Neparametrické metody

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Neparametrické metody"

Transkript

1 I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických testů (apř. ormalita rozdílů v párovém t-testu) v Neparametrické metody mohou zahrovat požadavky a určité vlastosti rozděleí (apř. symetrie ebo spojitost) v Jsou mohdy jediou alterativou aalýzy ordiálích dat ebo dat ve formě četostí či pořadí Kotakt: Literatura: Obecé iformace Zvárová, J.: Základy statistiky pro biomedicíské obory I. Vydavatelství Karolium, UK Praha Zvára, K.: Roser, B.: EuroMISE cetrum Doc. Zdeěk Valeta, Ph.D. Tel.: 5 (sekretariát) Fax: 5 5 Biostatistika. Vydavatelství Karolium, UK Praha Fudametals of Biostatistics, th Editio ÚVOD (pokr.) v TŘÍD NEPARAMETRICKÝCH TESTŮ: JEDNOVÝBĚROVÉ: Kvatilový test DVOUVÝBĚROVÉ PÁROVÉ: Zamékový test, Wilcoxoův párový test (siged-rak test). Oba testy jsou eparametrickou alterativou párového t-testu. DVOUVÝBĚROVÉ PRO NEZÁVISLÉ VÝBĚR: Mediáový test, Wilcoxoův dvouvýběrový test (Maův-Whiteyův U test, Wilcoxo Rak-Sum test), Robustí dvouvýběrový test, Kolmogorovův-Smirovův dvouvýběrový test, případě Waldův-Wolfowitzův rus test. Tyto testy jsou eparametrickou alterativou dvouvýběrového t-testu. VÍCEVÝBĚROVÉ: Kruskalova-Wallisova aalýza pořadových skórů jedoduchého tříděí, Friedmaova aalýza pořadových skórů opakovaých měřeí v jedoduchém tříděí. Tyto aalýzy odpovídají aalýze rozptylu (ANOVA - aalysis of variace, MANOVA - multivariate ANOVA) jedoduchého tříděí.

2 ÚVOD (pokr.) v Výše uvedeé testy jsou aalogií zámých parametrických testů, tj. jedovýběrového t-testu, dvouvýběrového t-testu pro ezávislé výběry a aalýzy rozptylu v Neparametrické testy emusí vyžadovat splěí všech požadavků zámých z parametrických metod, jakými jsou apříklad ormalita rozděleí, případě ai shodost rozptylů u dvouvýběrových testů (apř. robustí dvouvýběrový test) v V případě, že jsou ovšem požadavky a použití parametrických metod splěy, je vhodé je upředostit před metodami eparametrickými, eboť testy založeé a parametrických metodách mají zpravidla větší sílu (využívají více iformace) POŘADÍ SHODNÝCH POZOROVÁNÍ (ties) v V případě shodých pozorováí (ties) přiřazujeme tzv. průměrá pořadí (average raks). v Vzestupě uspořádaá data a jejich průměrá pořadí: Uspořádaá Data Průměrá pořadí -,5,5 5,5,5 II. USPOŘÁDÁNÍ A POŘADÍ v Pozorovaá data: -,,,,,,, v Vzestupě uspořádaá data: -,,,,,,, v Pořadí R i pozorovaých dat (Raks R i ):, 5,,,,,, III. VÝBĚROVÉ KVANTIL SPOJITÝCH ROZDĚLENÍ v Vzestupě uspořádaá data: -,,,,,,, v Výběrové kvatily: -. % kvatil (mi). / =,% kvatil. / =,% kvatil... 5/ =,5% kvatil. % kvatil (max)

3 ODHAD KVANTILŮ SPOJITÝCH ROZDĚLENÍ v Vzestupě uspořádaá data: -,,,,,,, v Odhady kvatilů (lieárí iterpolace): % kvatil (mi) =-, % kvatil =- + (- -)*(/.) = -, 5% (.kvartil, Q) = + (-)*(./.) =,5 5% (mediá): =,5 5% (. kvartil, Q) = 5, % kvatil =, % kvatil (max) =, KVANTILOVÝ TEST příklad: v ZADÁNÍ: Na základě dat o itervečí léčbě pacietů se závažou formou hyperlipoproteiemie (sérum CHOL mmol/l a více) testujte a hladiě výzamosti α =,5 hypotézu, že u alespoň % pacietů s touto závažou formou hyperlipoproteiémie docílí itervečí léčba poklesu hladiy CHOL v séru většího ež mmol/l. v H :(y -x). = d. = v H : d. > v HLADINA VÝZNAMNOSTI: α =,5 (léčba edosahuje staoveého poklesu u alespoň % pacietů) (pokles u alespoň % pacietů) IV. KVANTILOVÝ TEST (-výběrový) v Nulová hypotéza: H : x q = c (H :*q% kvatil x q cílové populace je rove c) v Alterativí hypotéza: H : x q c v Hladia výzamosti: α (apř.,5) v Postup: Záhodého výběru vyřadíme čley, u kterých je hodota zaku x rova kostatě c. Ve výsledém souboru o rozsahu pak zjistíme počet čleů m, u kterých je x < c. v Testová statistika: Z = m q ~ N(,) q( q) má za platosti H stadardí ormálí rozděleí N(,). v Testové kritérium: Zamítáme H, jestliže z α / v Předpoklady: > 5,, < q <, a spojitost rozděleí (aprox. biomického rozděleí ormálím rozděleím N(,)) Z KVANTILOVÝ TEST pokr. př.: v ŘEŠENÍ: Předpokládejme, že data ukazují, že ve případech ze byla hodota d >a ai v jedom případě ebylo d =. Tedy: = (počet případů kde d ) m = (počet případů kde d > ) q =,. m q *, v TESTOVÁ STATISTIKA: Z = = =,5 q( q) *,*, v VÝSLEDEK: Kritická hodota ormálího rozděleí pro jedostraý test a hladiě výzamosti α = 5% má hodotu,5. Protože hodota testové statistiky Z =,5 přesahuje kritickou hodotu, zamítáme ulovou hypotézu H a hladiě výzamosti 5%. v ZÁVĚR: Na hladiě α=,5 zamítáme ulovou hypotézu H, že itervečí léčba edosahuje staoveého poklesu hladiy CHOL o více ež mmol/l u alespoň % pacietů.

4 V. ZNAMÉNKOVÝ TEST (párový) v NULOVÁ HPOTÉZA: H : (x y),5 = d,5 = (H :Mediá párových rozdílů d,5 je rove ) v ALTERNATIVNÍ HPOTÉZA: H : d,5 v HLADINA VÝZNAMNOSTI: α (apř.,5) v POZNÁMKA: Zamékový test je speciálím případem kvatilového testu pro mediá (tj. q =,5) aplikovaého a párové rozdíly hodot mezi dvěma výběry. v POSTUP: Ze základího souboru párových rozdílů vyřadíme čley, u kterých je hodota zaku d = x - yrova. Ve výsledém souboru o rozsahu (počet párů) pak zjistíme počet čleů C, u kterých je d >. ZNAMÉNKOVÝ TEST příklad v DERMATOLOGIE: Byla realizováa studie zaměřeá a porováí účiosti pleťových krémů typu A, B a C s ochraým faktorem proti egativím účikům sluečího zářeí při dlouhodobé expozici. Krémy byly aplikováy účastíkům studie a odpovídající místa s podobou kvalitou pokožky a levé a pravé části těla a každý z účastíků byl ásledě vystave itezivímu sluečímu zářeí po dobu hod. Poté bylo dermatologem porováo zrudutí pokožky a ošetřeých místech. V. ZNAMÉNKOVÝ TEST (párový, pokr.) v TEST H (aproximace biomického rozděleí ormálím): Zamíteme H, jestliže: ZNAMÉNKOVÝ TEST příklad v Orgaizace dat: C > + + z α / ebo C < z α / v PŘEDPOKLAD: Počet dvojic a spojitost rozděleí v TEST H (exaktí staoveí hladiy výzamosti p a základě biomického rozděleí): (a) Je - li C > p = * j = C j C (b) Je - li C < p = * j = j 5 Krém A Krém B Krém C Původí data hodotila zrudutí pokožky koeficietem až 5.

5 ZNAMÉNKOVÝ TEST příklad v DATA: Box & Whisker Plot Box & Whisker Plot Krém A Krém B Krém C Media 5%-5% Mi-Max STATISTICA.: ZNAMÉNKOVÝ TEST (pokr. př.) Sig Test (sig-test-small.sta) Marked tests are sigificat at p <,5 No. of Percet Z p-level Pair of Variables No-ties v < V Krém A & Krém C,,, Sig Test (sig-test-small.sta) Marked tests are sigificat at p <,5 No. of Percet Z p-level Pair of Variables No-ties v < V Krém A & Krém B,,,55 Sig Test (sig-test-small.sta) Marked tests are sigificat at p <,5 No. of Percet Z p-level Pair of Variables No-ties v < V Krém B & Krém C,,,55 ZNAMÉNKOVÝ TEST (pokr. př.) v Soustřeďme se yí pouze a porováí účiosti jedotlivých dvojic krémů typu A, B a C. Navíc předpokládejme, že dermatolog byl schope rozlišit pouze ásledující případy (zde porováváme apř. krémy typu A a B):. Místo A je lépe ochráěé ež místo B (meší zrudutí při aplikaci krému A). Místo B je lépe ochráěé ež místo A (meší zrudutí při aplikaci krému B). Obě místa vykazují podobý stupeň zrudutí pokožky v Tato situace je vhodá pro využití zamékového testu, eboť původí hodoty koeficietů zrudutí pokožky v tomto případě ejsou dostupé, pouze počty případů, kdy pro d = x y platí: d <, d = a d >. ZNAMÉNKOVÝ TEST (pokr. př.) v Rozsah áhodého výběru byl však v každé skupiě (tj, pro každý typ ochraého krému) pouze, což esplňuje požadavek a aproximaci biomického rozděleí stadardím ormálím rozděleím. V takovém případě je uté použít exaktí test biomický test. v Buď C AB počet subjektů, u ichž je d = x y > při porováváí účiku krémů A a B. Je-li C AB velké číslo blízké, pak krém B chráí pokožku většiy studovaých subjektů lépe ež krém A, zatímco je-li C AB malé, pak krém typu A vykazuje a souboru studovaých subjektů lepší výsledky ež krém typu B.

6 ZNAMÉNKOVÝ TEST (pokr. př.) v Za platosti ulové hypotézy H (tj. předpokladu stejé efektivity krémů A a B) lze předpokládat, že Pr(d > ) = Pr(d < ) je u subjektů s eulovou hodotou d stejá, tedy ½. Jiými slovy, jsou-li oba krémy stejě efektiví, potom frekvece případů, kdy A je lepší ež B a případů, kdy A je horší ež B by měly být zhruba stejé. v Ke staoveí DOSAŽENÉ HLADIN VÝZNAMNOSTI p zamékového testu tedy můžeme využít přímo formule biomického rozděleí: p = * j= C AB j VI. WILCOONŮV PÁROVÝ TEST (siged-rak test) v NULOVÁ HPOTÉZA: H : (x y),5 = d,5 = (H :Mediá párových rozdílů d,5 = ) v ALTERNATIVNÍ HPOTÉZA: H : d,5 v HLADINA VÝZNAMNOSTI: α (apř.,5) v POSTUP: Z áhodého výběru s počtem párových pozorováí vyřadíme čley, u ichž je hodota zaku d = x - yrova. Staovíme pořadí hodot d a zjistíme součet pořadí T +,která odpovídají kladým hodotám d. ZNAMÉNKOVÝ TEST (dokočeí) v EAKTNÍ ZNAMÉNKOVÝ TEST: Připoměňme si, že při porováváí účiosti krému A a B jsme měli pozorováí, shodu ( tie ), C AB =, =. Pro exaktí výpočet dosažeé hladiy výzamosti oboustraého testu tedy platí: p = * j= j v ZÁVĚR: = *( + )* = * =, Na hladiě výzamosti α = 5% zamítáme ulovou hypotézu H o shodosti účiku ochraých krémů typu A a B. VI. WILCOONŮV PÁROVÝ TEST (siged-rak test, pokr.) + T ( + ) / v TESTOVÁ STATISTIKA: Z = ~ N(,) ( + )( + ) / má za platosti H stadardí ormálí rozděleí v POZNÁMKA: Wilcoxoův párový test má větší statistickou sílu ež zamékový test, eboť využívá jak iformaci o směru rozdílů, tak o jejich velikosti ve formě pořadí. To se projevuje také v ižším požadovaém miimálím rozsahu áhodého výběru. v TESTOVÉ KRITÉRIUM: Zamítáme H,jestliže z α / v PŘEDPOKLAD:počet párů > 5 a spojitost rozděleí Z

7 v WILCOONŮV PÁROVÝ TEST -příklad Pokračujme aším příkladem z dermatologie: připoměňme, že Wilcoxoův siged-rak test pracuje s aktuálí velikostí rozdílů d = x y, ikoliv pouze s iformací, zda x je větší či meší ež y. Můžeme tedy očekávat, že reálě existující rozdíly mezi efektivostí krémů bude sazší detekovat a základě Wilcoxoova párového testu ež jedoduššího testu zamékového. WILCOONŮV PÁROVÝ TEST (pokr. př.): Krém A vs B: Wilcoxo Matched Pairs Test (sig-test.sta) Marked tests are sigificat at p <,5 Valid T Z p-level Pair of Variables N Krém A & Krém B,,5, Srovej: Sig Test (sig-test.sta) Marked tests are sigificat at p <,5 No. of Percet Z p-level Pair of Variables No-ties v < V Krém A & Krém B,,, WILCOONŮV PÁROVÝ TEST -příklad WILCOONŮV PÁROVÝ TEST (pokr. př.): v Orgaizace dat: v Box ad Whisker plot: Krém A vs C: 5 5 Krém A Krém B Krém C Box & Whisker Plot Krém A Krém B Krém C Media 5%-5% Mi-Max Wilcoxo Matched Pairs Test (sig-test.sta) Marked tests are sigificat at p <,5 Valid T Z p-level Pair of Variables N Krém A & Krém C,5,5,5 Srovej: Sig Test (sig-test.sta) Marked tests are sigificat at p <,5 No. of Percet Z p-level Pair of Variables No-ties v < V Krém A & Krém C,,555,

8 WILCOONŮV PÁROVÝ TEST (pokr. př.): Krém B vs C: Wilcoxo Matched Pairs Test (sig-test.sta) Marked tests are sigificat at p <,5 Valid T Z p-level Pair of Variables N Krém B & Krém C,5,,5 Srovej: Sig Test (sig-test.sta) Marked tests are sigificat at p <,5 No. of Percet Z p-level Pair of Variables No-ties v < V Krém B & Krém C,5,5,5 v VARIANT TESTU: - exaktí a základě hypergeometrického rozděleí: (Fisherův test, ) a + c b + d a b P [ a, b] = a + b - Chí-kvadrát aproximace (>): MEDIÁNOVÝ TEST (dvouvýběrový, pokr.) ( ad bc / ) () = ( a + b)( a + c)( b + d)( c + d) v PŘEDPOKLAD: spojitost a shodý tvar rozděleí a. VII. MEDIÁNOVÝ TEST (dvouvýběrový) v NULOVÁ HPOTÉZA: v ALTERNATIVNÍ HPOTÉZA: H : Θ = Θ (H :Mediáy Θ a Θ jsou shodé) v HLADINA VÝZNAMNOSTI: α (apř.,5) H : Θ > Θ (mediá Θ je apravo od Θ ) v POSTUP: Klasifikace hodot vobou souborech podle společého mediáu Θ : VIII. WILCOONŮV DVOUVÝBĚROVÝ TEST (Ma-Whitey U test, Rak-Sum test) v NULOVÁ HPOTÉZA: H : Dva ezávislé výběry pocházejí z populací se shodými mediáy (Θ = Θ ) v ALTERNATIVNÍ HPOTÉZA: od (mediá Θ > Θ ) H : Populace je apravo v HLADINA VÝZNAMNOSTI: α (apř.,5) Klasifikace Počet hodot > Θ Počet hodot < Θ Celkem Soubor a c a+c Soubor b d b+d Celkem a+b c+d v POSTUP: Staovíme pořadí hodot vsouboru vziklém spojeím výběrů a azjistíme součty pořadí W aw ( raked sums ) odpovídající výběrům,. Za platosti H by statistiky W aw y měly mít přibližě stejou hodotu.

9 WILCOONŮV DVOUVÝBĚROVÝ TEST (pokr.) v TESTOVÁ STATISTIKA: W Z = +.5 m( m + + ) / ~ N (,) m( m + + ) / má za platosti H stadardí ormálí rozděleí N(,), přičemž m a jsou rozsahy jedotlivých výběrů. v POZNÁMKA: V případě, že H mátvar Θ < Θ má hodota,5 v čitateli záporé zaméko. Wilcoxoův dvouvýběrový test má větší statistickou sílu ež mediáový test, eboť využívá jak iformaci o poloze skórů vůči společému mediáu, tak také součty pořadí. WILCOONŮV DVOUVÝBĚROVÝ TEST - příklad v v Pokračujme opět aším příkladem z dermatologie; pouze yí předpokládejme, že data evzikla párovým porováváím a týchž subjektech, ýbrž že každému z účastíků studie byl apliková právě jediý z ochraých krémů typu A, B, C. Z tohoto důvodu budou mít data amísto zázamů (records) se třemi proměými A, B, C mít zázamů a pouze dvě proměé, přičemž prví proměá udává hodotu zjištěého koeficietu a druhá je idikátorem, udávajícím typ použitého krému u daého subjektu. WILCOONŮV DVOUVÝBĚROVÝ TEST (dok.) v TESTOVÉ KRITÉIUM: Zamítáme H, jestliže z α v PŘEDPOKLAD: m>, > a spojitost a shodý tvar rozděleí v obou populacích Z WILCOONŮV DVOUVÝBĚROVÝ TEST - příklad v Orgaizace dat v programu Statistica v tomto případě vypadá ásledově: Krém Group

10 WILCOONŮV DVOUVÝBĚROVÝ TEST - pokr. př. Pozámky k dvouvýběrovým testům: v Ukázka výpočtu rus ve WALDOVĚ-WOLFOWITZOVĚ testu a příkladě: Ma-Whitey U Test (Wilcoxo Rak Sum Test.sta) By variable Group Marked tests are sigificat at p <,5 Rak Sum Rak Sum U Z p-level Z p-level Valid N Valid N *sided variable Group Group adjusted Group Group exact p Krém 5,5,5 5,5 -,5, -,,5,5 pořadí... data MMMZZZMMMMZZMMMZZZZZZZMMZMMZZZZ ru 555 DALŠÍ DVOUVÝBĚROVÉ TEST: v KOLMOGOROVŮV-SMIRNOVŮV test: Kolmogorov-Smirov Test (Wilcoxo Rak Sum Test.sta) By variable Group Marked tests are sigificat at p <,5 Max Neg Max Pos p-level Mea Mea Std.Dev. Std.Dev. Valid N Valid N variable Differc Differc Group Group Group Group Group Group Kr ém -,, p >.,,5,5, v WALDŮV-WOLFOWITZŮV rus test Wald-Wolfowitz Rus Test (Wilcoxo Rak Sum Test.sta) By variable Group Marked tests are sigificat at p <,5 Valid N Valid N Mea Mea Z p-level Z adjstd p-level No. of No. of Variable Group Group Group Group Rus ties Krém,,5,5,5,, Pozámky k dvouvýběrovým testům: v WILCOONŮV DVOUVÝBĚROVÝ TEST (Maův- Whiteyův U-test, Wilcoxoův Rak-Sum test) má ejvětší statistickou sílu z uvedeých testů a je vhodý zejméa v případě, že počet ties (shodých pozorováí) je malý. Je vhodý zejméa v situacích, kdy se průměré hodoty pořadí v jedotlivých skupiách (apř. muži a žey) podstatě liší. v WALDŮV-WOLFOWITZŮV RUNS TEST má meší statistickou sílu, ale je vhodý v případě, že průměré hodoty pořadí se ve skupiách (muži a žey) zásadě eliší, ale apříklad u mužů abývají buď vysokých ebo aopak ízkých hodot, zatímco u že abývají středích hodot. v KOLMOGOROVŮV-SMIRNOVŮV test je vhodý v případě, že počet shodých pozorováí ( ties ) je vyšší.

11 I. KRUSKALOVA-WALLISOVA ANOVA v Nulová hypotéza: H : kezávislých výběrů pochází z populací se shodými mediáy (Θ = Θ =...= Θ k ) v Alterativí hypotéza: H : Mediáy se alespoň ve dvou populacích vzájemě liší v Hladia výzamosti: α (apř.,5) v Postup:. Do tabulky o k sloupcích, ve které j-tý sloupec odpovídá výběru z j-té populace (j=,...,k), zapíšeme amísto pozorovaých hodot pořadí, která odpovídají pozorovaým hodotám v souboru vziklém spojeím k podsouborů.. V každé z k skupi spočteme průměré pořadí R j, (j=,...,k) KRUSKALOVA-WALLISOVA aalýza příklad: Opthalmologie: v Kyselia arachodiová je zámá tím, že ovlivňuje metabolismus oka. Kotakt oka s malým možstvím této kyseliy má za ásledek zavřeí víčka, svěděí a v ěkterých případech poruchy viděí. Studie, z íž pocházejí data pro áš příklad, porovávala protizáětlivé účiky zkoumaých látek, které byly aplikováy laboratorím zvířatům (bílí králíci) do jedoho oka a roztok salia do druhého oka. v Po miutách bylo králíkům aplikováo malé možství kyseliy arachodiové a obě bulvy. Po dalších 5 miutách byli králíci kotrolovái, zda došlo k uzavřeí víčka a bylo zazameáo skóre, které představovalo hodotu rozdílu mezi stupěm otevřeí víčka (-otevřeé, - polouzavřeé a uzavřeé) a začátku pokusu a po aplikaci kyseliy arachodiové. KRUSKALOVA-WALLISOVA ANOVA (pokr.) v Testová statistika: má za platosti H rozděleí v Testové kritérium: Zamítáme H, jestliže KW v Předpoklady: k KW = jr N( N + ) j= χ k ( N + ) - Rozsahy výběru j (j=,...,k) musí být v jedotlivých skupiách alespoň 5 - Spojitost - Shodý tvar rozděleí v jedotlivých populacích. j > χ k ( α ) KRUSKALOVA-WALLISOVA aalýza pokr. př.: Opthalmologie: v Data pro statistickou aalýzu udávají míru efektivosti protizáětlivého přípravku a jsou dáa rozdíly mezi hodotou skóre a oku ošetřeém aktiví látkou a oku ošetřeém saliou (eutrálí izotoický,% roztok soli). v Vyšší hodoty skórů (rozdíly rozdílů) azačují efektivější účiek protizáětlivé látky.

12 KRUSKALOVA-WALLISOVA aalýza pokr. př. v Opthalmologie -data: 5 5 Skore Lecba Idometaci Idometaci Idometaci Idometaci Idometaci Idometaci Aspiri Aspiri Aspiri Aspiri Aspiri Aspiri Piroxicam Piroxicam Piroxicam Piroxicam Piroxicam Piroxicam BW55C BW55C BW55C BW55C BW55C - BW55C KRUSKALOVA-WALLISOVA aalýza pokr. př. v K-W aalýza pořadových skórů: Deped.: Sk ore Idometaci Aspiri Piroxicam BW55C v Mediáový test: Depedet: Sk ore <= Media: observed expected obs.-exp. > Media: observed expected obs.-exp. Total: observed Kruskal-Wallis ANOVA by Raks; Idepedet (groupig) variable: Lecba Kruskal-Wallis test: H (, N= ) =,5 p =, Code Valid Sum of N Raks,5 5,,5, Media Test, Overall Media =,; Sk ore (Kruskal-Wallis Ophtalmologie.sta) Idepedet (groupig) variable: Lecba Chi-Square =,, df =, p =, Idometaci Aspiri Piroxicam BW55C Total,,,, 5,,5,5,5,5 -,5,5 -,5,5,,,,,,5,5,5,5,5 -,5,5 -,5,,,,, KRUSKALOVA-WALLISOVA aalýza pokr. př. v Box & Whisker Plot: Boxplot by Group Variable: Skore,5,,5,. ROBUSTNÍ DVOUVÝBĚROVÝ TEST v NULOVÁ HPOTÉZA: H : Dva ezávislé výběry pocházejí z populací se shodými mediáy (Θ = Θ ) v ALTERNATIVNÍ HPOTÉZA: H : Mediá Θ > Θ v HLADINA VÝZNAMNOSTI: α (apř.,5) Skore,5,,5, v POSTUP (a příkladě):. Vzestupě uspořádejme pozorovaá data a ozačme příslušost ke skupiám a : -,5 -, -,5 Idometaci Aspiri Piroxicam BW55C Lecba Media 5%-5% Mi-Max Data Skupia 5

13 ROBUSTNÍ DVOUVÝBĚROVÝ TEST (pokr.) Data Skupia i U( i ). Defiujeme: U( i ) počet meších ež i U( j ) počet meších ež j 5 j U( j ). Vypočteme středí hodoty U() a U(): ( ) (+ ( ) = m U i U = m i= ( ) (+ + ( ) = U i U = i= + ) + ) = =,5 5 U = ROBUSTNÍ DVOUVÝBĚROVÝ TEST - pokr. v Středí hodoty: U() = U() =,5. v Ukazatele variability: V = V =,5. 5. TESTOVÁ STATISTIKA U má za platosti H rozděleí N(,): mu ( ) U ( ) = V + V + U ( ) U ( ) () (,5) =, +,5 + (,5)(). TESTOVÉ KRITÉRIUM: Zamítáme H, jestliže platí U z.. ZÁVĚR: V ašem příkladě H ezamítáme. α. PŘEDPOKLAD: m >, > a spojitost rozděleí (rozptyly se mohou lišit, jde o tzv. Behresův-Fisherův problém). Pro m, je rozděleí U tabelováo. ROBUSTNÍ DVOUVÝBĚROVÝ TEST - pokr. Středí hodoty: U() = U() =,5.. Vypočteme ukazatele variability V a V : V i U( i ) m = [ U ( i) U ( )] i= = ( ) = + + = + ( ) 5 V = + ( ) j U( j ) = j= [ U ( ) U ( )] = (,5) + (,5) j + (,5) + (,5) = =,5

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

8. cvičení 4ST201-řešení

8. cvičení 4ST201-řešení cvičící 8. cvičeí 4ST01-řešeí Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST01 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d.

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d. ZÁPOČTOVÝ TEST. JEV JISTÝ a. je jev, který ikdy eastae b. je jev, jehož pravděpodobost ½ c. je jev, jehož pravděpodobost 0 d. je jev, jehož pravděpodobost e. je jev, který astae za jistých okolostí f.

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Elementární zpracování statistického souboru

Elementární zpracování statistického souboru Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Statistika. Poznámky z přednášek

Statistika. Poznámky z přednášek Statistika Pozámky z předášek Materiál obsahuje pozámky ze předášek plus to co se musíme doučit včetě ukázkových příkladů, které se objevily a předášce, ebo z aplikace etstorage. J.T. OBSAH Úvodí stráka

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech

Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech Úkol 1.: Párový znaménkový test a párový Wilcoxonův test Při zjišťování kvality jedné složky půdy se používají dvě metody označené A a B. Výsledky: Vzorek 1

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY. Statistické chyby v medicínském výzkumu

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY. Statistické chyby v medicínském výzkumu UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Statistické chyby v medicíském výzkumu Vedoucí diplomové práce: Mgr. Jaa Vrbková

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu)

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Frank Wilcoxon (1892 1965): Americký statistik a chemik Nechť X 1,..., X n je náhodný výběr ze

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Tetováí tatitických hypotéz CHEMOMETRIE I, David MILDE Jedá e o jedu z ejpoužívaějších metod pro vyloveí závěrů o základím ouboru, který ezkoumáme celý, ale pomocí áhodého výběru. Př.: Je obah účié látky

Více

BAKALÁŘSKÁ STA I. + II.

BAKALÁŘSKÁ STA I. + II. Statistika I. - Teorie ) Statistika - Číselé údaje o hromadých jevech. Praktická čiost - sběr, zpracováí a vyhodocováí statistických údajů - Teoretická disciplía - metody k odhalováí zákoitostí při působeí

Více

STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky)

STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky) STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky) 1) Význam a využití statistiky v biologických vědách a veterinárním lékařství ) Rozdělení znaků (veličin) ve statistice 3) Základní a

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/5 a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata B) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Stav Svobodný Rozvedený Vdovec. Svobodná 37 10 6. Rozvedená 8 12 8. Vdova 5 8 6

Stav Svobodný Rozvedený Vdovec. Svobodná 37 10 6. Rozvedená 8 12 8. Vdova 5 8 6 1. Příklad Byly sledovány rodinné stavy nevěst a ženichů při uzavírání sňatků a byla vytvořena následující tabulka četností. Stav Svobodný Rozvedený Vdovec Svobodná 37 10 6 Rozvedená 8 12 8 Vdova 5 8 6

Více

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení Odhad parametrů ormálího rozděleí a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z ormálího rozděleí Nechť, X, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) X, Ozačme výběrový průměr a = X = i = X i i = (

Více

8 Průzkumová analýza dat

8 Průzkumová analýza dat 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

Test hypotézy o parametru π alternativního rozdělení příklad

Test hypotézy o parametru π alternativního rozdělení příklad Test hypotézy o parametru π alterativího rozděleí příklad Podik předpokládá, že o jeho ový výrobek bude mít zájem 7 % osloveých domácostí. Proběhl předběžý průzkum, v ěmž bylo osloveo 4 áhodě vybraých

Více

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT

Více

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 Opakování t- vs. neparametrické Wilcoxonův jednovýběrový test Opakování

Více

ANALÝZA SRÁŽKOVÝCH MAXIM

ANALÝZA SRÁŽKOVÝCH MAXIM Rožovský, J., Litschma, T. (ed): Semiář Extrémy počasí a podebí, Bro,. březa 4, ISBN 8-8669-2- Marie Budíková, Ladislav Budík Summary Aalysis of precipitatio maxima ANALÝZA SRÁŽKOVÝCH MAXIM Database of

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

9. Měření závislostí ve statistice Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závislostí ve statistice Měřeí závislostí ve statistice se zabývá především zkoumáím vzájemé závislosti statistických zaků vícerozměrých souborů. Závislosti přitom mohou být apříklad

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

DVOUVÝBĚROVÉ PODMÍNĚNÉ POŘADOVÉ TESTY VANALÝZEPŘEŽITÍ

DVOUVÝBĚROVÉ PODMÍNĚNÉ POŘADOVÉ TESTY VANALÝZEPŘEŽITÍ ROBUST 2000, 3 8 c JČMF 200 DVOUVÝBĚROVÉ ODMÍNĚNÉ OŘADOVÉ TESTY VANALÝZEŘEŽITÍ LENKA KOBLÍŽKOVÁ Abstrakt The preset paper deals with coditioal rak tests i survival aalysis for two sample problem with radomly

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

Integrace hodnot Value-at-Risk lineárních subportfolií na bázi vícerozměrného normálního rozdělení výnosů aktiv

Integrace hodnot Value-at-Risk lineárních subportfolií na bázi vícerozměrného normálního rozdělení výnosů aktiv 3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací 6.-7. září 006 tegrace hodot Value-at-Risk lieárích subportfolií a bázi vícerozměrého ormálího

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě

31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě 31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě Motto Statistika nuda je, má však cenné údaje. strana 3 Statistické charakteristiky Charakteristiky polohy jsou kolem ní seskupeny ostatní hodnoty

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA Počet automobilů Ig. Martia Litschmaová EXPLORATORNÍ ANALÝZA.1. Níže uvedeá data představují částečý výsledek zazameaý při průzkumu zatížeí jedé z ostravských křižovatek, a to barvu projíždějících automobilů.

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Úvod do analýzy rozptylu

Úvod do analýzy rozptylu Úvod do analýzy rozptylu Párovým t-testem se podařilo prokázat, že úprava režimu stravování a fyzické aktivity ve vybrané škole měla vliv na zlepšené hodnoty HDLcholesterolu u školáků. Pro otestování jsme

Více

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie Veteriárí a farmaceutická uiverzita Bro Základy statistiky pro studující veteriárí medicíy a farmacie Doc. RNDr. Iveta Bedáňová, Ph.D. Prof. MVDr. Vladimír Večerek, CSc. Bro, 007 Obsah Úvod.... 5 1 Základí

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

Analýza dat z dotazníkových šetření

Analýza dat z dotazníkových šetření Analýza dat z dotazníkových šetření Cvičení 6. Rozsah výběru Př. Určete minimální rozsah výběru pro proměnnou věk v souboru dovolena, jestliže 95% interval spolehlivost průměru proměnné nemá být širší

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

PE 301 Podniková ekonomika 2. Garant: Eva KISLINGEROVÁ. Téma Metody mezipodnikového srovnávání. Téma 12. Eva Kislingerová

PE 301 Podniková ekonomika 2. Garant: Eva KISLINGEROVÁ. Téma Metody mezipodnikového srovnávání. Téma 12. Eva Kislingerová PE 30 Podiková ekoomika Garat: Eva KISLINGEROVÁ Téma Metody mezipodikového srováváí Eva Kisligerová Téma Eva Kisligerová Vysoká škola ekoomická v Praze 003 - Mezipodikové srováváí Poprvé 956- koferece

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11

Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11 Příklad 1 Vyhláška Ministerstva zdravotnictví předpokládala, že doba dojezdu k pacientovi od nahlášení požadavku nepřekročí 17 minut. Hodnoty deseti náhodně vybraných dob příjezdu sanitky k nemocnému byly:

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více