Aplikovaná statistika v průmyslu

Transkript

1 Aplikovaá statistika v průmyslu Úvod... Popisá statistika Základí pomy Jedorozměrý statistický soubor s kvatitativím zakem Dvourozměrý statistický soubor s kvatitavími zaky Statistické soubory s kvalitativími zaky... Odhady parametrů.... Bodové a itervalové odhady.... Odhady parametrů ormálího rozděleí Odhady parametru biomického rozděleí Testováí statistických hypotéz Statistická hypotéza a eí test Testy hypotéz o parametrech ormálího rozděleí Testy hypotéz o parametru biomického rozděleí Testy hypotéz o rozděleí a Grafická metoda b Test chí-kvadrát (Pearsoův test) Regresí aalýza Regresí fukce Lieárí regresí fukce MSA-Aalýza systému měřeí Úvod do MSA R&R studie Příklad R&R studie Sledováí stability procesu Úvod do regulačích diagramů Typy regulačích diagramů Testy vymezitelých příči Příklad Špatě vyhodoceá data o zmetkovitosti Správě vyhodoceá data o zmetkovitosti Určováí způsobilosti procesu Úvod do způsobilosti procesů Vhodé užití idexů způsobilosti Uměle vytvořeá toleračí mez Neormálě rozděleá data Využití pláovaého experimetu (DoE) (ebude u zkoušky) Úvod do DoE Plá experimetu Regresí model popisuící pouze ručě dokočeé modely Závěr Literatura... 8 Učebice a moografie... 8 Učebí texty... 8

2 Úvod

3 Popisá statistika. Základí pomy Při statistickém zkoumáí se zabýváme evy a procesy, které maí hromadý charakter a vyskytuí se u rozsáhlého souboru idividuálích obektů (výrobky, osoby apod.), azývaého základí soubor ebo také populace. Zkoumaé obekty sou tzv. statistické edotky a sledueme u ich vytypovaé vlastosti - statistické zaky (veličiy, parametry atd.), které abývaí pozorovatelých hodot (úroví). Podle druhu hodot dělíme statistické zaky a kvatitativí, které abývaí číselých hodot (hmotost, délka, pevost, cea, doba, životost,...) a kvalitativí, které emaí číselý charakter a lze e vyádřit slově (barva, akostí třída, podmíky provozu, tvar,...). Sledueme-li e ede zak, hovoříme o edorozměrém zaku, aopak o vícerozměrém zaku. Kvatitativí zaky dělíme a diskrétí, estliže abývaí pouze odděleých číselých hodot (počet zmetků, počet vad, kusová produkce apod.) a spoité, které abývaí všech hodot z ěakého itervalu reálých čísel (rozměr výrobku, doba do poruchy, ceový idex apod.). Kvalitativí zaky dělíme a ordiálí, eichž sloví hodoty má smysl uspořádat (akostí třídy, klasifikace apod.) a omiálí, eichž sloví hodoty postrádaí výzam pořadí (barva, tvar, dodavatelé apod.). Podstatou statistických metod e, že iformace o základím souboru ezišťueme u všech eho edotek, ale e u ěkterých, které získáme tzv. výběrem. Vedou ás k tomu růzá omezeí, apř. dosažitelost všech edotek, velký rozsah základího souboru, způsob získáváí iformací (zkoušky životosti, ověřeí opotřebeí atd.), áklady a statistické sledováí a další. Počet vybraých edotek e rozsah výběru. Dle rozsahu dělíme výběry a malé (obvykle do 3 až 5) a velké (řádově stovky, tisíce i více). Toto děleí e relativí a závisí a okolostech statistického sledováí. Výběr by měl být reprezetativí (poskytovat iformace bez omezeí) a homogeí (bez vlivu dalších růzých faktorů). To však často elze v plé míře verifikovatelě zaistit a proto obvykle vybíráme statistické edotky do výběru áhodě, ovšem s rizikem, že výběr může poskytout více či méě zkresleé iformace o základím souboru. Podle způsobu provedeí rozlišueme výběry: bez opakováí (každá edotka může být vybráa evýše edou), s opakováím (každá edotka může být vybráa vícekrát), 3

4 záměrý (vybíráme typické edotky), oblastí (základí soubor rozdělíme a podmožiy a z ich provedeme části výběru), systematický ebo mechaický (vybíráme vždy ěkolikátou edotku co do pořadí při realizaci výběru). Hodoty zaku, pozorovaé či zištěé a statistických edotkách z výběru o rozsahu, tvoří statistický soubor s rozsahem. Pro edorozměrý zak X získáme edorozměrý statistický soubor ( x,..., x ), kde x i e pozorovaá hodota zaku X u i té statistické edotky, i =,...,. Aalogicky pro dvourozměrý zak (X, Y) obdržíme dvourozměrý statistický soubor ((, ),...,(, )) x y x y apod.. Jedorozměrý statistický soubor s kvatitativím zakem Získaý statistický soubor ( x,..., x ) s rozsahem se také azývá eroztříděý statistický soubor. Dle potřeby e můžeme uspořádat podle rostoucích hodot x a obdržíme i uspořádaý statistický soubor ( (),..., ( ) ) x x, kde x( ) x i ( i+) pro všechy idexy i. Iterval x x e variačí obor a eho délka x( ) x() (); ( ) e rozpětí statistického souboru. Při velkém rozsahu statistického souboru ebo z důvodu dalšího zpracováí (ěkterá grafická vyádřeí aebo užití matematicko - statistických metod) původí soubor roztřídíme. Roztříděý statistický soubor získáme pokrytím variačího oboru systémem disuktích itervalů (obvykle zleva otevřeých a zprava uzavřeých), tzv. tříd o počtu m, které maí * obvykle steou délku h. Každá třída e reprezetováa uspořádaou dvoicí ( x, f ), kde * x e střed -té třídy, x < x, a f e absolutí četost -té třídy, =,...,m. Absolutí * * + četost f e počet prvků x i původího eroztříděého statistického souboru, které leží v -té třídě. Číslo f e relativí četost a uvádí se též v %. Platí f =. = m Počet tříd m volíme obvykle přibližě + 3,3log (pro statistický soubor symetrického charakteru) aebo až (pro statistický soubor asymetrického x( ) x() charakteru). Délka třídy e h a staovueme i tak, aby odpovídala přesosti m získáí hodot x a aby střed třídy * i x byl zaokrouhleé číslo. U diskrétího zaku volíme obvykle za středy tříd přímo hodoty, kterých teto zak může abývat. Pokud tříděí 4

5 provádíme a PC, měli bychom zkotrolovat, zda astaveí parametrů m, resp. h použitého statistického software odpovídá ašim požadavkům. Číslo F = fk e kumulativí absolutí četost, číslo k = F e kumulativí relativí četost, =,..., m, a uvádí se též v %. Platí, že F+ = F + f + pro =,..., m, kde F = f, takže Fm =. Roztříděý statistický soubor zapisueme do tzv. četostí tabulky pro růzé typy četostí, apř. pro absolutí četosti: x x... x m f f... f m Výzamé vlastosti statistického souboru vyadřuí v kocetrovaé formě eho ásleduící číselé (empirické) charakteristiky. Jde zeméa o charakteristiky polohy, promělivosti a souměrosti. Základí charakteristiky polohy statistického souboru sou:. Aritmetický průměr x xi i = = pro eroztříděý soubor, x m f x = = pro roztříděý soubor. Vlastosti aritmetického průměru sou: a) y = ax + b y = ax + b pro reálé kostaty a, b, b) x + y = x + y, c) x() x x( ), d) x má tetýž rozměr ako zak X. Někdy se užívá též vážeý aritmetický průměr x = i= i= w x i w i i, kde wi sou váhy (vhodě staoveá reálá čísla, z ichž aspoň edo e eulové) hodot x i, které vyadřuí eich výzam, apř. přesost. 5

6 . Mediá pro eroztříděý statistický soubor x pro lichá, + xɶ = x + x pro sudá. + Vlastosti mediáu: a) y = ax + b yɶ = axɶ + b pro reálé kostaty a, b, ɶ, b) x() x x( ) c) xɶ má tetýž rozměr ako zak X. Mediá rozdělue statistický soubor a "dolí poloviu" a "horí poloviu" hodot x i (viz obr..). Jde o robustí charakteristiku, která e oproti aritmetickému průměru málo citlivá a extrémě odchýleé hodoty. Pro roztříděý soubor se k výpočtu mediáu užívá vhodá aproximace. 3. Modus ˆx e číslo, v ehož okolí e evíce hodot x i, resp. e to střed * x třídy s evětší absolutí četostí f. Modus má tytéž vlastosti ako aritmetický průměr i mediá a dle potřeby se počítá vhodou aproximací (apř. pro roztříděý soubor). Základí charakteristiky promělivosti (variability) statistického souboru sou:. Rozptyl (disperze, variace) s = x x = x x i= i= ( ) i i pro eroztříděý soubor, s = f x x = f x x = = m ( ) m pro roztříděý soubor. Dle potřeby a také pro zdůrazěí zaku X ěkdy píšeme sou: a) s, b) y ax b s ( y) a s ( x) = + = pro reálé kostaty a, b, s ( x ) apod. Vlastosti rozptylu c) = = =, resp. = =, s x x x xm d) s má rozměr rový kvadrátu rozměru zaku X. Větší promělivosti zaku X odpovídá větší rozptyl a aopak. Při výpočtech se také užívá iý 6

7 vzorec pro rozptyl, když výraz zaměíme výrazem. Takto vypočteý rozptyl e rove číslu s > s apř. MINITAB 5. (pro s ). Teto rozptyl e často počítá v statistickém software. Směrodatá odchylka s = s. Dle potřeby také píšeme s(x). Vlastosti směrodaté odchylky sou: a) s, b) y = ax + b s( y) = a s( x) pro reálé kostaty a, b, c), resp. s = x = = x x = = x d) s má tetýž rozměr ako zak X. Větší promělivosti zaku X odpovídá větší směrodatá odchylka a aopak. 3. Variačí koeficiet s v =. x Dle potřeby také píšeme v(x). Vlastosti variačího koeficietu sou: a a) v( ax) = v( x) pro reálou kostatu a, a b) v e bezrozměré číslo. m Jde o relativí míru variability zaku X a uvádí se též v %. Má smysl pouze pro zak X, který abývá pouze kladých aebo záporých hodot. Neí proto apř. vhodý pro zak X vyadřuící odchylky od ěaké omiálí hodoty. 4. Rozpětí x( ) x(). Rozpětí má steé vlastosti ako směrodatá odchylka. Základí charakteristikou souměrosti statistického souboru e koeficiet šikmosti (koeficiet asymetrie) A = i i= ( x x ) 3 s 3 pro eroztříděý soubor, A = m = ( ) 3 f x x s 3 pro roztříděý soubor. Dle potřeby také píšeme A(x). Vlastosti koeficietu šikmosti sou: 7

8 a) A > b) A = c) A < většia hodot x i e meší ež (leží pod) x, hodoty x i sou rozložey souměrě vzhledem k x, většia hodot x i a a e větší ež (leží ad) x, d) y = ax + b A( y) = A( x) pro reálé kostaty a, b, a, e) A e bezrozměré číslo. Existue řada dalších číselých charakteristik statistického souboru. Např. pro poměrové zaky (ceové a obemové idexy, úrokové míry apod.) se místo aritmetického průměru užívá geometrický průměr x... g = x x a ve speciálích případech (apř. pro zaky vyadřuící rychlost ěakého děe) počítáme harmoický průměr x h =. i= xi Dle potřeby se také ěkdy počítá koeficiet špičatosti (koeficiet excesu) i= ( x x ) 4 s i 4 3, který vyadřue specifickým způsobem míru kocetrace hodot statistického souboru ( ) Obr.. Moho rychlých a ceých iformací poskytuí o statistických souborech eich grafická vyádřeí. Pro edorozměrý eroztříděý resp. uspořádaý statistický soubor se zeméa užívá krabicový graf - obr.., kde tučě vyzačeý obdélík obsahue středí část uspořádaého souboru (cca poloviu všech eho hodot) tak, že alevo a apravo od 8

9 obdélíku leží vždy cca čtvrtia hodot uspořádaého souboru. Levá (pravá) svislá straa obdélíku odpovídá tzv. dolímu (horímu) kvartilu statistického souboru a svislá čára uvitř e v místě mediáu. Výška obdélíku e úměrá rozsahu souboru a úsečky ("vousy") vlevo a vpravo zakočeé krátkými svislými čarami vyadřuí přiatelé obory pro zbývaící dolí a horí čtvrtiu souboru. Hodoty mimo tyto úsečky sou považováy za podezřelé, případě extrémě odchýleé. Existuí další modifikace tohoto grafu a iá vyádřeí. Pro edorozměrý roztříděý statistický soubor s diskrétím zakem X se užívaí obvykle ásleduící grafy. Sloupcový graf a obr.. e podobý histogramu z obr..4, avšak vyzačeé obdélíky a sebe eavazuí a ěkdy se kreslí ve vodorové poloze. Koláčový (výsečový) graf a obr..3 e kruh rozděleý a výseče, eichž úhel odpovídá četostem tříd, případě sou ěkteré zvoleé výseče vysuuty z kruhu. V uvedeých grafech se růzými barvami ebo šrafováím zvýrazňuí potřebé iformace a mohdy se dále geometricky a výtvarě prezetačě modifikuí. Obr.. Obr..3 f 5 F x Obr x 9

10 Pro edorozměrý roztříděý statistický soubor se v případě spoitého zaku X užívaí ečastěi ásleduící dva typy grafů. Histogram a obr..4 e soustava obdélíků v kartézské souřadé soustavě, eichž základy sou třídy a výšky sou četosti tříd (absolutí, relativí, kumulativí atd.). Polygo a obr..5 e lomeá čára v kartézské souřadé soustavě spouící body, eichž x-ová souřadice e střed třídy, příp. horí hraice třídy pro kumulativí četosti, a y-ová souřadice e četost třídy. f 5 F x Obr x Řešeý příklad. Měřeím délky X (mm) válečků byly získáy hodoty: 5,38; 5,36; 5,35; 5,4; 5,4; 5,34; 5,9; 5,43; 5,4; 5,3. Určete rozsah, variačí obor, variačí rozpětí, aritmetický průměr, rozptyl, směrodatou odchylku, variačí koeficiet a mediá statistického souboru. Ř e š e í: Rozsah daého souboru e =, takže emá smysl e třídit. Protože x () = 5,9 mm a x () = 5,43 mm, e variačí obor <5,9; 5,43> mm a variačí rozpětí e 5,43 5,9 =,4 mm. Dále e: x = (5, ,3)/ = 53,7/ = 5,37 mm průměrá délka, s = (5, ,3 )/ 5,37 = 88,388/ 8,8369 =,9 mm, s =, 9, ,44 mm, v =, 9 /5,37, /5,37,873,87 %, xɶ = (5,36 + 5,38)/ = 5,37 mm mediá délky. Pro grafické vyádřeí tohoto statistického souboru by byl vhodý krabicový graf.

11 Postup v Miitabu: Stat > Basic Statistics > Display Descriptive Statistics Grafický výstup: Idividual Value Plot of l (mm) 5,3 5,3 5,34 5,36 l (mm) 5,38 5,4 5,4 5,44

12 5,44 Boxplot of l (mm) 5,4 5,4 5,38 l (mm) 5,36 5,34 5,3 5,3 Textový výstup: Descriptive Statistics: l (mm) Variable N N* Mea SE Mea StDev Miimum Q Media Q3 l (mm) 5,37,45,459 5,9 5,335 5,37 5,45 Variable Maximum l (mm) 5,43 Řešeý příklad. Při kotrole byl zišťová obem ápoe X v 5 lahvích a byly aměřey ásleduící odchylky (ml) od hodoty a etiketě:,;,;,7;,9;,3;,; -,3; -,; 3,;,8;,8; 4,4;,9;,;,; -,3;,;,9;,3; -,;,;,9; -,9; -,; -,3;,5;,5;,; -,3; 3,7;,9;,;,4;,9;,4; -,3;,6;,4; 3,; -,;,8;,; 4,;,3; 3,;,4; 3,8; -,8; 3,;,9. Roztřiďte daý statistický soubor, graficky e zázorěte a vypočtěte x, Ř e š e í: Rozsah souboru = 5; x () =,3 ml a x (5) s, s, ˆx, A. = 4,4 ml, takže variačí obor e <,3; 4,4> ml a rozpětí e 4,4 (,3) = 6,7 ml. Volíme počet tříd m = 7 (t. asi 5 ) a délku třídy h = (t. asi 6,7/7). Volba tříd a eich středů, roztříděí do tříd a výpočet absolutích a kumulativích četostí e v ásleduící tabulce, kde apř. // začí hodoty a //// začí 5 hodot ležících v daé třídě:

13 třída x zařazeí do tříd f F -,5; -,5 - // -,5; -,5 - //// ,5;,5 //// //// / 8 4,5;,5 //// //// /// 3 3 5,5;,5 //// //// 9 4 6,5; 3,5 3 //// / ,5; 4,5 4 //// 4 5 Histogramy a polygoy tohoto statistického souboru sou a obr..4 a.5. Další výpočty sou pro přehledost zázorěy v ásleduící tabulce, ze které dostaeme: x = 56/5 =, ml; s = 8/5, =,3456 ml ; s =,3456,53 ml; střed třídy s evětší četostí ˆx = ml; dalším výpočtem obdržíme A,985. x f f x f x

14 Postup v Miitabu: Miitab číselé charakteristiky roztříděého statistického souboru epočítá, statistický soubor zpracovává eroztříděý, ale lze vytvořit histogramy. Graph > Histogram > choose Simple... > Scale > Y-Scale Type lze měit o aký typ histogramu de. Výstup: Histogram of V (ml) Frequecy ,6,,6 V (ml) 3, 4,8 Select bars > Editor > Edit Bars > Biig lze měit parametry tříděí. 4

15 .3 Dvourozměrý statistický soubor s kvatitavími zaky Získaý statistický soubor ((, ),...,(, )) x y x y s rozsahem e eroztříděý statistický soubor. Vyecháím prví, resp. druhé, hodoty v každé dvoici obdržíme edorozměré statistické soubory ( x,..., x ) a (,..., ) souborů získáme eich číselé charakteristiky x, y, y y. Zpracováím těchto s ( x ), s ( y ) atd. Roztříděý dvourozměrý statistický soubor získáme roztříděím edorozměrých statistických souborů ( x,..., x ) a (,..., ) y y, přičemž oba roztříděé soubory mohou mít růzé počty tříd i eich délky. Dostaeme tak dvourozměré třídy se středy ( x, yk ) a absolutími četostmi se dále určuí relativí četosti f k =,..., m a k =,..., m. Dle potřeby f k,, kumulativí četosti k F atd. Roztříděý dvourozměrý statistický soubor zapisueme do četostí tabulky pro růzé typy četostí. Následuící tabulka e pro absolutí četosti f yk sou margiálí (okraové) četosti a platí f k, kde čísla f x a f x m = f k, k = f yk m = f k, = m m m m f = f = f =. x yk k = k = = k = 5

16 y k x y... y m f x x f... f m x f x m m f... f m m f x m ( yk, f yk ) f yk y f... f y m Pro roztříděé edorozměré statistické soubory ( x, f x ) k =,..., m, obdržíme eich číselé charakteristiky x, y,, =,..., m, a, s ( x ), Mírou závislosti zaků X a Y e koeficiet korelace (korelačí koeficiet) s ( y ) atd. ( xi x ) ( yi y ) xi yi xy i= i= r = = s( x) s( y) s( x) s( y) m m m m f k ( x x ) ( yk y ) f k x yk xy = k = = k = r = = s( x) s( y) s( x) s( y) pro eroztříděý soubor, pro roztříděý soubor, přičemž čitatelé ve všech zlomcích vyadřuí tzv. kovariaci, kterou začíme cov. Někdy pro zdůrazěí zaků X, Y píšeme r(x, y), resp. cov(x, y). Vlastosti koeficietu korelace: ac a) u = ax + b, v = cy + d r( u, v) = r( x, y) pro reálé kostaty a, b, c, d, ac a, c, b) r( y, x) = r( x, y), c) r, d) r = ± y = ax + b, a, e) r e bezrozměré číslo. Koeficiet korelace r e pouze mírou lieárí závislosti mezi zaky X a Y. Čím e eho hodota bližší aebo -, tím e závislost bližší lieárí závislosti a body (, ) x y bližší přímce. Jeho kladá (záporá) hodota odpovídá celkově i i 6

17 rostoucí (klesaící) závislosti mezi X a Y. Hodota blízká vyadřue, že závislost eí lieárí a zaky X, Y mohou být ezávislé. Obr..6 7

18 Pro grafické vyadřeí dvourozměrého eroztříděého statistického souboru se užívá rozptylový graf a obr..6, kde sou rověž uvedey pro ilustraci hodoty koeficietu korelace, a pro dvourozměrý roztříděý statistický soubor třírozměrý histogram a obr..7, případě třírozměrý sloupcový graf pro diskrétí zaky X, Y. Řešeý příklad.3 Obr..7 Statistickým šetřeím ákladů X (Kč) a ce Y (Kč) pro steý výrobek u výrobců byl získá dvourozměrý statistický soubor: (3,8; 5,6), (3,9; 5,3), (3,; 5,7), (3,; 5,5), (3,5; 5,), (3,6; 5,3), (3,6; 5,33), (3,8; 5,9), (3,3; 5,37), (3,33; 5,4). Vypočtěte x, y, Ř e š e í: s ( x ), s ( y ), s(x), s(y), c, r. Vzhledem k malému rozsahu = soubor etřídíme. Použitím výše uvedeých vztahů dostaeme: x = (3, ,33)/ = 3,48 Kč průměré áklady, y = (5, ,4)/ = 5,96 Kč průměrá cea, s ( x ) = (, ,33 )/ - 3,48 =,96 Kč, s ( y ) = (5, ,4 )/ - 5,96 =,3684 Kč, s(x) = s(y) =,96,4578 Kč,458 Kč,,3684,6696 Kč,67 Kč, cov = (3,8.5, ,33.5,4)/ - 3,48.5,96 =,9 Kč, r =,9/(,4578,6696) =, ,848. 8

19 Vzhledem k velikosti koeficietu korelace r lze předpokládat, že mezi oběma zaky X a Y (áklady a ceou) e závislost víceméě blízká lieárí. Jeho kladá hodota odpovídá tomu, že s rostoucími áklady roste cea výrobku. Rozptylový graf daého statistického souboru e a obr..8. 5,45 5,4 y 5,35 5,3 5,5 5, 3,5 3, 3,5 3,3 3,35 x Obr..8 Postup v Miitabu: Stat > Basic Statistics > Correlatio Výstup: Correlatios: X (Kč); Y (Kč) Pearso correlatio of X (Kč) ad Y (Kč) =,85 P-Value =,3 Kromě koeficietu korelace Miitab vypočítá i p-hodotu k testu ezávislosti, ehož výzam e popsá v třetí kapitole (P-Value =,3 <,5 ==> Hypotézu, že veličiy X a Y sou ezávislé zamítám a hladiě výzamosti,5.) 9

20 Grafické zázorěí v Miitabu: Graph > Scatterplot > > choose Simple or With Regressio Výstup: 5,45 Scatterplot of Y (Kč) vs X (Kč) 5,4 Y (Kč) 5,35 5,3 5,5 5, 3, 3,5 X (Kč) 3,3 3,35

21 .4 Statistické soubory s kvalitativími zaky Jedorozměrý statistický soubor s kvalitativím zakem ( x,..., x ) s rozsahem vyadřueme pomocí četostí tabulky, kde x sou možé sloví hodoty zaku X a f sou četosti těchto hodot v původím souboru, =,..., m. Číselé charakteristiky se až a výimky (variabilitu) epoužívaí - viz apř. [4]. Ke grafickému vyádřeí souboru slouží sloupcový graf, koláčový graf apod. Dvourozměrý statistický soubor s kvalitativími zaky ( ) (,,...,(, )) x y x y s rozsahem vyadřueme pomocí četostí tabulky podobě ako pro kvatitativí zaky, kde ( x, yk ) sou dvoice možých slovích hodot dvourozměrého kvalitativího zaku (X, Y) a f k sou četosti těchto hodot v původím souboru pro =,..., m a k =,..., m. Z číselých charakteristik se užívaí především růzé míry závislosti zaků X a Y - viz apř. [], [3], [8], [5], [7], [3]. Ke grafickému vyádřeí souboru slouží třírozměrý sloupcový graf podobý třírozměrému sloupcovému grafu pro dvourozměrý diskrétí kvatitativí zak.

22 Odhady parametrů. Bodové a itervalové odhady Předpokládeme, že pozorovaá áhodá veličia X (případě áhodý vektor) má distribučí fukci F(x,ϑ), kde ϑ e parametr (reálé číslo ebo reálý vektor) rozděleí pravděpodobosti, ám zámého tvaru. Skutečou hodotu parametru ϑ obvykle ezáme a odhadueme i pomocí získaého statistického souboru ( x,..., x ). Jestliže místo áhodé veličiy X pozorueme áhodý vektor (X,Y) se simultáí distribučí fukcí F(x,y,ϑ), pak postupueme aalogicky a odhad parametru ϑ provádíme pomocí získaého statistického souboru ((, ),...,(, )) x y x y. Parametrem ϑ může také být číselá charakteristika áhodé veličiy (áhodého vektoru), apř. středí hodota E(X), rozptyl D(X), koeficiet korelace ρ(x,y) apod., případě tzv. parametrická fukce, t. fukce parametrů rozděleí. Možia všech uvažovaých hodot parametru ϑ se azývá parametrický prostor. Podle způsobu provedeí rozdělueme odhady a odhady bodové a itervalové. Odhadem T parametru ϑ e statistika T(X,..., X ), která a celém parametrickém prostoru abývá hodot blízkých parametru ϑ. Používáme zeméa tyto odhady:. Odhad T parametru ϑ e estraý (evychýleý), estliže eho středí hodota E(T) = ϑ. Pokud e E(T) ϑ, de o straý (vychýleý) odhad.. Je-li rozptyl estraého odhadu T emeší z rozptylů všech estraých odhadů téhož parametru ϑ, e T elepší estraý odhad. 3. Odhad T e kozistetí, estliže P ( T ϑ ε ) ε. lim = pro libovolé reálé číslo Platí: a) X e estraý kozistetí odhad středí hodoty E(X), b) S e estraý kozistetí odhad rozptylu D(X), c) odhady a) a b) sou pro ormálí rozděleí X také elepší. Další typy odhadů (apř. maximálě věrohodé odhady) sou popsáy v [], [3], [8], [5], [7], [3].

23 Bodový odhad parametru ϑ e pozorovaá hodota t T ( x x ) =,..., odhadu T a statistickém souboru ( x,..., x ). Bodové odhady základích číselých charakteristik sou E ( X ) = x, D ( X ) = s, σ ( X ) = s, ρ ( X, Y ) = r, kde x s,,, ( x,..., x ). s r sou empirické charakteristiky získaé ze statistického souboru Iterval spolehlivosti (kofidečí iterval) pro parametr ϑ se spolehlivostí α, kde ; α, e dvoice takových statistik ( T ; T ) ( ϑ T ) P T = α pro libovolou hodotu parametru ϑ. Itervalový odhad parametru ϑ se spolehlivostí α e iterval t; t a píšeme ϑ t; t, kde t, t sou hodoty statistik T, T a daém statistickém souboru ( x,..., x ). Spolehlivost α volíme blízkou edé, podle kovece obvykle,95 ebo,99, a uvádíme i také v %. Spolehlivost α zameá, že při moha opakovaých výběrech s kostatím rozsahem z daého základího souboru zhruba ( α) % všech itervalových odhadů obsahue skutečou hodotu parametru ϑ a aopak α % ich tuto hodotu eobsahue. Situaci ilustrue počítačově simulovaý příklad a obr.7., kde ϑ = a tučě sou vyzačey případy odpovídaící riziku chybého odhadu, že α, t. itervalové odhady, které ezachytily hodotu parametru ϑ. 4 itervalové odhady z 5 provedeých itervalových odhadů se spolehlivostí,95 eobsahuí odhadovaou hodotu Obr.. 3

24 Sížeí rizika α, tedy zvýšeí spolehlivosti α, vede při zachováí rozsahu výběru ke zvětšeí velikosti itervalového odhadu. Pro α =, tedy pro % spolehlivost, e itervalovým odhadem celý parametrický prostor a to emá v aplikacích rozumý výzam. Zmešit velikost itervalového odhadu e možo: a) sížeím spolehlivosti, což ebývá vhodé, protože se tím vlastě epřesost odhadu zvětší, b) zvýšeím rozsahu výběru, ovšem s ohledem a "kletbu statistiky", eboť velikost itervalového odhadu se zmeší víceméě úměrě /, c) volbou iého a současě "užšího" itervalu spolehlivosti pro daý parametr, pokud e zám. Na druhé straě e zřemé, že bodový odhad má spolehlivost ulovou aebo zcela zaedbatelou (pro diskrétí rozděleí pravděpodobosti pozorovaé áhodé veličiy X). Itervalové odhady proto poskytuí výzamě dokoaleší pohled a vlastosti pozorovaé áhodé veličiy ež odhady bodové. Itervalové odhady dělíme a dvoustraé (oboustraé) a edostraé podle toho, zda e ohraičueme oboustraě aebo edostraě. Často volíme statistiky T, T ve tvaru T = T δ a T = T + δ, kde δ a δ sou vhodá reálá čísla (záviseící a spolehlivosti α a rozsahu áhodého výběru ) a T e ěaký odhad parametru ϑ - viz řešeý příklad 7.. Pozameeme, že z předem daé délky dvoustraého odhadu itervalového odhadu a spolehlivosti α potřebý rozsah výběru. Řešeý příklad. (teoretický; ebude u zkoušky) e možo určit Předpokládáme, že pozorovaá áhodá veličia X má ormálí rozděleí pravděpodobosti N(µ,σ ), ehož rozptyl σ záme (což e v praxi zcela výimečé). Pro itervalový odhad středí hodoty µ získáme ze statistického souboru ( x,..., x ) eí bodový odhad x, který e pozorovaou hodotou výběrového průměru T Náhodá veličia X má (kapitola 6) ormálí rozděleí N(µ; σ T = X δ a T = X + δ, dostaeme = X. ). Položíme-li takže po úpravě e P( X δ µ X + δ ) = α, P( µ δ X µ + δ ) = α. 4

25 Z vlastostí ormálího rozděleí (kapitola 5) obdržíme δ δ σ σ, P( µ δ X µ + δ) = Φ Φ kde Φ(u) e distribučí fukce ormovaého ormálího rozděleí N(; ). Dále echť α = α + α, kde α a α. Položíme-li dostaeme takže δ δ Φ = α, Φ = α, σ σ σ σ δ = u α, δ = uα, σ T = X u α, T = X u α σ δ a iterval spolehlivosti pro středí hodotu µ při zámém rozptylu σ e dvoice statistik α Pro α = α = e u α α / σ σ X u α ; X u α. = u a uα = u α / = u α /, takže dvoustraý itervalový odhad středí hodoty µ při zámém rozptylu σ e σ σ x u α ; x + u α. Kostrukci uvedeého dvoustraého itervalového odhadu ilustrue obr. 7.. Odtud e vidět, že pro iou realizaci áhodého výběru dostaeme áhodě iou hodotu x, takže itervalový odhad se áhodě posue a emusí tak zachytit skutečou hodotu odhadovaé středí hodoty µ. V ašem případě se však délka itervalu ezměí, eboť předpokládáme zalost rozptylu σ a teto rozptyl e kostatí (viz také obr..). Tato délka ale závisí a zvoleé spolehlivosti α a rozsahu získaého statistického souboru. σ Číslo e tzv. stadardí chyba odhadu. Pro α = a α = α, resp. α = α a α =, e u α = u = a uα = u u α = α, resp. u α = u α a uα = u =, takže edostraé odhady středí hodoty µ při zámém rozptylu σ sou 5

26 σ σ +, resp. x u α ; + ). ( ; x u α T = X α α α µ δ µ x µ + δ T = X δ T = X + δ Obr. 7. Z předem daé maximálí délky dvoustraého odhadu středí hodoty µ při zámém rozptylu σ a spolehlivosti α lze staovit potřebý rozsah výběru. Pak e δ + δ = σ = u α /, takže potřebý rozsah e u α / σ. Pro spolehlivost,95 e z tabulky T u,975 =, 96, takže apř. pro σ = a = e 6. µ δ µ µ + δ x δ x x + δ V dalších odstavcích se zaměříme pouze a dvoustraé itervalové odhady. Jedostraé odhady a také itervalové odhady pro iá ež uvažovaá rozděleí pravděpodobosti základího souboru sou uvedey apř. v [], [3], [8], [5], [7], [3]. 6

27 . Odhady parametrů ormálího rozděleí Předpokládáme, že pozorovaá áhodá veličia X, resp. áhodý vektor ( X, Y ), má ormálí rozděleí pravděpodobosti s parametry µ, σ, resp. ρ. Bodové odhady sou µ = σ = σ = ρ = x, s, s, r. Itervalový odhad středí hodoty µ při ezámém rozptylu σ e s s x t α ; x + t α, α kde t α e - kvatil Studetova rozděleí S(k) s k = stupi volosti. Kvatily tohoto rozděleí sou uvedey v tabulce T. Itervalový odhad rozptylu σ e s χ s ; χ α α, kde χ P e P - kvatil Pearsoova rozděleí χ ( k ) s k = stupi volosti. Kvatily tohoto rozděleí sou uvedey v tabulce T3. Z uvedeého itervalového odhadu získáme po odmocěí eho mezí itervalový odhad směrodaté odchylky σ. Řešeý příklad. Měřeím délky válečků byl získá statistický soubor s empirickými charakteristikami x = 5, 37 mm, s =,9 mm a s =,44 mm (viz řešeý příklad.). Určete bodové odhady středí hodoty, rozptylu a směrodaté odchylky. Za předpokladu, že aměřeá délka X má ormálí rozděleí pravděpodobosti, určete itervalové odhady těchto číselých charakteristik se spolehlivostí,95. Ř e š e í: Bodové odhady sou: středí délka válečku µ = 5,37 mm, rozptyl délky válečku σ = 9,9 =, mm, směrodatá odchylka délky válečku σ =,,46 mm. 7

28 Itervalový odhad středí délky válečku µ se spolehlivostí,95 e, eboť t,975 =,6 pro 9 stupňů volosti z tabulky T, µ <5,37,6, 9 ; 5,37 +,6, 9 > <5,337; 5,43> mm. Itervalový odhad rozptylu délky válečku σ se spolehlivostí,95 e, eboť χ,5 =,7 a χ,975 = 9,3 pro 9 stupňů volosti z tabulky T3, σ.,9.,9 < ; > <,;,74> mm, 9, 3, 7 takže itervalový odhad směrodaté odchylky délky válečku σ e Postup v Miitabu: σ <, ;,74 > <,36;,839> mm. Stat > Basic Statistics > Graphical Summary Summary for l (mm) A derso-darlig Normality Test A -Squared,8 P-V alue,878 Mea 5,37 StDev,459 V ariace, Skewess -, Kurtosis -,873 N Miimum 5,9 5,3 5,35 5,35 5,375 5,4 5,45 st Q uartile 5,335 Media 5,37 3rd Q uartile 5,45 Maximum 5,43 95% C ofidece Iterv al for Mea 5,337 5,49 95% C ofidece Iterval for Media 5,333 5,434 95% Cofidece Itervals 95% C ofidece Iterval for StDev,36,839 Mea Media 5,34 5,36 5,38 5,4 5,4 8

29 Itervalový odhad koeficietu korelace ρ pro e kde z = w tgh z; tgh z, u α 3, u α z = w + 3, + r r w = l + r, z z z e e e tgh z = = z z z e + e e + α a u α e - kvatil ormovaého ormálího rozděleí N(;), ehož hodoty lze získat z tabulky T s hodotami distribučí fukce Φ(u). Pro α =,95 e u,975 =, 96 a pro α =,99 e u,995 =,576. Uvedeý odhad e pouze přibližý, avšak eho přesost e v praktických úlohách postačuící (přesý odhad eí zám a v Miitabu teto odhad eí). Řešeý příklad.3 Sledováím ákladů a cey steého výrobku u výrobců byl získá dvourozměrý statistický soubor s koeficietem korelace r =,848 (viz řešeý příklad.3). Určete bodový odhad a itervalový odhad se spolehlivosti,99 koeficietu korelace ρ základího souboru. Ř e š e í: Bodový odhad koeficietu korelace ákladů a cey e ρ =,848. Po dosazeí e Z tabulky T e u,995 =,576, takže +, 848, 848 w = l, 753 +,848.,576 z =, 753, ,576 z =, 753 +,9 3 a itervalový odhad koeficietu korelace ákladů a cey ρ se spolehlivostí,99 e, ρ tgh, 4397; tgh,9, 394;, Odhady parametru biomického rozděleí Předpokládáme, že pozorovaá áhodá veličia X má alterativí rozděleí pravděpodobosti s parametrem p, tedy biomické rozděleí Bi(; p). Při odhadu 9

30 parametru p de vlastě o odhad velikosti podílu prvků základího souboru maících sledovaou vlastost. Přitom X i abývá hodotu x i =, resp., estliže i-tý áhodě vybraý prvek má, resp. emá, sledovaou vlastost, i =,,. Nechť x e počet prvků se sledovaou vlastostí z áhodě vybraých prvků, tedy x x Bodový odhad e p =. = xi. i= Itervalový odhad p e pro > 3 x x x x x x u α / ; + u α /, α kde u α e - kvatil ormovaého ormálího rozděleí, ehož hodoty lze získat z tabulky T. Uvedeý odhad e pouze přibližý, avšak eho přesost e pro velká v praktických úlohách obvykle postačuící. Řešeý příklad 7.4 Při průzkumu zámu o ový výrobek odpovědělo ze 4 dotázaých zákazíků supermarketu STAMET kladě a otázku, zda si ový výrobek koupí, 8 zákazíků. Určete bodový a itervalový odhad podílu zákazíků p ze základího souboru všech zákazíků supermarketu STAMET. Ř e š e í: Protože x = 8 a = 4, e bodový odhad zákazíků supermarketu STAMET si chce koupit ový výrobek. Z tabulky T pro spolehlivost,95 e u,975 zákazíků p se spolehlivostí,95 e 8 p = =,, tedy % všech 4 =,96, takže itervalový odhad podílu p ,96 ; +,96 = <,68;,39 > Pro spolehlivost,99 obdržíme aalogickým způsobem itervalový odhad p <,485;,55 >. 3

31 Se spolehlivostí,95, resp.,99, si ový výrobek koupí přibližě 6 až 4 %, resp. 5 až 5 %, všech zákazíků supermarketu STAMET. Pokud má STAMET celkem zákazíků, lze víceméě očekávat, že prodá cca ových výrobků. Z itervalového odhadu můžeme pak se spolehlivostí,95 usuzovat, že STAMET prodá přibližě,6 = 6 až,4 = 4 ových výrobků. Postup v Miitabu: Stat > Basic Statistics > Proportio Pokud chceme dostat steé výsledky ako při ručím výpočtu zaškrteme aproximaci ormálím rozděleím (Use test ad iterval based o ormal distributio), ta ovšem eí tak přesá, ako stadardí výpočet přes biomické rozděleí. Výstup z Miitabu: Test ad CI for Oe Proportio Sample X N Sample p 95% CI 8 4, (,6895;,46) Test ad CI for Oe Proportio Sample X N Sample p 99% CI 8 4, (,587;,5639) 3

32 3 Testováí statistických hypotéz 3. Statistická hypotéza a eí test Při sledováí áhodých veliči a áhodých vektorů sme často ucei ověřit určité předpoklady či doměky o eich vlastostech pomocí eich pozorovaých hodot. Jedá se apř. o rozhodutí, zda ová techologie, seřízeí stroe, reklama, změa fiacováí, řízeí firmy apod. vedly ke změě ve sledovaých parametrech výrobku, obratu, zisku apod., aebo zda akost dodávky výrobků či surovi má dohodutou úroveň. Statistická hypotéza H e tvrzeí o vlastostech rozděleí pravděpodobosti pozorovaé áhodé veličiy X s distribučí fukcí F ( x, ϑ ) ebo áhodého vektoru (X, Y) se simultáí distribučí fukcí F(x,y,ϑ) apod. Postup, ímž ověřueme daou hypotézu, se azývá test statistické hypotézy. Proti testovaé hypotéze H, azývaé také ulová hypotéza, stavíme tzv. alterativí hypotézu H, kterou volíme dle požadavků úlohy. Jestliže H e hypotéza, že parametr ϑ má hodotu ϑ, píšeme H : ϑ ϑ =. Případ H : ϑ ϑ e dvoustraá alterativí hypotéza a H : ϑ > ϑ, resp. H : ϑ < ϑ, e edostraá alterativí hypotéza. Hypotéza může být edoduchá, estliže uvažueme ediou hypotetickou hodotu ϑ = ϑ aebo aopak složeá, apř. ϑ ϑ. Dále rozdělueme hypotézy a parametrické, kdy de tvrzeí o parametrech pozorovaé áhodé veličiy X, a a eparametrické, kdy de o tvrzeí o kvalitativích vlastostech této áhodé veličiy. Testovaá hypotéza H se ěkdy v literatuře, resp. aplikacích a PC, ozačue symbolem H, resp. H, a alterativí hypotéza H symbolem H, H A, resp. HA. Pro testováí hypotézy H : ϑ = ϑ proti ěaké zvoleé alterativí hypotéze H se kostruue vhodá statistika T ( X,..., X ), tzv. testové kritérium. Obor hodot testového kritéria ( ),..., T X X se za předpokladu, že platí hypotéza H : ϑ = ϑ, rozdělí a dvě disuktí podmožiy: kritický obor W α a eho doplěk Wα (viz obr. 3.). Kritický obor W α se vzhledem k alterativí hypotéze H staoví tak, aby pravděpodobost toho, že testové kritérium T ( X,..., X ) abude hodotu z kritického oboru W α, byla α (přesěi pro diskrétí áhodou veličiu T evýše α). Číslo α > e 3

33 hladia výzamosti testu a volíme i blízkou ule, obvykle,5 aebo,. Hladia výzamosti se ěkdy uvádí také v % (apř. v softwarových aplikacích pro PC), tedy obvykle 5 % aebo %. Rozhodutí o hypotéze H pomocí pozorovaých hodot áhodé veličiy X e pak založeo a ásleduící koveci. Jestliže tzv. pozorovaá hodota testového kritéria t = T ( x x ) a získaém statistickém souboru ( ),..., x,..., x pade do kritického oboru, tedy t W α, zamítáme hypotézu H a současě ezamítáme hypotézu H a hladiě výzamosti α. Jestliže aopak epade t do kritického oboru, tedy t W α, ezamítáme hypotézu H a současě zamítáme hypotézu H a hladiě výzamosti α. Nezamítutí hypotézy H, resp. H, ezameá eště prokázáí eí platosti, eboť sme a základě realizace áhodého výběru získali pouze iformace, které estačí a eí zamítutí. Je-li to možé, e vhodé před přietím daé hypotézy zvětšit rozsah statistického souboru a zovu hypotézu H testovat. Při testováí hypotézy H mohou astat čtyři možosti zázorěé a obr. 3.. Jestliže zamítáme eplatou hypotézu aebo ezamítáme platou hypotézu, e vše v pořádku, avšak při rozhodutí o hypotéze H a základě testu se můžeme dopustit edé ze dvou chyb: Chyba prvího druhu astae, estliže hypotéza H platí, avšak t W α, takže hypotézu α =. H zamítáme. Pravděpodobost této chyby e hladia výzamosti P ( T W H ) Chyba druhého druhu astae, estliže hypotéza H eplatí, avšak t W α (t. t W α ), takže hypotézu H ezamítáme. Pravděpodobost této chyby e P ( T Wα H ) pravděpodobost β P ( T Wα H ) = e tzv. síla testu. α β = a H PLATÍ NEPLATÍ ZAMÍTÁME CHYBA. DRUHU NEZAMÍTÁME CHYBA. DRUHU Obr. 3. Hladia výzamosti, t. pravděpodobost chyby prvího druhu α má te praktický výzam, že při moha opakovaých realizacích áhodého výběru (apř. řádově v tisících) a současé platosti testovaé hypotézy H se v přibližě α % testech této hypotézy zmýlíme, tedy zamíteme platou hypotézu. Podobě když hypotéza H 33

34 eplatí, tak se v přibližě β % testech zmýlíme a ezamíteme i. Avšak sížeím hladiy výzamosti α se při ezměěém rozsahu statistického souboru zvýší β a aopak, takže pro zvoleou hladiu výzamosti α zaišťueme sížeí β zvýšeím rozsahu. Riziko chyb prvího i druhého druhu elze v reálých úlohách elimiovat, pouze e můžeme sížit. Vztah mezi α a β e ilustrová a obr. 8., kde pro edoduchost e i alterativí hypotéza H edoduchá. Na tomto obrázku křivky vlevo odpovídaí hustotě (pravděpodobostí fukci) testového kritéria T při platosti hypotézy H a křivky vpravo odpovídaí hustotě (pravděpodobostí fukci) testového kritéria T při platosti hypotézy H. β α W α W α β α W α W α Obr. 3. Vzhledem k tomu, že testové kritérium T e áhodá veličia, bývá obor W α ve tvaru itervalu, apř. t; t, kde t, t sou kvatily statistiky T (tzv. kritické hodoty), podobě ako u itervalových odhadů. Pozameeme, že itervalové odhady lze přímo použít k testováí statistických hypotéz. Např. při testu hypotézy H : ϑ = ϑ proti alterativě H : ϑ ϑ a hladiě spolehlivosti α, můžeme místo testového kritéria vzít oboustraý itervalový odhad parametru ϑ se spolehlivostí α.. Jestliže teto itervalový odhad obsahue hodotu ϑ, hypotézu H ezamítáme a hladiě 34

35 výzamosti α a aopak. Více o statistických hypotézách a eich testech (apř. eparametrické metody) lze alézt apř. v [], [3], [8], [5], [7], [3]. Řešeý příklad 3. (teoretický; ebude u zkoušky) Předpokládeme, že pozorovaá áhodá veličia X má ormálí rozděleí, ehož rozptyl σ záme. V případě testu hypotézy, že X má středí hodotu rovu číslu µ oproti alterativí hypotéze, že středí hodotu má iou, de o test ulové hypotézy H : µ µ = s dvoustraou alterativí hypotézou H : µ µ. Výběrový průměr X má za předpokladu, že platí hypotéza H, ormálí rozděleí pravděpodobosti N( µ, σ ) a výběrová charakteristika T X µ σ =, kterou vezmeme za testové kritérium, má dle kapitoly 6 ormovaé ormálí rozděleí N(;). Jestliže vzhledem ke dvoustraé alterativí hypotéze H : µ µ zvolíme pro hladiu výzamosti α kritický obor ( ; ) ( ; ) W t t tak, aby platilo α = + α P ( T < t ) = P ( t < T ) =, dostaeme pro kritické hodoty t, t rovice Φ α α =, =. ( t ) Φ ( t ) α Odtud e t = uα / = u α / a t = u α /, kde u α / e -kvatil ormovaého ormálího rozděleí N(; ). Hodoty kvatilů lze získat z tabulky T, odkud pro hladiu výzamosti α =,5 e u,975 =, 96 a pro α =, e u,965 =,576. Pozorovaá hodota testového kritéria T pak e t x µ σ =. Jestliže hodota t W α = u α ; u α, pak a hladiě výzamosti α ezamítáme hypotézu H : µ = µ a zamítáme alterativí hypotézu H : µ µ. Naopak estliže t W α (t. t W α ), pak zamítáme a hladiě výzamosti α hypotézu H : µ = µ a ezamítáme alterativí hypotézu H : µ µ. Podobě lze získat obor ezamítutí W α = ( ; u α pro alterativí hypotézu H : µ > µ a W u ; ) α = α pro 35

36 alterativí hypotézu H : µ < µ. Hypotézu H by také bylo možo testovat a hladiě výzamosti α pomocí dvoustraého itervalového odhadu, resp. edostraých itervalových odhadů, parametru µ se spolehlivostí α z řešeého příkladu 7.. Při testováí statistických hypotéz a PC pomocí statistického software se místo kritického oboru W α obvykle používá ásleduící tzv. P-hodota. Jestliže apř. testueme hypotézu H : µ = µ proti dvoustraé alterativí hypotéze H : µ µ, pak pro pozorovaou hodotu t testového kritéria T e P-hodotou e číslo P ( t T t ). Výše uvedeé koveci rozhodutí o daých hypotézách pomocí kritického oboru, resp. oboru ezamítutí, odpovídá ásleduící adekvátí postup. Jestliže P < α, pak zamítáme hypotézu H a současě ezamítáme hypotézu H a hladiě výzamosti α. Jestliže aopak P a současě zamítáme hypotézu H a hladiě výzamosti α. α, pak ezamítáme hypotézu H 3. Testy hypotéz o parametrech ormálího rozděleí V tomto odstavci předpokládáme, že áhodé veličiy X a Y, resp. áhodý vektor (X, Y), maí ormálí rozděleí pravděpodobosti. Předpoklad o ormálím rozděleí pravděpodobosti lze testovat pomocí testů popsaých v dalším odstavci této kapitoly. Dále uvádíme pouze testová kritéria pro dvoustraé alterativí hypotézy, apř. H : µ µ H : µ > µ a apod. Testy hypotéz H pro edostraé alterativí hypotézy H : µ < µ se prováděí pomocí steých testových kritérií a odlišuí se pouze edostraými kritickými obory, resp. obory ezamítutí, a odpovídaícími kritickými hodotami - viz apř. [], [3], [8], [5], [7], [3]. Pozameeme, že testy hypotéz o parametrech ormálího rozděleí se velmi často používaí při statistickém zpracováí aměřeých dat z oblasti materiálových charakteristik, obrobitelosti, trvalivosti apod. Test hypotézy H : µ = µ při ezámém rozptylu σ. Pozorovaá hodota testového kritéria e a W α t α ; t α x µ t = s α =, kde t α e -kvatil Studetova rozděleí S(k) s k = stupi volosti. Kvatily tohoto rozděleí sou uvedey v tabulce T. Jedá se o tzv. t - test ebo Studetův test pro ede výběr. 36

37 Řešeý příklad 3. Měřeím délky válečků byly získáy empirické charakteristiky x = 5,37 mm a s =,9 mm (viz řešeý příklad.). Na hladiě výzamosti,5 testueme hypotézu, že středí aměřeá délka válečku e 5,4 mm, tedy H : µ = 5,4. Ř e š e í: Pozorovaá hodota testového kritéria e 5, 37 5, 4 t = =,647., 9 Pro = 9 stupňů volosti e t,975 =,6 z tabulky T, takže W,5 = <,6;,6>. Protože t W,5, hypotézu ezamítáme. Pro testováí této hypotézy bylo možo použít také itervalový odhad se spolehlivostí,95 z příkladu.. Protože teto odhad obsahue hypotetickou hodotu 5,4, ezamítáme daou hypotézu a hladiě výzamosti,95 = =,5. Postup v Miitabu: Stat > Basic Statistics > -Sample t 37

38 Výstup z Miitabu: Oe-Sample T: l (mm) Test of mu = 5,4 vs ot = 5,4 Variable N Mea StDev SE Mea 95% CI T P l (mm) 5,37,459,45 (5,337; 5,49) -,6,69 Protože p =,69 >,5, hypotézu H : µ = 5,4 ezamítáme a hladiě výzamosti,5. Idividual Value Plot of l (mm) (with Ho ad 95% t-cofidece iterval for the mea) 5,3373 5,37 _ 5,487 X Ho 5,3 5,3 5,34 5,36 l (mm) 5,38 5,4 5,4 5,44 Test hypotézy H : σ = σ. Pozorovaá hodota testového kritéria e a W α χα ; χ α =, kde s t = σ χ P e P-kvatil Pearsoova rozděleí χ ( k) s k = stupi volosti. Kvatily tohoto rozděleí sou uvedey v tabulce T3. Jedá se o tzv. Pearsoův test. Řešeý příklad 3. Na hladiě výzamosti,5 testute hypotézu, že rozptyl aměřeé délky válečku z příkladu 3. e,5 mm, tedy H : σ =,5. Ř e š e í: Pozorovaá hodota testového kritéria e 38

39 , 9 t = = 7,6., 5 Pro = 9 stupňů volosti e χ =,7 a χ = 9,3 z tabulky T3, takže,5,975 W = <,7; 9,3>. Protože t,5 W,5 Postup v Miitabu:, hypotézu ezamítáme. Test ad CI for Oe Variace: l (mm) Method Null hypothesis Sigma-squared =,5 Alterative hypothesis Sigma-squared ot =,5 The stadard method is oly for the ormal distributio. The adusted method is for ay cotiuous distributio. Statistics Variable N StDev Variace l (mm),459, 95% Cofidece Itervals Variable Method CI for StDev CI for Variace l (mm) Stadard (,36;,839) (,;,74) Adusted (,339;,73) (,5;,59) Tests Variable Method Chi-Square DF P-Value l (mm) Stadard 7,6 9,,85 Adusted,5 4,8,747 Protože p =,85 >,5, hypotézu H : σ =,5 ezamítáme a hladiě výzamosti,5. 39

40 Test hypotézy H : ρ = ρ. Pozorovaá hodota testového kritéria pro, r a ρ e a W α u α ; u α + r + ρ ρ 3 t = l l r ρ α =, kde u α e -kvatil ormálího rozděleí N(; ), ehož hodoty lze získat z tabulky T. Řešeý příklad 3.3 Sledováím ákladů X a cey Y steého výrobku u deseti výrobců byl získá dvourozměrý statistický soubor s koeficietem korelace r =,848 (viz řešeý příklad.3). Na hladiě výzamosti, testute hypotézu, že veličiy X a Y sou ekorelovaé (vzhledem k ormálímu rozděleí ezávislé), tedy H : ρ =. Ř e š e í: Pozorovaá hodota testového kritéria e +, t = l l,848 3,. Pro daou hladiu výzamosti e u,995 =,576 z tabulky T, takže W = <,576;,,576 >. Protože t W,, hypotézu zamítáme a považueme X, Y za závislé. Test hypotézy H : µ ( X ) µ ( Y ) ( x, y ), kde i =,,, áhodého vektoru (, ) i i a odpovídaící empirické charakteristiky d a s ( ) kritéria e a α α α = pro dvoice. Ozačme pro pozorovaé dvoice d t = s d ( ) X Y eich rozdíly di = xi yi d. Pozorovaá hodota testového α W = t ; t, kde t α e -kvatil Studetova rozděleí S(k) s k = stupi volosti. Kvatily tohoto rozděleí sou uvedey v tabulce T. Uvedeý test se také azývá t - test (Studetův test) pro párové hodoty. 4

41 Řešeý příklad 3.4 Měřeím teploty dvěma přístroi byly během osmi dů získáy dvoice (x i, y i ) = (5,8; 49,5), (54,9; 53,3), (5,; 5,6), (53,3; 5,), (5,6; 46,8), (54,; 5,5), (54,; 5,), (53,3; 53,) ( o C). Na hladiě výzamosti % testute hypotézu, že rozdíl středích hodot e evýzamý, tedy H : µ(x) = µ(y). Ř e š e í: Pro d i = x i y i, i =,..., 8, dostaeme d =, o C a s(d) =,37 o C. Pozorovaá hodota testového kritéria e, t = 8 4,49., 37 Pro 8 = 7 stupňů volosti e t,995 = 3,499 z tabulky T, takže W = < 3,499;, 3,499>. Protože t W,, hypotézu zamítáme a hladiě výzamosti % a považueme rozdíl aměřeých hodot za statisticky výzamý. Postup v Miitabu e zřemý: Stat > Basic Statistics > Paired t U dalších testů předpokládáme, že pozorováím dvou ezávislých áhodých veliči X a Y s ormálími rozděleími s parametry µ ( X ), σ ( X ) a µ ( Y ), σ ( Y ) byly získáy realizace ezávislých áhodých výběrů s rozsahy a. σ H : µ X µ Y = µ při ezámých rozptylech Test hypotézy ( ) ( ) ( X ) σ ( Y ) =. Pozorovaá hodota testového kritéria e t = ( ) + ( ) ( ) x y µ + s x s y + α W = t ; t, kde t α e -kvatil Studetova rozděleí S(k) s k = a α α α = + stupi volosti. Kvatily tohoto rozděleí sou uvedey v tabulce T. Jedá se o tzv. t - test ebo Studetův test pro dva výběry při steých rozptylech. 4

42 Řešeý příklad 3.5 Zkouškami pevosti drátů vyrobeých dvěma růzými techologiemi byly získáy dva statistické soubory s charakteristikami = 33, x = 5,4637 kn, s (x) =,33 kn, = 8, y = 6,79 kn, s (y) =,45 kn. Na hladiě výzamosti,5 testute hypotézu, že rozdílé techologie emaí vliv a středí pevost drátu (za předpokladu steých rozptylů σ ( X ) a σ ( Y ), tedy H : µ(x) µ(y) =. Ř e š e í: Pozorovaá hodota testového kritéria e 5, ,79 t = 33, , 45 ( ) ,3. Pro = 59 stupňů volosti e t,975 =, iterpolací z tabulky T, takže W,5= = <,;,>. Protože t W,5, hypotézu zamítáme. Rozdílé techologie maí vliv a středí pevost drátu. Postup v Miitabu e zřemý: Stat > Basic Statistics > -Sample t (zaškrteme Assume equal variace) Test hypotézy H : µ ( X ) µ ( Y ) = µ při ezámých rozptylech σ ( X ) σ ( Y ) Pozorovaá hodota testového kritéria e a W α t α ; t α =, kde t t = x y µ ( ) ( ) s x s y + s ( x) s ( y) t( x) + t( y) = s ( x) s ( y) + α /. α a t(x), resp. t(y), e -kvatil Studetova rozděleí S(k) s k =, resp., stupi volosti. Kvatily tohoto rozděleí sou uvedey v tabulce T. Jedá se o tzv. t - test ebo Studetův test pro dva výběry při růzých rozptylech. 4

43 Řešeý příklad 3.7 Při vyšetřováí životosti výrobků v růzých systémech extrémích provozích podmíek byly získáy dva statistické soubory s charakteristikami =, x = 3,58, s (x) =,4, = 3, y = 3,974, s ( y) =,4 (životost výrobků e v hodiách). Za předpokladu růzých rozptylů σ ( X ) a σ ( Y ) testute a hladiě výzamosti,5, že prví systém extrémích provozích podmíek zvyšue oproti druhému systému extrémích provozích podmíek středí životost výrobku o,5 hod., tedy hypotézu H : µ(x) µ(y) =,5. Ř e š e í: Pozorovaá hodota testového kritéria e 3,58 3, 974 (,5) t =,33.,4, Z tabulky T pro α/ =,975 e t(x) =,86 pro = stupňů volosti a t(y) =,74 pro 3 = stupňů volosti, takže a,5 t,975,4, 4, 86 +,74 = 3,83.,4, W = <,83;,83>. Protože t W,5, hypotézu o zvýšeí středí životosti o,5 hod. ezamítáme. Postup v Miitabu e zřemý: Stat > Basic Statistics > -Sample t (ezaškrteme Assume equal variace) Test hypotézy H : σ ( X ) σ ( Y ) =. Pozorovaá hodota testového kritéria e t = s ( x) s ( y) max ;, s ( x) s ( y) mi ; α kde klademe Wα = ; F α / a F α / e -kvatil Fisherova - Sedecorova rozděleí F(k, k ) se stupi volosti k = a k = pro s ( x) s ( y) 43

44 aebo k = a k = pro s ( x) s ( y). Kvatily tohoto rozděleí sou uvedey v tabulce T4. Jedá se o tzv. F - test ebo Fisherův test. Pomocí ěho lze testovat předpoklady o rozptylech v obou předcházeících testech. Řešeý příklad 3.8 Na hladiě výzamosti,5 ověřte předpoklad o růzých rozptylech v řešeém příkladu 8.7, tedy že σ ( X ) σ ( Y ), kde s (x) =,4, =, s ( y) =,4, = 3. Ř e š e í: Testueme aopak hypotézu H : σ ( X ) = σ ( Y ). Pozorovaá hodota testového kritéria e.,4 3., 4 max ; 3 max,97;, 486 t =.,4 3., 4 mi,97;, 486 mi ; 3 ( ) ( ),798. Z tabulky T4 e pro k = = a k = 3 = stupňů volosti F,975 =,389, takže W = <;,389>. Protože t,5 W,5, hypotézu zamítáme a předpoklad o růzých rozptylech v příkladu 8.7 považueme za správý. Postup v Miitabu e zřemý: Stat > Basic Statistics > Variaces 3.3 Testy hypotéz o parametru biomického rozděleí Předpokládáme, že pozorovaá áhodá veličia X má alterativí rozděleí pravděpodobosti s parametrem p, tedy biomické rozděleí Bi(; p). Při testováí hypotézy H : p = p de vlastě o test hypotézy, že podíl prvků p základího souboru má sledovaou vlastost a základě zištěí, že x prvků z áhodě vybraých prvků ze základího souboru má sledovaou vlastost (viz odhady parametrů v kap. 7). Dále uvádíme pouze testová kritéria pro dvoustraé alterativí hypotézy, eboť testy hypotéz pro edostraé alterativí hypotézy se odlišuí pouze tím, že maí edostraé kritické obory a odpovídaící kritické hodoty. Testy o parametru biomického rozděleí se používaí často v akosti (test podílu eshodých výrobků ebo zmetků v celkové produkci) a při průzkumu zámu o výrobek, služby apod. Test hypotézy H : p = p. Pozorovaá hodota testového kritéria pro > 3 e 44

45 t = x p p ( p ) α W = u ; u, kde u α e -kvatil ormálího rozděleí N(; ), a α α α ehož hodoty lze získat z tabulky T. Uvedeý test e pouze přibližý, avšak eho přesost e pro velká v praktických úlohách obvykle postačuící. Řešeý příklad 3.9 Podle expertího předpokladu bude mít záem o ový výrobek % zákazíků. Ze 4 dotázaých zákazíků proevilo záem 6 zákazíků. Na hladiě výzamosti,5 testume hypotézu o reálosti předpokladu, tedy H : p =,. Ř e š e í: Rozsah obou výběru e dostatečě velký a pro x = 6 a = 4 e pozorovaá hodota testového kritéria 6,,45 t = 4 = =, 5., (, ), 4 Z tabulky T e u,975 =,96. Protože t =,5 W,5 = <,96;,96>, hypotézu o předpokladu % zámu zamítáme a hladiě výzamosti,5. Skutečý záem bude pravděpodobě meší. Na hladiě výzamosti, však hypotézu ezamítáme, eboť u,995 =,576. Postup v Miitabu: Stat > Basic Statistics > Proportio 45

46 Výstup z Miitabu: Test ad CI for Oe Proportio Test of p =, vs p ot =, Exact Sample X N Sample p 99% CI P-Value 6 4,55 (,5;,695), Protože p =, <,5, hypotézu o předpokladu % zámu zamítáme a hladiě výzamosti,5. U dalšího testu předpokládáme, že pozorováím dvou ezávislých áhodých veliči X, Y s alterativími rozděleími s parametry p, p byly získáy realizace vzáemě ezávislých áhodých výběrů s rozsahy, a počty x, y prvků se sledovaou vlastostí (viz odhady parametrů v kap.7). Test hypotézy předpokladu > 5 a > 5 e H : p = p. Pozorovaá hodota testového kritéria za t = x y f ( f ) + pro x + y f = + α =, kde u α e -kvatil ormálího a W α u ; u α α rozděleí N(; ), ehož hodoty lze získat z tabulky T. Uvedeý test e pouze přibližý, avšak eho přesost e pro velké rozsahy a v praktických úlohách obvykle postačuící. Řešeý příklad 3. Obchodí ispekce provedla 5 kotrolích ákupů potraviářského zboží a kotrolích ákupů průmyslového zboží. Zistila přitom edostatky u 8 ákupů potraviářského zboží a u 73 ákupů průmyslového zboží. Na hladiě výzamosti,5 testume, zda kvalita ákupů e steá u obou druhů zboží, tedy hypotézu H : p = p, kde p, p daých druhů zboží. Ř e š e í: sou teoretické podíly (pravděpodobosti) ákupů s edostatky u Rozsahy obou výběrů sou dostatečě velké a pro x = 8, = 5, y = 73, = e f = =,4,

47 takže pozorovaá hodota testového kritéria e , 67, 549 t =, 443., 4(, 4) 5 +, 4935 Z tabulky T e u,975 =,96. Protože t =,443 W,5 = <,96;,96>, hypotézu o rovosti podílů ákupů s edostatky ezamítáme a hladiě výzamosti,5 a považueme prode obou druhů zboží za steě ekvalití. Postup v Miitabu e zřemý: Stat > Basic Statistics > Proportios 3.4 Testy hypotéz o rozděleí Vzhledem k tomu, že testy o parametrech rozděleí záviseí a tvaru pozorovaých rozděleí, e zapotřebí testovat, zda pozorovaá áhodá veličia (áhodý vektor) má předpokládaé rozděleí. Nečastěi se užívaí ásleduící testy hypotéz o rozděleí. Testy hypotéz o rozděleí se také azývaí testy dobré shody. 3.3a Grafická metoda Jedá se o orietačí grafický test pomocí tzv. pravděpodobostího papíru, který obsahue síť dvou avzáem kolmých soustav rovoběžých přímek. Měřítko ve svislém směru (souřadá osa y) e zvoleo vzhledem k měřítku ve vodorovém směru (souřadá osa x) tak, aby grafem uvažovaé distribučí fukce F(x,ϑ) byla pro libovolé (v ašem případě obvykle ezámé) hodoty ϑ přímka. Na osu y se vyáší hodoty distribučí fukce, ěkdy i v % a ěkdy sou a této ose vyzačey také hodoty odpovídaící středí hodotě a celočíselým ásobkům směrodaté odchylky základího souboru. Na pravděpodobostím papíru zázorňueme graf tzv. empirické distribučí fukce statistického souboru ( x,..., x ) ásleduícím způsobem. Uspořádáme původí statistický soubor podle velikosti, takže získáme uspořádaý soubor ( x(),..., x ( ) ), kde x( ) x ( + ) pro i =,...,. Do souřadého systému pak i i vyeseme body x( i) ;( i,5) /, resp. x( i) ; i /( + ), pro i =,...,. Ve začě zedodušeé verzi této metody se pro roztříděý statistický soubor vyášeí v tomto souřadém systému pouze body x ; F /, kde x sou středy tříd a F sou kumulativí četosti, =,..., m. Je-li statistický soubor realizací áhodého výběru ze základího souboru s rozděleím pravděpodobosti pro daý pravděpodobostí papír, leží výše uvedeé body přibližě a přímce a aopak. V současé době se při uvedeé 47

48 metodě obvykle epoužívá pravděpodobostí papír, ale realizue se graficky a PC. Na obr. 3.3 e ukázka grafického výstupu z PC pro ormálí rozděleí pravděpodobosti. Postup v Miitabu (Test ormality): Obr

49 Výstup: Probability Plot of V (ml) Normal Percet Mea,38 StDev,578 N 5 AD,7 P-Value, V (ml) Protože p =,834 >,5, hypotézu o výběru z ormálího rozděleí ezamítáme a hladiě výzamosti,5. 3.3b Test chí-kvadrát (Pearsoův test) Testueme hypotézu H, že pozorovaá áhodá veličia X má distribučí fukci F(x), proti alterativí hypotéze H, že X emá distribučí fukci F(x). Roztřídíme získaý statistický soubor ( x,..., x ) do m tříd s četostmi f a vypočteme teoretické absolutí četosti f = ( F( x + ) F( x + )) ɶ pro =,...,m, kde x + začí pravý kocový bod -té třídy, přičemž klademe x + = a x + m = +. Statistický soubor roztřídíme tak, aby ve všech třídách byly dostatečě velké teoretické absolutí četosti - obvykle požadueme, aby f ɶ > 5. Toho lze při dostatečě velkém rozsahu dosáhout vhodou volbou tříd ebo sloučeím iž získaých sousedích tříd. Pozorovaá hodota testového kritéria e m ( f ) m fɶ f t = = = fɶ = fɶ a W α = ;, kde χ α χ α e ( α)-kvatil Pearsoova rozděleí χ ( k ) s k = m q stupi volosti. Kvatily tohoto rozděleí sou uvedey v tabulce T3. Číslo q e 49

50 počet parametrů hypotetického rozděleí áhodé veličiy X, které sme ucei odhadout z roztříděého statistického souboru pro určeí hodot distribučí fukce F(x). Uvedeý test e zedodušeou, ale obvykle používaou variatou přesého testu chí-kvadrát - viz apř. [], [3], [8], [5], [7], [3]. Řešeý příklad 3. Měřeím rozměru X u součástek vyrobeých a automatické lice byl získá roztříděý statistický soubor: * x -7,5 -,5-7,5 -,5,5 7,5,5 7,5,5 7,5 f Testueme a hladiě výzamosti α =,5 hypotézu, že měřeý rozměr X má ormálí rozděleí. Ř e š e í: Z daé variačí řady vypočteme aritmetický průměr x = 4, 3 a směrodatou odchylku s = 9,676, takže bodový odhad středí hodoty e µ = 4,3 a směrodaté odchylky e σ 9,7. Testueme hypotézu H, že áhodá veličia X (t. měřeý rozměr součásti) má ormálí rozděleí pravděpodobosti N(4,3; 9,7 ). Sloučíme posledí dvě třídy v edu třídu, eboť lze očekávat u původí posledí třídy ízkou teoretickou četost. Pro předpokládaou distribučí fukci platí x 4,3 F( x) = Φ 9, 7 - viz kapitolu 5, kde Φ(u) e distribučí fukce ormovaého ormálího rozděleí N(; ), eíž hodoty sou v ɶ, + + tabulce T. Teoretické třídí četosti pak určíme ze vztahu f = ( Φ ( u ) Φ ( u ) ) kde u + =, u + x 4, 3 = pro =,,7 a u + 8 = +. Např. pro = e 9, ,3 u + =,99, takže teoretická absolutí četost (s použitím tabulky T) pak 9,7 e f ɶ ( Φ Φ ) = ( Φ ) = ( ) (, 99) ( ) (, 99) Potřebé výpočty a mezivýsledky sou zachycey v ásleduící tabulce: =,9767 = 4, 66. 5

51 x + -tá třída x + f f ɶ ( f f ɶ ) ( f f ɶ ) fɶ ,66 9,5 9,54 3,3 39,58 38,9 8,38 6,6,5 5,4756,5,66 68,98 88,7364 4,4 5,6644,444,74,75,3684,5484,356,495,337,9959,869,57, 7,96 Pozorovaá hodota testového kritéria e t = 7,96 7,9 a počet odhadovaých parametrů e q =. Z tabulky T3 pro počet stupňů volosti k = 9 = 6 e χ,95 =,59. Protože t = 7,9 W α = < ;,59 >, ezamítáme a hladiě výzamosti,5 hypotézu, že měřeý rozměr X má ormálí rozděleí s odhadutými parametry. Nedostatečě velká teoretická četost v prví třídě fɶ = 4,66 eovlivňue zásadě výsledek testu. Navíc ezamítáme daou hypotézu pro výše uvedeé odhaduté parametry, takže při přesém testu chí-kvadrát bychom získali takové odhady těchto parametrů, které by evedly k větší hodotě testového kritéria. Pozámka: Test chí-kvadrát (Pearsoův test) v Miitabu eí. 5

52 4 Regresí aalýza 4. Regresí fukce Důležitou statistickou úlohou e hledáí a zkoumáí závislostí proměých, eichž hodoty získáme při realizaci experimetů. Vzhledem k eich áhodému charakteru reprezetue ezávisle proměé áhodý vektor = ( X X ) X,..., k a závisle proměou áhodá veličia Y. K popisu a vyšetřováí závislosti Y a X užíváme regresí aalýzu, přičemž tuto závislost vyadřue regresí fukce (, ) E ( Y ) y = ϕ xβ = X = x, kde x = ( x,..., x k ) e vektor ezávisle proměých (hodota áhodého vektoru X), y e závisle proměá (hodota áhodé veličiy Y) a β = ( β β ) tzv. regresích koeficietů β,,..., m,..., m e vektor parametrů, =. O podmíěé středí hodotě E ( Y X = x ) e pro k = pozámka v kapitole 4. Vektor X může být i eáhodý, ak bývá v aplikacích časté, aebo sou rozptyly všech složek X,..., X k zaedbatelé vůči f y x rozptylu áhodé veličiy Y. Obr. 4. E(Y/X=x) Při vyšetřováí závislosti Y a X získáme realizací experimetů (k + )- ( ) rozměrý statistický soubor (, y ),..., (, y ) x x s rozsahem, kde y i e pozorovaá hodota áhodé veličiy Y i a x i e pozorovaá hodota vektoru ezávisle proměých X, i =,...,. Na obr. 4. e zázorě případ pro k =, tedy pro x = x = 5

53 x, a s opakovaými pozorováími. Opakováí pozorováí pro daou hodotu ezávisle proměé x však v regresí aalýze eí ezbyté. Pro určeí odhadů ezámých regresích koeficietů tzv. reziduálí součet čtverců * S = yi ϕ i= ( x, β ) i β miimalizueme a hovoříme o tzv. metodě emeších čtverců. Pozameeme, že před výpočtem regresích koeficietů volíme obvykle takový tvar regresí fukce, který co evíce odpovídá vyšetřovaé ebo uvažovaé závislosti. Bývá zvykem volit regresí fukci s co emeším počtem regresích koeficietů, avšak dostatečě flexibilí a s požadovaými vlastostmi: mootoie, předepsaé hodoty, asymptoty a. Vychází se přitom povětšiou ze zkušeosti, avšak v současé době se při realizaci regresí aalýzy a PC daí často úspěšě použít vhodé databáze regresích fukcí. 4. Lieárí regresí fukce Lieárí regresí fukce (lieárí vzhledem k regresím koeficietům) má tvar y m = β f ( x ), = kde f ( x ) sou zámé fukce eobsahuící regresí koeficiety β,..., β m. Uvažueme tzv. lieárí regresí model založeý a předpokladech:. Vektor x e eáhodý, takže fukce f ( ) f ( ) = f x pro =,..., m a i =,...,. i i x abývaí eáhodých hodot. Matice f f F = fm f m typu (m, ) s prvky f i má hodost m <. 3. Náhodá veličia i ( ) σ D Y i Y má středí hodotu E ( Y ) = > pro i =,...,. m i = β f i a kostatí rozptyl = 4. Náhodé veličiy Y i sou ekorelovaé a maí ormálí rozděleí pravděpodobosti pro i =,...,. 53

54 V části literatury se místo popsaého lieárího regresího modelu také uvádí ekvivaletí model ve tvaru kde m β ( x ), i,..., Y = f + E i i i = =, E i sou ekorelovaé áhodé veličiy (vyadřuící apř. áhodé chyby měřeí) s ormálím rozděleím pravděpodobosti N(, σ ). Odhady regresích koeficietů, rozptylu a fukčích hodot, a také testy statistických hypotéz o regresích koeficietech provádíme pomocí ásleduících vztahů. Ozačímeli matice f i f i f i fmi i= i= b T H = FF =, b =, fmi f i fmi f b m mi i= i= y y =, y kde horí idex T ozačue traspozici matice, pak platí: f i yi i= g = Fy =, fmi y i i=. Bodový odhad regresího koeficietu β e b, =,..., m, kde matice b e řešeí soustavy lieárích algebraických rovic (tzv. soustavy ormálích rovic) Hb = g.. Bodový odhad lieárí regresí fukce e 3. Bodový odhad rozptylu σ e y m = b f ( x ). = s = S m, * mi kde m m * mi = i i = i i= = i= = a S y b f y b g g e prvek matice g. 4. Itervalový odhad regresího koeficietu β se spolehlivostí α, =,..., m, e b t s h ; b + t s h, α α 54

55 kde h e -tý diagoálí prvek matice H a t α rozděleí s m stupi volosti - viz tabulku T. α e -kvatil Studetova 5. Itervalový odhad středí fukčí hodoty y se spolehlivostí α e kde h * m m * * b f ( ) t α / s h ; b f ( ) + t α / s h = = = f(x) T H - f(x), přičemž x x, f( x) ( ) α f x =, a t α e fm ( ) -kvatil x Studetova rozděleí s m stupi volosti - viz tabulku T. Itervalový odhad idividuálí fukčí hodoty y se spolehlivostí α obdržíme aalogicky, avšak místo h * vezmeme + h *. 6. Test hypotézy H : β = β proti alterativí hypotéze H : β β a hladiě výzamosti α, kde e ede pevě zvoleý idex, =,..., m, provádíme pomocí pozorovaé hodoty testového kritéria t b β =, s h α W α = t ; t α α a t α e -kvatil Studetova rozděleí s m stupi volosti - viz tabulku T. Teto test e možo také provést pomocí výše uvedeého itervalového odhadu koeficietu β se spolehlivostí α. Z itervalových odhadů středí fukčí hodoty, resp. idividuálí fukčí hodoty, se kostruue pás spolehlivosti pro středí hodotu (viz užší pás kolem regresí přímky a obr. 9.), resp. pás spolehlivosti pro idividuálí hodotu (viz širší pás kolem regresí přímky a obr. 9.). Pozameeme eště, že test hypotézy H : β = β se týká e edoho (i když libovolého) regresího koeficietu. Současý test více regresích koeficietů e uto provést pomocí tzv. sdružeé hypotézy - viz apř. [], [3], [7], [9], [], [9]. Orietačí mírou vhodosti vypočteé regresí fukce pro získaá data e koeficiet víceásobé korelace 55

56 r = resp. idex (koeficiet) determiace y i S * mi ( ) y, r, které abývaí hodot z itervalu <; >. Číslo r % vyadřue procetuálí podíl z rozptylu hodot y i "vysvětleý" vypočteou regresí fukcí. Hodoty r (a tím také r ) blízké azačuí vhodost zvoleého tvaru regresí fukce. Pro bližší posouzeí vhodosti vypočteé regresí fukce se provádí x x. Pro rigorózí eí grafický rozbor vzhledem k pozorovaým bodům [, y ],...,[, y ] závěr e však uté provést tzv. regresí diagostiku a testovat další statistické hypotézy - viz apř. [], [3], [7], [9], [], [9]. Regresí fukce rozdělueme a lieárí a elieárí (vzhledem k regresím koeficietům). Některé elieárí regresí fukce můžeme vhodou liearizací převést a lieárí (apř. mociou ebo expoeciálí fukci logaritmueme). Jde sice o běžě používaý postup, kdy však řešíme iý regresí model ežli původě uvažovaý. Blíže o liearizaci elieárí regresí fukce e poedáo apř. v [], [3], [7], [9], [], [9]. Nevíce užívaou lieárí regresí fukcí pro pozorovaý dvourozměrý statistický soubor ( x, y ),..., (, ) x y e fukce y = β + β x, eímž grafem e tzv. regresí přímka. Pro tuto fukci e k =, x = x = x (píšeme x místo x ), m =, f (x) =, f (x) = x, takže F = x x, y y =. y Při ručím výpočtu lze pro regresí fukci y = β + βx použít ásleduící explicití vztahy, kde pro edoduchost začí a) xi H =, xi x i b) det = x ( ) i xi : i= H, b yi g =, xi y =, i x y x y = i i i i det H, b = y b x, 56

57 , c) ( ) S = y b b x = y b y b x y * mi i i i i i i s S =, * mi d) e) i h = H, h * det x h = ( ) x ( x ) det H, ( ) x x x x det H, i = + = + f) r = r( x, y), kde r(x, y) e koeficiet korelace z kapitoly. Řešeý příklad 4. U osmi áhodě vybraých firem poskytuících kozultace v oblasti akosti výroby byly v roce 993 zištěy počty zaměstaců x a ročí obraty y (mil. Kč): x i y i,8,,5,9,8,4,5 3, Vyádřete závislost ročího obratu firmy a počtu zaměstaců ve tvaru y = β + β x, vypočtěte itervalový odhad β se spolehlivostí,95, testute a hladiě výzamosti,5 hypotézu H : β =,, určete bodový a itervalový odhad y() se spolehlivostí,95. Pomocí grafu a koeficietu korelace r posuďte vhodost regresí fukce. Předpokládete, že ročí obrat má podmíěé ormálí rozděleí s kostatím rozptylem vzhledem k počtu zaměstaců. Ř e š e í: V ásleduící tabulce sou pomocé výpočty: i x i y i x i x i y i y i 3,8 9,4,64 5, 5 6,,44 3 5,5 5 7,5,5 4 8,9 64 5, 3,6 5 9,8 8 6, 3,4 6,4 6,4 5,76 7,5 44 3, 6, , 5 46,5 9,6 Σ 68 5, 694 5, 3,8 57

58 Vlastí výpočty provedeme v ásleduících krocích. ) Jde o regresí přímku, takže s využitím výše uvedeých vzorců obdržíme pro = 8 z tabulky matici H = bodový odhad β e b , eíž determiat e det H = = 98, takže 8.5, 68.5, = =,8344,8. 98 Dále e x = 68/8 = 8,5, y = 5,/8 =,9, takže bodový odhad β e b =,9,8344 8,5 =,3668,36. Potom bodový odhad regresí fukce e y =,36 +,8x. ) Miimálí hodota reziduálího součtu čtverců e S mi = 3,8,3668.5,,8344 5,,8758 a bodový odhad rozptylu σ, resp. směrodaté odchylky σ, e s =,8758/(8 ) =,976, resp. s =,976,447. 3) Diagoálí prvky matice H sou h = 694/98, , h = 8/98,8669. Z tabulky T e pro 8 = 6 stupňů volosti t,975 =,447. Itervalový odhad regresího koeficietu β e β <,8344,447,447,8669 ;,8344 +,447,447,8669 > = <,49353;,9334 > <,49;,3 >. Bodový odhad přírůstku ročího obratu odpovídaícího zvýšeí počtu zaměstaců firmy o edoho e tedy 8 Kč a itervalový odhad tohoto přírůstku se spolehlivostí,95 e 49 Kč až 3 Kč. 4) Pozorovaá hodota testového kritéria pro H : β =, e t =, 3668,,447, ,377. Pro alterativí hypotézu H : β, e W,5 = < -,447;,447 >. Vzhledem k tomu, že t W,5, hypotézu β =, a hladiě výzamosti,5 ezamítáme. Na daé hladiě výzamosti vlastě ezamítáme hypotézu, že firma bez zaměstaců (pracuí e maitelé), eboť y() = β, bude mít ročí obrat okolo Kč. 58

59 5) Bodový odhad středí i idividuálí hodoty ročího obratu firmy pro zaměstaců e y() =,3668 +,8344 =,7558,7. U daé firmy lze tedy očekávat ročí obrat okolo 7 Kč. Protože h * 8( 8, 5) = + =,443965, 8 98 e itervalový odhad se spolehlivostí,95 středí hodoty ročího obratu firmy s zaměstaci y() <,7558,447,447, ;,7558 +,447,447, > = <,49985;,33 > <,4;,3 >. Se spolehlivostí,95 lze očekávat, že středí hodota ročího obratu takové firmy bude od 4 Kč do 3 Kč. Jestliže použieme ve výpočtu + h * místo h *, dostaeme itervalový odhad se spolehlivostí,95 idividuálí hodoty ročího obratu firmy s zaměstaci y() <,7558,447,447, ;,7558 +,447,447, > = <,84;,539 >. Se spolehlivostí,95 lze očekávat, že ročí obrat (idividuálí hodota ročího obratu) takové firmy bude od 84 Kč do 539 Kč. Závislost obratu a počtu zaměstaců y x Obr

60 6) Koeficiet korelace (výpočet pomocí vzorce z kap. ) e r =,984798, takže idex determiace e r, Z grafu a obr. 4. a velikosti koeficietu korelace vidíme, že zvoleý tvar regresí fukce vcelku dobře vystihue daou závislost. Podle často používaé kovece lze říci, získaá regresí fukce vyadřue celkem r % 96,98 % změ (variability) pozorovaého obratu firmy. Postup v Miitabu: Stat > Regressio > Fitted Lie Plot Výstup: Regressio Aalysis: yi versus xi The regressio equatio is yi =,36 +,8 xi S =,44 R-Sq = 97,% R-Sq(ad) = 96,5% Aalysis of Variace Source DF SS MS F P Regressio 3,87 3,87 9,86, Error 6,88,97 Total 7 3,9 6