Úvod do numerické matematiky. Přednáška pro posluchače informatiky. Zimní resp. Letní semestr 2/2

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Úvod do numerické matematiky. Přednáška pro posluchače informatiky. Zimní resp. Letní semestr 2/2"

Transkript

1 Úvod do numerické mtemtiky Přednášk pro posluchče informtiky Zimní resp Letní semestr 2/2 Ivo Mrek, Petr Myer Bohuslv Sekerk 1 Úvodní poznámky Vymezení problemtiky vystihuje následující chrkteristik Numerická (výpočtová) mtemtik je relizce mtemtických modelů n výpočetní technice Numerická mtemtik je tedy součástí mtemtiky Je to všk součást mjící oproti teoretické mtemtice jeden význmný nedosttek Ten spočívá v tom, že čistě teoretické mtemtické modely podsttným způsobem operují s relnými čísly ztímco numerická mtemtik je závislá n výpočetní technice tudíž se musí bez tohoto prostředku obejít Typickým projevem této skutečnosti jsou zokrouhlovcí chyby, což vede ve svých důsledcích k numerické nestbilitě Zdroj numerické nestbility všk nemusí být výhrdně chyby ze zokrouhlení Numerická nestbilit může být zpřičiněn též vlstnostmi mtemtických modelů smých, n př relizce mtemtického šptně podmíněného modelu n počítči je přirozeným zdrojem numerické nestbility Zde použitý pojem šptně podmíněný model je chrkterizován nespojitou závislostí výstupní informce n informcích vstupních Příkld 11 Buď [ 11 A = kde jk jsou reálná čísl Symbolem h(a) oznčme hodnost mtice A Sndno si uvědomíme, že h není spojitou funkcí prvků jk Abychom si tuto okolnost uvědomili, stčí položiti A 0 = [ ], ], 11 0, 1

2 tkže n jedné strně h(a 0 ) = 1, všk, n strně druhé, pro libovolné reálné b 0 h(a(b)) = 2, kde A(b) = [ b ] Předchozí příkld ukzuje jednk nespojitost hodnosti mtice jkožto funkce jejích prvků jednk dlší pozoruhodnou vlstnost hodnosti T je obshem následující věty Vět 11 Hodnost mtice je zdol polospojitou funkcí jejích prvků Definice 11 Sklární reálná funkce f se nzývá zdol polospojitou v bodě s 0, jestliže množin {s : f(s) > f(s 0 )} je otevřená, t j existuje δ > 0 tkové, že pro s (s 0 δ, s 0 + δ) f(s) f(s 0 ) ɛ Dlším příkldem uvedeme numerickou nestbilitu popltnou chybám ze zokrouhlení Příkld 12 Určeme hodnoty integrálů (11) pro n = 1, 2, I n = 1 e 1 0 t n e t dt Užitím metody per prtes zjistíme, že (12) při čemž (13) Zřejmě pltí (14) jkož i (15) I n = 1 ni n 1 I 0 = e 1 e 0 I n I n 1 1 lim I n = 0 n 2

3 Výpočet n počítči se relizuje nikoliv v termínech zvedených veličin I n všk v termínech veličin počítných Ĩn Vzhledem k zokrouhlovcím chybám zjistíme, že existují indexy n 1 n 2 tk, že (16) Ĩ n1 < 0 (17) Ĩ n2 > 1 Vidíme tedy, že vzthy (14) nepltí pro veličiny Ĩn Důvodem pro pltnost vzthů (16) (17) je skutečnost vyjádřená rovnostmi z nichž plyne, že Ĩ n = I n + δ n, n = 1, 2, δ n = nδ n 1, odkud je ptrné, že chyb se n kždém kroku výpočtu násobí indexem kroku Toto zesílení chyby je velikosti fktoriálu, což znčí, že destrukce se explicitně projeví po p krocích, kde p znčí počet cifer používných v průběhu výpočtu 2 Diferenční rovnice Připomeňme si pojem obyčejné diferenciální rovnice Buď f = f(s, y, z) sklární reálná funkce, při čemž (21) s I = (, b), y S 1, z S 2, kde S 1 R, S 2 R, při stndrtním znčení množiny reálných čísel symbolem R Úlohu nlézti funkci x = x(s), s I tkovou,že jednk (22) x(s) S 1, x (s) S 2 jednk (23) f(s, x(s), x (s)) = 0, se nzývá obyčejnou diferenciální rovnicí 1 řádu Příkld 21 Položme f(s, y, z) = z αy Sndno se přesvědčíme, že x(s) = Cexp{αs} 3

4 je pro s [0, T ), kde T > 0, řešením diferenciální rovnice x = αx splňující počáteční podmínku x(0) = C Příkld 22 Nechť I = (, + ), S 0 = S 1 = [ 1, 1] f(s, y, z) = z 2 (1 y 2 ) Pk máme co do činění s diferenciální rovnicí jejíž řešení jsou dán formulí kde R je libovolné x 2 = 1 x 2, x(s) = sin(s ), Dále si připomeňme pojem diferenciální rovnice N-tého řádu Buď f = f(s, y 0, y 1,, y N ) sklární reálná funkce definovná pro s I R y 0,, y N ležící v podmnožinách reálných čísel S 0, S N Problém nlézt funkci x = x(s) definovnou pro s I, mjící N derivcí n I splňující relce (24) x (k) (s) S k k = 0, 1,, N (25) f(s, x(s), x (s),, x (N) (s)) = 0 pro všechn s I, se nzývá obyčejnou diferenciální rovnicí řádu N; symbolicky píšeme f(s, x(s), x (s),, x (N) ) = 0 Příkld 23 Nechť N = 2 I = S 0 = S 2 = R Nechť dále Potom kždá funkce x tvru f(s, y 0, y 1, y 2 ) = y 0 + y 2 x(s) = Acoss + Bsins, kde A B jsou konstnty, je řešením odpovídjící diferenciální rovnice x + x = 0 4

5 Nyní přistoupíme k úlohám podobným diferenciálním rovnicím Anlogie bude zřejmá z definice Budeme se zbývti diferenčními rovnicemi Uveďme npřed pojem diferenční rovnice 1 řádu Budiž dán soustv f = {f n (y, z)}, kde f n = f n (y, z), n = 1, 2,, jsou sklární reálné funkce definovné n množině I Z, při čemž Z znčí množinu celých čísel y, z S R Úloh nlézt posloupnost {x n } R, n I, splňující (26) (27) x n S, x n 1 S f n (x n, x n 1 ) = 0 se nzývá diferenční rovnice 1 řádu Kždá posloupnost {x n } splňující (26) (27) se nzývá řešením diferenční rovnice (27) Příkld 24 Buď I množin celých čísel Potom vede k diferenční rovnici Její řešení mjí tvr kde c R je libovolné Podobně f n (y, z) = y z 1 x n x n 1 = 1, x n = n + c, Příkld 25 Nechť I je množin nezáporných celých čísel tkže nše diferenční rovnice má tvr f n (y, z) = y z n, x n x n 1 = n Jejím řešením je posloupnost {x n }, kde x n = n(n 1) 2 Příkld 26 Buď I množin všech celých čísel f n (y, z) = y qz, Není obtížné ukázt, že řešení splňující x 0 = 1 odpovídjící rovnice má tvr x n = qx n 1 x n = q n 5

6 Nyní přistoupíme k vyšetřování diferenčních rovnic řádu N 1 Buď f = {f n (y 0, y 1,, y N )} posloupnost funkcí definovných n množině I Z, př čemž y j S j R, j = 0, 1,, N Úlohu nlézt posloupnost {x n }, n I splňující následují poždvky (28) x n S n, x n 1 S n 1, x n N S n N (29) f n (x n, x n 1,, X n N ) = 0 Posloupnost {x n } splňující (28) (29) se nzývá řešení diferenční rovnice (29) Příkld 27 Nechť I = Z f n (y 0, y 1, y 2 ) = y 0 2cosφy 1 + y 2, kde φ R Řešení tkto vzniklé diferenční rovnice x n 2cosφ x n 1 + x n 2 = 0 je dáno formulí x n = cosnφ Podobně jko v teorii diferenciálních rovnic se pro některé třídy úloh jednoznčné řešitelnosti dociluje vhodnou volbou počátečních podmínek Důležitým přípdem diferenčních rovnic jsou diferenční rovnice lineární V tom pǐpdě (210) f n (y 0, y 1,, y N ) = 0n y 0 + 1n y A Nn y N + b n, kde jn, b n R, j = 0, 1,, N, n = 0, 1, Příkld 28 Všechny diferenční rovnice uvedené v příkldech jsou lineární Podobně diferenční rovnice x n + 5nx n 1 + n 2 x n 2 = 2 je lineární, ztímco je nelineární x n 1 2x 2 n 1 = 0 6

7 Anlogicky jko v teorii diferenciálních rovnic, obecné řešení diferenčních rovnic umíme plně chrkterizovt pro přípd diferenčních rovnic lineárních Zbývejme se úlohou (nlytického) sestrojení řešení diferenčních rovnic 1 řádu Tedy, řešme rovnici (211) x n = n x n 1 + b n, n I Z +, n 0, kde Z + znčí množinu všech nezáporných celých čísel Vyšetřujme nejprve homogenní diferenční rovnici (212) x n = n x n 1 Sndno zsjistíme, že řešení splňující podmínku (213) je dáno výrzem (214) kde (215) x 0 = c x n = cπ n, n π 0 = 1, π n = k, n = 1, 2, k=1 K určení řešení nehomogenní rovnice (212) splňující x 0 = c, použijeme metody známé z teorie lineárních diferenciálních rovnic pod názvem metod vrice konstnty Položme (216) kde {c n } podléhá určení Z rovností vidíme, že x n = c n π n, x 0 = c 0 π 0 = c 0, c 0 = c Po doszení (216) do (211) zjistíme, že c n π n = n c n 1 π n 1 + b n = c n 1 π n + b n Z předpokldu n 0 plyne, že též π n 0 Předchozí vzthy implikují rovnost c n = c n 1 + b n π n 7

8 dále pk rovnosti c n = c 0 + n (c k c k 1 ) = c + k=1 n k=1 b k π k Výsledek shrneme ve tvru věty Vět 21 Nechť n 0, n = 1, 2, Řešení diferenční rovnice x n = n x n 1 + b n, splňující x 0 = c, je dáno výrzem ) n b k (217) x n = π n (c +, n = 01, π k k=1 při čemž n π 0 = 1, π n = k k=1 Příkld 29 Buď I množin nezáporných čísel, f n (y 0, y 1, y 2 ) = y 0 y 1 y 2 Odpovídjící diferenční rovnice (218) x n x n 1 x n 2 = 0 definuje Fiboncciov čísl (x 0 = 0, x 1 = 1) Podobně jko v problemtice diferenciálních rovnic je jedním z možných způsobů řešení lineárních rovnic řádu N jejich převod n soustvy lineárních rovnic 1 řádu Ukážeme si zmíněný postup n příkldě rovnice (218) Nechť X n = ( xn x n 1 ) ( 1, X 0 = 0 ), n = 1, 2, A = ( ) 8

9 Sndno nhlédneme, že rovnici (218) lze vyjádřiti ve tvru ( ) 1 (219) X n = AX n 1, X 0 = 0 Podobně jko v přípdě lineární diferenční rovnice 1 řádu, řešení rovnice (219) má tvr X n = A n X 0 Odtud plyne pltnost zjímvého vzthu x n lim = n x n 1 2 Vidíme tedy, že limitní poměr veličin x n x n 1 je dán číslem chrkterizujícím t zv zltý řez Protože rovnice (218) má vskutku zjímvou biologickou interpretci, můžeme ve výše uvedeném výsledku sptřovti úkz estetiky projevující se v některých oblstech život n nší plnetě Model popisující jistý způsob rozmnožování králíků pochází ze 13 století; jeho utorem je právě Fiboncci (r 1228) Zcel jinou plikcí lineárních diferenčních rovnic je následující úloh Buď n p n (x) = b k x n k, b 0 0, n = 0, 1,, N k=0 položme si úlohu stnovit hodnotu p n (z), kde z je dný bod n reálné ose Nším cílem je pokud možno minimlitovt při tom počet ritmetických opercí ve snze snížit riziko numerické nestbility Algoritmus 21 Počítejme veličiny x 0, x 1,, x N rekurentně pomocí relcí (220) x 0 = b 0, x n = zx n 1 + b n, n = 1,, N Posloupnost {x n } dná v (220) je řešení diferenční rovnice (211) splňující podmínku x 0 = b 0, kde n = z pro n = 1, 2,, V tomto přípdě π n = z n 9

10 tudíž, n zákldě věty 21,, speciálně pro n = N, Pltí tedy n x n = b k z k k=0 N x N = b k z k = p N (z) k=0 Vět 22 Veličiny x n tvořené pomocí lgoritmu 21 jsou hodnoty polynomů p n definovných pomocí v bodě x = z p n (x) = n b k x k, n = 0, 1,, N k=0 Algoritmus 21 se nzývá Hornerovým schémtem Nyní si ukážeme jk lze uvedený lgoritmus zobecnit pro výpočet hodnot derivcí polynomu p n v bodě x = z Opět je nutné zdůrznit, že přímá plikce stndrdních prvidel derivování člen po členu není vhodná lgoritmy typu Hornerov jsou dleko stbilnější jednodušší z hledisk teorie složitosti Vyjdeme ze známých vzthů kde (221) N p(x) = p(z + h) = c k h N k, k=0 c N k = 1 k! p(k) (z), k = 0, 1,, N Algoritmus 22 Oznčme prvky tvořené pomocí lgoritmu 21 symboly {x n (0) } Pro k = 1, 2,, N tvořme posloupnosti {x n (k) } rekurzivně pomocí diferenčních schémt (222) x (k) 0 = x (k 1) 0, x (k) n = zx (k) n 1 + x(k 1) n, n = 0, 1,, N k Vět 23 Oznčuje-li p n polynom p n (x) = n b k x n k, n = 0, 1,, N, k=0 10

11 x (0) 0 x (0) 1 x (0) 2 x (0) 3 x (0) 4 x (1) 0 x (1) 1 x (1) 2 x (1) 3 x (2) 0 x (2) 1 x (2) 2 x (3) 0 x (3) 1 x (4) 0 Figure 1: Obrázek č 21 pk veličiny určovné lgoritmem 22 splňují (223) x (k) n = 1 k! p(k) n+k (z), n = 1,,, N, k = 0,, N n Tudíž koeficienty c N k poždovné ve formuli (221) jsou právě ty, jež se nlézjí v dolní digonále n obrázku 21 pro N = 4 v posloupnosti veličin tvořených lgoritmem 22 3 Iterční metody řešení nelineárních rovnic jejich soustv 31 Postupné proximce Zčněme příkldem úlohy njít kořen funkce g, t j nlézt tkový bod ˆx I = [, b], < b < +, tk, by g(ˆx) = 0 z předpokldu, že g je dná spojitá funkce zobrzující I = I 1 do I 2 R Speciálně, g může být polynom A již v tomto speciálním přípdě si můžeme uvědomit několik důležitých skutečností Tk především, obecně nemusí v I existovt kořen funkce g Ale i když tkový kořen existuje, nemusí existovt nlytické vyjádření tohoto kořene pomocí prmetrů chrkterizujících g (n př koeficienty polynomu); tkové formule jsou známy pro přípd polynomů stupňů nepřevyšujících 4 A jk víme, cen tkových formulí je sporná, protože tkové formule jsou mnohdy prkticky nepoužitelné (t zv csus irreducibilis) Důsledky těchto skutečností jsou zřejmé: Nději, že se podří nlézt kořen g mjí spíše numerické než nlytické metody Mezi numerickými metodmi se z důvodů sndné lgoritmické relizovtelnosti prosdily metody iterční to nvzdory jejich neuniversálnosti pohříchu poměrně pomlé konvergenci Právě uvedený nedosttek dl podnět k rozvoji metod urychlování konvergence obecných posloupností, jmenovitě pk tkových 11

12 generovných iterčními procesy Zákldním iterčním postupem jsou postupné proximce Jsou určeny k sestrojování proximcí řešení rovnic typu (31) s = f(s), kde f je dná funkce, tedy, g(s) = s f(s) Algoritmus 31 Zvolme x 0 pomocí relce (32) libovolně tvořme posloupnost {x n } rekurzívně x n = f(x n 1 ) Všímněme si, že k tomu, bychom mohli prováděti jednotlivé kroky dle (32) musí f kromě spojitosti míti ještě dlší vhodné vlstnosti Budeme předpokládt, že obor hodnot funkce f ptří do I 1 ; k tomu stčí, by I 2 I 1 V tkovém přípdě spojitost f nejen zručuje neomezenou proveditelnost procesu (32) le též existenci hledného kořene v I 1 Abychom to ozřejmili, položme tkže g(s) = s f(s), s b, g() 0, g(b) 0 Ze spojitosti f plyne spojitost g odtud pk skutečnost, že g nbývá všech hodnot z intervlu [g(), g(b)] = I 3 I 1 Existuje tedy lespoň jeden bod ŝ tkový, g(ŝ) = 0 To znčí, že ŝ je námi hledný kořen ŝ = f(ŝ) Obecně, množin M všech smodružných bodů funkce f, t j M = {s I 1 : s = f(s)} má mohutnost moh M 1 Jednoznčnosti se dociluje pomocí dlších předpokldů I R do R že existuje kon- Definice 31 Předpokládejme, že f zobrzuje stnt L tková, že nerovnost (33) f(s) f(t) L s t pltí pro libovolná s, t I V tkovém přípdě se f nzývá lipschitzovskou konstnt L Lipschitzovou konstntou funkce f 12

13 Všímněme si, že funkce lipschitzovská n I je nutně spojitá n I Je - li f diferencovtelná n I pltí sup { f (s) : s I} L, kde L > 0 je konstnt, pk je f n I lipschitzovská L je Lipschitzovou konstntou funkce f Předpokládejme, že Lipschitzov konstnt L splňuje nerovnost (34) 0 < L < 1 Sndno nhlédneme, že pro s 1, s 2 M pltí tudíž s 1 s 2 = f(s 1 ) f(s 2 ) L s 1 s 2 s 1 = s 2 Můžeme přistoupit k formulci zákldního výsledku o konvergenci postupných proximcí Vět 31 Buď I = [, b] uzvřený konečný intervl nechť funkce f splňuje následující podmínky (i) (iii) (i) f(s) I pro s I (ii) f je lipschitzovská s Lipschitzovou konstntou L < 1 Potom pro libovolné nulové přiblížení x 0 I posloupnost {x n } definovná pomocí lgoritmu 31 konverguje k (jedinému) řešení rovnice s = f(s) Důkz Z předchozích úvh již víme, že existuje lespoň jedno řešení rovnice s = f(s) v I že, díky předpokldu o L, toto řešení je určeno jednoznčně Stčí tedy dokázti konvergenci posloupnosti {x n } Nechť ˆx = f(ˆx) Zřejmě x n ˆx = f(x n 1 ) f(ˆx), tkže tudíž (35) Protože obdržíme žádný výsledek x n ˆx L x n 1 ˆx x n ˆx L n x 0 ˆx lim n Ln = 0, lim x n ˆx = 0 n 13

14 Příkld 31 Pomocí postupných proximcí hledejme řešení rovnice s = e s Protože e s > 0 pro s (, + ) s > 1 e s pro s > 1, stčí omezit se n intervl [0, 1] Sndno si uvědomíme, že obor hodnot funkce f(s) = e s pro s [0, 1] leží v intervlu [e 1, 1] [0, 1] že pro s 1 s 2 [0, 1] pltí při čemž Protože f(s 1 ) f(s 2 ) = f ( s) s 1 s 2, f ( s) = e s, s [s 1, s 2 ] mx { f (s) : s [0, 1]} = 1, Lipschitzov konstnt pro f n [0, 1] je rovn 1, což k pltnosti věty 31 nestčí Avšk zvolíme-li z I intervl [ 1 2, log 2], sndno zjistíme, že pro 1 2 s log 2, 1 2 = e log2 e s e 1 2 < log 2 tudíž [ 1 2, log 2] = I [0, 1] Nvíc první derivce funkce f, kde f(s) = e s, je klesjící, tkže mx { f (s) : s I} = f ( 1 ) 0, < 1 2 Iterční proces (32) pro funkci f(s) = e s je tedy konvergentní v I Odhd (35) nemá bezprostřední prktický význm, závisí totiž n znlosti hledného řešení V prxi jsme totiž vždy nuceni omezit se n určitý konečný počet itercí x n v (32) Rádi bychom proto znli nějký relistický odhd chyby po n - tém kroku Všímněme si, že pro libovolné k 1 pltí vzthy x k+1 x k = f(x k ) f(x k 1 ) L x k x k 1 L k x 1 x 0 Buď n zfixováno pevně nechť m = n + p > n Potom p 1 x m x n = (x k+1 x k ) k=n 14

15 Po plikci trojúhelníkové nerovnosti obdržíme vzthy x m x n n+p 1 k=n L k x 1 x 0 = L n p 1 k=0 Lk x 1 x 0 L n k=0 Lk x 1 x 0 = L n (1 L) 1 x 1 x 0 Protože pro m plyne, že x m ˆx, tedy též p, pltí (36) x n ˆx Ln 1 L x 1 x 0 Důsledek 31 Při splnění předpokldů věty 31 je odhd chyby po n krocích postupných proximcí definovných pomocí lgoritmu 31 dán výrzem (36) Zkoumejme blíže chování posloupnosti {x n } z předpokldů věty 31 doplněných o předpokld následující Nechť f je spojitě diferencovtelná nechť v celém intervlu I je tto derivce nenulová To znmená, že f buď klesá nebo roste v I Je-li x 0 ˆx = f(ˆx), pk f(x n ) ˆx pro libovolné n = 1, 2, Abychom to nhlédli, stčí si uvědomit, že kdyby při čemž x n = x n 1, pk kde ξ leží mezi x n 1 x n, tj x n = f(x n 1 ) = f(x n ), 0 = f(x n 1 ) f(x n ) = f (ξ) (x n 1 x n ), (x n 1 ξ) (ξ x n ) < 0 Protože x n 1 x n 0, musí být f (ξ) = 0, le to je ve sporu s předpokldem Odtud vyplývá, že chyb d n = x n ˆx není pro žádné n 0 nulová Existuje limit když no, pk čemu je rovn? d n+1 lim n d n 15

16 Sndno zjistíme, že d n+1 = x n+1 ˆx = f(x n ) f(ˆx) = f(ˆx + d n ) f(ˆx) = f (ˆx + θ n d n ) d n, kde 0 < θ n < 1 Definujme ε n pomocí relce f (ˆx + θ n d n ) = f (ˆx) + ε n Potom (37) d n+1 = (f (ˆx) + ε n )d n tudíž, ježto ε n 0 pro n plyne n zákldě spojitosti f rovnost (38) d n+1 lim n d n = f (ˆx) Lze této skutečnosti využít pro prktické účely? Veličinu ˆx tudíž i f (ˆx) neznáme Ukážeme, že explicitní znlost uvedených veličin není nutná k tomu, bychom rovnosti (38) efektivně využili k sestrojení lgoritmu, který poskytne proximce konvergující k hlednému řešení ˆx rychleji než posloupnost {x n } Předpokládejme n okmžik, že ve formuli (37) ε n = 0 pro nějké pevné n 1 Nechť f (ˆx) = A, tkže tkže Sndno zjistíme, že x n+1 ˆx = A (x n ˆx), x n+2 ˆx = A (x n+1 ˆx) A = x n+2 x n+1 x n+1 x n, ˆx = 1 1 A (x n+1 Ax n ) = x n A (x n+1 x n ) = x n (x n+1 x n ) 2 x n+2 2x n+1 + x n Vidíme tedy, že z předpokldu, že ε n = 0, pro nějké n 1, lze přesné řešení ˆx obdržeti použitím tří po sobě jdoucích itercí To všk je dost kdemická situce Ačkoliv veličiny ε n 0, lze očekávt, že ve srovnání s modulem f (ˆx) jsou mlé 16

17 (39) Pro velká n tk posloupnost skýtá pro ˆx lepší proximci než x n Má tedy smysl vyšetřovt (x n+1 x n ) 2 y n = x n x n+2 2x n+1 + x n Algoritmus 32 Buď {x n} libovolná posloupnost nechť y n je tvořeno pomocí (39) Zveďme oznčení x n = x n+1 x n, n = 0, 1, N př k+1 x n = ( k x n ), k 1 2 x n = (x n+1 x n ) (310) Formuli (39) lze pk psát ve tvru = x n+2 2x n+1 + x n y n = x n ( x n) 2 2 x n Posloupnost {y n } tvořená pomocí lgoritmu 32 definuje t zv Aitkenův urychlovcí 2 - proces Jest n místě zdůrznit, že Aitkenův proces je definován pro posloupnosti ne nutně generovné pomocí lgoritmu 31 Pro tkto obecný proces pltí poměrně silné tvrzení Vět 32 Buď {x n} dná posloupnost tková, že Nechť (311) (312) kde A je konstnt tková, že ˆx = lim n x n d n = x n ˆx = 0 n = 0, 1, d n+1 = (A + ε n ) d n, A < 1 ε n 0 pro n 17

18 Potom posloupnost {y n } tvořená pomocí (39) v lgoritmu 32 je dobře definovná pro dosttečně velká n nvíc (313) y n ˆx lim n x n ˆx = 0, což znčí, že posloupnost {y n } konverguje k ˆx rychleji než posloupnost {x n } tkže kde Důkz Použitím formule (312) obdržíme d n+2 = (A + ε n+1 ) (A + ε n ) d n, 2 x n = x n+2 2x n+1 + x n = d n+2 2d n+1 + d n = [ (A 1) 2 + ε n] dn, ε n = A[ε n + ε n+1 ] 2ε n + ε n ε n+1 Z podmínky ε n 0 pro n plyne, že (314) ε n 0 pro n Odtud dostáváme, (A 1) 2 + ε n = 0 pro dosttečně velká n, řekněme pro n > n 0 Tudíž 2 x n = 0 pro n > n 0 Dále pk tudíž x n = d n = (A 1 + ε n ) d n y n ˆx = d n ( x n) 2 2 x n Z ε n 0 pro n (314) plyne, že = d n (A 1 + ε n) 2 d n (A 1) 2 + ε n y n ˆx d n což jsme měli dokázti = ε n 2(A 1) ε n ε 2 n (A 1) 2 + ε n 0, Důsledek 32 Předpokládejme, že f splňuje podmínky věty 31 nvíc, že f má spojitou 1 derivci n I f (s) 0 pro s I Pro x 0 = ˆx posloupnost {x n } vyhovuje předpokldům věty 32, tkže lgoritmus 32 poskytuje urychlení konvergence 18

19 Důkz Zřejmě stčí ověřit pltnost vzthu (312) To všk je vzth (37) odvozený z obecnějších předpokldů Zbývá tudíž ověřit poždvek A < 1 Pltnost tohoto vzthu všk plyne odtud, že proces postupných proximcí je konvergentní Tímto konsttováním můžeme důkz ukončit Znovu připomeňme širší plikbilitu urychlovcího Aitkenov 2 - procesu i mimo oblst metody postupných proximcí 32 Kvdrtická konvergence Newtonov metod V předchozím odstvci jsme předpokládli, že f (s) 0 pro s I obdrželi jsme tk chrkteristiku rychlosti konvergence dnou pomocí (312), t zv lineární konvergenci Dá se říci, že v tkovém přípdě počet pltných cifer je lineární funkcí indexu itercí Učiňme nyní předpokld (315) f (ˆx) = 0 Tento předpokld je poměrně velmi silný zbezpečuje splnění některých předpokldů věty 31 Vět 33 Buď I (, + ), (nikoliv nutně ohrničený intervl) nechť f je definovná n I přitom pltí (i) f f jsou spojité n I (ii) Rovnice s = f(s) má řešení ˆx I tkové, že pltí (315) Potom existuje δ > 0 tkové, že lgoritmus 31 poskytuje posloupnost {x n } konvergující k ˆx pro všechn x 0 ˆx δ Důkz Oznčme I δ = [ˆx δ, ˆx + δ] Pro dosttečně mlá δ 1 > 0, I δ1 I Buď 0 < L < 1 Potom existuje δ 0 > 0 L > 0 tkové, že f (s) L pro s I δ0 Nechť δ = min{δ 0, δ 1 } Podle věty o střední hodnotě, f(s) ˆx = f(s) f(ˆx) f (ξ) s ˆx L s ˆx < δ Tudíž obor hodnot funkce f je obsžen v I δ lgoritmus 31 vede ke konvergenci podle věty 31 Zesilme nše poždvky n hldkost funkce f předpokldem existence spojité druhé derivce f n I δ její nenulovosti Podobně jko v předchozích úvhách předpokld x 0 ˆx implikuje pltnost vzthů x n ˆx, n = 1, 2, Postupné proximce nemohou tedy poskytnout 19

20 přesné řešení v konečném počtu kroků Užitím Tylorov rozvoje se zbytkem, obdržíme vzthy kde 0 < θ n < 1 Z nšich předpokldů plyne, že d n+1 = x n+1 ˆx = f(x n ) f(ˆx) = f (ˆx)d n f (ˆx + θ n d n )d 2 n, (316) d n+1 = 1 2 f (ˆx + θ n d n )d 2 n Protože d n 0, n = 1, 2, d n 0 pro n, odvodíme, že (317) d n+1 lim n d 2 = 1 n 2 f (ˆx) To je pozoruhodný vzth, podle něhož chyb po (1+n)- tém kroku je úměrná čtverci chyby po n - tém kroku Tto skutečnost se oznčuje jko kvdrtická konvergenvce Počet pltných cifer se zdvojuje po kždém iterčním kroku Příkld 32 Buď > 0 nechť f(s) = (1/2)[s + (/s)] pro s > 0 Rovnice s = f(s) má řešení Zřejmě f ( ) = 0 f (s) > 0 pro s > 0 f ( ) = 1 ) Tudíž x n+1 = 1 ( x n + ) (318) 2 x n konverguje k kvdrticky pro x 0 dosttečně blízká k Později ukážeme, že tento proces konverguje pro libovolné výchozí přiblížení x 0 > 0 Nyní přistoupíme k snd nejpoužívnější metodě přibližného řešení nelineárních rovnic lze říci, že nejen rovnic le nelineárních úloh - k metodě Newtonově V předchozích úvhách jsme dospěli ke kvdrtické konvergenci z výrzně kdemického předpokldu nulovosti první derivce v přesném řešení Ani se nechce věřit, že tento kdemismus má tk nádherné upltnění, k jehož výkldu teď přistupujeme Buď F definovná dvkrát spojitě diferencovtelná n intervlu I = [, b] R nechť F (s) 0 pro s I Dále nechť rovnice (319) F (s) = 0 má řešení ˆx (, b) (nikoliv nutně jediné) Dá se ukázt, že toto řešení lze nlézt pomocí postupných proximcí s funkcí f(s) = s + MF (s), 20

21 kde M je konstnt splňující určité podmínky, n př M = (α + β)/2, kde I = [0, 1], F (0) < 0 < F (1) 0 < α F (s) β Víme též, že genericky obdržíme lineární konvergenci Jk to tedy zřídit, bychom sestrojili lgoritmus poskytující kvdrtickou konvergenci? Což připustit místo konstntního fktoru M vhodnou funkci, tedy snžit se sestrojit f ve tvru f(s) = s + h(s)f (s), kde hodnoty funkce h se sndno počítjí Snžme se tedy splnit tyto poždvky: To nás vede k relcím tudíž ježto F (ˆx) = 0, ˆx = f(ˆx) f (ˆx) = 0, f (s) = 1 + h (s)f (s) + h(s)f (s) h (ˆx)F (ˆx) + h(ˆx)f (ˆx) = 1 h(s) = 1 F (s) Dospěli jsme tedy k následujícímu lgoritmu Algoritmus 33 Volme x 0 určeme posloupnost {x n } pomocí vzthů (320) x n+1 = x n 1 F (x n ) F (x n), n = 0, 1, Algoritmus 33 nese název Newtonov metod, či metod Newtonov - Rphsonov Z předchozího výkldu již víme, že, ježto f(s) = (1/F (s))f (s), f (ˆx) = 0, tkže přípdná konvergence posloupnosti {x n } je kvdrtická Jednotlivé kroky Newtonovy metody mjí velice názornou interpretci V bodě x n proximuje grf funkce F pomocí tečny ke grfu F v tomto bodě Průsečík této tečny s osou x určuje dlší proximci x n+1 Umíme si sndno předstvit grfy funkce F, pro něž Newtonův proces diverguje (To je velice hezké cvičení) Podobně jko pro všechny iterční metody typu postupných proximcí, slbin Newtonovy metody spočívá mimo jiné též v silné závislosti n volbě počátečního přiblížení Ukážeme si jk lze zbezpečit globální konvergenci; poždujeme vyšší hldkost F - totiž znménkovou stálost druhé derivce F 21

22 Vět 34 Předpokládejme, že funkce F je definovná dvkrát spojitě diferencovtelná v I = [, b] nechť splňuje tyto poždvky (i) F ()F (b) < 0; (ii) F (s) 0 pro s I; (iii) Buď F (s) 0 s I nebo F (s) 0, s I; (iv) Nechť (α) c = jestliže Dále nechť (β) c = b, jestliže F () F (b), F (b) F () F (c) F (c) b Potom Newtonov metod konverguje pro libovolné výchozí přiblížení x 0 k jedinému řešení rovnice F (s) = 0 Poznámky Podmínk (i) zřejmě zručuje existenci kořene díky spojitosti F Z (ii) plyne jednoznčnost kořene v I Podmínk (iii) říká, že F je buď konkávní nebo konvexní v I Posléze (iv) zjišťuje, by tečn ke křivce y = F (x) v koncovém bodě, kde F (x) je menší, protínl osu x v intervlu I Důkz věty 34 Vět 34 zhrnuje tyto čtyři odlišné situce () F () < 0, F (b) > 0, F (s) 0 (c = b), (b) F () > 0, F (b) < 0, F (s) 0 (c = b), (c) F () < 0, F (b) > 0, F (s) 0 (c = ), (d) F () > 0, F (b) < 0, F (s) 0 (c = ) Přípdy (b) (d) se sndno redukují n () (c) volbou F n místě F (Tto úprv nemění dokonce ni prvky posloupnosti {x n }) Přípd (c) se převede n () volbou x x (V tomto přípdě obdržíme místo {x n } { x n } Stčí se tedy zbývti přípdem () Máme pk co do činění s grfem rostoucí konkávní funkce F tkové,že F () < 0 < F (b) Buď ˆx jediný kořen rovnice F (s) = 0 Npřed předpokládejme, že x 0 ˆx Potom, n zákldě předpokldu, že F (x 0 ) 0, Indukcí lze ukázti, že x 1 = x 0 F (x 0) F (x 0 ) x 0 (321) x 0 x 1 x n ˆx 22

23 Indukční krok je relizován tkto Z věty o střední hodnotě, F (x n ) = F (ˆx) F (x n ) = F (ξ)(ˆx x n ) přitom x n ξ n ˆx Z podmínky F (s) 0 plyne, že F je nerostoucí tudíž F (ξ n ) F (x n ), tkže tedy F (x n ) F (x n )(ˆx x n ) x n+1 = x n F (x n) F (x n ) x n + (ˆx x n ) = ˆx Aplikcí F k oběm strnám nerovnosti obdržíme (F je neklesjící), že F (x n+1 ) 0 tudíž x n+2 = x n+1 F (x n+1) F (x n+1 ) x n+1 Tedy pltí (321) N tomto místě plikujeme jednu z fundmentálních vět mtemtické nlýzy: Kždá ohrničená monotonní posloupnost reálných čísel je konvergentní Oznčme tedy x = lim n x n Z (321) plyne, že x ˆx N druhé strně z definice posloupnosti {x n } obdržíme při rovnost x = x F ( x) F ( x) tedy F ( x) = 0 Z jednoznčnosti pk x = ˆx Tím je dokázáno tvrzení věty 34 pro přípd x 0 ˆx Dále vyšetřujme pŕípd x 0 ˆx Opět použitím věty o střední hodnotě F (x 0 ) = F (x 0 ) F (ˆx) = F (ξ 0 )(x 0 ˆx), kde ˆx ξ 0 x 0 díky monotonii F, F (x 0 ) F (x 0 )(x 0 ˆx) Sndno zjistíme, že x 1 = x 0 F (x 0) F (x 0 ) x 0 (x 0 ˆx) = ˆx tudíž F (x 0 ) F (b) (b x 0 )F (b) N zákldě podmínky (iv) obdržíme, že pltí x 1 = x 0 F (x 0) F (x 0 ) x 0 F (x 0) F (b) 23

24 x 0 F (b) F (b) + b x 0 = x 0 (b ) + b x 0 = Tudíž x 1 ˆx Tím jsme se dostli do situce, již jsme vyšetřovli v předchozí části důkzu s tím rozdílem, že n místě x 0 vystupuje x 1 Podle již dokázného, {x n } konverguje k ˆx Tím je důkz věty 34 proveden Vrťme se ještě k příkldu 32 O procesu v něm vyšetřovném již víme, že je konvergentní pro počáteční přiblížení dosttečně blízká k přesnému řešení, t j k c, kde c > 0 je dné kldné číslo, jehož odmocninu hledáme Položme tedy F (s) = s 2 c Sndno zjistíme, že f(s) = s F (s) F (s) F (s) = 2s > 0, F (s) = 2 > 0 tudíž nstává v tomto přípdě situce (c) popsná v důkzu věty 34 kždém intervlu (, b), kde 0 < < c < b, pltí, že F () F = c 2 b, () 2 pro kždé b splňující nerovnost b 1 ( + c/) 2 Z věty 34 plyne konvergence posloupnosti x n+1 = 1 ( x n + c ) c 2 x n pro libovolné x 0 > 0 Zvlášť výhodné je použití metody Newtonovy k hledání nulových bodů polynomů V tom přípdě využijeme té skutečnosti, že umíme efektivně stnoviti jk hodnoty p(z) tk p (z), kde p je dný mnohočlen z je dná veličin V 24

25 Buď tedy pk pomocí vzthů (322) (323) obdržíme rovnosti p(z) = N k z k, k=0 b 0 = 0, b n = zb n 1 + n, n = 1, 2,, N; c 0 = b 0, c n = zc n 1 + b n, n = 1, 2,, N 1, b N = p(z) c n 1 = p (z) Schémticky postupujeme jk znázorněno níže N 1 N b 0 b 1 b 2 b N 1 b N c 0 c 1 c 2 c N 1 při čemž znmená sčítání násobení fktorem z sčítání Buď nyní z kořen polynomu p Pk kde q je polynom stupně N 1, Tudíž Sndno zjistíme, že při čemž neboli, (324) q(x) = p(x) = (x z)q(x), N 1 k=0 b k x N k 1, b N = 0 0 = b 0 n 1 = b n z + b n, n = 1,, N 1 N k x N k = k=0 N 1 k=0 N 1 b k x N k z n = b n zb n 1, b n = n + zb n 1 k=0 Vidíme, že jsme obdrželi vzthy (220) lgoritmu 21 Pltí tedy b k x N k 1, 25

26 Vět 35 Je-li z kořen polynomu p, kde p(x) = N k x N k, 0 = 0, k=0 koeficienty b 0,, b N 1 se počítjí podle formule (324), pk q(x) = (x z) 1 p(x) = N 1 k=0 b k x N k, b 0 = 0 Mohlo by se zdát, že je výhodné hledt dlší kořeny polynomu p jkožto nulové body polynomu nižšího stupně q Ukzuje se všk, že tková procedur je numericky nestbilní je tudíž vhodnější počítt všechny kořeny polynomu pomocí původního polynomu p nikoliv modifikovného polynomu q Cvičení 31 Anlyzujte způsobem obdobným nlýze Newtonovy metody metodu následující, metodu regul flsi, definovnou předpisem x n+1 = x n (x n x n 1 )F (x n ) F (x n ) F (x n 1 ), kde F je funkce, jejíž kořeny hledáme, t j F (x) = 0 Cvičení 32 Jké vlstnosti má Newtonov metod v přípdě, kdy F (x ) = 0, kde F (x ) = 0 (Whittkerovu - Robin- Cvičení 33 Anlyzujte modifikovnou Newtonovu sonovu) metodu dnou předpisem x n+1 = x n 1 m F (x n), kde m je pevně zvolená konstnt, n př m = F (x 0 ) 4 Iterční metody řešení soustv nelineárních rovnic 41 Vět o kontrkci Předmětem nšeho studi bude vyšetřování následující úlohy Nlézt prvek x R N tkový, že x 1 = f 1 (x 1,, x N ), x 2 = f 2 (x 1,, x N ), (41) x N = f N (x 1,, x N ), 26

27 neboli, psáno vektorově, (42) x = f(x), kde x = (x 1,, x N ) T f = (f 1,, f N ) T Příkld 41 Nechť N = 2 f 1 (x 1, x 2 ) = x x 2 2, f 2 (x 1, x 2 ) = x 2 1 x 2 2Potom má (41) tvr x 1 = x x 2 2, x 2 = x 2 1 x 2 2 Výrz x x 2 2 x 1 = 0 je rovnicí kružnice se středem v bodě (1/2, 0) x 2 1 x 2 2 x 2 = 0 je rovnicí hyperboly se středem v bodě (0, 1/2) Obě tyto křivky procházejí počátkem, což znčí, že jedním z nulových bodů je x 1 = 0, x 2 = 0 Pomocí grfů pro (x 1 1/2) 2 + x 2 2 = 1/4 (x 2 + 1/2) 2 x 2 1 = 1/4 sndno nhlédneme, že v okolí bodu x 1 = 0, 8, x 2 = 0, 4 leží dlší (netriviální) nulový bod soustvy (41) Při nlýze důkzů konvergence metod studovných v předchozí kpitole zjistíme, že význmným důkzovým prostředkem byly vlstnosti bsolutní hodnoty reálných čísel: x = 0 x = 0; pro c, x y R cx = c x ; x + y x + y V souvislosti s prostory R N dimenze N 2, to vede k nutnosti zobecnit pojem bsolutní hodnoty Mtemtik n přelomu století dospěl při tomto zobecňování k pojmu normy normovného prostoru Definice 41 Buď E lineární prostor nd tělesem reálných čísel Funkce ν : E R+ 1 se nzývá normou n E, jestliže pltí následující relce: (i) ν(x) = 0 x = 0; (ii) ν(cx) = c ν(x) x E, c R 1 ; (iii) ν(x + y) ν(x) + ν(y), x, y E Existuje-li n E norm, tk se prostor E se nzývá normovným Poznámk Obvykle se norm n E oznčuje symbolem Je-li zpotřebí zvýrznit, že norm je brán n prostoru E, pk se znčí následovně E Definice 42 Posloupnost {x n }, x n E se nzývá konvergentní k x E x její limitou, jestliže pltí lim n x n x = 0 27

28 Definice 43 Posloupnost {x n }, x n E, se nzývá cuchyovskou, jestliže pro kždé ε > 0 existuje N 0 tkové, že x n+p x n < ε pro n N 0 p 1 Normovný prostor E se nzývá Bnchovým prostorem je-li v něm kždá cuchyovská posloupnost konvergentní Příkld 42 Nechť E = R N () ( N 1/p x p = x k ), 1 p < +, (b) Všímněme si, že pro N = 1 k=1 x = mx { x k : k = 1,, N} x = x, tkže bsolutní hodnot v R 1 je norm Dále nechť C = (c jk ) je regulární mtice typu NxN Potom výrz x C = Cx R N je norm n R N Speciálně nechť E = (R N, 2 ) C = (c jk ), detc = 0 Dále nechť N (x, y) = x k y k Položme B = C T C k=1 x 2 2,B = (Bx, x) Sndno se ukáže, že 2,B je norm n R N Vrťme se všk k vyšetřování soustv nelineárních rovnic v R N Metod postupných proximcí je definován podobně jko pro přípd jedné rovnice Algoritmus 41 Zvolme prvek x E počítejme posloupnost vektorů {x n } rekurzívně pomocí formule (43) x n+1 = f(x n ), n = 1,, Opět si kldeme otázku, zd je proces (43) konvergentní jké vlstnosti má přípdná limit; zřejmě se nbízí řešení rovnice (42) Odpovědi n položené otázky jsou obshem následujícího tvrzení 28

29 Vět 41 Nechť I = N j=1 I j, kde I j = [ j, b j ], j = 1,, N, nechť funkce f 1, f N vyhovují následujícím podmínkám: (i) f 1,, f N jsou definovány jsou spojité n I; (ii) Pro kždý prvek x I též vektor f(x) I; (iii) Existuje konstnt L, 0 < L < 1, tková, že pro libovolná x 1, x 2 I pltí (44) f(x 1 ) f(x 2 ) L x 1 x 2 Potom pltí následující výroky () Rovnice (42) má právě jedno řevsení x I (b) Pro libovolný výchozí prvek x 0 I posloupnost {x n } určená v lgoritmu 41 je definován pro kždé n konverguje k x (c) Pro libovolné n 1 pltí odhd (45) x n x Ln 1 L x 1 x 0 Definice 44 Konstnt L, poždovná v (44) se nzývá Lipschitzovou konstntou (vzhledem k normě ) vektorové funkce f Vzth (44) se nzývá Lipschitzovou podmínkou pro f vzhledem k normě Poznámky Podmínky kldené ve větě 41 n Lipschitzovu konstntu L npovídjí interpretci metody Vzdálenost obrzů je při tkovém zobrzení f ostře mjorizován vzdáleností vzorů, což dává tkovému zobrzení jméno : kontrktivní zobrzení, čili kontrkce Je n místě podotknout, že tvrzení () je v přípdě N 2 dleko hlubším výrokem než je tomu pro N = 1, kdy existenci řešení lze nhlédnout n př vyšetřením grfu zkoumné funkce Tvrzení (b) vypovídá o konvergenci lgoritmu, ztímco v (c) je dán horní odhd chyby Důkz věty 41 Z poždvku (ii) plyne, že posloupnost {x n } je definován pro kždé n 1 x 0 I N zákldě (iii) odvodíme sndno, že (46) x n+1 x n L n x 1 x 0, n = 0, 1, Fixujme n pevně vezměme m > n, m = n + p, p 1 Vidíme, že p x m x n = (x n+k x n+k 1 ), k=1 tedy, p x m x n x n+k x n+k 1 k=1 29

30 Použitím (46) obdržíme vzthy (47) x m x n p k=1 Ln+k 1 x 1 x 0 Ln 1 L x 1 x 0 Protože E = R N je úplný (Bnchův) prostor, plyne odtud konvergence posloupnosti {x n } Nechť ˆx = lim n x n, což je totéž co lim n x n ˆx = 0 Vzhledem ke spojitosti funkcí f 1,, f N obdržíme z (47) tudíž lim f(x n) = f(ˆx) n ˆx = lim n x n+1 = lim n f(x n) = f(ˆx), tk ˆx = x je řešením soustvy rovnic (42) Jednoznčnost se dokzuje zcel nlogicky jko v přípdě N = 1 Nechť x 1 x 2 jsou dvě řešení soustvy (42) Potom, n zákldě (44) x 1 x 2 = f(x 1) f(x 2 ) L x 1 x 2, což je možné pouze když x 1 = x 2 Pltnost (45) plyne z (47) pro p : x n x = lim x n x n+p Ln n 1 L x 1 x 0 Tím je důkz věty 41 proveden 42 Kvdrtická konvergence Newtonov metod pro soustvy Zbývejme se otázkou explicitního vyjádření vektoru chyby d n = x n x při n Předpokládejme, že f splňuje předpokldy věty 41 nvíc, že funkce f 1,, f N mjí v I spojité prcální derivce ž do řádu 2 včetně Aplikcí Tylorovy věty pro funkce N proměnných zjistíme, že d n+1 = x n+1 x = f(x n ) f(x ) = f(x +d n ) f(x n ) = J (x )d n +O( d n 2 ), (48) 30

31 kde (49) J (x) = (f 1) x1 (x 1,, x N ) (f 1 ) xn (x 1,, x N ) (f N ) x1 (x 1,, x N ) (f N ) xn (x 1,, x N ) O( d 2 n ) znčí výrzy mjící mjorntu tvru c d n 2, při čemž c je konstnt nezávislá jk n n tk n x I Definice 45 Mtice definovná v (49) se nzývá Jcobiovou mticí soustvy (41) resp (42) Všímněme si toho, že vzth (48) je N-dimenzionálním nlogem vzthu (312) Je-li J (x ) nenulová mtice, pk (48) říká, že vektor chyby se v kždém iterčním kroku násobí Jcobiovou mticí (49), což odpovídá lineární konvergenci Je-li J (x ) = 0, je z (48) ptrné, že chyb po 1+n- tém kroku je úměrná čtverci chyby po n-tém kroku - v tom přípdě máme co do činění s kvdrtickou konvergencí Opět můžeme formulovt nlog věty 33 pro N > 1 Vět 42 Nechť funkce f 1,, f N definovné n I splňují n I tyto poždvky: (i) Existují spojité derivce f j x l, 1 j, l N; (ii) Soustv (41) má uvnitř I řešení x tkové, že J (x ) = 0 Potom existuje číslo δ > 0 tkové, že posloupnost definovná pomocí lgoritmu 41 konverguje k x pro libovolný strtovcí vektor x 0, pro nějž x 0 x < δ Tedy opět, jko pro N = 1, je-li výchozí přiblížení dosttečně blízké přesnému řešení, dochází ke konvergenci Globální konvergence je pro vícerozměrný přípd problém principiálně komplikovnější než pro N = 1 (konvexit ev konkvit řešení se jeví pro N = 1 dost kdemicky) Podmínky zručující globální konvergenci jsou dost složité jejich nlýz ptří mezi speciální prtie numerických metod Hledejme řešení soustvy (410) F(x) = 0, kde F = (F 1,, F N ) T 31

32 Algoritmus 42 (Newtonov metod pro soustvy) Volme x 0 I sestrojme posloupnost {x n } podle schemtu (411) x n+1 = x n h n, kde h n = (h 0 1,, h 0 N )T je řešením soustvy (412) J (x n )h n = F(x n ) J = F 1 F 1 x N x 1 F N x N F N x N Jk je ptrné z (411) při provádění lgoritmu 42 musíme při kždém iterčním kroku řešiti soustvu lineárních lgebrických rovnic (412) Jest proto přirozené poždovti (413) detj (x n ) 0, n = 0, 1, Cvičení 41 Nlezněte mtici H = H(x) tk, by užití postupných proximcí n rovnici x = x H(x)F (x) poskytlo kvdrtickou konvergenci Rozhodněte, zd se vždy obdrží Newtonov metod 5 Řešení soustv lineárních lgebrických rovnic 51 Obecné soustvy řešení ve smyslu nejmenších čtverců Budeme se zbývt řešením soustv typu (51) Ax = b, kde x R N, b R M, A = ( jk ), 1 j M, 1 k N Poznámk Je zřejmé, že lze vždy docílit situce, kdy M = N to rozšířením mtice A o vhodný počet nulových sloupců pro přípd N < M či řádků pro přípd N > M Řešitelnost soustvy v klsickém smyslu t j kdy vzth (51) je chápán jko soustv rovností N jk x k = b j, j = 1,, M, k=1 32

33 nelze vyždovt Jko příkld může sloužit čstý přípd, kdy soustv (51) representuje nějký model v němž některé z prvků jk b j se obdrží měřením Obecně nelze vyloučit, by odpovídjící soustv pro pro dvě různá měření byl v jednom pŕípdě řešitelná v druhém nikoliv V prktických plikcích se ukzuje potřeb následujícího tvrzení Kždá soustv typu (51) má právě jedno řešení Tkové tvrzení nemůže pltit pro klsické řešení (podmínk o hodnostech) Aby poždovné tvrzení pltilo, musíme vhodným způsobem zobecnit pojem řešení Proto zvedeme zobecněné řešení Buďte (, ) M (, ) N sklární součiny n R M R N Definujme (52) hledejme x R N tk, by F (x, x) = (Ax b, Ax b) M (53) F (x) = min{f (x) : x R N } Vět 51 Existuje lespoň jeden vektor x R N tkový, že pltí (53) Důkz Sndno ověříme, že pltí relce (54) R M = rngea kera (55) R N = rngea kera, kde A je definován pomocí vzthu A v = y, při čemž pro libovolná x R N v R M (Ax, v) M = (x, y) N Existence i jednoznčnost y je důsledkem Rieszovy věty o reprezentci spojitého lineárního funkcionálu n Hilbertově prostoru (R N, (, ) N ) N zákldě (54) (55) obdržíme, že pltí x = A u + v, Av = 0, Odtud pk b = Ac + d, A d = 0 F (x) = (Au Ac, Au Ac) M + (d, d) M 33

34 tkže (56) Vzhledem k tomu, že d je pevný vektor, stčí tedy položiti Tím je vět 51 dokázán x = u = c, F ( x) = (d, d) M = min{f (x) : x R N } Poznámk Protože (56) je hodnot globálního minim kvdrtické funkce F, je veličin (56) táž pro všechn eventuální zobecněná řešení x soustvy Ax = b Tto hodnot se nzývá cenou uvedené úlohy njít zobecněné řešení, neboli cenou zobecněného řešení Všímněme si té skutečnosti, že cen zobecněného řešdení x je nulová právě když x je řešení klsické Nechť M = {x R N : F (x) = (d, d) M } Z věty 51 plyne, že M = ze spojitosti F pk, že M je uzvřená Díky subditivitě normy sndno nhlédneme, že M je konvexní Existuje tedy jediný prvek x M tkový, že x N = min{ x N : x M} Zobecněné řešení x se nzývá normálním řešením soustvy (51) Vět 52 Existuje právě jedno normální řešení libovolné soustvy Ax = b Vidíme tedy, že námi poždovné tvrzení uvedené n počátku této kpitoly, pltí pro námi zvedené zobecněné řešení Poznámk Zobecněná řešení tedy též normální řešení jsou podsttně závislá n sklárních součinech (, ) M (, ) N (57) Volíme-li speciálně (u, v) M = M (u) j (v) j, j=1 kde (u) j znčí j-tou komponentu vektoru u R M, obdržíme funkci F ve tvru F (x) = [ M N ] 2 jk (x) k (b) j j=1 k=1 Odtud získlo zobecněné řešení tkto zvedené název řešení ve smyslu nejmenších čtverců Řešení ve smyslu nejmenších čtverců ptří mezi nejrozšířenější Toto zobecněné řešení bylo zvedeno velmi zevrubně plikováno již Gussem Zobecněné inverzní operátory 34

35 Buď A mtice typu M N Vyšetřujme soustvu relcí (i)axa = A, (ii)xax = X, (iii) (AX) = AX, (iv) (XA) = XA Příkld Nechť M = N deta 0 Položme X = A 1 Splnění vzthů (i) - (iv) s X = A 1 je očividné Npřed si ukážeme, že mtice X typu N N splňující vzthy (i) - (iv) existuje nejvýše jedn Buďte tedy X 1 X 2 dvě tkové mtice Jest potom N druhé strně, tkže X 1 = X 1 AX 1 = X 1 (AX 1 ) = X 1 (AX 2 AX 1 ) = X 1 (AX 1 ) (AX 2 ) = X 1 AX 1 AX 2 = X 1 AX 2 = (X 1 A) X 2 AX 2 = (X 1 A) (X 2 A) X 2 (X 2 AX 1 A) X 2 = X 1 AX 2 AX 2 = (X 1 A) (X 2 A) X 2, X 1 = (X 1 AX 2 A) X 2 = X 2 AX 2 = X 2 Již víme, že v přípdě M = N deta 0 jediným řešením soustvy vzthů (i) - (iv) je inverzní mtice A 1 Existuje řešení v obecném přípdě? Ano! Položme T = A A Sndno nhlédneme, že mtice T je typu N N, je symetrická též je pozitivně semidefinitní, t j (T x, x) N 0 Existují tedy projekce P j, j = 1, s, s N tkové, že pltí vzthy (58) T = s λ k P k, T P 0 = 0, k=1 35

36 při čemž (59) dále pk (510) (511) P j P k = P k P j = δ jk P k, P j = P j, Položme s P k = I P 0, j, k = 0, 1,, N k=1 (T λ j )P j = 0, λ j > 0, j = j,, N, λ 0 = 0 Z = N j=1 λ 1 j P j A Vět 53 Ke kždé mtici A typu M N existuje právě jedn mtice typu N M tková, že pro ni pltí vzthy (i) - (iv) Definice 51 Mtice, jejíž existenci jednoznčnost zručuje vět 53, se nzývá (Mooreovou - Penroseovou) pseudoinverzní mticí oznčuje se symbolem A + Důkz Důkz jednoznčnosti je elementární lze jej přenecht čtenáři N zákldě (511) (58) sndno zjistíme, že AZA = A N j=1 λ 1 j P j A A = A Z tohoto vyjádření pomocí (59) odvodíme, že tkže N N j=1 k=1 AZA = A(I P 0 ) Buď x RN Podle předpokldu (58) pltí, že Protože x je libovolný, plyne odtud, že λ 1 j λ k P j P k 0 = (T P 0 x, P 0 x) N = (AP 0 x, AP 0 x) N, AP 0 x = 0 AP 0 = 0 Dokázli jsme tk, že, díky (512), mtice Z splňuje vzth (i) Pltnost zbývjících vzthů (ii) - (iv) lze dokázt nlogicky, což přenecháme čtenáři pokládáme tím větu 53 z dokáznou s tím, že A + = Z, při čemž Z je definován v (511) Položme (512) x + = A + b Dokážeme, že pltí 36

37 Vět 54 Buďte A mtice typu M N b RM, b = b 1 +b 2, b 1 rnge(a), b 2 ker(a) Potom pltí rovnost (513) x + = x Důkz Zřejmě F (x ) = (Ax + b, Ax + b) M = (AA + b b, AA + b b) M = ((I P 0 )b b, (I P 0 )b b) M = (b 2, b 2 ) M Stčí tedy ukázti, že x + R(A ) To všk plyne odtud, že P 0 x + = 0 tudíž, x + = (I P 0 )x +, čímž je tvrzení dokázáno Vyšetřujme opět soustvu Ax = b, kde A je M N mtice b R N b = b 1 + b 2, při čemž b 1 rnge(a) tj b 1 = Ac 1, dále pk A b 2 = 0 Sndno zjistíme, že pltí A Ax = A b = A b 1, kterážto soustv se nzývá normální soustvou Tto soustv má vždy klsické řešení To vyplývá odtud, že (A A) = A A pro kždé řešení y homogenní soustvy A Ay = 0 pltí vzthy (y, A b) N = (y, A Ac 1 ) N ) = (A Ay, c 1 ) N = 0 Hledt řešení normální soustvy rovnic je numericky velmi náročné, protože číslo podmíněnosti κ(a A) = s mx s min, kde smx = A A 1/2 2 s min je odmocnin nejmenší kldné vlstní hodnoty mtice A A, je zprvidl velmi veliké; v přípdě čtvercové mtice A je rovno čtverci čísl podmíněnosti mtice A Připomeňme, že číslo podmíněnosti čtvercoivé mtice A je definováno jkožto výrz A A 1 Normální řešení je tedy (klsické) řešení normální soustvy ležící v rnge(a + ) Dále pltí Lemm 51 Kždé zobecněné řešení x M má tvr (514) kde x = x + + y, Ay = 0 37

38 Proof Buď x dlší řešení soustvy Ax = b nechť Potom pltí, že x = 1 + 2, 1 = A c 1, A 2 = 0 x x = x y 2 Protože A 1 = b 1, odvodíme, že pltí vzthy Jest tudíž A(x + 1 ) = AA + b 1 b 1 = 0 A + b 1 A c 1 2 = (A b1 A + c 1 ) N = ( b 1 c 1, A[(x + 1 ) M = 0, kde A + b 1 = A b 1 tedy x = x = x + Protože x x ker(a), tvrzení lemmtu je dokázáno 52 Pomocné prostředky ke konstrukci speciálních reprezentcí mtic Nejprve si zopkujme některé pojmy, jež se ukáží jko vhodné pro konstrukci vyšetřování určitých lgoritmů Předpokládáme, že všechny mtice v tomto článku jsou obecně komplexní typu N N Mtice A je hermiteovsky združená, jestliže při čemž Je-li mtice A reálná, t j je-li A H = A, A H = ( jk) jk = ā kj, j, k = 1,, N ā jk = jk nzýváme mtici hermiteovskou symetrickou Jest totiž A T = A, A T = ( T jk), T jk = kj, j, k = 1,, N Permutční mtice P = (p jk ) splňuje vzthy { 0 N p jk = 1, N p jk = p kj = 1, k=1 detp 0 k=1 38

39 Zřejmě P H = P T = P 1 Projekční mticí či projekcí se nzývá mtice splňující P 2 = P Speciálně tedy, I 2 = I 0 2 = 0 Permutční mtice, která relizuje záměnu l - té k - té složky vektorůz R N, se nzývá elementární permutční mticí neboli trnspoziční mticí Tková elementární permutční mtice má tvr k l k l při její plikci pltí vzthy y = P x, při čemž y j = X j, j = k, l, ztímco y k = x l y l = x k Unitární mtice U je definová n vzthy což pro reálnou mtici V znčí, že UU H = U H U = I, V V T = V T V = I V tkovém pří pdě hovoříme o mtici ortogonální Pro involutorní mtici B pltí B 2 = I 39

40 Tedy speciálně I 2 = I Buďte x RN y R M Definujeme mtici kldouce Jinými slovy, y v [y v] = (x, v) N y y v = y v T Ntice E k se nzývá elementární dolní trojúhelníkovou indexu k, jestliže přitom To znčí, že E k = 1 E k = I N v e k e T j v = 0, j = 1,, k 1 v k+1 1 v N 1 Sndno prověříme, že y v splňuje následující relci tkže, je - li (y, v) N = 0, tedy, [y v] 2 x = (y, v) N [y v] x [y v] 2 = 0 σ(y v) = {0} neboli, y v je nilpotentní mtice V přípdě elementární mtice E k vidíme, že (e k, v) N = 0, tkže pltí Vět 55 Buď E k = I N v k e k, při čemž (v k, e j ) N = 0, j = k, k + 1,, N Potom existuje inverzní mtice E 1 k pltí E 1 k = I N + v k e k 40

41 Vět 56 Nechť x T = (ξ 1,, ξ N ) nechť 0 ξ k = e T k x Potom existuje jednoznčně určená elementární dolní trojúhelníková mtice indexu k E k tková, že Důkz Hledejme E k ve tvru E k x = (ξ 1,, ξ k, 0,, 0) T E k = I N v k e k Z poždvku elementrity E k plyne, že (515) kde Dále pk protože žádáme, by (516) ν 1 = = ν k = 0, vk T = (ν 1,, ν N ) E k x = x (x, e k ) N v = x ξ k v ξ j ξ k ν j = 0, j = k + 1,, N, z předpokldu ξ k 0 odvodíme vzthy (517) ν j = ξ j ξ k, j = k + 1,, N Tedy, E k existuje je vzthy (515), (516), (517) určen jednoznčně Householderovu mtici zvedeme pomocí vzthů H = I 2ww H, w H w = 1, kde w je (obecně komplexní) sloupcový vektor w H odpovídjící vektor řádkový Zřejmě Householderov mtice je hermiteovsky združená H H = H též unitární, neboť H H H = H 2 = (I 2ww H ) 2 = I Všímněme si, že pro x C N y = Hx pltí, že y = x 2w H xw, tkže y H y = (y, y) = (Hx, Hx) = (H H Hx, x) = (x, x) (x, y) = (y, x) 41

42 Lemm 52 K dnému vektoru v 0 existuje ortogonální mtice Q tková, že (518) kde σ = Qv = σ v e 1, { +1 pro v1 = (v, e 1 ) 0 1 pro v 1 < 0 Důkz Nechť u = v + σ (v, v)e 1 Zřejmě Dále pk Avšk Q = I 2 uuh u u H u Q H = I 2 uuh u H u = Q Q H Q = Q 2 = I Qv = Qu σ v Qe 1 Qu = u Odtud plyne, že Qe 1 = e 1 2σ v u(u) 1 1 (u, u) Qv = u σ v oe 1 + 2σ 2 v 2 (u) 1 (u, u) u, protože (u) 1 = (v) 1 + σ v no, zjistíme, že Tedy u + 2σ v (v) 1 + σ v (u, u) = 1 { 2σ 2 (v, v) 2σ v (v) 1 + 2σ 2 v 2 } + 2σ v (v) 1 = 0 (u, u) Qv = σ v e 1 42

43 Mtice H = (h jk ) tková, že h jk = 0 pro j k > 2 j 3, se nzývá horní Hessenbergov Názorně je ptrno rozmístění prvků n následujícím schémtu Lemm 53 Ke kždé mtici A existuje unitární mtice T, tková, že kde mtice H je horní Hessenbergov A = T HT H, Čtvercová mtice A = ( jk ) jk R j, k = 1,, N, se nzývá slbě digonálně dominntní, jestliže pltí (519) N k=1,k j jk jj, j = 1,, N, při čemž existuje lespoň jeden index j 0, 1 j 0 N, tk, že (520) N k=1,k j 0 j0 k < j0 j 0 Nstne-li v (519) ostrá nerovnost pro všechny indexy j = 1,, N, pk se mtice A nzývá digonálně dominntní Vět 57 (Geršgorinov) Buď A = ( jk) mtice N N, při čemž jk jsou komlexní čísl Dále buď λ vlstní hodnot mtice A Potom existuje index j 0, 1 j 0 N tkový, že pltí vzthy (521) λ j0 j 0 N k=1,k j 0 j0 k Důkz Buď x RN i R N vlstní vektor odpovídjící vlstní hodnotě λ Tedy, Ax = λx, x = 0 43

44 Položme x j0 = mx{ x j : j = 1,, N} Jest potom λ j0 N k=1, j 0 j0 k x k x j0 N k=1, j 0 j0 k Je tk dokázán pltnost relce (521) tím i vět 57 Důsledek 51 Kždá digonálně dominntní mtice A je regulární Důkz Stčı si uvědomit, že čtvercová mtice je regulární právě když 0 není její vlstní hodnotou To, že 0 není vlstní hodnotou dné čtvercové mtice všk je bezprostředním důsledkem digonální dominnce Kdyby totiž 0 byl vlstní hodnotou mtice A, pltily by vzthy (521) pro λ = 0, j0j 0 = λ j0j 0 Tento spor dokzuje pltnost tvrzení N k=1,k j 0 j0 k < j0 j 0 Vět 58 Buď 0 = A = ( jk), digonálně dominntní buď E 1 = I N v 1 e 1 elementární dolní trojúhelníková mtice indexu 1, kde 0 21 / 11 v 1 = N1 / 11 Potom je též digonálně dominntní A (1) = E 1 A DůkzVyšetřujme výrz 1 jk rovný dle definice, 1 jk = jk j1 11 1k, 1,, N 44

45 Jest tedy, 1 jj N k=2, k j 1 jk jj 1 11 j1 1j N k=2, k j jk 1 11 N k=2, k j j1 1k = jj N k=2, k j jk 1 11 N k=1, k j j1 1k jj N k=1, k =j jk 0, j = 2,, N Čtvercová mtice A = ( jk ) nd tělesem komplexních čísel se nzývá pozitivně definitní, jestliže existuje konstnt κ > 0 tková, že (Ax, x) N κ(x, x) N rm pro všechny vektoryx C Jsou - li jk R, pk nvíc poždujeme, by A = A T 53 Přímé metody řešení soustv lineárních lgebrických rovnic Pod přímými metodmi řešení soustv lineárních lgebrických rovnic rozumíme tkové metody, které jsou zloženy n lgoritmech, jež poskytují přesné řešení po provedení jistého konečného počtu ritmetických opercí Je zřejmé, že pro soustvy, jejichž mtice jsou trojúhelníkové - horní či dolní - se nbízejí přirozené přímé metody Jsou to t zv zpětná přímé doszení Vyšetřujme soustvy (522) Ly = c, (523) kde U = Ux = b, l 11 0 L = l 21 0 l N1 l NN u 11 u 12 u 1N 0 u 22 u 2N 0 0 u NN 45

46 Nechť l jj = 0, j = 1,, N u jj 0, j = 1,, N Potom (524) (525) podobně y 1 = c 1 l 11 y k = c k 1 k l kj c j, k = 2,, N, l kk l j=1 jj l kk (526) (527) x N k = b N k u N k,n k x N = N j=k+1 b N u NN, u N k,j b j u N k,n k u jj, k = 1,, N 1 Nejznámější přitom nejdůležitější přímou metodou řešení soustv linárních lgebrických rovnic je Gussov eliminční metod Její zákldní myšlenk spočívá v trnsformci původní soustvy s mticí A n soustvu s trojúhelníkovou mticí à Mtici à lze získt postupným eliminováním, jež lze reprezentovt elementárními eliminčními mticemi popsnými v odstvci 52 Buď tedy A = ( jk) dná regulární mtice s 11 0 E 1 = I v 1 e 1 elementární dolní trojúhelníková mtice indexu 1, kde 0 12 v 1 = 1 11 N1 Jest tedy A (0) = A N A (1) = N 1N N N1 NN 1N 11 N1 46

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

2.3. DETERMINANTY MATIC

2.3. DETERMINANTY MATIC 2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Masarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n.

Masarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. Masarykova univerzita Ondřej Došlý Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. První vydání Brno 2004 Došlý Ondřej Název knihy c prof. RNDr. Ondřej Došlý, DrSc., 2005 Největší životní umění je neoptimalizovat

Více

TEORIE MATIC. Tomáš Vondra

TEORIE MATIC. Tomáš Vondra TEORIE MATIC Tomáš Vondra 2 Obsah 1 Opakování 5 1.1 Základní operace s maticemi..................... 5 1.2 Determinant matice......................... 7 1.2.1 Cauchyův-Binedův vzorec..................

Více

13. Soustava lineárních rovnic a matice

13. Soustava lineárních rovnic a matice @9. Soustv lineárních rovnic mtice Definice: Mtice je tbulk reálných čísel. U mtice rozlišujeme řádky (i=,..n), sloupce (j=,..m) říkáme, že mtice je typu (n x m). Oznčíme-li mtici písmenem A, její prvky

Více

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

1 i= VLIV ZMĚN FYZIKÁLNÍCH PARAMETRŮ FLUIDNÍCH VRSTEV NA CHARAKTERISTIKY TLAKOVÝCH FLUKTUACÍ. OTAKAR TRNKA a MILOSLAV HARTMAN. i M

1 i= VLIV ZMĚN FYZIKÁLNÍCH PARAMETRŮ FLUIDNÍCH VRSTEV NA CHARAKTERISTIKY TLAKOVÝCH FLUKTUACÍ. OTAKAR TRNKA a MILOSLAV HARTMAN. i M Chem. Listy, 55 53 (7) VLIV ZMĚN FYZIKÁLNÍCH PARAMETRŮ FLUIDNÍCH VRSTEV NA CHARAKTERISTIKY TLAKOVÝCH FLUKTUACÍ OTAKAR TRNKA MILOSLAV HARTMAN Ústv chemických procesů, AV ČR, Rozvojová 35, 65 Prh 6 trnk@icpf.cs.cz

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ MATEMATIKA 1

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ MATEMATIKA 1 FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ MATEMATIKA 1 Grnt předmětu: Prof. RNDr. Josef DIBLÍK, DrSc. (do 31.8.00) Prof. RNDr. Jn CHVALINA, DrSc. (od 1.9.00) Autoři

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

Kapitola 1. Tenzorový součin matic

Kapitola 1. Tenzorový součin matic Kapitola 1 Tenzorový součin matic Definice 1.1. Buď F komutativní těleso. Pro matice A F m n a B F r s definujeme tenzorový součin A B jako matici o rozměru mr ns zapsanou blokově: A 11 B A 12 B A 1n B

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února 2015 http://kammffcunicz/~fiala http://wwwadliskacom 1 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice. [] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Lineární algebra 10. přednáška: Ortogonalita II Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text byl vytvořen

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu:

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu: FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Matematika 3 Garant předmětu: RNDr. Břetislav Fajmon, PhD Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Břetislav Fajmon, PhD

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819 .8.0 Důkzy Pythgorovy věty Předpokldy: 00819 Pedgogická poznámk: V řešení kždého příkldu jsou uvedeny rdy, které dávám postupně žákům, bych jim pomohl. Pedgogická poznámk: Diskuse o následujícím příkldu

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman STEJNOSĚRNÉ STROJE 1. Princip činnosti stejnosměrného stroje 2. Rekce kotvy komutce stejnosměrných strojů 3. Rozdělení stejnosměrných strojů 4. Stejnosměrné generátory 5. Stejnosměrné motory 2002 Ktedr

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

Seriál XXVII.III Aplikační

Seriál XXVII.III Aplikační Seriál XXVII.III Aplikční Seriál: Aplikční Tento díl seriálu bude tk trochu plikční. Minule jsme si pověděli úvod k vričním metodám ve fyzice, nyní bychom rádi nbyté znlosti plikovli n tři speciální přípdy.

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);

Více

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou

Více

Mgr. Karel Pazourek. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Mgr. Karel Pazourek. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. Mnohočleny z různých stran Mgr. Karel Pazourek Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online prostředí,

Více

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití

Více

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.

Více

Maticový a tenzorový počet

Maticový a tenzorový počet Maticový a tenzorový počet Doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D. Ústav matematiky Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Obsah. Test vstupních znalostí............................. 5 Matice

Více

Numerická realizace metod. lineárního a kvadratického

Numerická realizace metod. lineárního a kvadratického Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova Praha Numerická realizace metod vnitřního bodu pro řešení úloh lineárního a kvadratického programování Věra Koubková Diplomová práce Praha 1997 Studijní

Více

3. Polynomy Verze 338.

3. Polynomy Verze 338. 3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

Definice limit I

Definice limit I 08 Definice limit I Předpokld: 006 Pedgogická poznámk: N úvod je třeb upozornit, že tto hodin je ze strn studentů snd nejvíce sbotovnou látkou z celé studium (podle rekcí 4B009) Jejich ochot brát n vědomí

Více

Úvod do optimalizace

Úvod do optimalizace Přednáška Ú-Opt, February 19, 2006:1324 Petr Lachout 1 Úvod do optimalizace Prof. RNDr. Jitka Dupačová, DrSc. Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc. KPMS MFF UK Verze 19. února 2006 2 Obsah 1 Úvod 5 2 Optimalizace

Více

a n (z z 0 ) n, z C, (1) n=0

a n (z z 0 ) n, z C, (1) n=0 Mocniné řady Nechť 0, a 0, a, a 2,... jsou konečná komplexní čísla. Pak řadu funkcí a n ( 0 ) n, C, () naýváme mocninou řadou. Číslo 0 koeficienty mocniné řady. Onačme dále: se naývá střed mocniné řady,

Více

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

ZÁKLADY MATEMATIKY 2. 1. SÉRIE: URƒITÝ INTEGRÁL, APLIKACE

ZÁKLADY MATEMATIKY 2. 1. SÉRIE: URƒITÝ INTEGRÁL, APLIKACE ZÁKLADY MATEMATIKY 2. SÉRIE: URƒITÝ INTEGRÁL, APLIKACE I. P íprvní úlohy. V této sérii pot ebujete znlost výpo t následujících úloh - otestujte si ji:. Vypo ítejte neur ité integrály: ) (x 2 x + ) 2 dx

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) 1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 0 Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 V tomto krátkém textu se budeme zabývat lineárními rekurencemi, tj posloupnostmi definovanými rekurentní rovnicí typu A n+k = c 0 A n + c 1 A n+1 + + c k 1

Více

Poznámky z matematiky

Poznámky z matematiky Poznámky z matematiky Verze: 14. dubna 2015 Petr Hasil hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil/ Ústav matematiky Lesnická a dřevařská fakulta Mendelova univerzita v Brně Vytvořeno s podporou projektu

Více

Základy teorie matic

Základy teorie matic Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, 1971. pp. 9--12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401328 Terms of use: Akdemie

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

Přijímací řízení akademický rok 2014/2015 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2014/2015 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímcí řízení kemický rok 0/0 Bc. stuium Kompletní znění testových otázek mtemtik Koš Znění otázky Opověď ) Opověď ) Opověď c) Opověď ) Správná opověď. Které číslo oplníte místo otzníku? 9 7?. Které

Více

Úřední věstník Evropské unie 25.6.2004 ÚŘEDNÍ VĚSTNÍK EVROPSKÉ UNIE

Úřední věstník Evropské unie 25.6.2004 ÚŘEDNÍ VĚSTNÍK EVROPSKÉ UNIE 03/sv. 45 75 32004R0854 25.6.2004 ÚŘEDNÍ VĚSTNÍK EVROPSKÉ UNIE L 226/83 NAŘÍZENÍ EVROPSKÉHO PARLAMENTU A RADY (ES) č. 854/2004 ze dne 29. dubn 2004, kterým se stnoví zvláštní prvidl pro orgnizci úředních

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Elektrotechnická fakulta

Elektrotechnická fakulta ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Elektrotechnická fakulta OPTIMÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ A ŘÍZENÍ Jan Štecha Katedra řídicí techniky 1999 Předmluva Toto skriptum je určeno posluchačům 4. ročníku oboru technická

Více

Přímé metody výpočtu charakteristických čísel matic

Přímé metody výpočtu charakteristických čísel matic Masarykova Univerzita v Brně Přírodovědecká fakulta Přímé metody výpočtu charakteristických čísel matic Bakalářská práce Vedoucí bakalářské práce RNDr. Ladislav Adamec, CSc. Brno 2007 Roman Melichar Prohlašuji,

Více

Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů

Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů Linear algebra and analytic geometry problems and solved examples Klára Javornická Bakalářská práce 2010 UTB ve Zlíně, Fakulta

Více

PRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY

PRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY PRVIDELNÉ MNOHOĚNY Vlst Chmelíková, Luboš Morvec MFF UK 007 1 Úvod ento text byl vytvořen s cílem inspirovt učitele středních škol k zčlenění témtu prvidelné mnohostěny do hodin mtemtiky, neboť při výuce

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

2. Matice, soustavy lineárních rovnic

2. Matice, soustavy lineárních rovnic Matice, soustavy lineárních rovnic Tento učební text byl podpořen z Operačního programu Praha- Adaptabilita Irena Sýkorová Některé vlastnosti matic Uvažujmečtvercovoumatici A=(a ij ) n n Matice Asenazývásymetrická,jestližeplatí

Více

2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru.

2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. Varianta I 1. Definujte pravděpodobnostní funkci. 2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. 3. Definujte Fisher-Snedecorovo rozdělení.

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Lineární funkce f: y = kx + q, D f = R, H f = R, grf je přímk množin odů [x, y], x D f, y = f(x) q úsek n ose y, tj. od [0, q], k směrnice, k = tn φ = 2 2 1 1, A[ 1, 2 ], B[ 1, 2

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

)(x 2 + 3x + 4),

)(x 2 + 3x + 4), 3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple

Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple Vedoucí bakalářské práce: RNDr.

Více

y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Řádková norma (po řádcích sečteme absolutní hodnoty prvků matice a z nich

y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Řádková norma (po řádcích sečteme absolutní hodnoty prvků matice a z nich Normy matic Příklad 1 Je dána matice A a vektor y: A = 2 0 3 4 3 2 y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Ověřte, že platí Ay A y (1) Ay = (4, 14, 2) T 2 2 Frobeniova norma

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

Úvod do Teoretické Informatiky (456-511 UTI)

Úvod do Teoretické Informatiky (456-511 UTI) Úvod do Teoretické Informtiky (456-511 UTI) Doc. RNDr. Petr Hliněný, Ph.D. petr.hlineny@vs.cz 25. ledn 2006 Verze 1.02. Copyright c 2004 2006 Petr Hliněný. (S využitím části mteriálů c Petr Jnčr.) Osh

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční

Více

7.5.8 Středová rovnice elipsy

7.5.8 Středová rovnice elipsy 758 Středová rovnice elips Předpokld: 750, 7507 Př : Vrchol elips leží v odech A[ ;], B [ 3;], [ ;5], [ ; 3] elips souřdnice jejích ohnisek Urči prmetr Zdné souřdnice už n první pohled vpdjí podezřele,

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za

Více

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm

Více

Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno. Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu.

Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno. Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu. Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu. Na jiných příkladech je téma podrobně zpracováno ve skriptech

Více

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu.

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu. Inženýrská matematika Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.

Více

Optická zobrazovací soustava

Optická zobrazovací soustava Optická zobrzovcí soustv Mteriál je určen pouze jko pomocný mteriál pro studenty zpsné v předmětu: Videometrie bezdotykové měření, ČVUT- FEL, ktedr měření, přednášející Jn Fischer Jn Fischer, 2013 1 Měření

Více

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Preklkulus 5. Reálná čísl................................................ 5. Funkce jejich zákldní vlstnosti....................................3

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

Automaty a gramatiky. Roman Barták, KTIML. Důkaz věty o isomorfismu reduktů. Věta o isomorfismu reduktů. Pro připomenutí

Automaty a gramatiky. Roman Barták, KTIML. Důkaz věty o isomorfismu reduktů. Věta o isomorfismu reduktů. Pro připomenutí 3 Automty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktimlmffcunicz http://ktimlmffcunicz/~rtk Pro připomenutí 2 Njít ekvivlentní stvy w X* δ*(p,w) F δ*(q,w) F Vyřdit nedosžitelné stvy 3 Sestrojit podílový utomt Automty

Více

Pluto již není planetou, z astronomie však nemizí

Pluto již není planetou, z astronomie však nemizí uto již není plnetou, z stronomie všk nemizí Vldimír Štefl, Brno Cílem příspěvku je vysvětlit čtenářům - žákům i učitelům, proč bylo uto při svém objevu v roce 1930 oznčeno z plnetu nopk jké byly důvody,

Více

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11 Mticový počet zákldní pojmy Mtice je obdélníkové schém tvru 2...... n 2 22. 2n A =, kde ij R ( i =,,m, j =,,n ) m m2. mn ij R se nzývjí prvky mtice o mtici o m řádcích n sloupcích říkáme, že je typu m/n

Více

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry. Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít

Více

MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod

MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod Kvaternion 1/2013, 7 14 7 MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE LADISLAV SKULA Abstrakt V článku je uvedena definice pseudoinverzní matice, ukázána její existence a jednoznačnost a zmíněny dvě

Více

stránkách přednášejícího.

stránkách přednášejícího. Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více