ŘÁDOVÁ ANALÝZA SIGNÁLŮ Z TOČIVÝCH STROJŮ S PROMĚNLIVÝMI NEBO NEUSTÁLENÝMI OTÁČKAMI

Transkript

1 ŘÁDOVÁ ANALÝZA SIGNÁLŮ Z OČIVÝ SROJŮ S ROMĚNLIVÝMI NEBO NEUSÁLENÝMI OÁČKAMI Abstrat/Abstract: Jří ŮMA VŠB echncá unverzta v Ostravě 7. lstopadu 5, Ostrava E-mal:jr.tuma@vsb.cz Rotační stroje se velm často neotáčejí naprosto onstantním otáčam se stabltou srovnatelnou s frevencí vzorování př záznamu sgnálu jao je napřílad hlu nebo vbrace. Naprot tomu vbuzené slož spetra těchto sgnálů jsou přesným násob frevence otáčení. ro účel dagnost nebo ontrol valt je třeba tto slož sledovat metodam, teré se nazývají řádová analýza. Jné označení je souběhová fltrace nebo analýza. Referát popsuje něteré nejvíce používané metod. Je to řádová analýza na FF sgnálových analzátorech, dále vadraturní směšování a postup s velým potenconálem pratcého uplatnění, terý má název Vold-Kalmanova řádová fltrace. Klíčová slova/kewords: order analss, quadrature mng, Vold-Kalman order flter Úvod ř analýze chování rotačních strojů nebo perodc pracujících mechansmů je třeba použít řádovou analýzu. Řád (order) v tomto smslu je vbuzená frevenční složa sgnálu, jejíž frevence je určtým fním násobem záladní frevence stroje, terou je napřílad frevence otáče nebo opaování vratných pohbů. Rezonanční frevence nejsou závslé na otáčách. Výstupem řádové analýz je časový průběh ampltud nebo RMS slož sgnálu se zvoleným řádem. ato přednáša se bude zabývat třem metodam sledování řádů: Výpočtem řádových speter Kvadraturním směšováním Vold-Kalmanovou fltrací Výsledem výpočtu řádového spetra je běžné frevenční spetrum s pozměněnou frevenční osou. Další dvě metod postují časový průběh ampltud slož s frevencí, terá se mění v závslost napřílad na otáčách stroje. Řádová analýza může být použta pro ustálené otáč stroje nebo jeho rozběh a doběh. Ustálené otáč nelze pratc dosáhnout, proto sledování řádů reaguje na drobné změn otáče. Všechn popsované metod vžadují znalost oamžté rchlost otáčení. Metodou měření frevence otáče se referát nezabývá. Je předpoládáno, že oamžtou rchlost otáčení lze nterpolovat z vhodnocení otáče z tachosgnálu. Řádová spetra Řádová spetra se neopírají o frevenc v hertzích, ale v řádech []. Frevenční osa řádových speter je bezrozměrná na rozdíl od frevenčních speter, de je v z. Rozbor sgnálů hluu a vbrací rotačních strojů je nejčastější aplací řádové analýz. Nemusí jít o výpočet řádového spetra, ale o záznam, ve terých je měříto času nahrazeno úhlem otočení, přčemž záladní perodě odpovídá stálý počet vzorů. Vzorovací frevence v počtu vzorů za seundu je nahrazena počtem vzorů za jednu peroduotočení, napřílad otáču hřídele.

2 ned v úvodu poznamenejme, že otáč strojů nelze udržet na stálé hodnotě souměřtelné svou přesností se stabltou eletrcého osclátoru, terý řídí vzorování sgnálu př měření. V tomto ohledu je analýza vlastností strojů mnohem omplovanější než analýza eletroncého obvodu. Konstantní počet vzorů na otáču stroje bl u sgnálových analzátorů v mnulost zajšťován eterně řízeným vzorováním napřílad od IR snímače produujícího počet mpulsů v počtu stove, nejčastěj mocnnu dvou, ab záznam vhovoval výpočtu FF. Je vša obtížné přpojt na onec hřídele encoder a zajstt jeho naprosto snchronní otáč s analzovaným strojem. Často blo možné zísat jen jeden mpuls za otáču. K sgnálovým analzátorům se proto dodával frevenční násobč jao napřílad BK 55. Regulace frevence mpulsů na výstupu násobč nemohla být z podstat funce fázového závěsu přesná. Frevenční násobč se proto už nepoužívají, jejch místo zastouplo software analzátoru, terému se říá dgtal order analss.. Dgtal order analss ento způsob řádové analýz se opírá o vzorování stálou frevencí a následný přepočet vzorů sgnálu na rozložení nových vzorů ta, ab jejch počet pro jednu perodu, napřílad otáču, bl fní a pro případ výpočtu FF roven mocnně dvou. řevzorování znamená nterpolac nových vzorů mez původním vzor. ostup je znázorněn na obrázu. ro převzorování je uměle zvýšena vzorovací frevence obvle dvarát nebo čtřrát a až pa se provádí nterpolace. Samplng at the constant frequenc n z Upsamplng b or 4 Resamplng accordng to rotatonal frequenc me or frequenc analss Low pass fltraton Interpolaton Upsamplng b 4 Obráze : ostup převzorování Addng 3 zeros n between samples Low pass fltraton, 4 z cut-off frequenc me stor :Sne,5,,5, -,5 -, -,5,,5,5,75, me [s] me stor : upsample(,4),5,,5, -,5 -, -,5,,5,5,75, me [s],5 Interpolated sgnal,,5, -,5 -, -,5,,5,5,75, me [s] RMS,8,6,4, Autospectrum : Sne - Frequenc range, 3 4 Frequenc [z] RMS 4 z Autospectrum of upsample(,4),4,3,,, Frequenc [z] Autospectrum : Interpolated sgnal -6 Interpolaton error Frequenc [z] Obráze : Zředění sgnálu se čtřnásobným zvětšením vzorovací frevence RMS db/ref 4 z multpled b 4

3 Shannonův vzorovací teorém vžaduje aspoň dva vzor za perodu harmoncého sgnálu. eoretc je třeba pro jednu perodu tohoto sgnálu,56 vzorů př respetování přechodového pásma antalasngového fltru. ro tento hranční počet b bla nterpolace nepřesná. Další zpřesnění lze dosáhnout napřílad čtřnásobným zvětšením vzorovací frevence operací, terá se nazývá zředění sgnálu, což v daném případě znamená čtřnásobné zvětšení vzorovací frevence. Mez sousední vzor vloží tř nul. Zředění sgnálu vša změní frevenční spetrum. ůvodní sgnál lze obnovt dolnopropustnou fltrací. Algortmus zvýšení vzorovací frevence zředěním nulam je demonstrován na obrázu. Frevenční spetrum s nulovým vzor se po výpočtu FF změní. Zobrazovaná polovna spetra obsahuje dvě úplná spetra ve směru frevenční os vedle sebe. rvní úplné spetrum má nenulové slož o frevencích a 7 z a druhé spetrum má nenulové slož o frevencích 9 a 5 z. oto spetrum je zobrazováno jao ostatní spetra reálných sgnálů jen polovčním počtem slože. Úplné spetrum obsahuje celem 4 úplná spetra výchozího nezředěného sgnálu, protože se vzorovací frevence tímto způsobem zvětšla čtřrát. Dolnopropustná fltrace v uvedeném příladu bla provedena pro jednoduchost prostřednctvím fltrace ve frevenční oblast. Vložení vzorů znamenalo zvětšení vzorovací frevence na celočíselný násobe původní vzorovací frevence. Další ro výpočtu vžaduje jž změnu vzorování danou neceločíselným násobem vzorovací frevence, tj. teoretc umístění nového vzoru mez původní vzor na lbovolné místo, ja uazuje obráze 3. K nterpolac mez vzor sgnálu se zvětšenou vzorovací frevencí může být vužt napřílad Newtonův nterpolační polnom. Interpolaton Orgnal samples New samples Obráze 3: Interpolace mez vzor. Řádové spetrum Ja jž blo uvedeno, frevenční spetrum má frevenční stupnc v hertzích. Rozdíl frevencí sousedních slože spetra je roven převrácené hodnotě dob trvání záznamu, ze terého se počítá FF. Nechť je FF převzorovaného sgnálu počítáno počítána ze záznamu o délce odpovídající přesně jedné otáčce. V tomto případě bude frevenční vzdálenost slože rovna frevenc otáče. Slož spetra lze pa označovat pořadím jao harmoncé frevence otáčení, tj. bezrozměrné řád Order nebo ve zratce Ord, vz. obráze 4. D = Drect urrent Recprocal value of the tme D nterval length for FF Frequenc [z] D Order [-] Multples of the tacho mpulse frequenc, mpulse per revoluton Obráze 4: Interpolace mez vzor

4 Jestlže bude pro výpočet FF vzat záznam o délce n-násobu celého otočení, pa spetrum bude obsahovat zlomové řád o frevenční vzdálenost / n. Výpočet řádového spetra s použtím FF vede e stanovení ampltud a fáze zvoleného řádu..3 řílad řádové analýz řílad převzorování je znázorněn na obrázu 5. eroda sgnálu se zracuje, což odpovídá vzrůstu rchlost otáčení. V daném případě bude po převzorování obsahovat aždá otáča stejný počet vzorů. Řádové spetrum bude obsahovat jen harmoncé slož záladní frevence otáče. Input sgnal samples 5 samples samples onstant samplng frequenc samples samples samples Resampled sgnal Samplng frequenc s proportonal to rotatonal frequenc Obráze 5: řílad převzorování sgnálu př rozběhu točvého stroje Další přílad řádové analýz je uveden na obrázu 6. V tomto obrázu je pro srovnání znázorněno frevenční spetrum s frevenční osou v hertzích. ro určení odezv záběru ozubených ol je třeba znát otáč vstupní nebo výstupní hřídele a samozřejmě počet zubů souolí. Záběrová frevence ozubeného ola (GMF gear menng frequenc) je dána součnem frevence otáčení ozubeného ola a jeho počtu zubů. Řádové spetrum je možné vpočítat buď pro frevenc otáčení vstupního nebo výstupního hřídele. ato frevence se určí z frevence tachosgnálu. řevzorování záznamu se provádí pro časové nterval ohrančené sousedním mpuls tachosgnálu, přesněj mez oamž přeročení náběžné nebo sestupné hran tachopulsů trmovací úrovn. očet vzorů záznamu po převzorování je volen ta, ab blo možné vpočítat spetrum užtím algortmu FF. Řádové spetrum má frevenční osu v Order, terá je bezrozměrná a udává frevenc jao násobe frevence otáčení vstupního hřídele s pastorem o počtu zubů 7. Záladní frevence odezv záběru zubů má ted bezrozměrnou frevenc 7 ord. Ampltuda této omponent spetra je vpočtena přesně bez zreslení vlvem známého jevu, prot terému se čelí používáním časových oen. V řádové analýze sgnálů, teré obsahují jen omponent s celočíselným násobem záladní frevence, není třeba použít specální časové ono. Vlvem olísání otáče jsou slož o záběrové frevenc neostré a navíc zreslen.

5 Frequenc and order spectrum of a gearbo vbraton RMS [m/s],3,5,,5,,5, Autospectrum : SF8 : Vbrace,8 GMF = 58 z,4,4 3 Frequenc [z] A smple gear tran 7 teeth 93 RM 46 teeth 759 rpm RMS [m/s],3,5,,5,,5, Autospectrum : SF8 : Resamplng (Vbrace),7,3 GMF = 7 ord, Order [-] achometer Notce dfferences n sdebands of the GMF components Obráze 6: Frevenční a řádové spetrum vbrací převodov s ozubeným ol 3 Kvadraturní směšování Kvadraturní směšování (anglc quadrature mng) je metoda demodulace modulovaného harmoncého sgnálu. Nosná frevence je rovna frevenc slož, jejíž ampltudu a fáz je žádáno sledovat. Kvadraturní směšování posune sledovanou frevenční složu sgnálu o zmíněné frevenc do nul ta, že po dolnopropustné fltrac lze určt ja její ampltudu, ta fáz. Nechť je harmoncý sgnál popsán vzorcem ve tvaru ( t) A( t) ( t + Φ( t) ) = sn ω () de A(t) je v čase proměnná ampltuda, Φ(t) je v čase proměnná fáze a ω = π f je úhlová frevence. Modulovaný sgnál lze rozložt na dva modulované sgnál s fázovým posunem 9 ( t) I( t) sn( ω t) + Q( t) ( ω t) cos = () de pro jednotlvé časově proměnné ampltud platí I( t) = A( t) sn( Φ( t) ), Q( t) = A( t) cos ( Φ( t) ) (3) Složa s funcí osnus se nazývá vadraturní. Oddělt od sebe obě slož lze vadraturním směšováním, jehož prncp je znázorněn na obrázu 7. Výchozí sgnál (t) je vnásoben jsn ω t ( j = je magnární jednota). cos ω a ( ) funcí ( ) t

6 ( t) j sn( ω t ) Re { ( t) } Low pass flter Low pass flter { ( t) } ( ω t) = sn( ω t + ) Im cos π Obráze 7: Kvadraturní směšování Re { z( t) } { ( t) } Im z Výslede násobení nebol vadraturního směšování je omplení sgnál, terý je označen (t) ( t) A( t) sn( ω t + Φ( t) )( cos( ω t) + j ( ω t) ) sn = (4) Reálná a magnární složa ompleního sgnálu je následující { ( t) } A( t) sn( ω t + Φ( t) ) cos( ω t) = A( t) ( sn( Φ( t) ) + sn( ω )) Re = t (5) { ( t) } A( t) sn( ω t + Φ( t) ) sn( ω t) = A( t) ( cos( Φ( t) ) cos( ω )) Im = t (6) ůvodní nosný sgnál zdvojnásobl v obou složách frevenc. o dolnopropustné fltrac lze dostat Re{ z( t) } = A( t) sn( Φ( t) ) (7) Im z t = A t cos( Φ t ) (8) { ( )} ( ) ( ) RMS RMS - -,4,3,,, me stor : Sne z /AM z,,,4,6,8, me [s] -sde autospectrum ( ) ( )( ( ) ( )) t = t cos ωt j sn ωt,4,3,,, Frequenc [z] Frequenc shft ( ) ( ) A t = +.5sn ωmt Φ( t) = Samplng frequenc f S = 64 z arrng frequenc f = z Ampltude modulaton nde.5 frequenc f M = z,8,4, -,4 -,8, -,5 -, Obráze 8: řílad na vadraturní směšování Re Im { ( t) } = ( t) cos( ω t) { ( t) } = ( t) sn( ω t) -,5,,,4,6,8, Low pass fltered (cut-off frequenc 5 z), -, -,4 -,6 -,8 real mag -,,,,4,6,8, me [s]

7 Absolutní hodnota sgnálu po vadraturního směšování je obála nebo ampltuda slož sgnálu o úhlové frevenc ω =π f a fáze tohoto sgnálu je fáze měřená oprot modulačnímu sgnálu ( z( t) ) z( t) = A( t) A( t) z( t) Abs = = (9) { z( t) } Im{ z( t) } tan( Φ ( t) ) [ Φ ( t) ] arctan( Re{ z( t) } Im{ z( t) }) Re = = () WRAED řílad na vadraturní směšování je uveden v obrázu 8. V tomto příladu je místo modulační slož sn(..) použta složa sn( ). Výslede výpočtu fázového posunu se lší jenom ve znaménu oprot teoretcým vzorcům Kvadraturní směšování vžaduje znalost oamžté frevence slož, terou je žádáno sledovat. 4 Vold-Kalmanova fltrace Výstupem Kalmanova fltru je časový průběh vývoje stavu lneárního sstému, terý je dostupný jen prostřednctvím nepřímého pozorování časového vývoje jstého vetoru dat. Algortmus odhadování je reurzvní, ted zvláště vhodný pro číslcové zpracování dat v reálném čase, a chba odhadu je mnmální ve smslu statstcém, což znamená, že střední hodnota druhé mocnn chb je mnmální. Bez blžšího popsu podstat reurzvních výpočtů bude v úvodu popsáno jen zadání úloh fltrace jao referenční metod Vold- Kalmanově fltrac. Označení velčn bude převzato z nh []. Záladem fltru, jehož bloové schéma je na obrázu 9, jsou dvě rovnce. rvní rovnce (process equaton) popsuje vývoj stavu procesu popsaného v časovém oamžu n vetorem stavových proměnných (n) ta, že je defnována souvslost mez stavovým vetorem v oamžu n a v následujícím oamžu n +. Stav procesu v oamžu n+ je ovlvněn náhodným vetorem v (n). Slož tohoto náhodného vetoru jsou člen bílé posloupnost, tj. lze je označt za neorelovaný šum. Druhá rovnce (measurement equaton) modeluje měření stavu. Zatímco první rovnce bla v prncpu dnamcá dferenční, představuje druhá rovnce prostou transformac hodnot vetoru stavu prostřednctvím transformační matce na hodnot přístupné měření (n). ransformovaný stav ovlvněn adtvním šumem v (n). Vetor šumu obsahuje taé slož představující bílé posloupnost. Bloové schéma vzájemných vazeb lze znázornt na následujícím dagramu. Smbol z znázorňuje posunutí o jeden vzore (E je jednotová matce) (n+) (n) (n) v ( n ) Σ z E ( n ) Σ F(n+,n) v ( n ) Obráze 9: Kalmanův fltrání ( ) ˆ v a odhadu počátečního stavu Výstupem Kalmanova fltru jsou odhad vetoru stavu procesu n ( ),.., ( n) časovém oamžu n na záladě měřených hodnot ( ),.., ( n) ˆ ( ) a orelačního vetoru chb tohoto počátečního odhadu. ( ) Zadání úloh Kalmanov fltrace lze aplovat na problém etrace harmoncé slož z měřeného sgnálu. Stav procesu lze v této úloze považovat za hledanou harmoncou složu, terá v součtu se zbývajícím složam sgnálu představuje měřený sgnál. ops vývoje stavu procesu představující tuto harmoncou složu s případně měnící se frevencí bude předvedeno v další část popsu. Modelování měření představuje sumac harmoncé slož se

8 zbtem slože obsažených v sgnálu. Jstý problém vša představují budící sgnál v (n) a v (n) uvedeného sgnálového dagramu na obrázu 9. Jejch rozptl nejsou předem znám a navíc sgnál v (n) nemusí být domnující bílý šum, ale další harmoncá složa o jné frevenc. rvní práce, teré publoval Vold a Leurdan [3], se datují roem 993. Detal postupu výpočtu vša nejsou popsován. V úvahách Volda se respetuje neznalost rozptlů obou zmíněných budících posloupností a ve výpočtu se ovládá jen jejch vzájemný poměr, terý ovlvňuje frevenční vlastností fltru. Nový způsob fltrace autorů Vold a Leurdan je nsprující a otvírá nové možnost řádové analýz sgnálů se známou frevencí, terá je odvozena z měření otáče. opularzace této metod fltrace bla zajštěna její mplementac do sgnálového analzátoru ULSE frm Brűel & Kjær [4]. 4. Vold-Kalmanův fltr první generace Účelem první generace fltru tohoto tpu blo etrahování modulované harmoncé slož o známé frevenc pro analýzu časového průběhu změn její ampltud napřílad za rozběhu stroje. Zvýšena ampltuda může ndovat napřílad rezonanc. Vold-Kalmanův fltr může být použt taé odfltrování zvolené část spetra pro sstém analzující valtu zvuu. 4.. Datová rovnce Jestlže z měřeného sgnálu se vzor (n) je žádoucí etrahovat jednu harmoncou složu, pa datová rovnce vjadřuje prostý fat, že měřený sgnál je složen z etrahované harmoncé slož se vzor označeným (n) a zbtu sgnálu se vzor označeným η(n), de n =,,, N znamená pořadí vzoru. Její tvar pro vzor s pořadím n je následující ( n) = ( n) + η ( n) armoncá složa může být ampltudově nebo fázově modulována. Zbtové slož sgnálu mohou představovat nejen šroopásmový šum, ale taé další harmoncé slož. Obecný tvar datové rovnce pro vzor s pořadím n a s počtem sledovaných harmoncých slože (n) je () ( n) ( n) + η ( n) = = ento vztah platí pro aždý naměřený a etrahovaný vzore sgnálu. () 4.. Struturální rovnce pro harmoncý sgnál V čase spojtý harmoncý sgnál ( t) = Acos( ω t) je řešením dferencální rovnce druhého řádu s nulovým součntelem tlumení. ro případ vzorování sgnálu v dsrétních časových oamžcích t n = n t, n =,,, je harmoncý sgnál řešením dferenční rovnce rovněž druhého řádu, jejíž charaterstcá rovnce má dva ompleně sdružené ořen z = ep( jω t) z = ep( jω t) (3) (4) de ω je úhlová frevence. Obecné řešení dferenční rovnce druhého řádu rovnce se zapsuje ve tvaru n n ( n) = ( z z ) + (5)

9 haraterstcý polnom tvoří součn ořenových čntelů ( z z )( z ) lze reonstruovat výchozí homogenní dferenční rovnc ( n) cos( t) ( n ) + ( n ) = z, ze terých ω (6) přčemž její oefcent u (n-) je vhodné označt c ( n) = cos( ω t). (7) K výpočtu posloupností vzorů postačují hodnot prvních dvou vzorů a samozřejmě velost úhlové frevence. Výsledem řešení homogenní dferenční rovnce s onstantní velostí ω je harmoncý sgnál o onstantní ampltudě. armoncé slož měřených sgnálů z rotačních strojů mění ve sutečnost svou frevenc a ampltudu, tj. stávají se modulovaným harmoncým sgnál. Jednu harmoncou složu může popsovat rovnce ( n) cos( ω t) ( n ) + ( n ) = ε ( n) de ε(n) je budící funce, terá spolu s velost oamžté úhlové frevence ω určuje řešení dferenční rovnce s pravou stranou. řenos budící funce ε(n) na posloupnost vzorů (n) není stablní, protože ořen charaterstcé rovnce leží na jednotové ružnc. Zesílení je neonečné pro složu o úhlové frevenc ω Soustava datových a struturálních rovnc Datové rovnce pro všechn naměřené vzor sgnálu a neznámé harmoncé slož o celovém počtu N s ndvduálním vzor lze zapsat tato ( ) ( ) ( N ) ( ) ( ) ( N ) ( ) ( ) η = η η ( N ) ohodlnější je používání zráceného zápsu pomocí vetorů = η () Velost zbtového sgnálu jao vetoru lze ohodnott jeho euldovsou normou (zobecněnou délou), terá v případě reálných sgnálů představuje součet čtverců jednotlvých vzorů η ( n ) = ( n) ( n), n =,, N. Vetorový záps této euldovsé norm zjednodušuje transpozce vetoru η η = ( )( ) odobně jao datové rovnce lze taé struturální rovnce v počtu N - pro jednotlvé vzor uspořádat následujícím způsobem c ( ) c ( ) c ( N ) ( ) ( ) ( N ) ( 3) ( 4) ε = ε ε ( N ) Menší počet rovnc než N je dán řádem dferenční rovnce. Jao v případě datových rovnc je pohodlnější pracovat s matcovým zápsem soustav struturálních rovnc. (8) (9) () ()

10 A = ε, (3) de A je pásová třídagonální obdélníová matce s N sloupc a N - řád. odobně jao zbtový sgnál η(n) lze taé velost budící funce se vzor ε ( n ), n =,, N ohodnott její euldovsou normou. ranspozce vetoru zjednodušuje záps součtu čtverců ε ε = A A (4) Násobením matce A (horní nde označuje transpozc) matcí A vznne čtvercová smetrcá matce o rozměru NN. Euldovsá norma vetoru obsahujícího budící funce má tvar vadratcá form A A pro lbovolný nenulový vetor budících funcí. ato vlastnost se nazývá poztvní semdefntnost čtvercové smetrcé matce A A. ásovost se zvýší na 5, přčemž nenulové prv jsou na dvou dagonálách pod a nad hlavní dagonálou této čtvercové pásové matce Globální řešení datových a struturálních rovnc Výsledem fltrace má být nalezení neznámého vetoru, terý musí vhovovat soustavě datových a struturálních rovnc. očet prvů vetoru je N a počet rovnc N + (N - ) = N -. Mez neznámé patří taé vetor ε s N - prv a η s N prv, pa počet neznámých 3N je všší než počet rovnc, tj. soustava rovnc je vzhledem e zmíněným třem neznámým vetorům nedourčena. K soustavě rovnc mohou být přpojen podmín, podle terých je požadováno, ab vetor ε, η měl mnmální euldovsou normu, a ab tto norm bl v žádoucím vztahu, tj. ab blo mnmalzováno rtérum ve tvaru ( r A A + E) J = r ε ε + η η = (6) de r je váhový oefcent, terý určuje předepsaný vzájemný vztah mez euldovsým normam zbtového sgnálu a budící funce. Ja bude dále uázáno, podmína mnmální velost váženého součtu a zvolený váhový oefcent dávají vpočtenému vetoru výhodné vlastnost, protože realzují fltr s výhodným průběhem frevenční charaterst představující pásmovou propust. odnot váhového oefcentu blízé nule zmenšují vlvnost struturální rovnce a fltr ztrácí účnnost. odle monografe o specálních matcích [5] lze doázat, že jestlže je hlavní dagonále poztvně defntní matce přčteno lbovolně malé číslo, pa je výsledná matce poztvně defntní, tj. pro lbovolný nenulový vetor budících funcí platí ostrá nerovnost ( r A A + E) >. rotože smetrcá čtvercová matce ( r A A + E ) je poztvně defntní, je taé regulární a ted estuje její nverzní matce. rvní dervace salárního rtéra J podle vetoru se pro mnmalzac tohoto rtera položí rovna nulovému vetoru J = r A A + což lze přepsat do tvaru ( ) = B = (8) (5) (7)

11 de B = r A A + E. Řešení soustav rovnc je dáno následujícím vzorcem = B (9) 4..5 Adaptace váhového oefcentu na frevenc a šířu propustného pásma Analýza frevenčních vlastností pásmového fltru bl na záladě výpočtu harmoncého sgnálu s onstantním váhovým součntelem, terý se uplatnl v rteru. Ve vetoru budící funce A = ε (3) je vhodné ndvduálně vážt aždou její složu ta, ab pro oamžtou frevenc naladění fltru bla zajštěna vhodná hodnota váhového součntele pro zvolenou šířu propustného pásma fltru, tj. K A = Kε K (3) de K je dagonální čtvercová matce s N- sloupc a N- řád s ladným dagonálním prv závslým na oamžté frevenc naladění fltru a požadované šířce propustného pásma fltru, = ( f, f ). Euldovsá norma vetoru budící funce bude obsahovat součn čtvercových matc s váhovým oefcent ε K K Kε K = A K K A (3) Krterum pro globální řešení datových a struturálních rovnc nabude tvar J = ε K Kε + η η (33) K K Vlastnost matc se nezmění a řešení lze nalézt jao pro předchozí formulac úloh. 4. Vold-Kalmanův fltr druhé generace Výslede fltrace Vold-Kalmanovýn fltrem první generace je časový průběh sledované harmoncé slož sgnálu, terá je frevenčně a ampltudově modulována. Oamžtá frevence je součástí zadání fltrace. Zájem se proto soustřeďuje jen na obálu (ampltudu) sledované slož. ato defnovaná úloha fltrace patří Vold-Kalmanovu fltru druhé generace. 4.. Datová rovnce Obálu sgnálu lze vpočítat z ampltud snové slož a ampltud osnové slož. ento postup užívá zbtečně mezvýpočet dílčích údajů a ompluje řešení. Výhodnější je modelovat sledovaný sgnál jao omplení harmoncý sgnál s omplení ampltudou. Datová rovnce pro jednu sledovanou složu má ted tvar ( n) ( n) ( jθ( n) ) + η ( n) = ep (34) de (n) je omplení ampltuda nebo taé obála sgnálu, j je magnární jednota, Θ( n) je průběžná fáze sgnálu od počátu záznamu a n je pořadí vzorů, přčemž n =,, N. Shodně jao v datové rovnc fltru první generace je (n) měřený sgnál a η(n) zbtový sgnál. růběžná fáze sgnálu je obecně rovna časovému ntegrálu úhlové frevence. V případě vzorovaných sgnálů se vpočte podle vzorce Θ n ( n) = ( ) = ω t (35)

12 de ω(n) je oamžtá úhlová frevence a t = f je nterval vzorování. Záps soustav datových rovnc pro všechn naměřené vzor lze uspořádat do vetorového tvaru de S = η (36) = je dagonální omplení matce s dagonálou obsahující vzor fáze { ep( jθ( ) ), ep( jθ( ) ),, ( jθ( N ))} = dag ep (37) ato matce stejně jao vetor, η je omplení. ro hodnocení průběhu zbtového sgnálu η se použje opět euldovsá norma vetoru. rotože jsou vetor omplení, je třeba nejen vetor transponovat, ale taé změnt znaméno magnární slož. ento transponovaný ompleně sdružený vetor se označí η. Součn tohoto řádového vetoru a původního sloupcového vetoru je reálné číslo. Operace transponování matce a obrácení znaména magnární část jejch prvů se označuje horním ndeem. V případě matc se výsledná matce označuje jao hermtovsá. ro euldovsou normu vetoru zbtového sgnálu platí η η = ( )( ) 4.. Struturální rovnce pro obálu harmoncého sgnálu Struturální rovnce generuje účnem budící posloupnost omplení ampltudu sledované modulované harmoncé slož. Nejjednodušší požadave na posloupnost ampltud je, ab se po sobě jdoucí hodnot odlšoval o určtou chbu představující budící sgnál, tj. ( n) ( n ) + ε ( n) = (39) oslední rovnce obsahuje jeden zpožděný vzore ampltud a nahrazuje průběh obál po úsecích onstantou. uto rovnc lze taé zapsat užtím operátoru zpětné dference ( n) = ε ( n). (4) Může být taé požadováno, ab rozdíl dvou sousedních dferencí mez vzor obál se odlšoval o určtou chbu. Časový průběh ampltud sgnálu se nahrazuje (apromuje) lneárním úse. ro atuální vzore platí ( n) = ( n ) + ( n ) ( n ) + ε ( n) (38). (4) Užtím operátoru zpětné dference lze tento vzorec zapsat ve tvaru ( n) = ( n) ( n ) = ε ( n). (4) Odvozená podmína obsahuje dva zpožděné vzor ampltud. ř zpožděné vzor ampltud obsahuje rovnce, terá nahrazuje časový průběh obál po úsecích parabolou ( n) = ( n ) 3( n ) + ( n 3) + ε ( n) 3. (43) Operátorový tvar je následující ( n) = ( n) ( n ) = ε ( n) 3. (44) Navržené struturální rovnce obsahují na pravé straně budící func. Řešení těchto dferenčních rovnc bez budícího sgnálu, tj. jao homogenních s nulovou pravou stranou, je v prvním případě onstanta. Ve druhém případě je řešením lneární funce pořadí vzorů nebo

13 jna řečeno polnom prvního stupně v proměnné, terou je pořadí vzoru. Ve třetím případě jde o vadratcou func pořadí vzorů n. Jestlže budící funce bude považována za vstupní posloupnost lneární soustav, pa její přenos na posloupnost výstupní, terou jsou vzor obál, je nestablní. haraterstcá rovnce má obecně násobný ořen v bodě omplení rovn. Zobecněním předchozích rovnc lze formulovat podmínu pro apromační polnom obecného stupně, podle níž je dference apromačního polnomu řádu + rovna nule, tj. + ( n) =. (45) rotože se obála sgnálu mění v důsledu ampltudové modulace sledované slož sgnálu, je třeba struturální rovnc doplnt budící funcí. Obecný tvar struturální rovnce je očet pólů ( n) = ε ( n) +. (46) Struturální rovnce pro tto fltr mají tvar Struturní rovnce ( n) ( n ) = ε ( n) ( n) ( n ) + ( n ) = ε ( n) 3 ( n) 3 ( n ) + 3( n ) ( n 3) = ε ( n) 4 ( n) 4 ( n ) + 6( n ) 4( n 3) + ( n 4) = ε ( n) Soustavu struturních rovnc pro všechn výstupní vzor lze obecně popsat matcovou rovncí, terá bla použta u analýz Vold-Kalmanova fltru první generace, tj. s matcí soustav A, vetorem neznámých hodnot omplení obál a vetorem pravých stran ε. Matce soustav A obsahuje jen onstantní prv v závslost na řádu fltru. Její rozměr pro jednopólový fltr je (N )N, pro dvoupólový fltr je rozměr matce soustav (N )N a pro třígólový fltr je rozměr (N 3)N. Jednopólovému fltru odpovídá dvoudagonální obdélníová matce následujícího tvaru A =. (47) 4..3 Globální řešení datových a struturálních rovnc pro obálu harmoncého sgnálu Oprot postupnému zobecňování v případě fltru první generace bude u fltru druhé generace předpoládáno, že z důvodu adaptace na měnící se frevenc sledované slož sgnálu jsou vzor budící funce, teré tvoří vetor, násoben ndvduálně váhovým oefcent. to reálné váhové oefcent tvoří hlavní dagonálu dagonální matce K. Účelem je adaptovat váhový oefcent na průběžně se měnící frevenc sledované slož. Euldovsá norma charaterzující velost vetoru složeného ze vzorů budící funce, teré jsou násoben váhovým oefcent, se změní s ohledem na sutečnost, že budící funce je omplení stejně jao vetor obál. K transpozc vetoru pro výpočet norm je třeba přdat taé změnu znaména magnární část jeho prvů, ab výslede násobení vetorů blo reálné číslo, tj.

14 ε K Kε = A K KA = D. (48) S ohledem na počet neznámých je soustava rovnc, teré jsou dspozc pro výpočet obál, nedourčena. Stejně jao v případě fltru první generace, taé pro řešení těchto rovnc se doplní pomocným rtérem z váženého součtu euldovsých norem budící funce a zbtového sgnálu ve tvaru ( )( ) J = D +. (49) de D = A K KA je pomocná čtvercová matce zjednodušující záps vzorců. Mnmum rtéra se vpočte stejným postupem jao u fltru první generace = B dag{ ep( jθ( ) ), ep( jθ( ) ),, ep( jθ( N ))}. (5) resp. = B, (5) de B = A K KA + E. 4.3 Křžování řádů V předchozím tetu bl popsán výpočet výstupu Vold-Kalmanova fltru pro sledování jednoho řádu, tj. omponent spetra s frevencí měnící se v závslost na čase. Něteré stroje obsahují dva rotor s velm volně vázanou frevencí otáčení. Zvolené násob frevence otáčení mohou splývat, což se označuje jao řžování řádů. Obecně lze řešt úlohu s rozladem na harmoncých omponent. Datová rovnce pro případ, d je hledána obála něola omponent současně, bude obecnější než v předchozích případech ( n) ( n) ( jθ ( n) ) + η ( n) = = ep (5) Krterum pro řešení soustav nedourčených rovnc bude taé obecnější než v předcházejících případech = + = + J r ε ε η η r A A. (53) = = = = Neznámé vetor, =,, v počtu mají mnmalzovat předcházející rterum. ostup výpočtu neznámých vetorů, určujících obálu, je shodný jao v předcházejících případech. Výsledem postupného dervování podle těchto neznámých vetorů je výrazů, teré se musí v etrému rtera J rovnat nule J = B + = =, =,, V rovncích bla použta substtuce B = r A A + E a = E. Řešení soustav přímo je pratc nemožné. Matce soustav už není pásová, ale je složena z pásových bloů na hlavní dagonále a dagonálních bloů mmo tuto dagonálu. Matce soustav rovnc B = b včetně vetoru neznámých velčn a vetoru pravé stran má následující struturu (54)

15 B B = ásové matce B omplení dagonální matce B, =, b = (55) B s reálným prv jsou smetrcé a poztvně defntní a protože pro platí ( ) j =, je matce B soustav rovnc hermtovsá. Strutura nenulových prvů matce napřílad pro = 4 je znázorněna na obrázu. Jednotlvé blo jsou čtvercové matce o počtu řádů dosahujících desíte tsíc. Bloové matce na hlavní dagonále jsou pásové matce s něola nenulovým dagonálam (mezní počet něol desíte). Mmo hlavní dagonálu jsou bloové matce dagonální. j j Obráze : Strutura matce soustav rovnc Vhodným postupem se jeví metoda terační, terý bude těžt z vlastností matce soustav. ento postup pro Vold-Kalmanův fltr dříve navrhl taé Feldbauer, h. & oldrch, R. [6]. Iteračních metod pro řešení soustav lneárních rovnc je velm mnoho. Monografe popsující terační řešení soustav lneárních rovnc (Saad: Iteratve Methods for Sparse Lnear Sstems) nebo doumentace Matlabu označují jao zvláště vhodnou a navíc oblíbenou metodu pro řídé postvně defntní smetrcé matce (smmetrc postve defnte SD), terá se nazývá recondtoned onjugate Gradent (G) Algorthm. G metoda ombnuje terační řešení B M u = b s přímým výpočtem = M u (57) de M je předpodmínová snadno nvertovatelná matce. Iterační výpočet vžaduje první odhad řešení. 4.4 řílad rvní přílad na obrázu vpočítává obálu něola slože sgnálu zrchlení, terý bl naměřen na eletrcém motoru během rozjezdu. Jde o., 3., 9. a. armoncou frevence otáče. Druhý přílad z obrázu odděluje dva harmoncé sgnál se shodnou ampltudou rovnou jedné, přčemž první sgnál má onstantní frevenc 5 z a druhý mění svou frevenc lneárně s časem z frevence z na frevenc z. Odchl od jednotové ampltud jsou na začátu a onc v rozsahu až %. o 5 teracích se chba řešení zmenší soro tsícrát. (56)

16 RM [m/s] me stor : Interpolated RM : RM samples = 7378 equatons me [s] me stor : Vbraton - Input : Vbraton 5 5 me [s] RMS [m/s] RMS [m/s] Vold-Kalman : Vbraton - Input : Vbraton me [s] Vold-Kalman : Vbraton - Input : Vbraton me [s] ord 3 ord 9 ord ord Obráze : Rozběh eletrcého motoru he sum of two harmonc sgnals wth the same unt ampltude Envelope Resduum he frequenc of the st component the nd component samples * components = equatons me Iteratons Obráze : Oddělení řžujících řádů 4.5 Aplace Vold-Kalmanov fltrace v pra Vold-Kalmanova fltrace je metoda nevhodná pro reálný čas. Výpočet časového průběhu vfltrované slož sgnálu nebo její obál je možný jen po uončení měření, tj. v režmu postprocesngu. ro fltr bl nalezen aplace z oblast testování valt výrobů, d je zapotřebí rchlý rozjezd a dojezd s měřením vbrací a hluu. ř tomto měření se sledují vbrané řád (násob záladní frevence stroje) a dagnostuje se přeročení

17 mezních hodnot. říladem je aplace fltru pro rozbor vnějšího hluu vozdel, jehož frevenční složení závsí na otáčách motoru [], []. Ke smsluplné aplac Vold-Kalmanova fltru je třeba mít pod ontrolou šířu propustnho pásma fltru [3], [4]. Zajímavý je rovněž náběh fltru [7] až []. Na zdoonalování řádové analýz se ve světě ntenzvně pracuje [5] až [9]. 5 Závěr řínos práce spočívá hlavně v popsu teoretcých záladů a způsobu použtí metod řádové analýz sgnálů z rotačních strojů. ozornost je zaměřena na výpočet řádových speter, vadraturní směšování a Vold-Kalmanovu řádovou fltrac. Užvatel se dozví, ja vzpomenuté metod fungují a co je jejch výsledem. oděování/acnowledgement he research has been supported b zech Scence Foundaton under the project GA /9/894. Reference/References [] ůma, J. Zpracování sgnálů zísaných z mechancých sstémů.. vd. raha : Sdělovací techna, s. ISBN [] an, S. Adaptve flter theor. rentce all R, Upper Saddle Rver, New Jerse 7458, 996. [3] Vold,. & Leurdan, J. Order racng at Etreme Slew Rates, Usng Kalman racng Flters. SAE aper Number [4] Gade, S., erlufsen,., Konstantn-ansen,., Vold,., "haracterstcs of the Vold-Kalman Order racng Flter", B&K echncal Revew No [5] Fedler, M. Specální matce a jejch použtí v numercé matematce. SNL raha, 98. [6] Feldbauer, h. & oldrch, R. Realsaton of a Vold-Kalman racng Flter A Least Square roblem, roceedngs of the OS G-6 onference on Dgtal Audo Effects (DAFX-, Verona Ital, December 7-9,. [7] ůma, J. Vold-Kalman fltraton n MALABu (n zech). In roceedngs of Eleventh MALAB onference. raha : umusoft raha, 5.. 3, s [8] ůma, J. Frequenc Response of the Vold Order racng Flter. In XXVI. ASR Semnar, Instruments and ontrol, Ostrava, Aprl 6-7,. -8. [9] ůma, J. Vold-Kalman Order racng Fltraton as a ool for machne dagnostcs. In Engneerng Mechancs, Svrata, zech Republc. st ed. raha : Insttute of hermomechancs Academ of Scence, Ma 4-7,. 36. ISBN [] ůma, J. Sound Qualt Assessment Usng Vold-Kalman racng Flterng. In roceedngs of XXIX. Semnar ASR '4 Instruments and ontrol. Ostrava : Katedra AŘ, VŠB-U Ostrava, 4, pp ISBN [] uma, J. Dedopplersaton n Vehcle Eternal Nose Measurements. In roceedngs of Eleventh Internatonal ongress on Sound and Vbraton. St. etersburg : IIAV, , 5-58.

18 [] elant,. - ůma, J. - Beneš,. Vold-Kalman Order racng Fltraton n ar Nose and Vbraton Measurements. In roceedngs of the 33rd Internatonal ongress and Eposton on Nose ontrol Engneeng Internose 4. rague : zech Acoustcal Socet, , /8-8/8. ISBN [3] ůma, J. Settng the passband wdth n the Vold-Kalman order tracng flter. In: welfth Internatonal ongress on Sound and Vbraton, (ISV). Lsabon, Jul - 4, 5, aper 79. [4] ůma, J. he passband Wdth of the Vold-Kalman Order racng Flter. Sborní vědecých prací VŠB-U Ostrava, řada strojní r. LI, 5. č., příspěve č. 485, s ISSN -47. ISBN X. [5] KeSheng Wang, Approaches to the mprovement of order cracng technques for vbraton based dagnostcs n rotatng machne, Doctoral thess, Unverst of retora, [6] KeSheng Wang,.S. ens, he combned use of order tracung technques for enhanced Fourer analss of order components. Mechancal sstems and sgnal processng (), do:.6/j.mssp...5. [7] Yu Guo, Ko Kong an, gh effcent crossng-order decouplng n Vold Kalman flterng order cracng based on ndependent omponent analss, Mechancal Sstems and Sgnal rocessng, 4() [8] Yu Guo, Yln h, New decouplng approach for Vold-Kalman flterng order tracng, 郭瑜 - 振动与冲击, 9 - jvs.sjtu.edu.cn [9] Yu Guo; Ko Kong an; Sunan uang; Y Zhang; Nose removal n Vold-Kalman order tracng based on ndependent component analss. Internatonal onference on Automaton and Logstcs, Qngdao, hna September 8. < >