České vysoké učení technické v Praze

Transkript

1 České vysoké učení echnické v Praze Fakula elekroechnická Kaedra řídící echniky Bakalářská práce Sysém roačního inverzního kyvadla Praha 7 Bohumír Baier

2 Absrak Tao práce se zabývá idenifikací a následným řízením sysému roačního inverzního kyvadla. Sysém se popíše maemaicky a jeho paramery se dopočíají s idenifikace sysému. Komplení nelineární schéma se linearizuje. A výsledný přenos se použije pro návrh reguláoru. Sysém je řízen pomocí reguláorů v dolní poloze kyvadla. Pro moor reguláor PD, P a pro kyvadlo reguláor PD. V horní nesabilní poloze kyvadla je řízen pomocí vhodně zapojených reguláorů PD mooru a kyvadla. Absrac This work describes idenificaion and conrolling of he sysem of he roaion invered pendulum. The sysem is described mahemaically and he parameers are compued from he sysem idenificaion. The complee nonlinear scheme is linearized and he resul is used for he regulaor design. The sysem is conrolled wih regulaors on he boom side of he pendulum. There are PD and P regulaor for he engine and PD regulaor for he pendulum. In he high unsable posiion of he pendulum, he sysem is conrolled by he suiably conneced PD regulaors of he engine and he pendulum. 4

3 Obsah. Úvod.. 6. Popis roačního inverzního kyvadla Maemaický popis Měření paramerů sysému.. 5. Celkový nelineární model 8 6. Regulace v dolní poloze Frekvenční návrh.. 6. Návrh regulace kyvadla pro spodní polohu Porovnání reguláorů v dolní poloze Regulace v horní poloze Závěr 38 Použiá lieraura..39 5

4 . Úvod Tao práce se zabývá modelem roačního inverzního kyvadla, eno sysém je na obrázku.. Nejprve popíši kyvadlo, kde se co nachází a jak vlasně funguje, včeně jeho délek. Poom sesavím maemaický model kyvadla, kde zjisím že se jedná o nelineární sysém. Dále sysém idenifikuji a pokusím se zjisi co nejvíce hodno sysému, zbylé hodnoy, keré se nepovedou změři, což se ýká hlavně okolních vlivů působící na kyvadlo, jako je odpor vzduchu, eploa ovlivňující vizkozní ření. Teno sysém má jeden vsup o je napěí na mooru, a dva výsupu poloha oočného úsrojí a poloha kyvadla. Sesavím komplení simulinkové schéma s popisem všech nelineari a ověřím shodu se sysémem. Dále budu řídi kyvadlo ve dvou savech v dolní poloze, což je sabilní rovnovážný bod a v poloze horní, kdy se jedná o nesabilní rovnovážný bod. Linearizuji nejprve rovnice pro dolní polohu. Dosanu dva přenosy, jelikož se jedná o sysém SIMO. Oba přenosy jsou vzaženy ke vsupnímu napěí. První popisuje moor, druhý popisuje chování kyvadla kolem svého sabilního bodu v blízkém okolí kde je lineární. Úkolem řízení v dolní poloze je co nejrychleji se dosa do požadovaného úhlu úsrojí a přiom co nejrychleji usáli kývání kyvadla. Proo navrhnu reguláor PD pro kyvadlo a pro moor budu voli P nebo PD. Navrhnu 3 reguláory pro spodní polohu. V horní poloze se jedná o nesabilní equilibrium, a proo bude regulace o dos ěžší. Pro uo regulaci budu voli návrh vhodně zapojených PD reguláoru mooru a kyvadla a dále se pokusím o návrh LQ reguláoru, kerý je rychlý a při návrhu umožňuje voli cenu váhy buď pro minimální vsupní napěí nebo pro co nejrychlejší regulaci. Navíc se jedná o reguláor, kerý umí regulova MIMO sysémy, a proo nebudu muse voli vhodné kaskádní zapojení. Pro horní polohu navrhnu reguláory, jejímž cílem bude udrže kyvadlo v horní poloze a přiom voli libovolné naočení mooru. 6

5 Obrázek. Model inverzního roačního kyvadla 7

6 . Popis roačního inverzního kyvadla Jak vypadá kyvadlo ve skuečnosi je vidě na obrázku.. Nyní kyvadlo popíši. Názorné schéma obsahující i všechny délky kyvadla je vidě na obrázku.. Obrázek. Schéma sysému s popisem délek Lineární moorek použiý na omo sysému má minimální napěí -V a maximální napěí V. Dále jsou na omo sysému dvě inkremenální senzory. Jeden odečíá polohu naočení mooru. Druhý odečíá polohy naočení kyvadla. Čidlo na polohu mooru má 73 vzorku na jednu oáčku a čidlo kyvadla má 996 vzorku na jednu oáčku. 8

7 3. Maemaicky popis Kyvadlo ve své nesabilní poloze je balancováno kolem svého equilibria. Uvažuji pohyb pouze v jedné rovině a jelikož se jedná o pohyb po kružnici, mám nekonečně dlouhou rajekorii pohybu. F y () φ G F() F x () h() Obrázek 3. Působení sil na balancované kyvadlo Z obrázku 3. je parné že síla G působící v ěžiši je G mg a působí proi síle F y. závěsu působí na kyvadlo verikální síla F y () a horizonální síla F x (). V bodě Teno model je SIMO, má edy jeden vsup - napěí na mooru, a dva výsupy úhel kyvadla, úhel oočného úsrojí Nejprve popíši maemaicky chování mooru. R je odpor cívky mooru, L je indukčnos cívky mooru k je konsana úhlové rychlosi di u Ri + L + kω d V našem případě zanedbám indukčnos cívky, proože se jedná o malý moorek. A vyjádřím z předchozí rovnice proud. u kω i R 9

8 Pomocí momenů napíši rovnici pro uhlovou rychlos ω.kde J je momen servačnosi kyvadla k i B je konsana proudu je vizkozní ření oočného úsrojí J & ω kii Bω Po vyjádření úhlové rychlosi ω a dosazení proudu i dosane rovnici. ki kki B & ω u ω ω JR JR J Podle druhého Newonova pohybového zákona jsem sesavil rovnice. Dynamický sysém popisující model má jednu vsupní veličinu sílu F(), a dvě výsupní veličiny polohu h() a úhel vychýlení kyvadla s verikální polohy ϕ. Konsana k je lumení. d m [ h( ) + l sinϕ( )] Fx ( ) d d m [ l cosϕ( )] Fy ( ) mg d d dϕ J ϕ lfy ( )sinϕ( ) lfx ( )cosϕ( ) k d d Druhá rovnice vyjadřuje, že síla F x () je vořena servačnou silou, způsobenou pohybem hmoy kyvadla v horizonálním směru a silou způsobenou pádem kyvadla viz obr. 3.. Třeí rovnice je obdobná jen vyjadřuje druhou souřadnici. Čvrá rovnice vyjadřuje rovnováhu servačných sil při oáčení kyvadla. V druhé rovnici dojde ke změně, ω h &, při malém vychýlení se sinus může zanedba.

9 ki kki B & ω u ω ω JR JR J mh & ω + ml && ϕ cosϕ ml( & ϕ) sinϕ F ml && ϕ sinϕ ml( & ϕ) cosϕ F J && ϕ lf y sinϕ lf x cosϕ k & ϕ y x mg Z druhé a řeí rovnice vyjádříme síly F x, F y a dosadíme je do poslední rovnice. ki kki B & ω u ω ω JR JR J J && ϕ ml sinϕ[ g l && ϕ sinϕ l( & ϕ) Po úpravách a vyjádření výsupůϕ& & a cosϕ] ml cosϕ[ & ω + l && ϕ cosϕ l( & ϕ) h & vypadá rovnice následovně ki kki B & ω u ω ω JR JR J ( J + ml )&& ϕ + k & ϕ ml sinϕ + mlh & ω cosϕ Víme, že J + ml l e je ak zvaná efekivní délka kyvadla. Sysém poom je popsán ml diferenciálními rovnicemi. k g && ϕ + & ϕ sin ϕ + & ω cosϕ l ml l l e e e sinϕ] k & ϕ x x& T 3 [ ω, ϕ, &ϕ ] [ x, x 3 g sin x l, x ] kki + BR ki x& x + u JR JR x& x e kki + BR ( x + l JR e 3 ki u)cos x JR k x l ml e 3

10 4. Měření paramerů sysému Všechny grafy jsou uváděny ve vzorcích, přepoče na úhel ve supních pro kyvadlo.84 a konsana pro pohybové úsroji je.49. Pro určeni jednolivých konsan jsem provedl měření na modelu. První jsem změřil odezvu na jednokový skok mooru. Naměřené charakerisiky na obrázku 4., jsou měřené pro jednolivé napěí od V po kroku V až do maxima V. 4 x 4 Poloha oocneho usroji na jednokovy skok<v,v> Poce vzorku Cas(s) Obrázek 4. Naměřené charakerisiky při odezvě na jednokový skok o velikosi V až V

11 4 x 4 Prepociane hodnoy vzhledem k uv uv u,3...9v uv Poce vzorku Cas(s) Obrázek 4. Přepočené dráhy k V Na obrázku 4. je porovnáni dráhy oočného úsrojí na vsupní napěí jednokového skoku. Je vidě, že pro vsupní napěí uv a uv nejsou dráhy sejné jako u hodno napěí u-9v. Rozdílné dráhy jsou způsobené omezením mooru. A proo ani jedno z ěcho dvou vsupních napěí nepoužiji při výpoču rychlosi. Pro výpoče rychlos jsem jsi zvolil vsupní napěí u 3V. Derivováním dráhy jsem dosal rychlos. 3

12 Rychllos mooru namerena a simulovana Simulovana Namerena 8 Ampliude Cas(s) Obrázek 4.3 Porovnání naměřené a simulované charakerisiky mooru Z varu přechodové charakerisiky vyplývá, že se jedná o sysém prvního řádu s přenosem K G ( s) Ts + Kde K je ampliuda usálení, a T je čas za jak dlouho se od začáku dosane do 63% maximální ampliudy. Po odečení ěcho dvou hodno vyjde přenos mooru. Přenos byl zjišěn pro.3 maximálního napěí, a proo je nuno ouo hodnoou přenos vyděli a dosa ak správnou odezvu na jednokový skok. Graf je 96 krá menší, proo je ao hodnoa v čiaeli přenosu. 96 *7 /,3 G ( s),7s + Dále řeším nesouměrnos rozběhu vpravo vlevo. Obrázek 4.4 je celý v absoluní hodnoě, aby šel vidě rozdíl rozjezdu na jednu či druhou sranu. Po odečení hodno získáme necilivos kolem nuly, oblas napěí kdy se usrojí ješě nepohybuje, ale na mooru už je napěí. Necilivos je <-,9V,.6V >. Necilivos způsobí jiné přechodové charakerisiky při vsupním napěí záporném a kladném. Aby se o nesalo upravil jsem pomocí Dead zone vsup do sysému. Tím jsem způsobil sejné spínání pro obě srany rozjezdu na necilivos <- 4

13 .V,.V>. Při ako velké necilivosi spínacího napěí, keré se projevuje hlavně řením oočného úsrojí, není možno regulova přesně na žádanou hodnou. Spinaci napei mooru 5 45 Rozjizdeni v levo u + rozjizdeni v pravo u Poce vzorku Vsupni napei(v) Obrázek 4.4 Rozjíždění mooru na levou a pravou sranu Pro určení hodno kyvadla jsem podržel pohybové úsrojí a vychýlil rameno kyvadla o supňů. To proo že při malých vychýleních od nulové pozice můžu zanedba sinus a říci sin ϕ ϕ. Too plaí do 5 supňů, ale v našem případě při ak malé výchylce dojde po dvou kmiech k usálení, proo jsme použil věší výchylku. Rovnice, kerá popisuje eno průběh je / T y( ) ke sin( ω). Abych uo rovnici vyřešil sesavím sousavu rovnic. Po é vypadají rovnice následovně. y ( ) ke y ( ) ke / T / T Pro odečení hodno y a T použiji první a řeí maximální výchylku kmiů. Z oho dosanu. y (,57) 3 y () 79 5

14 Upravím předchozí rovnice a poé dosadím odečené hodnoy. T k y T k y ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( Vyjádřím jednu rovnici pro T a dosadím do druhé. ) ( ) ( ) ln( ) ln( ) )( ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( y y k y y k k y k y k y T + k4,5 T5.38 Pro výpoče omega jsem použil odeče doby desei kmiu a s průměrkování vyšlo že T p,76. A omega se podle vzahu T p pi ω rovna ω rad/s. 6

15 5 Odezva na vychyleni kyvadla Namerena Simulovana 5 Poce vzorku Cas(s) Obrázek 4.5 porovnání naměřené a vypočené charakerisiky kyvadla Naměřený průběh se na konci daleko více ulumí než simulovaný, je o proo že se u kyvadla projevuje suché ření, keré nejsem schopen změři. Vypoču pomocí naměřeného průběhu délku kyvadla l podle vzorce. g ω l g l ω Po dosazeni dosaneme vyjde l 3 mm. 7

16 5. Celkový nelineární model Při sesavování celkového modelu i s popisem všech nelineari jsem vycházel se savových rovnic. A dále jsem zahrnul i vliv odporu vzduchu, kerý se velmi projeví při rychlém oáčení jedním směrem. Na obrázku 5. je vidě celkové schéma modelu. Obrázek 5. Celkový nelineární model sysému inverzního roačního kyvadla Vsup sysému se v simulinkovém schémau zadává jako jedna deseina vsupního napěí. Po é následuje čás simulující chování mooru. Chování kyvadla, modelu a sysému je na obrázku 5.. Charakerisiku porovnání mooru a modelového bloku mooru je uvedena na obrázku 5.3. Po vsupu jde přímá věev přes inegráor rychlosi a polohy na výsup, poloha mooru ve vzorcích. Dále se přivádí zrychlení mooru vynásobené cosínem na vsup sysému kyvadla. Při 9 vychýlení kyvadla nemá vliv oáčení mooru na vliv polohy kyvadla. Tlumící konsana.4, se násobí konsanou odporu vzduchu, a závisí na rychlosi oáčení mooru. Konsan zajišťuje, že při nulovém oáčení mooru kyvadlo se bude lumi. Sinus zajišťuje samoné chování kyvadla. Pro jednoduchou realizaci je výsup kyvadla v radiánech, poom se přepočíává na vzorky. Jinak bych musel před každou cyklomerickou funkcí, převés vzorky na radiány. Zesilující blok.3vedoucí od rychlosi mooru, posunuje kmiání kyvadla ve směru oáčení, působením odporu vzduchu. Posun mooru 8

17 v závislosi na váze kyvadla, je zahrnu odečením dvou cosinu, polohy a rychlosi kyvadla. Consan zajišťuje posunuí zpáky na nulu a následně se přiče k rychlosi mooru. 5 4 Porovnani namerene a simulovane charakerisiky kyvadla Namerena Simulovana 3 Poce vzorku Cas(s) Obrázek 5. Porovnání sysému a modelu Konsany vlivu váhy kyvadla a odporu vzduchu byly vhodně voleny, aby se charakerisiky podobaly. Charakerisika vlivu váhy kyvadla, na obrázku 5.3, je naměřená pro výchylku 45. Je jedno na jakou sranu se kyvadlo vychýlí, díky věšímu ření na jednu sranu. Pohybové úsrojí se vždy vychýlí na sejnou sranu a sejný poče vzorků. Jak je vidě na uvedené charakerisice, první 4 sekundy, jsou naměřené a simulované průběhy podobné. Při malých kmiech se už od sebe vzdalují díky velkému lumení kyvadla, keré je vidě na charakerisice porovnání kyvadel obrázek

18 Vliv vahy kyvadla na pohyb usroji 5 Namerena Simulovana Poce vzorku Cas(s) Obrázek 5.3 Vliv váhy kyvadla na oáčení mooru Při linearizaci, zanedbám odpor vzduchu, kerý má vliv pouze na očení na jednu sranu delší dobu. A vliv váhy kyvadla, keré je při malých výchylkách kyvadla zanedbaelné. Linearizuji savové rovnice ve dvou pracovních bodech, nejprve ve spodní poloze a poom v horní poloze. Sesavím Jacobiho maici, parciání derivace všech proměnných. V dolní poloze volím za φ a v horní poloze φ 8 Po linearizaci dosanu maice A, B, C, D. Z ěcho maic udělám dva přenosy, jeden v závislosi na moor, druhý na kyvadlo. Přenos mooru G : G ( s) 96 * 98 s( s ) Přenos kyvadla pro horní polohu G : Přenos kyvadla pro spodní polohu G : 98 s G ( s) 3 s s s G s) s 98 s s s ( 3

19 6. Regulace v dolní poloze Nejprve použijeme řízení s dvěmi PD reguláory vhodně zapojenými, proože se jedná o sysém s dvěma výsupy. Při dolní poloze regulace regulujeme náklon kyvadla. Jeho požadovaná hodnoa bude vždy v nule pro spodní polohu. Druhý reguláor reguluje naočení oočného úsrojí. Výsupy s reguláoru seču, aby ao regulace mohla správně fungova musí by reguláor na polohu daleko rychlejší, pokud má bý přiblížení k referenční hodnoě co nejrychlejší. Obrázek 6. Schéma zapojeni řízení pomocí dvou reguláoru 6. Frekvenční návrh Frekvenční meoda návrhu, umožňující zvoli fázovou bezpečnos výsledného regulačního obvodu s maximalizací propusného pásma frekvencí. Derivační korekce pomáhá rozšíři propusné pásmo frekvencí ím, že zvěšuje fázový úhel frekvenční charakerisiky oevřené smyčky při vyšších frekvencích. Při nasavení derivační korekce musíme ovšem hleda kompromis mezi ouo užiečnou funkcí a nepříjemným zvýšením zesílení PD členu na vysokých frekvencích. Rozumným kompromisem je využií oho, že na frekvenci ω D /T D má frekvenční charakerisika PD členu zesílení pouze r při fázi +45, zaímco pro nižší frekvence prudce klesá fázový úhel a pro frekvence vyšší prudce soupá zesílení, v obou případech je změna éměř lineární. Zvolíme-li eno kompromis, měla by se frekvence ω D na frekvenční charakerisice oevřené smyčky ocnou am, kde pořebujeme co nejvýše zvýši fázi a ouo korekcí co nejméně zvýši zesílení.

20 Algorimus návrhu PD frekvenční meodou:. Zvolíme fázovou bezpečnos φ a z podmínky rovnováhy fáze na frekvenci ω D vypočeme příslušný fázový úhel frekvenční charakerisiky regulované sousavy φ -5 + φ. Z φ najdeme na frekvenční charakerisice regulované sousavy zaím neznámou frekvenci ω D 3. Pomocí frekvence ω D odečeme zesílení na ampliudové frekvenční charakerisice v logarimických souřadnicích nuno přepočís Z maic sysému jsme vypočeli dva přenosy první vzhledem k y kyvadlo a druhý k y poloha_usroji. yo přenosy vypadají následovně. G ( s) 96 * 98 s( s ) Bode Diagram Magniude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Obrázek 6. frekvenční charakerisika přenosu G Pro návrh konsan reguláoru PD jsem posupoval podle výše uvedeného algorimu.

21 Zvolil jsem fázovou bezpečnos φ 9 následně jsem vypoče φ, použil vzorce pro návrh PD reguláoru φ -5 + φ Následně jsem našel frekvenci ω D 4.4 rad/s A podle vzorců pro vypoče konsan PD reguláoru jsem vypočíal k P a k D. k p P ( jω ) D k D ω P D ( jω ) D Moor k P.87 k D. 8 Regulace mooru frekvencni navrh PD 7 6 Namerena Reference Poce vzorku Cas(s) Obrázek 6.3 Průběh regulace na referenční hodnou 36 Odchylka mezi referencí a naměřenými hodnoami je způsobena velkým řením a poměrně velkým spínacím napěím mooru. 3

22 6. Návrh regulace kyvadla pro spodní polohu Kyvadlo bylo navrženo pomocí meody GMK(Geomerické Míso Kořenů) Velmi užiečná a názorná meoda vhodná i pro sysémy, keré jsou nesabilní v oevřené smyčce. S podporou pořebného programového vybavení i poměrně snadná. Vychází z pólů a nul oevřeného regulačního obvodu a na jejich základě určuje polohu pólů uzavřeného regulačního obvodu v závislosi na změně zesílení oevřeného regulačního obvodu. Pomocí jednoduchých pravidel a rochy zkušenosi umožňuje voli polohu pólů a nul reguláoru. Vycházíme ze znalosi pólů a nul přenosu oevřené smyčky L(s). Pro přenos uzavřeného regulačního obvodu (přenos řízení) plaí pro sysémy SISO L( s) T ( s) + L( s) C( s) P( s) + C( s) P( s) Kb( s) Kb( s) + a( s) C(s) je přenos reguláoru, P(s) je přenos řízeného sysému, b(s) je čiael, a(s) jmenovael a K proměnné zesílení přenosu oevřené smyčky. Póly uzavřeného regulačního obvodu jsou pak rovny kořenům rovnice Kb(s)+a(s). Po vykreslení v malabu funkci sisoool jsem vhodně zvolil konsany. Vzal jsem v úvahu sčíání akčních zásahů, polohy a kyvadla, a proo byl navržen sředně rychlý reguláor s konsanami P.667 a D.49. 4

23 4 3 Regulace kyvadla PD moor PD Reference Namerena Poce vzorku Cas(s) Obrázek 6.4 Průběh regulace kyvadla při regulaci polohy usrojí při referenci 36 Reguláor P Při návrhu P reguláoru frekvenční meodou jsi počínáme sejně jako při návrhu výše uvedeného PD reguláoru. Pro zvolenou fázovou bezpečnos 65 vyjde konsana reguláoru k P,833. 5

24 9 Regulaor P mooru Namerena Reference 8 7 Poce vzorku Cas(s) Obrázek 6.5 Regulace P reguláorem na referenční hodnou 36 Při regulaci samoným P reguláorem se jedná o regulaci bez lumící složky D, s velkým akčním zásahem, s překmiem. V omo případě máme zaručeno, že se regulace kyvadla a mooru vzájemně nevyruší. Po návrhu několika reguláoru PD pomalejších a rychlejších. Byl zvolen sejný reguláor jako v prvním případě. Z důvodu opimální regulace pro daný reguláor P polohy úsrojí. 6

25 5 4 Regulace kyvadla PD moor P Reference Namerena 3 Poce vzorku Cas(s) Obrázek 6.6 Regulace kyvadla PD moor P Při návrhu řeího reguláoru, byla zvolena meoda návrhu pomocí GMK, aby šlo vidě působení dvou reguláoru proi sobě. Zůsal návrh kyvadla nezměněn podle prvního návrhu pomocí GMK s konsanami P.667 a D.49. Při návrhu mooru byl zvolen PD reguláor. Při volbě samoného P reguláoru s rychlými a velkými změnami akčního zásahu by rušení nebylo olik parné. Byl zvolen reguláor s konsanami mooru P.6 D.65. Z obrázku 6.8 je vidě působení nevhodně zvoleného návrhu reguláoru. Reguláor polohy úsrojí je příliš pomalý, má malé a pomalé změny akčního zásahu. Reguláor kyvadla se snaží vyrovna vychýlení kyvadla a působí proi reguláoru mooru. 7

26 8 Charakerisika mooru navrzeno pomoci GMK 7 6 Reference Namerena Poce vzorku Cas(s) Obrázek 6.7 Nevhodně zvolený reguláor polohy a vzájemné rušení s reguláorem kyvadla 4 3 Charakerisika kyvadla navrzeno pomoci GMK Reference Namerena Poce vzorku Cas(s) Obrázek 6.8 Průběh regulace kyvadla nevhodně zvolenými reguláory 8

27 6.3 Porovnaní reguláorů v dolní poloze Moor Porovnani regulaoru mooru Reference PD - GMK P - Frekvencni n. PD - Frekvencni n. Poce vzorku Cas(s) Obrázek 6.9 Porovnání všech regulací mooru S porovnání reguláoru mooru jde vidě, že nejrychlejší regulace je PD-frekvenční návrh. Jako druhý P reguláor s překmiem 5%. A jako řeí vidíme vzájemné působení sčíacích reguláorů. 9

28 Porovnani usaleni kyvadla 6 4 Reference moor PD - GMK moor P - Frekvencni n. moor PD - Frekvencni n. Bez regulace kyvadla- moor P Poce vzorku Cas(s) Obrázek 6. Porovnání všech regulací kyvadla Tabulka navržených reguláorů: Konsany mooru Konsany kyvadla Doba usáleni (s) P D P D Moor Kyvadlo PD - GMK P - Frekvenční ,6 PD - Frekvenční Bez regulace kyvadla Tabulka 6. Porovnání navržených reguláorů v dolní poloze 3

29 7. Regulace v horní poloze Při regulaci kyvadla v horní poloze nejde použí zapojení na obrázku 6.. Zaím co jsem dbal při regulaci v dolní poloze, že reguláor mooru musí bý daleko rychlejší než reguláor kyvadla, abych docílil co nejrychlejší a úspěšně regulace. V horní poloze o nevede ke kýženému výsledku. V dolní poloze se oiž jednalo o sabilní rovnovážný bod, což znamenalo že pokud jsem energii do sysému přesal dodáva, sysém se v omo equalibriu sám usálil.(kyvadlo přesalo kýva). V horní poloze musím uvažova, že se jedná o nesabilní rovnovážný bod. A pokud přesaneme dodáva energii do sysému, při regulaci na nesabilním rovnovážném bodě, sysém v omo bodě nevydrží a sám bez dodávání energie se uvede do sabilního rovnovážného bodu. Z ohoo důvodu je nuno voli zapojení reguláorů, keré bude realizova velmi rychlou regulaci kyvadla v horní poloze, a pomalou regulaci polohy usrojí. Výsup z reguláoru polohy úsrojí se přiče k výchylce kyvadla. Jde si o předsavi ak, že když budeme drže kyvadlo v horní poloze, a vychýlíme jej, reguláor kyvadla se bude snaži dosa kyvadlo do požadované polohy 8 a při om pohne usrojím ve směru vychýlení kyvadla. Tím se dosane do požadované polohy. Na Obrázku 7. je znázorněné zapojení reguláorů. Obrázek 7. Schéma zapojení dvou reguláorů pro horní polohu Pro návrh reguláoru pro horní polohu se nedá použí klasických frekvenčních meod. Proože pro nesabilní sysém je nuno navrhnou nesabilní reguláor aby se nesabilní pól sysému vykráil s nulou reguláoru. Při návrhu je použia meoda GMK, s kerou jde navrhnou nesabilní reguláor. Při návrhu je nuno řídi se několika podmínkami. Geomerické míso kořenů (GMK) uzavřeného regulačního obvodu vychází z pólů oevřeného regulačního obvodu pro K. GMK končí v nulách oevřeného regulačního obvodu pro K (pokud je řád čiaele m menší než řád jmenovaele n přenosu oevřené smyčky, čás nul leží v nekonečnu). Poče věví GMK je roven poču pólů oevřeného regulačního obvodu uzavřením regulačního obvodu se nemění jeho řád. Pokud má přenos oevřené smyčky reálné póly nebo nuly, čás GMK leží vždy na reálné ose mezi ěmio póly a nulami ak, že probíhá v inervalech, kde je vpravo od bodů GMK lichý poče pólů a nul. Komplexní póly a nuly neovlivní průběh GMK na reálné ose. Věve GMK probíhají mimo reálnou osu souměrně podle éo osy (vždy dvojice komplexně sdružených pólů). Reálnou osu opoušějí kolmo v bodě, kerý leží vždy 3

30 mezi dvěma póly p i nebo dvěma nulami z i a v někerých případech aké mezi pólem a nulou (např. v případě vzniku roj a více násobného kořene). Bod rozvěvení σ lze ručně počía pouze pro nízký řád sysému (věšinou do řeího). m σ n zi σ p U sysémů s relaivním řádem věším něž nula (n > m, srikně ryzí sysémy) se GMK pro velké hodnoy s (j. i K) blíží k asympoám, keré se proínají v jednom bodě na reálné ose o souřadnici σ a (průsečík asympo) a jejichž úhel θ a (úhel asympo) s kladnou reálnou osou nabývá hodno, k přirozené číslo, n > m reálné souřadnice pólů p i a nul z i oevřené regulační smyčky uvažujeme s příslušnou násobnosí (např. reálná čás dvou jednonásobných komplexně sdružených pólů se bude brá dvakrá). i Re pi Im zi σ a ; n m ( ± k ) π θa ; n m k přirozené číslo m > n Průsečík GMK s imaginární osou je mez sabiliy dá se přímo vypočía kriické zesílení K k a kriická frekvence ω k po dosazení za s jω do rovnice Kb(s)+a(s) Při našem návrhu použijeme malab, kerý má funkci sisoool, pro vykreslení polohy pólů a nul. Po vykreslení volíme vhodně polohy pólů a nul reguláoru a ím upravujeme zesílení, aby se nedosalo do nesabilní oblasi v pravé polorovině. Jelikož je sysém nesabilní a má pól v pravé polorovině, musím vhodně voli umísění pólu reguláoru, abych docílil oho, že dosanu zesílení na levou sranu reálné osy. Abych oho docílil musím umísi pól reguláoru do pravé poloroviny, pokud možno co nejblíže mezi sabiliy. Tím dosáhnu oho, že se zesílení obočí kolem nuly do sabilní oblasi a bude se pohybova k nule z levé srany. Pro o je nuno umísi i vhodně nulu reguláoru. Při španém umísění pólu a nuly vznikne velká kružnice kolem počáku a bude pořeba velkého zesílení.v hodné umísění je na obrázku 7.. Pól reguláoru je značen červeným křížkem, a nula je značena červeným kroužkem, je vhodně zvolené i zesílení. Při návrhu jsem dospěl k přenosu: C( s) (.6 *.5 +.4) *. s +. 3

31 Roo Locus Edior (C) Imag Axis Real Axis Obrázek 7. Ukázka návrhu nesabilního reguláoru pomocí GMK 33

32 Regulace kyvadla 8 Reference Namerena Poce vzorku Cas(s) Obrázek 7.3 Regulace kyvadla v horní poloze Při spoušění je nuno do ří sekund zvednou kyvadlo do nesabilního equilibria. Po 3 sekundách se zapíná regulace. Maximální vychýlení v horní poloze je 3 pokud se vychýlí víc, reguláor už není schopen regulace a regulace skončí neúspěchem. Rozočí se na libovolnou sranu až do konce simulace. Pro eno případ byl do simulinkového schémau přidám blok na zasavení simulace, v závislosi na rychlosi oáčení moor. Když se oáčí svou maximální rychlosí simulace auomaicky skončí. Pokud by se salo, že by nebylo kyvadlo v horní poloze včas, moor se rozočí a sop simulace ho vypne. Moor: Při návrhu mooru se musí upravi přenos. Není oiž v omo případě přiveden na vsup sysému, ale na vsup reguláoru kyvadla. Změřil jsem maximální možnou výchylku kyvadla, kerou dokáže reguláor ješě zvládnou. Při maximálním vychýlení byl schopen udrže kyvadlo v horní poloze. Ovšem při plynulém a dlouhém pojezdu, se rozkmial. V simulinkovém schémau byl přidán blok, kerý referenční hodnou s požadovaného úhlu naočení převede na lineární změnu v závislosi na čase. Po oesování jsem volil náběh 5 /s. To se přepoče na vzorky výše uvedenou konsanou. Pro ako 34

33 použiou úpravu není nuno navrhova reguláor žádnou složiou meodou. Proo jsem volil nejednoduší návrh od oka. Byl zvolen jako vhodný reguláor PD s filrem. S ěmio konsany: P, D.5, N. Tao regulace jde vidě na obrázku Regulace mooru v hornipoloze PD regulaorem Reference Namerena Poce vzorku Cas(s) Obrázek 7.4 Regulace polohy úsrojí v horní poloze kyvadla Při druhém návrhu reguláoru pro kyvadlo, jsem jsi počínal sejně jako v prvním případě. Po vhodně zvolených paramerech přenosu jsem došel k úspěšnější regulaci než v předchozím případě. Teno reguláor zajišťuje menší rozkmi kolem referenční hodnoy. Jak je vidě z obrázku 7.5 Kyvadlo C( s) (.34 * ) *. s +. 35

34 Regulace kyvadla 8 Reference Namerena Poce vzorku Cas(s) Obrázek 7.5 Regulace kyvadla v horní poloze Při návrhu reguláoru mooru jsem posupoval inuiivně a volil jsem konsany ako: regulace je vidě na přiloženém obrázku Regulace mooru kyvadlo v horni poloze 7 6 Reference Namerena 5 Poce vzorku Cas(s) 36

35 Obrázek 7.6 Regulace oočného úsrojí v horní poloze kyvadla Porovnání rychlosi regulací a odchylek od reference vidíme v abulce 7. Reguláor mooru Reguláor kyvadla Maximální výchylka mooru( ) Maximální výchylka kyvadla( ).5s s + s +..3s s + s +. Tabulka 7. Porovnání reguláorů 37

36 8. Závěr: Cílem bakalářské práce bylo řízení modelu roačního inverzního kyvadla ve dvou polohách. Roační kyvadlo je vyfoceno na obrázku.. Popis všech délek uvádím na obrázku.. Dále jsem oo kyvadlo popsal maemaicky a naměřil jsem jeho paramery. Pro paramery lumení vzduchu jsem posupoval vhodným dosazením konsan a zkoumáním odchylek modelu od sysému. Tako jsem posupoval i při vlivu váhy kyvadla na pohyb mooru. Díky velkému ření mooru nezáleží na vychýlení kyvadla vpravo nebo vlevo, vždy se moor pohybuje pouze jedním směrem, což jsem vyřešil dvěmi cosiny. Celkové schéma modelu i se všemi nelineariami uvádí schéma 5.. Too schéma jsem upravil a linearizoval jak uvádím v kapiole 5. S přenosu jsem navrhl 3 reguláory pro spodní polohu kyvadla. Na regulaci kyvadla jsem použil vždy PD reguláor navržený pomocí Geomerického Mísa Kořenů a na moor jsem posupně použil frekvenční návrh PD a P reguláoru a návrh pomocí GMK PD reguláoru. Výsledky a porovnání regulací mooru je vidě na obrázku 6.9 a na obrázku 6. je porovnaní regulace kyvadla. Výsledné časy regulací i konsanami reguláoru je v abulce 6.. Pro horní polohu jsem použil vhodně zapojených PD reguláoru jak je vidě na obrázku 7.. Meoda GMK byla jediná použielná pro návrh nesabilního reguláoru. V abulce 7. je porovnání maximálních odchylek dvou navržených reguláorů. Ty jsou způsobeny malým momenem servačnosi a velkým spínacím napěím mooru. Pro regulaci v horní poloze jsem se pokusil navrhnou i LQ reguláor. Na jeho odladění by bylo pořeba asi více času, nebyl schopen udrže kyvadlo v horní poloze. Nejspíše o bylo způsobeno nepřesnosí modelu nebo nevhodně zvolené váhy R a Q. Všechny uvedené grafy a simulinkové schémaa jsou na přiloženém CD. 38

37 Použiá lieraura: [] Šecha J., Havlena,V. Teorie dynamických sysémů. Praha:České vysoké učení echnické,993. [] Horáček P. Sysémy a modely. Praha: České vysoké učení echnické, 999. [3] John J. Sysémy a řízení. Praha: České vysoké učení echnické, 3. [4] Havlena V., Šecha J. Moderní eorie řízení. Praha: České vysoké učení echnické,. [5] Havlena V. Moderní eorie řízení-doplňkové skripum. Praha: České vysoké učení echnické,999. [6] Šebek, M.: Sysémy a řízení, přednášky SRI ČVUT FEL 5 [7] Fuka Jindřich: Geomerické míso kořenu, SRI 3cvičení ČVUT FEL 5. 39