11 TESTOVÁNÍ PARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ

Transkript

1 TESTOVÁNÍ PARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Pojmem tetováí tatitických hypotéz ozaujeme ozhodováí o pavdivoti paametických, ep. epaametických hypotéz o populaci. V tomto ozhodovacím poceu opoti ob tojí ulová a alteativí hypotéza a aším cílem je ozhodout, zda data z výbového oubou (X) odpovídají ulové hypotéze. Jelikož pi ozhodováí o ulové hypotéze vycházíme z výbového oubou, kteý emuí dotate pe odpovídat vlatotem základího oubou, mžeme e pi ozhodováí doputit chyby. Pi ozhodováí mohou atat ituace, kteé popiuje áledující tabulka: Skuteot Platí H 0 Platí H A V ižeýkých aplikacích e mohdy etkáváme tzv. opeativí chaakteitikou, což je závilot chyby II. duhu a peé pecifikaci alteativí hypotézy. Opeativí chaakteitika bývá v pai taktéž ahazováa kivkou íly tetu, což je závilot (-) a peé pecifikaci alteativí hypotézy. Pi tetováí hypotéz e bž mžeme etkat e dvma pítupy klaickým tetem a itým tetem výzamoti. Klaický tet e kládá z kolika kok: Výledek tetu Nezamítáme H 0 Zamítáme H 0 Spávé ozhodutí Chyba I. duhu Pavdpodobot ozhodutí: α Pavdpodobot ozhodutí: α (polehlivot) (hladia výzamoti) Chyba II. duhu Spávé ozhodutí Pavdpodobot ozhodutí: β Pavdpodobot ozhodutí: β (íla tetu). Fomulace ulové a alteativí hypotézy. Volba tetové tatitiky (tetového kitéia) T(X) 3. Setojeí kitického obou a obou pijetí 4. Výpoet pozoovaé hodoty tetové tatitiky T(X) - OBS 5. Fomulace závu tetu každý tet vede ke dvma možým výledkm Opoti klaickému tetu epotebuje itý tet výzamoti zát hladiu výzamoti jako vtupí údaj. Jeho výledek ám umožuje ozhodout a jakých hladiách výzamoti mžeme ulovou hypotézu zamítout (ep. ezamítout). itý tet výzamoti e kládá z áledujících kok:. Fomulace ulové a alteativí hypotézy. Volba tetové tatitiky (tetového kitéia) T(X) 3. Výpoet pozoovaé hodoty tetové tatitiky OBS a výpoet tatitiky p-value P-value je tedy ejižší hladia výzamoti a íž mžeme ulovou hypotézu zamítout a záove ejvyšší hladiy výzamoti a íž e již ulová hypotéza ezamítá. P-value vypoteme podle jedé ze tí možých defiic v záviloti a tvau alteativí hypotézy (je uté aby alteativí hypotéza koepodovala výbovým ouboem)

2 . H A ve tvau < : p value F ( ) 0 OBS F0 ( OBS. H A ve tvau > : p value ) 3. H A ve tvau : p value mi{ F ( );- F ( )} Rozhodutí a základ p-value Rozhodutí: 0 OBS 0 OBS α > p value Zamítáme H 0 ve popch H A α < p value Nezamítáme H 0 Obec ozhodujeme o zamítutí ulové hypotézy a základ áledujícího chématu, kteé je založeo a ejbžji používaých hladiách výzamoti (0,0 a 0,05). Neozhodá Zamítáme H 0 oblat Nezamítáme H 0 0,0 0,05 p-value Stuý pehled tetových tatitik, imiž jme e ezámili Jedovýbové paametické tety Tetovaý paamet Poz. Tetová tatitika Nulové ozdleí Stedí hodota Záme-li X µ N ( 0; ) Z σ Stedí hodota Nezáme-li X µ t T Rozptyl ( ) χ (modatá odchylka ) χ σ Relativí etot p π N ( 0; ) P π ( π ) Jedovýbové epaametické tety Tetovaý paamet Mediá 0,5 Mediá 0,5 Poz. Tetová tatitika Nulové ozdleí Zamékový tet, Y poet pozoováí používáme u výaz zešikmeých v áhodém výbu o oza- Bi ( ;0,5) výb vtšího hu, kteé pekoí 0,50 ozahu W N ( 0; )

3 Dvouvýbové paametické tety po ezávilé výby Tetovaé paamety Poz. Tetová tatitika Nulové ozdleí Stedí hodoty, Záme-li ( X X ) ( µ µ ) N ( 0; ), Z σ σ + Stedí hodoty, Rozptyly, (modaté odchylky, ) Nezáme-li, T p F ( X X ) ( µ µ ) p + ( ) + ( ) + Relativí etoti, ( p p ) ( π π ) P p p + +,, ( p) + Dvouvýbové epaametické tety t + F ( m, ) N ( 0; ) Tetovaé paamety Mediáy 0,5, 0, 5 Poz. Tetová tatitika Nulové ozdleí Mav Whitev tet N ( 0; ) W + ( ) + ( ) + Dvouvýbové páové tety Pedpokládejme meých jedotek (i objekt), a ichž jou povedea dv pozoováí, daá zými epeimetálími podmíkami (ap. pobí i epobí jaký fakto, jehož úiky jou pedmtem šeteí). Tetováí povádíme tak, že vytvoíme jedu datovou hodotu po každý meý objekt. V ejjedodušším datovém modelu bude touto hodotou ozdíl zíkaých dvou pozoováí po daý i-tý meý objekt. Daé ozdíly pak mohou být použity po jedovýbové tety o tom, zda ledovaý paamet je ula, což je ekvivaletí tím, že eeitují žádé ozdíly mezi epeimetálími podmíkami (ebo že zkoumaý fakto je eúiý)

4 .. Byly amey áledující hodoty IQ (výledky tetu iteligece) po 0 vybaých úatík iteligeího tetu (úatíky byli tudeti poledího oíku základí školy): Pedpokládejme, že áhodý výb pochází z omálího ozdleí e modatou odchylkou 5. Ovte itým tetem výzamoti hypotézu, že tedí hodota IQ tudet záveého oíku ZŠ je ova 00. ešeí: Chceme tetovat tedí hodotu piemž záme modatou odchylku. Pedpoklad omality základího oubou byl pl, mžeme tedy pitoupit k tetu: Vtupí data: σ Výb: X 9, Staoveí ulové a alteativí hypotézy: H 0 : µ 00 H A : µ < 00 (potože výb ukazuje a to, že tedí hodota by mohla být ižší ež 00 (9,7 < 00)) Volba tetového kitéia a taoveí jeho ulového ozdleí: T X µ σ ( X ) Z N( 0; ) Výpoet hodoty tetové tatitiky OBS : OBS X µ 0 9,7 00 Z H 0,54 0 σ 5 Výpoet p-value: H A : µ < 00 p value F ( ) 0 OBS p value Φ (,54) Φ(,54 ) 0,938 0, 06 (tz. ulovou hypotézu mžeme zamítou a hladi výzamoti 0,06 a ižších) Rozhodutí: p value > 0,05 Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. zamítáme alteativu, tj. elze tvdit, že IQ tudet záveého oíku ZŠ je ižší ež

5 ešeí ve Statgaphicu: Statgaphic ám umožuje povádt jedovýbové paametické tety po tyto paamety omálího ozdleí: tedí hodota, modatá odchylka, elativí etot (podíl). Po tetováí tedí hodoty e používá pouze výbová tatitika T. Zaeme tím, že i uíme paamety výbu a taovíme ulovou a alteativí hypotézu: Vtupí data: σ Výb: X 9, Staoveí ulové a alteativí hypotézy: H 0 : µ 00 H A : µ < 00 V ašem pípad chceme tetovat tedí hodotu. V meu Decibe Hypothei Tet zvolíme položku V ok Hypothei Tet zadáme požadovaé údaje: zaškteme pole Nomal Mea (tedí hodota omálího ozdleí), do pole Null Hypothei zadáme hodotu, kteé by tedí hodota doáhla v pípad platoti ulové hypotézy, tj. 00, jako Sample mea ( výbová tedí hodota pm) zadáme 9,7, jako Sample Sigma ( výbová modatá odchylka) zadáme 5 a do pole Sample Size ( ozah výbu) zapíšeme 0. Výtupem této poceduy jou opt dv oka tetový a gafický výtup. Tetový výtup ám abízí itevalový odhad po tetovaý paamet (viz. pedcházející cvieí) a výledky tetu, tj. ulovou a alteativí hypotézu (POZOR!!! Je zde pedataveá oboutaá alteativa, kteou muíme pípad zmit v meu Aalyi Optio (RC a tetový výtup) podle kuteé alteativy), hodotu tetové tatitiky za pedpokladu, že platí ulová hypotéza (pozoovaá hodota) a hodotu p-value. V tetovém výtupu ovž alezeme vyhodoceí tetu po pílušou hladiu výzamoti (pedataveá hodota je 5% - zmit ji mžeme v meu Aalyi Optio (RC a tetový výtup))

6 V ašem pípad je alteativí hypotéza ve tvau meší ež, poto v meu Aalyi Optio tva alteativy zmíme a Le Tha. Paamety výbu Itevalový odhad p-value Pozoovaá hodota Rozhodutí Nulová a alteativí hypotéza Slovíek: Reject zamítout Do ot eject ezamítout V ašem pípad je p-value ovo 0,079 (jako tetová tatitika byla použita tatitika T, ikoliv Z jako pi uím výpotu) a poto emžeme ulovou hypotézu a 5% í hladi výzamoti zamítout, tj. elze tvdit, že IQ tudet záveého oíku ZŠ je ižší ež 00. Gafický výtup ám abízí kivku íly tetu. Po kokétí hodotu alteativy zde mžeme odeít pavdpodobot zamítutí ulové hypotézy (-)

7 .. Byly amey áledující hodoty IQ (výledky tetu iteligece) po 0 vybaých úatík iteligeího tetu (úatíky byli tudeti poledího oíku základí školy): Pedpokládejme, že áhodý výb pochází z omálího ozdleí e modatou odchylkou 5. Ovte klaickým tetem výzamoti hypotézu, že tedí hodota IQ tudet záveého oíku ZŠ je ova 00. ešeí: Chceme tetovat tedí hodotu piemž záme modatou odchylku. Pedpoklad omality základího oubou byl pl, mžeme tedy pitoupit k tetu: Vtupí data: σ Výb: X 9, Staoveí ulové a alteativí hypotézy: H 0 : µ 00 H A : µ < 00 (potože výb ukazuje a to, že tedí hodota by mohla být ižší ež 00 (9,7 < 00)) Volba tetového kitéia a taoveí jeho ulového ozdleí: T X µ σ ( X ) Z N( 0; ) Výpoet hodoty tetové tatitiky OBS : OBS X µ 0 9,7 00 Z H 0,54 0 σ 5 Až do této chvíle e potupy obou typ tetu eliší. V klaickém tetu však míto p-value uujeme kitický obo. Staoveí kitického obou C: H A : µ < 00 C T Tz. v tuto chvíli e muíme ozhodou a jaké hladi výzamoti ( jakou polehlivoti) budeme tet povádt. Po hladiu výzamoti 5%: C T 0,05 C z 0,05 C z 0,05 C -z 0,95 C -,645 (viz. Tabulka ) - 4 -

8 Rozhodutí: (,54 > -,645) OBS C OBS eleží v kitickém obou, tz. že leží v obou pijetí ( OBS A ) Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. zamítáme alteativu, tj. elze tvdit, že IQ tudet záveého oíku ZŠ je ižší ež Výobce gaatuje, že jím vyobeé žáovky mají životot v pmu.000 hodi. Aby útva kotoly zjitil, zda tomuto kotatováí odpovídá i v daém období vyobeá a epedovaá át podukce, vybal z pipaveé dodávky áhod 50 žáovek a došel k závu, že pmá doba živototi je 050 hodi a modatá odchylka doby živototi pak 00 hodi. Ovte itým tetem výzamoti, zda edošlo ke zlepšeí kvality žáovek. ešeí: Mítkem kvality žáovek je jejich tedí životot. Chceme tedy tetovat tedí hodotu piemž modatou odchylku ezáme. Pedpokládejme, že životot žáovek podléhá omálímu ozdleí. Vtupí data: Výb: X 050 hodi 00 hodi 50 Staoveí ulové a alteativí hypotézy: H 0 : µ 000 (ovovážý tav, tedí životot e ezmila) H A : µ > 000 (výb ukazuje a to, že tedí životot by mohla být vyšší ež 000 (50 > 000)) Volba tetového kitéia a taoveí jeho ulového ozdleí: T X µ ( X ) T t Výpoet hodoty tetové tatitiky OBS : OBS X µ T 50 3,54 H 0 00 Výpoet p-value: H A : µ > 000 p value F ( ) 0 OBS p value F (3,54) 0 F 0(3,54) > 0,9995 viz. Tabulka (Studetovo ozdleí, 49 tup voloti) p value < 0,

9 Rozhodutí: p value < 0,0 Zamítáme ulovou hypotézu ve popch alteativí, tj. lze tvdit, že kvalita žáovek e zlepšila. ešeí ve Statgaphicu: (viz. P...) Vtupí data: Výb: X 050 hodi 00 hodi 50 Staoveí ulové a alteativí hypotézy: H 0 : µ 000 (ovovážý tav, tedí životot e ezmila) H A : µ > 000 (výb ukazuje a to, že tedí životot by mohla být vyšší ež 000 (50 > 000)).4. Uitý duh lilie dotá pmé výšky 85 cm e modatou odchylkou 0 cm. Skupia 00 tchto lilií byla ptováa za ových, pízivjších podmíek, aby e zjitilo, zda e výška zvýší. a) Uete mezí hodotu pmé výšky tohoto vzoku, za íž bude možo ulovou hypotézu zamítout a 5%-í hladi výzamoti. b) Bude-li kuteá pmá výška tchto 00 otli 88cm, jak ozhodeme o ulové hypotéze? c) Natte opeativí chaakteitiku. ešeí: Ze zadáí úlohy uuzujeme, že máme ozhodovat o tedí hodot výšky otliy, piemž záme modatou odchylku populace. ada) V této áti úlohy máme zadáu kitickou hodotu chyby I. duhu, tj. p-value a máme uit pílušý kitický pm. Abychom vdli, jakým zpobem uujeme p-value

10 (máme a výb ze tí možotí), muíme ejdíve taovit ulovou a alteativí hypotézu. H 0 : µ 85 H A : µ > 85 p - value - F(OBS) Volba tetové tatitiky a ulového ozdleí: T X µ σ ( X ) Z N( 0; ) Výpoet: p OBS 0,05 0,95,645 X X kit 85 Z H 00 X kit value - F( ) - OBS kit Φ Φ X ( X kit 85) ( X kit 85) kit 86, Tz. pekoí-li pmá výška 00 otli 86,6 cm, mžeme ulovou hypotézu a 5%- í (a vyšší) hladi výzamoti zamítout. adb) O této otázce mžeme ozhodout bu a základ výledku z bodu a) - 88 cm je více ež 86,6 cm a poto po teto pm mžeme ulovou hypotézu a 5%-í (a vyšší) hladi výzamoti zamítout ebo mžeme klaickým zpobem povét itý tet výzamoti: Volba ulové a alteativí hypotézy: H 0 : µ 85 H A : µ > 85 Volba tetové tatitiky a ulového ozdleí: T X µ σ ( X ) Z N( 0; ) Výpoet pozoovaé hodoty: OBS Z H , Výpoet p-value: H A : µ > 85 p - value - Φ(3,00) < 0,

11 Rozhodutí: p - value < 0,0 Zamítáme ulovou hypotézu ve popch alteativy, tj. mžeme tvdit, že lepší podmíky pi ptováí tohoto duhu lilií vedly k vyšší výšce otli. adc) Opeativí chaakteitika je záviloti a kokétích hodotách alteativy (pi pev zvoleé hodot ). Staovíme i poto hodoty pavdpodoboti chyby II. duhu () a kolika zých hodotách alteativy (ap. 85,5; 86; 87; 88 cm). Zvolíme-li ovo 5%, pak k ezamítutí ulové hypotézy dojde tehdy, epekoí-li pm hodotu 86,6 cm (viz. úloha a) pokud bychom teto výledek emli k dipozici, mueli bychom kitickou hodotu pmu uit). β ( X < 86, ) P 645 H 0 : µ 85 : ) µ H A ) 3) 4) H A 85,5 µ 86,0 µ 87,0 µ 88,0 Volba tetové tatitiky: Z X µ σ N( 0; ) 86,645-85,5 β < 86 A < Z < Φ 0 86,6-86,0 β P X < 86,6 H A P Z < 00 P Z < 0,6 Φ 0,6 0, 0 86,6-87,0 β P X < 86,6 H A P Z < 00 P Z < 0,4 Φ 0,4 0, 0 86,6-88,0 β P X < 86,6 H A P Z < 00 P Z <,4 Φ,4 0, 0 ad.) P( X,6 H ) P Z 00 P(,5 ) (,5) 0, 875 ad.) ( ) ( ) ( ) 76 ad3.) ( ) ( ) ( ) 345 ad4.) ( ) ( ) ( ) 08 Opeativí chaakteitika 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 84, , , , ,5-45 -

12 .5. Pi aalýze difeeciace mezd ve velkém podiku bylo zjišto, že pmá míí mzda iila 9.386,-K a modatá odchylka mezd.56,- K. Po ozáhlých ogaizaích zmách bylo uté ychle pooudit, zda došlo ke zmám v difeeciaci mezd. Náhod bylo vybáo 30 pacovík a byla zjišta modatá odchylka mezd.708,-k. Je možé tvdit, že ogaizaí zmy pohloubily difeeciaci mezd? ešeí: Mítkem difeeciace (ozložeí) mezd je jejich modatá odchylka (ep. ozptyl). Chceme tedy tetovat modatou odchylku. Vtupí data: Výb: 708 K 30 Staoveí ulové a alteativí hypotézy: H 0 : σ 56 (ovovážý tav, v ašem pípad poáteí tav) H A : σ > 56 (výb ukazuje a to, že modatá odchylka by mohla být vyšší ež 56 (708 > 56)) Pevedeí poblému a tet ozptylu: H 0 : H A : σ σ 56 > 56 Volba tetového kitéia a taoveí jeho ulového ozdleí: T ( X ) ( ) χ χ σ Výpoet hodoty tetové tatitiky OBS : OBS χ ( ) H 0 σ 0 34,7 Výpoet p-value: H A : σ > 56 p value F0 ( OBS ) p value F (34,7) 0 0,750 < F 0(34,7) < 0,900 viz. Tabulka 3 0,00 < p value < 0,50 Rozhodutí: p value > 0,05 Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. lze tvdit, že difeeciace mezd e ezvýšila

13 ešeí ve Statgaphicu: Vtupí data: Výb: 708 K 30 Staoveí ulové a alteativí hypotézy: H 0 : σ 56 (ovovážý tav, v ašem pípad poáteí tav) H A : σ > 56 (výb ukazuje a to, že modatá odchylka by mohla být vyšší ež 56 (708 > 56)) Poblém epevádíme a tetováí ozptylu, ebo Statgaphic umožuje pouze tetováí modaté odchylky. V meu Decibe zvolíme položku Hypothei Tet V ok Hypothei Tet zadáme požadovaé údaje: zaškteme pole Nomal Sigma (modatá odchylka omálího ozdleí), do pole Null Hypothei zadáme hodotu, kteé by modatá odchylka doáhla v pípad platoti ulové hypotézy, tj. 56, jako Sample igma ( výbová modatá odchylka) zadáme 708 a do pole Sample Size ( ozah výbu) zapíšeme 30. V ašem pípad je alteativí hypotéza ve tvau vtší ež, poto v meu Aalyi Optio tva alteativy zmíme a Geathe Tha

14 Rozhodutí: p value 0,5 > 0,05 Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. lze tvdit, že difeeciace mezd e ezvýšila..6. Pi volbách do polaecké movy v evu 006 doáhla SSD podpoy 30%. Agetua STAT udává, že pi pzkumu v poici 006 (600 epodet) zjitili pouze 5% podpou této tay. Lze z tchto výledk uuzovat a kleající podpou SSD? Ovte itým tetem výzamoti. ešeí: Chceme tetovat elativí etot. Pedpokládejme, že elativí etot podléhá omálímu ozdleí. Vtupí data: Výb: p 5 % 0,5 600 Staoveí ulové a alteativí hypotézy: H 0 : π 0, 30 (ovovážý tav, podpoa SSD e ezmila) H A : π < 0,30 (výb ukazuje a to, že podpoa SSD by mohla být ižší ež 30% (0,30 < 0,5)) Volba tetového kitéia a taoveí jeho ulového ozdleí: T p π π ( π ) ( X ) P ( 0; ) N Výpoet hodoty tetové tatitiky OBS : OBS p π 0 0,5 0,30 P ,4 H π 0( π 0) 0,30 ( 0,30) Výpoet p-value: H A : π < 0,30 p value F ( ) Rozhodutí: p value < 0,0 0 OBS p value Φ p value 0 ( 4,4) Φ( 4,4) 0 Zamítáme ulovou hypotézu, tz. lze tvdit, že pokle podpoy SSD je tatiticky výzamý

15 ešeí ve Statgaphicu: Vtupí data: Výb: p 5 % 0,5 600 Staoveí ulové a alteativí hypotézy: H 0 : π 0, 30 (ovovážý tav, podpoa SSD e ezmila) H A : π < 0,30 (výb ukazuje a to, že podpoa SSD by mohla být ižší ež 30% (0,30 < 0,5)) V meu Decibe zvolíme položku Hypothei Tet V ok Hypothei Tet zadáme požadovaé údaje: zaškteme pole Biomial Popotio (elativí etot omálího ozdleí), do pole Null Hypothei zadáme hodotu, kteé by elativí etot doáhla v pípad platoti ulové hypotézy, tj. 0,30, jako Sample Popotio ( výbová elativí etot) zadáme 0,5 a do pole Sample Size ( ozah výbu) zapíšeme 600. V ašem pípad je alteativí hypotéza ve tvau meší ež, poto v meu Aalyi Optio tva alteativy zmíme a Le Tha. Rozhodutí: p value 0,000 <<< 0,0 Zamítáme ulovou hypotézu, tj. lze tvdit, že pokle podpoy SSD je tatiticky výzamý

16 .7. Byly amey áledující hodoty IQ (výledky tetu iteligece) po 0 vybaých úatík iteligeího tetu (úatíky byli tudeti poledího oíku základí školy): Ovte itým tetem výzamoti hypotézu, že mediá IQ tudet záveého oíku ZŠ je ove 00. ešeí: Ukážeme i ešeí pomocí obou výše zmíých tet hypotéz o mediáu. Pví kok, tj. taoveí ulové a alteativí hypotézy, je v obou pípadech tejý. Vtupí data: Výb: ~ Staoveí ulové a alteativí hypotézy: H 0 : 00 0,5 0,5 < H A : 00 (výb ukazuje a to, že mediá IQ by mohl být ižší ež 00) Zamékový tet Volba tetového kitéia a taoveí jeho ulového ozdleí: T ( X ) Y Bi( ;0,5), Y poet pozoováí v áhodém výbu o ozahu, kteé pekoí Výpoet hodoty tetové tatitiky OBS : Y H 0 4 (ve výbu jou 4 hodoty vyšší ež 00) OBS Výpoet p-value: H A : 00 p value F ( ) 0,5 < Y Bi(0;0,5) p value F p value 0 OBS 0 0, ( 4) P( Y < 4) 5 k 0 k 0,7 k 0 k ( 0,5) ( 0, )

17 Rozhodutí: p value > 0,05 Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. lze tvdit, že IQ tudet má mediá 00. Wilcov tet Volba tetového kitéia a taoveí jeho ulového ozdleí: Výpoet hodoty tetové tatitiky OBS : T ( X ) W N( 0; ) Vtupí data potup tafomujeme a pomou * a z í vypoteme hodotu tetové 00 : tatitiky ( ) 0,5 0, IQ Seazeé hodoty IQ yi i 0,5 0 ak( ) i i g( i 0,50 ) i y i Nejižší hodota y i je. e vykytuje a.,. a 3. poadí, poto bude všem tmto hodotám y i piazeo poadí ( ). 3 Nap.: g( 65 00) g 0 00 ( ) i i,5, 0 i ( ) i 9 6,0 OBS W H,5 0,3 0 6,0 H 0-5 -

18 Výpoet p-value: H A : 00 p value F ( ) 0,5 < Rozhodutí: p value > 0,05 p value 0 OBS Φ(,3) Φ(,3) 0,907 0,093 Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. lze tvdit, že IQ tudet má mediá 00. ešeí ve Statgaphicu: Nejdíve data zadáme do Statgaphicu, ep. použijeme pipaveý datový oubo IQ.f3 Meu Decibe\Numeic Data\ Oe Vaiable Aalyi V ok Oe Vaiable Aalyi zadáme jako Data IQ. Klikeme a ikou Tabula Optio a zvolíme položku Hypothei Thet. V píluém tetovém výtupu ajdeme jedovýbové tety po tedí hodotu a mediá. V tetovém výtupu ajdeme pm a výbový mediá a a jejich základ zvolíme alteativu. Nataveí ulové hypotézy, alteativí hypotézy a hladiy výzamoti povedeme v meu Pae Optio (RC a tetový výtup)

19 Zamékový tet p value 0,376 > 0,05 Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. lze tvdit, že IQ tudet má mediá 00. Wilcov tet p value 0,0 > 0,05 Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. lze tvdit, že IQ tudet má mediá Tabáková fima TAB pohlašuje, že jejich cigaety mají ižší obah ikotiu ež cigaety NIK. Po oveí tohoto pohlášeí bylo áhod vybáo z podukce TAB 0 kabiek cigaet (po 0-ti kuech) a v ich bylo zjišto (4,6 ± 3,7) mg ikotiu (v jedié cigaet). Ve 5-ti kabikách cigaet NIK (po 0-ti kuech) bylo zjišto (48,9 ± 4,3) mg ikotiu a cigaetu. Ovte tvzeí fimy TAB itým tetem výzamoti. ešeí: Chceme poovávat tedí obah ikotiu v cigaetách TAB a NIK, modatou odchylku obahu ikotiu v cigaetách ezáme. Volíme tedy tet po poováí tedích hodot dvou populací (pi ezámých ) za pedpokladu, že obah ikotiu v cigaetách podléhá omálímu ozdleí. Vtupí data: Výb fima TAB: X 4, 6 mg 3, 7 mg Výb fima NIK: X 48, 9 mg 4, 3 mg Staoveí ulové a alteativí hypotézy: H 0 : µ ( µ µ 0) H A : µ < µ ( µ µ 0) µ (ovovážý tav) <

20 (výby ukazují a to, že obah ikotiu v cigaetách TAB je ižší ež obah ikotiu v cigaetách NIK) Volba tetového kitéia a taoveí jeho ulového ozdleí: T ( ) ( X X ) ( µ µ ) X T t + p +, kde p ( ) + ( ) + Výpoet hodoty tetové tatitiky OBS : Pokud je ulová hypotéza platá, platí, že: µ ( µ µ 0) µ, poto: p ( ) + ( ) 399 ( 3,7) ( 4,3) ,0 OBS T H0 ( X X ) ( µ µ ) H ( 4,6 48,9) ( 0) p + 0 4, , Výpoet p-value: µ p value F ( ) H A : < µ ( µ µ 0) Rozhodutí: < p value < 0,0 0 OBS 0( p value F 3,) p value < 0,0005 viz. Tabulka (Studetovo ozdleí 898 ( ) tupi voloti) Zamítáme ulovou hypotézu, tj. tvzeí fimy TAB lze považovat za pavdivé. ešeí ve Statgaphicu: Statgaphic ám umožuje povádt dvouvýbové paametické tety po ováí tchto paamet omálího ozdleí: tedí hodoty, modaté odchylky, elativí etoti (podíly). Po ováí tedích hodot e používá pouze výbová tatitika T. Zaeme opt tím, že i uíme paamety výb a taovíme ulovou a alteativí hypotézu: Vtupí data: Výb fima TAB: X 4, 6 mg 3, 7 mg

21 Výb fima NIK: X 48, 9 mg 4, 3 mg Staoveí ulové a alteativí hypotézy: H 0 : µ ( µ µ 0) H A : µ < µ ( µ µ 0) µ (ovovážý tav) < V ašem pípad chceme poovávat tedí hodoty. V meu Compae\Two Sample zvolíme položku Hypothei Tet V ok Hypothei Tet (Compae) zaškteme pole Nomal Mea a vyplíme požadovaé paamety v poli Null Hypothei fo Difeece of Mea (ulová hypotéza po ozdíl tedích hodot) poecháme 0, Sample Mea (pm po. výb (TAB) 4,6), Sample Sigma (výbová modatá odchylka po. výb (TAB) 3,7), Sample Size (ozah výbu po. výb (TAB) 400), Sample Mea (pm po. výb (NIK) 48,9), Sample Sigma (výbová modatá odchylka po. výb (NIK) 4,3), Sample Size (ozah výbu po. výb (NIK) 500)) Výtupem této poceduy jou opt dv oka tetový a gafický výtup. Tetový výtup ám abízí itevalový odhad po ozdíl (ep. pom v pípad ováváí modatých odchylek) tetovaých paamet (viz. pedcházející cvieí) a výledky tetu, tj. ulovou a alteativí hypotézu (POZOR!!! Je zde pedataveá oboutaá alteativa, kteou muíme pípad zmit v meu Aalyi Optio (RC a tetový výtup) podle kuteé alteativy), hodotu tetové tatitiky za pedpokladu, že platí ulová hypotéza (pozoovaá hodota) a hodotu p-value. V tetovém výtupu ovž alezeme vyhodoceí tetu po pílušou hladiu výzamoti (pedataveá hodota je 5% - zmit ji mžeme v meu Aalyi Optio (RC a tetový výtup))

22 V ašem pípad je alteativí hypotéza ve tvau meší ež, poto v meu Aalyi Optio tva alteativy zmíme a Le Tha. P-value ovo cca 0 a poto mžeme ulovou hypotézu a 5% í hladi výzamoti zamítout, tj. tvzeí fimy TAB lze považovat za pavdivé. Gafický výtup ám abízí kivku íly tetu. Po kokétí hodotu alteativy zde mžeme odeít pavdpodobot zamítutí ulové hypotézy (-)

23 .9. Byly tetováy magetofoy od dvou výobc SONIE a PHILL. SONIE pohlašuje, že jejich magetofoy mají ižší poceto eklamací. Po oveí tohoto pohlášeí bylo dotazováo kolik podejc magetofo a bylo zjišto, že ze 50 podaých magetofo fimy SONIE bylo v pbhu záuí doby eklamováo 5 výobk a ze 0 podaých magetofo PHILL bylo v záuí dob eklamováo 9 výobk. Otetujte pavdivot pohlášeí fimy SONIE itým tetem výzamoti. ešeí: Chceme poovávat poceto (elativí etot) eklamovaých výobk u obou fiem. Volíme tedy tet hypotézy a ozdílu mezi podíly (elativími etotmi). Vtupí data: Výb fima SONIE: 5 50 p 5 50 Výb fima PHILL: p 0 Staoveí ulové a alteativí hypotézy: H 0 : π ( π π 0) H A : π < π ( π π 0) π (ovovážý tav) < 0,033 0,04 (výby ukazují a to, že poceto eklamovaých výobk fimy SONIE je ižší ež poceto eklamovaých výobk fimy PHILL) Volba tetového kitéia a taoveí jeho ulového ozdleí: T ( X ) P ( p p ) ( π π ) ( p) + N p ( 0; ), kde p + + Výpoet hodoty tetové tatitiky OBS : Pokud je ulová hypotéza platá, platí, že: π π ( π π 0) p ,038, poto: OBS P H0 ( p p ) ( π π ) p ( p) H 0 + 0,038 ( 0,033 0,04) ( 0) ( 0,038) ,

24 Výpoet p-value: H A : < π ( π π 0) Rozhodutí: π p value F ( ) < p value > 0,05 0 OBS ( 0,40) p value Φ( 0,40) Φ p value 0,345 viz. Tabulka Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. tvzeí fimy SONIE eí opávé. ešeí ve Statgaphicu: Zaeme opt tím, že i uíme paamety výb a taovíme ulovou a alteativí hypotézu: Vtupí data: Výb fima SONIE: 5 50 p 5 50 Výb fima PHILL: p 0 Staoveí ulové a alteativí hypotézy: H 0 : π ( π π 0) H A : π < π ( π π 0) π (ovovážý tav) < 0,033 0,04 Chceme poovávat tedí hodoty. V meu Compae\Two Sample zvolíme položku Hypothei Tet V ok Hypothei Tet (Compae) zaškteme pole Biomial Popotio a vyplíme požadovaé paamety v poli Null Hypothei fo Difeece of Popotio (ulová hypotéza po ozdíl podíl) poecháme 0, Sample Popotio (výbový podíl po. výb (SONIE) 0,033), Sample Size (ozah výbu po. výb (SONIE) 50), Sample Popotio (výbový podíl po. výb (PHILL) 0,04), Sample Size (ozah výbu po. výb (PHILL) 0)

25 V ašem pípad je alteativí hypotéza ve tvau meší ež, poto v meu Aalyi Optio tva alteativy zmíme a Le Tha. Rozhodutí: p value 0,346 > 0,05 Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. tvzeí fimy SONIE eí opávé..0. Máme dv kupiy tudet. Pví (kotolí), v íž jou tudeti vyuovái tadiími metodami, a duhá, v íž jou tudeti vyuovái epeimetálími metodami. V áledujících tabulkách je uvedeo bodové hodoceí vybaých tudet u zkoušky. Na základ ováí mediáu ozhodte, zda tudeti vyuovái epeimetálím metodami doahují lepších výledk ež tudeti klaickým vyuováím. Výb z pví kupiy (klaická výuka)

26 Výb z duhé kupiy (epeimetálí výuka) ešeí: Volba ulové a alteativí hypotézy H 0 : 0,5 ( 0) 0,5 0,5 0, 5 H A : ( 0) ( ~ 48; ~ 5) 0,5 0,5 0,5 0, 5 Volba tetového kitéia a taoveí jeho ulového ozdleí: T ( X ) W N( 0;) + Výpoet hodoty tetové tatitiky OBS : i ,5 8 5, ,5 4 5,5,5 i i , i i i i i, ; 4,4 ; ( ) i i 6,3 ; ( ) i i 8,9 ( ) + ( ) 4 ( 6,3) + 9 ( 8,9) ,4 OBS W H 0 +,-4,4 7, ( 0,76) Výpoet p-value: H A : ( 0) 0,5 0,5 0,5 0,

27 p F value.mi{ F0 ( OBS ); F0 ( OBS )} ( OBS ) Φ( - 0,76) Φ( 0,76) 0,776 0, 4 F ( ) Φ( - 0,76) Φ( 0,76) 0, OBS p value.0,4 0,448 Rozhodutí: p value > 0,05 Nezamítáme ulovou hypotézu, tz. ebyl potvze vliv typu výuky a výledky tudet zkoušky. ešeí ve Statgaphicu: Nejdíve data zadáme do Statgaphicu, ep. použijeme pipaveý datový oubo Vyuka.f3 Meu Compae\Two Sample\ Two Sample Compaio Jako výb zadáme body tudet z Klaické výuky, jako výb zadáme body tudet z Epeimetálí výuky. Statgaphic ám umožuje poovat tedí hodoty, modaté odchylky a mediáy. Typ poováváí vybeeme klikeme-li a ikou Tabula Optio - 6 -

28 Nulovou hypotézu po ozdíl (ep. pom - v pípad poováváí modatých odchylek) pílušých paamet, alteativí hypotézu a hladiu výzamoti zadáme v meu Pae Optio (RC a pílušý tetový výtup). Ná zajímá poováí mediá, povedeme tedy RC a tetový výtup vztahující e k poováváí mediá a atavíme ulovou hypotézu, alteativí hypotézu a hladiu výzamoti: Volba ulové a alteativí hypotézy H 0 : 0,5 ( 0) 0,5 0,5 0, 5 H A : ( 0) 0,5 0,5 0,5 0, 5 Rozhodutí: p value 0,470 > 0,05 Nezamítáme ulovou hypotézu, tz. ebyl potvze vliv typu výuky a výledky tudet zkoušky

29 .. Máme k dipozici údaje o tepové fekveci paciet v klidu a po 0 miutách cvieí. Rozhodte a základ poováí tedích hodot a mediá tepových fekvecí, zda e 0 miutové cvieí pojeví a tepové fekveci paciet. Klidová fekvece X Fekvece po cvieí X ešeí: Zcela zejm e jedá o závilé výby, poto použijeme páové tety. Klidová fekvece Fekvece po cvieí d Páový tet tedí hodoty: Vtupí data: Výb: d 5, 0 d 6,9 Staoveí ulové a alteativí hypotézy: H 0 : µ 0 (ovovážý tav, cvieí tepovou fekveci eovlivilo) H A : µ > 0 (výb ukazuje a to, že cvieí tepovou fekveci zvýšilo (5 > 0)) Volba tetového kitéia a taoveí jeho ulového ozdleí: T X µ ( X ) T t Výpoet hodoty tetové tatitiky OBS : OBS d µ 0 5,0 0 T 0,64 H 0 6,9 d Výpoet p-value: H A : µ > 0 p value F ( ) 0 OBS p value F (0,64) 0 0,5 < F 0 (3,54) < 0,75 viz. Tabulka (Studetovo ozdleí, tup voloti) 0,75 > p value > 0,5-63 -

30 Rozhodutí: p value > 0,05 Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. z hledika tedí hodoty mžeme vliv 0 miutového cvieí považovat za evýzamý. Páový tet mediáu: Vtupí data: Výb: ~ 6, 0 Staoveí ulové a alteativí hypotézy: H 0 : 0 (ovovážý tav, cvieí tepovou fekveci eovlivilo) 0,5 0,5 > H A : 0 (výb ukazuje a to, že cvieí tepovou fekveci zvýšilo (6 > 0)) Zamékový tet: Volba tetového kitéia a taoveí jeho ulového ozdleí: T ( X ) Y Bi( ;0,5), Y poet pozoováí v áhodém výbu o ozahu, kteé pekoí 0,5 (0) 0 Výpoet hodoty tetové tatitiky OBS : d Y H 0 7 (ve výbu je 7 hodot vyšších ež 0) OBS Výpoet p-value: H A : 0 0,5 > p value F0 ( OBS ) Y Bi(;0,5) p value F p value 0, (7) P( Y < 7) P( Y 7) 5 k 7 k k 0 k ( 0,5) ( 0, ) Wilcoov tet Volba tetového kitéia a taoveí jeho ulového ozdleí: T ( X ) W N( 0; ),

31 Výpoet hodoty tetové tatitiky OBS : Vtupí data potup tafomujeme a pomou * a z í vypoteme hodotu tetové tatitiky: y ( 00), i i 0,50 ( ) ak, i y i i ( ) g 0,50 i d 0 i 0,5 0 Seazeé hodoty d -3 y d 0 ak( ) i i i y i i i g( i 0,50 ) ,5-8, ,5-3, ,5 3, ,5 8, ,5, ,5,5 i i,3, i ( ) i 7,6 OBS W H,3 0,59 0 7,6 H 0 Výpoet p-value: H A : 0 p value F ( ) 0,5 > 0 OBS p value Φ(0,59) Φ(,3) 0,7 0,78 Rozhodutí: Jak po zamékový tet, tak po Wilcoov tet je p value > 0,

32 Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. z hledika mediáu mžeme vliv 0 miutového cvieí považovat za evýzamý. Blízkot p-value po t tet a po tety mediáu ukazuje a epítomot odlehlých pozoováí. ešeí ve Statgaphicu: Nejdíve data zadáme do Statgaphicu, ep. použijeme pipaveý datový oubo Fekvece.f3 Meu Compae\Two Sample\ Paied - Sample Compaio V ok Paied-Sample Compaio zadáme jako výb Fekveci po cvieí a jako výb Klidovou fekveci (poáteí tav). Statgaphic ám umožuje povét páové tety tedích hodot a mediá. Klikeme a ikou Tabula Optio a zvolíme položku Hypothei Thet. Nulovou hypotézu po ozdíl pílušých paamet, alteativí hypotézu a hladiu výzamoti zadáme v meu Pae Optio (RC a pílušý tetový výtup)

33 Páový tet tedí hodoty: Rozhodutí: p value 0,66 > 0,05 Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. z hledika tedí hodoty mžeme vliv 0 miutového cvieí považovat za evýzamý. Páový tet mediáu: Zamékový tet: p value 0,386 Nezamítáme ulovou hypotézu, tj. z hledika mediáu mžeme vliv 0 miutového cvieí považovat za evýzamý