KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Na vyřešení tohoto úkolu zavedeme tzv. křivkové integrály. Mám rád hezké křivky...

Transkript

1 KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY Má-li se spočítt npř. spotřeb betonu n rovný plot s měnící se výškou, stčí spočítt integrál z této výšky podle zákldny plotu. o když je le zákldnou plotu nikoli rovná úsečk, le křivá čár? Podobný problém vzniká, má-li se spočítt práce vykonná působením síly po nějké křivé dráze. N vyřešení tohoto úkolu zvedeme tzv. křivkové integrály. Nejdříve bude nutné se podrobněji podívt n pojmy týkjící se křivek. Jsou to většinou pojmy z diferenciální geometrie není možné v tomto textu všechny potřebné pojmy podrobně probrt. Pojmy, které předstvíme, mjí názornou interpretci není problém si vybudovt vlstní předstvu. Mám rád hezké křivky... KŘIVKY Křivk může být zdán různými způsoby. Nejobvyklejší zdání ( pokud nebude řečeno jink, právě toto zdání bude použito) je jko spojitý obrz kompktního intervlu z R. Jedná se vlstně o prmetrické zdání, protože spojité zobrzení Φ : [, b] R n je n-tice spojitých reálných funkcí jedné proměnné definovných n [, b]. Křivk v rovině je tedy popsán spojitými funkcemi ϕ, ψ : [, b] R jko množin bodů {(ϕ(t), ψ(t)); t [, b]}. Křivk v prostoru je popsán spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [, b] R jko množin bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t [, b]}. Počáteční bod křivky je Φ(), koncový bod je Φ(b) (pokud není orientce stnoven jink viz dále). Křivky, u kterých počáteční koncový bod splývjí, se nzývá uzvřené. 1

2 Npř. elips, lemniskt (tj.,,ležtá osmičk"), obvod obdélníku jsou uzvřené křivky. Grf funkce jedné proměnné nejsou uzvřené křivky. Ted si budeme s křivkmi hrát, nstvovt, spojovt... Necht jsou dány dvě křivky 1, 2 definovné funkcemi Φ : [, b] R n Ψ : [c, d] R n, přičemž koncový bod křivky 1 je počáteční bod křivky 2, tj. Φ(b) = Ψ(c). Spojením obou křivek se rozumí křivk, znčená jko 1 + 2, definovná funkcí T (t) n intervlu [, b + d c] předpisem { Φ(t), pro t [, b]; T (t) = Ψ(t + c b), pro t [b, b + d c].. Je zřejmé, jk se definuje spojení tří více křivek. Následující definice tvrzení budou formulovány pro rovinu. N prostor se většinou přenášejí zřejmým způsobem (některé složitější přípdy jsou npovězeny v Poznámkách). to: V dlším textu bude používán pojem hldká křivk. Je-li křivk popsán prmetricky funkcemi ϕ, ψ, znmená 1. funkce ϕ, ψ mjí spojité první derivce; 2. pro kždé t [, b] je spoň jedn z derivcí ϕ (t), ψ (t) nenulová; 3. kždý bod křivky je obrzem jediného bodu z [, b] s jedinou možnou výjimkou: počáteční koncový bod mohou splývt. 2

3 Npříkld oblouk, elips, grf spojité funkce mjící spojitou derivci n kompktním intervlu, jsou hldké křivky. Lemniskt není hldkou křivkou. "Osmičk"se sm protíná, její zobrzení tedy není prosté. At se snžíte jk chcete. Zkusil jsem. Po částech hldká křivk je křivk, která vznikl spojením konečně mnoh hldkých křivek. Npříkld lemniskt, steroid, cykloid, obvod obdélníku, jsou po částech hldké křivky. Příkld lemniskty dává příkld uzvřené křivky, která všk má nepříjemný bod. V mnoh přípdech lze tuto nepříjemnost obejít, pro jednoduchost ji všk vyloučíme v definici jednoduše uzvřené křivky. Necht je po částech hldká křivk spojením křivek 1, 2,..., n v uvedeném pořdí. Křivk se nzývá jednoduše uzvřená, jestliže všechny křivky i jsou nvzájem disjunktní s jedinými výjimkmi: počáteční bod křivky 1 splývá s koncovým bodem křivky n počáteční bod křivky i+1 splývá s koncovým bodem křivky i pro i = 1..n 1. Dá se dokázt, podobně jko u kružnice, že jednoduše uzvřená křivk dělí rovinu n dvě části: omezenou, tzv. vnitřek křivky (znčený ι) neomezenou, tzv. vnějšek. Tomu jsem sám nevěřil. Nějk se mi to nkonec smo povedlo. Některá tvrzení zslouží zvláštní uznání. Ď. V dlším textu bude potřeb orientce křivky, tj. určení kldného záporného směru křivky. Je-li orientovná křivk, znčí množinově tutéž křivku s opčnou orientcí. U křivky zdné pomocí funkce Φ n nějkém intervlu [, b] je kldná orientce dán (pokud není určeno jink) tímto intervlem. Kldná orientce probíhá od bodu Φ() do bodu Φ(b), tj. podle rostoucího prmetru. Kldná orientce jednoduše uzvřené křivky (pokud nebude řečeno jink) je proti směru pohybu hodinových ručiček. Přesněji řečeno: jdete-li po této křivce v kldném směru, máte její vnitřek po levé strně. 3

4 Kdo nyní postrádá přesnou definici, postrádá i intuici. Tečný vektor u orientovných hldkých křivek bude oznčován tučně, npř. dt. Bude-li funkce f s hodnotmi v rovině nebo prostoru chápán jko vektor, bude se též znčit tučně jko f. Dávám zde prostor vektorové předstvivosti. Tkzvný vektorový prostor. Poznámky 1: Uvědomte si, že grf spojité funkce f n [, b] je speciální přípd prmetricky zdné křivky: ϕ(t) = t, ψ(t) = f(t), t [, b]. Tto křivk je hldká právě když f má spojitou derivci n [, b]. Po částech hldké křivky nemusejí mít v konečně mnoh bodech tečny. V těchto bodech všk mjí tečny jednostrnné (zlev zprv). Uzvřené křivky jsou speciálním přípdech tzv Jordnových křivek, což jsou spojité prosté obrzy kružnice (npř. elips, obvod obdélníku). Jordnov křivk v rovině dělí (stejně jko kružnice) rovinu n dvě souvislé části, jednu omezenou (tzv. vnitřek) jednu neomezenou (tzv. vnějšek). Toto dokázt le není jen tk. Nezkoušejte to během semestru. 4

5 Ani o prázdninách. Dlší možností zdání křivky v rovině je pomocí spojité funkce f(x, y) dvou proměnných, jko množin bodů {(x, y); f(x, y) = 0}. První dvě vlstnosti hldké křivky se sndno přenesou n toto zdání (místo derivce se použijí prciální derivce). Třetí vlstnost se popisuje hůře i když je jsné, co tto vlstnost znmená; občs se nhrzuje vlstností, že v kždém bodě křivky existuje jediná tečn. V tomto textu se integrály přes tkto zdné křivky nebudou studovt. Už z použitého názvu křivky se dá usoudit, že je tu obrz důležitější než funkce, které křivku popisují. Protože kždé dv uzvřené omezené intervly lze n sebe vzájemně převést rostoucí (nebo klesjící) prostou spojitou funkcí, lze dost volně nkládt s definičními obory křivek. Npř. u spojení dvou křivek bylo možné předpokládt, že ob intervly [.b], [c, d] n sebe nvzují, tj., že b = c. Nebo, že první křivk je definován n [0, 1, ] druhá křivk n [1, 2]. Kvůli zchování orientce křivek je lépe používt rostoucí funkce převádějící jeden intervl n druhý. Pokud orientce není důležitá (npř. pro integrály 1.druhu), může se použít i klesjící funkce. Obecně řečeno, určit kldnou orientci hldké křivky znmená určit ze dvou možností směru tečného vektoru právě jeden, který se bude spojitě měnit. U po částech hldké křivky může být kldná orientce určen svými hldkými částmi, možností je pk více. Křivky v prostoru. Zdání křivek v rovině implicitním tvrem pomocí funkce dvou proměnných nelze utomticky přenést do prostoru, protože rovnice f(x, y, z) = 0 obecně udává plochu nikoli křivku. Lze všk použít dvou funkcí křivku zdt jko průnik dvou ploch, tj. jko množinu bodů {(x, y, z); f(x, y, z) = 0, g(x, y, z) = 0}. Tto situce se vyskytovl u vázných extrémů funkcí více proměnných, pro křivkové integrály se v tomto textu nebude používt. U prostorových křivek popsných prmetricky, lze kldnou orientci chápt stejně jko u rovinných křivek, tj. pomocí rostoucího prmetru. Popst orientci uzvřených křivek v prostoru způsobem použitým pro rovinné 5

6 křivky nelze, protože křivk může být všelijk nkloněná nebo jink složitá. Není proto jsné, jk se n křivku postvit. Orientce vzhledem k ploše, kterou křivk ohrničuje, bude popsán v příští kpitole. Jsou ovšem prostorové uzvřené křivky, které žádnou vhodnou plochu neohrničují (npř. krj Möbiov listu). V této kpitole nebude orientce prostorové křivky podsttná. Křivky mohou mnohému z nás ztočit hlvou. Pozor n ně. S orientcí nemám problém. Konec poznámek 1. Příkldy 1: 1. Njděte po částech hldkou funkci Φ : [0, 1] R 2, jejíž obrz je obvod čtverce s vrcholy (0, 0), (2, 0), (2, 2), (0, 2). 2. Njděte po částech hldkou funkci Φ : [0, 1] R 2, jejíž obrz tvoří osmičku tvořenou ze dvou kružnic, horní o poloměru 1, spodní o poloměru 2. Osmičku si smi vhodně umístěte do roviny xy. 3. Nlezněte prmetrický popis křivky zdné rovností x 2 + 3y 3 = 7. 6

7 o bude lepší vyjádřit, x nebo y? Kdy by se člověk měl vyjádřit sedmičkou? 4. Jkou prostorovou křivku předstvuje prmetrické zdání ϕ(t) = 2 sin t, ψ(t) = 2 cos(t), τ(t) = 4t, t [0, 20]? Je tto křivk hldká? Je uzvřená? Leží v nějké rovině? Vidím to, le nevím, co to je... Konec příkldů 1. Otázky 1: 1. Njděte lineární rostoucí funkci, která převádí intervl [, b] n intervl [c, d]. 2. Místo lineární funkce v předchozím příkldu použijte kvdrtickou funkci. Lze použít funkci tvru sin(αx + β) pro nějká α, β R? 3. Ukžte, že elips je spojitým prostým obrzem jednotkové kružnice. S chutí do toho, půl je hotovo. 4. * S pomocí věty o implicitních funkcích ukžte, že hldká křivk zdná rovností f(x, y) = 0 je po částech hldká křivk zdná prmetricky. 7

8 Mlinké opáčko, žeeeeeeeeeeee. 5. Rozmyslete si, proč bylo sndné definovt orientci kružnice v rovině proč to tk nejde v prostoru. 6. Je možné přirozeně definovt orientci prostorové uzvřené křivky, která je krjem Möbiov listu? 7. Dokžte, že po částech hldké křivky mjí konečnou délku. Konec otázek 1. KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY 1.DRUHU Postup, jk počítt integrál funkce podle křivky je přirozený: křivk se nrovná do úsečky spočte se integrál z trnsformovné funkce přes tuto úsečku. Kždý kousek křivky odpovídá kousku definičního oboru zobrzení, které popisuje křivku. Spojitá trnsformce dovoluje přepočítt velikosti těchto kousků. 8

9 Je to jko u jcobiánu - ten přepočítávl velikost před po trnsformci u vícerozměrného integrálu. Je to to smé. Vlstně jde o větu o substituci mezi rovnými křivými světy. Vidím, le nevěřím. Tk jko u reálných funkcí n R dává integrál z funkce identicky rovné 1 délku (míru) množiny, přes kterou se integruje, měl by křivkový integrál z identické 1 přes křivku dávt délku křivky. V kpitole o použití integrálu se délk křivky vypočítl jko ds, kde ds symbolicky znčilo délku mličké části křivky, která se dl povžovt z úsečku, tkže se spočítl z Pythgorovy věty pomocí dx, dy. V podsttě již vše bylo řečeno. V souldu s tímto znčením se bude integrál funkce f podél křivky znčit f(s) ds, kde s jsou body křivky. Způsob, jkým byl délk křivky počítán, nznčuje, jk se bude počítt křivkový integrál. 9

10 V podsttě nelze očekávt problém. Problém přichází nečekně čeká n nás. Křivkové integrály budou dv. Z chvíli bude probírán jiný přístup integrování funkcí podle křivky. Ob způsoby se odliší v názvu jko první druhý druh. Následující definice je vhodná pro výpočty v prxi se vyskytujících přípdů, le požduje po částech hldké křivky. DEFINIE. Necht je dán reálná funkce f n po částech hldké křivce v rovině zdné prmetricky funkcemi ϕ ψ n intervlu [, b]. Pk se definuje křivkový integrál 1.druhu funkce f podél křivky jko b f(s) ds = f((ϕ(t), ψ(t)) ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) dt. Ono to ds je nhrzeno ošklivou odmocninou. A t se bude bránit. Jink O.K. POZOROVÁNÍ. Následující 3 rovnosti pltí, jkmile mjí smysl prvé strny, poslední nerovnost pltí, pokud existuje levá strn. 1. (αf(s) + βg(s)) ds = α f(s) ds + β g(s) ds; f(s) ds = 1 f(s) ds + 2 f(s) ds; 3. f(s) ds = f(s) ds; 4. f(s) ds L() mx s f(s), kde L() je délk křivky. 10

11 Předposlední tvrzení říká, že křivkový integrál prvního druhu nezávisí n orientci křivky. Poznámky 2: 1. Když si projdete předchozí definici vlstnosti křivkového integrálu 1.druhu, zjistíte, že nic nebrání použití komplexní funkce f, tj. funkce mjící z hodnoty komplexní čísl. 2. Postupem obdobným Riemnnovu postupu u funkcí jedné proměnné n R lze definovt křivkový integrál 1.druhu i pro nehldké křivky. Křivk se rozdělí n konečně mnoho dílků i v kždém se zvolí jeden bod s i. Pk se vezme součet i f(s i)d( i ), kde d( i ) je délk křivky i. Je možné se vyhnout délce křivky místo délky i vzít vzdálenost krjních bodů křivky i. V dlším kroku se vezme posloupnost těchto dělení křivky, tkových, že délky jednotlivých dílků konvergují stejnoměrně k 0, limit součtů příslušných k těmto dělením. Jestliže jsou limity pro všechny tkovéto posloupnosti dělení stejné, definuje se tto limit jko křivkový integrál funkce f přes křivku. Pro formální smysl této definice je pouze třeb, by křivk měl konečnou délku. Pro spojité funkce n po částech hldkých křivkách dávjí obě definice stejný integrál. Křivkový integrál prvního druhu má velice blízko k známé integrci reálné funkce. Až n tu odmocninu Bylo možné definovt křivkový integrál jen pro hldké křivky pk dodefinovt křivkový integrál pro po částech hldké křivky jko součet křivkových integrálů přes jednotlivé hldké křivky. Křivkové integrály se tké většinou počítjí jko součet přes,,hezké" kousky křivek, npř. u hrnice obdélníku se sečtou integrály přes jednotlivé úsečky. 11

12 4. Je zřejmé, jk se definice křivkového integrálu 1.druhu přepíše pro prostorové křivky: b f(s) ds = f((ϕ(t), ψ(t), τ(t)) ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) + τ 2 (t) dt. Stejně tk i uvedená Pozorování předchozí poznámky pltí beze změny pro prostorové křivky. Konec poznámek 2. Příkldy 2: 1. Spočtěte křivkový integrál 1.druhu funkce x + y přes obvod trojúhelník s vrcholy (0, 0), (1, 0), (1, 1). Uvědomte si, že nezáleží n tom, v jkém směru budete brát strny trojúhelník. 2. Spočtěte křivkový integrál 1.druhu funkce xy přes hrnici elipsy x 2 /4 + y 2 = 1 v 1.kvdrntu, to jk pomocí uvedeného vyjádření křivky jko grfu funkce, tk pomocí prmetrického vyjádření x = 2 cos t, y = sin t, t [0, π/2]. [14/9] S tou odmocninou to bylo o chlup Vypočtěte křivkový integrál 1.druhu funkce x 3y 2 + z přes obvod prostorového trojúhelník s vrcholy (0, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1). Konec příkldů 2. Otázky 2: 1. Ukžte, že křivkový integrál 1.druhu z funkce identicky rovné 1 je roven délce křivky. 2. Dokžte uvedená Pozorování, zvláště pečlivě druhé třetí (i pro prostorové křivky). 3. Dokžte pomocí substituční věty, že křivkový integrál 1.druhu nezávisí n ekvivlentním popisu křivky (viz Poznámky 1 pro ekvivlenci křivek). 4. Vysvětlete, proč se změní znménko u integrce n intervlu, jestliže se intervl,,obrátí", tj. b f(x) dx = b f(x) dx, le znménko se nezmění u křivkového integrálu 1.druhu, jestliže se křivk,,obrátí", tj. f(s) ds = f(s) ds. Mlý hint: se opět rozepíše n b, jenom funkce prmetrizující křivku bude jiná: npř. obrzy bodů b se prohodí. 12

13 Kdo má zájem? Je to lhůdk. 5*. Dokžte (podobným způsobem jko rovnost Riemnnov Newtonov integrálu), že pro spojité funkce hldké křivky je definice křivkového integrálu 1.druhu uvedené v textu ekvivlentní definici uvedené v Poznámkách. Je to tk. Vím to. 6. V posledním tvrzení Pozorování je číslo n prvé strně konečné, pokud je f po částech spojitá n. 7. Ukžte, že křivkový integrál 1.druhu přes bod (tj., křivku, kde příslušné funkce v prmetrickém zdání jsou konstntní) je roven 0. Konstntní křivk mne dojímá... Konec otázek 2. vičení 2: Příkld. Vypočítejte integrál funkce f(x, y) = x y 4 3 definovné n křivce L dné vzthem x y 2 3 = 2 3, kde > 0. Npřed jenom koukejte. Až to už nepůjde, zkuste přemýšlet. Až to už nepůjde, tk to spočítáme "rz-dv". 13

14 Řešení. Křivku lze prmetrizovt tímto způsobem ϕ(t) = 3 cos 3 t, ψ(t) = 3 sin 3 t, t [ π, π]. N to jsem nepomyslel, le vypdá to fikně. Při derivování podle čsu t mjí fyzici rádi, když se používjí tečky dvojtečky: Potom ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) = 9 6 sin 2 t cos 2 t. Můžeme tedy psát x y 4 π 3 dx dy = (sin 4 t + cos 4 t) 9 6 sin 2 t cos 2 t dt = = 4 7. L π Když se chci líbit nějké fyzičce, musím ty tečky tky dělt? 14

15 Ten příkld mi dl největší práci při vymýšlení zdání tk, by to šlo spočítt. Slibuji, že se příště nebudu tolik snžit... A to si npřed nechl pordit. Ještě že má u koho. Myslím se svoje... Konec cvičení 2. KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY 2.DRUHU V prxi se vyskytují úlohy typu: spočtěte, jká práce byl vykonán lokomotivou při jízdě vlku po křivé dráze proti větru. 15

16 Pokud vlk jede chvíli proti větru, chvíli po větru, může nkonec vyjít nul. A když se jede n okružní cestu okolo ok hurikánu je vhodné zvolit správný směr ;-) Zkusíme roviný přípd. Počítáme práci, tedy sílu krát dráhu. Síl i křivk jsou v tomto přípdě,,dvojrozměrné", síl je vektor křivk je popsán svými tečnými vektory dt = ( dx, dy). Práce je sklární součin síly tečného vektoru dráhy. V prxi je jsné, jký má vektor tečny směr. V obecném přípdě to zřejmé není je nutné tento směr nejdříve zdt, tj. křivku je nutné orientovt. Zákldní zjímvé přípdy jsou n obrázku: 16

17 V prvním přípdě i v druhém přípdě se celková práce rovná nule. Ale krom toho je spoust nezjímvých přípdů, které se musejí upočítt... Z uvedené motivce výpočtu práce se nbízí následující definice. DEFINIE. Necht je dán rovinná po částech hldká orientovná křivk funkcemi ϕ, ψ n intervlu [, b] funkce f n s hodnotmi v R 2 se souřdnicemi (f 1, f 2 ). Pk se definuje křivkový integrál 2.druhu funkce f podle křivky jko ( f(s). dt = f1 (x, y) dx + f 2 (x, y) dy ) b ( = f1 (ϕ(t), ψ(t))ϕ (t) + f 2 (ϕ(t), ψ(t))ψ (t) ) dt. První dv integrály jsou ekvivlentní formy zápisu křivkového integrálu 2.druhu, třetí integrál je jeho definice pomocí obyčejného integrálu reálné funkce jedné proměnné n intervlu. To si promyslete. Děkuji. Následující zákldní vlstnosti křivkového integrálu 2.druhu se opět sndno dokzují. Všimněte si rozdílu oproti křivkovému integrálu 1.druhu u předposlední vlstnosti. POZOROVÁNÍ. Následující 3 rovnosti pltí, jkmile mjí smysl prvé strny. 1. (αf + βg). dt = α f. dt + β g. dt; f. dt = 1 f. dt + 2 f. dt; 3. f. dt = f. dt; 17

18 Pozor, třetí vlstnost je jiná! Následující tvrzení uvádí vzth mezi oběm křivkovými integrály. POZOROVÁNÍ. (f 1 (x, y) dx + f 2 (x, y) dy) = (f 1 (s) cos α(s) + f 2 (s) sin α(s)) ds, kde α(s) je úhel, který svírá tečný vektor k v bodě s s osou x. Následující úvh se čsto používá: Necht, D jsou dvě různé jednoduše uzvřené kldně orientovné po částech hldké křivky, které se protínjí v křivce K. Pk je spojením dvou orientovných křivek 1, K 1 podobně D je spojením dvou orientovných křivek D 1, K 2 (v pořdí podle orientce), kde K 1 K 2 je křivk K s odlišnými orientcemi. Spojení 1 + D 1 je pk kldně orientovná uzvřená po částech hldká křivk. POZOROVÁNÍ. Je-li f funkce + D R 2, pk f dt = f dt. +D 1 +D 1 18

19 U křivkových integrálů je třeb mít oči otevřené. Poznámky 3: Podobně jko u křivkového integrálu 1.druhu lze i křivkový integrál 2.druhu zdefinovt pomocí limit,,riemnnových" součtů to i n nehldké křivce. Ve většině prktických situcí stčí definice uvedená v textu pro po čstech hldké křivky. Nvíc je nutné dodt, že výpočet integrálu pomocí limit součtů je v prktických příkldech těžko proveditelný. Nše definice jsou nejhezčí. Jsem prostě tková. Uvedeným přístupem pomocí limit součtů se většinou definují obě části integrálu zvlášt, tj. integrály f 1(x, y) dx f 2(x, y) dy. Tím se ztrácí jejich vektorový chrkter. Definuje-li se křivkový integrál pomocí sklárního součinu vektorů, sndno se z tohoto přístupu získá f 1(x, y) dx jko speciální přípd, kdy funkce f = (f 1, f 2 ) má druhou složku f 2 nulovou. Podobně pro integrál f 2(x, y) dy. Není nd sldké vektory. Jestliže si pod křivkovým integrálem 2.druhu předstvíte práci vykonnou po dné křivce vektorem (f 1, f 2 ), říká Pozorování 2, že práce vykonná n několik spojených křivkách je součtem prcí vykonných n jednotlivých křivkách. 19

20 Obrátí-li se směr křivky, je zřejmé, že se změní znménko výsledku práce. Mám rád zápornou práci. Ke kldné práci se stvím rději záporně. Uvedený vzth křivkového integrálu 2.druhu k integrálu 1.druhu se může zdát těžko použitelný. Někdy je všk jednoduché popst cos α(s) i sin α(s) spočítt pk křivkový integrál 1.druhu. Hodně si kreslete můžete být překvpeni. Hodně si kreslím jsem pořád překvpená. Přenos definice Pozorování z roviny do prostoru je zcel formální, přidáním třetí proměnné. První třetí Pozorování jsou v textu již formulován nezávisle n dimenzi. Uvědomte si, že třetí Pozorování nepltí pro křivkové integrály 1.druhu (njděte příkld.) 20

21 Jednou jsem byl n pozorování... Konec poznámek 3. Příkldy 3: 1. Spočtěte křivkový integrál 2.druhu z funkce ( y 2, xy) po obvodu čtverce s vrcholy (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1). y 2. Spočtěte křivkový integrál 2.druhu z funkce ( x 2 +y 2, x x 2 +y2 ) po kružnici o poloměru r se středem v počátku. 3. Spočtěte křivkový integrál 2.druhu z funkce (yz, z r 2 y 2, xy) po části šroubovice x = r cos t, y = r sin t, z = 2t, t [0, 2π]. Použijte vyjádření integrálu pomocí křivkového integrálu 1.druhu. Šroubovice je si zšroubovná slivovice... Ne. BTW, jednou jsem mkl jk šroub. 4. Spočtěte integrál (y dx + z dy + x dz) přes křivku x = cos2 t, y = 2 sin t cos t, z = sin 2 t. SMYSL to nedává ni mně, le spočítt to umím. 21

22 Mám rád SMYSLné křivky. 5. Spočtěte integrál z předchozího příkldu přes křivku, která je průnikem dvou ploch: {(x, y, z); x 2 + y 2 + z 2 = 2 }, {(x, y, z); x + y + z = 0}. Zkuste různé možnosti (npř. doszení z jednu proměnnou z druhé podmínky, nlezení prmetrického vyjádření,... ). Konec příkldů 3. Otázky 3: 1. Dokžte všechny vlstnosti Pozorování, zvláště pečlivě položky 2 3. Kde se projeví v definici křivkového integrálu 2.druhu (tj. ve třetím integrálu v definici) změn orientce křivky? 2. Dokžte druhé Pozorování o vzthu obou křivkových integrálů (použijte výpočet kosinu sinu z trojúhelníku s odvěsnmi dx, dy). Pomocí tohoto vzthu odhdu křivkového integrálu 1.druhu dokžte znovu 3. tvrzení prvního Pozorování. 3. Ukžte, že pro funkci f = (cos α(s), sin α(s)) je výsledkem integrálu f. dt délk křivky. 4. Zformulujte definici křivkového integrálu 2.druhu pro prostorovou křivku funkci f = (f 1, f 2, f 3 ). 5. Zformulujte druhé Pozorování o vzthu obou křivkových integrálů pro prostor dokžte jej. 6. Zpište křivkový integrál 2.druhu pro přípd, kdy druhá složk f 2 funkce f je nulová křivk je grfem funkce g n intervlu [, b]. Tdy tuším čertovinu Dokžte poslední Pozorování. To je jednoduché, není-liž prvd? 22

23 Já zžil jedno SUPERprolínání. 8. Ukžte, že křivkový integrál 2.druhu přes bod (tj., křivku, kde příslušné funkce v prmetrickém zdání jsou konstntní) je roven 0. A pk že mtemtici nedovedou počítt něco užitečného. To jsem jednou stršně moc chtěl prcovt, le nemohl jsem se pohnout z míst. Nezpltili mi to... Konec otázek 3. vičení 3: Příkld. Vypočtěte integrál (y 2 z 2 ) dx + (z 2 x 2 ) dy + (x 2 y 2 ) dz, L kde křivk L je spojením křivek L 1, L 2, L 3 dných prmetrizcemi L 1 : ϕ(t) = cos t, ψ(t) = sin t, τ(t) = 0, t L 2 : ϕ(t) = 0, ψ(t) = sin t, τ(t) = cos t, t L 3 : ϕ(t) = cos(πt), ψ(t) = 0, τ(t) = sin(πt), t ( 0, π ), 2 ( 0, π ), 2 ( 0, 1 ). 2 23

24 BTW, nevíte kdo vymyslel t spletitá řecká písmenk? Řešení. Nejdříve spočteme integrály (2. druhu) po křivkách L 1, L 2, L 3. (y 2 z 2 ) dx + (z 2 x 2 ) dy + (x 2 y 2 ) dz = L 1 Podobně zjistíme, že = = π 2 0 π 2 0 ( ) sin 2 t( sin t) + ( cos 2 t) cos t + (cos 2 t sin 2 t)0 dt = ( ) sin 3 t cos 3 t dt = = 4 3. L 2 (y 2 z 2 ) dx + (z 2 x 2 ) dy + (x 2 y 2 ) dz = 4 3 L 3 (y 2 z 2 ) dx + (z 2 x 2 ) dy + (x 2 y 2 ) dz = 4 3. elkový výsledek tedy bude (y 2 z 2 ) dx + (z 2 x 2 ) dy + (x 2 y 2 ) dz = 4 L = 4. Bylo to tkhle: HOP, HOP HOP. HOP já rád. 24

25 Konec cvičení 3. GREENOVA VĚTA Zákldní vět nlýzy říká, že n hrnici množiny poznáme, co uvnitř děll derivce. Vím znám. b f (x) dx = f(b) f(). Vím znám se lehce řekne, v rovině to byl fušk zřídit. Já si toho povžuji. Jsem poctěn přízní skřítků. 25

26 Křivkový integrál 2.druhu po uzvřené křivce se čsto znčí symbolem chápe se přes kldnou orientci křivky (tj. proti směru pohybu hodinových ručiček). Následující velmi důležitá vět uvádí vzth mezi křivkovým integrálem 2.druhu po jednoduše uzvřené křivce integrálem přes vnitřek této křivky. VĚTA. (Green) Necht H je otevřená množin v rovině obshující jednoduše uzvřenou křivku i s jejím vnitřkem ι f = (f 1, f 2 ) je funkce H R 2 mjící spojité prciální derivce n H. Pk pltí ( f2 (f 1 (x, y) dx + f 2 (x, y) dy) = ι x f ) 1 dx dy. y Greenov vět mimo jiné říká, že integrál 2. druhu po uzvřené křivce přes konstntní vektorovou funkci (vítr) je roven plošnému integrálu přes nulovou funkci (žádné víry, tornád podobně), tedy nule. Tky tk se chová déšt. Kolik mi npršeno do spcáku, tolik vyteklo. 26

27 Důkz. V přípdě, že je obvod obdélníku s vrcholy (, c), (b, c), (b, d), (, d), je důkz sndný, protože podle definic příslušných integrálů je b d b d (f 1 (x, y) dx + f 2 (x, y) dy) = f 1 (x, c) dx + f 2 (b, y) dy f 1 (x, d) dx f 2 (, y) dy c c ( f2 ι x f ) d 1 ( dx dy = f2 (b, y) f 2 (, y) ) b ( dy f1 (x, d) dx f 1 (x, c) ) dx y c obě prvé strny jsou stejné. Podle posledního Pozorování z předchozí části o křivkových integrálech 2.druhu pltí tedy Greenův vzorec i pro konečná sjednocení nepřekrývjících se obdélníků v H, jejichž hrnici tvoří lomená čár, která je uzvřená. Nyní si stčí uvědomit (musí se to ovšem přesně dokázt), že lze njít tkovouto lomenou čáru D libovolně blízko křivky v tom smyslu, že jk křivkové integrály přes přes D se budou lišit nejvýše o předem dné ε > 0, tk integrály přes ι přes ono sjednocení obdélníků se budou lišit nejvýše o ε. Jestliže se v Greenově rovnosti místo funkce (f 1, f 2 ) vezme funkce ( f 2, f 1 ), dostává se vzorec ( f1 (f 1 (x, y) dy f 2 (x, y) dx) = i x + f ) 2 dx dy. y Zde je v levém integrálu sklární součin f normály k, který se čsto znčí jko f.dn. Dobře si promyslete předchozí důkz. Dli byste z něj ruku do ohně? Přečtu si důkz pro jistotu ještě jednou... 27

28 Poznámky 4: 1. Greenov vět v obecném tvru. Greenovu větu lze zobecnit n konečný počet křivek. V tomto přípdě je le jednodušší se n situci dívt ne z hledisk křivek, le z hledisk množin mjících z hrnici křivky. Otevřená množin G v rovině se nzývá souvislá, jestliže kždé dv její body lze spojit lomenou črou ležící v G. Necht G je otevřená souvislá množin, která má z hrnici G konečně mnoho disjunktních, jednoduše uzvřených křivek. Jko příkld lze uvést otevřené mezikruží, nebo vnitřek elipsy s konečně mnoh kultými,,děrmi". Je-li jedn z uzvřených křivek tvořící hrnici, pk orientce vzhledem ke G se nzývá kldná v následujícím přípdě: stojíte-li n křivce tváří v jejím kldném směru, máte G po levé strně. U mezikruží je tedy kldný směr vnější kružnice proti směru pohybu hodinových ručiček, u vnitřní kružnice je tomu opčně. Jezdil jsem jko kskdér s utem po hrnici střechy mrkodrpu držel jsem kldnou orientci. Mám volnt vlevo. Šlo to sndno. Pro zjednodušení zápisu bude pro jednoduché množiny G znčit G součet součet křivkových integrálů 2.druhu přes jednotlivé uzvřené křivky hrnice, brné s kldnou orientcí vzhledem ke G. To je šikovný zápis. Musí se le zpojit všechny části hrnice. VĚTA. (Greenov vět v obecném tvru) 28

29 Necht G je otevřená souvislá množin, která má z hrnici konečně mnoho disjunktních, jednoduše uzvřených křivek H otevřená množin obshující G G. Necht f = (f 1, f 2 ) je funkce H R 2 mjící spojité prciální derivce. Pk pltí ( f2 (f 1 (x, y) dx + f 2 (x, y) dy) = G G x f ) 1 dx dy. y Stejně jko u zákldní verze Greenovy věty lze vzorec psát ve tvru ( f1 (f 1 (x, y) dy f 2 (x, y) dx) = G G x + f ) 2 dx dy. y 2. Greenov vět má přirozené fyzikální vysvětlení, které bude podrobněji uvedeno v kpitole o vektorových funkcích. Npř. v druhé formulci znmená integrál sklárního součinu vektoru f n křivce s normálou křivky tok vektoru křivkou (npř. tok kpliny). Dvojrozměrný integrál znmená, kolik kpliny uvnitř křivky přibylo nebo se ztrtilo. Tkže opět npříkld, pokud bude tok všude stejný, uvnitř křivky t už bude jkákoliv, bude kpliny pořád stejně. 3. Greenův vzorec lze použít i pro neuzvřené křivky, pokud tkovou křivku vhodně doplníme n uzvřenou. Slovo,,vhodně" tu pk znmená, že můžeme sndno spočítt integrál přes tuto doplněnou křivku i dvojrozměrný integrál přes vzniklý vnitřek uzvřené křivky. 4. V první formulci Greenov vzorce je křivkový integrál uveden podle definice je to tedy integrál ze sklárního součinu vektoru funkce tečného vektoru. Ve druhé formulci je to křivkový integrál ze sklárního součinu vektoru funkce normálového vektoru křivky. Zobecnění Greenovy věty z roviny do prostoru se může týkt jednk křivek v prostoru, jednk ploch v prostoru. Hldká křivk v prostoru nemá obecně normálový vektor, le má jednoznčně určené tečné vektory; proto se n tento přípd zobecňuje první vrint Greenov vzorce. 29

30 Nopk ploch (orientovná) nemá jednoznčně určené tečné vektory le má normálový vektor v kždém bodě, proto se pro tento přípd zobecňuje druhá vrint Greenov vzorce. To pro přípd, kdy by G mohl být třeb krychle G by bylo šest jejich stěn. Konec poznámek 4. Příkldy 4: 1. Přepočtěte křivkové integrály z prvních dvou Příkldů předchozí části pomocí Greenovy věty. 2. Použijte Greenův vzorec n mezikruží {(x, y); r < x 2 + y 2 < R}, kde 0 r < R pro funkci y ( x 2 +y 2, x x 2 +y2 ) (viz předchozí příkld). Dovedete vysvětlit, k jkým problémům došlo? A proč? 3. Spočtěte integrál (xy2 dx yx 2 dy) přes horní jednotkovou polokružnici doplněním této polokružnice bud n kružnici nebo spojením úsečkou obou koncových bodů, pk použijte Greenův vzorec. o bude jednodušší? 4. Ověřte pltnost Greenov vzorce n funkci ((x+y) 2, x 2 +y 2 ) obvodu trojúhelníku s vrcholy (1, 1), (3, 2), (2, 5). Konec příkldů 4. Otázky 4: Zkuste ukázt pltnost Greenovy věty v obecném tvru použitím následující úvhy: Jednotlivé křivky hrnice G se spojí disjunktními lomenými črmi (někdy stčí jednou črou, někdy dvěm) tk, by se vytvořily jednoduché uzvřené křivky, jejichž vnitřek pokrývá G ž n ony lomené čáry (ty nehrjí žádnou roli při dvojrozměrné integrci). 30

31 Kždou lomenou čáru proběhnete dvkrát, pokždé v opčném směru, tkže se při součtu křivkové integrály přes tyto křivky vyruší zbude jen součet přes křivky hrnice. Tkové obrázky jsem kreslil jko mlý. Konec otázek 4. POUŽITÍ KŘIVKOVÝH INTEGRÁLŮ Podíváte-li se nyní zpátky n popis délky křivky nebo n postup při zjišt ování těžiště křivky, zjistíte, že vzorce z kpitoly 15-ip se djí přepst pomocí křivkových integrálů 1.druhu. Musím uznt, že to je šikovné. Už máme něco předem rozmyšleno. Vypltilo se to. Přemýšlím mrně vzpomínám, kdy přesně jsem to zpomněl. POZOROVÁNÍ. 1. Délk po částech hldké křivky je rovn ds. 2. Hmotnost tenkého drátu mjícího tvr po částech hldké křivky, který má v bodě s hustotu h(s), je rovn h(s) ds. 31

32 3. Těžiště tenkého drátu mjícího tvr po částech hldké křivky, který má v bodě s hustotu h(s), má souřdnice (T x, T y ), kde (m znčí hmotnost drátu) T x = xh(s) ds, T y = yh(s) ds. m m V integrálech se musí z x, y, s dosdit příslušné výrzy podle toho, jk je křivk popsán. Čittelé ve vzorcích pro těžiště drátu jsou (sttické) momenty drátu vzhledem k osám y nebo x resp. První dvě položky pltí i v prostoru beze změny. Pro těžiště se přidá nlogický třetí výrz pro T z, což je moment křivky vzhledem k rovině xy. N zákldě Greenovy věty lze nyní uvést nové vzorce pro výpočet obshu některých rovinných množin. Necht G je jednoduchá množin. Její obsh je roven G dx dy, tj. integrálu z funkce identicky rovné 1 n G. Aby bylo možné použít Greenův vzorec, musí se vzít tkové funkce f 1, f 2 mjící spojité prciální derivce n G, by f 1 x + f 2 y = 1. Nbízí se několik možností, npř. f 1 (x, y) = x, f 2 (x, y) = 0, nebo nopk f 1 (x, y) = 0, f 2 (x, y) = y nebo symetricky zvolené funkce f 1 (x, y) = x/2, f 2 (x, y) = y/2. Tím se dostávjí následující vzorce pro obsh S(G) množiny G: POZOROVÁNÍ. S(G) = G x dy = y dx = 1 (x dy y dx). G 2 G Příkldy 5: 1. Spočtěte těžiště drátu tvru polokružnice {(x, y); x 2 + y 2 = 4, x 0, y )} s hustotou h(x, y) = 2 y. 2. Spočtěte plochu elipsy pomocí křivkového integrálu. 3. Spočtěte plochu stroidy x 2/3 + y 2/3 = 2/3 pomocí křivkových integrálů. 4. Njděte těžiště cykloidy x = (t sin t), y = (1 cos t), t [0, 4π]. 32

33 Tk to jsem měl cykloidu i n utě. Konec příkldů 5. vičení 5: Příkld. Pomocí Greenovy věty určete obsh G plochy G uvnitř elipsy x y2 b 2 = 1. Řešení. Elipsu budeme prmetrizovt modifikovnými polárními souřdnicemi x = ϕ(t) = cos t, y = ψ(t) = b sin t, t [ π, π]. Zvolme funkci f = (f 1, f 2 ), kde funkce jsou dány vzthy f 1 (x, y) = y, f 2 (x, y) = x. To jsem se nučil v bru "U tornád". Podle Greenovy věty dostáváme ( f2 (x, y) f 1 (x, y) dx + f 2 (x, y) dy = G G x f ) 1(x, y) dx dy = 2 dx dy. y G Jelikož G = dx dy, G hledný obsh G pk bude roven G = 1 y dx + x dy = 1 π (( b sin t)( sin t) + ( cos t)(b cos t)) dt = πb. 2 G 2 π T f mohl být i jiná. T jediné jsem podle GRE- ENovy věty pochopil. Nejsem zelenáč. 33

34 Konec cvičení 5. STANDARDY z kpitoly KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY KŘIVKY Křivk je spojitý obrz kompktního intervlu Φ : [, b] R n, Φ je tedy n-tice spojitých reálných funkcí jedné proměnné definovných n [, b]. Křivk v rovině je popsán spojitými funkcemi ϕ, ψ : [, b] R jko množin bodů {(ϕ(t), ψ(t)); t [, b]}. Křivk v prostoru je popsán spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [, b] R jko množin bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t [, b]}. Počáteční bod křivky je Φ(), koncový bod je Φ(b) (pokud není orientce stnoven jink viz dále). Křivky, u kterých počáteční koncový bod splývjí, se nzývá uzvřené. Necht jsou dány dvě křivky 1, 2 definovné funkcemi Φ : [, b] R n Ψ : [c, d] R n, přičemž koncový bod křivky 1 je počáteční bod křivky 2, tj. Φ(b) = Ψ(c). Spojením obou křivek se rozumí křivk, znčená jko 1 + 2, definovná funkcí T (t) n intervlu [, b + d c] předpisem { Φ(t), pro t [, b]; T (t) = Ψ(t + c b), pro t [b, b + d c].. Je-li křivk Ψ popsán prmetricky funkcemi ϕ, ψ, řekneme, že Ψ je hldká křivk, když: 1. funkce ϕ, ψ mjí spojité první derivce; 2. pro kždé t [, b] je spoň jedn z derivcí ϕ (t), ψ (t) nenulová; 3. kždý bod křivky je obrzem jediného bodu z [, b] s jedinou možnou výjimkou: počáteční koncový bod mohou splývt. Po částech hldká křivk je křivk, která vznikl spojením konečně mnoh hldkých křivek. Necht je po částech hldká křivk spojením křivek 1, 2,..., n v uvedeném pořdí. Křivk se nzývá jednoduše uzvřená, jestliže všechny křivky i jsou nvzájem disjunktní s jedinými výjimkmi: počáteční bod křivky 1 splývá s koncovým bodem křivky n počáteční bod křivky i+1 splývá s koncovým bodem křivky i pro i = 1..n 1. Dá se dokázt, podobně jko u kružnice, že jednoduše uzvřená křivk dělí rovinu n dvě části: omezenou, tzv. vnitřek křivky (znčený ι) neomezenou, tzv. vnějšek. V dlším textu bude potřeb orientce křivky, tj. určení kldného záporného směru křivky. Je-li orientovná křivk, znčí množinově tutéž křivku s opčnou orientcí. 34

35 U křivky zdné pomocí funkce Φ n nějkém intervlu [, b] je kldná orientce dán (pokud není určeno jink) tímto intervlem. Kldná orientce probíhá od bodu Φ() do bodu Φ(b), tj. podle rostoucího prmetru. Kldná orientce jednoduše uzvřené křivky (pokud nebude řečeno jink) je proti směru pohybu hodinových ručiček. Přesněji řečeno: jdete-li po této křivce v kldném směru, máte její vnitřek po levé strně. Příkld. Jkou prostorovou křivku předstvuje prmetrické zdání ϕ(t) = sin t, ψ(t) = cos(t), τ(t) = t, t [0, 2π]? Je to šroubovice. KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY 1.DRUHU Postup, jk počítt integrál funkce podle křivky je přirozený: křivk se nrovná do úsečky spočte se integrál z trnsformovné funkce přes tuto úsečku. Necht je dán reálná funkce f n po částech hldké křivce v rovině zdné prmetricky funkcemi ϕ ψ n intervlu [, b]. Pk se definuje křivkový integrál 1.druhu funkce f podél křivky jko b f(s) ds = f((ϕ(t), ψ(t)) ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) dt. Oznčme τ(t) = (ϕ (t), ψ (t)) tečný vektor křivky v bodě. Pk substituujeme (velikost tečného vektoru je něco jko Jcobián): s = (ϕ(t), ψ(t)) ds = (ϕ (t), ψ (t)) dt = τ(t) dt b f(s) ds = f((ϕ(t), ψ(t)) τ(t) dt. 35

36 Pro prostorové křivky se prcuje se třemi složkmi b f(s) ds = f((ϕ(t), ψ(t), τ(t)) ϕ 2 (t) + ψ 2 (t) + τ 2 (t) dt. Příkld. Spočtěte křivkový integrál 1.druhu funkce x+y přes obvod trojúhelník s vrcholy (0, 0), (1, 0), (1, 1). Příkld. Necht je dán reálná funkce H n hldké křivce = [0, 1] (jde o jednotkový intervl n reálné ose). Necht jsou dány dvě prmetrizce ϕ : [α, β] f : [, b] s rostoucími funkcemi ϕ f. Pk β β H(s) ds = H(ϕ(τ)) ϕ 2 (τ) dτ = H(ϕ(τ)) ϕ (τ) dτ. α α Podobně b b H(s) ds = H(f(t)) f 2 (t) dt = H(f(t)) f (t) dt. Dokžte, že se jedná o stejný výsledek při obou prmetrizcích. Řešení. Použijeme substituci τ = ϕ 1 (f(t)). Pk A je to. β H(ϕ(τ)) ϕ (τ) dτ = α b = H(ϕ(ϕ 1 (f(t))))ϕ (ϕ 1 1 (f(t))) ϕ (ϕ 1 (f(t))) f (t) dt = b = H(f(t)) f (t) dt KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY 2.DRUHU DEFINIE. Necht je dán rovinná po částech hldká orientovná křivk funkcemi ϕ, ψ n intervlu [, b] funkce f n s hodnotmi v R 2 se souřdnicemi (f 1, f 2 ). Pk se definuje křivkový integrál 2.druhu funkce f podle křivky jko ( f(s). dt = f1 (x, y) dx + f 2 (x, y) dy ) b ( = f1 (ϕ(t), ψ(t))ϕ (t) + f 2 (ϕ(t), ψ(t))ψ (t) ) dt. První dv integrály jsou ekvivlentní formy zápisu křivkového integrálu 2.druhu, třetí integrál je jeho definice pomocí obyčejného integrálu reálné funkce jedné proměnné n intervlu. Bude-li funkce f s hodnotmi v rovině nebo prostoru chápán jko vektor, bude se též znčit tučně jko f. Pro křivku uvžujeme bod křivky jko vektor t(t) = (x(t), y(t)). Pk formálně získáme vektor dt = ( dx, dy). Zde dx/ dt = ϕ (t) dy/ dt = ψ (t), odtud vyjádříme dx dy použijeme následně substituci ve tvru dt = ( dx, dy) = (ϕ (t), ψ (t)) dt = τ dt. Tedy t = (ϕ(t), ψ(t)) 36

37 dt = (ϕ (t), ψ (t)) dt = τ(t) dt b f(s). dt = f((ϕ(t), ψ(t)).τ(t) dt. Kdykoliv potřebujeme nhrdíme dx z ϕ (t) dt podobně dy z ψ (t) dt. Podobně dt = ( dx, dy). POZOROVÁNÍ. Pokud má smysl prvá strn tk pltí. f. dt = f. dt. To je důležité pro příkldy. POZOROVÁNÍ. Je-li f funkce + D R 2, pk f dt = f dt. +D 1 +D 1 Příkld. Spočtěte křivkový integrál 2.druhu z funkce ( y 2, xy) po obvodu čtverce s vrcholy (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1). Příkld. Spočtěte integrál (y dx + z dy + x dz) přes vhodnou křivku. Příkld. Zintegrujte konstntní vektorové pole přes uzvřenou křivku n obrázku. 37

38 GREENOVA VĚTA Jde o rovinnou verzi zákldní věty nlýzy. b f (x) dx = f(b) f(). Křivkový integrál 2.druhu po uzvřené křivce se čsto znčí symbolem chápe se přes kldnou orientci křivky (tj. proti směru pohybu hodinových ručiček). VĚTA. (Green) Necht H je otevřená množin v rovině obshující jednoduše uzvřenou křivku i s jejím vnitřkem ι f = (f 1, f 2 ) je funkce H R 2 mjící spojité prciální derivce n H. Pk pltí ( f2 (f 1 (x, y) dx + f 2 (x, y) dy) = ι x f ) 1 dx dy. y Důkz. V přípdě, že je obvod obdélníku s vrcholy (, c), (b, c), (b, d), (, d), je důkz sndný, protože podle definic příslušných integrálů je b d b d (f 1 (x, y) dx + f 2 (x, y) dy) = f 1 (x, c) dx + f 2 (b, y) dy f 1 (x, d) dx f 2 (, y) dy c c ( f2 ι x f ) d 1 ( dx dy = f2 (b, y) f 2 (, y) ) b ( dy f1 (x, d) dx f 1 (x, c) ) dx y c obě prvé strny jsou stejné. Greenovu větu lze psát f.dt = (f 1 (x, y) dx + f 2 (x, y) dy) = ι ( f2 x f ) 1 dx dy. y N levé strně se integruje ve skutečnosti sklární součin funkce f tečného vektoru τ = ( dx, dy) ke křivce. N prvé strně se integruje rotce vektorové funkce. Jestliže se Greenov rovnost použije n pomocnou funkci ( f 2, f 1 ), dostává se vzorec ( f1 f.dn = (f 1 (x, y) dy f 2 (x, y) dx) = i x + f ) 2 dx dy. y 38

39 N levé strně se integruje ve skutečnosti sklární součin funkce f normály n = ( dy, dx) ke křivce, znčíme nlogicky f.dn. N prvé strně se integruje divergence vektorové funkce. VĚTA. (Greenov vět v obecném tvru) Necht G je otevřená souvislá množin, která má z hrnici konečně mnoho disjunktních, jednoduše uzvřených křivek H otevřená množin obshující G G. Necht f = (f 1, f 2 ) je funkce H R 2 mjící spojité prciální derivce. Pk pltí ( f2 (f 1 (x, y) dx + f 2 (x, y) dy) = G G x f ) 1 dx dy. y Stejně jko u zákldní verze Greenovy věty lze vzorec psát ve tvru ( f1 (f 1 (x, y) dy f 2 (x, y) dx) = G G x + f ) 2 dx dy. y Příkld. Použijte Greenův vzorec n mezikruží {(x, y); r < x 2 + y 2 < R}, kde 0 r < R pro funkci y ( x 2 +y 2, x x 2 +y 2 ). POZOROVÁNÍ. 1. Délk po částech hldké křivky je rovn ds. POUŽITÍ KŘIVKOVÝH INTEGRÁLŮ 2. Hmotnost tenkého drátu mjícího tvr po částech hldké křivky, který má v bodě s hustotu h(s), je rovn h(s) ds. 3. Těžiště tenkého drátu mjícího tvr po částech hldké křivky, který má v bodě s hustotu h(s), má souřdnice (T x, T y ), kde (m znčí hmotnost drátu) T x = xh(s) ds, T y = yh(s) ds. m m V integrálech se musí z x, y, s dosdit příslušné výrzy podle toho, jk je křivk popsán. Čittelé ve vzorcích pro těžiště drátu jsou (sttické) momenty drátu vzhledem k osám y nebo x resp. První dvě položky pltí i v prostoru beze změny. Pro těžiště se přidá nlogický třetí výrz pro T z, což je moment křivky vzhledem k rovině xy. N zákldě Greenovy věty lze nyní uvést nové vzorce pro výpočet obshu některých rovinných množin. Necht G je jednoduchá množin. Její obsh je roven G dx dy, tj. integrálu z funkce identicky rovné 1 n G. Aby bylo možné použít Greenův vzorec, musí se vzít tkové funkce f 1, f 2 mjící spojité prciální derivce n G, by f 1 x + f 2 y = 1. Nbízí se několik možností, npř. f 1 (x, y) = x, f 2 (x, y) = 0, nebo nopk f 1 (x, y) = 0, f 2 (x, y) = y nebo symetricky zvolené funkce f 1 (x, y) = x/2, f 2 (x, y) = y/2. POZOROVÁNÍ. S(G) = G x dy = y dx = 1 (x dy y dx). G 2 G 39

40 Příkld. Spočtěte plochu elipsy pomocí křivkového integrálu. Řešení. Pomocí Greenovy věty určíme obsh G plochy G uvnitř elipsy x y2 b 2 = 1. Elipsu budeme prmetrizovt modifikovnými polárními souřdnicemi x = ϕ(t) = cos t, y = ψ(t) = b sin t, t [ π, π]. Zvolme funkci f = (f 1, f 2 ), kde funkce jsou dány vzthy f 1 (x, y) = y, f 2 (x, y) = x. Podle Greenovy věty dostáváme ( f2 (x, y) f 1 (x, y) dx + f 2 (x, y) dy = f ) 1(x, y) dx dy = 2 dx dy. G G x y G Jelikož G = dx dy, G hledný obsh G pk bude roven G = 1 y dx + x dy = 1 π (( b sin t)( sin t) + ( cos t)(b cos t)) dt = πb. 2 G 2 π Příkld. Njděte těžiště cykloidy x = (t sin t), y = (1 cos t), t [0, 4π]. 40