Základy korelační analýzy

Transkript

1 Základy koelačí aalýzy Doposud jsme se z hlediska biostatistiky zabývali hodoceím spojitých a diskétích áhodých veliči v jedé ebo více odlišitelých expeimetálích skupiách. Tato kapitola představuje úvod do koelačí aalýzy, s jejíž pomocí hodotíme vzájemý vztah dvou a více spojitých áhodých veliči. Nejjedoduššími ástoji po kvatifikaci tohoto typu vztahu jsou tzv. koelačí koeficiety, dva ejpoužívaější z ich zde uvádíme: Peasoův a Speamaův koelačí koeficiet. Předpokládaé výstupy z výuky: 1. Studet zá eálé příklady hodoceí vztahu dvou spojitých veliči. Studet umí defiovat Peasoův a Speamaův koelačí koeficiet a zá ozdíly v jejich použití 3. Studet ozumí picipům výpočtu Peasoova a Speamaova koeficietu 4. Studet je schope idetifikovat situace kdy je výpočet Peasoova a Speamaova koeficietu zavádějící 5. Studet dokáže sestojit iteval spolehlivosti po Peasoův i Speamaův koeficiet 6. Studet je schope testovat hypotézu, že koelačí koeficiet je ove ule 1 Úvod Poblematika hodoceí vztahů a souvislostí mezi dvěma a více spojitými veličiami, kteá je základem tzv. koelačí a egesí aalýzy (coelatio ad egessio aalysis) je velmi výzamou oblastí biostatistiky [1, ]. Úkoly, kteé můžeme řešit pomocí tohoto typu metod, jsou ásledující: 1. Zjistit, zda mezi sledovaými spojitými veličiami existuje poteciálí vztah, apř. zda vyšší hodoty jedé áhodé veličiy souvisejí s ižšími hodotami jié áhodé veličiy. Můžeme se apř. ptát, zda výše systolického kevího tlaku souvisí s kozumací sodíku, ebo zda vyšší hladia keví glukózy souvisí s vyšší hladiou jié látky v keví plazmě.. Pedikovat hodoty jedé áhodé veličiy a základě zalosti hodot jiých áhodých veliči. Naším cílem může být apř. pedikce hodot kocetací ějaké těžko měřitelé látky v postředí a základě zalosti kocetací látek příbuzých, kteé však těžko měřitelé ejsou. 3. Kvatifikovat vztah mezi dvěma spojitými áhodými veličiami, apř. po použití jedé z ich a místo té duhé jako diagostického testu. Můžeme si apř. klást otázku, jak moc spolu souvisí hladiy dvou kevích bílkovi, když bychom měřeí jedé z ich chtěli ahadit duhou. Nejjedodušším způsobem, jak zjistit, zda hodoty dvou spojitých áhodých veliči spolu ějak souvisí, je vykesleí bodového gafu (scatte plot), kteý ám ukazuje, jak hodoty jedé veličiy ostou ebo klesají v závislosti a duhé veličiě. Příklad bodového 1

2 gafu je uvede a obázku 1, kde je zobazea výška a hmotost studetů předmětu Biostatistika po matematickou biologii v jaím semestu 010. Výsledek je očekávaý, s vyšší výškou má tedeci ůst i hmotost, icméě vzhledem k tomu, že zobazeé body eleží a přímce, elze říci, že by mezi výškou a hmotostí byl přesě lieáí vztah. Hmotost (kg) Výška (cm) Ob. 1 Bodový gaf hodot výšky a hmotosti studetů matematické biologie. Peasoův koelačí koeficiet Nevýhodou bodového gafu je samozřejmě absece kvatifikace fukčího vztahu sledovaých veliči. Kvatifikace obecého fukčího vztahu je obtížá, po kvatifikaci lieáího vztahu áhodých veliči byl zavede tzv. Peasoův koelačí koeficiet (Peaso coelatio coefficiet). V teoetické podobě ho lze po áhodé veličiy X a Y s eulovým ozptylem vyjádřit ásledově: E(( X EX )( Y EY )) R( X, Y ) =. (11.1) DX DY Je důležité zdůazit, že Peasoův koelačí koeficiet chaakteizuje pouze lieáí vztah, jiak řečeo odáží pouze vaiabilitu kolem lieáího tedu. Po kvatifikaci elieáích závislostí je aposto evhodý. Základí vlastostí Peasoova koelačího koeficietu je, že abývá pouze hodot z itevalu 1, 1 s tím, že hodota R(X,Y) je kladá, když vyšší hodoty áhodé veličiy X souvisí s vyššími hodotami áhodé veličiy Y, a aopak je zápoá, když ižší hodoty X souvisí s vyššími hodotami Y. Hodoty 1, espektive -1, získáme pouze v případě, kdy body zobazeé v bodovém gafu leží a přímce s kladou, espektive zápoou směicí..1 Výpočet Peasoova koelačího koeficietu Teoetický výpočet R(X,Y) je podmíě zalostí kokétího ozděleí pavděpodobosti áhodého vektou (X,Y), což se v paxi stává velmi zřídka. Lieáí vztah áhodých veliči X a Y tak kvatifikujeme a základě výběového soubou. Výběový Peasoův koelačí

3 koeficiet stadadě začíme a při jeho výpočtu vycházíme z ealizace dvouozměého áhodého vektou o ozsahu, tedy dvojic pozoovaých hodot áhodých veliči X a Y po pví až -tou expeimetálí jedotku: x1 x, y1 y x, K,. (11.) y Výpočet výběového Peasoova koelačího koeficietu je pak ásledující: ( x i i x)( yi y) = 1 i= 1 = ( x i i x) ( y i i y) ( = 1 = 1 = xi yi x y, (11.3) 1) s s x y kde x a y jsou výběové půměy, sx a sy jsou výběové směodaté odchylky. Na obázku jsou zobazey ealizace áhodých veliči X a Y a k im příslušé výběové koelačí koeficiety po čtyři ůzé situace: gaf vlevo ahoře odpovídá úplé lieáí závislosti; gaf vpavo ahoře ukazuje příklad elativě silé zápoé koelace; vlevo dole pak vidíme slabě kladě koelovaé veličiy; vpavo dole jsou akoec zobazey veličiy ekoelovaé. Příklad 1. Vypočítejme výběový Peasoův koelačí koeficiet kvatifikující koelaci mezi výškou a hmotostí studetů předmětu Biostatistika po matematickou biologii v jaím semestu 010. Pozoovaé hodoty (ealizace áhodého vektou o ozsahu = 13) jsou uvedey v tabulce 1, avíc jsou předmětem obázku 1. Tabulka 1 Pozoovaé hodoty výšky a hmotosti 13 studetů Výpočet výběových statistik po jedoduchost vyecháme (laskavý čteář si je může jedoduše dopočítat a základě dat v tabulce 1), dosazeím do vztahu (11.3) získáme ásledující hodotu výběového Peasoova koelačího koeficietu: x i= 1 i yi x y , = = = 0,64. (11.4) ( 1) s s (13 1) 5,31,5 x y Hodota =0,64 ukazuje a silou koelaci, kdy s vyšší výškou oste i hmotost, což odpovídá očekáváí, icméě je třeba si uvědomit malou velikost výběového soubou a dvě odlehlé hodoty a obázku 1 odpovídající hmotosti 90 kg, kteé úplě ekoespodují se zbytkem soubou. Obě tyto skutečosti ovlivňují výsledou hodotu. 3

4 Pozoovaé hodoty y = 1 Pozoovaé hodoty y = -0, Pozoovaé hodoty x Pozoovaé hodoty x Pozoovaé hodoty y = 0,44 Pozoovaé hodoty y = 0, Pozoovaé hodoty x Pozoovaé hodoty x Ob. Ukázky ealizací áhodých veliči X a Y a vypočteé výběové koelačí koeficiety.. Iteval spolehlivosti po Peasoův koelačí koeficiet Jako každou výběovou statistiku je i výběový Peasoův koelačí koeficiet vhodé doplit 100(1 α)% itevalem spolehlivosti, kteý ám dá ifomaci o vaiabilitě tohoto odhadu. Na ozdíl od výpočtu bodového odhadu, kteý lze vypočítat a datech z ůzých ozděleí, je však v případě, že chceme ozhodovat o vlastostech Peasoova koelačího koeficietu (apř. kostuovat iteval spolehlivosti po ebo testovat hypotézy o ), uté učiit předpoklad o omalitě áhodých veliči X a Y. Jiými slovy, při výpočtu předpokládáme ealizaci dvouozměého áhodého vektou z dvouozměého omálího ozděleí o ozsahu. Dalším poblémem při kostukci itevalu spolehlivosti po je fakt, že výběové ozděleí výběového koelačího koeficietu eí omálí. Abychom byli schopi iteval spolehlivosti zkostuovat, je třeba použít tasfomaci a áhodou veličiu W, přičemž tasfomace je ásledující: 4

5 W 1 1+ = l. (11.5) 1 Lze ukázat, že áhodá veličia W má omálí ozděleí s ozptylem přibližě D ( W ) = 1/( 3), kde je velikost výběového soubou. Vzhledem k omalitě veličiy W má 100(1 α)% iteval spolehlivosti po její středí hodotu tva 1 d, h ) = w ± z1 α /, (11.6) 3 ( kde z 1-α/ je příslušý kvatil stadadizovaého omálího ozděleí. Výsledý 100(1 α)% iteval spolehlivosti po pak dostaeme zpětou tasfomací ve tvau exp(d ) 1 exp(h ) 1 d, h) = ;, (11.7) exp(d ) + 1 exp(h ) + 1 ( Příklad. Navážeme a příklad 1, kde byl vypočítá výběový koelačí koeficiet po vztah výšky a hmotosti studetů biostatistiky. Nyí po = 0,64 zkostuujeme 95% iteval spolehlivosti. Realizace tasfomovaé áhodé veličiy je ásledující: ,64 w = l = 0,758, (11.8) 1 0,64 Iteval spolehlivosti po středí hodotu áhodé veličiy W s α = 0,05 má tva ( d, h ) = 0,758 ± 1,96/ 13 3 = (0,138; 1,377), (11.9) z čehož plye výsledý 95% iteval spolehlivosti po výběový koelačí koeficiet vztahu výšky a hmotosti studetů biostatistiky exp(d ) 1 exp(h ) 1 d, h) = ; = (0,14;0,88). (11.10) exp(d ) + 1 exp(h ) + 1 ( Z výsledku vidíme, že 95% iteval spolehlivosti je velmi šioký, eboť připouští jak hodoty odpovídající silé koelaci ( = 0,88), tak hodoty odpovídající velmi slabé, ebo spíše žádé koelaci ( = 0,14). Zde je a viě zejméa malý ozsah výběového soubou, eboť je zřejmé, že a základě = 13 pozoováí je velmi obtížé dělat zásadí závěy ohledě vztahu dvou áhodých veliči. 5

6 .3 Test hypotézy o ulové koelaci dvou áhodých veliči I v případě malého výběového soubou, jaký byl použit apř. v příkladech 1 a, je logické klást si otázku, zda je či eí koelace dvou sledovaých veliči ulová. Tato situace vede a testováí ásledujících hypotéz: H : 0, H : 0. (11.11) 0 = 1 Po testováí je ezbytý předpoklad ealizace dvouozměého áhodého vektou o ozsahu z omálího ozděleí, což zameá, že máme k dispozici áhodý vekto x1 x,, y1 y x, y K, X i ~ N Yi µ 1 σ 1. (11.1) µ σ, Za platosti ulové hypotézy pak má statistika T = (11.13) 1 Studetovo t ozděleí pavděpodobosti s stupi volosti. Po oboustaou alteativu zamítáme ulovou hypotézu a hladiě výzamosti α = 0,05, když hodota testové statistiky ( ) přesáhe v absolutí hodotě kvatil. Je třeba pozameat, že testovou statistiku T t1 α / elze použít po testováí obecé hypotézy H = 0, eboť po ůzé od uly emá 0 : 0 testová statistika Studetovo t ozděleí. Postup po testováí hypotézy H0 : = 0 0 lze ajít apř. v [3]. Příklad 3. Povedeí testu o ulové koelaci dvou áhodých veliči opět demostujeme a datech výšky a hmotosti studetů biostatistiky. Realizace testové statistiky daé vztahem (11.13) je ásledující 13 t = = 0,64 =,76. (11.14) 1 1 0,64 Sováme-li výsledou hodotu testové statistiky t s kvatilem Studetova t ozděleí příslušým hladiě výzamosti α = 0,05, tedy povedeme-li sováí t =,76 >,0 = t = t α, (11.15) (11) 0,975 ( ) 1 / zamítáme H 0 o tom, že mezi výškou a hmotostí studetů biostatistiky je ulová koelace. 6

7 Jak bylo uvedeo výše, Peasoův koelačí koeficiet kvatifikuje míu lieáího vztahu mezi áhodými veličiami X a Y. Jeho výpočet je tedy aposto evhodý v situacích, kdy se o lieáí vztah mezi X a Y ejedá. Obázek 3 ukazuje čtyři situace, kdy výpočet výběového Peasoova koelačího koeficietu emá smysl, espektive kdy může být jeho výpočet z hlediska itepetace zavádějící. Gaf vlevo ahoře zázoňuje situaci, kdy výběový soubo obsahuje dvě skupiy subjektů s odlišými hodotami áhodých veliči X i Y. Ve chvíli, kdy si tohoto ejsme vědomi, výpočet výběového Peasoova koelačího koeficietu idikuje silou koelaci X a Y ( = 0,84), kteá je dokoce a daém soubou vysoce statisticky výzamá (p < 0,001). Teto výsledek je však statistický atefakt a ve skutečosti eí elevatí. Ideálí by v tomto případě bylo soubo ozdělit a kvatifikovat koelaci v obou podsouboech zvlášť (podle obázku je koelace X a Y v podsouboech aopak velmi malá). Gaf vpavo ahoře ukazuje situaci, kdy je mezi veličiami X a Y elieáí vztah. Také zde je výsledý koelačí koeficiet ( = 0,58) elativě vysoký, statisticky výzamý a záoveň eodpovídá skutečosti. Vlevo dole pak vidíme, jaký vliv má odlehlá hodota v případě dvou ezávislých (a tedy i ekoelovaých) veliči X a Y. Vzhledem k ezávislosti bychom čekali ealizaci kolem 0, icméě zde vidíme výsledé ovo 0,36, opět statisticky výzamé (p = 0,009). Koečě, gaf vpavo dole ukazuje vliv velikosti výběového soubou a statistickou výzamost koelačího koeficietu. V tomto případě je koelace mezi veličiami X a Y velmi slabá až žádá ( = 0,09), icméě velikost výběového soubou je tak velká ( = 500), že statistický test idikuje statisticky výzamý ozdíl od hodoty 0. Toto je klasický příklad ozpou mezi statistickou a paktickou výzamostí výsledku, kdy je ezbyté komě statistiky do výsledé itepetace zapojit i zalost daé poblematiky. Všechy čtyři poblematické případy lze velmi dobře odhalit s použitím bodového gafu, kteý by měl být jedím z pvích koků při hodoceí vzájemého vztahu dvou spojitých áhodých veliči. 7

8 Hodoceí více skupi dohomady Nelieáí vztah sledovaých veliči Pozoovaá hodota y = 0,84 p < 0,001 Pozoovaá hodota y = 0,58 p < 0, Pozoovaá hodota x Pozoovaá hodota x Odlehlá hodota Velikost výběového soubou Pozoovaé hodoty y = 0,36 p = 0, Pozoovaé hodoty x Pozoovaá hodota y = 0,09 p = 0, Pozoovaá hodota x Ob. 3 Poblematické situace po výpočet Peasoova koelačího koeficietu. 3 Speamaův koelačí koeficiet Zatímco pví situaci a obázku 3 lze řešit ozděleím soubou a dva a ásledým výpočtem koelačího koeficietu v obou podsouboech, v situaci odpovídající gafu vpavo ahoře emá smysl Peasoův koelačí koeficiet počítat vůbec, eboť te odáží pouze lieáí závislost. Rozšířeí směem k hodoceí učitých foem elieáí závislosti představuje tzv. Speamaův koelačí koeficiet (Speama ak-coelatio coefficiet). Jedá se o epaametický koelačí koeficiet, kteý je obustí vůči odlehlým hodotám a obecě odchylkám od omality, eboť stejě jako řada dalších epaametických metod pacuje pouze s pořadími pozoovaých hodot. Na ozdíl od Peasoova koeficietu koelace, kteý popisuje lieáí vztah veliči X a Y, Speamaův koeficiet koelace popisuje, jak dobře vztah veliči X a Y odpovídá mootóí fukci, kteá může být samozřejmě elieáí. 8

9 Při výpočtu opět vycházíme z ealizace dvouozměého áhodého vektou o ozsahu, tedy dvojic pozoovaých hodot áhodých veliči X a Y po subjektů. Dále defiujme číslo x i jako pořadí hodoty x i v ámci vzestupě uspořádaých hodot x 1,..., x, číslo y i jako pořadí hodoty y i v ámci vzestupě uspořádaých hodot y 1,..., y, čísla x a y jako půměy hodot x i, espektive y i (tedy jako půměá pořadí), a čísla s x a y s jako odpovídající směodaté odchylky. Speamaův koelačí koeficiet, ozačme ho s, pak vypočítáme pomocí vzoce s x i i yi x = 1 = ( 1) s s x y y, (11.16) což eí ic jiého ež vzoec po výběový Peasoův koelačí koeficiet počítaý a pořadích pozoovaých hodot. Hodoty s se pohybují stejě jako v případě koeficietu v ozmezí od -1 do 1. Hodot kolem uly abývá Speamaův koelačí koeficiet v případě, že pořadí hodot x i a y i jsou áhodě zpřeházeá a mezi sledovaými veličiami eí žádý vztah. Naopak hodot -1 a 1 abývá Speamaův koelačí koeficiet v případě, že jeda z veliči je mootóí fukcí duhé veličiy. Výpočetí alteativou ke vzoci (11.16) je výpočet založeý a difeecích pořadí pozoovaých hodot, kteé defiujeme jako di = xi yi. Hodotu Speamaova koelačí koeficiet pak odhademe pomocí vztahu 6 1 = 1 = d i i s, (11.17) ( 1) Teto výpočet s platí přesě pouze po eopakovaá pozoováí, což zameá, že je citlivý a opakující se hodoty, kteé vedou k půměováí pořadí. Vyskytuje-li se mezi hodotami x 1,..., x, espektive y 1,..., y, možství shodých hodot, je vhodější použít k výpočtu Speamaova koelačího koeficietu defiičí vztah (11.16). Příklad 4. Po sováí s hodotou = 0,64 vypočteou v příkladu 1 odhademe koelaci výšky a hmotosti studetů biostatistiky také pomocí Speamaova koeficietu koelace. Hodoty potřebé k výpočtu jsou uvedey v tabulce. Vzhledem k přítomosti opakovaých hodot u výšky i hmotosti vypočteme ejpve Speamaův koelačí koeficiet s použitím vzoce (11.16): x i= 1 i yi x y 71,5 637 s = = = 0,47. (11.18) ( 1) s s (13 1)3,863,88 x y Dále vypočteme hodotu s i pomocí vztahu (11.17). V tomto případě dosadíme hodoty z tabulky ásledově: 9

10 = 1 = d i i s = 1 = 0,48, (11.19) ( 1) 13(13 1) Je vidět, že v tomto případě dávají oba výpočty koeficietu s velmi podobé výsledky, kteé odpovídají středí koelaci mezi výškou a hmotostí. Oba výsledky se však liší od původě vypočteé hodoty = 0,64. Důvodem jsou dvě pozoováí odpovídající hmotosti 90 kg, kteé úplě ekoespodují se zbytkem soubou (viz obázek 1). V tomto případě, kdy máme velmi limitovaou velikost výběového soubou, je tedy lepší dát předost epaametické vaiatě, tedy hodotě Speamaova koeficietu koelace. Tabulka Hodoty po výpočet Speamaova koeficietu koelace výšky a hmotosti studetů. Studet Výška: x i Pořadí výšky Hmotost: y i Pořadí hmotosti Rozdíl d i d i , ,5, ,5 0,5 0, ,5 7,5 56, ,5 0,5 0, , ,5 6, , ,5 0, ,5-4,5 0, , ,5 0,5 Kostukce 100(1 α)% itevalu spolehlivosti i test ulové hypotézy H 0 : s = 0 pobíhá po Speamaův koelačí koeficiet stejě jako po koeficiet Peasoův. Co se týče kostukce itevalu spolehlivosti, výběové ozděleí s je po výběy o velikosti alespoň 10 stejé jako výběové ozděleí. Po větší vzoky, kdy je velikost soubou alespoň 30, je pak možé použít po ověřeí ulové hypotézy s = 0 stejou testovou statistiku jako v případě daou vztahem (11.13). Po zamítutí H 0 : s = 0 pak platí také stejá pavidla jako po koeficiet. 10

11 Příklady k řešeí: 1. U 10 pacietů byla změřea chaakteistika X, a to dvakát v ozmezí dvou dů, před a po chiugickém výkou. Výsledky jsou dáy tabulkou. Zajímá ás, jak spolu obě měřeí koelují. Vypočítejte Peasoův koeficiet koelace. Osoba Hodota před výkoem Hodota po výkou , , ,5 5 10,5 6 Půmě 5,05 5,55 SD 1,96,57 [Výsledek: Peasoův koeficiet koelace = 0,545]. Na datech z předchozího příkladu testujte ulovou hypotézu, že Peasoův koelačí koeficiet je ove ule, tedy, že mezi hodotami před a po zákoku eí lieáí vztah. [Výsledek: T = 1,84 a příslušý kvatil Studetova t ozděleí t( 1 α ) ( ) =, 31, ulovou hypotézu ezamítáme] Použitá liteatua: 1. Sokal RR, Rohlf FJ. Biomety, The piciples ad pactice of statistics i biological eseach. 3 d editio, W. H. Feema ad compay, New Yok, Adese PK, Skovgaad LT. Regessio with Liea Pedictos. Spige, New Yok, Za JH. Biostatistical Aalysis. 5 th editio, Peaso Petice-Hall, New Jesey, 010. Dopoučeá liteatua: 1. Zváa K. Biostatistika. Nakladatelství Kaolium, Paha, Zváová J. Základy statistiky po biomedicíské oboy. Nakladatelství Kaolium, Paha,