Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení

Save this PDF as:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení"

Transkript

1 Odhad parametrů ormálího rozděleí a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z ormálího rozděleí Nechť, X, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) X, Ozačme výběrový průměr a = X = i = X i i = ( X i X ) výběrový rozptyl Veličia X je estraým a kozistetím odhadem parametru µ a veličia je estraým odhadem parametru (viz Pricipy, tvrzeí 8) Chceme-li vyjádřit chybu, jaké se při odhadech parametrů µ a veličiami X a dopouštíme, je třeba zát rozděleí těchto veliči O tom pojedává ásledující věta Věta Nechť, X, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) X, (a) X ~ N ( µ, ) Pak (b) Jestliže > 0 a, pak áhodá veličia ( ) má rozděleí (c) Jestliže, pak veličiy X a jsou ezávislé χ Pozámky Tvrzeí (b) je důsledkem věty z Pricipů, ikoliv však důsledkem zcela bezprostředím (přemýšlejte o tom) Z tohoto tvrzeí vyplývá, že v případě výběru z ormálího rozděleí je výběrový rozptyl kozistetím odhadem parametru (obecě to eplatí)vskutku, rozptyl rozděleí χ je rove ( ), a proto odkud plye, že ( ) ( ) = D 4 ( ) = 4 D( D( ) = ( ) 0 ), Veličia je tedy kozistetím odhadem parametru dle věty 5 z Pricipů Nezávislost výběrového průměru a rozptylu ormálího rozděleí zformulovaá v tvrzeí (c) je zcela etriviálí vlastostí tohoto rozděleí, kterou avíc žádé jié rozděleí kromě ormálího emá Z tvrzeí (a) předchozí věty vyplývá, že X µ ( ) ~ N (0,) Nahradíme-li v ( ) ezámou hodotu směrodaté odchylky jejím výběrovým ekvivaletem, změí se rozděleí N (0,) v tudetovo t rozděleí Přesěji řečeo platí ásledující věta * Na úvodí pojedáí o pricipech matematické statistiky se budeme v tomto textu odkazovat jako a Pricipy

2 Věta Nechť X, X,, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) Pak X µ ( ) ~ t Důkaz Je X µ X µ X µ = = ( ) Dle věty jsou veličiy ( X µ ) a ( ) vzájemě ezávislé, prví z ich má rozděleí N (0,) a druhá rozděleí χ Tvrzeí věty tedy vyplývá z věty 3 z Pricipů Odhad středí hodoty, test hypotézy o středí hodotě Ozačeí Nechť u (α ), resp t (α ) jsou čísla vyhovující ásledujícím podmíkám: má-li veličia X rozděleí N (0,), pak má-li veličia X rozděleí t, pak [ X > u( α )] = α P ; [ X > t ( α )] = α P Tato čísla azýváme kritickými hodotami rozděleí N (0,), resp t Povšiměte si, že ozačeí kritických hodot rozděleí N (0,) a t eí kozistetí, důvody této ekozistece jsou však zcela tradičí a emají žádý hlubší smysl Nechť X, X,, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) Ze vztahu ( ) vyplývá, že s pravděpodobostí α je X µ Podobě z ( ) plye, že s pravděpodobostí α je < u( α ) X µ < t ( α ) Odtud jedoduchou aritmetickou úpravou dospějeme k ásledujícímu výsledku Věta 3 Nechť (a) Iterval X, X,, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) Pak ( ) ( ) X u α X + u α, pokrývá hodotu parametru µ s pravděpodobostí α (b) Iterval X t α) X + t (, ( α) pokrývá hodotu parametru µ s pravděpodobostí α

3 Itervaly z předchozí věty představují itervalové odhady (itervaly spolehlivosti) pro středí hodotu ormálího rozděleí Prví iterval je přitom (oboustraým) ( α ) 00% itervalem spolehlivosti pro parametr µ při zámé hodotě parametru, druhý z ich je itervalovým odhadem parametru µ při ezámé hodotě parametru (V aplikacích se zpravidla použije druhý z obou itervalů) Číslo α se azývá koeficiet spolehlivosti odhadu Podobě je možé zkostruovat jedostraé itervaly spolehlivosti Tak apříklad platí: Iterval a rověž tak iterval, X + t (α ), ), ( X t α pokrývá hodotu parametru µ s pravděpodobostí α + Kostrukce itervalů spolehlivosti pro parametr µ úzce souvisí s testem hypotézy H 0 : µ = µ 0, kde µ 0 je daé reálé číslo Je přitom uté předem staovit proti jaké alterativě budeme hypotézu H 0 testovat Přirozeá alterativa je H : µ µ 0 ; budeme jí říkat oboustraá alterativa V ěkterých případech lze ale a základě ějaké předběžé iformace o parametru µ určité jeho alterativí hodoty předem vyloučit V aplikacích se setkáváme s alterativami H : µ > µ 0 a H : µ < µ 0, které se azývají jedostraé Hypotézu H 0 zamíteme, jestliže alezeý iterval spolehlivosti pro parametr µ hypotetickou hodotu µ 0 eobsahuje; v případě oboustraé alterativy použijeme iterval oboustraý, v případě jedostraé alterativy odpovídající iterval jedostraý ado ahlédeme, že hladia výzamosti takového testu (tj pravděpodobost, že při aplikaci testu bude zamítuta správá hypotéza) je rova α, kde α je koeficiet spolehlivosti odhadu parametru µ Testujeme-li tedy hypotézu H 0 proti oboustraé alterativě, zamíteme ji tehdy, když iterval X t ( α), X + t ( α) eobsahuje číslo µ 0 K zamítáí hypotézy H 0 dochází právě tehdy, když ( ) X µ 0 t ( α) V případě, že je splěa erovost ( ), říkáme že rozdíl že rozdíl X µ 0 mezi výběrovým průměrem X a hypotetickou hodotou µ 0 parametru µ je statisticky výzamý (sigifikatí) Číslo t ( α ) přitom představuje ejmeší statisticky výzamý rozdíl (agl Least igificat Differece, zkráceě LD) Kritérium ( ) lze přepsat ve tvaru X µ 0 t ( α ) To zameá, že hypotéza H 0 se zamítá, jestliže T t ( α), kde T X µ = 0 Náhodá veličia T představuje tzv testovací statistiku pro hypotézu H 0 3

4 Kritérium pro zamítáí hypotézy H 0 se vyjadřuje též ásledujícím způsobem Možia ( t ( α) ] [ t ( ), α), se azývá kritickou oblastí (oblastí zamítáí) pro hypotézu H 0 ; hypotéza se zamítá, jestliže hodota testovací statistiky T pade do kritické oblasti Aalogicky lze zkostruovat testy hypotézy H 0 : µ = µ 0 proti jedostraým alterativám H : µ > µ 0 a H : µ < µ 0 Popis testu při všech třech možých alterativách (za použití testovací statistiky T ) je shrut v ásledující větě: Věta 4 Testujme hypotézu H 0 : µ = µ 0 o parametru µ rozděleí N µ, ) prostředictvím kofrotace této hypotézy s empiricky zjištěou hodotou výběrového průměru X a výběrového rozptylu Položme X µ 0 T = ( a staovme ásledující kritéria pro zamítáí hypotézy H 0 : () Hypotéza H 0 : µ = µ 0 se proti alterativě H : µ µ 0 zamítá, jestliže T t ( α) () Hypotéza H 0 : µ = µ 0 se proti alterativě H : µ > µ 0 zamítá, jestliže T t ( α) (3) Hypotéza H 0 : µ = µ 0 se proti alterativě H : µ < µ 0 zamítá, jestliže T t ( α) Hladia výzamosti tohoto testu je rova α Jde přitom o test, který má ze všech možých testů hypotézy H 0 : µ = µ 0 ejvětší možou sílu Jiak řečeo, pravděpodobost zamítutí esprávé hypotézy je u tohoto testu při libovolé předem zadaé hladiě výzamosti α ejvětší možá Defiice Test popsaý v předchozí větě se azývá jedovýběrový t test Pozámka K testovací statistice jedovýběrového t testu lze dospět přímo, aiž bychom předtím odvozovali vzorec pro iterval spolehlivosti pro parametr µ Jestliže je totiž hypotéza H 0 : µ = µ 0 správá, pak v důsledku věty má veličia T X µ = 0 rozděleí t Použijeme-li tedy pro zamítáí hypotézy H 0 kritérií popsaých ve větě 4, bude hypotéza zamítuta právě tehdy, když absolutí hodota testovací statistiky T je tak veliká, že takto veliká hodota je u této statistiky za předpokladu platosti hypotézy H 0 je velmi málo pravděpodobá kutečost, že hodota statistiky T je veliká přitom zameá, že mezi výběrovým průměrem X a hypotetickou hodotou µ 0 parametru µ je veliký rozdíl; právě proto má popsaý test velkou sílu a s velikou pravděpodobostí odhalí skutečost, že hypotéza H 0 správá eí ÚLOHY Předpokládejme, že výčetí tloušťka stromu se řídí ormálím zákoem rozděleí pravděpodobostí Byla změřea tloušťka šestácti áhodě vybraých stromů (v cetimetrech); výsledky jsou zazameáy v ásledující tabulce: Tloušťka Četost

5 a) Nalezěte iterval, který pokrývá hodotu středí výčetí tloušťky s pravděpodobostí 0,95 b) Předpokládejme (apř a základě předchozí zkušeosti či s přihlédutím k výše aměřeým hodotám), že směrodatá odchylka tloušťky eí větší ež osm cetimetrů Jaký ejmeší počet stromů musíme vybrat, jestliže požadujeme, aby chyba, které se dopustíme při odhadu středí tloušťky aritmetickým průměrem tlouštěk vybraých stromů, byla s 95% pravděpodobostí meší ež jede cetimetr? Řešeí Ozačme X, X,, X tloušťky vybraých stromů a předpokládejme, že jde o áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) a) Je třeba odhadout hodotu parametru µ Průměrá tloušťka změřeých stromů je X = 6, 75, výběrový rozptyl je = 7, 67 Veličia X je maximálě věrohodým odhadem parametru µ, přičemž 95% iterval spolehlivosti pro parametr µ je dá předpisem X ± t (0,05), kde = 6 je velikost výběru a t ( 0,05) = t5(0,05) =, 3 je kritická hodota rozděleí t Po dosazeí dospějeme k itervalu 6, 75 ±, 80 Teto iterval pokrývá hodotu středí tloušťky µ s pravděpodobostí 0,95 b) Je-li číslo zámé, pak ( α ) 00% iterval spolehlivosti pro parametr µ má meze X ± u( α ), kde u ( α ) je kritická hodota rozděleí N( 0, ) Pro určeí miimálího počtu vybraých stromů potřebého k dosažeí požadovaé přesosti odhadu středí tloušťky počítejme s ejvětší možou předpokládaou variabilitou tlouštěk, tj s hodotou = 8 Požadujeme, aby u( 0,05) < Odtud plye, že musí být [ u(0,05) ] = (,96 8) = 46 Je tedy uto vybrat a změřit řá- > dově alespoň dvě stě padesát stromů Nechť chyba, které se dopouštíme při měřeí výšky stromu určitým typem výškoměru, má rozděleí N (0, ), přičemž je ezámý parametr Dejme tomu, že určitý strom má výšku h met- rů Za účelem přesého určeí této výšky bylo provedeo devět ezávislých opakovaých měřeí s ásledujícím výsledkem (v metrech): 0,9 0, 9,84 9,8 9,83 0,6 9,79 9,96 9,7 a) Určete 99 % iterval spolehlivosti pro výšku h b) Jak se změí řešeí úlohy a), jestliže číslo, vyjadřující velikost áhodé chyby měřeí, záte? Kokrétě předpokládejte, že = 0, 5 Řešeí Nechť je počet měřeí a X i, kde i =,,,, je výsledek i - tého měřeí Ozačímeli e i chybu i - tého měřeí, pak X i = h + ei Předpokládáme přitom, že tyto chyby mají ormálí rozděleí, ulovou středí hodotu a stejý rozptyl Předpoklad ulové středí hodoty veliči e i zameá, že během měřeí edochází k systematickým chybám, stejý rozptyl těchto veliči pak vyjadřuje stálost podmíek, za ichž jsou měřeí prováděa Normalita rozděleí chyb přitom odpovídá implicitímu předpokladu o jejich zcela áhodé povaze Je tedy odkud plye, že e i ~ N (0, ), 5

6 X i ~ N ( h, ) pro každé i =,,, Přitom je ezámá kostata ezávislá a i a charakterizující zvoleý proces měřeí Předpokládáme-li dále, že chyby e, e,, e jsou vzájemě ezávislé, pak vektor X, X,, X je áhodým výběrem z rozděleí N ( h, ) Chceme přitom odhadout středí hodotu h tohoto rozděleí Výběrový průměr je X = 9, 95, výběrový rozptyl = 0, 04 a směrodatá odchylka = 0, a) Hledaý 99% iterval spolehlivost pro parametr h (skutečou výšku stromu) je dá předpisem X ± t (0,0), kde = 9 je počet provedeých měřeí Z tabulek zjistíme, že t ( 0,0) = t8(0,0) = 3, 355 Po dosazeí obdržíme výsledek 9,95 ± 0, b) Předpokládáme-li, že = 0, 5, pak 99% iterval spolehlivosti pro parametr h je X ± u( 0,005) Z tabulek zjistíme, že u ( 0,005) =, 576 Po dosazeí dostaeme výsledek 9,95 ± 0, 3 3 Při výrobě micí je staovea hmotost mice pět gramů Je podezřeí, že a materiálu se systematicky šetří Testujte hypotézu, že tomu tak eí Použijte výsledků amátkové kotroly, při íž bylo áhodě vybráo deset micí, a poté zjištěa jejich hmotost; zazameaé hmotosti vybraých micí (v gramech) jsou přitom ásledující: 4,9 5,0 4,88 4,79 4,89 4,7 5,0 4,97 4,86 4,93 Řešeí Ozačme X, X,, X hmotosti vybraých micí a předpokládejme, že tyto hmotosti představují áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) Testujme hypotézu H 0 : µ = 5, tj hypoté- zu, že středí hmotost vyráběých micí je rova staoveé ormě, a to ejprve proti oboustraé alterativě H : µ 5 Provedeme jedovýběrový t test, a to a základě testovací statistiky X 5 T =, o íž víme, že má za předpokladu správosti hypotézy H 0 rozděleí t V ašem případě je = 0, X = 4,898, = 0,0937, T = 3,44 > 3,5 = t 9 (0,0) Hypotéza H : µ 5 se proto zamítá proti alterativě H : µ 5 a hladiě výzamosti 0 = α = 0,0 Vzhledem k tomu, 3,44 = t 9 (0,0074), je hladia výzamosti testu ve skutečosti o ěco málo meší ež 0,0 V aší úloze však a priori vylučujeme možost, že se mice vyrábějí systematicky těžší ež je staoveá orma, správá alterativa k testovaé hypotéze je tudíž jedostraá alterativa H : µ < 5 Hladia výzamosti se přechodem k této jedostraé alterativě sižuje a poloviu, je tedy meší ež 0,004 Jedovýběrový t test lze a předem daé hladiě výzamosti α realizovat též tak, že určíme ( α ) 00% iterval spolehlivosti pro parametr µ a povšimeme si, zda teto iterval obsahuje či eobsahuje testovaou hodotu (zde číslo pět) Například oboustraý 99% iterval spolehlivosti pro parametr µ je ( 4,80; 4,994) Teto iterval eobsahuje číslo 5 (ýbrž leží celý alevo od tohoto čísla), což odpovídá skutečosti, že a hladiě výzamosti α = 0, 0 se hypotéza H 0 : µ = 5 proti alterativě H : µ 5 zamítá Jedostraé alterativě pak odpovídá jedostraý iterval spolehlivosti ( ; 4,98) 6

7 4 Párový t test U devíti vzorků půdy byla staovea kocetrace jisté škodlivé látky Použilo se přitom dvou metod Jeda z ich je klasická, zatímco druhá je ová Na základě zjištěých výsledků (viz ásledující tabulka) posuďte, zda prví metoda dává systematicky větší ebo meší výsledky ež druhá Klasická metoda,68,60,43,85,94,70,68,98,85 Nová metoda,36,4,39,90,8,73,58,89,78 Rozdíl 0,3 0,9 0,04-0,05 0, -0,03 0,0 0,09 0,07 Řešeí Předpokládejme, že rozdíl mezi hodotami výsledků jedotlivých metod se řídí ormálím zákoem rozděleí pravděpodobostí a testujme hypotézu, že středí hodota tohoto rozdílu je rova ule Tím je úloha převedea a jedovýběrový t test Hodota testovací statistiky je T =,53,306 = t (0,05) ystematický rozdíl ve výsledcích obou metod je tím prokázá 8 Odhad rozptylu, test hypotézy o rozptylu χ, tj takovou hod- Ozačeí ymbolem χ ( α ) budeme ozačovat kritickou hodotu rozděleí otu, která je veličiou s rozděleím χ překročea s pravděpodobostí α Nechť X, X,, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) Z věty (b) vyplývá, že s pravděpodobostí α je ( ) χ ( α ) χ ( α < < ) Odtud pak lehce dospějeme k ásledujícímu výsledku Věta 5 Nechť, X, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) X, Pak iterval ( ) ( ), χ ( α ) ( ) χ α pokrývá hodotu parametru s pravděpodobostí α Iterval z předchozí věty představuje itervalový odhad pro rozptyl ormálího rozděleí; přesěji jde o oboustraý ( α ) 00% iterval spolehlivosti Aalogicky lze zkostruovat jedostraé itervaly spolehlivosti Kokrétě: Iterval ( ),, χ ( α ) a rověž tak iterval ( ) χ ( α) pokrývá hodotu parametru s pravděpodobostí Kostrukce itervalu spolehlivosti pro parametr, + α souvisí s testem hypotézy 0 H 0 : =, kde 7

8 hypotetickou hodotu 0 je daé reálé číslo Tuto hypotézu zamíteme, jestliže alezeý iterval spolehlivosti pro parametr straé alterativě 0 0 eobsahuje Testujeme-li tedy apř hypotézu H 0 proti obou- H :, zamíteme ji tehdy, když iterval ( ) ( ), χ ( α ) ( ) χ α eobsahuje číslo 0 ado ahlédeme, že hladia výzamosti takového testu je rova α Je přitom zjevé, že k zamítáí hypotézy H 0 dochází právě tehdy, když Náhodá veličia ( ) < χ α 0 ( ) ( ) ebo > χ ( α ) ( ) T = představuje tedy testovací statistiku pro hypotézu H 0 Hypotéza se zamítá, jestliže T < χ ( α ) ebo χ ( α T > ) Aalogicky lze zkostruovat testy hypotézy H 0 : = 0 proti jedostraým alterativám H : > 0 a H : < 0 Popis testu při všech třech možých alterativách (za použití testovací statistiky T ) je shrut v ásledující větě: 0 0 Věta 6 Testujme hypotézu H 0 : = 0 o parametru ormálího rozděleí prostředictvím kofrotace této hypotézy s empiricky zjištěou hodotou výběrového rozptylu Položme ( ) T = a staovme ásledující kritéria pro zamítáí hypotézy H 0 : () Hypotéza () Hypotéza (3) Hypotéza H 0 : = 0 se proti alterativě : 0 0 H zamítá, jestliže T χ ( ) ebo T χ ( α ) < α H 0 : = 0 se proti alterativě : > 0 H 0 : = 0 se proti alterativě : < 0 > > H zamítá, jestliže T χ ( α) < α H zamítá, jestliže T χ ( ) Hladia výzamosti tohoto testu je rova α Jde přitom o ejsilější možý test Pozámka Kritéria pro zamítáí hypotézy H 0 : = 0 zformulovaá v předchozí větě se lehce zapamatují Hypotéza se totiž zamítá tehdy, jestliže poměr empiricky zjištěé hodoty výběrového rozptylu a hypotetické hodoty 0 rozptylu je příliš malý (resp příliš velký) ÚLOHY 5 a) Nechť chyba, které se dopouštíme při zjišťováí výšky stromu určitým typem výškoměru, má rozděleí N (0, ) Chceme odhadout hodotu parametru Za tím účelem provedeme = 00 opakovaých měřeí jedé kokrétí výšky; předpokládáme přitom, že výsledky jedotli- 8

9 vých měřeí jsou vzájemě ezávislé Z aměřeých hodot vypočítáme výběrovou směrodatou odchylku; její hodota echť je = 0, 37 Určete 95% oboustraý iterval spolehlivosti pro parametr Zcela speciálě testujte hypotézu, že = 0, 5 b) Řešte předchozí úlohu pro = 000 měřeí s výběrovou směrodatou odchylkou = 0, 44 (Provedeme-li více měřeí, obdržíme přesější odhad) Řešeí a) Podobě jako v úloze předpokládáme, že chyby e, e,, e jedotlivých měřeí jsou vzájemě ezávislé veličiy s rozděleím N (0, ) Jiak řečeo vektor e, e,, e je áhodým výběrem z rozděleí N (0, ) a aším úkolem je odhadout rozptyl tohoto rozděle- í Bodovým odhadem parametru je veličia = 0,37 ; jde přitom o estraý a maximálě věrohodý odhad (Je třeba si uvědomit, že výběrový rozptyl aměřeých hodot je stejý jako výběrový rozptyl chyb, kterých se při měřeí dopustíme) Itervalový odhad parametru zkostruujeme ásledujícím způsobem Platí, že a tudíž s pravděpodobostí 0,95 je ~ χ, 99 χ χ (0,975) < < Příslušé kritické hodoty rozděleí χ 99 jsou 99 = To zameá, že s pravděpodobostí 0,95 je (0,05) 99 = χ (0,05) 8,4 a χ (0,975) 73, ,36 < < 8,4 Odtud vyplývá, že iterval 99, 8,4 99 = (0,0447; 0,0533) 73,36 pokrývá ezámou hodotu parametru s pravděpodobostí 0,95 Tudíž 95% oboustraý iterval spolehlivosti pro směrodatou odchylku je ( 0,; 0,6) To ale zameá, že hypotéza H 0 : = 0, 5 se proti alterativě H : 0, 5 a hladiě výzamosti α = 0, 05 ezamítá b) Podobě jako v úloze a) zjistíme, že 95% oboustraý iterval spolehlivosti pro rozptyl je 999, χ 999(0,05) 999 χ 999(0,975) Kritické hodoty χ 999(0,05) a χ 999(0,975) rozděleí χ lze s poměrě velikou přesostí určit pomocí aproximace tohoto rozděleí ormálím rozděleím N ( 999, 999) Obdržíme tak kritické hodoty 999 ±,96 999, tj 999 ± 87, 6 Po dosazeí za tyto kritické hodoty a za empiricky zjištěou hodotu rozptylu = 0,37 získáme pro 95% iterval spolehlivosti pro parametr vyjádřeí ( 0,09; 0,03) Odpovídající itervalový odhad parametru je ( 0,38; 0,5) 999 9

10 6 Pevost vláka bavlěé příze lze pokládat za áhodou veličiu s rozděleím N( µ, ) Je-li > 036, kg, vzikají potíže při tkaí Při zkoušce jedeácti áhodě vybraých vláke byly zjištěy tyto hodoty jejich pevosti: 5,3 3,0 4,8 3,6 4,,5 4,7,4 3, 3,8 4,4 Je třeba posoudit, zda je příze vyhovující Řešeí Testujme hypotézu H 0 : = 0, 36 proti alterativě H : > 0, 36 Test lze realizovat buď tak, že vypočteme jedostraý iterval spolehlivosti pro parametr, ebo pomocí testovací statistiky Bodovým odhadem parametru je výběrový rozptyl = 0, 9 Přitom 95 % levostraý iterval spolehlivosti pro parametr je rove 0, χ0(0,05) +, 0 = zatímco testovací statistika pro hypotézu H : 0, 36 je 0 T = 0,36 Po dosazeí za číslo obdržíme pro iterval spolehlivosti pro parametr vyjádřeí ( 05, ; + ); teto iterval pokrývá ezámou hodotu parametru s pravděpodobostí 0,95 Hypotéza H 0 : = 0,36 se tudíž proti alterativě H : > 0, 36 zamítá a hladiě výzamosti α = 0, 05, eboť iterval ( 05, ; + ) eobsahuje číslo 0,36 Dále 0 T = 5, 6 > 3, 09 = χ ( 0, 0), což zameá, že hypotéza H 0 se proti alterativě H zamítá i a hladiě výzamosti α = 0, 0 Ozačíme-li tedy přízi za evyhovující, pak pravděpodobost, že je teto závěr špatý, epřekračuje hodotu 0,0 7 V úloze b) předpokládáme, že směrodatá odchylka výčetí tloušťky stromu epřekračuje hodotu osm cetimetrů Ukažte, že teto předpoklad je v souladu se získaými experimetálími daty Řešeí Iterval ( ; 7,56) pokrývá hodotu směrodaté odchylky s pravděpodobostí 0,95 Test hypotézy o rovosti středích hodot dvou ormálích rozděleí Nechť X, X,, X je áhodý výběr z rozděleí N( µ, ) a Y, Y,, Y je áhodý výběr m z rozděleí N( µ, ) To zameá, že X, X,, X m jsou vzájemě ezávislé áhodé veličiy s rozděleím N( µ, ) a Y, Y,, Y jsou vzájemě ezávislé áhodé veličiy s rozděleím N( µ, ) Předpokládejme dále, že hodoty veliči Y, Y,, Y ezávisí a hodotách veliči X, X,, X m (a aopak), tj že jde o vzájemě ezávislé áhodé výběry Chceme testovat hypotézu H 0 : µ = µ Ozačme X = m m X i i =, Y = Y i i = m, = ( X i X m ) i =, = ( Y i Y ) i = 0

11 Věta 7 Náhodá veličia má rozděleí N (0,) Důkaz Víme, že Vzhledem k tomu, že výběry též veličiy X a Y, a proto Odtud pak plye, že což bylo dokázat T = ( µ µ ) + m X ~ N, µ a Y m ~ N, µ X, X,, X m a Y, Y,, Y jsou vzájemě ezávislé, jsou ezávislé ~ N µ µ, + m ( µ µ ) ~ + m N (0, ), Důsledek Nechť H 0 : µ = µ je správá hypotéza Pak áhodá veličia má rozděleí N (0,) T = + m Náhodou veličiu T z předchozího důsledku lze považovat za testovací statistiku pro hypotézu H 0 Pokud budeme zamítat hypotézu H 0 tehdy, když hodoty statistiky T padou do kritické oblasti rozděleí N (0,), tj tehdy, když T u( α ), obdržíme test s hladiou výzamosti α Při aplikaci tohoto testu se ovšem předpokládá, že hodoty rozptylů a jsou zámé; v běžých aplikacích tomu tak ale zpravidla ebývá Podobě jako v jedovýběrovém t testu se přitom abízí myšleka ahradit ve statistice T hodoty ezámých rozptylů a jejich odhady a a zjistit jak se přitom rozděleí statistiky T změí Bohužel však v případě, že o parametrech a emáme vůbec žádou iformaci, eumíme toto rozděleí exaktě vyčíslit Kdybychom však předpokládali, že hodoty rozptylů a jsou stejé, pak lze postupovat ásledujícím způsobem Ozačme = = Veličia T z věty 7 pak abývá tvaru Lze přitom ukázat, že veličia T = ( µ µ ) + m ( m ) + ( ) = m + je estraým (a maximálě věrohodým) odhadem parametru a že veličiy X Y a jsou vzájemě ezávislé Odtud lze pomocí věty z tohoto pojedáí a věty 3 z Pricipů vyvodit ásledu-

12 jící výsledek: Věta 8 Nechť = Pak áhodá veličia má rozděleí t m+ Důsledek Nechť 0 : µ = µ má rozděleí t m+ T = ( µ µ ) + m H je správá hypotéza (a echť avíc = ) Pak áhodá veličia T = + m Veličiu T z předchozího důsledku lze tedy za předpokladu, že =, považovat za testovací statistiku pro hypotézu H 0 : µ = µ Hypotéza H 0 : µ = µ se zamítá proti oboustraé alterativě H : µ µ, pokud T t + ( α ) m Proti alterativě H : µ > µ se hypotéza H 0 zamítá, jestliže T t m + (α ) a proti alterativě H : µ < µ se zamítá tehdy, když T t + ( m α) ouhrě řečeo, proti jedostraé alterativě se hypotéza H 0 zamítá, jestliže T t m + (α ) Hladia výzamosti tohoto testu je rova α Lze přitom ukázat, že za předpokladu = je popsaý test ejsilějším možým testem hypotézy H 0 : µ = µ Pozámka Jestliže m =, pak + = Defiice Výše popsaý test se azývá dvouvýběrový t test Prohlédeme-li si pozorě kritérium pro zamítáí hypotézy H 0 : µ = µ v právě popsaém dvouvýběrovém t testu, vidíme, že proti oboustraé alterativě H : µ µ se tato hypotéza zamítá právě tehdy, když V takovém případě říkáme, že rozdíl X tm+ ( α ) + m LD Y je statisticky výzamý Číslo ( ) m = tm+ α + přitom představuje ejmeší (statisticky) výzamý rozdíl Dvouvýběrový t test hypotézy H 0 : µ = µ proti alterativě H : µ µ lze při daé hladiě výzamosti α realizovat též tak, že zkostruujeme oboustraý ( α ) 00% iterval spolehlivosti pro rozdíl µ µ Z věty 8 vyplývá, že takový iterval je dá předpisem ± tm+ ( α ) + m Hypotéza H 0 se přitom zamítá, jestliže teto iterval eobsahuje ulu

13 Pokud máme pádý důvod předpokládat, že, je možo použít k testu hypotézy H 0 : µ = µ ějakou obdobu dvouvýběrového t testu, v íž se erovost rozptylů explicitě předpokládá Jako testovací statistika pak obvykle slouží veličia T = + m Rozděleí pravděpodobostí veličiy T (za platosti hypotézy H 0 ), a tedy ai kritické hodoty tohoto rozděleí však eumíme, jak již bylo pozameáo, přesě vyčíslit Jestliže však jsou čísla m a dost veliká, lze tyto kritické hodoty určit alespoň přibližě Často bývá používá tzv Cochraův-Coxův test, který pracuje s modifikovaou kritickou hodotou v tm ( α) + vt ( α) t ( α ) =, v + v kde s v = m a s v = Hypotéza H 0 se zamítá, jestliže T t (α ) atterthwaiteův test a Welchův test pak pracují s modifikovaým počtem stupňů volosti, a to u atterthwaiteova a ( v + v ) f = v v + m ( v + v ) h = v v + m + + u Welchova testu Hypotéza H 0 se zamítá, jestliže T t f (α ), resp T t h (α ) Hladiy výzamosti všech tří testů jsou při oboustraé alterativě asymptoticky (tj pro m, ) rovy α Test hypotézy o rovosti rozptylů dvou ormálích rozděleí Předpokládejme opět, že X, X,, X je áhodý výběr z rozděleí N( µ, ) m, Y, Y,, Y je áhodý výběr z rozděleí N( µ, ) a že tyto výběry jsou vzájemě ezávislé Chceme testovat hypotézu H 0 : = Tak jako u dvouvýběrového t testu ozačme m = ( X i X ) m i = a = ( Y i Y ) i = Řešeí úlohy spočívá ve vyčísleí rozděleí veličiy za předpokladu, že H 0 je správá hypotéza; kokrétě se ukáže, že jde o F rozděleí (stačí spojit větu (b) z tohoto pojedáí s větou 4 z Pricipů) Důvodem k zamítutí hypotézy H 0 jsou zřejmě příliš malé či příliš veliké hodoty poměru (meší či větší ež hodoty kritické) Popíšeme postup tohoto testováí podroběji Nejpr- ve přesě zformulujme základí věty, a ichž je toto testováí založeo 3

14 Ozačeí ymbolem F m, ( α) budeme ozačovat kritickou hodotu rozděleí F m,, tj takovou hodotu, která je veličiou s rozděleím m,, m α F ( α) = F ( ) F, překročea s pravděpodobostí α Lze ukázat, že m Věta 9 Náhodá veličia má rozděleí F m, T = Důsledek Nechť H 0 : = je správá hypotéza Pak áhodá veličia T = má rozděleí F m, Hodota veličiy T z předchozí věty se zřejmě s pravděpodobostí F ( α ) F ( α ) Odtud bezprostředě vyplývá ásledující věta ( ) m,, m, α achází v itervalu Věta 0 Iterval Fm =, ( α ) ( ) ( ) ( ) F, α α α m Fm, F, m,, pokrývá hodotu podílu s pravděpodobostí α Teto iterval tedy představuje ( α ) 00% iterval spolehlivosti pro parametr Nyí můžeme přistoupit k vlastímu popisu testu hypotézy se zamítá proti alterativě H : tehdy, jestliže iterval H 0 : = Hypotéza H 0 : = Fm, ( α ) ( ) F, α m, eobsahuje číslo (tj tu hodotu, které podíl abývá tehdy, když H 0 je správá hypotéza) To astae právě tehdy, když ( ) T ( ) ebo T ( α ), < F, α m > F m, kde T = Veličiu T = lze tedy považovat za testovací statistiku pro hypotézu H 0 Hladia výzamosti tohoto testu je rova α Ukazuje se přitom, že při běžě používaých hladiách výzamosti a při epříliš velikém rozdílu mezi čísly m a se emůže stát, aby jeda z erovostí ( ) byla splěa a druhá ikoliv Proto v praxi postupujeme zpravidla tak, že za zvolíme větší a za meší z obou výběrových rozptylů a hypotézu H 0 zamíteme, jestliže poměr je příliš veliký, tj jestliže T ( α ) Defiice 3 Výše popsaý test je zám jako F test > F m, 4

15 ÚLOHY 8 Bylo vybráo třiáct polí stejé kvality Na osmi z ich se zkoušel ový způsob hojeí, zbývajících pět bylo ošetřeo běžým způsobem Výosy pšeice v tuách a hektar jsou uvedey v ásledující tabulce Nový způsob hojeí 5,7 5,5 4,3 5,9 5, 5,6 5,8 5, Běžý způsob hojeí 5,0 4,5 4, 5,4 4,4 Je třeba zjistit, zda způsob hojeí má vliv a výos pšeice Řešeí Ozačme X, X,, X Y, Y,, Y m výosy pšeice v tuách a hektar při ovém a při běžém způsobu hojeí Je tedy m = 8 a = 5 Předpokládejme dále, že X, X,, X m je áhodý výběr z rozděleí N( µ, ), Y, Y,, Y je áhodý výběr z rozděleí N( µ, ) a testujme hypotézu H 0 : µ = µ Nejprve předpokládejme, že = a proveďme dvouvýběrový t test Je X = 5, 3875, = = Y = 47,, 0, 698, 0, 4 Dále pak ( m ) + ( ) = = = 0,59 m + Testovací statistika pro dvouvýběrový t test je T = + m Jelikož T =,37 >,0 = t(0,05), hypotéza H 0 : µ = µ se proti alterativě H : µ µ zamítá a hladiě výzamosti α = 0, 05 V daém kotextu by ovšem možá bylo přirozeější zvolit alterativu H : µ > µ a porovávat hodotu statistiky T s kritickou hodotou t ( 00, ) Iterval spolehlivosti pro rozdíl µ µ je dá předpisem X Y ± tm+ ( α ) + m V ašem případě shledáváme, že 95% iterval spolehlivosti pro rozdíl středích výosů při ovém a běžém způsobem hojeí je 0, 6875 ± 0, 6386, tj (0,05;,33) Hypotéza H 0 : µ = µ byla proti alterativě H : µ µ zamítuta a hladiě výzamosti α = 0, 05 z toho důvodu, že teto iterval eobsahuje ulu Při posouzeí, zda iterval spolehlivosti pro rozdíl µ µ obsahuje či eobsahuje ulu, lze postupovat též ásledujícím způsobem Nejprve vypočítáme číslo LD = tm+ ( α ) +, m tj ejmeší (statisticky) výzamý rozdíl mezi průměrými výosy při ovém a běžém způsobu hojeí a ověříme, zda rozdíl X Y je statisticky výzamý, tj zda V ašem případě je X Y LD = 0,6875 0, 6386 = LD, tudíž rozdíl X Y je při zadaé hladiě výzamosti α = 0, 05 statisticky výzamý 5

16 Otestujme ještě hypotézu H 0 : =, což je předpoklad výše provedeého dvouvýběrového t testu Hodota testovací statistiky je = T =,4 (Připomeňme, že je třeba dělit větší rozptyl meším!) Vzhledem k tomu, že,4 (0,05) T < F 7 = 9,074, hypotéza H 0 : = se proti alterativě H : a hladiě výzamosti α = 0, 05 ezamítá Teto tzv F test lze realizovat též tak, že vyčíslíme 95 % iterval spolehlivosti pro podíl, tj iterval Dosadíme-li F7, 4, ( 0,05) 4 F (0,975) 7, 7, 4 = 4, 7 = F 7, 4 (0,05) = 9,074 ; F (0,975) F (0,05) 0, 8, obdržíme iterval ( 0,4; 6,09) Teto iterval pokrývá hodotu podílu rozptylů a s pravděpodobostí 0,95 Hypotéza H 0 : = se proti alterativě H : a hladiě výzamosti α = 0, 05 ezamítla proto, že teto iterval obsahuje jedičku (a připouští tedy možost, že poměr je rove jedé) Testujme yí hypotézu H 0 : µ = µ za předpokladu, že Jako testovací statistika se pak používá veličia T = + m V ašem případě je v = = 0,03375, v = = 0, 048, T * =, 405 m Cochraův-Coxův test: Je vtm (0,05) + vt (0,05) t (0,05) = =,606 v + v Jelikož T < t (0,05), hypotéza H 0 : µ = µ se proti alterativě H : µ µ a hladiě výzamosti α = 0, 05 ezamítá atterthwaiteův test: Je ( v + v ) f = = 9,044 v v + m a t f ( 0,05) =, 60 Jelikož T > t f (0,05), hypotéza H 0 : µ = µ se proti alterativě H : µ µ a hladiě výzamosti α = 0, 05 zamítá Welchův test: Je h = ( v + v ) =,086 v v + m + + a t h ( 0,05) =, 99 Jelikož T > t h (0,05), hypotéza H 0 : µ = µ se proti alterativě H : µ µ a hladiě výzamosti α = 0, 05 zamítá 6

17 9 Chceme prokázat, že studeti lesické fakulty jsou v průměru hmotější ež studetky Za tím účelem vybereme áhodě deset studetů a deset studetek a zjistíme jejich hmotost (v kilogramech) Výsledky tohoto průzkumu jsou uvedey v ásledující tabulce tudeti tudetky Je rozdíl v průměrých hmotostech vybraých studetů a studetek statisticky výzamý? Řešeí Ozačme X, X,, X 0 hmotosti vybraých studetů a Y, Y,, Y0 hmotosti vybraých studetek Předpokládejme, že X, X,, X 0 je áhodý výběr z rozděleí N( µ, ) a, Y,, Y0 Y je áhodý výběr z rozděleí N( µ, ) Je X = 74, Y = 56, =, 8, =, 33 Odtud plye, že 95% iterval spolehlivosti pro středí hmotost studetů je ( 65,55; 8,45) a 95% iterval spolehlivosti pro středí hmotost studetek je ( 47,89; 64,) Tyto itervaly mají prázdý průik, pokud by tedy skutečě pokrývaly hodoty středích hmotostí µ a µ, zamealo by to, že µ µ, tj že středí hmotosti studetů a studetek ejsou stejé Bohužel však elze přesě určit pravděpodobost, že takovýmto postupem dospějeme k chybému závěru (tj zamíteme hypotézu H 0 : µ = µ ) Víme pouze, že tato pravděpodobost je větší ež 0,05 a meší ež 0,0 Chceme-li takovou pravděpodobost určit přesě, je třeba provést dvouvýběrový t test Předpokládejme tedy avíc, že = a testujme hypotézu H 0 : µ = µ proti alterativě H : µ > µ (možost, že studetky jsou v průměru hmotější ež studeti a priori vylučujeme) Je = ( + ) =, 57 a T = 3,48 >,55 = t8(0,0) Hypotéza H 0 : µ = µ se tedy proti alterativě H : µ > µ zamítá a hladiě výzamosti α = 0, 0 Předpokládejme yí, že Je T = 3, 48 a t ( 0,0) = t9 (0,0) =, 8 Cochraův- Coxův test tedy rověž vede k zamítutí hypotézy H 0 : µ = µ proti alterativě H : µ > µ a hladiě výzamosti α = 0, 0 Dále je f = 8 a t (0,0), 55, a koečě h = 0 a 8 = t 0 (0,0) =,58 Tudíž jak atterthwaiteův, tak Welchův test vedou k zamítutí hypotézy H 0 : µ = µ proti alterativě H : µ > µ a hladiě výzamosti α = 0, 0 0 Na stroji vyrábějícím dřevěé polotovary byla provedea jistá úprava za účelem zvýšeí přesosti obráběí Chceme posoudit, zda tato úprava byla účiá Bylo proto áhodě vybráo osm polotovarů vyrobeých a stroji bez úpravy a osm a upraveém stroji Délky výrobků v milimetrech jsou obsažey v ásledující tabulce: troj bez úpravy Upraveý stroj a) Testujte hypotézu, že středí délka vyráběých polotovarů zůstala po úpravě stroje stejá b) Testujte hypotézu, že přesost obráběí se ezměila, a to proti alterativě, že tato přesost se po úpravě stroje zvýšila Řešeí Ozačme X, X,, X 8 délky polotovarů vyrobeých a stroji bez úpravy a Y, Y,, Y8 délky polotovarů vyrobeých a upraveém stroji Předpokládejme přitom, že a obou strojích se odchylka délky polotovaru od jeho středí délky se řídí ormálím zákoem rozděleí pravděpodobostí a) Jelikož X = Y = 9, 5, elze zamítout hypotézu, že středí délka polotovarů je pro oba stroje stejá b) Je 3, 93, 5, 64 a T = =,66 > 3,787 = (0,05) Hypotéza, že přesost ob- = = 5 F7, 7 7

18 ráběí se ezměila, se tedy zamítá a hladiě výzamosti α = 0, 05 Jelikož však T < 6,993 = F 7, 7 (0,0), hypotéza se ezamítá a hladiě výzamosti α = 0,0 8

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p)

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p) . Příklad Při průzkumu trhu projevilo 63 z dotázaých zákazíků zájem o iovovaý výrobek, který má být uvede a trh se zákazíky. Odvoďte a odhaděte proceto a počet zájemců v populaci s 95% spolehlivostí. Následě

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

Kvantily. Problems on statistics.nb 1

Kvantily. Problems on statistics.nb 1 Problems o statistics.b Kvatily 5.. Nechť x a, kde 0 < a

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

Kapitola 6. : Neparametrické testy o mediánech

Kapitola 6. : Neparametrické testy o mediánech Kapitola 6 : Neparametrické testy o mediáech Cíl kapitoly Po prostudováí této kapitoly budete umět - provádět testy hypotéz o mediáu jedoho spojitého rozložeí - hodotit shodu dvou ezávislých áhodých výběrů

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace 7. Odhady populačích průměrů a ostatích parametrů populace Jak sme zišťovali v kapitole. e možé pro každou populaci sestroit možství parametrů, které i charakterizue. Pro účely základího pozáí e evýzaměší

Více

Kapitola 4 Euklidovské prostory

Kapitola 4 Euklidovské prostory Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,

Více

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem)

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem) Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Číselné charakteristiky náhodných veličin

Číselné charakteristiky náhodných veličin Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí

Více

Úloha III.S... limitní

Úloha III.S... limitní Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad Lekce Náhodý výběr, statistiky a bodový odhad Parametr rozděleí pravděpodobosti je ezámá kostata, jejíž přímé určeí eí možé. Nástrojem pro odhad ezámých parametrů je áhodý výběr a jeho charakteristiky

Více

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ 3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí

Více

a další charakteristikou je četnost výběrového souboru n.

a další charakteristikou je četnost výběrového souboru n. Předáška č. 8 Testováí rozptylu, testy relatví četost, testy dobré shody, test ezávslost kvaltatvích zaků Testy rozptylu Testy se používají k ověřeí hypotézy o určté velkost rozptylu a k ověřeí vztahu

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

Zhodnocení přesnosti měření

Zhodnocení přesnosti měření Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění:

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění: Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Testujeme hypotézu: proti alterativě H : μ = μ = = μ H : e všechy středí hodoty μ,, μ jsou si rovy Jedoduché

Více

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Středoškolská techika 00 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Pavel Husa Gymázium Jiřího z Poděbrad Studetská 66/II

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě

Více

Užití binomické věty

Užití binomické věty 9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A );

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A ); 1 PSE 1 Náhodý pokus, áhodý jev. Operace s jevy. Defiice pravděpodobosti jevu, vlastosti ppsti. Klasická defiice pravděpodobosti a její použití, základí kombiatorické vzorce. 1.1 Teoretická část 1.1.1

Více

Pravděpodobnost vs. statistika. Data. Teorie pravděpodobnosti pracuje s jednou nebo více teoretickými náhodnými

Pravděpodobnost vs. statistika. Data. Teorie pravděpodobnosti pracuje s jednou nebo více teoretickými náhodnými Pravděpodobost vs. Teorie pravděpodobosti pracuje s jedou ebo více teoretickými áhodými veličiami, jejichž je zámo odvozovali jsme y těchto atd. Šárka Hudecová Katedra pravděpodobosti a matematické Matematicko-fyzikálí

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Tetováí tatitických hypotéz CHEMOMETRIE I, David MILDE Jedá e o jedu z ejpoužívaějších metod pro vyloveí závěrů o základím ouboru, který ezkoumáme celý, ale pomocí áhodého výběru. Př.: Je obah účié látky

Více