UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI P Ř Í R O D O V Ě D E C K Á F A K U L T A KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE

Transkript

1 UNIVRZIA PALACKÉHO V OLOMOUCI P Ř Í R O D O V Ě D C K Á F A K U L A KADRA MAMAICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MAMAIKY DIPLOMOVÁ PRÁC Modely volaly Vedoucí dplomové práce: Mgr. Ondřej Vencálek, P.D. Rok odevzdání: 0 Vypracovala: Bc. Marna Vrzalová AM,. ročník

2 Prolášení Prolašuj, že jsem dplomovou prác zpracovala samosaně pod vedením pana Ondřeje Vencálka a výradně s použím uvedené leraury. V Olomouc dne

3 Poděkování Ráda byc poděkovala vedoucímu dplomové práce panu Ondřej Vencálkov za jeo rpělvos a čas, kerý m věnoval v době konzulací. Poděkování s zaslouží má rodna, kerá mě po celý čas méo suda podporovala.

4 Obsa. Úvod Analýza časovýc řad Časové řady Dělení časovýc řad Dekompozce Bo Jenknsonova meodologe Auokorelační funkce Parcální auokorelační funkce Bílý šum Podmíněné rozdělení Auoregresní proces ARp Proces klouzavýc součů řádu MA Smíšený proces ARMA ARIMAp,d, SARIMA p,d, P,D,Q Fnanční časové řady Výnosy z akv Lepokurcké rozdělení Podmíněná eeroskedasca Volala Míry volaly Modely volaly Lneární modely volaly ARCH Auoregressve Condonal Heeroscedascy ARCH Smulace modelu ARCH Vlv změny paramerů GARCHp, Generalzed ARCH GARCH, Smulace modelu GARCH, Vlv změny paramerů

5 5.3 Odady paramerů v modelec volaly Věroodnosní funkce Výsavba modelů volaly Výsupy sofwaru R Zajšění saconary časové řady Augmened Dckey-Fuller es ADF Saconarzace časové řady Určení úrovňovéo modelu Ověření kvaly úrovňovéo modelu Významnos paramerů esování auokorelace rezduí Normala rezduí esování příomnos eeroskedascy v časové řadě Určení modelu volaly a jeo verfkace Předpověd podmíněnéo rozpylu Aplkace modelů volaly na daa nefnančnío carakeru Závěr Použé zdroje

6 . Úvod V poslední době rose význam modelování volaly ve fnanční sféře. Bez uvažování volaly, vyjadřující nejsou na ru, je éměř nemožné kvalně predkova budoucí vývoj cen. Donedávna byla volala odadována pomocí směrodané odcylky č rozpylu, jejcž odnoy neodpovídaly skuečnos, nereagovaly na dynamcké změny na fnančním ru. Cílem edy bylo leda způsob předpovědí, keré budou brá v poaz více nformací a věrněj odadova budoucí vývoj nejsoy na ru. Jedním z řešení jsou právě modely volaly. Počáky modelů volaly se daují do roku 98, kdy ngle přšel s návrem modelu ARCH. Následně byl model zobecněn modelem GARCH a dnes se jž můžeme dočís o desíkác a možná více dalšíc modfkací modelů. ARCH modely používají k modelování volaly podmíněnéo rozpylu. U mnoa časovýc řad, zejména s vysokou frekvencí měření se ož časo vyskyuje v čase proměnlvý rozpyl, kerý je v rozporu s předpoklady klasckýc modelů, kde byl předpokládán v čase konsanní rozpyl. Kombnací modelů podmíněné sřední odnoy a podmíněnéo rozpylu pak můžeme dosánou kvalnějšíc předpovědí cen fnančníc akv. Cílem mé práce je seznám čenáře se základním lneárním modely volaly ypu ARCH a GARCH, jejc vlasnosm a ukáza posup př výsavbě ěco modelů za pomocí sofwaru R. V drué kapole přpomenu základní pojmy z oblas časovýc řad a popíšu někeré modely Bo-Jenknsonovy meodologe. U auoregresnío modelu odvodím základní carakersky a dokážu ak předpoklad v čase neměnnéo podmíněnéo rozpylu. Následující kapola bude mí za úkol popsa carakerscké vlasnos fnančníc časovýc řad, kerým jsou např. lepokurcké rozdělení, výsky podmíněné eeroskedascy ad. Budou aké zmíněny jednodušší míry volaly a poukázáno na jejc nevodnos. Obsaem čvré kapoly je pops prncpu fungování modelů volaly. Mmo jné se budu snaž poukáza na nadřazenos podmíněné předpověd nad nepodmíněnou. 5

7 Následovně budou dealně popsány modely ARCH a GARCH. Průbě procesů bude demonsrován na smulac procesu. Zaměřím se aké na zkoumání souvslos mez volbou paramerů a výskyem volaly. Šesá kapola voří sourn kroků pořebnýc k výsavbě modelů volaly. Posup bude ukázán na příkladě časové řady směnnýc kurzů CZK/UR. Modely volaly jsou převážně spojeny s analýzou fnančníc č ekonomckýc časovýc řad. V éo čás se pokusím aplkova eor modelů volaly na vysokofrekvenční daa z oblas energeky. 6

8 . Analýza časovýc řad V éo kapole se přpomenu základní pojmy používané v oblas analýzy časovýc řad. Uvedu prncp Bo Jenknsonovy meodologe a základní modely spolu s jejc vlasnosm. Pro vypracování přeledu bylo použo zejména zdrojů [] a [6]... Časové řady Náodným procesem nazveme sysém náodnýc velčn na émže pravděpodobnosním prosoru,, P, kde Ω je množna všec možnýc výsledků náodnéo jevu, A jevové pole, zn. sysém podmnožn Ω, splňující vlasnos n n P n n y, defnovanýc a je množna časovýc okamžků, ve kerýc je prováděno měření. Výsledkem realzace náodnéo procesu je časová řada. Časovou řadu voří cronologcky uspořádaná daa, kerá získáváme pozorováním určé velčny v čase. Časové řady jsou předměem zkoumání nejrůznějšíc sasckýc analýz ekonomckýc jevů. Cílem analýzy časovýc řad je porozumě mecansmu, kerý generuje daa a nají vodný model, na základě něož budeme moc co nejkvalněj předpovída budoucí směr vývoje pozorované velčny.. Dělení časovýc řad I. Dle frekvence pozorování a Dlouodobé časové řady - pozorování je prováděno v ročníc, někdy delšíc nervalec. b Krákodobé časové řady měření v úsecíc krašíc než jeden rok, např. měsíc, ýden. 7

9 c Vysokofrekvenční časové řady pozorování prováděno ýdně, denně, každou odnu apod. Vykazují specfcké vlasnos, keré budou zmíněny v následující kapole. II. Dle ypu ukazaele a Inervalové časové řady zagregované údaje za jednoku času, např. produkce za měsíc. b Okamžkové časové řady odnoy éo časové řady jsou naměřeny k určému časovému okamžku..3. Dekompozce Jednou z meod používanýc k rozboru ekonomckýc časovýc řad je klascký dekompozční přísup, kdy našm cílem je pronknou louběj do podsay časové řady ak, že dokážeme elmnova jednolvé složky časové řady. Poé lze jednolvé složky zkouma a předpovída jejc budoucí vývoj zvlášť. Dekompozce spočívá v modelování sysemacké, nenáodné složky. sují dva způsoby dekompozce časovýc řad, a o advní y S C a mulplkavní y SC, kde je rend časové řady, znázorňuje endenc dlouodobéo vývoje, S značí sezónnos da, edy pravdelné odcylky od rendu s perodou kraší než jeden rok, C je označením pro cyklus dlouodobé kolísání s proměnlvou perodou a ampludou a ε zarnuje vlvy, keré nelze modelem vysvěl, edy náodnou složku. yp dekompozce volíme v závslos na ypu časové řady. K modelování rendu používáme různýc regresníc funkcí lneární, kvadracká, eponencální ad., u ncž poé odadujeme paramery. Pokud je funkce lneární v paramerec, využjeme odadovací meody nejmenšíc čverců, kerá nám zaručí dobré vlasnos odadu. Vodnos zvolené regresní funkce lze ověř např. grafcky, vykreslením skuečnýc a modelovanýc odno nebo můžeme použí další míry vodnos, mez keré paří nde deermnace, rezduální souče čverců, sřední čvercová cyba MS a další. 8

10 .4. Bo Jenknsonova meodologe Na rozdíl od předcozío dekompozčnío přísupu, kde byl kladen důraz na zkoumání sysemacké nenáodné složky za předpokladu, že pozorování jsou vzájemně nekorelovaná, Bo Jenknsonův přísup voří modely na základě náodné složky a přpouší, že rezdua moou bý vzájemně korelovaná. Důležým násrojem ooo přísupu je edy korelační analýza spolu s grafckým násroj, s jejcž pomocí jsme scopn vyšeř závslos mez pozorováním prosředncvím cyb. Meody Bo Jenknsonovy meodologe fleblně reagují na změny v carakeru modelované časové řady, avšak mají několk nevýod. Mez yo nevýody paří fak, že aplkace meod v pra je časo časově fnančně náročná, předpoklady modelů nebývají časo splněny a ke konsrukc kvalnío modelu je zapořebí alespoň 50 pozorování. Jedním z předpokladů aplkace Bo-Jenknsonovy meodologe je, že pro výsavbu modelů je pořeba saconary časové řady. ady jž vznká problém, jelkož mnoé časové řady da reálnéo svěa eno předpoklad nesplňují. Avšak esují násroje, s jejcž pomocí lze časovou řadu převés na saconární. Abycom zajsl saconaru časové řady, můžeme uží ransformace časové řady např. logarmcká ransformace pro kladná daa č převés úroveň časové řady pomocí dferencování. Saconarou řady rozumíme usálené pravděpodobnosní cování řady v čase. Pro účely modelů sačí uvažova zv. slabou saconaru, kerá klade požadavek na konsannos sřední odnoy a rozpylu a nvaranc kovaranční srukury vůč časovým posunům. Socascký proces y, cov ys, y cov ys, y, s nazýváme slabě saconární. y,, kerý splňuje následující vlasnos V případě normálnío socasckéo procesu mplkuje slabá saconara srkní saconaru, což znamená, že pravděpodobnosní rozdělení náodnéo vekoru y,... y je sejné jako rozdělení náodnéo vekoru y,... y k k. 9

11 Socascký proces y označujeme za nverblní, jeslže jej můžeme přepsa do auoregresnío varu, edy můžeme-l jeo současnou odnou vyjádř pomocí odno mnulýc a současné odnoy bíléo šumu. K analýze a denfkac modelů socasckéo procesu využíváme auokorelační a parcální auokorelační funkce a jejc denfkačníc bodů..4.. Auokorelační funkce Pro saconární časovou řadu defnujme auokovaranční funkc k k cov y, y k a auokorelační funkc k, k 0 pro k =...,-,0,,..., kde 0 je rozpyl časové řady. Funkční odnoy auokorelační funkce lze vykresl pomocí korelogramu, kerý nám může poslouž ke zjšění, zda časová řada má caraker bíléo šumu vz Auokovaranční auokorelační funkce jsou sudé funkce, proo nám sačí se př jejc zkoumání omez na body k 0. Idenfkačním bodem nazýváme akový bod k 0, od nějž dále je auokorelační č parcální auokorelační funkce nulová. Podle varu auokorelační funkce a jejío denfkačnío bodu jsme scopn denfkova vodný yp modelu..4.. Parcální auokorelační funkce Parcální auokorelační funkce kk je další důležou carakerskou časové řady. Předsavuje parcální korelační koefcen mez y a y př pevnýc odnoác k y,...,. y k Parcální korelační koefcen vyjadřuje edy korelac k a y očšěnou o vlv velčn mez nm. [8] 0 y

12 .4.3. Bílý šum Proces bíléo šumu je nejjednodušší formou socasckéo procesu,, jeož pravděpodobnosní rozdělení má konsanní sřední odnou a konsanní rozpyl. Auokorelační a parcální auokorelační funkce splňují yo podmínky y pro k 0 pro k 0 k 0 pro k 0 0 pro k 0. k kk kk Znamená o edy, že ACF a PACF bíléo šumu jsou dencky nulové, jedná se o saconární proces. Pro k 0 se rovná, jelkož cov y, y cov y, y 0. k k k V případě normálnío rozdělení, nazýváme proces bíléo šumu gaussovským procesem bíléo šumu Podmíněné rozdělení Podmíněná sřední odnoa je sřední odnoa náodné velčny X za podmínky, že náodná velčna v časec,,... nabyla konkréníc odno. Narozdíl od nepodmíněné sřední odnoy, kerá byla vyjádřena číslem, se zde jedná o náodnou velčnu závslou na volbě podmínky, je edy funkcí podmínky. [6] K modelování podmíněné sřední odnoy slouží modely podmíněné sřední odnoy, např. AR, ARMA, ARIMA. Na základě modelů podmíněné sřední odnoy bývají časo vořeny předpověd např. cen fnančníc akv. Není však zoledněna rzkovos, jelkož modely předpokládají v čase neměnný rozpyl omoskedascu. Podmíněný rozpyl je rozpyl náodné velčny X za podmínky, že náodná velčna v časec,,... nabyla konkréníc odno. Opě se jedná o náodnou velčnu. Podmíněný rozpyl se nazývá funkcí skedasckou, a o omoskedasckou, je-l podmíněný rozpyl v čase neměnný a eeroskedasckou, je-l podmíněný rozpyl měnlvý

13 v čase. Na základě předpokladu eeroskedasckéo podmíněnéo rozpylu pracují modely volaly Auoregresní proces ARp V éo kapole nejprve uvedu nejjednodušší AR proces, na jeož základě budou demonsrovány vlasnos procesu. Následně bude uvedena obecná forma procesu ARp. Auoregresním procesem. řádu AR nazveme proces X akový, že kde ~ WN0,., Př splnění podmínky saconary můžeme přepsa do varu saconárnío lneárnío procesu ke kerému dospějeme následujícím způsobem......, Dosadíme- l do vzau n n n n Abycom dosal nekonečnou řadu, pořebujeme vyruš poslední člen vzau 3. Aby se poslední člen pro n blížl k 0, musí bý splněna podmínka saconary a pak dosáváme vza. Nyní se podívejme na základní carakersky procesu AR, keré můžeme vypočía ze vzau s využím vlasnosí bíléo šumu ~ WN0, Nepodmíněná sřední odnoa je nulová

14 3 Podmíněná sřední odnoa je v čase proměnlvá.. Nepodmíněný rozpyl nezávsí na čase, je konsanní.... var var... var var Podobně vypočeme podmíněný rozpyl, kerý je u procesu AR v čase neměnný. Př výpoču využjeme dey, že známe-l, můžeme považova za konsanu a počíáme podmíněný rozpyl. var var var Výpočem carakersk AR procesu jsme poukázal na skuečnos, že proces je podmíněně omoskedascký. Podmíněný rozpyl je konsanní, což právě u fnančníc časovýc řad časo neplaí. Obecný auoregresní proces ARp má var kde je bílý šum a p,... jsou paramery. Přepíšeme-l pomocí operáoru zpěnéo posunuí p B B B.... Proces ARp je saconární, leží-l všecny kořeny B vně jednokovéo kruu a je vždy nverblní, proože je zadán v požadovaném varu ke splnění podmínky nverbly. Auokorelační funkce procesu má var kombnace klesajícíc geomerckýc posloupnosí a snusod s geomercky klesající ampludou bez esence denfkačnío bodu. U PACF naopak denfkační bod esuje a je roven řádu procesu.,... p p

15 .4.6. Proces klouzavýc součů řádu MA MA model zapsujeme ve varu... nebo pomocí operáoru zpěnéo posunuí B, kde B j. B j j MA je vždy saconární. Proces MA nazveme nverblním, leží l kořeny B vně jednokovéo kruu. ACF procesu má denfkační bod v bodě rovnému řádu procesu. Pro PACF, kerá je ve varu omezené geomercké posloupnos č snusody s geomercky klesající ampludou, denfkační bod neesuje. Proces MA je zadán vzaem. Podmínkou nverbly, za jejíž planos lze proces přepsa do auoregresnío varu je Smíšený proces ARMAp, Proces ARMA p, je kombnací procesů ARp a MA. Uvádí se ve varu... p p.... Proces ARMAp, lze zapsa pomocí operáoru zpěnéo posunuí B B. Podmínka saconary je sodná s podmínkou saconary u ARp a podmínka nverbly je sejná jako u procesu MA. Jel p, pak prvníc p členů ACF nezapadá do carakersckéo průběu ACF, kerý po prvníc p členec má podobu lneární kombnace eponencálně klesajícíc poybů a snusod s geomercky klesající ampludou. Pro p bude mí ACF pro k p var podobný varu ACF procesu MA. PACF procesu ARMA je po prvníc p odnoác funkce omezená křvkou, kerá je lneární kombnací klesajícíc 4

16 geomerckýc posloupnosí a snusod s geomercky klesající ampludou. Pro ACF an PACF procesu ARMA neesuje denfkační bod. [].4.8 ARIMAp,d, Proces ARIMA se řadí mez negrované procesy, kerým lze modelova nesaconární časové řady. Nesaconara časové řady může bý následkem v čase měnící se sřední odnoy nebo rozpylu. Jedná se v podsaě o proces ARMAp,, kerý je aplkován na řadu d-ýc dferencí původní řady. Proces ARIMAp,d,, zapíšeme-l jej pomocí operáoru zpěnéo posunuí je ve varu B w B, kde w d, d B d lze ako zapsa pomocí operáoru zpěnéo posunuí a označuje d-é dference, původní časovou řadu. Př výsavbě modelů ARIMA se nejprve převede pomocí dferencí nesaconární řada na saconární, a eprve poé se denfkuje na časové řadě Důležou poznámkou je, že negrovaný smíšený proces d 0 jž nemusíme cenrova, jeo sřední odnoa je nulová. w proces ARMAp,., př řádu dferencování U ekonomckýc časovýc řad se doporučuje aplkova na časovou řadu zv. logarmckou ransformac, kerá sablzuje časovou řadu z ledska rozpylu. S její pomocí dosáneme rozdělení podobnéo normálnímu, keré je robusní vzledem k odlelým bodům. [4] Docílíme oo, že časová řada bude generována šoky, keré jsou způsobeny nesysemackým vlvy, je edy carakeru bíléo šumu. Logarmcká ransformace je odůvodnělá zejména v případě ekonomckýc časovýc řad, kde pozorování bývají kladná čísla. Je-l logarmcky ransformovaná časová řada saconární, jedná se o negrovaný proces I0, není-l saconární, je řeba provés první dference. Je-l z grafu prvníc dferencí jž vdě saconara, jedná se o negrovaný proces I. Určení řádu dferencování probíá na základě vykreslení časové řady a jejc dferencí, zodnocení ACF, kdy ACF v případě nesaconary klesá velm pomalu. Využí lze aké esu jednokovýc kořenů, kerý bude přblížen v kapole 6... V pra se užívá dferencí nžšíc řádů, prvnío č druéo řádu. 5

17 .4.9 SARIMA p,d, P,D,Q SARIMA je modelem Bo Jenknsonovy meodologe, kerý umožňuje modelova sezónní časové řady. Model Pro vysvělení jeo složení uvažujme dva modely. [] L D L B L B, 4 kde odpovídá pozorováním v rámc perody L, L L L PL B B B... PB je sezónní auoregresní operáor řádu P, L L L QL B... Q sezónní operáor klouzavýc součů řádu Q, B L měsíční daa, L=. sezónní dferenční operáor, kde L sezónní peroda, např. máme-l Na model 4 můžeme políže jako na model ARIMA v rámc jedné perody L, např. jednoo měsíce. Jelkož náodné složky, označené v omo případě, jsou v jednolvýc perodác korelovány, neboť předpokládáme vza mez sezónam, uvažujme druý model pro aké ve formě ARIMA procesu d B B kde je bílý šum, L, 5 d operáor běžnéo dferencování. Pak spojíme-l doromady modely 4 a 5 dosaneme model SARIMAp,d, P,D,Q L. L d D L B B L B B. Př výsavbě SARIMA modelů se posupuje ak, že nejprve sesavíme časovou řadu w d D L a určíme řády běžnéo a sezónnío dferencování d, D. Pokud z vykreslené ACF řady w vdíme, že v bodec auokorelační funkce rovnýc L, L, 3L.. nabývá auokorelační funkce významnýc odno a odnoa ACF v ěco bodec pomalu klesá, je nuné sezónně dferencova, edy D=. Víme ož, že auokorelační funkce v bodec L, L,.. odpovídá odadnuým odnoám ACF modelu 4. Sačí zkonrolova prvníc 4 L bodů. Pokud navíc ACF mez body L, L, 3L,.. klesá pomalu, éměř lneárním empem, musíme použí běžné dference, edy d=. Řády dferencování d, D mívají nejčasěj odnou 0 č. 6

18 Máme-l sanovené odnoy d, D, snažíme se denfkova model L L B B w B B dle ACF a PACF. Věšnou se užívá omogenníc modelů SARIMAp,d,0P,D,O nebo SARIMA0,d,0,D,Q. Idenfkace modelů p,d,p,d,q je jž složější záležosí jak z ledska odadu velkéo poču paramerů, ak z ledska denfkace, kdy určení řádů dos závsí na zkušenosec saska. [] 7

19 3. Fnanční časové řady V dnešní době je značná čás číselnýc údajů z fnanční sféry udávána ve formě časovýc řad. Fnanční časové řady moou např. vyjadřova růs kurzů akcí, kurzů měn a dalšíc. Věšnou se jedná o časové řady, keré jsou měřeny s vyšší frekvencí než osaní časové řady, např. každou odnu, každý den. Bylo ukázáno, že vysokofrekvenční časové řady vykazují zvlášní vlasnos, proo je řeba brá je v poaz a rozvíje nové, lepší způsoby jejc zpracování. V éo kapole se seznámíme s carakersckým znaky fnančníc, ale obecně krákodobýc časovýc řad a způsobu jejc zpracování. 3.. Výnosy z akv Mnoo fnančníc sudí pracuje s časovým řadam koefcenů výnosů akv, namíso časovýc řad cen akv. Jedním z důvodů je, že výnos z akva předsavuje pro nvesora komplení přeled o nvesční příležos, a ím druým, že časová řada výnosů akv mívá lepší sascké vlasnos. kde Hrubý jednoducý výnos nebo-l koefcen růsu je defnován ako [7] P R, P R předsavuje relavní přírůsek ceny akva, P P R, P P cenu akva v čase a P cenu akva v čase -. Výnos můžeme po vynásobení 00 nerpreova jako %-ní změnu odnoy z času - do času. Výnos akva by měl bý nezáporný, proo se uvažuje log-normální rozdělení. Má-l výnos log-normální rozdělení, pak logarmus výnosu r ln R ln P ln P má rozdělení normální. Můžeme s všmnou, že ve výpoču r je zarnua logarmcká ransformace a následně první dference, díky níž časová řada výnosů věšnou bývá saconární. 8

20 3. Lepokurcké rozdělení Př prác s fnančním řadam předpokládáme, že logarmy výnosů jsou nekorelované, dencky rozdělené náodné velčny, s konsanní sřední odnoou a rozpylem, popř. s normálním rozdělením s nulovou sřední odnoou a konsanním rozpylem. eno předpoklad zajšťuje jsé výodné sascké vlasnos, avšak ukazuje se, že časo nebývá splněn. Časo můžeme u časové řady logarmů výnosů pozorova, že sřední odnoa není nulová. Navíc an předpoklad nekorelovanos, kerý v případě normálnío rozdělení splývá s předpokladem nezávslos, nebývá splněn. Logarmy výnosů moou bý korelované a pokud se na první poled zdá, že korelované nejsou, lze časo pozorova významnou korelac čverců odno, kerá může bý odsraněna použím vodnýc modelů volaly Na selání předpokladu normaly upozornl jž 963 Mandelbro a poé řada dalšíc. Oblas neplanos základnío předpokladu mnoa eorí je neusále zkoumána, auoř sudí se snaží naléz aková rozdělení, keré by dokázalo lépe popsa cování fnančníc časovýc řad. Pro zajímavos uvádím někerá z navrovanýc rozdělení cyb jako je Sudenovo rozdělení, GD rozdělení Generalzed rror Dsrbuon, Laplaceovo rozdělení, L-sablní rozdělení apod. [5] Rozdělení logarmů výnosů je špčaější než pravděpodobnosní rozdělení normálnío rozdělení, vz. obr., zn. X K 4 4 3, kde K je carakerska špčaos rozdělení, sřední odnoa rozdělení, směrodaná odcylka rozdělení. oo rozdělení má zv. ěžké konce eavy als, keré by se daly vysvěl pravděpodobnějším výskyem erémně malýc velkýc odno. ao vlasnos je ím pozorovaelnější, čím je vyšší frekvence měření. [] Příčnou lusýc konců rozdělení je v čase měnící se podmíněný rozpyl. 9

21 Obr. Jádrový odad usoy denní fnanční řady kurzu CZK/SKK a usoa normálnío rozdělení. Poznámka Jádrový odad usoy je neparamerckou meodou odadu usoy, kdy dopředu nepředpokládáme určý var usoy. Meoda pracuje na základě klouzavéo váženéo průměru. V sofwaru R se vyvoří jádrový odad usoy na základě příkazu densy. Př odadu usoy záleží aké na ypu zvolenéo jádra a jeo šířce, jež lze nasav v argumenec kernel a bw. Nezměníme-l v R yp jádra, R auomacky použje gaussovské jádro s bw odadnuou dle Slverova pravdla na základě vzau mn, bw 0,9, 5 n kde je odadnuá směrodaná odcylka z da, 0,75,34 0,5 a n je rozsa výběru., kde čael předsavuje mezkvarlové rozpěí 3.3 Podmíněná eeroskedasca Heeroskedasca je pojmem vyjadřující vlasnos, že cyby modelu jsou navzájem korelované s měnícím se rozpylem. ao skuečnos může bý způsobena např. závslosí rozpylu na někerém z regresorů v modelu. Nejjednodušším způsobem, jak deekova eeroskedascu, je vykresl s rezdua modelu v závslos na proměnné. [4] Růs rozpylu rezduí v závslos na proměnné je ned parný, vz. obr.. 0

22 Obr. Heeroskedasca, dle [6] Podmíněná eeroskedasca znamená proměnlvos podmíněnéo rozpylu v čase. Bývá časo pozorovanou vlasnosí právě u vysokofrekvenčníc časovýc řad a souvsí s měnící se nejsoou volalou na ru v čase. Důsledkem podmíněné eeroskedascy je nepodmíněné rozdělení, keré je carakerscké věší špčaosí a lusším cvosy. Její prokázání pomocí esů eroskedascy nás vede k oprávněné aplkac modelů volaly nebo-l modelů podmíněné eeroskedascy. 3.4 Volala Volala je ermínem pro náodné auokorelované změny rozpylu v čase. ao vlasnos bývá časo pozorována zejména u vysokofrekvenčníc časovýc řad. Může se sá, že např. u denní časové řady nebude volala pozorovaelná a projeví se až u da s vyšší frekvencí, např. odnovou. V oblas fnančníc časovýc řad ermín vypovídá o úrovn rzka výnosů z fnančníc akv. Období s vyšší volalou, spojená s nejsoou na ru fnančníc akv, jsou sřídána obdobím s nžší varablou. Volala v okamžku, závsí na volalě v okamžcíc předcozíc. ypckou vlasnosí volaly je její výsky ve slucíc, eno jev bývá nazýván slukování volaly volaly cluserng. Pod pojmem slukování volaly rozumíme sřídání období s vysokou volalou a obdobím méně volalním, vz obr. 3. Vysoká volala v čase s velkou pravděpodobnosí způsobí vysokou volalu v čase +. Skoky ve vývoj volaly moou bý následkem skuečnos, že na fnančníc rzíc se časo neobcoduje každý den. o způsobuje akumulac volaly, kerá se projeví skokem až v následujícím obcodním dnu.

23 Obr.3 Sluky volaly. Další vlasnosí volaly je její návra k dlouodobému průměru, zv. mean reverson. Volalla nedverguje k nekonečnu, je časo saconární a oscluje kolem svéo dlouodobéo průměru, j. nepodmíněnéo rozpylu long run varance. [0] Př vyšeřování volaly se aké může objev zv. leverage effec pákový efek. Jedná se o asymercký efek, kerý je následkem skuečnos, že kladné a záporné šoky se promíají do vývoje volaly nesymercky. K zacycení éo vlasnos je lepší použí nelneárníc modelů volaly, lneární modely pracují ož s druým mocnnam šoků, udíž nejsou scopny asymercký efek zacy. Je známo, že nvesor by se měl př rozodování o nvescíc rozodova nejen na základě výnosnos, ale měl by zoledn další fakory jako je lkvda, a především rzkovos. Proo se sává analýza volaly jednou z důležýc čásí analýzy rzka, oceňování akv, opmalzace porfola a řízení rzk. Pokusy o vysvělení příčn volaly nedávají prozaím uspokojující výsledky. Ví se však, že volala je odpovědí na nečekané nové událos např. v ekonomckém vývoj, polckém vývoj a vývoj na rzíc. Avšak vývoj ěco událosí je vzledem k provázanos díky globalzac éměř nepředvídaelný. 3.5 Míry volaly Jednou z nejvíce používanýc měr volaly je sandardní směrodaná odcylka. Bývá označována pojmem sorcká volala. Přesože není úplně správné odadova

24 budoucí rzko nvesce erapolací sorcké volaly, zůsává eno jednoducý ukazael základním ndkáorem rzkovos. Někeří manažeř fondů jej dnes nejčasěj zmňují ve zprávác o svýc fondec. [5] Další možnou mírou volaly je mplkovaná volala. eore výpoču mplkované volaly je založena na oceňování akv na základě známéo ekonomerckéo modelu, Black-Scolesova vzorce, kde ceny kopírují geomercký Brownův poyb. eno přísup bývá krzován, jelkož využívá specfckéo modelu a předpokladů, keré nemusí ve skuečnos pla. Modelovaná volala se edy může značně lš od skuečné. Zkušenos ukázaly, že mplkovaná volala výnosů akv bývá věší než volala získaná aplkací modelů volaly. [] Cílem modelů volaly je poskynou lepší míry volaly, na jejcž základě bude moc bý vyvořena kvalnější předpověď. 3

25 4. Modely volaly řeí kapola se zabývá modely volaly. Jejc základ položl roku 98 amercký ekonom F. Rober ngle. ngle se snažl zjs, jak moou bý snížena rzka pro nvesory př nepravdelnýc flukuacíc na fnančníc rzíc. Modely volaly se zabývají, narozdíl od osaníc modelů časovýc řad, modelováním náodné složky na základě podmíněnéo rozpylu, edy druéo momenu. Zkoumáme neauokorelovaná rezdua efeky nevysvělelné modelem a dále se neanalyzovala., jež u klasckýc modelů byla považována za U fnančníc časovýc řad obvykle pracujeme s časovou řadou logarmů výnosů r. Po určení úrovňovéo modelu podmíněné sřední odnoy označme zápsem rezdua úrovňovéo modelu a považujme je za podmíněně eeroskedascký proces, edy proces s měnícím se podmíněným rozpylem v čase, ve varu v, kde je podmíněný rozpyl, v ~N - 0, gaussovský bílý šum. Je-l rozdělení v za podmínky nformace dosupné v čase normované normální, pak má podmíněné rozdělení 0,, edy normální rozdělení za podmínky dosupné N v čase -, ale s podmíněným rozpylem měnícím se v čase. [6] Proměnlvý podmíněný rozpyl nebyl v žádnýc klasckýc modelec an modelec Bo-Jenknsonovy meodologe uvažován, proo se yo modely nejeví jako vodné př modelování volaly a je řeba využí modelů, kde není kladen předpoklad na podmíněnou omoskedascu. sují dvě řídy modelů volaly. I když se jedná v podsaě o nelneární modely, jelkož zacycují nelneární závslos mez velčnam socasckéo procesu, z ledska konkréní funkční formy se rozdělují na modely lneární a nelneární. [6] Do své práce jsem kvůl obsálos zarnula pouze základní lneární modely volaly. Nyní s na jednoducém názorném příkladu ukážeme, proč je př modelování volaly důležé pracova s podmíněným rozpylem. 4

26 Uvažujme, že známe průměrnou denní volalu směrodanou odcylku ndeu Sandard & Poor s 500, s odnoou %. Dále víme, že včerejší předpověď na základě předcozí nformace byla % a volala dnešnío dne ční 3%. Očvdně se jedná o volalní období, odnoa volaly se lší den ode dne a je vyšší než dlouodobá nepodmíněná předpověď %. Dlouodobá nepodmíněná předpověď směřuje k omu, že obcodníc s akcem budou překvapen mírou nejsoy, kolísavosí cen akcí. Proo je důležé pracova s podmíněným odnoam, na jejcž základě bude do předpovědí zarnuo více nformací z předcozíc dnů, a o s jsým váam příslušícím předcozím dnům. [3] Pozn. Inde Sandard & Poors 500 je odnoově vážený nde vybranýc 500 akcí na amerckém ru. Jeo základem je vážený průměr kurzů danýc akcí, kde váa akce je úměrná své ržní odnoě. [7] Jným slovy, u někerýc ekonomckýc časovýc řad, můžeme pozorova perody s vyšší a nžší volalou, keré nemusí ovlvn nepodmíněný rozpyl v dlouodobém výledu, kerý je jakous sřední odnoou časové řady volaly. eno rozpyl může bý konsanní. Podmíněný rozpyl kolísá kolem nepodmíněnéo a může bý podsaně vyšší. Proo předpověd na základě podmíněnéo rozpylu moou mí pro fnanční analyky č nvesory zásadní význam. Podmíněná předpověď bere známou současnos a mnulé realzace časové řady s jsým váam, proo je ao předpověď kvalnější. Uvažujme např. ARMA proces daný ako 0, kde ~ N0, a < kvůl zajšění saconary procesu. Nyní s ukážeme, že podmíněná předpověď se ukazuje bý lepší než nepodmíněná. Budeme přom sledova rozpyl předpověd, kerý je roven sřední čvercové cybě. Podmíněná předpověď modelu v čase + je daná sřední odnoou za podmínky znalos nformace v čase 0.. Cyba předpověd je ve varu 0 a rozpyl podmíněné předpověd vypadá ako 5

27 6, var var var 0 6 Naopak nepodmíněná předpověď je ve varu sřední odnoy časové řady. Proože dosáváme po dosazení do modelu 0 0 0, proože, pak 0 0, 0 s odpovídajícím rozpylem cyby předpověd 7 Nyní se podívejme na o, jak dospějeme k rovnos 7. Cyba předpověd o jeden krok dopředu f, cyba předpověd o kroky dopředu f, kde f Cyba předpověd o j-kroků dopředu... j j j j j f var var j j j j j f j... j. 0

28 lm var j f j a můžeme vdě, že za planos podmínky saconary <, rozpyl podmíněné předpověd 6 je menší jako rozpyl nepodmíněné předpověd 7. [4] <. 7

29 5. Lneární modely volaly Lneární modely volaly jsou carakerscké ím, že podmíněný rozpyl modelován na základě lneární funkce velčn je ypy modelů se lší formulací podmíněnéo rozpylu. Mez základní lneární modely paří ARCH a GARCH, keré ve v následující kapole proberu podroběj. Dalším modely s podmíněným rozpylem ve varu lneární funkce jsou např. IGARCH, FIGARCH, GARCH-M, vz. např. [4], [6], [5].,, ARCH Auoregressve Condonal Heeroscedascy Uvažujme podmíněně eeroskedascký proces v, v ~ 0, je bílý N šum s podmíněným normálním rozdělením. ARCH model je lneárním modelem, kde podmíněný rozpyl auoregresním procesem řádu, edy AR., je modelován kde,,,..., jsou odadovaným paramery v modelu a předsavují jakés váy šoků vsupujícíc do procesu. Kladnos podmíněnéo rozpylu je zaručena podmínkam 0, 0 pro,,...,. Modelujeme edy rezdua úrovňovéo modelu pomocí podmíněně eeroskedasckéo procesu, v... kde je bílý šum. Model ARCH lze vyjádř v auoregresním varu procesu ímo způsobem v,... u, 8 8

30 9 kde. v v u ARCH je ve varu AR modelu čverců rezduí procesu. éo skuečnos se využívá př určování řádu modelu ARCH. Idenfkace modelu probíá na základě PACF procesu, kerá se cová sejně jako PACF AR procesu. Model můžeme přepsa pomocí operáoru zpoždění B u u B B B Proces ARCH je saconární v kovarancíc, jeslže kořeny 0... B B B leží vně jednokovéo kruu. [6] Nyní s vypočěme základní podmíněné a nepodmíněné carakersky posloupnos Sřední odnoa procesu se vypoče 0, v v kde sřední odnou součnu jsme zapsal jako součn sředníc odno, jelkož víme, že v je nezávslé na. Dále víme, že ~ WN0, v a navíc pokud 0 v v pak aké j, 0. [4] Nepodmíněný rozpyl je konsanní v čase a vypočeme o následovně, var v v proože jsme už vypočel 0. Víme v, což plyne z rovnos pro výpoče rozpylu var v v v, kde 0 v. edy var v v, z vlasnosí bíléo šumu. Dále označme. var

31 30. Pokud je saconární, var var, proo můžeme vyknou a po vydělení... dosáváme. var... Nyní se podívejme na var podmíněnýc carakersk. Podmíněná sřední odnoa 0,,...,,...,,..., v v jelkož 0 v. Dopad ARCH modelu aplkovanéo na proces můžeme vdě až př výpoču podmíněnéo rozpylu.,...,,...,,...,,..., var, proože jsme jž ukázal, že podmíněná sřední odnoa 0,...,. Dále,,...,,...,,...,,..., v v

32 důsledkem oo, že pokud v v 0,,..., pak aké 0. Podmíněný rozpyl ARCH procesu závsí na všec mnulýc odnoác procesu v čase., je edy měnlvý Model ARCH umožňuje zacy vyskyující se sluky volaly v časové řadě, ale aké ypcký znak fnančníc časovýc řad, a o špčaější rozdělení s lusým konc ve srovnání s normálním rozdělením. Je-l pořeba vol ARCH model s vysokým počem paramerů, přkláníme se raděj k použí zobecněnéo GARCH modelu ARCH Nejjednodušší model ARCH je ypcký varem podmíněnéo rozpylu. 9 Kvůl kladnos podmíněnéo rozpylu musí splněny podmínky 0 a 0. Pro případ 0 by se jednalo o proces podmíněně omoskedascký, zn. podmíněný rozpyl v čase by byl konsanní. Model lze přepsa do auoregresnío varu a o ak, že upravíme 9 přčením k oběma sranám a následným odečením. 0 Dosadíme do 0 za v v a dosaneme proces v auoregresním varu u, kde u Víme, že v, pak, proože v v a v var v. v. Podmíněná nepodmíněná odnoa procesu u jsou rovny nule. [6] 3

33 u 0. u u, u,...,...,... 0 Model nazveme saconárním v kovarancíc, jeslže pro je nepodmíněná sřední odnoa procesu, j. nepodmíněný rozpyl procesu ve varu var. Špčaos rozdělení procesu je u ARCH modelu ve varu Pokud by rezdua KU byla normálně rozdělená, výraz pro špčaos by nabýval odnoy 3. Ukazuje se však, že špčaos bývá věší a plaí, že pro 3 je ve varu. Pokud,, blíží se k nekonečnu. [6] Smulace modelu ARCH Nyní nasmulujeme ARCH proces v 0,8 v programu R pomocí vygenerování 5000 odno bíléo šumu z normovanéo normálnío rozdělení v ~ N0,. Soubor s R-kódem k smulac modelu ARCH je uložen na přloženém CD pod názvem smulace_arch.r. fgarc. Smulac lze v aké provés auomacky, pomocí funkce garcsm, z balíčku Po vygenerování odno bíléo šumu byl nadefnován var podmíněnéo rozpylu a odnoa podmíněnéo rozpylu v čase = byla položena rovna jedné. Kvůl éo volbě byla pak ze smulovanéo procesu odsraněna první polovna odno, aby odnoy procesu nebyly ovlvněny počáeční podmínkou. 3

34 Obr. 4 Proces ARCH s paramerem α = 0,8 a absoluním členem ω=. Obr. 5 Hsogram ε, zeleně usoa normálnío rozdělení, červeně jádrový odad usoy. Na obr. 4 vdíe smulovaný proces ARCH. Na obr. 5 je vykreslen sogram a z něj odvozený jádrový odad usoy, kerý je vyznačen červeně. Zeleně je vykreslena usoa normálnío rozdělení. Odad špčaos rozdělení je 8,, což je odnoa vyšší než 3, jak omu bývá u rozdělení normálnío Vlv změny paramerů Nyní se podíváme na o, jak proces ARCH závsí na zvoleném parameru. Opě budu smulova proces ARCH, sejně jako v podkapole 5..., akorá př různýc odnoác parameru. Budeme přom sledova, jak se vyvíjí odad špčaos usoy. 33

35 Proces v, Hsogram s usoou KU 0, 3,0 0,3 3,9 0,4 3,47 0,5 3,93 34

36 0,6 4,68 abulka č. Vlv paramerů na průbě procesu ARCH V abulce č.. je srnu průbě smulace ARCH procesu př změně paramerů. Volené paramery najdee v prvním sloupc abulky. Ve druém sloupc jsou umísěny obrázky průběu nasmulovanéo procesu za použí příslušnéo parameru. Hsogram procesu se zeleně vykreslenou usoou normálnío rozdělení a červeně vyznačeným jádrovým odadem usoy vdíe ve řeím sloupc. V posledním sloupc v abulce naleznee odadnuou odnou carakersky špčaos. Z abulky č. zřeelně vyplývá, že se zvyšujícím se paramerem vzrůsá volala procesu. Čím věší bude odnoa parameru, ím delší bude doba rvání šoku, kerý do procesu vsupuje skrz carakersky špčaos. v. Se zvyšující se odnoou parameru, aké rose odnoa Na obr. 6. uvádím pro zajímavos smulovaný proces ARCH s podmíněným rozpylem ve varu, kde paramer, edy není splněna podmínka,4 saconary. Proces ARCH vykazuje vdelné známky nesaconárnío cování. Obr. 6 Model ARCH, ω=, α =,4. 35

37 5.. GARCHp, Generalzed ARCH GARCH navrl roku 986 Bollersev. Jedná se o zobecnění ARCH modelu, kerý je rozšířený o zpožděný podmíněný rozpyl. Zobecněný ARCH model najde své uplanění, je-l řeba použí ARCH modely vysokéo řádu. Je-l, vysoké, vznká ož problém odadu velkéo poču paramerů. GARCH model se jeví jako model vodnější, snadnější k ndenfkac odadu paramerů. Specelně GARCH 0, je ekvvalenní modelu ARCH. Narozdíl od ARCH modelu je zde podmíněný rozpyl smíšenéo ARMA procesu. Proces rezduí zde specfkujeme ako modelován pomocí v, kde v je bílý šum WN 0,, p. Můžeme aké zapsa pomocí operáoru zpoždění B B, kde B B... a B p B.... B p B Kladnos podmíněnéo rozpylu je zaručena př splnění podmínek 0, 0, 0,,..., p,,...,. Lze ukáza, že podmíněný rozpyl modelu GARCHp, lze vyjádř ve formě podmíněnéo procesu ARCH, z čeož vyplývá skuečnos, že modely ARCH vysokéo řádu lze narad modely GARCH. Od obou sran odečeme B a následně vyjádříme podmíněný rozpyl. B B B B B. B B u Model GARCH p, lze přepsa do varu procesu ARMAm,p, kde. 36 m ma p,,

38 37 Specfckou vlasnosí ACF a PACF procesu je, že odpovídá ěmo funkcím v modelu ARMA p,. Řády procesu GARCH p, se dají urč pomocí ACF a PACF procesu, podobným způsobem jako v Bo Jenknsonově meodolog. [8] Model GARCH p, je saconární v kovarancíc, jsou l kořeny vně jednokovéo kruu. Z vlasnosí bíléo šumu ~ WN0, v a nezávslos v plyne, že nepodmíněná sřední odnoa 0 p p v v. Nepodmíněný rozpyl má var var p v p Jelkož, pak můžeme psá p p. var p Ve výpoču nepodmíněnéo rozpylu jsme využl vlasnos saconary procesu, kdy.. m p u v 0 B B, v

39 Podmíněná sřední odnoa je akéž nulová p,,...],,... v 0, proože v 0. Podmíněný rozpyl procesu vypočeme var,,...,,... p, jelkož pokud v v 0 pak GARCH, Jedná ze o zobecnění modelu ARCH, kdy dojde k rozšíření modelu o zpožděný podmíněný rozpyl, v omo případě =, o první zpoždění podmíněnéo rozpylu. Podmíněný rozpyl má edy var. 3 Opě uvažujeme podmínky, za jejcž splnění je podmíněný rozpyl kladný, a o, 0, 0. 0 Proces GARCH, můžeme přepsa do varu smíšenéo procesu ARMA,. v v Model GARCH, je saconární v kovarancíc, pokud. Nepodmíněný rozpyl procesu je ve varu var. 38

40 Proože za saconary var, dosadíme-l do vzau 3 za, kde rozpylu ve formě, dosáváme vyjádření podmíněnéo,,, předsavují váy, v souču dávají. Podmíněný rozpyl v čase je daný váženou kombnací nepodmíněnéo rozpylu a předcozíc odno a. [8] Špčaos pravděpodobnosnío rozdělení procesu je vždy věší než špčaos normálnío rozdělení. U modelu GARCH, lze vyjádř ve formě 3 KU pro 3. [6] 5.. Smulace modelu GARCH, Ukažme s smulac modelu GARCH, v podobě v, kde v ~ WN0, a 0,3 0,6 0, 3. R-kód smulace modelu GARCH, je uložen na cd, pod názvem smulace_garch,.r. Na obrázku č. 7 můžee vdě jž nasmulovaný proces GARCH, a na obr. 8 sogram. Červená křvka vyznačuje jádrový odad usoy, kerý se vyznačuje vyšší špčaosí než usoa normálnío rozdělení vz. zelená křvka v obr. 8. Vypočená odnoa carakersky špčaos je 9,6. Obr. 7 Proces GARCH, s paramery α =0,6, β =0,3 a absoluním členem ω=0,3. Obr.8 Hsogram ε, zeleně usoa normálnío rozdělení, červeně jádrový odad usoy. 39

41 5..3. Vlv změny paramerů Proces GARCH, je relavně clvý na změnu odno paramerů,, což můžee vdě v následující abulce. S růsem obou paramerů, se proces GARCH sává nesablním, zn. volala v procesu rose s oběma paramery. Paramery edy předsavují opě váy dopadů a rvání výkyvů, keré vsoupí do procesu , , ,0 abulka č. vlv změny paramerů u modelu GARCH, 40

42 Na obr. 9 je vykreslen nesaconární průbě procesu GARCH, s podmíněným rozpylem ve varu 0,3 0,5 0, 6, kdy není splněna podmínka saconary. Obr.9 Smulovaný proces GARCH, s ω = 0,3 a paramery α = 0,5, β = 0,6 5.3 Odady paramerů v modelec volaly K odadování paramerů v modelec podmíněné eeroskedascy se používá meoda mamální věroodnos. V éo podkapole jen sručně srnu prncp fungování odadu pomocí věroodnosní funkce. Odad paramerů probíá meodou mamální věroodnos. Nejprve je řeba urč věroodnosní funkc a dále prncp odadu spočívá v ledání akové odnoy vekoru paramerů ˆ, kerá mamalzuje věroodnosní funkc Věroodnosní funkce Necť X X,..., X je náodný výběr s usoou n n a p, p,, pocází-l náodný výběr z rozdělení dskrénío ypu n b f, f,, je-l usoa náodnéo výběrů spojá, kde předsavuje vekorový paramer. Pak věroodnosní funkce je funkce parameru ve varu 4

43 ad a n L p,, ad b n L f,. Zpravdla je výodné mamalzova logarmckou věroodnosní funkc, edy logarmus věroodnosní funkce. [9] Nyní uvažujme model fnanční časové řady, kerý se skládá ze dvou čásí, a o z úrovňovéo modelu a modelu volaly. [6] kde X, X,...,, =,..., X p X G X, μ, 4 G, μ je skeleon auoregresnío modelu s paramery μ, kde G je alespoň dvakrá X spojě dervovaelnou funkcí dle paramerů μ a N0, ~,kde v, v ~ N0, je bílý šum a je podmíněný rozpyl modelu ypu GARCH s vekorem paramerů. Z modelu 4 bude edy pořeba odadnou vekor paramerů,. Nyní sesavme věroodnosní funkc. Víme, že jeslže v ~ N0,,pak N0,. Logarmcká věroodnosní funkce bude ve varu L θ θ, kde ~ l θ dosaneme následovně. Husoa normálnío rozdělení je ve varu Nyní vypočeme její logarmus ln l f e. 5 f ln ln 6 a dosadíme do 6 za Dosáváme, 0,. 0 l θ ln ln ln ln. 4

44 Logarmus věroodnosní funkce považujeme za funkc neznáméo parameru a ledáme akový odad paramerů ˆ, kerý uo funkc mamalzuje, zn. řeší se sofwarově sousava rovnc. l θ θ 0 7 Jelkož je podmínka 7 nelneární v paramerec, mamálně věroodnéo odadu se dosauje pomoc zvolené eravní opmalzační. 43

45 6. Výsavba modelů volaly V následující kapole bude srnu posup př vorbě modelů volaly. K lusrac jednolvýc kroků za pomocí sofwaru R využj časovou řadu směnnýc kurzů CZK/UR za období Daa jsou volně saželná na webovýc sránkác České spořelny Kód k příkladu, kerý se prolíná celou šesou kapolou je uložen na cd pod názvem czkeur.r spolu s day czkeur.csv. 6. Výsupy sofwaru R K aplkac ARCH č GARCH modelů budu používa funkc garcf z balíčku fgarc, proo eď uvedu sručný pops výsupů R v rámc použí éo funkce. Označíme-l s objek řídy fgarc např. z=garcf, můžeme pozděj zobrazova odnoy komponen objeku, příp. vykresl je do grafu - z@daa vráí odnoy da rezduí, na keré jsme model aplkoval. - z@f zobrazí výsledky odadu paramerů a vsupy a výsledky opmalzačnío algormu. Mez zobrazeným odnoam najdeme řadu odno $ s odnoam rezduí vsupujícíc do modelu a $ s odnoam odadnuéo podmíněnéo rozpylu. - z@resduals vypíše odnou rezduí, odnoy jsou oožné s $ v rámc z@f - z@fed znamená je označením pro vekor modelovanýc sředníc odno. Pokud v argumenu funkce garcf zvolíme nclude.mean=fals, bude z@fed řada nul. - pomocí z@. můžeme vypsa vekor odadnuýc podmíněnýc rozpylů z modelu - z@sgma. zobrazí odnoy odadnué volaly, směrodané odcylky, jedná se o řadu odmocnn z@. Pomocí funkce resduals název objeku fgarc, sandarze = RU, lze dosa sandardzovaná rezdua modelu, j. rezdua podělená odadem směrodané odcylky. Funkce coef název objeku fgarc slouží k vypsání odadnuýc odno paramerů. 44

46 6. Zajšění saconary časové řady Saconara je cennou vlasnosí časové řady, keré cceme před další analýzou časové řady dosánou. Můžeme j ověř zodnocením grafu časové řady nebo analýzou vykreslené ACF, kerá v případě časové řady s jednokovým kořeny klesá pomalu, éměř lneárně. Saconaru můžeme aké oesova, a o pomocí esu jednokovýc kořenů. Obr. 0 Časová řada kurzu CZK/UR. Obr. ACF časové řady kurzů Na obr. 0 vdíme časovou řadu kurzů CZK/UR, kerá vykazuje nesaconární cování, což vypovídá auokorelační funkce na obr.. ACF klesá pomalu, éměř lneárně a v prvním zpoždění je blízká jedné. ACF vykreslíme v R pomocí příkazu acf. ACF. Poče zpoždění, pro kerá cceme auokorelační funkc spočía, nasavíme pomocí argumenu lag.ma. V případě, že nenasavíme uo odnou, ACF bude auomacky spočena pro lag.ma=0log 0 N/m zpoždění, kde N je poče pozorování a m poče časovýc řad m=. 6.. Augmened Dckey-Fuller es ADF Dckey-Fullerův es paří mez zv. esy jednokovýc kořenů un roo es a slouží k ověření ypoézy H 0, že časová řada má jednokový kořen, edy není saconární. Jž kapole.4.5. bylo řečeno, že proces ARp ve varu 45

47 X X... p X p je saconární, jsou-l kořeny operáoru zpěnéo posunuí B vně jednokovéo kruu. Pomocí ADF můžeme uo skuečnos oesova. Kromě ADF esu je aké možno použí esů KPSS Kwakowsk Pllps Scmd Sn es č PP Pllps-Perron es. V sofwaru R provedeme ADF es pomocí příkazu adf.es, z balíčku seres. Volba správnéo poču zpoždění zarnuýc do esu argumen k je oázkou. Př zvolení přílš maléo k může zbývající auokorelace způsob cybnos esu. Naopak zvolíme-l přílš velké k sníží se síla esu. [9] Nyní aplkujeme ADF es na časovou řadu kurzů. V R. Neuvedeme-l jnak, je k nasaveno jako zaokroulená odnoa leng-^/3, kde leng je délka vyšeřované časové řady. P-odnoa esu vyšla 0.47, zn., že nulovou ypoézu o příomnos jednokovéo kořenu nemůžeme zamínou, bude edy pořeba převés časovou řadu na saconární. 6...Saconarzace časové řady Saconarzace časové řady se provádí dferencováním. Používá se především dferencování nžšíc řádů, aby byl zacován ráz časové řady. V našem případě je vodné ransformova s časovou řadu kurzů CZK/UR logarmckou ransformací a provés první dference. Dosaneme ak časovou řadu logarmů výnosů. Obr. Logarmy výnosů. 46

48 Jak můžeme vdě na obr., dference logarmcky ransformované a dferencované řady jž vypadají rozumněj, ve smyslu saconary. Naš domněnku ověříme opě pomocí Dckey-Fullerova esu. ADF s p-odnoou 0,0 ukázal, že H 0 o příomnos jednokovýc kořenů zamíáme a časová řada je edy saconární. V případě, že by omu ak nebylo, mol bycom přsoup k druým dferencím. 6.3 Určení úrovňovéo modelu V dalším kroku je pořeba vyšeř průbě auokorelační a parcální auokorelační funkce. Cílem ooo posupu je urč vodný model Bo-Jenknsonovy meodologe ak, abycom získal časovou řadu rezduí, kerá nejsou korelovaná. Jelkož pracujeme s prvním dferencem, je časová řada časová řada časo saconární a můžeme denfkova model podmíněné sřední odnoy. Obr. 3 ACF a PACF logarmů výnosů. Dle obrázku ACF by se dalo říc, že časová řada se cová jako proces bíléo šumu, kde ACF je éměř nulová. Podle PACF o však říc nemůžeme, vdíme zde významnější parcální auokorelace. Zkusíme proo posupně, od jednoduššío ke složějšímu aplkova úrovňový model. Preferujeme co nejmenší poče paramerů. Posupně byly vyzkoušeny 47

49 modely AR,MA s bez absolunío členu, ale parcální auokorelace se podařlo odsran až u modelu ARMA, bez absolunío členu, ve varu 0,9477 0,985. Obr. 4 ACF a PACF rezduí z aplkovanéo modelu ARMA, s paramery ar= -0,9477 a ma= 0, Ověření kvaly úrovňovéo modelu V dalším kroku je pořeba ověř kvalu zvolenéo úrovňovéo modelu, z ledska jak z ledska významnos paramerů, ak auokorelace a normaly rezduí Významnos paramerů K ověření významnos paramerů se využívá -es, s jeož pomocí můžeme esova ypoézu nulovos jednolvýc paramerů H : 0,kde nulová ypoéza říká, 0 b j že esovaný paramer je nevýznamný. esovací saska je ve varu b j j j H0 ~, 48

50 kde b j je odad odnoy parameru, j ypoecká odnoa je rovna nule, směrodaná odcylka odadu, poče pozorování. V R-ku lze získa p-odnou esu významnos parameru zadáním příkazu summary po aplkac konkrénío modelu a odadu jeo paramerů. Funkce vráí odnoy odadnuýc paramerů, jejc směrodanou odcylku, odnou esové sasky, p-odnou esu p-value, ale aké odnou Akakeo nformačnío kréra pro daný model AIC. j V případě časové řady logarmů výnosů CZK/UR, dosaneme yo odnoy Coeffcens: smae Sd. rror value Pr> ar <e-6 *** ma <e-6 ***, kde můžeme vdě, že p-odnoa -esu u obou paramerů je menší jak ladna významnos 0,05, udíž zamíáme ypoézu o nevýznamnos paramerů. Jelkož jsou odnoy AR parameru MA parameru významně nenulové, mol bycom zkus přda další paramery. V abulce č. 3 můžee vdě výsup funkce summary po aplkac modelů ARMA, a ARMA,. Ukazuje se, že přdané paramery jsou nevýznamné. ARMA, smae Sd. rror value Pr> ar ar ma ARMA, smae Sd. rror value Pr> ar ma ma ab. 3 Výsledky aplkace modelů ARMA,, ARMA, z ledska významnos paramerů. 49

51 K závěru, že ARMA, je nejvodnějším modelem pro daa, lze využí srovnání modelů pomocí Akakeo nformačnío kréra AIC, keré má podobu M AIC M ln ˆ, kde M je poče paramerů v modelu, edy p+,...poče rezduí získanýc z modelu ˆ...odad rezduálnío rozpylu modelu. [6] Př srovnání modelů dle AIC preferujeme model s nejnžší odnoou. V příkladu směnnéo kurzů nejmenší odnoa vycází pro model ARMA,, vz ab. 4. Akakeo nformační krérum AIC ARMA, ARMA, ARMA, ab.4 Hodnoa AIC pro vybrané modely esování auokorelace rezduí Auokorelace vyjadřuje závslos různýc pozorování skrze cyby. U analýzy ekonomckýc časovýc řad bývá eno problém časý. Auokorelac můžeme odal jž na základě grafu rezduí, kde kladná rezdua jsou následována kladným a naopak. Vykreslíme-l s ACF a PACF rezduí, je auokorelace ješě zřeelnější. Zodnocení auokorelace rezduí můžeme ješě dopln formálním esem. K oesování významnos auokorelací slouží zv. Pormaneau es. Zjsíme-l příomnos významnýc auokorelací rezduí, je řeba přeodno volbu úrovňovéo modelu. a Bo-Perce es esová saska Bo-Perce esu vypadá ako Q K ˆ BP r k k 50,

52 kde rˆ k je výběrová auokorelační funkce ˆ r k ˆ ˆ k ˆ k, k =,...,K vyjadřuje zpoždění,... poče pozorování, ˆ odadnuá rezdua, =,..., a za planos nulové ypoézy H 0 má pro velké a K přblžně rozdělení s K-p- supn volnos. esujeme ypoézu H... 0, kerá říká, že auokorelace pro zpoždění k =,..,K jsou nevýznamné. [6] 0 : K V R se Bo Perce es provede příkazu Bo.es z balíčku sas, kde v argumenec zvolíme za ype = Bo-Perce. Pokud se jedná o rezdua nějakéo modelu, je pořeba zvol argumen fdf = p+, kde p je poče paramerů u auoregresníc členů, a poče paramerů u členů procesu klouzavýc součů. Zadáním argumenu lag defnujeme zpoždění K, na jeož základě bude sesavena esová saska. K můžeme vol jako, kde délka analyzované řady [] a mělo by pla, že lag > fdf = p+. V lusravním příkladu jsme na základě analýzy ACF a PACF rezduí modelu, vz. obr. 4 nesledal významné auokorelace. Bo-Perce es uo skuečnos povrdl. Jelkož vyšeřujeme rezdua modelu ARMA,, zadáme do argumenu fdf = += a zvolíme lag =, což je přblžně odmocnna z poču rezduí. P-odnoa vypočená v R pro lag = vycází 0.5, udíž nezamíáme ypoézu, že auokorelace jsou nevýznamné. b Bo-Ljung es Bo Ljung es by měl bý jakous vylepšenou modfkací Bo-Perce esu v případě, že cceme esova ypoézu o nezvýznamnýc auokorelacíc ve zpoždění k =,...,K pro malé rozsay výběrů. [6] esová saska je ve varu rˆ Q, K H0 k ~ K p k k kde rˆ k je výběrová auokorelační funkce,.. poče pozorování a k =,...,K..zpoždění. 5

53 Počíáme-l Bo-Ljung es v R, použjeme opě příkaz Bo.es, ale za yp zvolíme ype= Ljung-Bo. V našem příkladu vyjde pro lag= p-odnoa Ljung-Bo esu 0.3, což opě znamená, že ypoézu nezamíáme Normala rezduí Normalu nesysemackýc vlvů esujeme lavně proo, že je důležým předpokladem př mnoa sasckýc esec. K omu, abycom zjsl, zda cyby splňují předpoklad normaly, můžeme využí vykreslení sogramu rezduí. Na obr. 3 můžee vdě sogram rezduí, červená křvka znázorňuje jádrový odad usoy a černá křvka usou normálnío rozdělení se sřední odnoou a rozpylem sejným jako u rozdělení rezduí. Jž víme, že u fnančníc časovýc řad nebývá časo předpoklad normaly cyb splněn. Rozdělení rezduí bývá špčaější s ěžkým konc, vz obr. 5. Vypočený odad špčaos má odnou přblžně 4,0. Obr. 5 Hsogram rezduí modelu ARMA,,, červeně jádrový odad usoy, černě usoa normálnío rozdělení. Kromě vzuálnío zodnocení je však vodné normalu rezduí oesova pomocí Jarue-Berova esu normaly. Jarue-Berův es normaly je založen na esování carakersk škmos a špčaos. Porovnává yo carakersky rezduí s carakerskam normálnío rozdělení. Nulová ypoéza říká, že daa pocázejí z normálnío rozdělení. esová saska je sesavena ve formě 5