Vlastní čísla a vlastní vektory
|
|
- Bedřich Kučera
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Kapitola 10 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic. Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciálnírovnice u = λu,kde u(t)jeneznámáreálnáfunkcereálnéproměnné t,jetvaru u(t)=αe λt,kde αjereálnéčíslo.podobněsoustavalineárních diferenciálních rovnic mářešenívetvaru u 1 = 7u 1 4u 2 u 2 = 5u 1 2u 2 u 1 = α 1 e λt, u 2 = α 2 e λt provhodnáreálnáčísla α 1, α 2, λ.pokudtatovyjádřenízderivujemepodle t a dosadíme do původní soustavy diferenciálních rovnic, dostaneme tj. α 1 λe λt = 7α 1 e λt 4α 2 e λt α 2 λe λt = 5α 1 e λt 2α 2 e λt, α 1 λ = 7α 1 4α 2 α 2 λ = 5α 1 2α 2, neboli ( ) ( α1 α 2 ) = λ ( α1 α 2 ). 176
2 KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 177 V maticovém tvaru můžeme tuto soustavu vyjádřit jako ( ) 7 4 Ax=λx, kde A= a x= 5 2 ( α1 α 2 ). Tatosoustavamátriviálnířešeníx=0,kteréprolibovolné λvedeknulovýmfunkcím u 1, u 2.Tonenípřílišzajímavéřešení.Zajímajínásspíšty hodnoty skaláru λ, pro které existuje nenulové řešení soustavy Ax = λx, tj.soustavy(a λi)x=0.nenulovéřešeníexistujeprávěkdyžjematice A λisingulární,tj.právěkdyždet(a λi)=0.nenulovéřešeníproto existuje pouze pro hodnoty λ vyhovující kvadratické rovnici tj. (7 λ)( 2 λ)+20=0, λ 2 5λ+6=0. Tatokvadratickárovnicemářešení λ=2aλ=3.pro λ=2hledámeřešení homogenní soustavy s maticí ( ) 5 4 A 2I=, 5 4 kterámářešenítvarux=a(4/5,1) T.Hodnota λ=2takvedeknásledujícímu řešení původní soustavy diferfenciálních rovnic ( ) ( ) u1 u 1 = = e 2t 4/5. 1 u 2 Druhé řešení kvadratické rovnice λ = 3 vede k homogenní soustavě s maticí ( ) 4 4 A 3I=, 5 5 kterámářešeníx=b(1,1) T.Hodnota λ=3pakvedekřešení u 2 = ( u1 u 2 ) = e 3t ( 1 1 Lzedokázat,žekaždéřešenípůvodnísoustavydiferenciálníchrovnicu = Aujelineárníkombinacítěchtodvouřešeníu 1 au 2. Uvedená úloha vede k následující definici. ).
3 KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 178 Definice 10.1 Pro čtvercovou matici A řádu n s reálnými(komplexními) prvky definujeme vlastní číslo matice A jako komplexní číslo λ, pro které platíax=λxpronějakýnenulovývektorx R n 1 (C n 1 ).Je-li λvlastní číslomaticea,pakkaždéřešenísoustavylineárníchrovnic(a λi n )x=0 nazýváme vlastní vektor matice A příslušný vlastnímu číslu λ. Množinu všech vlastních čísel matice A nazýváme spektrum matice A a označujeme ji σ(a). Zdefinicetakpřímoplyne,žeprokomplexnímaticiAřádu nakomplexníčíslo λplatí λ σ(a)právěkdyžmaticea λi n jesingulární,což jeprávěkdyždet(a λi n )=0.Poslednípodmínkaříká,jaknajítvlastní čísla nějaké matice, pokud existují. Definice 10.2 Je-li A čtvercová matice řádu n s reálnými(komplexními) prvky, pak pro každé reálné(komplexní) číslo λ definujeme hodnotu p(λ) = det(a λi n ).Funkci p(λ)nazývámecharakteristickýpolynommaticea. Rovnici p(λ) = 0 nazýváme charakteristická rovnice matice A. Pro důkaz Tvrzení 10.4 budeme potřebovat následující obecnou větu, které se říká základní věta algebry. Její důkaz je hodně obtížný a překračuje rámec úvodního kurzu lineární algebry. Uvedeme si ji proto bez důkazu. Věta10.3 Je-li f(x)=b n x n + b n 1 x n 1 + +b 1 x+b 0 polynomstupně n 1skomplexnímikoeficienty,pakjejlzevyjádřitvetvaru f(x)=b n (x β 1 ) l 1 (x β 2 ) l2 (x β k ) l k, pronějakákomplexníčísla β 1,...,β k akladnáceláčísla l 1,...,l k,prokterá platí l 1 + l 2 + +l k = n. Čísla β 1,...,β k senazývajíkořenypolynomu f,číslo l i senazývánásobnostkořenu β i. Tvrzení10.4 ProkomplexníčtvercovoumaticiA=(a ij )řádu nplatí charakteristickýpolynommaticeařádu njepolynomstupně nsvedoucímkoeficientemrovným( 1) n, komplexníčíslo λjevlastnímčíslamaticeaprávěkdyžjekořenem charakteristického polynomu p(λ) matice A, matice A má n vlastních komplexních čísel, počítáme-li každé tolikrát, kolik je jeho násobnost jako kořene charakteristického polynomu,
4 KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 179 pokudjeareálnámatice,pak λ σ(a)právěkdyž λ σ(a). Důkaz. První tvrzení vyplývá z definice determinantu. Platí a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n A λi n = a n1 a n2 a nn λ Vyjdeme-li z definice determinantu, je především je zřejmé, že determinant maticea λi n jepolynomvproměnné λ.vsoučinudiagonálníchprvků (odpovídajícímu identické permutaci) (a 11 λ)(a 22 λ) (a nn λ) dostanemeporoznásobení,žekoeficientuλ n je( 1) n akoeficientuλ n 1 je( 1) n 1 n i=1 a ii.vjakémkolivjinémsoučinuodpovídajícímneidentické permutaci p S n semusíobjevitaspoňdvaprvkymimohlavnídiagonálu, po případném roznásobení se tak může objevit neznámá λ s koeficientem nejvýše n 2.Protojekoeficientuλ n vcharakteristickémpolynomumaticearoven( 1) n akoeficientuλ n 1 serovná( 1) n 1 n i=1 a ii.podobně můžetenajítkoeficientyukaždémocniny λ n k pro k=2,3,...,n. Druhé tvrzení plyne přímo z definice vlastního čísla a charakteristického polynomu. Třetí tvrzení plyne zase ze základní věty algebry. Čtvrtétvrzeníplyneztoho,žeje-li p(λ)=b n λ n +b n 1 λ n 1 + +b 1 λ 1 + b 0 =0akoeficienty b 0, b 1,...,b n polynomu pjsoureálnáčísla,pakrovněž p(λ)=b n λ n + b n 1 λ n 1 + +b 1 λ+b 0 =0. Je-litedy λvlastníčísloreálnématice,paktaké λjevlastníčíslotétomatice. Každé vlastní číslo λ matice A je kořenem charakteristického polynomu p(λ)maticeaamátedynějakounásobnostcobykořenpolynomu p(λ).tuto násobnost budeme rovněž nazývat algebraická násobnost charakteristického čísla λ, případně algebraická dimenze charakteristického čísla λ. Reálná matice nemusí mít žádné reálné vlastní číslo. Pokud je ale navíc symetrická, pak je každé vlastní číslo této matice reálné. Podobné tvrzení platí i pro hermitovské matice, tj. pro matice s komplexními prvky, pro které platíb=b.
5 KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 180 Tvrzení 10.5 Je-li A reálná symetrická matice, pak každé vlastní číslo matice A je reálné. Podobně, je-li B hermitovská matice, pak každé vlastní číslo matice B je reálné. Důkaz. Důkaz stačí provést pro hermitovské matice, neboť každá symetrickámaticejehermitovská.je-li λ σ(b)ax 0vlastnívektorpříslušný vlastnímučíslu λ,pakplatíx x 0aλx=Bx.Zposlednírovnostivyplývá pomocí přechodu ke komplexně konjugovaným maticím také rovnost λx =x B,atedytaké x x(λ λ)=x (λ λ)x=x Bx x B x=0, neboťb=b.proto λ=λ. Cvičení 10.1 Dokažte, že každé vlastní číslo kososymetrické matice nebo kosohermitovské matice je ryze imaginární. Tvrzení 10.6 Je-li A čtvercová reálná(komplexní) matice řádu n, P reálná (komplexní)regulárnímaticestejnéhořáduab=p 1 AP,pakoběmatice AaBmajístejnýcharakteristickýpolynom,aprotorovněž σ(a)=σ(b), tj. obě mají také stejné spektrum. Důkaz. Podle Věty o součinu determinantů platí pro každý reálné (komplexní) číslo λ det(a λi n ) = deti n det(a λi n )=det(p 1 P)det(A λi n )= = detp 1 det(a λi n )detp=det(p 1 (A λi n )P)= = det(p 1 AP P 1 λi n P)= = det(b λi n ). Důsledek 10.7 Předpokládáme, že V je vektorový prostor nad reálnými (komplexními)číslyaf :V Vjelineárnízobrazení.Dálepředpokládáme,že AaBjsoudvěbázeprostoruV.OznačímeAmatici[F] A lineárníhozobrazení F vzhledemkbázi AaBmatici[F] B zobrazení F vzhledem kbázi B.PotomjsoucharakteristicképolynomyoboumaticAaBstejnéa platí rovnost σ(a) = σ(b).
6 KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 181 Důkaz.PodleTvrzení7.13platí[F] B =P 1 [F] A P,kdeP=[I] BA je maticepřechoduodbáze Akbázi B.Protožematicepřechodu[I] BA je regulární, plynou všechna tvrzení bezprostředně z předchozího Tvrzení 10.6 Tento důsledek ukazuje, že vlastní čísla a spektrum jsou spíše vlastnosti lineárních zobrazení než pouze vlastnosti matic. Každá reálná(komplexní) maticeařádu nurčujelineárnízobrazení F :R n R n (F :C n C n ) předpisem F(x)=Ax.MaticeAmávlastníčíslo λprávěkdyžexistujenenulovývektorx R n (C n ),prokterýplatíax=λx.prolineárnízobrazení FurčenématicíApakplatí F(x)=Ax=λx. Tyto úvahy vedou k následující definici. Definice10.8 Je-li F:V Vlineárníoperátornareálném(komplexním) vektorovém prostoru V, pak skalár λ nazýváme vlastní číslo lineárního operátoruapokudexistujenenulovývektorx V,prokterýplatí F(x)=λx. Je-li λvlastníčíslooperátoru F,pakkaždývektorx V,prokterýplatí F(x) = λx, nazýváme vlastní vektor lineárního operátoru F příslušný vlastnímu číslu λ. Množinu všech vlastních čísel operátoru F označujeme σ(f) a nazýváme spektrum operátoru F. Bezprostřením důsledkem Tvrzení 10.4 je následující tvrzení. Tvrzení10.9 Je-li F:V VlineárníoperátornakomplexnímvektorovémprostoruV,pakexistujevlastníčíslo λoperátoru F. Pokusíme se vyjasnit, do jaké míry lze matici lineárního operátoru F: V Vzjednodušitvhodnouvolboubáze BprostoruV. Definice10.10 Lineárníoperátor F :V Vnareálném(komplexním) vektorovém prostoru V se nazývá diagonalizovatelný, pokud existuje báze B prostoruv,prokterouplatí,žematice[f] B operátoru Fvzhledemkbázi B je diagonální. Reálná(komplexní) matice A řádu n se nazývá diagonalizovatelná, pokud existuje regulární reálná(komplexní) matice P řádu n, pro kterou platí, že součinp 1 APjediagonálnímatice. Platítedy,želineárníoperátor F:V Vjediagonalizovatelnýprávě kdyžjediagonalizovatelnámatice[f] A tohotooperátoruvzhledemklibovolné bázi A prostoru V. Ne každá matice je ale diagonalizovatelná.
7 KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 182 Úloha 10.1 Dokažte, že matice není diagonalizovatelná. A= ( Řešení.PromaticiAplatíA 2 =0.Pokudbybyladiagonalizovatelná, existovalybyregulárnímaticepadiagonálnímaticedtakové,žep 1 AP= D. Potom by platilo D 2 =P 1 APP 1 AP=P 1 A 2 P=0, protorovněžd=0,atedya=pdp 1 =0,cožjespor.MaticeAproto není diagonalizovatelná. Následující tvrzení udává nutnou a postačující podmínku pro diagonalizovatelnost. Tvrzení10.11 Lineárníoperátor F :V Vnareálném(komplexním) vektorovém prostoru V je diagonalizovatelný právě když existuje báze prostoru V složená z vlastních vektorů operátoru F. Čtvercová(komplexní) matice A řádu n je diagonalizovatelná právě když existujebázeprostorur n (C n ),kterájesloženázvlastníchvektorůmatice A. Důkaz. Nejdříve dokážeme druhou část týkající se matic. Pokud je matice A diagonalizovatelná, existuje regulární matice P a diagonální matice D,prokteréplatíP 1 AP=D,neboliAP=PD.Označme λ λ 2 0 D= λ n ) Potom platí A[P 1 P 2 P n ]=[P 1 P 2 P n ] λ λ λ n
8 KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 183 Prokaždé k=1,2,...,ntakplatíap k = λ k P k.každýsloupcovývektorp k jetakvlastnímvektoremmaticeapříslušnýmvlastnímučíslu λ k. Matice P je regulární, její sloupcové vektory jsou proto lineárně nezávislé a tvořítakbáziprostorur n (C n ). Pokudnaopakexistujebázeu 1,...,u n prostorur n (C n )složenázesamýchvlastníchvektorůmaticea,platíprokaždé k=1,2,...,n,žeau k = λ k u k pronějakéskaláry λ k.označímep=[u 1 u 2 u n ],tatomaticeje regulární, protože sloupce jsou lineárně nezávislé. Dále označíme λ λ 2 0 D= λ n Stejnějakovpředchozíčástidůkazuukážeme,žepotomAP=PD,neboli P 1 AP=D,maticeAjeprotodiagonalizovatelná. Nyní dokážeme první část tvrzení. Předpokládejme, že operátor F: V Vjediagonalizovatelný.Nechť B:u 1,u 2,...,u n jebázeprostoruvtaková, žematice[f] B =(d ij )jediagonální.potomprokaždé i=1,2,...,nplatí F(u i )=d ii u i. Toznamená,žekaždývektorbáze Bjevlastnívektoroperátoru F. Je-linaopakbáze B=u 1,...,u n bázeprostoruvsloženázesamých vlastníchvektorůoperátoru F,existujeprokaždé i = 1,...,nskalár λ i takový,že F(u i )=λ i u i.označme λ λ 2 0 D= λ n Potomplatí[F] B =D,operátor Fjeprotodiagonalizovatelný. V první části posledního důkazu jsme dokázali rovněž následující jednoduchý důsledek. Důsledek Je-li A čtvercová matice řádu n a P regulární matice taková,žep 1 AP=D,pronějakoudiagonálnímaticiD,paknahlavní diagonále matice D jsou všechna vlastní čísla matice A. Následující tvrzení ukazuje postačující podmínku, kdy jsou nějaká matice nebo lineární operátor diagonalizovatelné.
9 KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 184 Tvrzení10.13 Jsou-li λ 1,...,λ m navzájemrůznávlastníčíslamaticea řádu nau i 0jevlastnívektormaticeApříslušnývlastnímučíslu λ i prolibovolné i=1,...,m,pakjeposloupnostvektorůu 1,...,u m lineárně nezávislá. Má-li matice A řádu n celkem n navzájem různých vlastních čísel, pak je diagonalizovatelná. Má-lilineárníoperátor F:V Vcelkem nnavzájemrůznýchvlastních čísel, pak je diagonalizovatelný. Důkaz.Kdůkazuprvníčástistačídokázat,žeprokaždé k=1,...,m, jsou vektoryu 1,...,u k lineárně nezávislé. Toto tvrzení zřejmě platí pro k=1,protoževektoru 1 0.Pokudje k=2,...,m,takbudemepředpokládat,žeposloupnostu 1,...,u k 1 jelineárněnezávisláadokážeme,že taképosloupnostu 1,...,u k jelineárněnezávislá. Nechť tedy platí a 1 u 1 + a 2 u 2 + +a k u k =0 pronějakéskaláry a 1,...,a k.potomtaké A(a 1 u 1 + a 2 u 2 + +a k u k )=a 1 λ 1 u 1 + a 2 λ 2 u 2 + +a k λ k u k =0. Rovněž platí λ k a 1 u 1 + λ k a 2 u 2 + +λ k a k u k =0. Odečtením posledních dvou rovností dostaneme tj. (λ 1 λ k )a 1 u 1 +(λ 2 λ k )a 2 u 2 + +(λ k λ k )a k u k =0, (λ 1 λ k )a 1 u 1 +(λ 2 λ k )a 2 u 2 + +(λ k 1 λ k )a k 1 u k 1 =0. Z lineární nezávislosti vektorů u 1,...,u k 1 a vzájemné různosti skalárů λ 1,...,λ k plyne a 1 = a 2 = =a k 1 =0,aprotomusíplatit a k u k =0. Protožeu k 0,dostávámetaké a k =0. Pokud má matice A celkem n navzájem různých vlastních čísel a jsou-li u i 0vlastnívektorypříslušnévlastnímčíslům λ i pro i=1,2,...,n,pakje posloupnostvektorůu 1,...,u n lineárněnezávislápodleprvníčástidůkazu atedybázíprostorur n (C n ).MaticeAjeprotodiagonalizovatelnápodle Tvrzení
10 KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 185 Tvrzení Čtvercová reálná(komplexní) matice A řádu n je diagonalizovatelná právě když pro každé vlastní číslo λ matice A platí, že algebraická násobnost λserovnádimenzinulovéhoprostorumaticea λi n,tj.číslu dim N(A λi n ). Důkaz. Je-li matice A diagonalizovatelná, existuje regulární matice P, pro kterou platí P 1 AP = D, kde D je diagonální matice. Na hlavní diagonálematicedjsouvlastníčísla λ 1, λ 2,...,λ n maticeapodledůsledku Budeme předpokládat, že přesně k z těchto vlastních čísel se rovná nějakému reálnému(komplexnímu) číslu λ, tj. že algebraická násobnostvlastníhočísla λserovná k.diagonálnímaticed λi n mápotom právě knulnahlavnídiagonále,jejíhodnostjeproto n k.protože A λi n =P(D λi n )P 1, mámaticea λi n takéhodnost n k.jejínulovýprostormáprotodimenzi k. Kdůkazuobrácenéimplikacebudemepředpokládat,že λ 1,...,λ t jsou všechna navzájem různá vlastní čísla matice A. Algebraickou násobnost vlastníhočísla λ i označíme m i pro i = 1,...,t.PodleZákladnívětyalgebry 10.3 platí m 1 + m 2 + +m t = n apodlepředpokladuomaticiadostáváme m i = dim N(A λ i I n )pro i=1,2,...,t. Vkaždémzpodprostorů N(A λ i I n )zvolímebázi Dokážeme, že posloupnost vektorů x i1,x i2,...,x imi. x 11,x 12,...,x 1m1,x 21,x 22,...,x 2m2,...,x t1,x t2,...,x tmt je lineárně nezávislá. Pokud pronějakéskaláry a ij,označíme t m i a ij x ij =0 i=1 j=1 m i y i = a ij x ij j=1
11 KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 186 pro i=1,...,t. Potomy i N(A λ i I n ),tj.y i jevlastnívektormaticeaodpovídající vlastnímučíslu λ i,prokaždé i=1,...,t.kromětoho y 1 +y 2 + +y t =0. Pokudbybylněkterýzvektorůy i 0,označilibychomsymbolem Jneprázdnoumnožinu {i=1,2,...,t:y i 0}.Zposlednírovnostibychom pak dostali y i =0, i J tj.vektoryy i pro i J bybylylineárnězávislé.protožejsoutovlastní vektory odpovídající různým vlastním číslům matice A, dostali bychom spor stvrzením10.13.protoy i =0prokaždé i=1,2,...,t. Protože m i 0=y i = a ij x ij avektoryx i1,...,x imi tvoříbázipodprostoru N(A λ i I n ),platí a i1 = a i2 = =a imi =0prokaždé i=1,...,t.posloupnostvektorů j=1 x 11,x 12,...,x 1m1,x 21,x 22,...,x 2m2,...,x t1,x t2,...,x tmt je proto skutečně lineárně nezávislá, a protože obsahuje n prvků, tvoří bázi prostorur n 1 (C n 1 ).ProstorR n 1 (C n 1 )takmábázisloženouzvlastních vektorů matice A, matice A je proto diagonalizovatelná podle Tvrzení Následující věta je často nazývána spektrální věta pro diagonalizovatelné matice. Věta10.15 ČtvercovámaticeAřádu nsespektrem σ(a)={λ 1,...,λ t } jediagonalizovatelnáprávěkdyžexistujímaticee 1,...,E t řádu n,prokteré platí 1.A=λ 1 E 1 + λ 2 E 2 + +λ t E t, 2.E 2 i =E iprokaždé i=1,2,...,t, 3.E i E j =0prolibovolnédvarůznéindexy i, j=1,2,...,t, 4.E 1 +E 2 + +E t =I n. Dále pro diagonalizovatelnou matici A platí, že
12 KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY maticeE i jsoujednoznačněurčenématicíaavlastnostmi1,2,3,4, 6.hodnostkaždézmaticE i serovnáalgebraickénásobnosticharakteristickéhočísla λ i, 7.je-li f(x)=c 0 +c 1 x+ c k x k libovolnýpolynomskomplexnímikoeficienty, pak platí f(a)=c 0 I n +c 1 A+ +c k A k = f(λ 1 )E 1 +f(λ 2 )E 2 + +f(λ k )E k, 8.nějakámaticeBkomutujesmaticíAprávětehdy,kdyžkomutujes každouzmatice i pro i=1,2,...,t. Důkaz.Označíme m i algebraickounásobnostvlastníhočísla λ i pro i= 1,2,...,t.ZdiagonalizovatelnostimaticeApakvyplýváexistenceregulární maticepřádu n,prokterouplatí λ 1 I m1 0 0 P 1 0 λ 2 I m2 0 AP= λ t I mt Označímepro i=1,2,...,tsymbolemd i matici,kteroudostanemez blokové matice na pravé straně poslední rovnosti tak, že nahradíme všechny výskytyvlastníhočísla λ i číslem1avýskytyostatníchvlastníchčísel λ j pro j ičíslem0.například I m2 0 D 2 = Potom platí I n = D 1 +D 2 + +D t, P 1 AP = λ 1 D 1 + λ 2 D 2 + +λ t D t, A = λ 1 PD 1 P 1 + λ 2 PD 2 P 1 + +λ t PD t P 1. PoložímeE i = PD i P 1 pro i = 1,2,...,tadostanemetakzetřetí rovnostivlastnost1.protožed 2 i =D i ad i D j =0prolibovolnérůzné
13 KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 188 indexy i, j=1,2,...,t,dostáváme E 2 i = PD i P 1 PD i P 1 =PD i P 1 =E i, E i E j = PD i P 1 PD j P 1 =PD i D j P 1 =0, E 1 + +E t = P(D 1 + +D t )P 1 =PI n P 1 =I n, což dokazuje vlastnosti 2, 3, 4. Abychom dokázali opačnou implikaci, budeme předpokládat, že pro maticiaexistujímaticee 1,...,E t splňujícípodmínky 1,2,3,4.Jakoprvní krok dokážeme, že platí S(E 1 + +E j )=S(E 1 )+ +S(E j ) prokaždé j=1,...,t.je-lix S(E 1 + +E j ),existujevektory C n 1 takový, že x=(e 1 +E 2 + +E j )y=e 1 y+ +E j y. JelikožE i y S(E i )prokaždé i=1,...,j,platí x=e 1 y+ +E j y S(E 1 )+ +S(E j ), proto S(E 1 + +E j ) S(E 1 )+ +S(E j ). K důkazu opačné inkluze předpokládejme, že x S(E 1 )+ +S(E j ). Existujítedyvektoryx i S(E i )pro i=1,...,jtakové,žex=x 1 + +x j. Zx i S(E i )plyneexistencevektoruy i C n 1,prokterýplatíx i =E i y i. Potom platí j j j j j j j ( E i )x = ( E i )( x i )= E i x k = E i E k y k = i=1 i=1 k=1 i=1 k=1 i=1 k=1 j j = E i y i = x i =x. i=1 i=1 Tímjedokázánaopačnáinkluze S(E 1 + +E j ) S(E 1 )+ +S(E j ). Dáledokážeme,žeprokaždé j=1,...t 1platí S(E 1 + +E j ) S(E j+1 )={0}.
14 KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 189 Pokudx S(E 1 + +E j ) S(E j+1 ),existujívektoryy,y j+1 C n 1 takové, že x=(e 1 + +E j )y=e j+1 y j+1. Ztétorovnostiazpodmínek 2,3dostáváme j x=e j+1 y j+1 =E j+1 E j+1 y j+1 =E j+1 (E 1 + +E j )y= E j+1 E i y=0, i=1 čímžjerovnost S(E 1 + +E j ) S(E j+1 )={0}dokázána. Ztétorovnosti,zdřívedokázanérovnosti S(E 1 + +E t )=S(E 1 )+ +S(E t ),aopakovanýmpoužitímtvrzení6.22pakdostaneme n = dim S(I n )=dim S(E 1 + +E t 1 +E t )= = dim(s(e 1 )+ +S(E t 1 )+S(E t ))= = dim(s(e 1 + +E t 1 )+S(E t ))= = dim S(E 1 + +E t 1 )+dim S(E t ) dim(s(e 1 + +E j ) S(E j+1 ))= = dim S(E 1 + +E t 2 +E t 1 )+dim S(E t )=. = dim S(E 1 )+ +dim S(E t 1 )+dim S(E t ). Označíme n i =dim S(E i )pro i=1,...,t.vkaždémzpodprostorů S(E i )zvolímebázix i1,...,x ini.posloupnostvektorů x 11,...,x 1n1,x 21,...,x 2n2,...,x t1,...,x tnt generujepodprostorc n 1,kterýobsahujekaždýzpodprostorů S(E i )pro i=1,2,...,t,atedytakéjejichsoučet S(E 1 )+ +S(E t )=S(E E t )=S(I n )=C n 1.Vposloupnostijecelkem n 1 + +n t =dim S(E 1 )+ +dim S(E t ) = nprvků,aprotožegenerujeprostorc n 1,kterýmá dimenzi n, musí být rovněž lineárně nezávislá podle Tvrzení 6.9, a tedy bázeprostoruc n 1. Sloupcový prostor matice Q=[x 11 x 1n1 x 21 x 2n2 x t1 x tnt ] máprotodimenzi namaticeqjetakregulární.protožei n =Q 1 Q,platí podle druhé části Tvrzení 3.7 e k =I k =Q 1 Q k
15 KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 190 prokaždé k=1,...,n.připomeňme,žee k označuje k-tývektorstandardní bázeprostoruc n 1. Protožex il S(E i ),existujevektory il C n 1,prokterýplatíx il = E i y il.potomplatí E i x il =E i E i y il =E i y il =x il, zatímcoprokaždé j i, j {1,2,...,t},platípodlepodmínky 3 E j x il =E j E i x il =0x il =0. Dokážemenyní,žesoučinQ 1 AQjediagonálnímatice.Rovná-lise k-tý sloupcovývektormaticeqvektorux il,dostávámesvyužitímpodmínky1, že t t (Q 1 AQ) k = Q 1 AQ k =Q 1 ( λ j E j )x il =Q 1 λ j E j x il = j=1 j=1 = Q 1 λ i E i x il =Q 1 λ i x il = λ i Q 1 Q k = λ i e k. Prokaždé k =1,...,ntakplatí,ževk-témsloupcisoučinuQ 1 AQje jediný případně nenulový prvek na hlavní diagonále(a rovná se jednomu z vlastníchčísel λ i, i=1,...,t).maticeq 1 AQjeprotodiagonálníamatice A je diagonalizovatelná. Zbývá dokázat, že pro každou diagonalizovatelnou matici A platí vlastnosti 5,6,7,8.ProtožematiceD i máhodnost m i,mátutéžhodnosti maticee i =PD i P 1,coždokazuje6. S použitím vlastností 2, 3, 4 můžeme spočítat A 2 = (λ 1 E 1 + λ 2 E 2 + +λ t E t )(λ 1 E 1 + λ 2 E 2 + +λ t E t )= t t t = λ i E i λ j E j = λ 2 ie 2 i= λ 2 ie i. i,j=1 i=1 Jestliže nyní předpokládáme, že pronějaké l 2,pakdostáváme,že i=1 t A l = λ l ie i i=1 A l+1 = (λ 1 E 1 + λ 2 E 2 + +λ t E t )(λ l 1E 1 + λ l 2E 2 + +λ l te t )= t t t t = λ i E i λ l je j = λ l+1 i E 2 i= λ l+1 i E i. i=1 j=1 i=1 i=1
16 KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 191 Protože rovněž A 0 =I n =E 1 + +E t = λ 0 1E 1 + +λ 0 te t, rovnost t A l = λ l ie i i=1 platí pro každé nezáporné celéčíslo l.prokaždé číslo j = 0,...,k tak dostáváme t c j A j = c j λ j i E i i=1 atedy k k t t k t f(a)= c j A j = c j ( λ j i E i)= ( c j λ j i )E i= f(λ i )E i. j=0 j=0 i=1 i=1 j=0 i=1 AbychomdokázalijednoznačnostmaticE 1,...,E t splňujícíchpodmínky 1,2,3,4,budemepředpokládat,že A=λ 1 F 1 + λ 2 F 2 + +λ t F t, kdef 1 + +F t =I n,f i F i =F i af i F j =0prolibovolné i j, i, j {1,2,...,t}.Potom Protopro i jdostáváme E i A=AE i = λ i E i, F j A=AF j = λ j F j. λ j E i F j =E i (AF j )=(E i A)F j = λ i E i F j, proto(λ i λ j )E i F j =0,neboliE i F j =0.Můžemetakspočítat,žeplatí t t E i =E i I n =E i ( F j )=E i F i =( E j )F i =I n F i =F i j=1 j=1 prokaždé i=1,...,t.tímjedokázánajednoznačnostmatice i,tj.podmínka 5. Zbývá dokázat podmínku 8. Z podmínky 1 okamžitě vyplývá, že pokud maticebkomutujesevšemimaticemie i pro i=1,...,t,komutujerovněž s maticí A. Abychom dokázali opačnou implikaci, vyjádříme každou matici E i jakopolynomvmaticia.označme g(x)=(x λ 1 )(x λ 2 ) (x λ t )
17 KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 192 a g i (x)= g(x) x λ i pro i=1,...,t.polynom p i (x)mástupeň t 1akořeny λ j pro j i.podle vlastnosti 7 platí g i (A)=g i (λ 1 )E 1 + +g i (λ t )E t = g i (λ i )E i. Označíme-li c i = g i (λ i ) 0,dostanemeže E i = c 1 i g i (A). PokudtedymaticeBkomutujesmaticíA,komutujetakéskaždoumaticí g i (A)=E i pro i=1,...,t. c 1 i Cvičení 10.2 Zjistěte pro několik matic A, jsou-li diagonalizovatelné, pokudano,najděteregulárnímaticip,prokterouplatí,žep 1 APjediagonální matice, a najděte spektrální rozklad matice A. Unitární podobnost Dále se budeme zabývat otázkou, kdy pro diagonalizovatelnou matici A řádu nexistujeortogonálnímaticep,prokterouplatí,žep 1 APjediagonální matice Nebo jinak řečeno, kdy existuje ortonormální báze prostoru C n 1 tvořenávlastnímivektorymaticea. Definice Říkáme, že komplexní čtvercová matice A řádu n je unitárně diagonalizovatelná, pokud existují unitární matice P a diagonální maticed,prokteréplatíp 1 AP=D. Připomeňmesi,žečtvercovámaticePjeunitárníprávěkdyžP 1 =P. Tvrzení Je-li komplexní matice A řádu n unitárně diagonalizovatelná,pakplatíaa =A A. Důkaz. Jestliže existují unitární matice P a diagonální matice D, pro kteréplatíp AP=D,pakpřechodemkekomplexněkonjugovanýmmaticímdostanemerovněžP A P=D.ProtožeprodiagonálnímaticiDplatí D D=DD,dostávámepostupně P AP P A P=DD = D D=P A P P AP P AA P = P A AP AA = A A.
18 KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 193 Definice Komplexní čtvercová matice A se nazývá normální, pokud platía A=AA. Třída normálních matic je velmi široká, jak se můžete přesvědčit v následujícícm cvičení. Cvičení 10.3 Dokažte, že všechny matice následujících typů jsou normální: hermitovské matice, kosohermitovské matice, reálné symetrické matice, reálné kososymetrické matice, unitární matice, ortogonální matice, diagonální matice,všechnymaticetvarup AP,kdeAjenormálnímaticeaPjeunitární matice. Lemma10.19 Je-liAnormálnímaticeaxvlastnívektormaticeApříslušnývlastnímučíslu λ,pakjextakévlastnívektormaticea příslušný vlastnímu číslu λ. Důkaz. Především si všimněme, že je-li A normální matice, pak pro každé komplexní číslo λ platí (A λi n ) (A λi n ) = (A λi n)(a λi n )= = A A λa λa+λλi n = = AA λa λa + λλi n = = (A λi n )(A λi n ). MaticeA λi n jeprototakénormální. Je-linyníx 0vlastnívektormaticeAodpovídajícívlastnímučíslu λ, pakoznačímeb=a λi n.platítedyb B=BB abx=0.označíme dáley=b x.potomplatí 0=(Bx) (Bx)=x B Bx=x BB x=y y. Odtudplyne,žey=0,tj.0=B x=(a λi n )x,tj.a x=λx.vektor xjetakvlastnívektoremmaticea odpovídajícímvlastnímučíslu λtéto matice. Tvrzení Je-li A normální matice, pak vlastní vektory odpovídající různým vlastním číslům matice A jsou ortogonální. Důkaz.Předpokládejmenyní,že λ 1, λ 2 jsoudvěrůznávlastníčíslamaticeaax 1,x 2 jsoujimodpovídajícívlastnívektory.právějsmedokázali, žepakrovněža x 1 = λ 1 x 1.Spočítámedále,že λ 1 x 1x 2 =(λ 1 x 1 ) x 2 =(A x 1 ) x 2 =(x 1A)x 2 =x 1(Ax 2 )=λ 2 x 1x 2.
19 KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 194 Protože λ 1 λ 2,plyneodtudx 1 x 2=0,tj.vektoryx 1 ax 2 jsouortogonální. Věta Komplexní matice A řádu n je unitárně diagonalizovatelná právě když je normální. Důkaz. Každá unitárně diagonalizovatelná matice A je normální podle Tvrzení Je-li naopak matice A normální, pak každý vlastní vektor x matice AjesoučasněvlastnímvektoremmaticeA.Zvolímetedyvlastnívektor x 1 jednotkovédélkymaticeapříslušnývlastnímučíslu λ σ(a).podle Lemma10.19jex 1 rovněžvlastnívektormaticea příslušnývlastnímu číslu λ.označímeu 1 = L(x 1 ) = {y C n 1 :y x 1 =0},ortogonálnídoplněkvektorux 1 vprostoruc n 1.Dokážeme,žeprokaždývektory U 1 platí,žetakéay U 1.Skutečně, (Ay) x 1 =(y A )x 1 =y (A x 1 )=y λx 1 =0. Podobnědokážeme,žetakéA y U 1. Lineární zobrazení F(y) = Ay je tedy lineární operátor na prostoru U 1.PodleTvrzení10.9existuje(jednotkový)vlastnívektorx 2 lineárního operátoru F,tj. λ 2 x 2 = F(x 2 )=Ax 2. Vektorx 2 jetakvlastnímvektoremmaticeaatedyimaticea.označíme U 2 = L(x 1,x 2 ).StejnějakovpřípaděprostoruU 1 dokážeme,žeprokaždý vektory U 2 platíjakay U 2 takia y U 2. ProstorU 2 jetakinvariantnímpodprostoremoperátoru F,existujetedy jednotkovývlastnívektorx 3 U 2 operátoru Fodpovídajícívlastnímučíslu λ 3,atd. Taktopostupněsestrojímeortonormálníposloupnostx 1,x 2,...,x n tvořenou vlastními vektory matice A. Pro unitární matici P=[x 1 x 2 x n ] pakplatíap=pd,kdedjediagonálnímaticeobsahujícínahlavnídiagonálepostupněvlastníčísla λ 1, λ 2,...,λ n.maticeajeprotounitárně diagonalizovatelná. Důsledek10.22 Je-liAnormálnímaticeaA=λ 1 E 1 +λ 2 E 2 + +λ t E t spektrálnírozkladmaticeapodlevěty10.15,pakvšechnymaticee i jsou
20 KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 195 hermitovsképro i=1,...,t.obráceně,je-liadiagonalizovatelnákomplexní maticeavšechnymaticee i vespektrálnímrozkladua=λ 1 E 1 + +λ t E t jsou hermitovské, pak je matice A normální. Důkaz.Je-liAnormální,pakA=PDP 1 pronějakouunitárnímatici PadiagonálnímaticiDpodleVěty10.21.MaticeE i =PD i P 1 =PDP sestrojené v důkazu Věty jsou potom hermitovské. Obráceně,jsou-livšechnymaticeE i vespektrálnímrozkladua=λ 1 E 1 + +λ t E t hermitovské,pakrovněž A = λ 1 E 1 + +λ 1 λ t E t jespektrálnírozkladmaticea.potom coždokazuje,žeajenormální. AA = λ 1 λ 1 E 1 + +λ t λ t E t =A A, Tvrzení10.23 Je-liA C m n (R m n )komplexní(reálná)matice,pak každévlastníčíslomaticea A(A T A)jenezápornéreálnéčíslo. Důkaz.Je-liAkomplexnímatice,paksoučinA Ajehermitovskámaticeřádu n.je-litoreálnámatice,paksoučina T Ajesymetrickámatice řádu n.voboupřípadechjsouvšechnavlastníčíslamaticea A(A T A) reálná podle Tvrzení Je-li λnějakévlastníčíslomaticea Aax 0vlastnívektorodpovídající λ,pakplatía Ax=λx.Vynásobímetutorovnostzlevavektoremx a dostaneme Ax 2 =x A Ax=λx x=λ x 2, odkud vyplývá λ= Ax 2 x 2 0. VpřípaděreálnématiceAplatíA =A T,protorovněž λ 0prokaždé vlastníčíslo λmaticea T A. Dále si ještě ukážeme následující tvrzení. Tvrzení10.24 Prokaždoureálnou(komplexní)maticiAtvaru m nplatí rank(a T A)=rank(A)=rank(AA T ),(rank(a A)=rank(A)= rank(aa )),
21 KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 196 S(A T A)=S(A T ),(S(A A)=S(A )), S(AA T )=S(A),(S(AA )=S(A)), N(A T A)=N(A),(N(A A)=N(A)), N(AA T )=N(A T ),(N(AA )=N(A )). Důkaz. Dokážeme pouze reálnou část tvrzení, komplexní část se dokážeanalogicky,pouzevšudenahradímetransponovanoumaticia T maticí A. Nejdřívedokážeme,že N(A T ) S(A)={0}.Je-lix N(A T ) S(A), pakplatía T x=0asoučasněx=aypronějakývektory R n 1.Odtud plynex T x=y T A T x=0aprotox=0.ztvrzení6.19pakplyne rank(a T A)=rank(A) dim N(A T S(A))=rank(A). Zaměníme-liroleA T aa,dostanemerovněž rank(aa T )= rank(a T )= rank(a). Kdůkazudruhéčástitvrzenísinapředvšimněme,že S(A T A) S(A T ). Protože dále dim S(A T A)=rank(A T A)=rank(A)=rank(A T )=dim S(A T ), vyplýváodtudrovnost S(A T A)=S(A T ).Třetíčásttvrzeníihnedvyplývá zdruhé,zaměníme-liroleaaa T. Kdůkazučtvrtéčástiopětstačíuvědomitsi,že N(A) N(A T A),a dále dim N(A)=n rank(a)=n rank(a T A)=dim N(A T A). Proto N(A)=N(A T A).Posledníčásttvrzeníopětihnedvyplývázpředchozí,pokudzaměnímeroleAaA T. Věta Předpokládáme, že A je reálná(komplexní) matice tvaru m n ahodnosti r.potomexistujíreálnádiagonálnímaticed r r řádu raortogonální(unitární)maticeuřádu mavřádu ntakové,žeplatí A=U ( Dr r ) V T, (A=U ( Dr r ) V ).
22 KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 197 Důkaz. Dokážeme pouze část týkající se komplexních matic. Pro reálné matice se věta dokáže analogicky. MaticeA Ajenormální,neboť (A A) A A=A AA A=A A(A A). PodleVěty10.21jematiceA Aunitárnědiagonalizovatelná,existujetedy podle Věty unitární matice V řádu n taková, že V (A A)V=D, kdedjediagonálnímaticesnezápornýmireálnýmičísly λ i (vlastníčísla maticea A)nahlavnídiagonále.Protože rank(a A)= rank(a)=r, můžemepředpokládat,že λ i >0pro i=1,...,raλ i =0pro i=r+1,...,n. Označíme σ i = λ i pro i=1,...,na u i = Av i σ i pro i=1,...,r.potomplatíprokaždédvaindexy i, j {1,2,...,r} u ju i = v j A σ i Av i σ i = v j A Av i λ i = λ iv j v i λ i =v jv i = δ ij. Posloupnostvektorůu 1,...,u r jetakortonormální,protožeortonormální jeposloupnostvektorův 1,...,v n.můžemejiprotodoplnitdoortonormální bázeu 1,...,u k,u k+1,...,u m prostoruc m 1. OznačímeU=[u 1 u m ].Potompro i-týsloupecsoučinuu AVplatí [U AV] i =U Av i =U σ i u i. Prveknamístě(j, i)vsoučinuu AVseprotorovná [U AV] ji =[U ] j σ i u i =u jσ i u i = σ i δ ji. SoučinU AVjeprotodiagonálnímaticeD,prvkynahlavnídiagonáleD serovnají σ i = λ i,kde λ i jsouvlastníčíslasoučinua A.Odtudhned dostaneme(protožematiceuavjsouunitární),žea=udv. Číslům σ i >0seříkásingulárníhodnotymaticeA.JsouurčenéjednoznačněmaticíA,neboťzrovnostiA=UDV plyne V A AV=V A UU AV=D D=D 2.
23 KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 198 Druhémocninysingulárníchhodnot σ 2 i jsouprotovlastníhodnotysoučinu A A.Geometrickývýznamsingulárníchhodnotsiukážemevkapitoleo kvadratických formách. Jordanův kanonický tvar Diagonalizovatelné matice mají dobře pochopitelnou strukturu popsanou ve spektrální Větě Matice, které nelze diagonalizovat, nemají bázi složenou z vlastních vektorů, musí mít nějaké vícenásobné vlastní číslo λ, prokteréjedimenzenulovéhoprostoru N(A λi)menšínežalgebraická násobnost vlastního čísla λ. Takovou maticí je například následující matice řádu n, pokud platí n 2. J= λ λ λ λ λ λ Všechny prvky na hlavní diagonále se rovnají stejnému číslu λ, všechny prvky bezprostředně nad hlavní diagonálou se rovnají 1 a zbývající prvky matice J se rovnají 0. Charakteristický polynom matice J se rovná p(t)=(λ t) n a λjetakjedinýmvlastnímčíslemmaticea.maticej λi n jevřádkově odstupňovaném tvaru, její hodnost se rovná n 1 a její nulový prostor N(J λi n )máprotodimenzirovnou1.každývlastnívektormaticejje tvaru(0,0,...,x) T.MaticeJprotonenídiagonalizovatelná. Definice Matice J se nazývá Jordanova buňka řádu n příslušná vlastnímu číslu λ. Ukazuje se, že Jordanovy buňky jsou typickým příkladem nediagonalizovatelných matic. Platí totiž následující věta o Jordanově kanonickém tvaru. Jejídůkazjepracný,uvedemesijiprotobezdůkazu..
24 KAPITOLA 10. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY 199 Věta Pro každou čtvercovou matici A existuje regulární matice P taková, že J J P 1 AP= 0 0 J 3 0, J k kdekaždázmaticj i pro i=1,...,kjejordanovabuňkanějakéhořádu n i příslušnávlastnímučíslu λ i.čísla λ 1,...,λ k jsouvšechna,nikolivnutně různá,vlastníčíslamaticeaaplatídále n 1 + +n k = n.dvojice n i, λ i pro i=1,...,kjsoumaticíaurčenéjednoznačněažnapořadí. V případě diagonalizovatelné matice jsou všechny Jordanovy buňky stejnéhořádu1.
Vlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 15 Vlastní čísla a vlastní vektory V této a následujících kapitolách budeme zkoumat jeden z nejdůležitějších pojmů tohoto kurzu. Definice15.1 Buď A:V Vlineárnízobrazení,Vvektorovýprostornad tělesem
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
VíceLineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace
Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je
VíceVlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
Více[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
VíceCHARAKTERISTICKÉ VEKTORY
Kapitola 3 CHARAKTERISTICKÉ VEKTORY Nyní se budeme zabývat vlastnostmi matic lineárních zobrazení A: V V, kde V je vektorový prostor dimenze n Protože každý komplexní n -dimenzionální vektorový prostor
Více(2) [B] Nechť G je konečná grupa tvořena celočíselnými maticemi roměru 2 2 s operací násobení. Nalezněte všechny takové grupy až na izomorfizmus.
(1 [B] Nechť A : R 6 R 6 je lineární zobrazební takové, že A 26 = I. Najděte lineární prostory V 1, V 2 a V 3 takové, že R 6 = V 1 V 2 V 3 dim V 1 = dim V 2 = dim V 3 AV 1 V 1, AV 2 V 2 a AV 3 V 3 (2 [B]
VícePodobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak,
Podobnost matic Definice 84 Dány matice A, B M n (C) Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, že B = P 1 AP, pak říkáme, že matice B je podobná matici A a píšeme A B Takto zavedená binární relace
VíceDefinice : Definice :
KAPITOLA 7: Spektrální analýza operátorů a matic [PAN16-K7-1] Definice : Necht H je komplexní Hilbertův prostor. Řekneme, že operátor T B(H) je normální, jestliže T T = T T. Operátor T B(H) je normální
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
Více2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012
2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
Více1. Jordanův kanonický tvar
. Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
Více2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro
Cvičení 1 Základy numerické matematiky - NMNM201 1 Základní pojmy opakování Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro libovolný skalár α C následující podmínky:
VícePodobnostní transformace
Schurova věta 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci tak, aby se řešení úlohy
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceAVDAT Vektory a matice
AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x
Více2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC
.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
Vícea + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a
Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
Více11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16
11. Skalární součin a ortogonalita 11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita p. 2/16 Skalární součin a ortogonalita 1. Definice skalárního součinu 2. Norma vektoru 3.
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
VíceK2 7 E=. 2 1 Snadno zjistíme, že všechny nenulové násobky vektoru( 2, 1) jsou vlastními vektorymatice[ϕ]
. Vlastní čísla a vlastní vektory.. Uvažujme endomorfismus ϕ na reálném vektorovém prostoru R s maticí [ϕ] K = vzhledemkekanonickébázi K 6. (a) Najděte všechna vlastní čísla a všechny jim příslušné vlastní
VíceZdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
VíceSkalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.
Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Více1 Vektorové prostory a podprostory
Pro nahrazení účasti v jednotlivých cvičeních (resp. pro studenty kombinované formy) je dostačující vypracování a odevzdání tučně vyznačených příkladů. 1 Vektorové prostory a podprostory Definujte vektorový
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
Více9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
Více2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice
26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť
VíceVšechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních
VíceMatematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
Více)(x 2 + 3x + 4),
3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
Více19. Druhý rozklad lineární transformace
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Úmluva. Všude P = C. Vpřednášce o vlastních vektorech jsme se seznámili s diagonalizovatelnými
VíceNěkolik aplikací. Kapitola 12
Kapitola 12 Několik aplikací Diskrétní a rychlá Fourierova transformace Diskrétní Fourierova transformace spočívá ve změně reprezentace polynomu s koeficienty v nějakém tělese T Obvyklá reprezentace polynomu
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceLineární algebra : Lineární zobrazení
Lineární algebra : Lineární zobrazení (6. přednáška František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 20. května 2014, 22:40 1 2 6.1 Lineární zobrazení Definice 1. Buďte P a Q dva lineární prostory
VíceSymetrické a kvadratické formy
Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
VíceKapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Vícea vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.
Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VíceNALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
VíceKapitola 5. Symetrické matice
Kapitola 5 Symetrické matice Symetrické matice mají mezi všemi maticemi významné postavení. Nejen, že se častěji vyskytují v aplikacích, ale i jejich matematické vlastnosti jsou specifické. V této kapitole
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceLineární algebra : Báze a dimenze
Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VíceLineární (ne)závislost
Kapitola 6 Lineární (ne)závislost Také tuto kapitolu zahájíme základní definicí. Definice 6.1 Předpokládáme, že V je vektorový prostor nad tělesem T. Říkáme, že posloupnost vektorů x 1, x 2,..., x n prostoru
Více1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
Víceftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/
Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
Vícez textu Lineární algebra
2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
VíceKapitola 11: Vektory a matice 1/19
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceFREDHOLMOVA ALTERNATIVA
FREDHOLMOVA ALTERNATIVA Pavel Jirásek 1 Abstrakt. V tomto článku se snažíme shrnout dosavadní výsledky týkající se Fredholmovy alternativy (FA). Postupně zmíníme FA na prostorech konečné dimenze, FA pro
VíceVĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
Více12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25
12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant
Víceα 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0
Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceSoustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceSoučin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak
VíceP 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =
1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
Více1. Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů 1.1. Motivace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrické matice 1 1 A = 1 2.
. Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů.. Motvace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrcké matce A = A λe = λ λ = λ 3λ + = λ 3+ λ 3 Vlastní čísla jsou λ = 3+, λ = 3. Pro tato vlastní čísla nalezneme
VíceAfinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
VíceFakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
Více