2. ZÁKLADNÍ TEORETICKÝ APARÁT K ŘEŠENÍ TECHNICKÝCH PROBLÉMŮ

Transkript

1 . ZÁKLADNÍ TEORETICKÝ APARÁT K ŘEŠENÍ TECHNICKÝCH PROBLÉMŮ Techické ědí obory se zbýjí řešeím široké škály růzých roblémů. Jejich úsěšé zládutí je odmíěo klitími zlostmi z mtemtiky fysiky: obě ědí disciliy zá studet techiky již od útlého dětstí. S rími mtemtickými fyzikálími oercemi zákoitostmi se kždý čloěk zčíá sezmot již zákldí škole, středoškolské studium by mělo zlosti z mtemtiky fyziky ýzmě rozšířit rohloubit, ysoké škole techického změřeí jsou otom mtemtik fysik zstouey elkým odílem e studijích rogrmech dou rích ročíků. elký důrz studium mtemtiky fyziky techických školách je dá skutečostí, že řešeí rkticky jkéhokoli techického roblému se eobejde bez ýočtů, řičemž ýočty ejčstěji yjdřují buď obecých ztzích, ebo kokrétích umerických hodotách souislosti růzých fyzikálích eliči (čsu, geometrických rozměrů, ohyboých zeb či siloých ebo eergetických oměrů). ýočtoá řešeí se ětšiou edou s yužitím rátu yšší mtemtiky, zákldím ředokldem jsou šk solehlié zlosti zákldích mtemtických oercí (lgebr, trigoometrie, lytická geometrie, řešeí sousty roic) mezi ezbyté zlosti otom tří ostuy yšší mtemtiky (mtemtická lýz, difereciálí itegrálí klkulce, řešeí difereciálích roic, sttistická lýz, teorie rděodobosti j.). Zláští skuiu otom toří umerické mtemtické metody: jejich ýzm je zejmé e sojeí se složitými techicky áročými ýočty omocí moderí ýočetí techiky. Stejý ýzm jko mtemtik má ro techické ědy fyzik. Jestliže mtemtik sými logickými ostuy zákoitostmi je rostředkem, umožňujícím ost řešit určitý roblém, formulce techického roblému ro jeho ásledý mtemtický ois musí ycházet ze sráé fyzikálí ředsty roblému: jik řečeo, ro řešeí techického roblému se zridl musí ejre ytořit ředst fyzikálí skutečosti, která (čsto s určitým řijtelým zjedodušeím) ysětluje souislosti jedotliých fyzikálích eliči - tyto souislosti jsou otom yjádřey říslušými mtemtickými zthy. elmi důležitým krokem mtemtického oisu fyzikálího modelu ( z hledisk sráosti řešeí krokem odsttým) je rozměroá kotrol (rozměroá lýz): touto kotrolou se roěří formálí sráost sesteých roic z hledisk souldu rozměroých jedotek fyzikálích eliči stuí ýstuí (leé ré) strě roice. Pro rozměroou kotrolu je tedy ezbyté solehliě zát rozměroé jedotky jk zákldích, tk odozeých fyzikálích eliči umět s imi sráě zcházet. K oždoým ědomostem techických rcoíků tří edle mtemtiky fyziky i chemie: zlosti chemických zákoitostí se ultňují zejmé ři řešeí ěkterých zdáliě seciálích úloh (ř. uce o mteriálech, řešeí roblémů sloáí od.) - uážíme-li šk, že roblemtik techických mteriálů růzých eergetických záležitostí se yskytuje rkticky e šech techických odětích, je zřejmé, že zlosti z chemie musí být roěž e ědomostím fodu bsolet ysoké školy techického změřeí.

2 Ke zlostem kždého techicky zdělého rcoík tří i klití srozumitelý roje: erbálí, ísemý ředeším grfický. yjdřoáí techických řešeí omocí rukou ytořeých skic ákresů má i době očítčoé grfiky ezstuitelé místo e ýchoě zdělááí techické iteligece. N strojí fkultě emůže být ýuk ede bez oždku dobrou úroeň grfického rojeu studetů e šech formách ráce se studety: zázmy z ředášek, ráce semiářích cičeích, ři zkouškách. Hlím ýstuem z řešeí růzých techických úloh jsou ýsledky umerické grfické formě. Následující říkldy ukzují ěkolik jedoduchých techických roblémů s ýsledky řešeí. Kždý studet. ročíku strojí fkultě by měl umět ysětlit řístu k ytořeí fyzikálího modelu uedeých roblémů (řešeí šech těchto techických roblémů ychází ze zákldích zlostí fyziky), obecě ost mtemtickými zthy jedotlié souislosti umericky sráě zdou úlohu yřešit.. Určete elikost točiého mometu M t klice ístoého slocího motoru (ro zkresleou olohu kliky): dé oloze kliky je e álci motoru s rtáím D = 85 mm tlk sli = 7 MP. yzčte srozumitelě grfický model řešeí, odoďte roici, yjdřující elikost točiého mometu klice (oloměr kliky R = 45 mm) umericky yočítejte elikost tohoto točiého mometu. ýsledky: síl íst =39,7 kn, síl ojici o =4, kn, točiý momet M t = 85 Nm R D 9 o 5 o Tlk. Poište ohyb hmotého bodu, ržeého ze země šikmo zhůru od úhlem α = 45 kosttí rychlostí = 5 km/h. Při ohybu ůsobí y hmotý bod (ohybující se kosttí rychlostí ) tíhoé zrychleí g. yzčte obecě (schemticky zkreslete) trjektorii tohoto hmotého bodu, ueďte = kost roice, yjdřující obecé odobě α odděleě odoroou sislou složku x rychlosti umericky určete ejyšší dosžeou ýšku y MAX, dobu letu t do ártu zem ulétutou zdáleost x MAX (zdáleost dodu hmotého bodu zem od míst rhu). ýsledky: = x cosα, = siα g t, y 44,m y MAX =, t = 6 letu s, x = 76, 77m MAX

3 3. Určete síly táhlech záěsu odle obrázku, jestliže e sojici táhel ůsobí síl = kn. Obě táhl záěsu jsou yrobe ze E, S stejého mteriálu (ocel s modulem ružosti E =, 5 MP) obě táhl mjí stejý 3 o říčý růřez S = cm, rodloužeí táhel 3 o záěsu ři ztížeí silou jsou oblsti ružých deformcí. yzčte grficky rozkld E, S sil e sojici táhel mtemticky yjádřete L elikost siloého ztížeí jedotliých táhel. Určete umericky elikosti sil ětí jedotliých táhlech. ýsledky: = =5,773 kn, σ =σ = 8,86 MP E =E =E S =S =S 4. Určete síly táhlech záěsu odle obrázku, jestliže e sojici táhel ůsobí síl = kn. Obě táhl záěsu jsou yrobe ze stejého mteriálu (ocel s modulem ružosti E =, 5 MP) obě táhl mjí stejý říčý růřez S = cm, rodloužeí táhel záěsu ři ztížeí silou jsou oblsti ružých deformcí. yzčte grficky rozkld sil e sojici táhel mtemticky yjádřete elikost siloého ztížeí jedotliých táhel. Určete umericky elikosti sil ětí jedotliých táhlech. ýsledky: = =7,7 kn, σ =σ = 35,35 MP E, S 45 o 45 o E, S L E =E =E S =S =S 5. Určete síly táhlech záěsu odle obrázku, jestliže e sojici táhel ůsobí síl = kn. Obě táhl záěsu jsou yrobe ze stejého mteriálu (ocel s modulem ružosti E =, 5 MP) obě táhl mjí stejý říčý růřez S = cm, rodloužeí táhel záěsu ři ztížeí silou jsou oblsti ružých deformcí. yzčte grficky rozkld sil e sojici táhel mtemticky yjádřete elikost siloého ztížeí jedotliých táhel. Určete umericky elikosti sil ětí jedotliých táhlech. E, S 45 o 3 o E, S L E =E =E S =S =S ýsledky: =5,76 kn, =7,3 kn, σ =5,88 MP, σ =36,6 MP 3

4 6. Pro zkresleý čsoý růběh rychlosti chrkteristického bodu (ř. těžiště) yšetřoého těles zkreslete odoídjící čsoý růběh zrychleí tomtéž chrkteristickém bodě. Zište mtemtický zth, yjdřující obecou souislost rychlosti zrychleí liboolém čse t. ýsledek: yzčte růběh zrychleí, odoídjící zkresleému růběhu rychlosti t t 7. Pro zkresleý čsoý růběh zrychleí chrkteristického bodu (ř. těžiště) yšetřoého těles zkreslete odoídjící čsoý růběh rychlosti tomtéž chrkteristickém bodě. Zište mtemtický zth, yjdřující obecou souislost rychlosti zrychleí liboolém čse t. yzčte růběh rychlosti, odoídjící zkresleému růběhu zrychleí ýsledek: t t 8. yjádřete elikost ráce, kterou ykoá íst čerdl (růměr ístu D = 5 mm, zdih Z = 5 mm) během jedé otáčky klikoého hřídele ři ytlčoáí kliy z rostředí o tlku = kp do rostředí o tlku =,8 MP. Jký ýko je otřeb k ohou tohoto ístoého čerdl, jestliže očet otáček klikoého hřídele čerdl je č = /mi? ýsledky: ráce ístu W = - 6,6 [J] =,8 MP Z = kp = [/mi] D (záoré zméko = yložeá ráce), ýko otřebý k ohou čerdl (tj. říko) P č =,4 [kw]. 9. kotli se sálí kždou sekudu kg uhlí o ýhřeosti 5 MJ. kg -. Jký teelý (eergetický) ýko tím uolíme ( ideálím řídě)? ýsledek: teelý ýko P t = 5[MJ.kg - ]. [kg.s - ] = 5 [MJ.s - ] = 5 MW. 4

5 . elektrickým římotoém tělese sotřebujeme z de kwh elektrické ráce. Kolik teelé eergie [MJ] tím získáme ( ideálím řídě)? ýsledek: teelá eergie W t = [kwh] = [J] = 36 MJ. K yřešeí ředcházejících úloh ostčí zlosti středoškolské mtemtiky fyziky. e strojírestí se le yskytuje řd roblémů, k jejichž řešeí jsou otřeb zlosti yšší mtemtiky, hlubší zlosti fysiky ředeším schoost sráě roblém lyzot ost (fyzikálě, mtemticky i techicky). šechy tyto otřebé zlosti si musí studeti strojí fkulty osojit ři ýuce zákldích teoretických ředmětů: mtemtik fyzik rochází trle touto ýukou. Několik jedoduchých techických říkldů ukzuje důležitost klitích ědomostí ze středí školy utost rozšiřoáí těchto ědomostí systemtickým studiem mtemtiky, fyziky dlších ředmětů teoretického zákldu strojírestí strojí fkultě ro řešeí techických úloh z růzých oblstí.. Záěs ytořeý soustou 3 rutů (se symetrickým rozložeím krjích rutů kolem rostředího sislého rutu), je ztíže osmělou sislou silou. Jkou silou bude ztíže rostředí sislý rut? Jedotlié ruty záěsu jsou yrobey ze stejého mteriálu (oceli): modul ružosti mteriálu E říčý růřez rutu S mjí u šech rutů stejou elikost. Deformce záěsu ři ztížeí silou jsou oblsti ružých deformcí. L L α B modul ružosti E = E = E L A α L L růřez S = S = S Řešeí: Po ztížeí záěsu silou se osue záěsý bod A do olohy B, osuutí je zhledem k ružým deformcím elmi mlé. Podmík sttické rooáhy, sesteá ro siloé oměry bodě B, je yjádře jediou roicí + cosα =. Tto jed roice eede k jedoduchému římému řešeí omocí sttiky, eboť úloh je stticky eurčitá: roto je uto defiot dlší odmíky. 5

6 Roici sttické rooáhy dolňuje roice deformčí, sesteá omocí oisu situce o osuutí záěsu z ůodí olohy A do oé ozice B ři ztížeí (iz schém geometrických oměrů místě záěsu o deformci e zýrzěém zázorěí): elmi mlé deformce ři osuu A B orňují ředokládt zchoáí ůodího úhlu α mezi ruty. Potom ltí L = L cosα. Deformce (rodloužeí) jedotliých rutů ružé oblsti yjdřuje Hooků záko (ε je oměrá deformce - rodloužeí, σ je ětí mteriálu): L σ L σ ε = = = ε = = = L E E S L E E S Po úrě dosteme L L = E S = E S L L Pomocí roice deformčí odmíky L = L cosα geometrie záěsu L L = cosα uríme L cosα = E S L cosα zhledem k tomu, že E = E S = S, lze roici ro dále urit = cos α Po doszeí do roice sttické rooáhy dosteme + cos α cos α = Z roice ylýá síl e středím rutu = 3 ( + cos α). čkoý mechizmus střikocího čerdl zjišťuje ohyb ístku ři ýtlčém zdihu. Zdihoá záislost h ohybu ístku úhlu točeí α čkoého hřídele je urče geometrií boku čky čkoého mechizmu: určí se ýočtem lze ji sdo zkotrolot římým měřeím. edle zdihoé záislosti jsou ro čiost střikocího čerdl elmi důležité růběhy rychlosti zrychleí ístku (kiemtické dymické eličiy, oliňující fukci čerdl) - určete odle zámého růběhu zdihu ístku růběhy rychlosti zrychleí ístku ři otáčkách čkoého hřídele = /mi. h α ω 6

7 Řešeí: Průběhy rychlosti zrychleí lze určit ýočtem ro říslušý roozí st (otáčky) čkoého mechizmu odle růběhu zdihu h. Mezi růběhy jedotliých ohyboých eliči ístku ltí jedozčé záislosti. Pro říd kosttí úhloé rychlosti ω čkoého hřídele (tj. ro rooměré otáčeí čkoého hřídele dém otáčkoém režimu) ltí difereciálím yjádřeí, že rychlost ístku je rí dericí zdihu odle čsu: dh = = h dτ, dh je řírůstek zdihu z ekoečě mlý řírůstek čsu dτ. Poz.: grfu jsou sledoé růběhy zkresley záislosti úhlu ootočeí čkoého hřídele α - ři rooměrém otáčeí čkoého hřídele úhloou rychlostí ω ltí rychlost ístku urče jko = dh dα ω. h - - [mm ] [ms ] [ms ] = /mi, α dα = ω dτ, tj. h,,6,,8,4 dα d τ =. Potom je ω Z mtemtického hledisk je rí derice urče hodotou tgety yšetřoého růběhu dém okmžiku z tohoto ohledu je otřeb kotrolot zájemý zth růběhu zdihoé záislosti růběhu rychlosti. Zrychleí ístku lze difereciálím yjádřeím zst jko rí derici rychlosti odle čsu ebo jko druhou derici zdihu odle čsu: d d h = = = = h. dτ dτ dém okmžiku ( dé oloze čkoého hřídele) je zrychleí ístku určeo hodotou tgety růběhu rychlosti ístku e yšetřoém místě: růběhy rychlosti zrychleí musí být ždy tomto zájemém zthu (smozřejmě z ředokldu kosttí úhloé rychlosti ω čkoého hřídele). řiojeém grfu jsou zkresley yočíté růběhy rychlosti zrychleí ístku střikocího čerdl (ro zkresleý růběh zdihu ístku) ři otáčkách čkoého hřídele = /mi. Difereciálí očet ředstuje jedu z ýzmých součástí yšší mtemtiky ro studium techických ědích oborů: bez tohoto rátu elze složitější úlohy e strojírestí ůbec řešit. 7

8 3. Jedoálcoý ístoý komresor stlčuje zduch z tlku tlk, geometrické rozměry álcoé jedotky ukzuje schémtický ákres: je celkoý objem e álci (dolí úrť) ři lěí álce tlkem, je objem e álci ři dosžeí ýtlčého tlku objem 3 je celkoý objem e álci koci ýtlku (horí úrť - škodliý rostor). Určete ráci, otřebou stlčeí ýtlk zduchu: ři stlčoáí užujte se 3 středí hodotou olytroického exoetu celém růběhu stlčoáí. d ι ι 3 Řešeí: ι Celkoá ráce W = W + WYTL ι Práce stlčeí ři tlku během elemetárího osuu ístu o dx se určí ýočtem omocí difereciálího yjádřeí elemetu ráce liboolé oloze ístu ři stčoáí dw = S dx = d (S je loch ístu) Práce stlčeí z tlku tlk se určí jko součet elemetárích rcí ykoých ři změě objemu z objem. Mtemticky je teto součet roede itegrcí fukce, yjdřující elemetárí stlčocí ráci: W = dw = d zhledem k tomu, že tlk e álci se ři stlčoáí měí záislosti objemu, je uto tuto záislost zst do itegroé fukce. Průběh stlčoáí zduchu e álci je olytroickým dějem, osým roicí (fyzik, termodymik) = kost = =. Po doszeí do itegrálu dosteme d = W = d. Čle je kostt byl tedy zsá řed itegrčí zméko. Itegrce fukce je roede odle ridel itegrálího očtu. ( + ) W = d = = [ ]. + Poz: W yjde záoré elikosti je tedy rcí, která byl ylože, tj. sotřeboá stlčeí. ι Elemetárí ráci ytlčoáí zduchu z álce ři stálém tlku určuje difereciálí roice = d. dw YTL 8

9 ι ι Práce ytlčeí stlčeého zduchu z álce (z objemu do zbytkoého objemu 3 ) se určí itegrcí ředcházející difereciálí roice (ři kosttím tlku = 3 ): Poz: W 3 3 YTL = d = d = 3 [ ] = [ ] W YTL má roěž záorou elikost (je to oět ráce yložeá). Celkoá ráce stlčeí ýtlk má otom elikost 3 W = W + W YTL = [ ] + [ ] 3 Rozšířeí mtemtického rátu o difereciálí itegrálí očet studiem mtemtiky strojí fkultě umožňuje řešit i složité techické úlohy. yšší mtemtik se šemi součástmi, které mjí ýzm ro strojíreskou rxi, tří roto dlouhodobě eodmyslitelě do ýzbroje techického zděláí. Z tohoto důodu je ýuk mtemtiky rích ročících strojí fkultě zřze do 4 smosttých ředmětů bklářském studijím rogrmu do 5 smosttých ředmětů mgisterském studijím rogrmu. Noý rozměr mtemtiky ro strojírestí řiesl ýočetí techik - zejmé umerické metody ro řešeí růzých tyů difereciálích roic zyšují možosti oteciál mtemtiky ro yužití techických oborech. ýuk ředmětu Počítče rogrmoáí. semestru studi strojí fkultě, která ukzuje moderí řístu k ýočtoému grfickému zrcoáí růzých techických úloh, roto roěž yžduje klití zlosti mtemtiky ro efektií sráé yužíáí ýočetí techiky. ýuku mtemtiky fyziky strojí fkultě TU Liberci zjišťují ktedry mtemtiky fyziky z edgogické fkulty TU Liberci. ýuk techických ředmětů teoretického zákldu ro strojírestí je otom ktedrách fkulty strojí: ktedře mechiky, ružosti eosti, ktedře eergetických zřízeí, ktedře likoé kyberetiky ktedře částí mechizmů strojů. Absoleti strojí fkulty se musí edle teoretických řešeí růzých kostrukčích, techologických či roozích roblémů elmi čsto zbýt exerimetálím oěřoáím odmíek, zdáých jko stuí údje do těchto řešeí musí být řirei roádět měřeí, kterým se kotroluje sould mezi teoretickým řešeím skutečým ýsledkem (tz. erifikce ebo klibrce ýočtoého modelu). edle zjišťoáí rozměroých geometrických údjů musí techik dokázt sráě změřit yhodotit dlší fyzikálí eličiy jko rychlost, frekeci, telotu, tlk, růtočá možstí od.: měřeí řitom mohou být jk e sttickém, tk dymicky roměliém režimu. Osojeí sráých ostuů ři těchto měřeích oskytují studetům strojí fkulty ředmět yzik, ředměty teoretického zákldu ro strojírestí dlší seciálí ředměty jko Techická měřeí, Elektroik měřeí, Exerimetálí metody, Techická digostik ří. i jedotlié exerimetálí úlohy dlších ředmětech jedotliých studijích oborů změřeí. 9

10 edle odborých teoretických rktických zlostí ro techickou ráci e strojírestí je otřeb i dobrá jzykoá ybeost to jk ro studium zhričí techické litertury, tk ( to zejmé) k římým kotktům se zhričími rtery. Teto oždek je studety stále odceňoá, stuující oá geerce se le deším kokurečím rostředí bez ktií zlosti cizích jzyků rkticky emůže ýzměji rosdit. Studeti by roto měli yužít šech součsých bídek (ř. středědobé studijí obyty zhričích techických školách istitucích, zhričí rxe od.), by získli otřebou jzykoou klifikci. 3