Literatura. Obsah. MAGNETICKÉ POLE VE VAKUU (Elektrodynamika I.)

Transkript

1 Litetu [1] Fejnmnovskije lekcii po fizike: Zdči i upžněnij s otvětmi i ešenijmi. zd. Mi, Moskv (Překld z oiginálu: The Feynmn Lectues on Physics. Excecises. ddison-wesley Publishing Compny, nc. Reding, Msschusetts, London ) [] Fuk, J., Hvelk,.: Elektřin mgnetismus. 3.vydání. SPN, Ph [3] Hoák, Z., Kupk, F., Šindelář, V.: Technická fyzik. SNTL, Ph [4] Hoák, Z., Kupk, F.: Fyzik. SNTL/SVTL, Ph 1966, 1976, [5] Hubeňák, J.: Úlohy výkonového kusu fyziky v SRN.. část Elektické mgnetické pole. Edice SCO ME MULT NESCRE č. 19. MFY, Hdec Kálové [6] odov,. E.: Osnovnyje zkony elektomgnetizm. zd. Vysšj škol, Moskv [7] Mlíšek, V.: Co víte o dějinách fyziky. Hoizont, Ph [8] Pucell, E. M.: Elektičestvo i mgnetizm. ekleevskij kus fiziki,. tom. zd. Nuk, Moskv (Překld z oiginálu: Pucell, E. M.: Elekticity nd Mgnetism. ekley Physics Couse, volume. Mcgw hill book compny.) [9] Vybíl,.: Fyzikální pole z hledisk teoie eltivity. SPN, Ph 1976, SPN, tislv [10] Vybíl,.: Teoie elektomgnetického pole. Pedgogická fkult v Hdci Kálové, Hdec Kálové [11] Vybíl,.: Zákldy teoie eltivity. Gudemus, Hdec Kálové [1] Vybíl,.: Elektosttik. Knihovničk fyzikální olympiády č. 39. MFY, Hdec Kálové Obsh MGNETCKÉ POLE VE VKUU (Elektodynmik.) Studijní text po řešitele FO osttní zájemce o fyziku ohumil Vybíl Úvod 3 1. Předmět elektodynmiky Z histoie od Coulomb k Einsteinovi Elektický poud Mkoskopický elektický poud ve vodičích Příkld 1 diftová ychlost elektonů ve vodiči Ohmův zákon Příkld zemnicí elektod Elektomotoické npětí Zákony mgnetismu jejich plikce 13.1 iotův Svtův Lplceův zákon Příkld 3 mgnetické pole kuhové poudové smyčky Příkld 4 mgnetické pole přímkového poudu Zákon celkového poudu Příkld 5 mgnetické pole tooidu Příkld 6 mgnetické pole solenoidu mpéův zákon Vzájemné silové působení dvou ovnoběžných přímkových poudů 6.5 Silové působení mgnetického pole n poudovou smyčku, mgnetický moment Příkld 7 potenciální enegie poudové smyčky Loentzov síl Příkld 8 poton v mgnetickém poli Příkld 9 cykloton Hllův jev Mgnetické pole jko eltivistický jev nvintnost náboje Coulombův zákon Reltivistická tnsfomce Coulombovy síly Klsické zákony elektodynmiky z hledisk teoie eltivity

2 c) Dáh částice v cyklotonu je zkřiven působením mgnetické síly: Zeω = mω, potony (Z =1) f p = ω =πf = Ze m 0, deuteony (Z =1) f d = částice (Z =) f 0 = f = Ze πm 0. e πm p =1,5 MHz, e πm d =10,8 MHz, e πm =10,8 MHz. eu 3. ) ) v =, m e β) Kinetická enegie E k = eu se pojeví příůstkem hmotnosti: m e c m e c ( me c ) + eu = ( ). Ztoho v = c 1 m v e c. + eu 1 c. b) N elekton působí mgnetická složk Loentzovy síly, kteá jeho tjektoii zkřiví do tvu kužnice o poloměu R, po nějž pltí vzth e c v 0 = m ev 0 R. Z geometie tjektoie, jejíž tečny v počátečním konečném bodě n ktodě mjí smě diály (viz ob. 6), plyne + R = b R, neboli R = b. b Pk c = m ev 0 er = bm ev 0 e(b ). c b Ob. 6 R Úvod 1. Předmět elektodynmiky Předložený studijní text, volně nvzující n Elektosttiku [1], se zbývá elektodynmikou, kteá zkoumá účinky elektických nábojů v pohybu. Tok nábojů vytváří z mkoskopického hledisk elektický poud, poto se budeme nejpve zbývt jeho popisem zkoumáním vlivu vodivého postředí n jeho velikost. Důležitým účinkem elektického poudu je mgnetické pole. Při zkoumání mgnetického pole ve vkuu nejpve užijeme jednodušší klsický (histoický) přístup, kteý je zložen n expeimentech. To je předmětem duhé kpitoly. Z hledisk celkové stuktuy modení fyziky je důležitý i eltivistický výkld mgnetismu, kteý je předmětem kpitoly třetí. Tento pohled n mgnetické pole je sice velmi zjímvý, le je poněkud náočnější, poto je tto kpitol po řešitele fyzikální olympiády z hledisk vlstní soutěže nepovinná. K tomu je v dodtku odvozen jednoduchým postupem vzth po eltivistickou tnsfomci síly. K předmětům zkoumání elektodynmiky ptří i mgnetické pole v látkovém postředí ovněž elektomgnetické indukce. Jde o ecipoký jev, kteý popisuje vznik elektického poudu změnou mgnetického pole. Z důvodu omezeného ozshu předloženého studijního textu po fyzikální olympiádu byl celá látk elektodynmiky ozložen do tří dílů:. díl bude věnován mgnetickému poli v látce 3. díl elektomgnetické indukci. Při výkldu elektodynmiky byl zchován tdiční osvědčená fom: vlstní výkld je půběžně plikován n řešených příkldech, kteé nejen ilustují výkld, le tké jej doplňují řešením význmných poblémů. K pocvičení vyložené látky k přípvě n řešení úloh ve fyzikální olympiádě jsou do textu zřzeny úlohy, přičemž výsledky jejich řešení (u obtížnějších úloh i s nznčeným nebo úplným řešením) jsou uvedeny n závě textu. Celkem text obshuje 9 řešených příkldů 3 úloh k pocvičení, z nichž někteé úlohy byly po úpvě převzty z mezináodních soutěží.. Z histoie od Coulomb k Einsteinovi Histoie vývoje elektodynmiky je zjímvá poučná nejen z hledisk vlstní elektodynmiky, le i jiných oblstí fyziky. ž do konce 18. století byly známy někteé jevy z elektřiny mgnetismu pouze kvlittivně, to bez jkékoliv vzájemné souvislosti. Tepve fomulovl fncouzský důstojník Ch.. Coulomb ( ) n zákldě expeimentů n tozních vhách (teoie těchto vh z. 1784, včetně teoie kutu tyčí kuhových půřezů konstukce tozních vh pochází ovněž od Coulomb) zákldní zákon elektosttiky 74 3

3 γ) K b = d = b d b C K b C cos cos + sin = C 1 cos = b 1. cos K, = K 1 β) Numeicky: / K / / b / K b / / 0 0 3, ,316 11,5 0,56 1,9 0 0,66 3,65 0,814 5, ,077 1,5 1,038 3,15 e 5. = U m e =1, C kg Svzek částic necháme pojít štěbinou S do příčného mgnetického pole o indukci, ve kteém se budou částice pohybovt po kuhové tjektoii (ob. 61) o poloměu, kteý splňuje ovnici ev = v m/r. Chceme-li získt částice oychlostiv 0, uděláme štěbinu S 0 ve vzdálenosti y 0 =R 0 od svzku, tj. y 0 S S 0 v 0 v<v 0 v>v 0 y 0 = m e v 0. Ob y = el ( ) 1 l1 + l výchylk je přímo úměná. me eu F 8. ) Z ovnosti m = F e je v = E/ =4, m s 1. b) Elektony se odchýlí z přímočé tjektoie. Jevu lze využít k filtování ychlosti elektonů. Elektony poždovné ychlosti v = E/ se pohybují přímočře. c) = m ee e =0, m. 9. ) Kontkty se přiletují n honí spodní plošku (v ob. 4) destičky; kldný pól bude nhoře. b) = U Hd, c) 0,10; 50 T. R H 30. ) Působící mgnetická síl je stejná: F m = ev =7, N. netického pole v látkovém postředí vzth po Loentzovu sílu působící n pohybující se náboj v elektomgnetickém poli (nebo ekvivlentní vzth po hustotu elektomgnetické enegie). Mxwell dospívá ze svých ovnic čistě teoetickou cestou k význmnému pozntku, že elektomgneticképolesešířívefoměvln, odvozuje vzth po jejich ychlost zákon po jejich odz lom n ovinném ozhní dvou postředí. Součsně vypcovává elektomgnetickou teoii světl. Osobní Mxwellovou tgedií bylo, že se nedožil (umíá ve 48 letech) expeimentálního potvzení své teoie. Expeimentální důkz existence elektomgnetických vln (decimetové délky) podl 8 oků po Mxwellově smti v mldý německý fyzik H. Hetz ( ). Mxwell ovšem přijl Youngovu hypotézu z. 1801, že k šíření světl tudíž i elektomgnetických vln je zpotřebí jkéhosi všepostupného mechnického postředí oznčovného jko éte (zde se vycházelo z nlogie mechnických vln). Expeimentální potvzování jedné ze tří étéových hypotéz přivedlo fyziku poslední čtvtiny 19. století do vleklé kize. Tu vyřešil ž speciální teoie eltivity vybudovná v geniálním německým fyzikem. Einsteinem ( ). Éte se nkonec ukázl jko zcel ndbytečný potřebným postředím, kteé umožňuje šíření elektomgnetických vln, je postě postoočs vázný n hmotu ve vesmíu. Teoie eltivity význě zkoigovl fyzikální obz svět, všk teoie elektomgnetického pole přestál tuto koekci (ž n hypotézu éteu) bez poskvny. Ukázl, že elektické mgnetické pole jsou ůznými obzy (esp. složkmi) téhož pole elektomgnetického: elektické (esp. elektosttické) pole vzniká v klidové soustvě náboje; ve vztžné soustvě, v níž se náboj vůči pozoovteli pohybuje, vzniká pole elektomgnetické. Tento eltivistický popis je zákldem eltivistické elektodynmiky bude předmětem kp. 3 nšeho textu. Zde nám k vybudování elektodynmiky bude stčit již jen jeden expeimentální zákon zákon Coulombův k tomu eltivistický vzoec po tnsfomci síly. N histoii vývoje elektodynmiky vidíme, jk se potvzuje filozofie pohledu n svět geniálního nglického fyzik. Newton ( ) vyslovená ve větě (1687): Příod je úsponá ve svých postředcích jevy vytváří jednotným způsobem. Tedy mezi dříve zdánlivě nesouvisejícími jevy (elektřinou mgnetismem) se n jedné stně nšl úzká vzb n duhé stně se velký počet dílčích empiických zákonů, potřebných k vybudování teoie, nejpve zmenšil n tři (klsická elektodynmik) poté jen n jeden (eltivistická elektodynmik). 7 5

4 celkového poudu, přičemž z uzvřenou křivku volíme kužnici o poloměu 0, R. Pk velikost indukce je dán vzthem π μ 0 = j π, neboli = μ 0 πr. Vekto má smě tečny ke kužnici o poloměu (ob. 58). Ktézské složky tedy mjí velikost x = y = μ 0 πr y, y y = x = μ 0 πr x, kde x, y jsou souřdnice ktézské soustvy, jejíž počátek O je posunut do polohy x = R/ (po kldné přípd n ob. 58) nebo do polohy x = R/ (po záponé; pk má opčný smě, než je nznčen n ob. 58). y O x O x Ob. 58 Nyní povedeme supepozici po dv válcové vodiče, přičemž jeden má osu v poloze x = R/ teče jím poud duhý v poloze x = R/ poud.pkx-ová složk výsledné mgnetické indukce v mezeře je nulová: x = 0 po velikost její y-ové složky pltí y = μ ( 0 [ πr x + R ) ( x R )] = μ 0 πr = 3μ 0 (π +3 3)R = konst. Mgnetická indukce soustvy vodičů C + C v postou mezey má konstntní velikost smě osy y. 0. N element dl = d působí mgnetická síl df m,kteámásměkolmý k nákesně (ob. 59). N meni sin působí momentem síly o velikosti dm = sin d. ntegcí v mezích po 0, π dostneme M = π = S. můžeme obecný výz (1) nhdit výzem = Q t. Rovnoměný pohyb náboje bodového náboje Q po kužnici s peiodou T,esp. s úhlovou ychlostí ω, můžeme chápt jko ustálený poud = Q T = ωq π. () ude-li se element náboje dq pohybovt v lineáním útvu ychlostí v = = dl/dt, bude po doszení do (1) epezentovt elektický poud = dq v = τv, (3) dl kde τ = dq/dl je délková hustot náboje v je velikost okmžité ychlosti náboje v uvžovném místě lineáního útvu. Elektický poud je veličin, kteá obecně popisuje postoový jev. Omezíme se nyní n běžný přípd vodičů, kteé mjí volné náboje jen jedné polity (u kovových vodičů jde o elektony), oznčíme ϱ 0 postoovou hustotu volného náboje v velikost usměněné ychlosti jejich nositelů (elektonů). v Rychlost se zpvidl oznčuje jko diftová ychlost. Pk z čs dt pojde učitým příčným půřezem (kolmým k v) oobshus 0 náboj dq = ϱ 0 S 0 vdt. Elektický poud (1) bude = ϱ 0 vs 0 = en 0 vs 0, (4) kde n 0 = ϱ 0 /( e) je počet nositelů volného náboje (tj. v nšem přípdě elektonů; z nichž kždý nese náboj e) v jednotkovém objemu vodiče, přičemž po elektony zřejmě je ϱ 0 < 0. Rovinnou plochu S půřezu můžeme zvést jko vekto S (ob. 1), kteý má smě dný nomálou k ploše pvidlem pvé uky (ukzují-li psty pvé uky smě oběhu po hniční křivce plochy, ukáže plec smě plochy jko vektou S). Potože diftová ychlost v je tké vekto, nebudeme obecně uvžovt vektoy S, v o stejném směu výz (4) přepíšeme do obecnějšího tvu v S 0 O S j S Ob

5 b) Z desky vyjmeme element šířky db, vyjádříme intenzitu jeho pole jko funkci jedinnné poměnné integujeme přes celou poudovou ovinu (ob. 53). +d db db R d dh dh dh b Ob Poudová hustot ve vodiči má velikost j = π. Užijeme zákon celkového poudu po uzvřenou křivku ve tvu kužnice C 1 nebo C o poloměu (ob. 54). C 1 H C dh dh b dh b O Ob. 54 Ob. 55 ) Uvnitř půřezu C 1 ( ): H π = jπ, neboli H = π. 68 H dh J obshuje N =6, jednotomových molekul Cu, z nichž kždá má volný jeden (vlenční) elekton. Tedy počet volných elektonů v jednotkovém objemu je n 0 = N = sn V m M =8, m 3. b) Úhnný náboj volných elektonů v jednotkovém objemu mědi je Q V = en 0 = 1, C m 3. c) Velikost diftové ychlosti učíme ze vzthu (4): v = en 0 S 0 =3, m s 1 =0,369 mm s 1. Z povedených výpočtů si můžeme udělt názo o mikoskopických poměech v kovových vodičích: počet volných nositelů náboje elektonů jejich úhnný náboj v jednotkovém objemu je znčný, poto diftová ychlost elektonů potřebná k vyvolání poudů běžné technické velikosti v dátových vodičích je nesmíně mlá (doslov hlemýždí). 1. Ohmův zákon Uvžujme vodič, u něhož jsou volnými nositeli náboje elektony. Nyní v mezích klsické mechniky kvntittivně popíšeme mechnismus vedení poudu, kteý povede k všeobecně známému Ohmovu zákonu. Umístíme-li vodič do elektického pole o intenzitě E (npř. připojením ke glvnickému článku), působí n kždý volný elekton síl F = ee, kteá mu podle Newtonov zákon udělí zychlení = F /m e = ee /m e poti směu vnějšího pole. Tím získávjí choticky se pohybující elektony ještě složku ychlosti v potisměu vloženého elektického pole E. Tk dochází k usměněnému diftovému pohybu volných elektonů ve vodiči vznikne elektický poud. Elekton ve vodiči se po vykonání jisté dáhy d (nzývjící se volná dáh) szí s iontem. Půměná dob mezi dvěm po sobě jdoucími sážkmi nechť je τ. Z tuto dobu se bude elekton ovnoměně uychlovt n jejím konci bude mít ychlost v mx = τ. Půměná ychlost n volné dáze půměné velikosti je hledná diftová ychlost, tj. mx = v Poudová hustot (5) v bude = eτ m e E. j = ϱ 0 v = en 0 v = e n 0 τ m e E. (7) 9

6 13. Po elektickou složku intenzity (viz úlohu č. 8 v [1]) vychází ( ) Q x E = πε 0 R 1, po x>0. R + x Po výpočet intenzity mgnetické složky pole vyjmeme elementání otující mezikuží, kteé můžeme povžovt z kuhový závit s poudem d = Qω πr d. ntepetcí výsledků příkldu 3 dostneme d Qω 3 d dh = = (x + 3/ ) πr (x + ). 3/ ntegcí po v mezích od 0 do R dostneme H = Qω [ x πr + x ] R + x + 0 = Qω ( x + R ) πr x + R x. Ob vektoy E, H mjí stejný smě smě osy. Po x 0, tedy v blízkosti středu kuhu, je E 0 = Q πε 0 R,H 0 = Qω πr, H 0 = ε 0 ωr. E ) Vyjdeme ze vzthu (), po jeho přepsání po závit o obecném poloměu šířced, kteým teče elementání poud z d = d 1 po integci dostneme = μ 0z ( 1 ) ln. 1 b) Vyjádříme mgnetický moment závitu o poloměu šířced (teče jím poud d) integujeme, pk m = πz 3( 1 ) (3 1)= 3 πz 3 ( ). 66 Příkld zemnicí elektod Uvžujte zemnicí elektodu ve fomě koule o poloměu = 00 mm uloženou do zeminy v hloubce, kteá je znčně větší než je polomě. Po jednoduchost řešení dále předpokládejte, že přívodní dát je od zeminy izolován (ob. ). Zemin má měnou vodivost γ =1,8 10 Ω 1 m 1. Při zktu teče přívodním dátem poud = 50. Vypočtěte: ) Závislost potenciálu ϕ = ϕ() elektického pole, kteé se vytvoří v zemině při zktu, kde je vzdálenost od středu elektody. Potenciál nomujte tk, že volte ϕ( ) = 0. b) Zemnicí odpo elektody, kteý je definován vzthem R z = U z, kde U z = ϕ() ϕ( ) =ϕ() je zemnicí npětí. c) Ztátový výkon při zktu. Řešení ) Ekvipotenciální poudové plochy mjí zřejmě kulový tv se středem ve středu elektody. Poudová hustot n kulové ploše obecného poloměu (ob. ) je = j 4π, kde je jednotkový vekto ve směu nomály. Pk v bodech n této ploše musí být elektické pole E o intenzitě, kteou učíme ze vzthu (9): E = j γ = 4πγ. Potenciál vypočteme pomocí vzthu (viz npř. výz (34) v [1]): ϕ = d +C = d E 4πγ +C = 4πγ +C, kde integční konstntu C učíme z okjové podmínky ϕ( ) = 0, odkudc = 0. Hledná závislost potenciálu je ϕ = 4πγ,, ). 11 γ Ob. j

7 10. Φ = μ ( 0b π ln 1+ ) =, Wb ) Vekto je kolmý k nákesně míří směem do ní. K výpočtu velikosti soustvu ozložíme n dvě polopřímky jejich účinek po bod P sečteme. Po polopřímku lze užít dílčího výsledku příkldu 4 výz (4), v němž po náš přípd dosdíme H = /μ 0 (číslo, potože jedn polopřímk je polovin soustvy), = d sin, β 1 = π/, β = (π/ ). Pk μ 0 = 4πd sin [ sin ( π ) ] +1. neboli = μ 0 1 cos πd sin = μ 0 πd tg. b) V bodě P bude vekto opět kolmý k nákesně, všk směřuje ven z ní. K výpočtu jeho velikosti můžeme použít stejný postup jko v bodě ), všk úhel β bude mít opčné znménko, tj. β =(π/ ). Pk = μ 0 1+cos πd sin = μ 0 πd cotg. Ke stejnému výsledku můžeme dospět využitím výsledku řešení bodu ) užitím pincipu supepozice polí dvou zkřížených poudových přímek, od nichž odečteme pole soustvy V po bod P, jk je zřejmé z ob. 49. P Ob. 49 c) N mgnetku působí moment M síly m = o velikosti M = m sin ϕ mβ po mlé úhly β, kdeβ je odchylk z ovnovážné polohy (ob. 50), v níž moment síly je nulový. P Zákony mgnetismu jejich plikce.1 iotův Svtův Lplceův zákon V tomto článku povedeme klsický popis jevu n histoickém empiickém zákldě, kteý je poměně jednoduchý. Podle Oestedov objevu (180) vzniká v okolí vodiče s elektickým poudem mgnetické pole, kteé se pojevuje silovým působením n mgnetku (ob. 4,b). ) b) O poledník O poledník Ob. 4 Po vodič bez poudu byl mgnetk nstven do směu poledníku. Po zpnutí poudu pozoovl Oested její výchylku ve směu, kteý učuje později fomulovné mpéovo pvidlo pvé uky: položíme-li pvou uku n vodič tk, by psty ukzovly smě poudu dlň byl obácen k místu (tj. k bodu ), v němž vyšetřujeme pole, vychýlí se sevení pól mgnetky ve směu plce. K popisu mgnetického pole byl v oce 180 zveden již z mgnetosttiky veličin intenzit mgnetického pole H způsobem nlogickým jko intenzit elektického pole, tj. E = F /q. Vycházelo se přitom z Coulombov zákon po mgnetismus (1785), kteý má tv podobný Coulombovu zákonu po elektické náboje q. Poblém byl ovšem v mgnetických nábojích oznčovných jko kldná záponá mgnetická množství Φ, o nichž se předpokládlo, že jsou soustředěn v sevením jižním pólu mgnetu (esp. v jejich blízkosti). N ozdíl od elektického náboje se všk nepodřilo izolovt osmocená mgnetická množství. Pokud se tedy při popisu mgnetického pole pcuje s jediným mgnetickým množstvím, tk jde vždy o pomocný mtemtický pojem. ntenzit mgnetického pole se v mgnetosttice definuje jko síl, kteá působí n kldné jednotkové mgnetické množství Φ: H = F Φ. (13) 64 13

8 Řešení úloh 1. Poudové plochy jsou válcové o 1,.OdpoR = 1 πγl ln 1.. ) ϕ =,, ). πγ b) R z = 1 πγ =16,6 Ω, P z = R z = 166 kw. c) U k = ϕ() ϕ( +Δ k )= Δ k, πγ +Δ k U k (10 m) = 9,8 V, U k (1 m) = 589 V. 3. Situce v učitém okmžiku t od zčátku vybíjení kondenzátou je nznčen n ob. 47, kdy původní npětí kleslo z U 0 n U. ) Mxwellův poud je oven poudu vodivému, kteý v přípdě vybíjení souvisí s úbytkem náboje: M = = dq dt du = C dt = εs d(ed 0 ) = εs de d 0 dt dt kde D je velikost indukce D = εe elektického pole. Hustot Mxwellov poudu při vybíjení je M = dd j dt. Při nbíjení, kdy indukce D bude vyůstt, bude j M = t, D kde se deivce podle čsu vyjádřil jko pciální, potože D obecně je funkcí těchto nezávisle poměnných: x, y, z, t. b) Po vodivý poud při vybíjení podobně dostneme = U R = dq dt Odtud můžeme npst difeenciální ovnici = C du dt. du U = 1 RC dt, = S dd dt, d 0 U +Q Q M Ob. 47 R kbodu (ob. 4), tk se mgnetk nevychylovl. Při plikci n vektoový poudový element dl lze tedy usoudit, že o jeho vlivu n mgnetické pole vbodě ozhoduje jen jeho složk dl o velikosti dl sin kolmá k původiči (ob. 6). Pokud jde o závislost intenzity pole n, mlčky jsme předpokládli přímou úměnost. Tu si můžeme vysvětlit tím, že poud je dán usměněným pohybem jednotlivých elektonů, jejichž účinek se v bodě postě lgebicky sečte (pincip supepozice). dl O dl dl = dl sin Ob. 6 dl Poudový element vyvolá v bodě mgnetické pole, přičemž po element jeho H intenzity vsoustvěspltí dh = dh 0 4π (dl ), (14) kde je jednotkový vekto vedený z bodu poudového elementu k bodu () pole. ntenzit mgnetického pole je vekto, jehož smě učíme pvidlem po vektoový součin dvou vektoů (je to vekto kolmý k ovině položené vektoem dl bodem míří n tu stnu, kteou ukáže plec pvé uky, když psty budou směřovt od pvého vektou (dl ) ke duhému ( ) ve směu menšího úhlu, tj. 0, 180. Po jeho velikost pltí dh = dl sin. (15) 4π Nově zvedená veličin H má v S zřejmě jednotku m 1. Vedle veličiny H se mgnetické pole čstěji popisuje veličinou mgnetická indukce. Po pole ve vkuu pltí mezi těmito veličinmi jednoduchý vzth = μ 0 H, (16) 6 15

9 ovněž ležet n uvžovné přímce, vektoy v,, F budou souhlsně ovnoběžné, v F = vf ovnici (74) můžeme psát skláně: F = v c F + m. Po doszení z (7) po úpvě můžeme tento vzth opět přepst do vektoového tvu po zychlení Φ = S = S cos, (19) kde S cos = S 0 je půmět plochy S do směu kolmého k indukčním čám. Je-li pole nehomogenní, vyjádříme tok indukce elementem plochy povedeme integci přes celou plochu: Φ = ds. (0) S ( ) 3 = 1 v m 0 c, v ), (F F (75) kde F /m 0 je zychlení, kteé síl F uděluje hmotnému bodu ze stvu klidu. Diskutovný přípd má význm npř. po uychlování nbitých částic v podélném elektickém poli.. Síl působí kolmo ke směu pohybu V tomto přípdě jsou vektoy v, F k sobě kolmé tudíž v F =0.Pksevzth (74) zjednoduší do tvu F = m, neboli po zychlení pltí = 1 v m, (F v ). (76) 0 F c Tento přípd má význm npř. po pohyb nbitých částic v příčném mgnetickém poli. Setkáme se s ním u cyklických uychlovčů, jko npř. u synchocyklotonů fázotonů. U klsického cyklotonu se ovšem předpokládá m m 0. Zjímvé je poovnání vzthů po zychlení v obou diskutovných přípdech. Zychlení v (75) má smě tečny k tjektoii je tedy tečné: = τ = dv dt, kde je jednotkový vekto ve směu tečny. Zychlení v (76) má smě nomály ktjektoiijetedynomálové: = n = v n, kde n je jednotkový vekto ve směu nomály, v okmžitá ychlost polomě křivosti tjektoie v uvžovné poloze hmotného bodu. Jednotky nově zvedených veličin: Pemebilit [μ 0 ]=[ε 1 0 c ]=F 1 m m s =V C 1 m 1 s =V s 1 m 1 =H m 1, kde H (heny) = V s 1 je jednotk indukčnosti. Mgnetická indukce [ ]=[μ 0 H]=V s 1 m 1 m 1 =V s m =Wb m = T (tesl), kde V s = Wb (webe) je jednotk mgnetického indukčního toku Φ. Mgnetické množství (13) [Φ ]=[FH 1 ]=N m 1 =J 1 =W s 1 =V s=wb. Mgnetické množství má tedy stejnou jednotku jko mgnetický indukční tok (má poto i stejnou znčku). U pemnentních mgnetů si poto mgnetické množství můžeme předstvit jko mtemtický zdoj indukčního toku mgnetu. Příkld 3 mgnetické pole kuhové poudové smyčky Vypočtěte intenzitu indukci mgnetického pole kuhové smyčky v obecně položeném bodě n její ose ve vzdálenosti x od jejího středu. Řešení Ze smyčky si vytkneme element dl,kteývbodě (ob. 8) ve vzdálenosti budí pole intenzity dh, po jejíž velikost pltí dh = dl 4π sin π = dl 4π. Potože všechny elementy smyčky mjí od bodu stejnou vzdálenost, má intenzit od kždého elementu stejnou velikost dh,vškjinýsmě.ke kždému elementu dl existuje potilehlý element dl, po kteý složk dh x intenzity kolmá k ose má stejnou velikost, všk opčný smě než složk dh x. Tyto složky se poto vzájemně vyuší složky dh ve směu osy o velikosti 60 17

10 Po úpvu tohoto výzu povedeme následující dílčí výpočty s využitím vzthů (63) (64): dt u dt dt dt dt dt =, v d d dt u dt =1 c. u v Pk lze přepst výz (70) do tvu ( = 1 ) u +[F (u v )] v F F c v. Odtud po znedbání v /c dostneme výsledný vzth c F = F + 1 c [(u F )v (u v )F ]. Výz v hnté závoce lze ještě vyjádřit ve fomě dvojného vektoového součinu podle vzoce ( c)b ( b)c = (b c). V kompktním zápisu tedy pltí = + 1 F F c ), v c, u < c. (71) Toto je důležitý tnsfomční vzth mezi silou u, kteá působí n částici, (v F F pohybující se v ineciální vztžné soustvě S ychlostí F u, silou,kteápůsobí n tutéž částici pohybující se v ineciální vztžné soustvě S. Podle klsické fyziky nemůže přechodem od jedné ineciální soustvy ke duhé vzniknout nová síl. Poto je existence F příůstku k síle zhledisk klsické mechniky nepochopitelná. Reltivistická fyzik může příčinu tohoto zvětšení síly hledt v eltivnosti běhu čsu v nšem odvození je to přímý důsledek vzthů (64) po čs. N existenci tohoto příůstku lze vysvětlit vznik zákonitosti mgnetického pole. Pokud bychom se neomezovli n podmínku v c, dostli bychom obecnější složitější výz než je (71); jeho odvození důsledky z něj plynoucí lze njít v Hoákově Fyzice [4]. dl dh dl Řešení Z vodiče si vytkneme obecně položený F poudový element o délce C = dl. Velikost intenzity, kteou tento element vybudí v bodě (ob. 9) je dán výzem (15), v němž vzdálenost po náš přípd oznčíme. Jsou zde tedy tři poměnné: β,, dl. Vyjádříme je jko funkci nové O β 1 poměnné úhlu β. K tomu elementání β úsečku CD o délce dl vyjádříme jednk z tojúhelníku CD, tj. dl =dlsin( d) dl sin, dβ jednk jko kuhový oblouk příslušný úhlu dβ, tj.dl dβ. Poto můžeme dosttečněpřesněpsát dl sin = dβ. Pk C dl výz (15) přejde do tvu D dh = dl sin = cos β dβ, (3) 4π 4π d kde = cos β je dná vzdálenost bodu E Ob. 9 od přímky. ) ntenzitu mgnetického pole v bodě po vodič konečné délky EF dostneme integcí výzu (3) v mezích β 1, β,tj. β H = cos β dβ = 4π 4π (sin β sin β 1 ), (4) β 1 kde úhel β 1 je v přípdě znázoněném n ob. 9 záponý. b) Po vodič neomezené délky je β 1 = π/, β = π/; pk H = π. (5) H Tento výsledek má jednoduchý tv říká, že intenzit přímkového poudu v učitém bodě má C v jeho okolí velikost ovnou poudu dělenému délkou siločáy C pocházející tímto bodem (ob. 10). Ob. 10 Výsledek (5) pltí s jistou chybou i po vodič konečné délky ve vzdálenos

11 Pk pvní ze vzthů (6) nbude vektoového tvu ve duhém (skláním) vzthu musíme zjistit, by součin vektoů v dl sklá. Dá se dokázt, že jde o jejich postý sklání součin (v ). Tk dostáváme hledné vzthy vzthy invezní: = + v t, = v t, (63) t = t + v c, t = t v c. (64) b) Tnsfomce ychlosti Testovcí částice, jejíž pohyb je fomálně popsán ovnicemi = (t), = (t ) bude mít v uvžovných soustvách ychlosti u = dt, u = dt, d d kteé omezujeme jen podmínkou mezní ychlosti. Po njití potřebného vzthu zdeivujeme pvní ze vzthů (64): dt u =1+v dt c. (65) Pk po přihlédnutí k pvnímu ze vzthů (63) dostneme u = dt dt dt dt = u v + d 1+, (66) u c d v což je hledný tnsfomční vzth po ychlosti. V něm je v c, u<c, u <c. c) Tnsfomce hmotnosti hybnosti Z pozntků teoie eltivity si můžeme všimnout, že hmotnost částice v učitém bodě vztžné soustvy m = m 0 / 1 (v/c) se tnsfomuje stejným způsobem jko čsový intevl T = T 0 / 1 (v/c) děje, kteý v témže bodě pobíhá. Uvžujme nyní obecnější přípd, kdy se částice bude pohybovt jk v soustvě S, tk v soustvě S.Jejíhmotnostm čsovýintevlt vsm, T vs budou obdobně vázány vzthem m T = m T. (67) 56 Příkld 5 mgnetické pole tooidu Vypočtěte H intenzitu mgnetického pole tooidu o z závitech, kteým pochází poud. Tooid je cívk ve tvu nuloidu, tj. válce o poloměu podstvy, jehož os je stočen do kužnice o poloměu R. Závity jsou hustě vinuty dátem znedbtelného půměu. Vypočtěte eltivní odchylku intenzity n okjových siločáách o poloměech R +, R vzhledem k H intenzitě 0 n siločáře o středním poloměu R. Učete střední velikost H intenzity její eltivní velikost vzhledem k velikosti H 0.Odchylky vyhodnoťte numeicky po tyto přípdy: ) R =3, b)r =9. Řešení R + x R O Ob. 11 Ze zákon celkového poudu (7) zřejmě plyne, že mgnetické pole tooidu je omezeno n posto nuloidu (ob. 11), n němž je tooid nvinut. Siločáy mjí tv kužnic o poloměu R + x, kdex,. Mgnetomotoické npětí (6) sndno učíme, neboť libovolná siločá obepíná z kát poud, intenzit H má podél siločáy konstntní velikost, tedy H π(r + x) =z, neboli z H = π(r + x). (8) ntenzit n vnitřním, středním vnějším poloměu tedy je z H 1 = π(r ), H 0 = z πr, H z = π(r + ). Reltivní odchylky jsou δ 1 (H 1 )= H 1 H 0 = H 0 R, δ (H )= H H 0 = H 0 R +. Numeicky: ) δ 1 = 1, δ = 1 4,b)δ 1 = 1 8, δ = Střední hodnot intenzity se učí integcí (8) pomocí věty o střední hodnotě 1 H 0

12 Dodtky D.1 Reltivistická tnsfomce síly Odvodíme tnsfomční vzth po sílu, kteou n sebe působí dv mteiální objekty (dvě částice) ve zvolené ineciální vztžné soustvě. Pvní částice, budeme ji oznčovt jko zdojovou částici, bude vytvářet zkoumné fyzikální pole. O její ychlosti v v pozoovcí soustvě budeme předpokládt, že je ve sovnání s mezní ychlostí c (tj. ychlostí světl ve vkuu) velmi mlá (v c). Tto částice bude integovt se duhou částicí, kteou budeme oznčovt jko testovcí částice. Její ychlost u nebudeme omezovt žádnými předpokldy (jen eltivistickou podmínkou u<c). Uvedené omezení v c povede k význmnému zjednodušení tnsfomčních vzthů, všk podsttně neomezuje plikci výsledného vzthu po tnsfomci síly, zvláště v klsické ( poudové ) elektodynmice. Potože síl je dán deivcí hybnosti podle čsu, odvodíme nejpve vzth po hybnost. K tomu potřebujeme znát tnsfomční vzthy po hmotnost ychlost. ) Zjednodušení Loentzových tnsfomčních vzthů Ve speciální teoii eltivity (viz npř. [], [4], [11]) se odvozují Loentzovy tnsfomční vzthy po jednoduchý přípd vzájemného pohybu ineciálních vztžných soustv S, S, kdy soustv S se pohybuje vzhledem k soustvě S ychlostí v podél osy x (ob. 45). Reltivní jsou nejen postoové souřdnice, le i čsové souřdnice: t vs,t vs. z z y S O y S O v x x Ob. 45 udou-li počátky O, O včset = t = 0 splývt, budou mezi postoočsovými souřdnicemi x, y, z, t vsx, y, z, t vs pltit Loentzovy tnsfomční vzthy: R β +dβ E D C dβ β β 1 β x H smě poudu vzávitech dx l Ob. 1 ntegcí v mezích od β 1 do β dostáváme intenzitu mgnetického pole celého solenoidu, tedy H = z β z sin β dβ = l l (cos β 1 cos β ). (9) β 1 ntenzit bude největší, bude-li bod ležet ve středu solenoidu. Pk β 1 = π β = β 0, H 0 = z l cosβ z 0 = l +4R. (30) ude-li bod n pvém čele solenoidu, bude β 1 = ccos(l/ l + R ) z β = π/, intenzit bude mít velikost H 1 =. Stejný výsledek dostneme po bod n levém čele solenoidu. ude-li bod n ose vně solenoidu l + R budou úhly β 1, β ležet v témže kvdntu intenzit se bude se vzdlujícím se bodem ychle zmenšovt po eltivně vzdálený bod bude H 0. N ob. 13 je siločámi znázoněno celkové mgnetické pole solenoidu. Je zřejmé, že u dosttečně štíhlého solenoidu bude jeho pole ve vnitřním postou přibližně homogenní. b) Po solenoid neomezeně dlouhý bude β 1 =0,β = π po intenzitu z (9) dostneme jednoduchý výsledek H = z = n, (31) l kde n = z/l je hustot závitů, tj. jejich počet n jednotkové délce solenoidu. H 54 3

13 v plzm l d U R Ob Cykloton V klsickém kuhovém uychlovči cyklotonu jsou částice uychlovány při půchodech mezeou mezi uychlovcími elektodmi dunty připojenými ke zdoji střídvého npětí stálé fekvence (ob. 1). Doshovná ychlost enegie částic je omezen, potože v důsledku eltivistického ůstu hmotnosti částic dochází k zostávání úhlové dáhy částic z fází uychlovcího npětí. ) Jkou ychlost může získt částice v cyklotonu, nemá-li eltivní zvětšení její hmotnosti δm =Δm/m 0 překočit 1,00 %? b) Jká bude při splnění podmínky ) mximální kinetická enegie potonů (E p ), deuteonů (E d )částic (E )? c) Vypočtěte potřebnou fekvenci uychlovcího npětí po potony (f p ), deuteony (f d )částice (f ), má-li cykloton mgnetické pole o indukci =1,41 T. Řešte obecně pk po dné hodnoty δm. 3. Dynmik elektonů v elektomgnetickém poli (Podsttná část jedné úlohy n 7. MFO v Nosku v. 1996) Studujte dynmiku elektonů ve vkuovém postou mezi dvěm koxiálními válci, přičemž vnitřní má polomě vnějšíb (ob. b 44). Vnější válec je nodou (je připojen ke kldnému pólu zdoje npětí), přičemž potenciální ozdíl mezi vnitřním vnějším válcem je U. Homogenní mgnetické pole o indukci je ovnoběžné s osou válců. Elektony o klidové hmotnosti m e náboji e jsou uvolňovány z vnitřního válce (ktody). Ob. 44 ) Nejpve nechť je U 0 0, všk =. Vypočtěte jkou ychlostí elekton dopdne n nodu, je-li uvolněn z ktody se znedbtelnou ychlostí. Situce po element vodiče je znázoněn n ob. 15, kdy v pvní fázi pokusu bude element vodiče pevný mgnet (fomálně popsný mgnetickými množstvími +Φ, Φ) bude otočný. Pole vybuzené elementem vodiče bude n něj působit dvojicí sil df,df, kteá jej otočí ve směu podle mpéov pvidl pvé uky. Velikosti sil df,df nejsou stejné s ohledem n ůznou vzdálenost pólů od elementu (df < df,df df =df ). Nyní situci změníme. Mgnet nechť je pevný jeho pole má v místě poudového elementu mgnetickou indukci poudový element je pohyblivý. N poudový element bude působit síl df, kteá má podle pincipu kce ekce opčný smě než výslednice sil df,df. Poudový element se tedy vychýlí v opčném směu než sevení pól mgnetu. K učení směu působení síly df se užívá Flemingovo pvidlo levé uky: levou uku položíme n vodič tk, by psty ukzovly smě poudu indukční čáy vstupovly do dlně, pk plec ukáže smě pohybu vodiče, esp. smě síly df. dl df df N +Φ Φ S df Ob. 15 Po sílu, kteou působí pole o mgnetické indukci n poudový element bychom dostli zobecněním výsledků expeimentů výz = dl, (3) df kde křížkem je vyjádřen vektoový součin dvou vektoů. Velikost této síly je učen výzem df = dl sin (33) její smě můžeme učit tké přímo z pvidel po vektoový součin (vekto n pvém místě sklopíme do směu vektou n duhém místě po menším úhlu ve směu pstů pvé uky; plec ukáže smě poduktu, tj. df síly ). Obecný výsledek (3) se oznčuje jko mpéův zákon n počest. M. mpè, kteý se zbývl silovým působením v mgnetickém poli. R. 186 publikovl páci Teoie elektomgnetických jevů, odvozená výlučně z pokusů, 5 5

14 6. Filt ychlostí částic V přímočém svzku částic o měném náboji q/m se vyskytují částice, kteé mjí ozdílné ustálené ychlosti. Nvhněte filt ychlostí částic n mgnetickém pincipu, kteý ze svzku částic vyfiltuje částice poždovné ychlosti v Obzovk s mgnetickým vychylováním Odvoďte závislost příčné výchylky y elektonů n obzovce n mgnetické indukci vychylovcího pole (ob. 41). Je dáno: uychlovcí npětí U, m e, e, l 1, l. Po jednoduchost předpokládejte y 1 R mlý úhel (tg sin ). půměu, umístěnými ve vkuu ve vzdálenosti 1 m od sebe, vyvolá mezi vodiči sílu 10 7 N n 1 m jejich délky. Z této definice ze vzthu (35) poté můžeme vypočítt velikost konstnty μ 0 v soustvě S, kteou jsme si uvedli ve vzthu (18) bez odvození: μ 0 = πf 1 l =4π 10 7 H m 1, potože po = l =1m, 1 = =1jeF = 10 7 N. K bsolutnímu měření poudu se konstuují poudové váhy (viz npř. [4]), kteé v součsné době dovolují změřit poud s eltivní přesností ž , známe-li se stejnou (nebo lepší) přesností tíhové zychlení v místě vh. udou-li dvěm ovnoběžnými vodiči pocházet poudy ve vzájemně opčných směech, budou se odpuzovt silou o velikosti (35). udou-li mimoběžné vodiče k sobě kolmé, bude působící síl nulová. v 0 stínítko.5 Silové působení mgnetického pole n poudovou smyčku, mgnetický moment y 1 y C y R l 1 l Ob Elektony v elektomgnetickém poli ) Učete ychlost elektonů v lineáním svzku, jestliže jejich tjektoie zůstne lineání i po půchodu elektomgnetickým polem o intenzitě E =5, V m 1 mgnetické indukci =1,4 10 T, přičemž E vektoy jsou k sobě vzájemně kolmé jsou kolmé k v ychlosti elektonů. b) Vysvětlete, co nstne, budou-li ve svzku elektony i jiných ychlostí, než jsou ychlosti vypočtené v bodě ). Jk se dá jevu využít? c) Vypočtěte polomě tjektoie elektonů po situci, E kdy 0 =. 9. Hllov sond po měření mgnetických polí Máme nvhnout Hllovu sondu po měření mgnetických polí. K tomu máme k dispozici: D z F F O m sin F F b x Ob. 17 Uvžujme nejpve obdélníkovou smyčku CD o stnách, b (ob. 17) s poudem, kteá je vložen do pole o mgnetické indukci tk, že stny, CD jsou ovnoběžné s osou z vekto má smě osy y. Nomáloviny smyčky svíá s osou y úhel. NstnyC, D působí síly F téže velikosti opčného směu potože působí v téže přímce, jejich účinek se vyuší. N stny, CD působí dvojice sil F stejné velikosti opčného směu, kteá n meni sin působí momentem síly o velikosti 50 7

15 0. Kuhová poudová smyčk v mgnetickém poli Přímým výpočtem ověřte pltnost výzu (37) po přípd kuhové smyčky o poloměu, kteou pochází poud. Smyčk se nchází v mgnetickém poli o indukci, jehož indukční čáy leží v ovině smyčky. nulový i po = π. V tomto přípdě všk jde o lbilní polohu smyčky (ob. 19c), kteá se i při neptném vychýlení přeství do stbilní polohy (ob. 19b). 1. Kmity pstence s poudem v mgnetickém poli Je dán tenký kuhový koužek (pstenec) o hmotnosti m, doněhožjenindukován poud. Pstenec umístíme do mgnetického pole o indukci vychýlíme o mlý úhel (sin ) z ovnovážné polohy. Vypočtěte úhlovou fekvenci kmitů pstence. m ) b) c) m m Ob. 19. Npínání poudové smyčky v mgnetickém poli Kuhová smyčk o poloměu = 300 mm z měděného dátu, kteý má příčný půřez o obshu S 0 = 1,00 mm se nchází v mgnetickém poli o indukci =,50 T. Smyčkou pochází poud =15,0. ) Vypočtěte moment síly, kteý bude smyčku ntáčet v její výchozí poloze, kdy indukční čáy budou ležet v ovině smyčky. b) Působením momentu síly se smyčk ntočí do směu, kdy siločáy budou kolmé k ovině smyčky (její mgnetický m moment bude mít stejný smě jko ). Vypočtěte: ) sílu N, kteou je npínán dát. β) mechnické npětí σ v dátě, jeho potžení Δl zvětšeníδ poloměu smyčky, je-li modul pužnosti mědi E m =1, P. 3. Glvnomet Ručkový měřicí přístoj n stejnosměný poud (glvnomet) sestává z pemnentního mgnetu, kteý vytváří homogenní mgnetické pole, kteé má v místě otočné cívky indukci (ob. 39). Cívk o stnách l má z závitů, kteé jsou nvinuty n úzkém ámečku. Poud se přivádí k cívce pomocí zkutných pužinek, jejichž celková tozní tuhost k t je znám (k t = M/). ) Vypočtěte moment mgnetické síly působící n cívku při půchodu poudu, jeli její ovin pootočen o úhel vzhledem k indukčním čám. b) Poti momentu mgnetické síly působí vtný moment zkutných pužinek. Odvoďte funkci = (). N S l Ob. 39 Příkld 7 potenciální enegie poudové smyčky Vypočtěte potenciální enegii poudové smyčky v mgnetickém poli o indukci. Smyčk je ovinná o plošném obshu S pochází jí poud. Znulovou hldinu enegie volte polohu smyčky, v níž má její mgnetický moment stejný smě jko. Enegii vypočtěte po obecnou polohu smyčky popsnou úhlem, kteý svíjí vektoy S,. Učete její mximální hodnotu. Řešení ude-li ploch S smyčky odchýlen od směu o úhel, bude n ni působit moment síly (37). Zvětšíme-li tento úhel o d, musíme vykont páci dw = Md, kteá se pojeví příůstkem potenciální enegie de p. Změně úhlu od 0 do tedy odpovídá vzůst potenciální enegie n hodnotu E p = 0 Md = S Enegie bude mximální po = π, pke pmx =S..6 Loentzov síl 0 sin d = S(1 cos ). (39) Původní Mxwellov teoie elektomgnetismu byl kontinuální (spojitá), v přípdě mgnetismu šlo o účinek spojitých elektických poudů. Když byl objeven v nositel elementáního náboje elekton, vystoupil do popředí částicová stuktu látky. poud byl chápán jko tok (velkého množství) jednotlivých nbitých částic. Přepcování Mxwellovy mkoskopické elektomgnetické teoie n mikoskopickou elektonovou teoii se. 189 ujl holndský fyzik H.. Loentz ( ). 48 9

16 13. Elektomgnetické pole otujícího nbitého kuhu Mějme ovnoměně nbitý kuh o poloměu R, n němž se nchází náboj Q, kteý ovnoměně oztočíme úhlovou ychlostí ω kolem osy pocházející středem kuhu kolmo n něj. V okolí kuhu vznikne elektomgnetické pole. Vypočtěte E intenzitu H jeho elektické mgnetické složky v bodě n ose kuhu ve vzdálenosti x>0 od jeho středu. Jké budou intenzity po x 0? 14. Mgnetické pole ploché cívky ) Vypočtěte mgnetickou indukci ve středu ploché cívky (vytváří se npř. pomocí destičky po tištěné spoje), kteá má mezi poloměy 1, z závitů chimédovy spiály (ob. 35). b) Vypočtěte mgnetický moment cívky. O 1 Ob. 35 R O Ob Mgnetické pole poudu ve vodiči tvu žlbu Vypočtěte indukci mgnetického pole, kteé vytváří poud ve vodiči ve tvu dlouhého polokuhového tenkého žlbu o poloměu R (ob. 36). Řešte po bod ležící n ose ve středu žlbu. 16. Poudová ovin Vypočtěte intenzitu mgnetického pole v okolí poudové oviny (ob. 37), kteou pochází plošný poud o délkové hustotě J; [J] = m 1. ) Řešte užitím zákon celkového poudu. b) Poveďte kontolu přímým odvozením užitím výsledku po přímkový poud. neboli polomě šoubovice (tj. polomě pomyslného válce, n němž je nvinutá ) je = m pv cos β. e β y e, m p F v v v z Dob, z kteou poton poběhne jeden závit šoubovice, je h T = π v = πm p e. Stoupání šoubovice tedy je h = v T = πm pv sin β. e Mezi vypočtenými pmety, h šoubovice pltí vzth h =π tg β. x Ob. 0 Pomě tedy nezávisí ni n chkteistikách částice, ni pole je dán pouze směem vstupu částice do pole v souldu s geometií šoubovice. Příkld 9 cykloton K uychlování nbitých částic, zejmén potonů, deuteonů helionů (částic ) mldý meický fyzik E. O. Lwence ( ) nvhl. 193 elizovl pvní kuhový uychlovč cykloton. Jeho schém je n ob. 1. Mezi póly silného elektomgnetu, kteý vytváří homogenní mgnetické pole 46 31

17 ) b) ) b) c) Ob. 30 Ob Poudová smyčk Dlouhý tenký přímý vodič, kteým pochází poud, je ohnut do smyčky ve tvu podle ob. 3: ) ovnostnného tojúhelníku, b) čtvece, c) pvidelného šestiúhelníku, d) kužnice. Je dán ozmě. Vypočtěte intenzity mgnetického pole ve středech smyček poovnejte je. Řešení ) Uychlením získl deuteon kinetickou enegii E k =15MeV=, J. Klidová enegie deuteonu je E 0 = m 0 c = 3, J = 1880 MeV =. 15E k. Hmotnost uychleného deuteonu je m = m 0 +E k /c. =1,008m0. ěhem uychlení se zvětší o 0,8 %, což můžeme při přibližném výpočtu znedbt. b) Zkřivení tjektoie je způsobeno dostředivou mgnetickou silou. Po částici onábojie hmotnosti m 0 pltí: ev = m 0v, ω = v =πf 0 = e, f 0 = e =1, Hz. m 0 πm 0 c) ěhem jednoho oběhu je deuteon uychlen dvkát. V optimálním přípdě je počet oběhů N = E k U m e = 15 MeV. =47. 0,3 MeV V postou duntu je tjektoií půlkužnice, po níž se deuteon pohybuje stálou ychlostí, n kteou mezi dunty nvzuje kátká tjektoie blízká úsečce (n ní se zvětší ychlost deuteonu) poté dlší půlkužnice o větším poloměu. Poces se cyklicky opkuje ž k poslední půlkužnici o poloměu 0, n níž má deuteon ychlost v 0. Částice (deuteon) se tedy pohybuje po spiále, kteá všk není chimedovou spiálou. d) Podle předstv klsické fyziky: v 0 = E k =3, m s 1, 0 = v 0 = m 0v 0 m 0 πf 0 e = Ek m 0 =0,565 m. e ) b) c) d) Ob. 3 e) Reltivistickým výpočtem dostneme po konečnou ychlost deuteonu, polomě poslední kužnice konečnou fekvenci obíhání: ( ) v 0 m0 = c 1 = c m E =3, m s 1, k m 0 c 0 = mv 0 e =0,566 m, f = e πm = e m 0 πm 0 m = f m 0 0 m = f 0 1+ E =0,99f 0 =1, Hz. k m 0 c 44 33

18 4 Úlohy 1. Odpo vzoku polovodiče Uvžujme vzoek polovodiče o vodivosti γ, kteý má tv dutého válečku délky l. Jednu elektodu vzoku tvoří vnitřní povch dutiny o poloměu 1 duhou elektodu plášť válečku o poloměu. Vypočtěte jeho odpo.. Zkt n stožáu VN Předpokládejte, že stožá vysokého npětí je uzemněn postřednictvím zákldu, kteý po jednoduchost budeme povžovt z půlkulovou zemnicí elektodu o poloměu = 800 mm (ob. 7). Měná vodivost zeminy je γ =0,01 Ω 1 m 1 poud při zktu = 100. ) Stnovte funkci ϕ = ϕ(), přičemž volte ϕ( ) = 0. b) Vypočtěte zemnicí odpo R z stožáu ztátový výkon P z při zktu. c) Stnovte funkci U k = U k () potzv. kokové npětí, tj. npětí, kteé přísluší délce koku Δ k = 0,80 m při k Δ chůzi ke stožáu ve zktu. Vypočtěte ϕ() ϕ( +Δ k ) jeho velikost po =10m1,0 m. Ob Mxwellův poud, vybíjení kondenzátou J. C. Mxwell dostl plnohodnotnou soustvu difeenciálních ovnic elektomgnetického pole, ž do pvní z nich zvedl hustotu posuvného poudu, kteý se dnes oznčuje jko poud Mxwellův. Tento poud Mxwell zvedl n zákldě hypotézy, že všechny elektické poudy jsou uzvřené, tedy, že vodivý (kondukční) poud ve vodiči pokčuje i v dielektiku nebo ve vkuu jko poud posuvný (Mxwellův). ) Vypočtěte Mxwellův poud jeho hustotu n jednoduchém příkldě deskového kondenzátou o kpcitě C, nbitého n npětí U 0, jehož desky poté popojíme dátem o ohmickém odpou R. Kždá z desek kondenzátou má plošný obsh S, jejich vzájemná vzdálenost je d 0 pemitivit postředí ɛ. b) Odvoďte vzth, podle kteého se bude měnit npětí n deskách kondenzátou vodivý poud při vybíjení kondenzátou. F když m + F e =,tedykdyžpltíovnostev = ee 0 H, kde velikost intenzity E H můžeme vyjádřit pomocí npětí: E H = U H /b. Tk po Hllovo npětí dostneme U H = bv = b en 0 S = 1 en 0 d, (43) když jsme z diftovou ychlost dosdili z výzu (4) uvážili, že S = bd. Poovnáme-li výsledky (4), (43) vidíme shodu, přičemž po Hllovu konstntu vychází R H = 1. (44) en 0 Výsledek (43) byl odvozen po elektony jko volné nositele náboje expeimenty potvzují, že pltí po kovy. Obecněji lze vzth po Hllovu konstntu psát R H =, [R H ]=m 3 C 1 =m 3 1 s 1, (45) qn 0 kde q je náboj jejich volných nositelů (je kldný nebo záponý, u elektonů je q = e). Číselný koeficient leží mezi 1. Po kovy iontové kystly z nízkých teplot je =1,00, po iontové kystly při vysokých teplotách je =1,10. Po vodivé vlenční kystly při mlé koncentci cizích iontů je =1,18, při vysoké koncentci těchto iontů je =1,93. Rozhodující vliv n velikost Hllovy konstnty má veličin n 0, tedy počet volných nositelů náboje v jednotkovém objemu. U vodičů je tento počet znčný (viz příkld 1), u polovodičů je význě menší. Hllov konstnt po jednomocnou měď (výpočtem užitím výsledků příkldu 1) je R H = 7, m 3 C 1. Kdežtonpř.povizmutjeR H = m 3 C 1, tj. hodnot 1, kát větší. Je to dáno tím, že u polovodičů (s mlou hustotou nositelů volného náboje) se doshuje těchže poudů jko u vodičů podsttně většími diftovými ychlostmi vznikjí tm tudíž větší mgnetické síly. Hllův jev má velký význm po výzkum polovodičů; měřením Hllovy konstnty lze studovt mechnismus jejich vodivosti, Hllových sond se využívá ovněž po měření mgnetických polí. Hllovo npětí (4) je přímo úměné velikosti mgnetické indukce. Výsledek (4) byl odvozen z předpokldu, že je kolmá k ovině pásku Hllovy sondy (ob. ). Můžeme tedy tké stnovit smě tk, že v učitém místě pole ntáčíme sondu tk, by npětí n příčných kontktech dosáhlo mxim, tj. hodnoty U H je pávě.pk kolmé koviněpásku. Hllovy sondy se ovněž užívá jko bezkontktního mpémetu, násobícího obvodu, měniče zesilovče stejnosměných poudů podobnosti lze njí npř. v Hoákově Fyzice [4]. 4 35

19 diftovou ychlostí = v dt. (56) dl Vyšetřme nyní elektickou mgnetickou složku elektomgnetického pole elementu vodiče v pozoovcí soustvě pevně spojené s vodičem. Potože dq = dq, bude mít výsledné elektické pole v bodě de výslednou intenzitu: v = = 0. de +de Mgnetické pole může podle (51) způsobit pouze náboj, jehož usměněná ychlost je v pozoovcí soustvě nenulová. Je zřejmé, že tuto vlstnost má v pouze volný náboj dq, jehož diftová ychlost vzhledem k vodiči v je pávě. Mgnetické pole v bodě bude mít tedy indukci d, kteou vypočteme ze vzthu (51), nhdíme-li zde veličiny, Q jejich difeenciálními hodnotmi d, dq uvážíme-li výzy (55) (56). Pk běžných poměech v měděném vodiči je přibližně 10 1 kát menší než ychlost světl ve vkuu. Můžeme tedy s velkou přesností použít v dodtku odvozený vzth (71). Zdojovou částici o náboji Q umístíme do počátku ineciální vztžné soustvy S (ob. 3). Ve své klidové soustvě S bude vytvářet elektosttické pole, kteé bude působit n kždou jinou částici q silou (46): S F = qq 0 4πε 0 = qq 0 4πε 0 = F e. (47) S F m F e = μ 0dQ d 4π )= μ 0 4π ). (57) (dl (v u q v Toto je klsický iotův-svtův-lplceův zákon, kteýjsmeuvedli v čl..1 jko důsledek zobecnění výsledků expeimentů. Zde jsme k tomuto výzu dospěli z eltivistické tnsfomce Coulombovy síly. Můžeme poto o mgnetismu hovořit jko o nejlépe nejdéle známém eltivistickém jevu (i když to bylo poznání z toho hledisk nevědomé). b) mpéův zákon Ukážeme nyní, že i dlší zákldní zákon klsické elektodynmiky mpéův zákon plyne přímo dl z eltivistické tnsfomce Coulombovy síly. Vyšetříme tedy působení mgnetického pole indukce (o jeho zdoji nic nepředpokládáme) n poudový element (ob. 6). Podle výzu dl (50) bude mgnetické pole působit jen n náboj, jehož diftová df ychlost (u v 0 pozoovcí soustvě je nenulová ). Tuto vlstnost má v přípdě nší soustvy nábojů jen Ob. 6 volný náboj dq = dt, (58) kteý se v elementu vodiče pohybuje diftovou ychlostí = dl u dt. (59) O v O Q 0 Ob.3 =, tj. vzdálenost mezi částicemi Zdejsmepoložili neuvžujeme závislou n pohybu soustvy (znedbáváme eltivistické efekty s členy v/c ve duhé vyšší mocnině, tím i efekt kontkce délek). Po pozoovtele, kteý přejde z klidové soustvy náboje Q (tj. S ) do ineciální soustvy S, v níž se soustv S sníinábojq v pohybuje stálou ychlostí, se změní působení mezi náboji. Je nutné povést tnsfomci síly podle (71). V soustvě S se bude náboj Q pohybovt ychlostí nábojq ychlostí u. V soustvě S pk nměří pozoovtel v mezi částicemi sílu = qq [ F 4πε ] c ) = F e + F m. (48) V soustvě S tedy přistupuje k elektosttické síle u (v F e ještě síl F m,kteou můžeme npst ve tvu Q F m = qu 4πε 0 c ). (49) Tto síl závisí n ychlosti obou částic v pozoovcí soustvě S (tj. (v pojevuje se jen u nábojů v pohybu). Má obecně jiný smě než síl elektosttická

20 Nemá povhu obvyklých elektických sil, kteé působí i n náboje v klidu. Je vlstní podsttou mgnetických jevů (jk uvidíme dále). Poto se nzývá silou mgnetickou. Výz (49) se může psát ve tvu F m qu =, (50) kde jsme zvedli novou veličinu Q = 4πε 0 c )= μ 0Q 4π ), (51) (v (v přičemž fomálně oznčená nová konstnt μ 0 = 1 ε 0 c (5) je pemebilit vku. Vzth (5) je shodný se vzthem (18), ke kteému se ovšem dopcovl Webe ž n zákldě náočných expeimentů. Veličin popisuje vektoové pole, kteé je zcel učeno pohybem zdojové částice Q. Pole se nzývá pole mgnetické (název má histoický původ). Vekto je veličin známá z elektomgnetismu: mgnetická indukce. Z výzu (51) je ovněž zřejmý vzth mezi mgnetickým elektickým polem: = 1 (v E ). (53) c Odtud plyne, že mgnetické pole pohybujícího se náboje vzniká existuje součsně s elektickým polem. Vekto je v kždém bodě pole kolmý k vektoům, (ob. v 4). E Potože součin v kulté závoce výzu (53) je vynásoben převácenou hodnotou E duhé mocniny ychlosti světl ve vkuu, přispívá mgnetické pole k silovému působení n elektický náboj mnohem méně než pole elektické. Vzhledem k elektickému Q poli je v mgnetické pole eltivistickým efektem duhého řádu. Poto se mgnetické pole může význě silově pojevit jen v přípdech, kdy je elektické pole soustvy částic význmně zeslbeno nebo zcel vzájemně kompenzováno, jk je tomu u vodičů, Ob. 4 kteými pochází elektický poud. 38 Zvedeme-li intenzitu E elektického pole mgnetickou indukci podle výzu (51), můžeme výsledek (48) přepst do tvu = q(e + u ) F F L, (54) což je Loentzov síl, známá z klsické elektodynmiky viz výz (41), ve kteém je ovšem z čistě fomálních důvodů oznčen ychlost v částice. 3.3 Klsické zákony elektodynmiky z hledisk teoie eltivity ) Zákon iotův-svtův-lplceův N zákldě výsledků minulého článku vyšetřme elektomgnetické pole mkoskopického elektického poudu ve vodiči, to vně vodiče. Vodič předstvuje soustvu nbitých částic. Jsou to jednk volně pohyblivé částice (npř. ionty, kteé jsou u kovů vázány v kystlické mříži). Celkový náboj této soustvy částic je nulový, tkže vodič je v nomálním stvu elekticky neutální. Připojíme-li vodič k vnějšímu zdoji elektického pole, zčne sttisticky neuspořádný pohyb volných nositelů náboje překývt jejich usměněný diftový pohyb ve směu vnějšího pole vzniká mkoskopický poud. Uvžujme element vodiče dl (ob. 5), n němž je volný náboj dq. Oznčíme-li u kovového vodiče n 0 počet volných elektonů (kždý o náboji e)vjednotkovém objemu S obsh příčného půřezu vodiče, bude dq = en 0 Sdl. Náboj stejné velikosti, všk opčného znménk, tedy dq = dq, mjíionty v kystlické mříži. dq dq dl 0 v ude-li pocházet vodičem poud, pojde půřezem jeho délkového elementu z dobu dt náboj dl dq = dt (55) 39 de d de Ob. 5