Neparametrické metody

Save this PDF as:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Neparametrické metody"

Transkript

1 I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických testů (apř. ormalita rozdílů v párovém t-testu) v Neparametrické metody mohou zahrovat požadavky a určité vlastosti rozděleí (apř. symetrie ebo spojitost) v Jsou mohdy jediou alterativou aalýzy ordiálích dat ebo dat ve formě četostí či pořadí Kotakt: Literatura: Obecé iformace Zvárová, J.: Základy statistiky pro biomedicíské obory I. Vydavatelství Karolium, UK Praha Zvára, K.: Roser, B.: EuroMISE cetrum Doc. Zdeěk Valeta, Ph.D. Tel.: 5 (sekretariát) Fax: Biostatistika. Vydavatelství Karolium, UK Praha Fudametals of Biostatistics, th Editio ÚVOD (pokr.) v TŘÍD NEPARAMETRICKÝCH TESTŮ: JEDNOVÝBĚROVÉ: Kvatilový test DVOUVÝBĚROVÉ PÁROVÉ: Zamékový test, Wilcoxoův párový test (siged-rak test). Oba testy jsou eparametrickou alterativou párového t-testu. DVOUVÝBĚROVÉ PRO NEZÁVISLÉ VÝBĚR: Mediáový test, Wilcoxoův dvouvýběrový test (Maův-Whiteyův U test, Wilcoxo Rak-Sum test), Robustí dvouvýběrový test, Kolmogorovův-Smirovův dvouvýběrový test, případě Waldův-Wolfowitzův rus test. Tyto testy jsou eparametrickou alterativou dvouvýběrového t-testu. VÍCEVÝBĚROVÉ: Kruskalova-Wallisova aalýza pořadových skórů jedoduchého tříděí, Friedmaova aalýza pořadových skórů opakovaých měřeí v jedoduchém tříděí. Tyto aalýzy odpovídají aalýze rozptylu (ANOVA - aalysis of variace, MANOVA - multivariate ANOVA) jedoduchého tříděí.

2 ÚVOD (pokr.) v Výše uvedeé testy jsou aalogií zámých parametrických testů, tj. jedovýběrového t-testu, dvouvýběrového t-testu pro ezávislé výběry a aalýzy rozptylu v Neparametrické testy emusí vyžadovat splěí všech požadavků zámých z parametrických metod, jakými jsou apříklad ormalita rozděleí, případě ai shodost rozptylů u dvouvýběrových testů (apř. robustí dvouvýběrový test) v V případě, že jsou ovšem požadavky a použití parametrických metod splěy, je vhodé je upředostit před metodami eparametrickými, eboť testy založeé a parametrických metodách mají zpravidla větší sílu (využívají více iformace) POŘADÍ SHODNÝCH POZOROVÁNÍ (ties) v V případě shodých pozorováí (ties) přiřazujeme tzv. průměrá pořadí (average raks). v Vzestupě uspořádaá data a jejich průměrá pořadí: Uspořádaá Data Průměrá pořadí -,5,5 5,5,5 II. USPOŘÁDÁNÍ A POŘADÍ v Pozorovaá data: -,,,,,,, v Vzestupě uspořádaá data: -,,,,,,, v Pořadí R i pozorovaých dat (Raks R i ):, 5,,,,,, III. VÝBĚROVÉ KVANTIL SPOJITÝCH ROZDĚLENÍ v Vzestupě uspořádaá data: -,,,,,,, v Výběrové kvatily: -. % kvatil (mi). / =,% kvatil. / =,% kvatil... 5/ =,5% kvatil. % kvatil (max)

3 ODHAD KVANTILŮ SPOJITÝCH ROZDĚLENÍ v Vzestupě uspořádaá data: -,,,,,,, v Odhady kvatilů (lieárí iterpolace): % kvatil (mi) =-, % kvatil =- + (- -)*(/.) = -, 5% (.kvartil, Q) = + (-)*(./.) =,5 5% (mediá): =,5 5% (. kvartil, Q) = 5, % kvatil =, % kvatil (max) =, KVANTILOVÝ TEST příklad: v ZADÁNÍ: Na základě dat o itervečí léčbě pacietů se závažou formou hyperlipoproteiemie (sérum CHOL mmol/l a více) testujte a hladiě výzamosti α =,5 hypotézu, že u alespoň % pacietů s touto závažou formou hyperlipoproteiémie docílí itervečí léčba poklesu hladiy CHOL v séru většího ež mmol/l. v H :(y -x). = d. = v H : d. > v HLADINA VÝZNAMNOSTI: α =,5 (léčba edosahuje staoveého poklesu u alespoň % pacietů) (pokles u alespoň % pacietů) IV. KVANTILOVÝ TEST (-výběrový) v Nulová hypotéza: H : x q = c (H :*q% kvatil x q cílové populace je rove c) v Alterativí hypotéza: H : x q c v Hladia výzamosti: α (apř.,5) v Postup: Záhodého výběru vyřadíme čley, u kterých je hodota zaku x rova kostatě c. Ve výsledém souboru o rozsahu pak zjistíme počet čleů m, u kterých je x < c. v Testová statistika: Z = m q ~ N(,) q( q) má za platosti H stadardí ormálí rozděleí N(,). v Testové kritérium: Zamítáme H, jestliže z α / v Předpoklady: > 5,, < q <, a spojitost rozděleí (aprox. biomického rozděleí ormálím rozděleím N(,)) Z KVANTILOVÝ TEST pokr. př.: v ŘEŠENÍ: Předpokládejme, že data ukazují, že ve případech ze byla hodota d >a ai v jedom případě ebylo d =. Tedy: = (počet případů kde d ) m = (počet případů kde d > ) q =,. m q *, v TESTOVÁ STATISTIKA: Z = = =,5 q( q) *,*, v VÝSLEDEK: Kritická hodota ormálího rozděleí pro jedostraý test a hladiě výzamosti α = 5% má hodotu,5. Protože hodota testové statistiky Z =,5 přesahuje kritickou hodotu, zamítáme ulovou hypotézu H a hladiě výzamosti 5%. v ZÁVĚR: Na hladiě α=,5 zamítáme ulovou hypotézu H, že itervečí léčba edosahuje staoveého poklesu hladiy CHOL o více ež mmol/l u alespoň % pacietů.

4 V. ZNAMÉNKOVÝ TEST (párový) v NULOVÁ HPOTÉZA: H : (x y),5 = d,5 = (H :Mediá párových rozdílů d,5 je rove ) v ALTERNATIVNÍ HPOTÉZA: H : d,5 v HLADINA VÝZNAMNOSTI: α (apř.,5) v POZNÁMKA: Zamékový test je speciálím případem kvatilového testu pro mediá (tj. q =,5) aplikovaého a párové rozdíly hodot mezi dvěma výběry. v POSTUP: Ze základího souboru párových rozdílů vyřadíme čley, u kterých je hodota zaku d = x - yrova. Ve výsledém souboru o rozsahu (počet párů) pak zjistíme počet čleů C, u kterých je d >. ZNAMÉNKOVÝ TEST příklad v DERMATOLOGIE: Byla realizováa studie zaměřeá a porováí účiosti pleťových krémů typu A, B a C s ochraým faktorem proti egativím účikům sluečího zářeí při dlouhodobé expozici. Krémy byly aplikováy účastíkům studie a odpovídající místa s podobou kvalitou pokožky a levé a pravé části těla a každý z účastíků byl ásledě vystave itezivímu sluečímu zářeí po dobu hod. Poté bylo dermatologem porováo zrudutí pokožky a ošetřeých místech. V. ZNAMÉNKOVÝ TEST (párový, pokr.) v TEST H (aproximace biomického rozděleí ormálím): Zamíteme H, jestliže: ZNAMÉNKOVÝ TEST příklad v Orgaizace dat: C > + + z α / ebo C < z α / v PŘEDPOKLAD: Počet dvojic a spojitost rozděleí v TEST H (exaktí staoveí hladiy výzamosti p a základě biomického rozděleí): (a) Je - li C > p = * j = C j C (b) Je - li C < p = * j = j 5 Krém A Krém B Krém C Původí data hodotila zrudutí pokožky koeficietem až 5.

5 ZNAMÉNKOVÝ TEST příklad v DATA: Box & Whisker Plot Box & Whisker Plot Krém A Krém B Krém C Media 5%-5% Mi-Max STATISTICA.: ZNAMÉNKOVÝ TEST (pokr. př.) Sig Test (sig-test-small.sta) Marked tests are sigificat at p <,5 No. of Percet Z p-level Pair of Variables No-ties v < V Krém A & Krém C,,, Sig Test (sig-test-small.sta) Marked tests are sigificat at p <,5 No. of Percet Z p-level Pair of Variables No-ties v < V Krém A & Krém B,,,55 Sig Test (sig-test-small.sta) Marked tests are sigificat at p <,5 No. of Percet Z p-level Pair of Variables No-ties v < V Krém B & Krém C,,,55 ZNAMÉNKOVÝ TEST (pokr. př.) v Soustřeďme se yí pouze a porováí účiosti jedotlivých dvojic krémů typu A, B a C. Navíc předpokládejme, že dermatolog byl schope rozlišit pouze ásledující případy (zde porováváme apř. krémy typu A a B):. Místo A je lépe ochráěé ež místo B (meší zrudutí při aplikaci krému A). Místo B je lépe ochráěé ež místo A (meší zrudutí při aplikaci krému B). Obě místa vykazují podobý stupeň zrudutí pokožky v Tato situace je vhodá pro využití zamékového testu, eboť původí hodoty koeficietů zrudutí pokožky v tomto případě ejsou dostupé, pouze počty případů, kdy pro d = x y platí: d <, d = a d >. ZNAMÉNKOVÝ TEST (pokr. př.) v Rozsah áhodého výběru byl však v každé skupiě (tj, pro každý typ ochraého krému) pouze, což esplňuje požadavek a aproximaci biomického rozděleí stadardím ormálím rozděleím. V takovém případě je uté použít exaktí test biomický test. v Buď C AB počet subjektů, u ichž je d = x y > při porováváí účiku krémů A a B. Je-li C AB velké číslo blízké, pak krém B chráí pokožku většiy studovaých subjektů lépe ež krém A, zatímco je-li C AB malé, pak krém typu A vykazuje a souboru studovaých subjektů lepší výsledky ež krém typu B.

6 ZNAMÉNKOVÝ TEST (pokr. př.) v Za platosti ulové hypotézy H (tj. předpokladu stejé efektivity krémů A a B) lze předpokládat, že Pr(d > ) = Pr(d < ) je u subjektů s eulovou hodotou d stejá, tedy ½. Jiými slovy, jsou-li oba krémy stejě efektiví, potom frekvece případů, kdy A je lepší ež B a případů, kdy A je horší ež B by měly být zhruba stejé. v Ke staoveí DOSAŽENÉ HLADIN VÝZNAMNOSTI p zamékového testu tedy můžeme využít přímo formule biomického rozděleí: p = * j= C AB j VI. WILCOONŮV PÁROVÝ TEST (siged-rak test) v NULOVÁ HPOTÉZA: H : (x y),5 = d,5 = (H :Mediá párových rozdílů d,5 = ) v ALTERNATIVNÍ HPOTÉZA: H : d,5 v HLADINA VÝZNAMNOSTI: α (apř.,5) v POSTUP: Z áhodého výběru s počtem párových pozorováí vyřadíme čley, u ichž je hodota zaku d = x - yrova. Staovíme pořadí hodot d a zjistíme součet pořadí T +,která odpovídají kladým hodotám d. ZNAMÉNKOVÝ TEST (dokočeí) v EAKTNÍ ZNAMÉNKOVÝ TEST: Připoměňme si, že při porováváí účiosti krému A a B jsme měli pozorováí, shodu ( tie ), C AB =, =. Pro exaktí výpočet dosažeé hladiy výzamosti oboustraého testu tedy platí: p = * j= j v ZÁVĚR: = *( + )* = * =, Na hladiě výzamosti α = 5% zamítáme ulovou hypotézu H o shodosti účiku ochraých krémů typu A a B. VI. WILCOONŮV PÁROVÝ TEST (siged-rak test, pokr.) + T ( + ) / v TESTOVÁ STATISTIKA: Z = ~ N(,) ( + )( + ) / má za platosti H stadardí ormálí rozděleí v POZNÁMKA: Wilcoxoův párový test má větší statistickou sílu ež zamékový test, eboť využívá jak iformaci o směru rozdílů, tak o jejich velikosti ve formě pořadí. To se projevuje také v ižším požadovaém miimálím rozsahu áhodého výběru. v TESTOVÉ KRITÉRIUM: Zamítáme H,jestliže z α / v PŘEDPOKLAD:počet párů > 5 a spojitost rozděleí Z

7 v WILCOONŮV PÁROVÝ TEST -příklad Pokračujme aším příkladem z dermatologie: připoměňme, že Wilcoxoův siged-rak test pracuje s aktuálí velikostí rozdílů d = x y, ikoliv pouze s iformací, zda x je větší či meší ež y. Můžeme tedy očekávat, že reálě existující rozdíly mezi efektivostí krémů bude sazší detekovat a základě Wilcoxoova párového testu ež jedoduššího testu zamékového. WILCOONŮV PÁROVÝ TEST (pokr. př.): Krém A vs B: Wilcoxo Matched Pairs Test (sig-test.sta) Marked tests are sigificat at p <,5 Valid T Z p-level Pair of Variables N Krém A & Krém B,,5, Srovej: Sig Test (sig-test.sta) Marked tests are sigificat at p <,5 No. of Percet Z p-level Pair of Variables No-ties v < V Krém A & Krém B,,, WILCOONŮV PÁROVÝ TEST -příklad WILCOONŮV PÁROVÝ TEST (pokr. př.): v Orgaizace dat: v Box ad Whisker plot: Krém A vs C: 5 5 Krém A Krém B Krém C Box & Whisker Plot Krém A Krém B Krém C Media 5%-5% Mi-Max Wilcoxo Matched Pairs Test (sig-test.sta) Marked tests are sigificat at p <,5 Valid T Z p-level Pair of Variables N Krém A & Krém C,5,5,5 Srovej: Sig Test (sig-test.sta) Marked tests are sigificat at p <,5 No. of Percet Z p-level Pair of Variables No-ties v < V Krém A & Krém C,,555,

8 WILCOONŮV PÁROVÝ TEST (pokr. př.): Krém B vs C: Wilcoxo Matched Pairs Test (sig-test.sta) Marked tests are sigificat at p <,5 Valid T Z p-level Pair of Variables N Krém B & Krém C,5,,5 Srovej: Sig Test (sig-test.sta) Marked tests are sigificat at p <,5 No. of Percet Z p-level Pair of Variables No-ties v < V Krém B & Krém C,5,5,5 v VARIANT TESTU: - exaktí a základě hypergeometrického rozděleí: (Fisherův test, ) a + c b + d a b P [ a, b] = a + b - Chí-kvadrát aproximace (>): MEDIÁNOVÝ TEST (dvouvýběrový, pokr.) ( ad bc / ) () = ( a + b)( a + c)( b + d)( c + d) v PŘEDPOKLAD: spojitost a shodý tvar rozděleí a. VII. MEDIÁNOVÝ TEST (dvouvýběrový) v NULOVÁ HPOTÉZA: v ALTERNATIVNÍ HPOTÉZA: H : Θ = Θ (H :Mediáy Θ a Θ jsou shodé) v HLADINA VÝZNAMNOSTI: α (apř.,5) H : Θ > Θ (mediá Θ je apravo od Θ ) v POSTUP: Klasifikace hodot vobou souborech podle společého mediáu Θ : VIII. WILCOONŮV DVOUVÝBĚROVÝ TEST (Ma-Whitey U test, Rak-Sum test) v NULOVÁ HPOTÉZA: H : Dva ezávislé výběry pocházejí z populací se shodými mediáy (Θ = Θ ) v ALTERNATIVNÍ HPOTÉZA: od (mediá Θ > Θ ) H : Populace je apravo v HLADINA VÝZNAMNOSTI: α (apř.,5) Klasifikace Počet hodot > Θ Počet hodot < Θ Celkem Soubor a c a+c Soubor b d b+d Celkem a+b c+d v POSTUP: Staovíme pořadí hodot vsouboru vziklém spojeím výběrů a azjistíme součty pořadí W aw ( raked sums ) odpovídající výběrům,. Za platosti H by statistiky W aw y měly mít přibližě stejou hodotu.

9 WILCOONŮV DVOUVÝBĚROVÝ TEST (pokr.) v TESTOVÁ STATISTIKA: W Z = +.5 m( m + + ) / ~ N (,) m( m + + ) / má za platosti H stadardí ormálí rozděleí N(,), přičemž m a jsou rozsahy jedotlivých výběrů. v POZNÁMKA: V případě, že H mátvar Θ < Θ má hodota,5 v čitateli záporé zaméko. Wilcoxoův dvouvýběrový test má větší statistickou sílu ež mediáový test, eboť využívá jak iformaci o poloze skórů vůči společému mediáu, tak také součty pořadí. WILCOONŮV DVOUVÝBĚROVÝ TEST - příklad v v Pokračujme opět aším příkladem z dermatologie; pouze yí předpokládejme, že data evzikla párovým porováváím a týchž subjektech, ýbrž že každému z účastíků studie byl apliková právě jediý z ochraých krémů typu A, B, C. Z tohoto důvodu budou mít data amísto zázamů (records) se třemi proměými A, B, C mít zázamů a pouze dvě proměé, přičemž prví proměá udává hodotu zjištěého koeficietu a druhá je idikátorem, udávajícím typ použitého krému u daého subjektu. WILCOONŮV DVOUVÝBĚROVÝ TEST (dok.) v TESTOVÉ KRITÉIUM: Zamítáme H, jestliže z α v PŘEDPOKLAD: m>, > a spojitost a shodý tvar rozděleí v obou populacích Z WILCOONŮV DVOUVÝBĚROVÝ TEST - příklad v Orgaizace dat v programu Statistica v tomto případě vypadá ásledově: Krém Group

10 WILCOONŮV DVOUVÝBĚROVÝ TEST - pokr. př. Pozámky k dvouvýběrovým testům: v Ukázka výpočtu rus ve WALDOVĚ-WOLFOWITZOVĚ testu a příkladě: Ma-Whitey U Test (Wilcoxo Rak Sum Test.sta) By variable Group Marked tests are sigificat at p <,5 Rak Sum Rak Sum U Z p-level Z p-level Valid N Valid N *sided variable Group Group adjusted Group Group exact p Krém 5,5,5 5,5 -,5, -,,5,5 pořadí... data MMMZZZMMMMZZMMMZZZZZZZMMZMMZZZZ ru 555 DALŠÍ DVOUVÝBĚROVÉ TEST: v KOLMOGOROVŮV-SMIRNOVŮV test: Kolmogorov-Smirov Test (Wilcoxo Rak Sum Test.sta) By variable Group Marked tests are sigificat at p <,5 Max Neg Max Pos p-level Mea Mea Std.Dev. Std.Dev. Valid N Valid N variable Differc Differc Group Group Group Group Group Group Kr ém -,, p >.,,5,5, v WALDŮV-WOLFOWITZŮV rus test Wald-Wolfowitz Rus Test (Wilcoxo Rak Sum Test.sta) By variable Group Marked tests are sigificat at p <,5 Valid N Valid N Mea Mea Z p-level Z adjstd p-level No. of No. of Variable Group Group Group Group Rus ties Krém,,5,5,5,, Pozámky k dvouvýběrovým testům: v WILCOONŮV DVOUVÝBĚROVÝ TEST (Maův- Whiteyův U-test, Wilcoxoův Rak-Sum test) má ejvětší statistickou sílu z uvedeých testů a je vhodý zejméa v případě, že počet ties (shodých pozorováí) je malý. Je vhodý zejméa v situacích, kdy se průměré hodoty pořadí v jedotlivých skupiách (apř. muži a žey) podstatě liší. v WALDŮV-WOLFOWITZŮV RUNS TEST má meší statistickou sílu, ale je vhodý v případě, že průměré hodoty pořadí se ve skupiách (muži a žey) zásadě eliší, ale apříklad u mužů abývají buď vysokých ebo aopak ízkých hodot, zatímco u že abývají středích hodot. v KOLMOGOROVŮV-SMIRNOVŮV test je vhodý v případě, že počet shodých pozorováí ( ties ) je vyšší.

11 I. KRUSKALOVA-WALLISOVA ANOVA v Nulová hypotéza: H : kezávislých výběrů pochází z populací se shodými mediáy (Θ = Θ =...= Θ k ) v Alterativí hypotéza: H : Mediáy se alespoň ve dvou populacích vzájemě liší v Hladia výzamosti: α (apř.,5) v Postup:. Do tabulky o k sloupcích, ve které j-tý sloupec odpovídá výběru z j-té populace (j=,...,k), zapíšeme amísto pozorovaých hodot pořadí, která odpovídají pozorovaým hodotám v souboru vziklém spojeím k podsouborů.. V každé z k skupi spočteme průměré pořadí R j, (j=,...,k) KRUSKALOVA-WALLISOVA aalýza příklad: Opthalmologie: v Kyselia arachodiová je zámá tím, že ovlivňuje metabolismus oka. Kotakt oka s malým možstvím této kyseliy má za ásledek zavřeí víčka, svěděí a v ěkterých případech poruchy viděí. Studie, z íž pocházejí data pro áš příklad, porovávala protizáětlivé účiky zkoumaých látek, které byly aplikováy laboratorím zvířatům (bílí králíci) do jedoho oka a roztok salia do druhého oka. v Po miutách bylo králíkům aplikováo malé možství kyseliy arachodiové a obě bulvy. Po dalších 5 miutách byli králíci kotrolovái, zda došlo k uzavřeí víčka a bylo zazameáo skóre, které představovalo hodotu rozdílu mezi stupěm otevřeí víčka (-otevřeé, - polouzavřeé a uzavřeé) a začátku pokusu a po aplikaci kyseliy arachodiové. KRUSKALOVA-WALLISOVA ANOVA (pokr.) v Testová statistika: má za platosti H rozděleí v Testové kritérium: Zamítáme H, jestliže KW v Předpoklady: k KW = jr N( N + ) j= χ k ( N + ) - Rozsahy výběru j (j=,...,k) musí být v jedotlivých skupiách alespoň 5 - Spojitost - Shodý tvar rozděleí v jedotlivých populacích. j > χ k ( α ) KRUSKALOVA-WALLISOVA aalýza pokr. př.: Opthalmologie: v Data pro statistickou aalýzu udávají míru efektivosti protizáětlivého přípravku a jsou dáa rozdíly mezi hodotou skóre a oku ošetřeém aktiví látkou a oku ošetřeém saliou (eutrálí izotoický,% roztok soli). v Vyšší hodoty skórů (rozdíly rozdílů) azačují efektivější účiek protizáětlivé látky.

12 KRUSKALOVA-WALLISOVA aalýza pokr. př. v Opthalmologie -data: 5 5 Skore Lecba Idometaci Idometaci Idometaci Idometaci Idometaci Idometaci Aspiri Aspiri Aspiri Aspiri Aspiri Aspiri Piroxicam Piroxicam Piroxicam Piroxicam Piroxicam Piroxicam BW55C BW55C BW55C BW55C BW55C - BW55C KRUSKALOVA-WALLISOVA aalýza pokr. př. v K-W aalýza pořadových skórů: Deped.: Sk ore Idometaci Aspiri Piroxicam BW55C v Mediáový test: Depedet: Sk ore <= Media: observed expected obs.-exp. > Media: observed expected obs.-exp. Total: observed Kruskal-Wallis ANOVA by Raks; Idepedet (groupig) variable: Lecba Kruskal-Wallis test: H (, N= ) =,5 p =, Code Valid Sum of N Raks,5 5,,5, Media Test, Overall Media =,; Sk ore (Kruskal-Wallis Ophtalmologie.sta) Idepedet (groupig) variable: Lecba Chi-Square =,, df =, p =, Idometaci Aspiri Piroxicam BW55C Total,,,, 5,,5,5,5,5 -,5,5 -,5,5,,,,,,5,5,5,5,5 -,5,5 -,5,,,,, KRUSKALOVA-WALLISOVA aalýza pokr. př. v Box & Whisker Plot: Boxplot by Group Variable: Skore,5,,5,. ROBUSTNÍ DVOUVÝBĚROVÝ TEST v NULOVÁ HPOTÉZA: H : Dva ezávislé výběry pocházejí z populací se shodými mediáy (Θ = Θ ) v ALTERNATIVNÍ HPOTÉZA: H : Mediá Θ > Θ v HLADINA VÝZNAMNOSTI: α (apř.,5) Skore,5,,5, v POSTUP (a příkladě):. Vzestupě uspořádejme pozorovaá data a ozačme příslušost ke skupiám a : -,5 -, -,5 Idometaci Aspiri Piroxicam BW55C Lecba Media 5%-5% Mi-Max Data Skupia 5

13 ROBUSTNÍ DVOUVÝBĚROVÝ TEST (pokr.) Data Skupia i U( i ). Defiujeme: U( i ) počet meších ež i U( j ) počet meších ež j 5 j U( j ). Vypočteme středí hodoty U() a U(): ( ) (+ ( ) = m U i U = m i= ( ) (+ + ( ) = U i U = i= + ) + ) = =,5 5 U = ROBUSTNÍ DVOUVÝBĚROVÝ TEST - pokr. v Středí hodoty: U() = U() =,5. v Ukazatele variability: V = V =,5. 5. TESTOVÁ STATISTIKA U má za platosti H rozděleí N(,): mu ( ) U ( ) = V + V + U ( ) U ( ) () (,5) =, +,5 + (,5)(). TESTOVÉ KRITÉRIUM: Zamítáme H, jestliže platí U z.. ZÁVĚR: V ašem příkladě H ezamítáme. α. PŘEDPOKLAD: m >, > a spojitost rozděleí (rozptyly se mohou lišit, jde o tzv. Behresův-Fisherův problém). Pro m, je rozděleí U tabelováo. ROBUSTNÍ DVOUVÝBĚROVÝ TEST - pokr. Středí hodoty: U() = U() =,5.. Vypočteme ukazatele variability V a V : V i U( i ) m = [ U ( i) U ( )] i= = ( ) = + + = + ( ) 5 V = + ( ) j U( j ) = j= [ U ( ) U ( )] = (,5) + (,5) j + (,5) + (,5) = =,5

Neparametrické metody

Neparametrické metody Neparametrické metody EuroMISE Cetrum Kotakt: Literatura: Obecé iformace Zvárová, J.: Základy statistiky pro biomedicískéobory I. Vydavatelství Karolium, UK Praha 00 Zvára, K.: Roser, B.: EuroMISE cetrum

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

Kapitola 6. : Neparametrické testy o mediánech

Kapitola 6. : Neparametrické testy o mediánech Kapitola 6 : Neparametrické testy o mediáech Cíl kapitoly Po prostudováí této kapitoly budete umět - provádět testy hypotéz o mediáu jedoho spojitého rozložeí - hodotit shodu dvou ezávislých áhodých výběrů

Více

8. cvičení 4ST201-řešení

8. cvičení 4ST201-řešení cvičící 8. cvičeí 4ST01-řešeí Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST01 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění:

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění: Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Testujeme hypotézu: proti alterativě H : μ = μ = = μ H : e všechy středí hodoty μ,, μ jsou si rovy Jedoduché

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2 SP3 Neparametrcké testy hypotéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Neparametrcké testy hypotéz čast Lbor Žák SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Neparametrcké testy hypotéz - úvod Neparametrcké testy statstckých

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti

Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Oborový semiář χ 2 test ezávislosti Petr Míchal 27 listopadu 2017 Situace 2 X {1,, I}, Y {1,, J} Jsou X a Y ezávislé? K dispozici máme áhodý vyběr (X 1,

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Parametrické testy hypotéz o středních hodnotách spojitých náhodných veličin

Parametrické testy hypotéz o středních hodnotách spojitých náhodných veličin Parametrické testy hypotéz o středních hodnotách spojitých náhodných veličin EuroMISE Centrum I. ÚVOD vv této přednášce budeme hovořit o jednovýběrových a dvouvýběrových testech týkajících se střední hodnoty

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ 3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

Elementární zpracování statistického souboru

Elementární zpracování statistického souboru Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými

Více

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p)

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p) . Příklad Při průzkumu trhu projevilo 63 z dotázaých zákazíků zájem o iovovaý výrobek, který má být uvede a trh se zákazíky. Odvoďte a odhaděte proceto a počet zájemců v populaci s 95% spolehlivostí. Následě

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d.

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d. ZÁPOČTOVÝ TEST. JEV JISTÝ a. je jev, který ikdy eastae b. je jev, jehož pravděpodobost ½ c. je jev, jehož pravděpodobost 0 d. je jev, jehož pravděpodobost e. je jev, který astae za jistých okolostí f.

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

Parametrické testy hypotéz o středních hodnotách spojitých náhodných veličin

Parametrické testy hypotéz o středních hodnotách spojitých náhodných veličin Parametrické testy hypotéz o středních hodnotách spojitých náhodných veličin EuroMISE Centrum Kontakt: Literatura: Obecné informace Zvárová, J.: Základy statistiky pro biomedicínskéobory I. Vydavatelství

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace 7. Odhady populačích průměrů a ostatích parametrů populace Jak sme zišťovali v kapitole. e možé pro každou populaci sestroit možství parametrů, které i charakterizue. Pro účely základího pozáí e evýzaměší

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

REGRESNÍ DIAGNOSTIKA. Regresní diagnostika

REGRESNÍ DIAGNOSTIKA. Regresní diagnostika 4.11.011 REGRESNÍ DIAGNOSTIKA Chemometrie I, David MILDE Regresí diagostika Obsahuje postupy k posouzeí: kvality dat pro regresí model (přítomost vlivých bodů), kvality modelu pro daá data, splěí předpokladů

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

6. P o p i s n á s t a t i s t i k a

6. P o p i s n á s t a t i s t i k a 6. P o p i s á s t a t i s t i k a 6.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007 Popisá statistika Zdeěk Jaák jaak@physics.mui.cz 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

8. cvičení 4ST201. Obsah: Neparametrické testy. Chí-kvadrát test dobréshody Kontingenční tabulky Analýza rozptylu (ANOVA) Neparametrické testy

8. cvičení 4ST201. Obsah: Neparametrické testy. Chí-kvadrát test dobréshody Kontingenční tabulky Analýza rozptylu (ANOVA) Neparametrické testy cvičící 8. cvičeí 4ST1 Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST1 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,

Více

Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech

Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech Úkol 1.: Párový znaménkový test a párový Wilcoxonův test Při zjišťování kvality jedné složky půdy se používají dvě metody označené A a B. Výsledky: Vzorek 1

Více

Statistika. Poznámky z přednášek

Statistika. Poznámky z přednášek Statistika Pozámky z předášek Materiál obsahuje pozámky ze předášek plus to co se musíme doučit včetě ukázkových příkladů, které se objevily a předášce, ebo z aplikace etstorage. J.T. OBSAH Úvodí stráka

Více

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR InoBio CZ.1.07/2.2.00/

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR InoBio CZ.1.07/2.2.00/ Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a Státím rozpočtem ČR IoBio CZ..07/2.2.00/28.008 Připravil: Ig. Vlastimil Vala, CSc. Metody zkoumáí ekoomických jevů Kapitola straa 3 Metoda Z řeckého

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Úloha III.S... limitní

Úloha III.S... limitní Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

4EK212 Kvantitativní management 4. Speciální úlohy lineárního programování

4EK212 Kvantitativní management 4. Speciální úlohy lineárního programování 4EK212 Kvatitativí maagemet 4. Speciálí úlohy lieárího programováí 3. Typické úlohy LP Úlohy výrobího pláováí (alokace zdrojů) Úlohy fiačího pláováí (optimalizace portfolia) Směšovací problémy Nutričí

Více

VaR analýza citlivosti, korekce

VaR analýza citlivosti, korekce VŠB-TU Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra fiací.-. září 008 VaR aalýza citlivosti, korekce Fratišek Vávra, Pavel Nový Abstrakt Práce se zabývá rozbory citlivosti ěkterých postupů, zahrutých pod zkratkou

Více

STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky)

STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky) STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky) 1) Význam a využití statistiky v biologických vědách a veterinárním lékařství ) Rozdělení znaků (veličin) ve statistice 3) Základní a

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY. Statistické chyby v medicínském výzkumu

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY. Statistické chyby v medicínském výzkumu UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Statistické chyby v medicíském výzkumu Vedoucí diplomové práce: Mgr. Jaa Vrbková

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Středoškolská techika 00 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Pavel Husa Gymázium Jiřího z Poděbrad Studetská 66/II

Více

Pravděpodobnost vs. statistika. Data. Teorie pravděpodobnosti pracuje s jednou nebo více teoretickými náhodnými

Pravděpodobnost vs. statistika. Data. Teorie pravděpodobnosti pracuje s jednou nebo více teoretickými náhodnými Pravděpodobost vs. Teorie pravděpodobosti pracuje s jedou ebo více teoretickými áhodými veličiami, jejichž je zámo odvozovali jsme y těchto atd. Šárka Hudecová Katedra pravděpodobosti a matematické Matematicko-fyzikálí

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu)

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Frank Wilcoxon (1892 1965): Americký statistik a chemik Nechť X 1,..., X n je náhodný výběr ze

Více

Stav Svobodný Rozvedený Vdovec. Svobodná 37 10 6. Rozvedená 8 12 8. Vdova 5 8 6

Stav Svobodný Rozvedený Vdovec. Svobodná 37 10 6. Rozvedená 8 12 8. Vdova 5 8 6 1. Příklad Byly sledovány rodinné stavy nevěst a ženichů při uzavírání sňatků a byla vytvořena následující tabulka četností. Stav Svobodný Rozvedený Vdovec Svobodná 37 10 6 Rozvedená 8 12 8 Vdova 5 8 6

Více

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 1

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 1 PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Neparametrické testy hypotéz čast 1 Neparametrické testy hypotéz - úvod Neparametrické testy statistických hypotéz se používají v případech, kdy neznáme rozdělení pozorované

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Tetováí tatitických hypotéz CHEMOMETRIE I, David MILDE Jedá e o jedu z ejpoužívaějších metod pro vyloveí závěrů o základím ouboru, který ezkoumáme celý, ale pomocí áhodého výběru. Př.: Je obah účié látky

Více

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,

Více