5. Kombinatorika a statistika

Transkript

1 Moderí techologie ve studiu pliové fyziy CZ..07/..00/ Komitori sttisti V prxi se ěžě setáme s potřeou určit, oli způsoy lze ěco provést, přípdě oli e možých způsoů, ěý ev ste. Výpočty zmíěého chrteru se zývá omitori. Komitori, steě o osttí odvětví mtemtiy, e úzce propoe s osttími disciplími. Určitě evíce s teorií prvděpodoosti, terá e pomech z omitoriy ( sttistiy) zložeá. Sttisti posytue dt omitori prostředy. Svými pomy metodmi se upltňue i v dlších odvětvích mtemtiy, zemé v lgeře (v teorii grup), teorii čísel, teorii her, v geometrii, v teorii grfů i v topologii mtemticé lýze. Přestvitelé erůzěších specilizcí potřeuí mohdy řešit úoly, v ichž se zoumí rozmité omice sestveé z písme, číslic iých oetů. Ve šole e tře sestvit rozvrh hodi, vědec-chemi chce prozoumt možá spoeí mezi moleulmi tomy, ligvist uvážit růzé vrity výzmu písme ezámého zy td. V posledích letech se omitori itezívě rozvíí; plye to z toho, že se všeoecě zvýšil záem o prolémy disrétí mtemtiy. Komitoricé metody využíváme při řešeí úloh s doprví témtiou - při sestvováí ízdího řádu, dále při sestvováí luštěí šifer pro řešeí dlších prolémů teorie iformce, vtové optiy. V souvislosti s fyziou si uveďme historicou zímvost. Ay si vědci zistili prioritu svého výsledu y edošlo eho předčsému uveřeěí, formulovli ádro svého oevu v rátém výrou, v ěmž p přestvěli písme. Zšifrový text p rozeslli svým olegům. Npříld dyž Christi Huyges (69 695) oevil Sturův prsteec, sestvil teto grm:, ccccc, eeeee, d, eeeee, g, h, iiiiiii, lll, mm,, oooo, pp, q, rr, s, ttttt, uuuuu. Jestliže se písme Huyges Ch. System Sturium. 659 (The Dier Lirry of the History of Sciece d Techology, Smithsoi Istitutio Lirries, Digitl Editio, 999).

2 áležitě uspořádí, zísáme ásleduící ltisou zprávu: "Aulo cigitur teui, plo, usqum coherete, d eclipticm iclito." V česém přeldu: Olope prstecem teým, plochým, ide ezvěšeým, loěým eliptice. Vyluštěí tové šifry zmelo vyzoušeí velého počtu permutcí uvedeých písme, což y i pro součsou výpočetí techiu ylo velmi otížé. Záldím pricipem omitoriy e prvidlo součiu. KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SOUČINU Lze-li čiost A provést m způsoy ezávisle í čiost B způsoy, p počet všech možých způsoů, provést A i B se rová m. V resturci sou ídelíču růzé polévy růzá hlví ídl. Koli e všech možých způsoů, si vyrt polévu í hlví ídlo? Polévu lze vyrt třemi způsoy, ezávisle í hlví ídlo čtyřmi způsoy. Podle prvidl součiu lze vyrt celem způsoy určitou polévu í hlví ídlo. čiostí. Komitoricé prvidlo součiu pltí i pro přípd více ež dvou ezávislých () Z oli možostí výsledého vzhledu fotogrfie si můžeme vyrt, máme-li dispozici pro ždý fotogrficý ppír 6 růzých formátů, dv růzé typy povrchů (leslý, mtý) růzé stupě citlivosti? Vyíráme z celem 6 6 růzých vzhledů fotogrfie. () Bezpečostí záme u ufříu e ostruová ze tří otočých oleče. N ždém z ich lze stvit číslice 0,,, 9. Koli růzých ofigurcí má ezpečostí záme? Kždá ofigurce e uspořádá troice (,, c). N ždé z poloh,, c lze stvit ezávisle soě 0 růzých poloh číslicemi 0,,, 9. Celový počet ofigurcí e p K výsledu lze dospět i iou úvhou: Počet ofigurcí musí odpovídt počtu růzých tromístých čísel (t. 000, 00,, 00,, 999), terých e celem 000. Úvhy doposud prováděé lze převést úvhy o uspořádých -ticích. T v předchozím příldu () de o počet uspořádých troic vlstostí fotogrficého ppíru (formát, typ, stupeň), v příldu () počet troic čísel (,, c). P lze omitoricé prvidlo součiu oecě formulovt tto:

3 Počet všech uspořádých -tic, z ichž prví čle lze vyrt růzými způsoy, druhý čle po výěru prvího čleu růzými způsoy td., ž -tý čle po výěru ( ). čleu růzými způsoy, se rová. Koli růzými způsoy se může seřdit 6 lietů do froty u přepážy ve spořitelě? Klieti vytvářeí růzé uspořádé šestice (,,,, 5, 6 ). Čle, t. liet stoícího o prvího, lze vyrt 6 způsoy. Po výěru čleu lze čle vyrt iž pouze 5 způsoy ( liet iž yl vyrá prví místo), čle způsoy td., ž čle 6 ediým způsoem. Celem lze tedy vytvořit růzých frot. Komitoricé úlohy lze roztřídit do supi, mících společý "výpočetí záld" tzv. vricí, permutcí, omicí eich modificí. VARIACE Vrice -té třídy z prvů ( ) e ždá uspořádá -tice růzých prvů vyrých z prvů. Počet všech růzých vricí -té třídy z prvů se zčí V (). [Slovy i: Vrice e -tice vyrá z prvů, přičemž v í záleží pořdí ždý z prvů se v í vysytue evýše edou]. Všechy růzé vrice druhé třídy z prvů,, c, d sou (přehledě): e prví e prví c e prví d e prví c d c d c c cd d d dc Pltí V (). Pro počet V () všech růzých vricí -té třídy z prvů pltí vzorec ( ) ( ) ( ) V. (5.) Teto vzorec se zpisue ovyle ve tvru de! ( )( )! V ( ), (5.) ( )!, přičemž se defiue 0! ;! se čte " ftoriál".

4 Mžer portfoli dospěl závěru, že cie společostí splňuí eho ivestorsé záměry. Z těchto třiácti má určit včetě pořdí, teré stoví eich preferece. Koli způsoy to může provést? Jde o vrice. třídy ze prvů, pltí ( ) Výěr lze provést 76 způsoy.!! 0! V 76.! 0! 0! ( ) Připustí-li se opováí prvů v uspořádé -tici vyré z prvů, p se hovoří o vrici s opováím: Vrice s opováím -té třídy z prvů e ždá uspořádá -tice prvů vyrých z prvů. Počet všech růzých vricí s opováím -té třídy z prvů o se zčí ( ) V. Všechy růzé vrice s opováím druhé třídy z prvů,, c, d sou:,, c, d;,, c, d; c, c, cc, cd; d, d, dc, dd. o Pltí ( ) 6 V. pltí vzorec o Pro počet ( ) V všech růzých vricí s opováím -té třídy z prvů o V ( ). (5.) Koli e všech možých devítimístých telefoích čísel? o 9 9 Jde o vrice s opováím, ( 0) V. Zvláštím přípdem vricí sou permutce (pro ). PERMUTACE Permutce prvů e ždá vrice -té třídy z prvů. Počet všech permutcí z prvů se zčí P(). [Slovy i: Permutce prvů e zápis těchto prvů v určitém pořdí.] Všechy růzé permutce prvů,, c sou: 5

5 c, c, c, c, c, c. Pltí P() 6. Ze vzthu (5.) ihed vyplývá vzorec pro počet permutcí prvů: ( )! P. (5.) Koli lze vytvořit všech slov přesmyčou ve slově BOULE? P(5) 5! 0. Permutce s opováím prvů e ždá vrice s opováím -té třídy, ve teré se < růzých prvů vysytue v počtech,,, (pltí p o ). Počet tových permutcí se zčí P ( ),,. Pltí o! P, ( ),. (5.5)!!! Koli růzých slov lze vytvořit přesmyčou ve slově KOLOKOL? Jde o sedmici, ve teré s K vysytue dvrát, O třirát L dvrát. Užitím (5.5) dosteme o 7! 765 P,,( 7) 0.!!! KOMBINACE Komice se od vricí zásdě liší v tom, že ve vyré -tici ezáleží uspořádáí, i řečeo v -tici ezáleží pořdí prvů. Komicí -té třídy z prvů ( ) e ždý výěr růzých prvů z prvů. Počet všech růzých omicí -té třídy z prvů se zčí C (). [Slovy i: Komice e -tice prvů vyrá z prvů, přičemž v í ezáleží pořdí ždý z prvů se v í vysytue evýše edou.] Všechy růzé omice druhé třídy z prvů,, c, d sou:, c, d, c, d, cd. Pro počet C () všech růzých omicí -té třídy z prvů pltí vzorec: 6

6 7 ( ) ( ) C!!!, (5.6) de se zývá omičí číslo čte se " d ". Pro vyčísleí pltí ( ) ( ) ( ). Npříld: Koli způsoy lze vyrt výroy z 0 výroů? Jde o omice třetí třídy z deseti prvů (ezáleží pořdí), ( ) C. Pltí vzorce,, 0,. (5.7) Komičí čísl mí v mtemtice široé upltěí, příld, při formulci iomicé věty. BINOMICKÁ VĚTA Biomicá vět udává vzorec pro umocěí součtu: Pro liovolá čísl, liovolé přirozeé číslo pltí ( ) 0. (5.8) ( ). 6 0

7 8 Koli e růzých podmoži možiy, terá oshue prvů? Prázdá moži e ediá, podmoži oshuících ede prve e, podmoži oshuících prvy e (de o omice druhé třídy z prvů), podmoži oshuících prvy e,, podmoži oshuících ( ) prvů e, podmoži oshuící všechy prvy dé možiy e ediá. Sečteím dostáváme ( ) ( ) ( ) ,, pro užitím vyádříme užitím

8 STATISTIKA Sttisticé úde, eoli sttisticá dt sou číselé úde o hromdých evech. Jedá se o čísl postihuící přírodí, společesé, či ié evy, sledové e edotlivě, le ve velém počtu přípdů. N eich záldě oevueme určité záoitosti, vysytuící se ž při studiu hromdých evů, zároveň též ýváme spolehlivěších podldů pro svá rozhodutí. Příldem sttisticých údů mohou ýt příld úde o počtu oyvtelstv, o eich přímech výdích; o oemu výroy ve firmě, státě; úde o prodei určitého výrou; výsledy měřeí fyziálích veliči; td. Mtemticá sttisti se zývá předem shromážděými sttisticými údi, eich zprcováím rozorem zísých výsledů. Sttisticým souorem zýváme možiu všech oetů sttisticého pozorováí (oso, předmětů, evů...). Jedotlivé prvy této možiy p zýváme prvy (elemety) sttisticého souoru. Počet všech prvů sttisticého souoru ozčueme zýváme rozsh sttisticého souoru. Dlším důležitým pomem e sttisticý z, e to společá vlstost všech prvů sttisticého souoru, eíž proměost e předmětem sttisticého zoumáí, zčíme x. Jedotlivé úde pro orétí prvy sttisticého souoru p zveme hodoty zu ozčíme x, x,..., x. Mohou ýt vyádřey uďto čísly zy vtittiví (tělesá výš, váh; výše pltu...); eo slovím popisem zy vlittiví (ltertiví: muž že; otevřeo zvřeo; prospěl eprospěl...; eo více možostí: árodost; povoláí; áožeství...). Zoumáme-li tělesou výšu dětí určeé záldí šoly, ude sttisticým souorem moži všech žáů dé šoly; prvem sttisticého souoru edotlivý žá; rozshem sttisticého souoru e počet žáů šoly. Zoumým vtittivím zem e tělesá výš, hodotmi zu p edotlivé měřeé veliosti dětí. I v přípdě zoumáí vtittivích zů, dy e teoreticá možost, že hodoty zů sou vzáem růzá čísl, tomuto evu dochází e zříd. V přípdě velých sttisticých souorů dochází opovému výsytu hodoty zu pro růzé sttisticé prvy. Počet sttisticých prvů, imž přísluší steá hodot zu x, se zývá solutí četost hodoty zu x ; zčíme i. Dále defiueme reltiví četost hodoty zu x o podíl solutí četosti u rozshu souoru, zčíme i r (,,..., ; de ) 9

9 r. (5.9) Pltí... z toho vyplývá, že součet všech reltivích četostí pro hodoty dého zu e rove edé r r r... r (... ). CHARAKTERISTIKY STATISTICKÉHO SOUBORU Sttisticými chrteristimi zýváme čísl, terá podáví stručou souhrou iformci o dém sttisticém souoru. Při zoumáí edoho zvoleého zu de především o chrteristiy polohy (ritmeticý průměr, modus, mediá) chrteristiy vriility (rozptyl, směrodtá odchyl). A) Chrteristiy polohy Chrteristiy polohy sou čísl, terá chrterizuí "průměrou (středí) hodotu" sledového vtittivího zu ve sttisticém souoru. Aritmeticý průměr x hodot x, x,..., x vtittivího zu x ve sttisticém souoru e dá vzorcem x x x... x x. (5.0) V přípdě, že ve sttisticém souoru rozshu sou osžey prvy se steou hodotou zu, tz. x mí četosti (,,..., ; de ), p pltí x x x... x x. (5.) Modus hodot x, x,..., x zu x e hodot, terá má evětší četost ve sttisticém souoru. Zčíme Mod (x). Mediá hodot x, x,..., x zu x sttisticého souoru, v ěmž sou prvy uspořádáy podle veliosti hodot sledového zu (x x... x ), e prostředí hodot zu. U souorů, eichž rozsh e liché číslo se mediá 0

10 rová hodotě prostředího zu, t. prvu s idexem ()/; u souorů, eichž rozsh e sudé číslo se mediá rová ritmeticému průměru hodot dvou prostředích prvů, t. prvů s idexy /, /. Zčíme Med (x). Pozám: J uvidíme v ásleduících příldech, ritmeticý průměr ám může vrátit i hodotu zu, terá vlstě eí pltá (eí osže ve sttisticém souoru). Aritmeticý průměr e té šptě použitelý v přípdě, dy má část prvů sttisticého souoru zásdě iou hodotu zu ež zyte prvů (hodoty zu sou rozděley výrzě esymetricy). Teto prolém p může řešit užití mediáu či modusu. Z výše řečeého vyplývá odpověď čsto ldeou otázu, proč dvě třetiy lidí edosáhou průměrý plt existue totiž mlá supi lidí, terá má hodě dstdrdí plty, teré zvyšuí ritmeticý průměr celého sttisticého souoru. Pozor té zprcováí dt výsledů měřeí. Výrzě iá hodot v souoru měřeých dt může zčě zreslit správost měřeí! Tul popisue rozděleí četostí úrzů pro edotlivé hodiy ěžé prcoví doy (. ž 8. hodi) v odoí edoho rou u emeové továry. Které hodiy prcoví doy sou eritičtěší z hledis výsytu úrzů? Hodoty zu x Četosti úrzů pro edotlivé hodiy Součet 0 Pro sttisticý z popsý tulou spočítáme x, Med (x) Mod (x). x x 8x x ɺ, Med (x), eoť (x 55 x 56 )/ ( ) /. Mod (x). Je zřemé, že odpovědi, ve terou deí dou dochází prcovím úrzům ečstěi, ám elépe poslouží vyádřeí chrteristiy modus. N záldě tového pozorováí p lze učiit příslušá optřeí pro preveci úrzů.

11 B) Chrteristiy vriility Chrteristiy vriility sou čísl, terá chrterizuí, se hodoty zu prvů souoru liší (sou rozptýley) od zvoleé chrteristiy polohy (ritmeticého průměru, středí hodoty). Vričí rozpětí R defiueme o rozdíl mezi evětší emeší hodotou zu prvů dého souoru R x mx x mi. (5.) -tá odchyl hodoty zu x od ritmeticého průměru x ve sttisticém souoru e defiová o x, pro,,...,. (5.) x Průměrá solutí odchyl e p defiová pomocí vzorce x x. (5.) Rozptyl s x e ritmeticý průměr druhých moci odchyle hodot zu od ritmeticého průměru s x ( x x). (5.5) Směrodtá odchyl s x e druhá odmoci z rozptylu. Výhodou této chrteristiy e, že postihue vriilitu zu v měřicích edotách zu, ztímco rozptyl e vyádře ve druhých mociách těchto edote. s x ( x x). (5.6) Vypočtěme chrteristiy vriility, ychom ilustrovli eich výzm v porováí s chrteristiou polohy. Určíme rozptyl směrodtou odchylu pro tři sttisticé souory o steém rozshu hodot 5, teré mí týž ritmeticý průměr x 0 sledového zu x. ) 0, 0, 0, 0, 0 ) 8, 9, 0,, c) 0, 5, 0, 5, 0

12 sttisticý souor c ritmeticý průměr průměrá solutí odchyl 0, 6 rozptyl 0 50 směrodtá odchyl 0, 7,07 Z předchozího příldu e ptré, že ritmeticý průměr, přestože chrterizue průměrou hodotu sledového zu ve sttisticém souoru (logie výpočtu těžiště ve fyzice), evydřue ic ližšího o hodotách zu, z ichž yl vypočte. Lze říci, že čím větší e vriilit hodot zu, tím méě reprezettiví e ritmeticý průměr, či iá chrteristi polohy. Iformci o rozptýleí hodot zu olem ritmeticého průměru podává průměrá solutí odchyl eo lépe rozptyl, resp. směrodtá odchyl. N závěr této pitoly si vypočítáme příld ze zušeí (fyziálí) lortoře. Při otrolím měřeí hmotosti m 0 plstových výlisů vyroeých v edé sérii yly dosžey ásleduící výsledy (viz tul). Stovte průměrou hmotost m směrodtou odchylu s m pro vyroeou sérii výlisů. Číslo vzoru Hmotost m [g] m [ g] m ( m m) [ g ],8-0, 0,0, 0, 0,09, 0, 0,0,9-0, 0,0 5, 0, 0,0 6,0 0,0 0,00 7,0 0,0 0,00 8, 0, 0,0 9,0 0,0 0,00 0,7-0, 0,09,8,,,9,,0,0,,0,7 m, 0g , 6 0 s 0 ( mm) 0,6 0,65 g 0, g 0 ɺ. m 0

13 Cílové zlosti. Užití omitoricého prvidl součiu při řešeí ěžých omitoricých úloh.. Rozlišeí omitoricých úloh vrice, permutce, omice eich modifice.. Vzorce pro stoveí počtu vricí, permutcí, omicí eich modificí.. Aplice Biomicé věty. 5. Spočítt záldí chrteristiy sttisticého souoru.