorněte skutečnost, že R α.r γ R γ.r α. (f) Lineární zobrazení je určeno maticí T = 2 1 1 3 1 1 Odvod te její obraz T při rotaci souřadného systému o úhel β = π/2 kolem osy x 2..

1 KAPITOLA 1. KARTÉZSKÉ TENZORY 1.3 Kartézské tenzory Pouze některé geometrické a fyzikální veličiny jsou invariantní, tj. nemění se při změně souřadného systému (například všechny skaláry a některé další veličiny). Pro ostatní veličiny chceme stanovit způsob jejich popisu, který při zvoleném typu transformace (např. ortogonální) probíhá vždy stejně. Tato motivace vede k pojmu TENZOR. Připomínáme, že uvažujeme pouze ortogonální transformace v kartézských souřadných systémech. Ty jsou zprostředkovány ortogonálními maticemi splňujícími podmínku (1.12). 1.3.1 Zavedení Připomeneme dvě důležité formule (1.13) a (1.16) z předchozího výkladu, které se týkají ortogonální transformace vektoru a matice. Zapíšeme je v indexované podobě za použití sumační konvence: u i = a ij u j, T ij = a ik a jl T kl. Uvažujme nyní zobrazení W vektoru u na matici T ve tvaru T = Wu, tj. T lm = W lmn u n. Vyšetříme, jak se zobrazení W chová při ortogonální transformaci s maticí A. Obraz T = W u v indexovém vyjádření postupně upravíme pomocí výše uvedených transformačních vztahů: T ij = W ijku k a il a jm T lm = W ijka kn u n a il a jm W lmn u n = W ijka kn u n. Úpravou poslední relace získáme konečný transformační předpis pro zobrazení W: W ijk = a il a jm a kn W lmn. (1.17) Jak je patrno, s rostoucím řádem (tj. počtem indexů) lineárních zobrazení roste odpovídajícím způsobem počet součinů s ortogonální maticí A. Veličiny (objekty) s touto vlastností nazýváme tenzory. Tvar transformačních vztahů nezávisí na dimenzi prostoru, v němž zobrazení probíhá. Konkrétně pak docházíme k následujícím definicím. Uspořádaná n-tice u = (u 1, u 2,..., u n ), která při ortogonální transformaci vyhovuje vztahu u i = a ij u j (1.18) se nazývá tenzor prvního řádu neboli vektor. Matice T = (T ij ), i, j = 1,..., n se nazývá kartézský tenzor druhého řádu, mění-li se její prvky při ortogonální transformaci podle vztahu T ij = a ik a jl T kl. (1.19) Soubor veličin T = (T i1 i 2 i M ), i m = 1,..., n neboli M-rozměrná matice se nazývá kartézský tenzor M-tého řádu, mění-li se jeho prvky při ortogonální transformaci podle vztahu Poznámky skalár považujeme za tenzor nultého řádu, T i 1 i 2 i M = a i1 j 1 a i2 j 2... a im j M T j1 j 2 j M. (1.2) počet složek tenzoru M-tého řádu v R n je roven n M,

1.3. KARTÉZSKÉ TENZORY 11 kartézským tenzorem 2. řádu je každá čtvercová matice, jejímiž prvky jsou čísla nebo funkce, tj. T 11 T 12 T 13 T = T 21 T 22 T 23, T 31 T 32 T 33 typickými tenzorovými veličinami (2. řádu) jsou například napětí a deformace v mechanice, dyadický součin vektorů, materiálové vlastnosti anizotropních prostředí apod. Příklad Ověříme tenzorový charakter dyadického součinu vektorů W = u v. Jedná se o čtvercovou matici v v R n s prvky W kl = u k v l. Transformace podle (1.19) dává což jsme měli dokázat. 1.3.2 Operace s tenzory W ij = u iv j = a ik u k a jl v l = a ik a jl u k v l = a ik a jl W kl, (A) Slučování tenzorů (sčítání, odčítání) Slučujeme soumístné složky tenzorů téhož řádu, tj. například (B) Násobení tenzoru číslem (skalárem) Násobíme každou složku tenzoru, tj. například P + Q = R P ijk + Q ijk = R ijk apod. P = kq P ijk = kq ijk. (C) Úžení (kontrakce) tenzorů Ze složek tenzoru vybereme ty, které mají dva indexy stejné, a algebraicky je sečteme; výsledkem je tenzor řádu o dva nižšího než tenzor původní. Jedná se tedy o princip sumační konvence. Příkladně bude B ijkj = B i1k1 + B i2k2 + B i3k3 = B ik. Úžením tenzoru 2. řádu vznikne skalár: T ii = T 11 + T 22 + T 33 = Tr(T) ( trace stopa matice). (D) Násobení tenzorů Rozlišujeme tzv. vnější a vnitřní součin. (D1) Vnější součin. Násobíme každou složku prvního tenzoru postupně každou složkou druhého tenzoru; výsledkem je tenzor, jehož řád je roven součtu řádů násobených tenzorů, např. P Q = R P ijk.q lm = R ijklm apod. Příkladem je dyadický součin dvou vektorů v R 3 : u 1 v 1 u 1 v 2 u 1 v 3 W = u v = u 2 v 1 u 2 v 2 u 2 v 3 neboli W ij = u i v j. u 3 v 1 u 3 v 2 u 3 v 3 (D2) Vnitřní součin. Vznikne úžením vnějšího součinu, tj. aplikací sumační konvence. Jako příklad uvažujme vnější součin matice a vektoru, kterým je tenzor třetího řádu T ij u k = W ijk ;

12 KAPITOLA 1. KARTÉZSKÉ TENZORY vnitřním součinem bude standardní součin matice a vektoru, tj. vektor T.u = v (tenzor 1. řádu) jako tenzor třetího řádu zúžený přes index j: T ij u j = W ijj = v i. V uvedeném smyslu je také nutno chápat a interpretovat definiční relace pro tenzory v kapitole 1.3.1. Příklady (a) Zúžením dyadického součinu vektorů obdržíme skalární součin, nebot u v = u i v i = Tr (u v). (b) Kroneckerův symbol δ ij je tenzorem 2. řádu, který reprezentuje jednotkovou matici I. Proto je například δ ij δ ik = δ jk, δ ii = 3. 1.3.3 Speciální vlastnosti tenzorů (a) Izotropní tenzory Jejich složky se při ortogonální transformaci nemění. Typickým příkladem je Kroneckerův tenzor (Kroneckerovo delta), nebot δ ij = a ik a jl δ kl = a ik a jk = δ ij. Stejnou vlastnost má také Levi-Civitův tenzor, o kterém pojednává kapitola 1.6. Příklad Dokážeme, že tenzor η ijkl = A.δ ij δ kl + B.δ ik δ jl + C.δ il δ jk (1.21) je pro libovolná čísla A, B, C izotropním tenzorem 4. řádu. Podle transformační definice tenzoru je η ijkl = a ir a js a kt a lu η rstu = a ir a js a kt a lu.(a.δ rs δ tu + B.δ rt δ su + C.δ ru δ ts ) = = A a ir δ }{{ rs a } js a kt a lu δ tu +B a }{{} ir δ rt a }{{} js δ su a kt a lu + C a ir δ ru a }{{}}{{} js δ ts a kt a lu = }{{} a is a lt a it a ju a ir a jt = A. a is a js a kt a tl +B. a }{{}}{{} it a kt a }{{} ju a lu +C. a iu a lu a }{{}}{{} kt a jt = η ijkl. }{{} δ ij δ kl δ ik δ jl δ il δ jk (b) Symetrické a antisymetrické tenzory Symetrický tenzor 2. řádu: T ij = T ji. Antisymetrický tenzor 2. řádu: T ij = T ji. U tenzorů vyšších řádů se symetrie (antisymetrie) týká pouze vybrané dvojice indexů; například tenzor 3. řádu, pro který platí W ijk = W ikj je antisymetrický v indexech j, k.

1.3. KARTÉZSKÉ TENZORY 13 U tenzorů 2. řádu je zřejmá analogie se symetrickými, resp. antisymetrickými maticemi. Platí, že každý takový tenzor lze rozložit na součet symetrického a antisymetrického tenzoru 2. řádu: T ij = 1 2 (T ij + T ji ) + 1 2 (T ij T ji ) = S ij + A ij, kde S ij je symetrický tenzor (určen šesti prvky) a A ij antisymetrický tenzor (určen třemi prvky). (c) Parita tenzoru Pro libovolnou fyzikální veličinu f(r), kde r = (x 1, x 2, x 3 ) je polohový vektor, definujeme její paritu na základě toho, jak se změní její znaménko při změně orientace polohového vektoru. Je tedy P(f)f(r) = f( r) (1.22) a tudíž P(f) = ±1. Kupříkladu pro rychlost v a sílu F platí v = dr dt, F = mdv dt = md2 r dt 2, a proto je v( r) = v(r), F ( r) = F (r) a oba vektory mají zápornou paritu. Obecně pak pro libovolný řád M rozlišujeme dva typy tenzorů podle jejich parity P: vlastní tenzory, pro něž P = ( 1) M, pseudotenzory, pro něž P = ( 1) M = ( 1) M+1. U vektorů (M = 1) je používáno označení polární vektor místo vlastní vektor a axiální vektor místo pseudovektor. Platí obvyklé multiplikativní pravidlo, P Q = R P(P)P(Q) = P(R). Proto je například vektorový součin axiálním vektorem, nebot P(u v) = P(u)P(v) = 1 pro P(u) = P(v) = 1. Je nezbytné, aby paritu zachovávaly všechny tenzorové rovnice popisující reálné fyzikální jevy. Příklad Lorentzova síla F působící na částici o rychlosti v a nesoucí elektrický náboj q v magnetickém poli s magnetickou indukcí B je dána vztahem F = qv B. Protože F a v jsou polární vektory se zápornou paritou, musí mít B paritu +1; jedná se tedy o axiální vektor. Příklad speciální operace s vektory v R 3 Budeme pracovat se základní ortonormální bází e 1 = (1,, ), e 2 = (, 1, ), e 3 = (,, 1). Kromě dříve zavedeného dyadického a skalárního součinu připomeneme další operace definované pouze v tomto prostoru. (i) Vektorový součin: Geometrická interpretace: u v = (u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v 2 u 2 v 1 ) = e 1 e 2 e 3 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3.

14 KAPITOLA 1. KARTÉZSKÉ TENZORY velikost u v = u. v. sin α, kde α je úhel vektorů, směr je kolmý k oběma vektorům, u u v, v u v, orientace taková, že u, v, u v tvoří pravotočivou soustavu. Rozložíme-li dyadický součin vektorů T ij = u i v j na symetrický a antisymetrický tenzor, lze snadno ukázat, že A ij = (u v) 6 i j, (1.23) odpovídá-li pořadí indexů i, j sudé permutaci pořadí 123. Všimněme si důležité skutečnosti, že vektorový součin je definován pouze v prostoru dimenze 3. Důvod je následující: počet prvků určujících antisymetrický tenzor 2. řádu v R n je (n 2 n)/2. Má-li být roven počtu složek vektoru v tomto prostoru, musí být (n 2 n)/2 = n, což nastává pouze pro n = 3. (ii) Smíšený součin tří vektorů: 1.4 Tenzory v aplikacích u (v w) = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 Nebude-li řečeno jinak, omezíme se vzhledem k obvyklým aplikacím v této i dalších kapitolách na tenzory v prostorech dimenze 2 a 3. 1.4.1 Materiálová anizotropie Materiálová anizotropie se z hlediska původu rozlišuje podle toho, zda se jedná o stav přirozený nebo uměle vyvolaný. S přirozenou anizotropií se můžeme setkat u hornin a geologických struktur obecně, u kompozitních materiálů, krystalů atd. Jde zpravidla o jev trvalého charakteru. Umělá anizotropie je v materiálech vyvolána nějakým vnějším faktorem, například mechanickým namáháním, elektrickým nebo magnetickým polem aj., a obvykle odezní současně s externím činitelem. Typickým příkladem je piezoelektrický jev. Příklady tenzorových materiálových veličin (i) permitivita ε: D = εe, kde D je elektrická indukce a E intenzita elektrického pole; (ii) koeficient difuze (difuzní tenzor) k d : v d = k d grad c, kde v d je rychlost difuze a c je koncentrace; (iii) hydraulická propustnost (popř. koeficient filtrace) k f : v f = k f grad p, kde v f je rychlost filtrace podzemní vody a p je hydraulický tlak. Uvedené vztahy, ve kterých se s tenzorovými veličinami často setkáváme, patří do široké skupiny tzv. konstitučních relací. Mezi nimi představují specifickou kategorii relace používané u relaxačních modelů (příklady (ii) a (iii)), které schématicky můžeme zapsat takto: neboli. toková veličina = materiálový parametr gradient stavové veličiny, v = p grad u. (1.24) Záporné znaménko na pravé straně je fyzikální konvence, která směřuje ke kladné (kladně orientované) tokové funkci v při obvykle záporném gradientu stavové funkce u.

1.4. TENZORY V APLIKACÍCH 15 1.4.2 Tenzor napětí Uvažujme objemový element V tuhého pružného tělesa a povrchovou sílu T působící na plošném elementu S jeho povrchu. Na jednotku plochy o normálovém vektoru ν = (ν 1, ν 2, ν 3 ) pak působí vektor napětí vektor napětí T (ν). Ten má obecnou polohu v prostoru, a proto ho rozložíme do tří plošek rovnoběžných se souřadnými rovinami, aby bylo možné vzájemné porovnání napět ových stavů v různých bodech s různými normálami. Jako elementární objem V zvolíme čtyřstěn obr. 1.2. Velikost trojúhelníkové plošky kolmé na osu x j, j = 1, 2, 3, označíme S j. Příslušný normálový vektor bude tedy opačný k bázovému vektoru příslušnému dané ose, tj. ν (j) = e j. Vektory napětí na těchto ploškách označíme T (j). Neuvažujeme-li objemové síly x 3 T (1) ν (1) ν T (2) ν (2) h P T (ν) x 2 x 1 ν (3) T (3) Obrázek 1.2: Elementární čtyřstěn k odvození tenzoru napětí. (tíhovou, setrvačnou apod.), musí být výslednice všech plošných sil nulová, aby byl čtyřstěn v rovnováze: T (1) S 1 + T (2) S 2 + T (3) S 3 + T (ν) S = o. (1.25) Dále je zřejmé, že úhel normál ν (j) = e j a ν je roven úhlu, který svírají elementy S j a S. Platí tedy, že S j = cos( ν (j), ν) S = ν j S. Upravíme-li takto bilanční vztah (1.25), dostáváme po vydělení výrazem S rovnost T (ν) = T (1) ν 1 + T (2) ν 2 + T (3) ν 3. (1.26) Tento výsledek znamená, že vektor napětí v bodě plochy s normálou ν můžeme jednoznačně určit, známe-li napětí ve třech navzájem kolmých směrech. Pro každý z nich to představuje tři složky vektoru T (j), které označíme takto: T (j) = (τ j1, τ j2, τ j3 ). Podle (1.26) tedy bude například pro první složku vektoru T (ν) platit T (ν) 1 = T (1) 1 ν 1 + T (2) 1 ν 2 + T (3) 1 ν 3 = τ 11 ν 1 + τ 21 ν 2 + τ 31 ν 3. Vztah (1.26) můžeme jako celek zapsat tenzorově rovnicí T (ν) i = τ ji ν j, (1.27)

16 KAPITOLA 1. KARTÉZSKÉ TENZORY kde τ = τ 11 τ 12 τ 13 τ 21 τ 22 τ 23 τ 31 τ 32 τ 33 (1.28) je tenzor napětí (tenzorový charakter této veličiny ověřte jako cvičení). Diagonální složky τ jj, j = 1, 2, 3 nazýváme normálová napětí, mimodiagonální složky τ ji, j i, jsou tzv. smyková napětí. Často používaný je vztah pro normálové napětí: N = T ν = T j ν j = τ jj = τ 11 + τ 22 + τ 33 = Tr(τ ) (1.29) (stopa matice τ, tj. součet prvků na hlavní diagonále). Jedná se o invariant tenzoru napětí (viz kap. 1.5), jehož interpretací je tah pro N >, resp. tlak pro N <. 1.4.3 Piezoeektrický jev Schopnost konkrétního materiálu reagovat na vnější mechanické namáhání je charakterizována tzv. piezoelektrickým modulem d, což je tenzor 3. řádu. Je-li τ tenzor napětí, je piezoelektrický efekt vyjádřen dipólovým momentem P takto: P i = d ijk τ jk. (1.3) Ze sedmadvaceti složek tenzoru d je například pro trojosý krystal pouze 18 různých v důsledku symetrie tenzoru napětí. Pro další krystalové soustavy s vyšší symetrií počet určujících složek dále klesá. 1.5 Tenzory 2. řádu Jak je zřejmé z předchozího přehledu, jsou v obvyklých aplikacích zastoupeny převážně tenzory 2. řádu. Uvedeme pro ně některé doplňující vlastnosti, které často souvisí s poznatky z algebry matic. 1.5.1 Hlavní směry a invarianty tenzoru 2. řádu Zaměříme se nyní na symetrické tenzory 2. řádu, které mají četné aplikace například v mechanice. Označme libovolný z nich S 11 S 12 S 13 S = S 12 S 22 S 23, S 13 S 23 S 33 takže S ij = S ji. Lze ho chápat jako matici kvadratické formy v proměnných x 1, x 2, x 3 tvořících (sloupcový) vektor x. Formu lze zapsat způsobem obvyklým v algebře, xsx = S 11 x 2 1 + S 22 x 2 2 + S 33 x 2 3 + 2S 12 x 1 x 2 + 2S 13 x 1 x 3 + 2S 23 x 2 x 3, nebo tenzorově (s využitím sumační konvence) jako S ij x i x j. Tento tenzor 4. řádu je zúžen v obou indexech, jedná se tedy o skalár. Položíme-li ho roven nějaké konstantě (kladné nebo záporné), obdržíme rovnici kvadratické plochy v R 3. Nazýváme ji kvadrikou přidruženou k tenzoru S ij : S ij x i x j = ±K 2. Chceme-li určit, o jaký typ kvadriky se jedná, lze to provést na základě vlastních čísel (spektra) matice S. Vlastním číslům odpovídají vlastní vektory, které určují směry hlavních os kvadriky. Připomeňme nyní, jak se formuluje a řeší úloha na vlastní čísla a vlastní vektory matice.

1.5. TENZORY 2. ŘÁDU 17 Každý hlavní směr u je řešením rovnice Su = λu, tenzorově S ij u j = λu i, kde λ je v případě symetrického tenzoru reálné číslo. Po přepsání do tvaru (S λi)u = o, tenzorově (S ij λδ ij )u j =, vidíme, že pro získání netriviálního řešení u o musí být determinant matice soustavy roven nule: S ij λδ ij =, tj. Po rozepsání obdržíme rovnici třetího stupně S 11 λ S 12 S 13 S 12 S 22 λ S 23 S 13 S 23 S 33 λ =. λ 3 I 1 λ 2 + I 2 λ I 3 =, (1.31) jejímž řešením jsou vlastní čísla λ 1, λ 2, λ 3. Jejich struktura charakterizuje typ kvadratické plochy, například navzájem různé λ 1, λ 2, λ 3 > odpovídají trojosé (nerotační) eliptické ploše, λ 1 = λ 2 = λ 3 znamená kulovou plochu, λ 1 = λ 2 >, λ 3 < určuje hyperbolickou plochu s osou rotace x 3 atd. Násobnost kořenů je tedy známkou symetrie kvadriky. Důležitou vlastností spektra vlastních čísel matice je to, že se nemění při ortogonální transformaci, tj. jsou nezávislé na volbě souřadného systému. Proto je pro konkrétní tenzor invariantní charakteristická rovnice (1.31) a tedy i její koeficienty. Nazýváme je invarianty tenzoru 2. řádu a mají, jak je známo z algebry, tento tvar: I 1 = S 11 + S 22 + S 33 = S ii, I 2 = S 11 S 12 S 12 S 22 + S 11 S 13 S 13 S 33 I 3 = S (determinant matice S). Příklad Určíme hlavní směry a typ přidružené kvadriky tenzoru S = 6 2 2 2 5 2 7. + S 22 S 23 S 23 S 33 1. vlastní čísla: Charakteristická rovnice 6 λ 2 2 S λi = 2 5 λ = = λ 3 + 18λ 2 99λ + 162 = 2 7 λ,

18 KAPITOLA 1. KARTÉZSKÉ TENZORY má kořeny λ 1 = 3, λ 2 = 6, a λ 3 = 9. Přidruženou kvadrikou je nerotační eliptická plocha v obecné poloze o rovnici 6x 2 1 + 5x 2 2 + 7x 2 3 4x 1 x 2 + 4x 1 x 3 = K 2. 2. vlastní vektory (hlavní směry kvadriky = směry hlavních os eliptické plochy): Vlastní čísla postupně dosazujeme do matice S λi a řešíme homogenní algebraickou soustavu pro složky jednotlivých vlastních vektorů. λ 1 = 3... 3 2 2 2 2 2 4 Matice má hodnost dvě, řešením soustavy je libovolný násobek vektoru u 1 = (2, 2, 1). Analogicky získáme zbývající dva vlastní vektory: u 11 u 12 u 13 =. λ 2 = 6... u 2 = ( 1, 2, 2), λ 3 = 9... u 3 = (2, 1, 2). 1.6 Levi-Civitův tenzor 1.6.1 Zavedení a základní vlastnosti Levi-Civitův tenzor je tenzor třetího řádu definovaný vztahem 1 pro sudou permutaci indexů, ε ijk = 1 pro lichou permutaci indexů, pro i = j nebo j = k nebo k = i. (1.32) Tento tenzor má celkem 3 3 = 27 prvků, z nichž ovšem jen 6 je nenulových (viz obr. 1.3). Ukážeme jeho transformační vlastnost podle (1.2): ɛ ijk = a il a jm a kn ɛ lmn = a i1.(a j2 a k3 a j3 a k2 ) + a i2.(a j3 a k1 a j1 a k3 ) + a i3.(a j1 a k2 a j2 a k1 ) = a i1 a i2 a i3 1, ijk = 123, 231, 312, = a j1 a j2 a j3 = 1, ijk = 321, 213, 132, = ɛ ijk. a k1 a k2 a k3, v ostatních případech Budou-li totiž všechny tři indexy různé, dostáváme determinant ortogonální matice A, který je roven ±1 v závislosti na pořadí řádků. Jsou-li si některé dva indexy rovny, budou se rovnat odpovídající řádky matice a její determinant bude nulový. Protože je ɛ ijk = ɛ ijk, je Levi-Civitův tenzor při ortogonální transformaci invariantní a tedy izotropní. Dále je podle definice antisymetrický vzhledem k libovolné dvojici indexů, protože ɛ ijk = ɛ jik atd. Příklad Dokážeme, že pro vektorový součin platí Využijeme definici Levi-Civitova tenzoru: u v = ɛ ijk e i u j v k. (1.33) ɛ ijk e i u j v k = e 1 (u 2 v 3 u 3 v 2 ) + e 2 ( u 1 v 3 + u 3 v 1 ) + e 3 (u 1 v 2 u 2 v 1 ) = e 1 e 2 e 3 = u 1 u 2 u 3 = u v. v 1 v 2 v 3

1.6. LEVI-CIVITŮV TENZOR 19 1 1 k = 3 1 1 k = 2 1 1 k = 1 j = 1, 2, 3 i = 1, 2, 3 Obrázek 1.3: Levi-Civitův tenzor. 1.6.2 Cvičení (1) Vyjádřete pomocí Levi-Civitova tenzoru smíšený součin vektorů. (2) Určete hlavní směry a typ přidružené kvadriky tenzoru 4 1 T = 4 2. 1 2 (3) Dokažte platnost identity ɛ ijk ɛ klm = δ jm δ il δ jl δ im. (4) S použitím předchozího vztahu ověřte platnost vzorce pro dvojný vektorový součin: a (b c) = (a c)b (a b)c. (1.34) (5) Ukažte, že Levi-Civitův tenzor přiřazuje vektoru antisymetrický tenzor 2. řádu, tj. ɛ ijk u k = U ij, U ij = U ji. (1.35) Použijte tento výsledek k maticovému zápisu vektorového součinu. (6) Tenzor napětí je zadán ve tvaru τ = 4 2 2 1 2 2 2 Určete hlavní směry a hlavní napětí. Stanovte typ přidružené kvadriky napětí a napište její rovnici, prochází-li bodem [ 2, 1, 1]. (7) Bod Q = [1, 1, 4] leží na ploše z = 2 x 2 3xy. Tenzor napětí v tomto bodě je zadán ve tvaru 2 1 1 τ = 1 1. 1 1 Určete hlavní směry a hlavní napětí, stanovte typ přidružené kvadriky napětí a napište její rovnici, prochází-li bodem zadaným bodem. Vypočtěte vektor napětí v tomto bodě..

2 KAPITOLA 1. KARTÉZSKÉ TENZORY (8) Rozložte dyadický součin vektorů T ij = u i v j na kulový tenzor a deviátor pro konkrétní vektory u = (2, 4, 4), v = (1, 3, 1).

Kapitola 2 Základy tenzorové analýzy Základní témata vektorové analýzy jsou doplněna o aplikace tenzorového počtu. Problematika je diskutována převážně v prostoru dimenze 3, kde je možno ukázat geometrickou interpretaci a demonstrovat důležité poznatky na aplikacích. 2.1 Úvodní pojmy 2.1.1 Skalární funkce Základní označení Ω R n, n = 2, 3... oblast, Ω = Γ... její hranice, Ω = Ω Γ... uzavřená oblast (uzávěr oblasti Ω), X = [x 1, x 2, x 3 ] Ω... bod oblasti, x = (x 1, x 2, x 3 )... jeho polohový vektor. Zobrazení f(x) : Ω R představuje skalární funkci definovanou na oblasti Ω předpisem f(x 1, x 2 ) v rovině, resp. f(x 1, x 2, x 3 ) v prostoru. V prvním případě je jejím grafem plocha v R 3, ve druhém přímá grafická interpretace není k dispozici. Lze však zavést tzv. ekviskalární hladiny f(x 1, x 2, x 3 ) = C jako plochy, na nichž funkce dosahuje stejných hodnot (pro funkci dvou proměnných jsou ekviskalárními hladinami křivky na ploše). Podle typu pole nesou hladiny svůj název, například izotermy, izobary, ekvipotenciály, vrstevnice apod. Důležité třídy funkcí: C k (Ω)... prostory funkcí se spojitými derivacemi na oblasti Ω až do řádu k včetně, L p (Ω)... prostory funkcí absolutně integrovatelných v p té mocnině na Ω, tj. funkcí, pro něž konverguje integrál f(x) p dω. Ω Je-li plocha S grafem funkce f(x 1, x 2 ) C 1 ( Ω), tj. se spojitými parciálními derivacemi (alespoň) prvního řádu, existuje v každém jejím bodě normálový vektor ( n(x) = f, f ), 1. (2.1) x 1 x 2 21

22 KAPITOLA 2. ZÁKLADY TENZOROVÉ ANALÝZY Orientované přírůstky funkce f ve směru jednotlivých os lze aproximovat tečnými vektory ( τ 1 dx 1 = 1,, f ) ( dx 1, τ 2 dx 2 =, 1, f ) dx 2. x 1 x 2 Jejich vektorový součin tvoří orientovaný element plochy (přesněji její tečné roviny): ds = τ 1 dx 1 τ 2 dx 2 = n(x 1, x 2 )dx 1 dx 2, (2.2) kde ( n(x 1, x 2 ) = τ 1 τ 2 = f, f ), 1 x 1 x 2 je výše uvedený normálový vektor. Velikost elementu je pak ( ) f 2 ( ) f 2 ds = n dx 1 dx 2 = + + 1 dx 1 dx 2. (2.3) x 1 x 2 Plocha s uvedenými vlastnostmi se nazývá hladká. Příklady 3 1. Skalární funkce dvou proměnných f(x) = 3x 1 x 4 2 je třídy C1 (Ω) na libovolné oblasti Ω neobsahující bod(-y) osy x 1, nebot f = 2 3 x 4 2 x, 1 f x 2 = 4x 1 3 x 2, 2 f x 2 1 =, 2 f x 1 x 2 = 4 3 x 2, kde poslední z parciálních derivací 2. řádu není pro x 2 = spojitá. 2. Uvažujme na jednotkovém kruhu Ω = { x 1} funkci g(x) = 1. x 2 1 + x2 2 Integrací s použitím transformace do polárních souřadnic dostáváme Ω g(x) dω = 2π dϕ 1 dρ = 2π, Proto platí: g(x) L 1 (Ω), ale g(x) / L 2 (Ω). Ω g(x) 2 dω = 2π dϕ 1 2 f x 2 2 = 4x 1 3 3 x 2, 1 ρ dρ =. 3. Elektrostatický potenciál bodového náboje Q umístěného v počátku souřadného systému je pro bod X R 3 dán vztahem V (X) = Q 1 4πε x, kde ε je permitivita prostředí. Ekvipotenciální hladiny V (X) = C jsou soustředné kulové plochy o rovnicích x = Q ( ) Q 2 4πεC, tj. x2 1 + x 2 2 + x 2 3 =. 4πεC 4. Tlakové pole je na oblasti Ω = ( 1, 3) ( 1, 2) popsáno funkcí p(x) = x 1 x 2 x 1. Grafem je sedlová plocha, izobarami jsou rovnoosé hyperboly o rovnicích p(x) = C neboli x 2 = 1 + C x 1. Průmět některých izobar do roviny p = je na obr. 2.1.

2.1. ÚVODNÍ POJMY 23 2.5 2 3 2.5 1.5 1 1.5 1.5.5 1 1.5 2.5 1 3.5 3 1.5 2.5.5.5 1 1.5.5.5 1 1.5 Obrázek 2.1: Izobary funkce p = x 1 x 2 x 1. 2.1.2 Vektorové funkce jedné proměnné Tyto funkce představují důležitou skupinu definovanou předpisem ϕ : t 1, t 2 R 3, ϕ(t) = (x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t)). (2.4) Koncové body vektorů ϕ(t) tvoří jistou křivku K v prostoru definovanou na intervalu t 1, t 2. Je-li ϕ(t) a současně x i (t) C 1 ( t 1, t 2 ), nazývá se K hladkou křivkou. Je zřejmé, že k ní pro každé t existuje tečna odpovídající tečnému vektoru ϕ(t) = (ẋ 1 (t), ẋ 2 (t), ẋ 3 (t)) (tečkou na příslušným symbolem značíme derivaci podle parametru t). Po částech hladká křivka je sjednocením konečného počtu hladkých křivek majících společné pouze krajní body. Relacemi (2.4) je dána konkrétní parametrizace křivky K. Každá křivka má nekonečně mnoho parametrizací. Dále budeme předpokládat, že ϕ(t) je prosté zobrazení, tj. jedná se o regulární křivku (v žádném bodě sama sebe neprotíná). Orientace křivky se stanovuje zadáním počátečního a koncového bodu, není-li uzavřená. Křivka je uzavřená, jestliže ϕ(t 1 ) = ϕ(t 2 ). Orientace rovinné uzavřené křivky proti směru hodinových ručiček je definována jako kladná. V prostoru je třeba kladnou orientaci křivky zadat vzhledem k zvolenému směru podle pravidla pravé ruky. Příklady 1. Mějme v rovině parabolu x 2 = 2x 1 x 2 1 orientovanou od bodu [,] k bodu [2,]. Její bezprostřední parametrizaci obdržíme, položíme-li x 1 = t: ϕ(t) = (t, 2t t 2 ), t, 2. Jiná z možných parametrizací vznikne, položíme-li x 1 = 1 + cos s: ψ(s) = (1 + cos s, sin 2 s), s, π. Snadno se lze přesvědčit, že první z parametrizací je souhlasná se zadanou orientací křivky, zatímco ve druhém případě se s rostoucím parametrem s pohybujeme po křivce opačným směrem (nesouhlasná parametrizace).

24 KAPITOLA 2. ZÁKLADY TENZOROVÉ ANALÝZY 2. Je dána křivka K = {x 2 1 + x2 2 = 4, x 1 + x 3 = 2} orientovaná souhlasně s kladným směrem osy x 3. Úkolem je najít vhodnou parametrizaci souhlasnou s orientací. Jedná se o eliptický řez rovinou na rotační válcové ploše obr. 2.2. Nejprve využijeme zřejmou parametrizaci řídící kružnice válcové plochy o poloměru 2: x 1 = 2 cos t, x 2 = 2 sin t. Z rovnice roviny snadno dovodíme zbývající vztah x 3 = 2 x 1 = 2 2 cos t a zapíšeme výslednou parametrizaci elipsy: ϕ(t) = (2 cos t, 2 sin t, 2 2 cos t), t, 2π. Obrázek 2.2: K parametrizaci elipsy v prostoru. Abychom se přesvědčili, že získaná parametrizace je souhlasná se zadanou orientací (viz šipku na obr. 2.2), dosadíme do funkce ϕ(t) postupně tři rostoucí hodnoty parametru t, například, π/2 a π. Vidíme, že jim odpovídající body [2,,], [,2,2] a [-2,,4] na křivce za sebou následují ve směru zvolené orientace. 2.1.3 Vektorové funkce Zobrazení F (X) : Ω R 3 představuje vektorovou funkci F = (F 1, F 2, F 3 ) o složkách F i (x 1, x 2, x 3 ). Za vhodných předpokladů reprezentují vektorové pole F tzv. vektorové linie definované tak, že v libovolném bodě X definičního oboru má vektor F (X) směr tečny k těmto liniím. To znamená, že je kolineární (rovnoběžný) s vektorem dx = (dx 1, dx 2, dx 3 ), platí tedy F dx = o (F 2 dx 3 F 3 dx 2, F 3 dx 1 F 1 dx 3, F 1 dx 2 F 2 dx 1 ) = (,, ). (2.5) Tento výsledek obvykle zapisujeme jako soustavu tří diferenciálních rovnic dx 1 F 1 = dx 2 F 2 = dx 3 F 3, (2.6) z nichž stačí vyřešit kteroukoli vybranou dvojici. Výsledkem jsou dva systémy ploch v prostoru, Φ((x 1, x 2, x 3 ) = C 1, Ψ((x 1, x 2, x 3 ) = C 2,

2.1. ÚVODNÍ POJMY 25 které se protínají právě v hledaných křivkách. Případná parametrizace je finálním krokem. Vektorové linie často nesou názvy související s typem vektorového pole které reprezentují. Mluvíme pak o trajektoriích či proudnicích u pole rychlostí, o siločarách či magnetických indukčních čarách. Příklady 1. Je dáno rovinné silové pole F = (x 1 cos x 2, sin x 2 ). Odvod te rovnice jeho siločar. Jedná se o jednodušší variantu předchozího výsledku vystačíme s jedinou diferenciální rovnicí dx 1 = dx 2, x 1 cos x 2 sin x 2 kterou lze snadno separovat a dojít k obecnému řešení x 2 = arcsin(cx 1 ). 2. Rychlostní pole v prostoru je popsáno funkcí v = (x 1 x 2 x 3, x 2 1x 3, x 2 1x 2 ), x 1, x 2, x 3. Úkolem je určit vektorovou linii (trajektorii) jdoucí bodem M = [1,, 1]. Výchozí soustava rovnic (2.6): První dvojice dává výsledek druhá dx 1 x 1 x 2 x 3 = dx 2 x 2 1 x 3 = dx 3 x 2 1 x 2 x 1 dx 1 = x 2 dx 2 x 2 1 + x 2 2 = C 1, x 2 dx 2 = x 3 dx 3 x 2 2 + x 2 3 = C 2. Jedná se o dva navzájem kolmé systémy koaxiálních válcových ploch. Dosazením souřadnic bodu M obdržíme C 1 = C 2 = 1, tedy průnik dvou kolmých rotačních válcových ploch o stejném poloměru.. Obrázek 2.3: K příkladu 2. Hledanou křivkou je elipsa (resp. její čtvrtina v prvním oktantu) na obr. 2.3 s parametrizací ϕ(t) = (cos t, sin t, cos t), t, π/2.

26 KAPITOLA 2. ZÁKLADY TENZOROVÉ ANALÝZY 2.1.4 Tenzorové funkce Obecná tenzorová funkce T(X) přiřazuje každému bodu X Ω tenzor M-tého řádu s prvky T i1 i 2 i M (X). Tenzorová funkce libovolného řádu s konkrétní interpretací (teplota, rychlost, deformace, permitivita apod.) se nazývá tenzorové pole. Speciálně tenzorová funkce 2. řádu je zobrazení T(X) : Ω R n R n, T ij = T ij (x 1,..., x n ). Pro n = 3 má podobu trojřadé matice, jejíž každý prvek je funkcí prostorových souřadnic: T(X) = 2.2 Derivace tenzorové funkce T 11 (X) T 12 (X) T 13 (X) T 21 (X) T 22 (X) T 23 (X) T 31 (X) T 32 (X) T 33 (X) 2.2.1 Derivace a diferenciál tenzorové funkce Je-li každá složka tenzorové funkce T(x) diferencovatelná na oblasti Ω, pak tenzor T/ x, x = (x 1,..., x n ) se složkami. T i1 i 2 i M T i1 i = lim 2 i M (x 1,..., x j + x j,..., x n ) T i1 i 2 i M (x 1,..., x j,..., x n ) x j x j x j nazýváme totální derivací funkce T(x) vzhledem k x. Diferenciál tenzorové funkce T(x) v bodě x Ω je definován jako lineární funkce vektoru přírůstků dx = (dx 1, dx 2,..., dx n ) vztahem dt(x) = T x dx. Totální derivace je tenzor řádu M + 1, diferenciál je řádu M stejně jako T. Konkrétně například totální derivací tenzoru 2. řádu v R 3 obdržíme tenzor 3. řádu s dvaceti sedmi složkami: T x = W, kde W ijk = T ij x k. Diferenciál vektorové funkce T(x) = (T 1, T 2, T 3 ) získáme jako součin matice T x = T i x j = T 1 T 1 T 1 x 1 x 2 x 3 T 2 T 2 T 2 x 1 x 2 x 3 T 3 T 3 T 3 x 1 x 2 x 3 (2.7) a vektoru (dx 1, dx 2, dx 3 ) : dt(x) = T i x j dx j = T 1 x 1 dx 1 + T 1 x 2 dx 2 + T 1 x 3 dx 3 T 2 x 1 dx 1 + T 2 x 2 dx 2 + T 2 x 3 dx 3 T 3 x 1 dx 1 + T 3 x 2 dx 2 + T 3 x 3 dx 3 = dt 1 dt 2 dt 3. V řádcích jsou skalární difrenciály jednotlivých složek vektorové funkce.

2.2. DERIVACE TENZOROVÉ FUNKCE 27 2.2.2 Diferenciální operátory Diferenciální počet s tenzorovými funkcemi se v aplikacích uplatňuje zpravidla prostřednictvím diferenciálních operátorů aplikovaných na skalární funkce a tenzory prvního a druhého řádu. Tyto operace bývají velmi často zapisovány pomocí diferenciálního operátoru 1. řádu = ( x 1, nazývaného Hamiltonův operátor (nabla). x 2,..., Je-li T (x) skalár, pak jeho totální derivací je vektorová funkce zvaná gradient ( ) T T T T =,,..., = grad T = T. (2.8) x i x 1 x 2 x n K zavedení dalších operátorů můžeme využít rozklad totální derivace vektorové funkce (2.7) podle schématu (??): x n T i = 1 T i + A ij + P ij, P ij = S ij 1 T i δ ij. (2.9) x j 3 x i 3 x j První (izotropní) člen je zúžený tenzor 2. řádu, tedy skalár, v němž T i x i = T 1 x 1 + T 2 x 2 +... + T n x n = div T = T = Tr ) ( ) T x. (2.1) Jedná se o operátor zvaný divergence vektorové funkce T (x). Uplatníme-li na antisymetrickou část A ij vlastnost (1.23), kde u i = / x i a v j = T j, dostáváme vektor ( T3 rot T = T = T 2, T 1 T 3, T 2 T ) 1 T k = ɛ ijk e i. (2.11) x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 x 2 x j Výsledkem je rotace vektorové funkce T(x) = (T 1, T 2, T 3 ), pro kterou s využitím definice vektorového součinu můžeme použít i vyjádření e 1 e 2 e 3 rot T = x 1 x 2 x 3. T 1 T 2 T 3 Pro úplnost je na místě uvést že pro totální derivaci vektorové funkce lze také použít zápis pomocí nabla-operátoru: T x = T. 2.2.3 Složené operátory Formálně lze v R 3 ze tří operátorů prvního řádu složit 9 operátorů druhého řádu: grad grad div grad rot grad grad div div div rot div grad rot div rot rot rot Operátory vytištěné kurzívou nelze realizovat, protože gradient lze aplikovat pouze na skalární funkci, zatímco divergenci a rotaci výhradně na vektor. Pro složené operátory vytištěné tučně platí:

28 KAPITOLA 2. ZÁKLADY TENZOROVÉ ANALÝZY div grad = = 2 = ( Laplaceův operátor), = 2 x 2 + 2 1 x 2 + 2 2 x 2 ; 3 rot rot T = grad div T T, T = ( T 1, T 2, T 3 ) (důkaz jako úloha k procvičení). Zbývající operátory dávají při aplikaci nulový výsledek: rot grad T = T = o podle definice vektorového součinu; v tenzorovém vyjádření obdržíme pro i-tou složku: ( ) T (rot grad T ) i = ɛ ijk x j x k = ɛ ijk 2 T x j x k =, protože pro každé pevně zvolené i získáme dvě smíšené derivace 2. řádu lišící se pouze znaménkem. Důsledek: je-li rot F = o na oblasti Ω, pak je funkce F na této oblasti gradientem nějaké skalární funkce T : F = grad T. div rot T = ( T ) =, nebot v tomto smíšeném součinu jsou dva vektory stejné. V tenzorovém zápisu dostáváme div rot T = ( ) T k 2 T k ɛ ijk = ɛ ijk = x i x j x i x j Příklady (pro každé k jde o dvě smíšené parciální derivace opačného znaménka). Důsledek: je-li div F = na oblasti Ω, pak je možno funkci F na této oblasti reprezentovat rotací jisté vektorové funkce T : F = rot T. (a) Vypočteme divergenci součinu skalární funkci ϕ s vektorovou funkcí T : div (ϕt ) = ϕ x i T i + ϕ T i x i = T grad ϕ + ϕ div T = ϕ T + ϕ div T. (b) Označíme-li r = (x 1, x 2, x 3 ) polohový vektor bodu a následně r = r. Vypočteme grad (1/r). Protože ( ) 1 = 1 x i = = x i x i r x i x 2 1 + x2 2 + x2 3 (x 2 1 + x2 2 + x2 3 )3 r 3, dostáváme ( ) 1 grad r ( x1 = r 3, x 2 r 3, x ) 3 r 3 = (x 1, x 2, x 3 ) r 3 = r r 3. Cvičení Ve cvičeních (1) a (2) je namísto (x 1, x 2, x 3 ) použito (x, y, z). (1) Je dána skalární funkce T = 3x 2 y xyz xz 2. Určete grad T a T. (2) Vypočtěte rot G pro funkci G = (x 2 z 2, yz, x 2 + y 2 ).

2.2. DERIVACE TENZOROVÉ FUNKCE 29 (3) Určete div (r 3 ). (4) Určete totální derivaci G pro funkci G z příkladu (2). (5) Dokažte: rot (ϕt ) = ϕ rot T + grad ϕ T. (6) Odvod te tvar Laplaceova operátoru pro funkci Φ(r), kde r = (x 1, x 2, x 3 ). (7) S použitím řešeného příkladu (b) dokažte, že funkce u(r) = 1/r, r vyhovuje Laplaceově diferenciální rovnici. 2.2.4 Tenzor deformace Deformace jsou elastické (pružné) změny stavu tělesa, při nichž dochází současně ke změně vzdálenosti libovolně blízkých bodů i ke změnám polohy elementů v důsledku rotace nebo posunutí. Popíšeme deformační změnu elementu PQ, jejímž výsledkem je element P Q (obr.2.4). dx Q P u+du x u P dy Q y O Obrázek 2.4: Deformace elementu PQ. Další označení: x, y... polohové vektory vzhledem k počátku souřadného systému O, u... vektor posunutí pro bod P, u + du... vektor posunutí pro blízký bod Q, y = x + u, y + dy = x + dx + u + du. Z posledních dvou vztahů plyne dy = dx + du, tj. složkově dy i = dx i + du i. (2.12) Změnu polohového vektoru du aproximujeme diferenciálem prvního řádu, a tento vztah dosadíme do (2.12): du i = u i x 1 dx 1 + u i x 2 dx 2 + u i x 3 dx 3 = u i x j dx j, (2.13) dy i = dx i + u ( i dx j = δ ij + u ) i dx j. (2.14) x j x j

3 KAPITOLA 2. ZÁKLADY TENZOROVÉ ANALÝZY Porovnáme velikost elementu před deformací a po deformaci, tj. vyjádříme rozdíl dy 2 dx 2. Velikost elementu před deformací je po deformaci podle (2.14) dy 2 = dy i dy i = dx 2 = dx k dx k = δ jk dx j dx k, (2.15) ( δ ij + u i x j Po zanedbání kvadratického členu a úpravě je ( dy 2 = Vyjádříme-li hledaný rozdíl, bude e = (e jk ) = 1 2 ( uj + u ) k = x k x j dy 2 dx 2 = ) dx j. δ jk + u j x k + u k x j ( δ ik + u ) i dx k. x k ) dx j dx k. (2.16) ( uj + u ) k dx j dx k. (2.17) x k x j Tento výsledek slouží k zavedení tenzoru malých deformací, jehož charakter lze ověřit na základě transformačních rovnic; je symetrický, tzn. že je určen šesti složkami: ( ) ( ) u 1 1 u1 x 1 2 x 2 + u 2 1 u1 x 1 2 x 3 + u 3 x 1 symetricky ( ) u 2 1 u2 x 2 2 x 3 + u 3 x 2 u 3 x 3. (2.18) Význam složek tenzoru malých deformací Diagonální složky zjevně odpovídají relativním prodloužením (zkrácením) ve směru souřadných os, nebot (nesčítá se!) e jj = u j x j u j x j. (2.19) Mimodiagonální složky jsou přibližně rovny jedné polovině smykových úhlů, které vyjadřují, o kolik se liší úhel dvou elementů po deformaci od pravého úhlu, který svíraly před deformací : e jk 1 2 α j,k pro α j,k << 1. (2.2) Všimněme si, že totální derivace vektoru posuvů je tenzor druhého řádu u x = u j x k = u 1 u 1 u 1 x 1 x 2 x 3 u 2 u 2 u 2 x 1 x 2 x 3 u 3 u 3 u 3 x 1 x 2 x 3 který můžeme rozložit na symetrický a antisymetrický tenzor: u j = 1 ( uj + u ) k + 1 ( uj u ) k = e jk + ω jk. (2.21) x k 2 x k x j 2 x k x j,

2.3. KŘIVKOVÉ A PLOŠNÉ INTEGRÁLY 31 Tento výsledek znamená, že úplná změna polohy dvou bodů přideformaci je popsána kromě tenzoru malých deformací e jk také deviátorem ω jk, který vyjadřuje změnu prostorové orientace elementu. Příklad Dokážeme invariantnost relativní změny objemu při malých deformacích. δv = V V = V V V V = a.b.c je objem kvádru o hranách a, b, c před deformací, V = (a + a).(b + b).(c + c) je objem po deformaci, který dále upravíme podle (2.19): ( V = abc 1 + a a ) ( 1 + b b ) ( 1 + c c ) = abc(1 + e 11 )(1 + e 22 )(1 + e 33 ) Jestliže provedeme roznásobení a zanedbáme členy druhého a vyššího stupně, můžeme psát V V (1 + e 11 + e 22 + e 33 ) = V (1 + e ii ). Proto což je invariant tenzoru 2. řádu. δv = V V V = e ii, 2.3 Křivkové a plošné integrály 2.3.1 Křivkové integrály V zájmu lepší přehlednosti přejdeme od indexovaných proměnných x 1, x 2, x 3 k symbolům x, y, z; např. P = [x, y, z] pro bod v prostoru, r = (x, y, z) pro jeho polohový vektor apod. Dále bude K (po částech) hladká křivka s parametrizací ψ(t) = (x(t), y(t), z(t)), t t 1, t 2, ψ(t) = (ẋ(t), ẏ(t), ż(t))... tečný vektor křivky ve zvolené parametrizaci, dl = (dx, dy, dz) = ψ(t) dt... orientovaný element křivky, dl = (dx) 2 + (dy) 2 + (dz) 2 = ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 dt = ψ(t) dt... jeho velikost, h(x, y, z)... hustota veličiny na křivce K, F = (F 1 (x, y, z), F 2 (x, y, z), F 3 (x, y, z))... vektorové pole na křivce a v jejím okolí. Křivkový integrál I. druhu vyjadřuje množství veličiny na křivce: H = h(x, y, z) dl. (2.22) K

32 KAPITOLA 2. ZÁKLADY TENZOROVÉ ANALÝZY Výpočet se děje převodem na určitý integrál vzhledem k parametrizaci: K h(x, y, z) dl = t 2 t 1 h(x(t), y(t), z(t)) ψ(t) dt. (2.23) Ve speciálním případě h 1 na K vyjadřuje integrál I. druhu délku křivky: dl = L. (2.24) Příklad Elektrický vodič ve tvaru čtvrtiny závitu pravidlné šroubovice K ψ(t) = (3 cos t, 3 sin t, 2t), t, π/2 má měrný odpor ρ(x, y, z) = xy. Vypočtěte celkový odpor. Výpočet: K ψ(t) = ( 3 sin t, 3 cos t, 2), ψ(t) = 13, R = ρ(x, y, z) dl = K π/2 K 9 cos t sin t 13 dt = = 9 2 13. Křivkový integrál II. druhu: P = F (x, y, z) dl = F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz = F i dx i, (2.25) kde F dl je průmět vektoru pole do tečného vektoru křivky. Poslední výraz je zápisem v původní tenzorové symbolice včetně sumační konvence. Tento integrál označuje obecně posuv vektoru po křivce, jeho konkrétní interpretace souvisí s typem pole F viz dále. Je třeba si uvědomit, že křivkový integrál II. druhu závisí na orientaci křivky. Zvolená parametrizace pak musí být souhlasná se zadanou orientací. Výpočet spočívá opět převodu na určitý integrál: K F (x, y, z) dl = t 2 t 1 (F 1 (t), F 2 (t) F 3 (t)) ψ(t) dt = t 2 K t 1 (F 1 ẋ + F 2 ẏ + F 3 ż) dt. (2.26) Příklad Je dán oblouk paraboly K = {z = 1 x 2 y 2, y = x, x, z } orientovaný ve směru rostoucí souřadnice x. Máme vypočíst F dl, F = (xy, z, x). Nejprve provedeme parametrizaci křivky K: Dále pokračujeme podle (2.26): K ψ(t) = (t, t, 1 2t 2 ), t, 2/2. 2/2 (t 2, 1 2t 2, t) (1, 1, 4t) dt = 2/2 (3t 2 + 1) dt = 3 4 2.

2.3. KŘIVKOVÉ A PLOŠNÉ INTEGRÁLY 33 2.3.2 Plošné integrály Analogicky jako u křivkových integrálů vyjadřuje plošný integrál I. druhu množství veličiny o hustotě h na ploše S: H = h(x, y, z) ds. (2.27) Ve speciálním případě h 1 na S je číselně roven velikosti plochy S: S S ds = S. V souladu s článkem 2.1.1 je S = {[x, y, z] R 3, z = f(x, y), [x, y] D R 2 }. Výpočet se děje převodem na dvojný integrál přes oblast D, která je průmětem plochy S do roviny z =, přičemž pro element ds platí vztah (2.3): ( f ) 2 H = h(x, y, z) ds = h(x, y, f(x, y)) + x S Příklad Střecha budovy je pokryta sněhem (obr. 2.5) o plošné hustotě D γ = γ 1 + c(y + z), kde γ a c jsou konstanty. Vypočtěte celkovou hmotnost sněhové zátěže. ( ) f 2 + 1 dxdy. (2.28) y z n b y b a a x α Obrázek 2.5: Sněhová kalamita. Při výpočtu nehraje roli výška budovy, ale její půdorys a úhel sklonu střechy α, který pokládáme rovněž za zadaný. Rovnice střešní roviny je z = ky, k = tan α, takže pro normálový vektor platí: n = (, k, 1), n = n = k 2 + 1. Hledanou hmotnost sněhu vyjádříme plošným integrálem I. druhu: γ m = γ(x, y, z) ds = 1 + c(y + z) ds = γ 1 1 + c(k + 1)y dxdy. S S Integrační oblast je půdorys budovy D =, a, b, výpočet dvojného integrálu vede k výsledku m = aγ k 2 + 1 ln [1 + bc(k + 1)]. c(k + 1) D