Po prostudování tohoto odstavce budete umt porozumt konstrukci F-pomru rozhodovat se pomocí testu zvaného analýza rozptylu

Transkript

1 3 JEDNOFAKTOROVÁ ANOVA as e studu aptoly: 60 mut Cíl Po prostudováí tohoto odstavce budete umt porozumt ostruc F-pomru rozhodovat se pomocí testu zvaého aalýza rozptylu zostruovat tabulu ANOVA provést post hoc aalýzu Výlad: V pedcházejících aptolách jsme se voval mmo jé taé jedovýbrovým a dvouvýbrovým testm stedí hodoty. Rozšíeím tchto test je aalýza rozptylu ebol ANOVA, terá ám umožuje srovávat ol stedích hodot ezávslých áhodých výbr. My se budeme zabývat tzv. jedofatorovou ANOVOU (ANOVOU p jedoduchém tídí. Na tomto míst je pa teba zmít požadavy parametrcého testu, terý budeme dále užívat. Aalýza rozptylu (ANOVA, ANalyss Of VArace ve své parametrcé podob pedpoládá ormaltu rozdlí a tzv. homosedastctu (detcé rozptyly. Poud tyto podmíy ejsou sply, je teba použít eparametrcý Krusal-allsv test, terý je obdobou jedofatorového tídí v aalýze rozptylu. Na rozdíl od parametrcého testu epedpoládá ormaltu rozdleí, jeho evýhodou je pa meší ctlvost. Aalýza rozptylu tedy pedstavuje rozšíeí možostí procedury zvaé testováí hypotéz o stedí hodot (jde o vícevýbrový test stedí hodoty. Pro lustrac s uveme motvaí pílad, jež ás provede touto aptolou. Naším úolem je porovat úspšost absolvet gymáz, PŠ a odborých ulš s maturtou (OU u pjímací zoušy z matematy. Protože tyto typy šol reprezetují studet rzých šol (eí gymázum jao gymázum, s rzým studjím výsledy a rzým adáím a matematu, a taé vlvem dalších eodstratelých za, bodové hodoceí zástupc jedotlvých typ šol za olísá. Dosažeé výsledy áhod vybraých patáct studet jsou uvedey v ásledující tabulce

2 Gymázum PŠ OU Pílad je specfcý v tom, že poet pozorováí v jedotlvých výbrech je totožý, což emusí být splo. V závru aptoly proto provedeme zobecí výsled pro pípad s rzým potem pozorováí v jedotlvých výbrech (tídách. 3. Jedofatorová ANOVA pro stejý poet pozorováí v jedotlvých výbrech 3.. Rozptyl mez tídam Nejdíve se budeme zabývat otázou, zda výsledy studet se opravdu lší podle toho jaý typ stedí šoly absolvoval. Nebol jsou prmry jedotlvých výbr (tíd rozdílé vlvem rzých stedích hodot píslušých populací, ebo lze rozdíly mez prmry píst a vrub áhodému olísáí? Je teba testovat hypotézu H 0 : µ µ µ 3, de je stedí bodové hodoceí pjímacích zouše z matematy absolvet gymáza, je stedí bodové hodoceí pjímacích zouše z matematy absolvet PŠ, 3 je stedí bodové hodoceí pjímacích zouše z matematy absolvet OU. v alteratv: H A : H 0 (eplatí H 0 Test této hypotézy vyžaduje v prví ad vatfac rozdíl výbrových prmr Vhodým vatfátorem je jejch rozptyl, tzv. rozptyl mez tídam (.. (, de je poet tíd (v ašem pípad je 3, je poet pozorováí v jedotlvých tídách (v ašem pípad je 5, N je celový poet pozorováí je prmr -tého áhodého výbru (-té tídy, je celový prmr (prmr všech hodot, což je taé prmr prmr j j j j j j N

3 V souvslost s ANOVOU se mohdy setáváme s pojmem meztídí souet tverc. (ebol meztídí varablta ( V ašem pípad: ( Gymázum PŠ OU ( 0 ( ( ( 3, 0 ( 30, Rozptyl uvt tíd Rozptyl mez tídam (typy šol vša eposytuje dostateou formac, ebo eposthuje olísáí v jedotlvých výbrech. Pro ujasí s problému srovejte údaje ve dvou ásledujících tabulách prví z ch uvádí bodové hodoceí áhod vybraých studet, druhá tatéž, avša výsledy ve druhé tabulce vyazují zaé olísáí v rámc jedotlvých typ šol. Rozptyly mez tídam jsou pro oba pípady totožé!!! Gymázum PŠ OU Gymázum PŠ OU ( 0 ( ( (

4 Na výše uvedeých obrázcích vdíme, že výsledy studet uvedeé ve druhé tabulce jsou atol estálé, že všechy t výbry lze zísat z jedé populace. Ja mžeme mt olísáí uvt tíd? Je zejmé, že vhodým mítem bude rozptýleost. pozorovaých hodot v rámc jedotlvých výbr. Mluvíme o rozptylu uvt tíd ( j j j j ( ( N ( N, de je výbrový rozptyl -tého áhodého výbru (-té tídy: ( j Obdob jao u meztídího srováváí, používáme pojem vtí souet tverc (ebol. vtí varablta ( j ( j ouet meztídí a vtí varablty ozaujeme jao celový souet tverc (ebol. celová varablta ( V ašem pípad: TOTAL TOTAL + TOTAL j ( j ( j j j ( j N ( ( ( ( ( ,8 ( j j TOTAL + 94,0 30,0 + 94,0 4, Testovací rtérum F-pomr (F-rato Položme s yí zásadí otázu. Je rozptyl mez tídam ( rozptylu uvt tíd ( velý?? Nebol je pomr dostate velý vzhledem ž se zoumá epatr modfovaý pomr, terý se azývá F-pomr, a poest zámého aglcého statsta Roalda Fshera (890-96:

5 F rato je v tatel uvedeo proto, aby se hodota F pohybovala olem. Neí-l H 0 pravdvá (stedí hodoty ejsou stejé, pa bude relatv velé v pomr F bude mohem vtší ež. ím vtší je F, tím mé je H 0 pravdpodobá. F-pomr má Fsher-edecorovo rozdleí s potem stup volost pro tatele (- a pro jmeovatele (N- a Abychom test mohl doot, zbývá ám staovt s zpsob výpotu p-value pro ANOVU. Z defce p-value (vz. obráze je zejmé, že: p value F ( F rato Oblast platost H 0 pozorovaá hodota statsty F-pomr Dooeme yí ešeí ašeho píladu. Url jsme, že: pa 3,0, 7, 8, 5 x O F 5 3,0 8,3 7,8 F-pomr má Fsher-edecorovo rozdleí s (3- stup volost pro tatele a (3.(5- stup volost pro jmeovatele. V tabulách pro Fsher-edecorovo rozdleí (Tabula 4 ajdeme, že: a proto 0,990 < F(8,3 < 0,999 0,00 < F(8,3 < 0,00 0,00 < p value < 0,00 Na 5% -í hlad výzamost tedy mžeme ulovou hypotézu zamítout a tvrdt, že stedí hodoty bodového hodoceí u pjímacích zouše z matematy ejsou pro absolvety uvedeých tí typ Š stejé, tz., že úspch u pjímacích zouše z matematy závsí a typu absolvovaé Š

6 3..4 Tabula ANOVA Výpoty, teré jsme dosud provádl ru, lze mohem sadj sledovat, uspoádáme-l je do tabuly stadardího tvaru. Tyto tabuly azýváme tabuly ANOVA. Uvedeme s tabulu ANOVA obec pro stejé rozsahy výbr a orétí tabulu vygeerovaou pro áš pílad v software tatgraphcs (dopll jsme esé popsy. Zdroj promlvost ouet tverc tup volost Meztídí (fator ( Prmrý tverec Testová stat. F-pomr P-value Vtí (rezduálí j ( j N N F rato ( F rato F Celový TOTAL j ( j N V prvím sloupc uvádíme možé zdroje promlvost jedotlvých pozorováí. Vzhledem tomu, že se zabýváme jedofatorovou ANOVOU, je zde uvede jede hlaví zdroj (fator, což byl v ašem pípad typ Š zpsobující rozdíly mez jedotlvým tídam a ostatí zdroje jsou zahruty do druhé supy ozaeé rezduálí. Rezduálí zdroje ebyly detfováy a jsou tudíž píou áhodého olísáí uvt tíd. Vydlíme-l aždý souet tverc píslušým potem stup volost, dostaeme prmrý tverec, eformál azývaý rozptyl. Rozptyl mez výbry (šolam je vysvtle fatem, že jedotlvé výbry pocházejí z rzých populací (šoly mají rzou úrove matematcých dovedostí u absolvet. Rezduálí rozptyl v jedotlvých výbrech eí vysvtle, ebo jde o rozptyl zpsobey áhodým vlvy. F-pomr je pa dy popsová jao pomr vysvtleého a evysvtleého rozptylu: Vysvtleý rozptyl ( : Nevysvtleý rozptyl ( :, N, F-pomr: F rato Z toho lze usuzovat a možost zesíleí jedofatorové ANOVY. Pedpoládejme apílad, že evysvtleý rozptyl byl z velé ást zpsobe rozdílou úrov Š v jedotlvých

7 mstech. Poud bychom doázal odstrat rozdíly v úrov šol v jedotlvých mstech, pa by se evysvtleý rozptyl sížl a tím by se zvýšla hodota F-pomru. Tz., ml bychom sljší argumet pro zamítutí H 0. chopost rozpozat vlv jedoho zau (šoly lze tudíž posílt zavedeím dalšího zau (msta pro vysvtleí ást evysvtleého rozptylu. Tímto problémem se zabývá dvoufatorová ANOVA (ANOVA p dvojém tídí. Dvoufatorovou ANOVOU se zabýváme ve tatstce II. 3. Jedofatorová ANOVA obec (pro estejé rozsahy výbr Nech máme -áhodých výbr (tj. výbry z populací, teré jsou a sob ezávslé. Nech tyto áhodé výbry pochází z ormálích rozdleí se stejým rozptylem: ( (... (,,, N,...,,...,,..., N( µ, σ N( µ, σ N( µ, σ, ech poet pozorováí v -tém áhodém výbru 3.. Formulace problému: Je teba testovat hypotézu H 0 : µ µ... µ µ v alteratv : H A : eplatí H 0 Chceme rozhodout o H 0 a zálad jedoho testu. Proto se pousíme alézt taovou testovou statstu, terá eje umoží mplemetac H 0, ale je ctlvá a platost H Zobecé defí vztahy Defujme totálí souet tverc (totálí varabltu jao TOTAL j (, de je výbrový prmr ze všech pozorovaých hodot. Teto totálí souet tverc mžeme sado rozložt a složy: de TOTAL j j j ( +, TOTAL... vtí varablta: ( ( j j

8 pemž je výbrový rozptyl -tého áhodého výbru (-té tídy: je prmr -tého áhodého výbru (-té tídy:... meztídí varablta: de celový prmr : (, j j j N j (, j (všmte s že celový prmr jž eí prostým prmrem prmru s váham, ale je vážeou formou Zavedeme ásledující prmré souty tverc (eformál rozptyly: Vtí prmrý souet tverc (vtí výbrový rozptyl: Meztídí prmrý souet tverc (meztídí výbrový rozptyl: N Vlastost tchto výbrových rozptyl: Vtí výbrový rozptyl je estraým odhadem rozptylu, ezávsle a H 0. E N [ ] ( ( ( E E ( σ N ( N σ N N Meztídí výbrový rozptyl je estraým odhadem rozptylu práv dyž platí H 0. E[ ] σ dyž platí H 0 Mohl bychom doázat, že E[ ] σ + ( E E, z ehož bezprosted vyplývá ásledující evvalece: σ E dyž platí H 0 σ Položíme F Defce: Tuto statstu F azveme F-pomr

9 Prvodce studem: Výlad: Abychom mohl F-pomr v dalším prbhu testu použít jao testovou statstu (a tím ulové rozdleí, musíme zát její statstcé chováí, tedy její rozdleí pravdpodobost. F-pomr má Fsher-edecorovo rozdleí s potem stup volost pro tatele (- a pro jmeovatele (N- Zájemcm yí doážeme, že F-pomr má Fsher-edecorovo rozdleí. Víme, že ( ( N N χ σ σ, protože ( χ σ, dále je zámo, že souet áhodých vel, teré mají rozdleí χ, je opt áhodou velou stejého typu, s potem stup volost daým soutem stup volost sítaých vel. Podobou úvahou lze proázat, že poud platí H 0, pa: ( ( s χ σ σ σ Poud tedy platí H 0, potom víme (ze zalostí o Fsherov-edecorov rozdleí, že: N F N N, ( ( σ σ Poud záme statstcé chováí F-pomru, lze to využít pro úely posouzeí a rozhodutí výše uvedeého problému v podob H 0. Následující obráze lustruje použtí F-pomru pro úely rozhodováí o platost hypotézy H 0. Z defce p-value (vz. obráze je zejmé, že:

10 p value F ( F rato Oblast platost H 0 pozorovaá hodota statsty F-pomr 3..3 Tabula ANOVA Jedotlvé mezvýsledy, provádé v prbhu aalýzy rozptylu, jsou prbž a systematcy zazameáváy v tabulce ANOVA: Zdroj promlvost ouet tverc tup volost Meztídí (fator ( Prmrý tverec Testová stat. F-pomr P-value Vtí (rezduálí j ( j N N F rato ( F rato F Celový TOTAL j ( j N ešeý pílad: Pro lustrac statstcého chováí F-pomru uvažujme t datové soubory. Ve všech jsou stejé výbrové prmry v rámc -té populace, avša rozptyly se lší. Poud vtí výbrový rozptyl je malý, F-pomr je velý, poud je aopa vtí výbrový výbrový rozptyl, ormálí a velý rozptyl velý, F-pomr je malý. Datové soubory ta lustrují t pípady: malý vtí

11 Datový soubor : Malý vtí výbrový rozptyl H 0 : µ µ II µ III H A : eplatí H 0 I µ IV Výbr I II III IV 4 7,5 68, , , ,5 0, , ,5 4 35,5 6, ,5 37, Rozsah výbru Prmry 37,0 7,0 6,0 43,0 Výbrové rozptyly 33,4 3,8 36,7 7,7 Rozhodutí: Zamítáme ulovou hypotézu, tz. daé 4 výbry epocházejí z jedé populace, jejch stedí hodoty se statstcy výzam lší. (Rozptyl mez tídam je podstat vtší ež rozptyl uvt tíd

12 Datový soubor : Normálí vtí výbrový rozptyl Výbr I II III IV Rozsah výbru Prmry 37,0 7,0 6,0 43,0 Výbrové rozptyly 33,7 55,0 46,9 0,9 Rozhodutí: Zamítáme ulovou hypotézu, tz. daé 4 výbry epocházejí z jedé populace, jejch stedí hodoty se statstcy výzam lší. (Rozptyl mez tídam je podstat vtší ež rozptyl uvt tíd

13 Datový soubor 3: Velý vtí výbrový rozptyl Výbr I II III IV Rozsah výbru Prmry 37,0 7,0 6,0 43,0 Výbrové rozptyly 03,4 495,0 3, 998,0 Rozhodutí: Nezamítáme ulovou hypotézu, tz. daé 4 výbry pocházejí z jedé populace, jejch stedí hodoty se statstcy výzam elší. (Rozptyl mez tídam je srovatelý s rozptylem uvt tíd

14 Výlad: 3.3 Post Hoc aalýza (víceásobé porováváí Pedchozí pílad pouázal a to, že velý F-pomr duje exstec výzamých zm mez populaím výbrovým prmry. Naše aalýza by ale byla eompletí, poud bychom edetfoval, teré z populací sgalzují výzamou odchylu prmru. Teto další proces se azývá post hoc aalýza a spoívá v porováváí prmr všech dvojc populací. Pro tato víceásobá porováváí exstuje ol metod. V rámc tohoto výladu se omezíme je a tu ejjedodušší z ch, tzv. LD-metodu (zameá zratu výrazu Lest gfcat Dfferece. Tato metoda spoívá v aplac dvouvýbrového t-testu pro aždý pár výbrových prmr. Místo stadardího dvouvýbrového tudetova t-testu vša použjeme poud upraveý t-test, založeý a LD statstce: Pro -tý a j-tý výbr defujeme ásledující testovou statstu (LD,j : ( LD, j j tn + j ado lze zdvodt, že tato statsta má tudetovo rozdleí s (N- stup volost. ešeý pílad: LD metodu lustrujeme pro t pedchozí pílady: Datový soubor : Malý vtí výbrový rozptyl Zamítl jsme ulovou hypotézu, proto provedeme post hoc aalýzu. Vypoteme statsty (LD,j pro všechy uvažovaé dvojce daých ty populací a hodoty zazameáme do ásledující tabuly: I II III IV I 0-7,8 9,698,333 II 7,8 0 7,064 9,73 III , ,754 IV -,333-9,73 7,754 0 V tomto pípad exstuje velm slá emprcá výpov o rozdílech mez všem populacem, pouze p porováí populací I a IV výpov eí ta slá

15 tatstcý software vtšou sesupí výbry, teré by mohly pocházet z jedé populace (mají stejé stedí hodoty. Napílad tatgraphcs provádí ozaeí pomocí íž. Jsou-l v textovém výstupu v ást Homogeous Groups (Homogeí výbry ížy pro píslušé výbry pod sebou, zameá to, že výbry mohou pocházet ze stejé populace. Datový soubor : Normálí vtí výbrový rozptyl I II III IV I 0-3,564 4,849,67 II 3, ,53 4,8656 III -4,849-8,53 0-3,877 IV -,67-4,866 3,877 0 V tomto pípad, aolv jsou stejé, eexstuje emprcá výpov o rozdílu mez výbrovým prmry populací I a IV. Taže mžeme v podstat exstující 4 populace rozdlt a 3 supy: prví sdružuje populace I a IV, druhou tvoí populace II a tetí populace III. dv homogeí populace: I a IV Výbrové prmry

16 Datový soubor 3: Velý vtí výbrový rozptyl Jelož F-pomr je v tomto pílad velm malý, za ormálích oolostí bychom teto pílad uzavel tím, že ezamítáme ulovou hypotézu o rovost stedích hodot populací, ímž by aalýza sola, ebo všechy populace jsou homogeí, co do rovost stedích hodot. Poud pesto provedeme výpoet hodot tabuly (LD,j, dostaeme: I II III IV I 0 -,88,66 0,389 II,88 0,844,6 III -,66 -, ,9 IV -0,389 -,6,9 0 V tomto hypotetcém pípad vdíme výzamý rozdíl, terý sgalzuje malé P-value a tedy zamítutí testu o rovost výbrových prmr, mez populacem II a III. Jelož vša celový F-pomr byl pílš malý, teto rozdíl by byl za ormálích oolostí pehlédut a my bychom uzavel test tím, že eexstují žádé výzamé rozdíly mez daým tym populacem. Za tchto oolostí mžeme teto rozdíl považovat za faleš výzamý. Výlad: Exstují jé testy, ežl LD metoda, teré umožují podobá víceásobá porováváí, l post hoc aalýzu. yly vyvuty flexbljší metody, teré jsou dostupé prostedctvím vysplého softwaru. Patí sem apílad Ducav test, Tueyv test pro výzamé rozdíly, cheffé test a ofero test. Detaly m zde ebudou probíráy, ale všechy jsou založey a podobé rozhodovací strateg, založeé a staoveí rtcého rozdílu požadovaého pro ureí toho, zda dva prmry z ola populací se lší. V moha pípadech jsou tyto testy mohem efetvjší, ež LD metoda, pro úely alezeí podsup pvodích populací, teré jsou homogeí co do rovost prmr. 3.4 Krusal-allsv test Pedchozí postup ANOVA, využívající pro rozhodováí popsaý F-pomr je velm ctlvý a pedpolad o ormalt rozdleí pvodích áhodých výbr. Pro pípady, dy tomuto pedpoladu elze úpl vyhovt, exstuje Krusal-allsv poadový test

17 Krusal-allsv test je tedy eparametrcou obdobou jedofatorové ANOVY. Na rozdíl od parametrcého testu epedpoládá ormaltu rozdleí, jeho evýhodou je meší ctlvost. Ta jao je ANOVA vícevýbrovým testem stedích hodot, Krusal-allsv test je vícevýbrovým testem medá. Nech tyto áhodé výbry pochází ze spojtých rozdleí stejého typu a stejých rozptyl (homosedastcta: ( (... (,,,,...,,...,,..., de je rozsah jedotlvých výbr. Testujeme hypotézu H 0 :,5 x I 0,5 II Oprot alteratv H A : eplatí H 0 x0 x0, 5IV Všechy vely j dohromady tvoí sdružeý áhodý výbr o rozsahu N. Z tohoto výbru vytvoíme uspoádaý výbr (rostoucí posloupost a urí se poadí R j aždé vely j. Tato poadí uspoádáme do tabuly a uríme tzv. souty poadí pro jedotlvé T. výbry ( T R j j Výbr Poadí vel v uspoádaém sdružeém áhodém výbru outy poadí R R R T R R R T R R R T Celový souet všech poadí: T T N ( N + Testová statsta: Q T 3 N χ ( N + ( N + P-value: p value F( Q ešeý pílad: Provete Krusal-allsv test pro výše uvedeý datový soubor

18 ešeí: Výbr I II III IV Poadí ve sdružeém výbru: Výbr I II III IV ,5, ,5 8 9,5 35 5,5 4, ,5 6,5 9 4,5, ,5 5, Rozsah výbru outy poadí T 4, ,5 T 00,3 565, ,0 3744,3 T 50,8 803,6 754, 3744, T Q N ( N + 3 ( N + 37 χ 4 ( ( 50, , , , 3 ( , 4 Q, p value F( Q 0, 0645 P-value pro tuto Q testovou statstu je o co vtší, ež dává F-pomr (0,0549, ale závry jsou v obou pípadech stejé. Nulová hypotéza eí zamítuta

19 3.5 Postup jedofatorové aalýzy rozptylu (ANOVA Na závr s shreme zjšté pozaty. Vstupem pro aalýzu rozptylu je tabula obsahující pro jedotlvé sloupce (tídy, resp. úrov sledovaého fatoru vždy pozorováí j ((,,, de je poet tíd; j,,. Je teba testovat hypotézu H 0 : µ µ... µ µ v alteratv : H A : eplatí H 0 Postup obsahuje ásledující roy:. Píprava dat: Už pípravou dat lze zajstt vtší vrohodost dosažeých výsled. m. ANOVA byla pvod avržea pro ( a Velost výbru je poet plých ád { } stejou etost v jedotlvých výbrech. V prax bývá teto pedpolad málody spl platí vša, že ím tsj je toto pravdlo splo, tím vrohodjší jsou výsledy. Lze aalyzovat malé výbry ( 4, 5. Máme-l vša testovat všechy výbrové pedpolady, je teba mít alespo 30 hodot ve výbru ( 30. b Chybjící hodoty mohou zpsobt vychýleí výsled. c Odlehlé hodoty obec zpsobují efuost F-testu. Je teba aalyzovat data metodam exploratorí aalýzy (EDA pro detfac odlehlých pozorováí použít apílad rabcový graf. Poud se odlehlá pozorováí vysytují v datech pouze jedou, je teba je odstrat. Jestlže je v datech poecháme, dáme pedost eparametrcému testu (Krusal-allsv test, F-test by mohl selhat.. Oveí výbrových pedpolad: Nestaí se soustedt a výsledy uvedeé v tabulce ANOVA. Je teba pelv ovt splí záladích pedpolad o výbru. Mohdy data emají ve všech výbrech ormálí rozdleí a je teba použít vhodou trasformac (mocou, logartmcou. Po trasformac data vyazují ormálí rozdleí, což pese vtší dvryhodost výsled. a Náhodost: Metoda sbru dat by mla zajstt, že porováváme prosté áhodé výbry. b Normalta: V aptole Testováí hypotéz jsme se sezáml s ola testy ormalty. Jejch síla roste s velostí výbr. c Homosedastcta: Homosedastcta (rovost rozptyl je pedpoladem pro adu test. Numercy lze homosedastctu ovt ap. pomoc modfovaého Leveova testu, pop. pomoc dalších test abízeých vysplým statstcým softwarem. Poud rovost rozptyl eí spla, mluvíme o heterosedastct. 3. Volba statstcých test výzamost sledovaého fatoru v tabulce ANOVA: Naul jsme se zpracovávat pouze výbry u chž je spla: a Normalta a homosedastcta užjeme F-test. b Neormalta a homosedastcta užjeme Krusal-allsv test Poud homosedastcta spla eí, pousíme se pomocí vhodé trasformace o stablzac rozptylu. c Normalta a heterosedastcta elze použít a F-test, a Krusal-allsv test, ebo homosedastcta je pedpoladem pro oba tyto testy. Pousíme se rozptyl stablzovat pomocí vhodé trasformace (mocé, logartmcé. Poud dojde e stablzac rozptylu, použjeme F-test a trasformovaá data. Poud se ám rozptyl stablzovat epodaí, elze aalýzu rozptylu provést (výsledy ejsou dvryhodé

20 d Neormalta a heterosedastcta opt elze použít a F-test, a Krusal-allsv test, ebo homosedastcta je pedpoladem pro oba tyto testy. Pousíme se rozptyl stablzovat pomocí vhodé trasformace (mocé, logartmcé. Poud dojde e stablzac rozptylu, došlo-l zárove ormalzac dat, použjeme F-test a trasformovaá data, edošlo-l ormalzac dat, použjeme Krusal-allsv test a trasformovaá data. Poud se ám rozptyl stablzovat epodaí, elze aalýzu rozptylu provést (výsledy ejsou dvryhodé. 4. Post hoc aalýza (víceásobé porováváí: Poud p aalýze rozptylu došlo zamítutí ulové hypotézy, pooušíme se pomocí víceásobého porováváí alézt homogeí (srovatelé populace. Víceásobé porováváí pedpoládá ormaltu a homosedastctu výbr. Neí-l spl pedpolad ormalty, je teba užít Krusal- allsv test víceásobého porováváí. hrutí: Rozšíeím dvouvýbrových test pro stedí hodoty je aalýza rozptylu ebol ANOVA, terá umožuje srovávat ol stedích hodot ezávslých áhodých výbr. Aalýza rozptylu ve své parametrcé podob pedpoládá ormaltu rozdlí a tzv. homosedastctu (detcé rozptyly. Testovou statstou je p aalýze rozptylu F-pomr, terý byl odvoze a zálad aalýzy varablty vstupích datových soubor. tatsta F-pomr je ctlvá a platost hypotézy H 0, terá je formulováa jao rovost stedích hodot zoumaých áhodých výbr. Jedotlvé mezvýsledy, zísaé v prbhu aalýzy rozptylu, jsou prbž a systematcy zazameáváy v tabulce ANOVA. Druhým roem p aalýze rozptylu je post hoc aalýza, terá spoívá v porováváí výbrových prmr všech dvojc populací s cílem vybrat homogeí (srovatelé populace. Krtérem pro zaazeí do homogeích sup mže být apílad LD-statsta. Post hoc aalýza se provádí pouze v pípad zamítutí H 0. Použjeme-l j v pípad, dy H 0 ezamíteme, mžeme dostat falešé výsledy. Popsaý postup ANOVA, využívající pro rozhodováí F-pomr, je ctlvý a pedpolad o ormalt rozdleí pvodích áhodých výbr. Pro pípady, dy tomuto pedpoladu elze úpl vyhovt, se používá Krusal - allsv poadový test

21 Otázy. Co je to ANOVA?. Popšte ostruc a stochastcé chováí statsty F-pomr. 3. Co je to vtí a meztídí výbrový rozptyl? 4. Jaý je obvylý výstup z aalýzy rozptylu? 5. Co je to post hoc aalýza a LD-statsta? 6. Co je to Krusal-allsv test, dy se používá?

22 Úlohy ešeí. yl provede przum závslost píjmu a vzdláí ldí. V tabulce jsou uvedey píjmy v tsících K u áhod vybraých sedm muž a aždé úrov vzdláí. (Z - záladí, - stedošolsé, V - vysoošolsé. Z V 0,9 8,9, 9,8 0,3 9,7 6,4 7,5 5,8 4,3 6,9 8,9 7,5 4,,,3 9,3 7,5 5,,5 0, Rozhodte, zda vzdláí má vlv a píjem.. Z velého souboru domácost bylo áhod vybráo 5 jedoleých domácost, 8 dvouleých, 0 tíleých, 0 tyleých a 7 ptleých domácost, dohromady tedy 40 domácost a byly sledováy jejch msíí výdaje za potravy a ápoje ppadající a jedoho lea domácost (v K. Ovte pomocí aalýzy rozptylu, zda se msíí výdaje za potravy (a osobu lší podle potu le domácost. {Použjte vhodý programový balí, ezapomete ovt pedpolady testu} Poet le domácost Výdaje a jedoho lea domácost (v K ,440,350,59,37,06 4,044 3,03,35,0,39 4,04,43,73,786,448 3,776,36,33,3,37 3,67,800,303,3,03,90,565,433,0,656,777,4,,878,899,763,755,3 3,54,66 3. P rozboru efetvost bytové výstavby byly u áhod vybraých dooeých mmopražsých byt tech typ,y a Z zazameáy álady a m bytové plochy. Výsledy šeteí: Typ (K Typ Y (K Typ Z (K Pouste se proázat exstec rozdíl v áladech mez jedotlvým typy byt. (Použjte vhodý programový balí, ezapomete ovt pedpolady testu

23 ešeí: ad Oveí pedpolad: Homosedastcta: Normalta: Normalta homosedastcta potvrzea, tz. mžeme použít F-test. H 0 : µ Z µ µ V H A : eplatí H 0 Rozhodutí: Nezamítáme H 0, tz. a zálad pedložeých dat musíme íc, že s 95% í spolehlvost vzdláí emá vlv a výš platu. ad Oveí pedpolad: Homosedastcta: Normalta: Pro 4. výbr byla ormalta zamítuta, homosedastcta byla potvrzea, tz. mžeme použít Krusal-allsv test

24 H 0 :,5 x I 0,5 H A : eplatí H 0 x0 x x x II 0,5 III 0,5 IV 0, 5V Rozhodutí: Zamítáme H 0, tz. a zálad pedložeých dat mžeme íc, že s 95% í spolehlvost má poet le domácost vlv a velost prmrých (a osobu msíích výdaj domácost za potravy. Zamítl jsme H 0, proto provedeme post hoc aalýzu (použl jsme Tuey HD test: Tueyho test ám uázal, že data mžeme považovat za výbry ze tí populací. Do jedé supy mžeme zaadt jedoleé domácost, v chž jsou prmré álady a potravy ejvyšší, do druhé supy zaadíme ap. dvou až tyleé domácost a jao tetí supu budeme uvažovat ptleé domácost, jejchž prmré msíí výdaje za potravy jsou ejžší. (vz. obr

25 ad3 Oveí pedpolad: Homosedastcta: Normalta: Normalta homosedastcta potvrzea, tz. mžeme použít F-test. H 0 : µ µ Y µ Z H A : eplatí H 0 Rozhodutí: Zamítáme H 0, tz. a zálad pedložeých dat mžeme íc, že s 95% í spolehlvost má tyb byt vlv a álady a m. Zamítl jsme H 0, proto provedeme post hoc aalýzu: Je zejmé, že píou rozdíl jsou rozdíly mez byty typu a byty typu Y. Rozdleí mže vypadat apílad tato: amostatou supou jsou byty typu, jejchž álady a m jsou výzam (správj statstcy výzam vyšší ež álady a m bytu typu Y, resp. Z. Nálady a a m bytu typu Y a bytu typu Z mžeme považovat za totožé. (vz. obr