Backtesting of VaR estimation for investment into foreign stock index

Transkript

1 Backtestig of VaR estimatio for ivestmet ito foreig st idex Zpěté testováí odhadu VaR ivestice do zahraičího akciového idexu Aleš Kresta Abstract Whe modelig foreig st idex returs we are cocered ot oly with returs of the st idex but also with the returs of the foreig exchage rate of the correspodig currecy ad their mutual depedecy. The appropriate model i this case is based o the copula fuctio approach, i.e. the joit probability distributio is decomposed ito two parts idividual margial distributios ad depedecy amog them. I the article we compare the most kow copula fuctios which are usually utilized for fiacial time series modelig. The compariso is carried out utilizig backtestig procedure o the historical data of four well kow st idices ad correspodig foreig exchage rates. O the basis of this compariso we coclude that Clayto copula fuctio is the best for fiacial time series modelig. Also Studet copula fuctio provides accurate estimatios. Key words Backtestig, copula fuctios, model validatio, ormal iverse Gaussia model, Value at Risk. JEL Classificatio: G5, G, G Úvod Určuje-li se riziko v případě ivestice do zahraičího aktiva, je uté při modelováí výosů zohledit jak pravděpodobostí rozděleí výosů tohoto aktiva v zahraičí měě, tak i rozděleí výosů zahraičí měy a jejich vzájemou závislost. Tímto vziká potřeba modelovat vývoj dvou rizikových faktorů, které jsou mezi sebou do určité míry závislé. V případě modelováí bez zohleděí této závislosti mezi jedotlivými rizikovými faktory může dojít k adhodoceí (v případě záporé závislosti) ebo podhodoceí rizika (v případě kladé závislosti). Z tohoto důvodu je potřeba s touto závislostí v modelu uvažovat. Elegatím řešeím je použití kopula fukcí, eboť tyto umožňují uvažovaý model rozdělit a dvě části: (i) část zachycující závislost pomocí kopula fukce a (ii) pravděpodobostí rozděleí jedotlivých rizikových faktorů margiálí rozděleí. Použitím kopula fukcí včetě aplikací ve fiacích se zabývá Rak (006), přehled teorie lze alézt apř. v Cherubii a kol. (004). Ig. Aleš Kresta, Ph.D. VŠB Techická uiverzita Ostrava, ekoomická fakulta, katedra fiací, Sokolská tř. 33, Ostrava. ales.kresta@vsb.cz. Teto příspěvek byl vypracová v rámci projektu Příležitost pro mladé výzkumíky, reg. č. CZ..07/.3.00/30.006, podpořeého Operačím programem Vzděláváí pro kokureceschopost a spolufiacovaého Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky. Příspěvek vzikl rověž díky podpoře v rámci projektu SGS VŠB-TUO SP0/. 346

2 Pro modelováí margiálích rozděleí je v čláku uvažová ormálí iversí Gaussův model a ormálí rozděleí. Empiricky bylo sice prokázáo, že ormálí rozděleí eí pro modelováí výosů fiačích aktiv vhodé a to z důvodu, že eumožňuje zachytit vyšší špičatost (tzv. těžké koce) a šikmost (asymetrii rozděleí). V čláku je však ormálí rozděleí použito jako bechmark. Jako další modely margiálích rozděleí lze použít apř. Studetovo rozděleí ebo smíšeé ormálí rozděleí. Zpětým testováím ormálího/studetova/empirického rozděleí pravděpodobosti spolu s modely podmíěé volatility typu GARCH se zabýval apříklad Alexader a Sheedy (008). Rověž Lévyho modely jsou vhodým rozděleím pro modelováí fiačích časových řad, aplikaci těchto modelů lze alézt apříklad v Tichý (00). Cílem příspěvku je zpětě otestovat použitelost růzých kopula fukcí pro odhad rizika výosu zahraičího akciového idexu pro euro ivestora a porovat získaé výsledky. Příspěvek je čleě ásledově. V druhé kapitole budou popsáy kopula fukce, včetě defiice jejich jedotlivých typů. Následě bude ve třetí kapitole popsáo ormálí iverzí Gaussovo rozděleí použité v aplikačí části pro modelováí margiálích rozděleí. Ve čtvrté kapitole bude představea míra rizika Value at Risk a budou defiováy ěkteré statistické testy použité pro ověřeí přesosti jejího odhadu. Pátá kapitola je aplikačí a shruje výsledky získaé použitím ormálího rozděleí a ormálího iversího Gaussova modelu spolu s růzými kopula fukcemi pro odhad hodoty Value at Risk. Popis kopula fukcí Kopula fukce byly poprvé představey Sklarem (Sklar, 959). Přehled teorie spolu s praktickou aplikací pak lze alézt v (Cherubii a kol., 004; Nelse, 006; Rak, 006). Pro jedoduchost budeme dále uvažovat dvourozměrou kopula fukci, přičemž vše platí aalogicky i pro -rozměré kopula fukce. Kopula fukce jsou v podstatě reálé fukce, které zachycují závislost jedotlivých 0,, distribučích fukcí v [ ] :[ 0,] [ 0,] v R, přičemž musí pro jakékoliv, v, u, u, v, v [ 0,] C( u, 0) = C( 0, v) = 0, C ( u, ) = u, C(, v) = v, C () u splňovat: (3) pokud u u, v v pak C ( u, v ) C( u, v ) C( u, v ) + C( u, v ) 0. (4) Na kteroukoliv kopula fukci může být pohlížeo jako a vícerozměrou distribučí fukci s margiálími distribučími fukcemi ve formě stadardizovaého rovoměrého rozděleí. Předpokládejme dvě potecioálě závislé áhodé proměé X a Y s margiálími distribučími fukcemi teorému platí: F a X F a sdružeou distribučí fukcí Y F ( x, y) C( F ( x) F ( y) ) 347 F X, Y (). Potom dle Sklarova X, Y = X, Y. (5) Pokud jsou margiálí distribučí fukce F X a F Y spojité, kopula fukce C je jediečá. Sklarův teorém azačuje také iversí vztah, C u, v = F F u F v. (6) X, Y X, Z formulace (5) je patré, že sdružeé rozděleí pravděpodobosti obsahuje dvě rozdílé iformace: (i) margiálí distribučí fukce jedotlivých áhodých proměých, (ii) fukci závislosti těchto distribučích fukcí. Zatímco margiálí distribučí fukce jsou dáy pomocí F a F, kopula fukce C popisuje pouze závislost těchto distribučích fukcí. Za X Y Y

3 předpokladu zalosti margiálích distribučích fukcí áhodých proměých je tedy pro potřeby modelováí ezbyté zvolit vhodou kopula fukci. S trochou zjedodušeí lze rozlišit eliptické a Archimédovy kopula fukce. Eliptické kopula fukce vycházejí z ěkterého eliptického sdružeého rozděleí pravděpodobosti, kokrétě ejpoužívaější jsou Gaussova a Studetova kopula fukce. Nevýhodou při aplikaci těchto kopula fukcí v oblasti fiací je jejich symetričost, což eodpovídá hlavě kocům sdružeých rozděleí empirických dat. Obecě můžeme do kopula fukce dosadit dle (5) jakékoliv margiálí rozděleí, ovšem použitím ormálího rozděleí v případě Gaussovy kopula fukce získáváme sdružeé ormálí rozděleí pravděpodobosti a použitím Studetova rozděleí ve Studetově kopula fukci získáváme sdružeé Studetovo rozděleí pravděpodobosti. Gaussovu kopula fukci lze za předpokladu korelace mezi áhodými proměými R defiovat ásledově, Rst s t Φ ( u ) Φ ( v) Ga R CR ( u, v) = e ds dt, (7) R Studetova kopula fukce vychází ze Studetova rozděleí a lze ji defiovat ásledově, t ( u ) t ( v) St υ υ s + t Rst CR, υ ( u, v) = ds dt + R v( R ), (8) kde R opět začí korelaci mezi áhodými proměými a ν začí stupě volosti parametr, kterým lze u Studetovy kopula fukce ovlivňovat její chováí v kocích rozděleí. Pro ižší hodoty tohoto parametru je pravděpodobost extrémího scéáře vyšší, aopak čím je parametr ν vyšší, tím více se Studetova kopule blíží Gaussově kopuli. Archimédovy kopula fukce jsou uměle vytvořeé fukce a základě geerátoru. Geerátor je vhodě zvoleá spojitá, klesající a kovexí fukce φ, + : [ 0,] R * φ, pro striktí geerátor avíc platí φ ( 0) = φ, (9) pro kterou platí ( ) = 0. Ke geerátoru je možo [ ] taktéž defiovat pseudo-iverzí fukci φ. Obecě lze pak Archimédovy kopula fukce defiovat ásledově, C Arch u, v = φ φ u φ v. (0) [ ] [ ] ( ), φ, φ Nejzámější Archimédovy kopula fukce jsou: Gumbelova kopula fukce (Gumbel, 960), Gl a a = [( ) + ( ) ] a Ca u, v exp l u l v, () Claytoova kopula fukce (Clayto, 978), Cl a a C (, ) = max ( + ) a a u v u v, 0, () Frakova kopula fukce (Frak, 979), au av Fr ( e )( e ) Ca u, v = l + a. (3) a e ν + Demarta a Mceil (005) apříklad popisují zešikmeou Studetovu kopula fukci, která sice vychází ze Studetovy kopula fukce, ale eí již symetrická a tudíž epatří do třídy eliptických kopula fukcí. 348

4 . Popis metod odhadu parametrů při modelováí pomocí kopula fukcí Existují tři hlaví přístupy k odhadu parametrů při modelováí pomocí kopula fukcí: EMLM (exact maximum likelihood method), IFM (iferece fuctio for margis) a CML (caoical maximum likelihood). Zatímco při použití EMLM jsou odhadováy všechy parametry současě, což může být výpočetě velmi áročé (obzvláště při odhadu vysoce dimezioálích dat, ebo při použití složitějších margiálích fukcí), při IFM a CML jsou parametry margiálích rozděleí a parametry kopula fukce odhaduty zvlášť. V případě IFM jsou odhaduty ejprve parametry margiálích distribučích fukcí a a jejich základě pak parametry kopula fukce. U CML jsou parametry kopula fukce odhaduty a základě empirických distribučích fukcí. Podrobější vysvětleí těchto metod lze alézt apř. v (Cherubii a kol., 004). V tomto příspěvku bude využito CML přístupu. 3 Defiice ormálího iverzího Gaussova rozděleí pravděpodobosti Normálí iversí Gaussův model (dále NIG) byl ve fiačí literatuře představe v (Bardorff-Nielse, 995). Předpokládejme parametry α > 0, α < β < α a δ > 0, pak lze NIG ( α, β, δ ) rozděleí pravděpodobost, jímž se NIG model řídí, popsat fukcí hustoty pravděpodobosti ásledově, αδ K α δ + ( x µ ) f ( ; µ, α, β, δ ) exp( δ α β β ( µ )) NIG x = + x. (4) δ + ( x µ ) Distribučí fukce lze defiovat ásledově, K ( t ) αδ x α δ + µ FNIG ( x ) ; µ, α, β, δ = exp( δ α β + β ( t µ ))dt. (5) δ + ( t µ ) Populačí momety tohoto rozděleí jsou shruty v tabulce. Tabulka : Populačí momety NIG rozděleí populačí momet 349 vzorec Středí hodota µ + δβ α β 3 Směrodatá odchylka α δ α β Šikmost 4 Špičatost 3βα δ α β α + 4β 3 + δα α β Parametry µ, α, β a δ tohoto pravděpodobostího rozděleí mohou být odhaduty dvěma metodami: (i) metodou maximálí věrohodosti a (ii) metodou mometů. Použití metody maximálí věrohodosti je při odhadu parametrů NIG rozděleí časově/početě velmi áročé, vhodější se proto jeví použití metody mometů. Položíme-li populačí momety, uvedeé v tabulce č., rovy mometům výběru, získáme ásledující odhad parametrů NIG rozděleí: 3s v µ = m, (6) 3k 4s 9

5 3k 4s 9 α =, (7) 5 v k s 3 3 s k s 3 3 β =, (8) v 5 v 3 3 k s 3 δ = 3, (9) 3k 4s 9 kde m je středí hodota výběru, v je rozptyl výběru, s je výběrový koeficiet šikmosti, k je výběrový koeficiet špičatosti. 4 Charakteristika metodologie Value at Risk a zpěté testováí jejího odhadu Value at Risk (dále VaR) je metodou hodoceí rizika, která se des používá hlavě v oblasti fiačích istitucí. VaR v podstatě vyjadřuje maximálí možou ztrátu a určité hladiě spolehlivosti α. Formálě ji lze tedy defiovat ásledově: Pr ( Π t+ t VaR α, t ) = α, (0) kde Π vyjadřuje áhodou veličiu zde kokrétě změu cey portfolia za čas t, VaR α, t je maximálí ztráta a daé hladiě spolehlivosti α pro časový horizot t a Pr začí pravděpodobost. Hodota α se azývá hladia výzamosti. Lze tedy říci, že v α procetech případů bude skutečá ztráta vyšší ež je hodota VaR. Kvalitu odhadu hodoty VaR je potřeba (eje z důvodu legislativích ařízeí) ověřit a miulých datech. Předpokládejme, že máme model, který odhaduje hodotu VaR a určité hladiě spolehlivosti α. Pro jedoduchost dále předpokládejme, že odhadujeme hodotu VaR pro iterval jedoho de. Při zpětém testováí postupujeme tak, že pro jedotlivé dy porováváme hodotu VaR určeou modelem a základě iformací zámých de předchozího k uvažovaému di a orovaou ztrátu uvažovaého de. Dy, ve kterých skutečá ztráta přesáhe hodotu VaR, se azývají výjimky. Pokud zazameáme výjimky v přibližě α procetech případů, odhaduje model hodotu VaR správě. V případě vyššího výskytu výjimek model riziko podhodocuje, v případě ižšího počtu výjimek model riziko adhodocuje. Blíže se tímto postupem zabývá apř. Hull (007) ebo Resti a Siroi (007). V podstatě tímto postupem ověřujeme, že pravděpodobost výskytu výjimky je rova hodotě α, tedy hladiě výzamosti. Tuto rovost je potřeba statisticky otestovat. Pro potřeby statistického testu lze využít buď biomické rozděleí ebo vhodější test avržeý Kupiecem (Kupiec, 995), který je oboustraý a tudíž testuje evhodost modelu jak z pohledu podhodoceí tak adhodoceí rizika. Nulovou hypotézou tedy je, že orovaá pravděpodobost vziku výjimky =, kde je počet výjimek v orováích, je rova očekávaé pravděpodobosti vziku výjimky = α H : =, 0, () alterativí hypotézou je, že se tyto pravděpodobosti erovají, H :. () Věrohodostí poměr pak lze vyjádřit ásledově, A

6 LR kp kde je skutečý počet výjimek, 0 0 ( ) 0 = l, (3) je počet orováí ozačeých jako ula (edochází tedy k výjimce, 0 = ), je očekávaá pravděpodobost vziku výjimky (tedy = α ) a je orovaá pravděpodobost vziku výjimky, =. 0 + Testovací statistiku lze přepsat do tvaru: 0 0 LRkp = l l[ ( ) ] 0 0, (4) + + kde proměé mají stejý výzam jako v předchozí rovici. Věrohodostí poměr LR kp má asymptoticky chí-kvadrát rozděleí s jedím stupěm volosti, LR χ. (5) kp Druhým problémem při zpětém testováí je shlukováí výjimek (tzv. buchig). Předpokladem zpětého testováí je, že výskyt orovaých výjimek je v čase ezávislý a výjimky jsou rovoměrě rozprostřey v čase. Testováím tohoto předpokladu se zabýval Christofferse (998), který avrhuje testovat ahodilost výskytu výjimek v čase. Pro ulovou hypotézu, H : = 0 0, (6) kde 0 začí pravděpodobost vziku výjimky, pokud jí epředcházela výjimka, a začí pravděpodobost, že po výjimce opět astae výjimka, se opět jedá o testovací statistiku založeou a věrohodostím poměru: 0 LR ez = l, 3 (7) kde ij je počet orováí, pro které platí I t = j I t = i, kde I t je časová řada výjimek. Pozorovaý počet výjimek lze tedy vyjádřit jako = 0 + a orovaý počet evýjimek lze vyjádřit jako 0 = Pro pravděpodobosti dále platí ( I = j I i) ij = Pr t t =, + 0 =. Rověž u tohoto testu má LR ez asymptoticky chí-kvadrát rozděleí s jedím stupěm volosti, LR χ. (8) ez Christofferseův test ezávislosti testuje shlukováí výjimek pouze a základě závislosti vyjádřeé mezi dvěma po sobě jdoucími orováími. Alterativí test ezávislosti lze defiovat a základě rozšířeí Kupiecova testu doby do prví výjimky (TUFF testu), viz Haas (00). 4 Předpokládejme ásledující ulovou hypotézu, 3 V případě, kdy = 0, což se sado může stát při malém počtu orováí ebo vysoké hladiě spolehlivosti, se testovací statistika spočte jako LR ez = 35 l 0 ( ) Testováím doby mezi jedotlivými výjimkami se zabývali i Christofferse a Pelletier (004), kteří avrhli ulovou hypotézou, že doba mezi jedotlivými výjimkami evykazuje paměťový efekt a středí doba mezi.

7 H : Výjimky jsou vzájemě ezávislé. (9) 0 Pro výjimek pak lze defiovat ásledující věrohodostí poměr, T T i LRkt = l l, (30) T Ti T T i= Ti ( Ti ) kde T i je doba mezi i -tou a i výjimkou, T začí dobu do astáí prví výjimky. Jedá se o sumu statistik Kupiecova TUFF testu pro všechy výjimky, a testovací statistika LR kt má proto chí-kvadrát rozděleí s stupi volosti, LR kt χ. (3) 5 Výsledky Vstupí data použitá v tomto příspěvku byly čtyři dvojice zahraičích akciových idexů a příslušých měových kurzů. Kokrétě byly uvažováy americký Dow Joes Idustrial Average (DJI) spolu s kurzem amerického dolaru vůči euru (USD), britský FTSE 00 (FTSE) spolu s kurzem britské libry vůči euru (GBP), japoský Nikkei 5 (N5) spolu s kurzem japoského jeu vůči euru (JPY) a švýcarský Swiss Market Idex (SMI) spolu s kurzem švýcarského fraku vůči euru (CHF). Data pro zpěté testováí byla uvažováa za předchozích dvacet let (od leda 99 do srpa 0, deích spojitých výosů), přičemž chybějící hodoty byly iterpolováy. Základí charakteristiky spojitých výosů jedotlivých časových řad jsou shruty v tabulce. Tabulka : Základí charakteristiky spojitých výosů vstupích časových řad charakteristika DJI FTSE N5 SSMI USD GBP JPY CHF miimum -8,0 % -9,6 % -, % -8,38 % -4,06 % -3,89 % -3,90 % -4,58 % maximum 0,5 % 9,38 % 0,09 % 0,79 % 4,8 %,83 % 5,93 % 3,6 % stř. hodota 0,03 % 0,0 % -0,0 % 0,03 % 0,00 % 0,00 % 0,0 % 0,0 % mediá 0,05 % 0,04 % 0,00 % 0,07 % -0,0 % 0,00 % -0,03 % 0,00 % směr. odch.,0 %,3 %,47 %,7 % 0,65 % 0,48 % 0,76 % 0,36 % šikmost -0,05-0, -0,33-0,8 0,4-0,4 0,45-0,098 špičatost,740 9,644 8,83 9,33 5,808 7,863 6,937 7,593 Lze orovat, že spojité výosy vykazují relativě vysokou špičatost a eulovou šikmost. Z tohoto důvodu lze předpokládat, že ormálí rozděleí ebude vhodým modelem margiálích rozděleí. Co se týká srováí výosů akciových idexů a měových kurzů, lze orovat, že akciové idexy jsou více volatilí, což dokumetuje jedak hodota směrodaté odchylky a rověž vyšší rozpětí mezi miimálím a maximálím výosem. Pozorovaá korelace mezi výosem akciového idexu a měového kurzu je však vždy záporá, což způsobí, že výosy přepočteé do eur budou méě volatilí ež v původí měě. Pro účely modelováí jsou uvažováy dva modely margiálích rozděleí: (i) ormálí rozděleí a (ii) ormálí iversí Gaussův model. Pro odhad parametrů je využita metoda CML. Parametry margiálích rozděleí i kopula fukcí jsou pro jedotlivé dy odhaduty vždy z posledích 50 orováí (v případě NIG modelu je vzhledem k modelováí vyšších mometů pro odhad parametrů využito posledích 000 dí). Následě je simulováo dvěma výjimkami je statistiky.. Pro tuto ulovou hypotézu je však obtížé staovit kritickou hodotu testovací 35

8 scéářů a hodota VaR je určea jako příslušý kvatil simulovaého rozděleí pravděpodobosti výosu akciového idexu v eurech. Počty orovaých výjimek pro ormálí rozděleí a růzé kopula fukce jsou sumarizováy v tabulce 3. Tabulka 3: Počty orovaých výjimek pro ormálí rozděleí a Gaussovu / Studetovu / Claytoovu / Gumbelovu / Frakovu kopula fukci. Tučě zvýrazěé jsou a 0% hladiě výzamosti statisticky akceptovatelé počty výjimek. Kurzívou je zobraze počet výjimek, který se ejvíce blíží předpokládaému. Portfolio α = α = 0.0 α = 0.05 α = 0.5 předpoklad 6,88 33,76 68,8 506,4 DJI & USD 47/4/4/44/46 63/60/55/56/60 73/74/6/60/7 47/477/45/450/47 FTSE & GBP 57/56/50/5/54 80/78/74/75/79 90/9/8/86/90 456/464/449/448/453 N5 & JPY 38/35/8/3/34 53/50/40/43/5 6/64/7/3/65 437/443/375/379/447 SSMI & CHF 56/55/46/45/50 8/8/7/7/79 86/84/58/6/85 450/449/403/403/455 počet stat. výz. případů 0/0/0/0/0 0/0///0 4/3/3/3/4 0//0/0/0 počet ejpřesějších př. 0////0 0/0/4//0 0/0/// 0//0/0/ Z výsledků je zřejmé, že ormálí rozděleí skutečě eí pro modelováí fiačích časových řad vhodé. Při odhadu VaR a 5% hladiě výzamosti je počet orovaých výjimek ižší ež je předpoklad model riziko adhodocuje. Pro % a 0,5% hladiy výzamosti je počet výjimek dvouásobý až tříásobý oproti předpokladu a model tudíž elze statisticky akceptovat. Právě hladiy výzamosti % a 0,5 % jsou zakotvey v legislativách regulujících fiačí istituce, je tedy zřejmé, že tyto modely ejsou pro modelováí rizika fiačích istitucí použitelé. Na druhou strau pro 5% hladiu výzamosti je model ormálího rozděleí a Gaussovy kopula fukce, tedy sdružeé ormálí rozděleí, dostatečě přesý. Rověž spojeím ormálího rozděleí a Frakovy kopula fukce lze získat model pro dostatečě přesý odhad rizika a 5% hladiě výzamosti. Počty orovaých výjimek pro NIG rozděleí a růzé kopula fukce jsou sumarizováy v tabulce 4. Tabulka 4: Počty orovaých výjimek pro NIG model a Gaussovu / Studetovu / Claytoovu / Gumbelovu / Frakovu kopula fukci. Tučě zvýrazěé jsou a 0% hladiě výzamosti statisticky akceptovatelé počty výjimek. Kurzívou je zobraze počet výjimek, který se ejvíce blíží předpokládaému. Portfolio α = α = 0.0 α = 0.05 α = 0.5 předpoklad 6,88 33,76 68,8 506,4 DJI & USD 4/3/// 35/36/36/37/36 90/96/7/79/93 560/567/544/54/56 FTSE & GBP 5/3/0//5 45/44/43/46/44 93/94/84/90/9 559/566/545/548/56 N5 & JPY 0/8/7/0/0 33/33/8/3/33 6/60/6/36/58 57/55/444/445/5 SSMI & CHF 7/7/4/6/7 4/4/33/35/36 06/97/7/69/94 575/584/535/536/580 počet stat. výz. případů 3/4/4/4/3 3/3/4/3/3 //3/3/ //// počet ejpřesějších př. //3/0/ ///0/ /0///0 /0///0 Lze vidět, že při použití NIG rozděleí je pro hladiy výzamosti % a 0,5 % dosahováo lepších výsledků. Nejvhodější je spojeí NIG rozděleí a Claytoovy kopula fukce, kdy lze počty výjimek u odhadu VaR a hladiách výzamosti % a 0,5 % akceptovat pro všechy zvoleé akciové idexy. Rověž Studetova a Gumbelova kopula fukce dosahuje dobrých výsledků počty výjimek elze statisticky akceptovat pouze u modelováí britského idexu FTSE pro odhad VaR a % hladiě výzamosti. Tyto modely jsou tedy vhodé pro modelováí rizika a ízkých hladiách výzamosti. Ovšem pro vyšší hladiy výzamosti 353

9 tyto modely již tak přesé ejsou. Pro hladiu výzamosti 5 % je ejpřesější Claytoova a Gumbelova kopula fukce počty výjimek lze statisticky akceptovat pro idexy DJI, FTSE a SSMI. Pro idex N5 jsou počty výjimek ižší, ež je předpokládáo a model tak riziko adhodocuje. Pro 5% hladiu výzamosti již modely ejsou přesé pouze jede ze čtyř idexů je modelová dostatečě přesě. Modely byly rověž testováy a shlukováí výjimek. Při použití přísějšího Haasova testu byla pro všechy modely i uvažovaé idexy zamítuta ulová hypotéza, že výjimky jsou v čase ezávislé (p-hodoty tohoto statistického testu se pohybovaly v řádech setiy proceta). P-hodoty Christofferseova testu pro ormálí rozděleí a hladiu výzamosti odhadu VaR 5 % jsou uvedey v tabulce 5. Tabulka 5: P-hodoty Christofferseova testu ezávislosti výjimek pro ormálí rozděleí a Gaussovu / Studetovu / Claytoovu / Gumbelovu / Frakovu kopula fukci pro α = Hodoty jsou uvedey v procetech. Portfolio P-hodoty DJI & USD 7/8/39/35/59 FTSE & GBP 0/0/0/0/0 N5 & JPY 3/6/5/0/6 SSMI & CHF 0/0/0/0/0 Z tabulky lze vidět, že pouze pro idexy DJI a N5 může být potvrzea ulová hypotéza ezávislosti výskytu výjimky a tom, zda ji předcházela ebo epředcházela výjimka. Z tabulky 6, ve které jsou uvedey p-hodoty téhož testu pro modely s NIG rozděleím a růzé hladiy výzamosti, lze vidět, že totéž obecě platí i pro NIG model (ovšem e pro všechy hladiy výzamosti, aopak u idexů FTSE a SSMI lze ulovou hypotézu pro α = taktéž akceptovat). Obecě lze tedy říci, že shlukováí výjimek je pro tyto modely problém. Shlukováí výjimek je způsobeo tím, že výosy fiačích časových řad ejsou homoskedastické ale heteroskedastické a v obdobích zvýšeé volatility se modely přizpůsobují této ové volatilitě pomalu. Možým řešeím toho problému je použití ěkterého modelu volatility typu GARCH. Tabulka 6: P-hodoty Christofferseova testu ezávislosti výjimek pro NIG model a Gaussovu / Studetovu / Claytoovu / Gumbelovu / Frakovu kopula fukci. Hodoty jsou uvedey v procetech. Portfolio α = α = 0.0 α = 0.05 α = 0.5 DJI & USD 55/57/60/58/58 39/37/37/36/37 8/6/59/37/ 0/0/0/0/0 FTSE & GBP 53/57//3/8 0///0/ 0/0/0/0/0 0/0/0/0/0 N5 & JPY 0/8/7/0/0 0/0/0/0/0 7//9/4/8 53/4/6/34/56 SSMI & CHF 7/7/5/6/7 //4//6 0/0/0/0/0 0/0/0/0/0 6 Závěr Modelováí výosů a rizika je bezesporu eje velmi důležitou, ale i obtížou čiostí eje fiačích istitucí. Teto příspěvek byl zaměře a ověřeí přesosti odhadu rizika při použití růzých modelů složeých z ormálího iversího Gaussova modelu, respektive ormálího rozděleí, a jedotlivých kopula fukcí. Co se týče ormálího rozděleí, z výsledků je patré, že odhad hodoty Value at Risk je přesý pouze pro hladiu výzamosti 5 %. Pro tuto hladiu výzamosti je dostatečé sdružeé ormálí rozděleí pravděpodobosti ormálí rozděleí sdružeé Gaussovou kopula fukcí. Pro přesý odhad hodoty Value at risk a ižších hladiách výzamosti je potřeba použít jié margiálí 354

10 rozděleí výosů. V tomto příspěvku použitý NIG model se ukázal jako dostatečě přesý. Na základě získaých výsledků lze jako ejvhodější určit Claytoovu kopula fukci. Rověž použitím Studetovy kopula fukce bylo dosažeo dobrých výsledků. Problematické je u všech modelů shlukováí výjimek, kdy výjimky elze statisticky považovat za áhodě se vyskytující v čase. Refereces [] Alexader, C. ad Sheedy, E., 008. Developig a stress testig framework based o market risk models. Joural of Bakig ad Fiace, 3(0), p [] Bardorff-Nielse, O. E., 995. Normal iverse Gaussia distributios ad the modelig of st returs. Aarhus : Aarhus Uiversity. Doctoral dissertatio. [3] Clayto, D. G., 978. A model for associatio i bivariate life tables ad its applicatio i epidemiological studies of familial tedecy i chroic disease icidece. Biometrika, 65(), p [4] Demarta, S. ad McNeil, A. J., 005. The t copula ad related copulas. Iteratioal Statistical Review, 73(), p. -9. [5] Frak, M. J., 979. O the simultaeous associativity of F(x, y) ad x+y-f(x, y). Aequatioes Mathematicae, 9(), p [6] Gumbel, E. J., 960. Bivariate expoetial distributios. Joural of the America Statistical Associatio, 55, p [7] Haas, M., 00. New Methods i Backtestig. Fiacial Egieerig Research Ceter, Workig Paper. [8] Hull, J., 007. Risk Maagemet ad Fiacial Istitutios. Upper Saddle River: Pretice Hall. [9] Cherubii, G., Luciao, E. ad Vecchiato, W., 004. Copula Methods i Fiace. Chichester : Wiley. [0] Christofferse, P. F., 998. Evaluatig iterval forecasts. Iteratioal Ecoomic Review, 39(4), p [] Christofferse, P. F. ad Pelletier, D., 004. Backtestig value-at-risk: A duratio-based approach. Joural of Fiacial Ecoometrics, (), p [] Kresta, A., 00. Modellig of foreig asset returs for a Czech ivestor. I: Maagig ad Modellig of Fiacial Risks (Dluhošová, D., eds.). Ostrava: VŠB-TU Ostrava, p [3] Kresta, A., 0. Backtestig of market risk estimatio assumig various copula fuctios. I: Proceedigs of the 30 th Iteratioal Coferece Mathematical methods i ecoomics 0 (Ramík, J. ad Stavárek, D., eds.). Karviá: Silesia uiversity, School of Busiess Admiistratio, p [4] Kresta, A. ad Tichý, T., 0. Iteratioal Equity Portfolio Risk Modelig: The case of NIG model ad ordiary copula fuctios. Fiace a úvěr Czech Joural of Ecoomics ad Fiace, 6(), p [5] Kupiec, P., 995. Techiques for verifyig the accuracy of risk measuremet models. Joural of Derivative, 3(), p

11 [6] Nelse, R. B., 006. A Itroductio to Copulas. d ed. New York: Spriger. [7] Rak, J., 006. Copulas: From Theory to Applicatio i Fiace. Lodo: Risk Books. [8] Resti, A. ad Siroi, A., 007. Risk maagemet ad shareholders Value i bakig: from risk measuremet models to capital allocatio policies. Chichester: Wiley. [9] Sklar, A., 959. Foctios de repartitio à dimesios et leurs marges. Publicatios de l'istitut de statistique de l'uiversité de Paris, 8, p [0] Tichý, T., 00. Posouzeí odhadu měového rizika portfolia pomocí Lévyho modelů. Politická ekoomie, 58(4), p