Vbodě ajsmevčase t=0ahodnoty fsevtéchvíliměnírychlostí. [(h 2 +k 2 )t 2 +(2h+4k)t+5]

Transkript

1 Funkce více proměnných: 2. Derivce Ufunkcíjednéproměnnémáderivcefunkce ftrdičnívýkld.je-lidáno =,pk derivce f ()udávásměrnicitečnkegrfu fvodpovídjícímbodě. Vplikcíchje pkásdnídlšíinterpretce,hodnot f ()udává,jkrchlesebudefunkce fměnit ( grf růst či klest), pokud procháíme proměnnou přes bod. Žádná těchto interpretcí neobstojí u funkcí více proměnných. Je to jsné již obráku funkce dvou proměnných, pokud volíme bod stojíme v odpovídjícím místěngrfu,pknenívůbecjsné,cojetotečn.notáku,jkrchlegrfrosteči klesá, pokud projdeme proměnnou přes, je odpověď tké jevná: Záleží n tom, kud půjdeme, protože n rodíl od situce s jednou proměnnou teď máme úžsnou svobodu volb. Zároveň jsme le dostli inspirci k jednomu klíčových pojmů. Pokud nám někdo řekne,kterýmsměremse vdt,pkužmáotáknrchlostrůstugrfusmsl. Uvžujmefunkci f(,)= 2 + 2,jsmevbodě =(1,2).Cosestne,kdžsevdáme vurčitémsměru u=(h,k)? Pohbujemesenpřímce(,)=(1,2)+t(h,k),přitompotkávámefunkčníhodnot f(1+th,2+tk)=(1+th) 2 +(2+tk) 2 =(h 2 +k 2 )t 2 +(2h+4k)t+5. Vbodě jsmevčse t=0hodnot fsevtéchvíliměnírchlostí [(h 2 +k 2 )t 2 +(2h+4k)t+5] t=0 =2t(h 2 +k 2 )+(2h+4k) t=0 =2h+4k. Geometrick, grf funkce f jsme říli svislou rovinou tento ře pk předstvuje jednoroměrnou situci, kde již derivci spočítáme sndno. k k 0 u Problém ovšem je, že toto číslo nedává směrnici tečn ve směru. Vektor u udává nejen směr, le tké rchlost pohbu podél oné přímk, rchlost měn funkce je vlstněpodíl, beresevhledemkrchlosti, sjkouseměníproměnná. Mocseo tomnemluví,leutomticksetoberetk,žesepoose pohbujemerchlostí1, pk oprvdu derivce má jímvé geometrické souvislosti(směrnice tečn). Pokud 1 u

2 ted chceme, b i nše pontk o chování funkce n řeu bl komptibilní, musíme vždovt, b se směr dávl pomocí vektorů velikosti 1. Získná derivce pk dává informce, které od ní čekáme. Předstvmesinpříkld, žesechcemevdtbodu vesměru( 1,1). Pokud bchompoužilivýpočetvýše, všlbderivcenřeurovn2, cožnámříká, že funkcevesměru( 1,1)ubodu roste,levlstněnevímepřesnějkrchlepohledu celéhogrfu,vhledemkosám,. Nštěstívíme,žestčípoužítvektor u= ( 1,1) ( 1,1) = 1 2 ( 1,1). Podlevýpočtuvýše 1 dostáváme,ževtomtosměrusegrffunkceměnírchlostí 2 ( 2+4)= 2.Totouž je geometrick výnmná informce, npříkld jistíme, že v tomto směru grf svírá s vodorovnourovinouúheldnýrctg( 2). Definice. Nechť fjefunkcedefinovnánnějkémokolíbodu IR n.nechť ujevektorir n. Řekneme, že funkce f je diferencovtelná v bodě ve směru u, jestliže limit lim t 0 ( f( +t u) f( ) t ) konverguje. Pkdefinujeme(směrovou)derivci fvbodě vesměru ujko ( f( +t u) f( ) ) D u f( )=lim. t 0 t Definicejevedenproobecnésměr u,protožejsouplikce,kdetomásmsl,při geometrických výpočtech směr normliujeme jko v příkldě výše. Nejjednodušší pohb je ve směru určité souřdnice, npříkld rovnice pro pohb ve směruos je = +t e 1 neboli =( 1 + t, 2,..., n ),tedderivujemefunkci t f( 1 +t, 2,..., n )podle tvčse t 0.Prktickvtotonmená,žeuvžujeme funkci f(, 2,..., n ),kdeseměníjenprvnísouřdniceosttníjsoupevněvolená číslnebolikonstnt,tuderivujemepodle vbodě = 0. Podobně sndno derivujeme i v osttních směrech. Vrtímesekonomuprboloiduvýše.Pokudsechcemebodu =(1,2)pohbovtve směruos,pkpotřebujemsměrovývektor u=(1,0)podlevýpočtůvýšedostáváme hodnotu derivce 2. Jkdopdnelterntivnípřístup?Vefunkcif(,)sivememejkokonstntu=2 výslednoufunkcif(,2)= 2 +4derivujemepodle.Dostneme2,dosdíme=1 mámeshodnývýsledek2.podobněsndnoderivujemevesměruos,kd dáme příslušnou konstntu výslednou funkci derivujeme podle blé proměnné : [f(1,)] =[1+ 2 ] =2. Po dosení = 2 máme správnou hodnotu, stejně jko kdbchom derivovli ve směru u=(0,1)tímobecnýmpůsobem. Jehnedvidět,žetktosndnoískámederivceobecněvlibovolnémbodě =( 0, 0 ), npříkldvesměru tdrivcevcháíderivovánímfunkce ,kdeteď 0 je 2

3 konstnt(nenámé,lepevněvolenéčíslo),vcháí2,tedderivcevbodě( 0, 0 ) vesměruos je2 0. Vprisetnulknepíšou,prostěseprohlásí,žederivce f(,)= vesměru je2mslísetímvlibovolnémbodě(,),podobněderivcevesměruos je2. Tto směr jsou nejdůležitější ároveň se tkovéto derivce počítjí nejsnáe, není divu, že mjí speciální jméno. Definice. Nechť fjefunkcedefinovnánnějkémokolíbodu IR n. Uvžujmejednotkovévektor e i vesměrusouřdnicovýchos, e 1 =(1,0,0,...,0), e 2 =(0,1,0,...,0),..., e n =(0,0,0...,1). Pro i=1,...,ndefinujemeprciálníderivci fvhledemk i jko i ( )=D ei f( ),pokudttoeistuje. Uvžujmefunkci f(,,)= 2 +sin( 3 +2). Prciální derivci podle ískáme tk, že si předstvujeme, že jsou nějká konkrétníčísl,třeb 2π.Pkbchomderivovli [ 2 2+sin( π)] =2 2+0, protožesin( π)ječíslonebolikonstnt,prototké =2. Obdobněsiproprciálníderivcipodle můžemepředstvit,ženmísto jsou konstnt,třeb 5π,počítáme [ 5 2 +sin( 3 +2π)] = 5 2 +cos( 3 +2π) 3 2 neboli = 2 +cos( 3 +2) 3 2. Smořejmě kušený borec si čísl nepíše, jen se nučí dobře předstírt, že někde je konstnt,trochusitoromslí.ještěchbíderivcepodle,ntosibereme jkokonstnt,pkjeovšemcelýčlen 2 konstntní.proto =0+cos(3 +2) 2. Prciálníderivcedáváinformceotom,jksefunkcemění(grffunkcevpdá)v klíčových směrech. 3

4 0 Zdálobse,žesivosttníchsměrechfunkcemůžeděltcochce,tojeprvd.Pokud ovšem po funkci f poždujeme, b se neláml, pk tuto svobodu trácí. Poněkud převpivě stčí docel málo, b bl růst klesání funkce ve všech směrech jednončně dán tím, jk se funkce chová ve směrech souřdnicových os. Vět. Nechť fjefunkcedefinovnánnějkémokolíbodu IR n. Jestližeeistujenějkéokolí U= U( )tkové,ženněmprovšechn i=1,...,n eistují i ( )jsouspojitév,pkmá fv derivcevevšechsměrechprokždé upltí D u f( )= n k=1 i ( ) u i. Prciální derivce nesou mnoho informcí, bchom s nimi mohli prcovt, vádí se speciální nčení. Definice. Nechť fjefunkcedefinovnánnějkémokolíbodu IR n. Jestližeeistujívšechnprciálníderivce i ( )pro=1,...,n,pkdefinujemegrdient fv jkovektor ( f( )= ( ),..., ) ( ). 1 n Jedobrésiuvědomit,žegrdientjevektorIR n,tedvnímámejejjkoobjekte svět definičního oboru funkce, n smbolickém grfu jej vidíme v rámci vodorovného náornění D(f). Pokud je funkce tk pěkná, jko v předchoí větě(což rohodně pltí pro funkce definovné pomocí vorce s elementárními funkcemi, ted většinu funkcí, které ve škole potkáme), tk se ávěr vět dá elegntně npst pomocí sklárního součinu jko D u f( )= f( ) u. Uvžujmese f(,) = Prciálníderivcejsmejižpočítli, tudížhrvě dostávámegrdient f(,)=(2,2). Vbodě =(1,2)pk f(1,2)=(2,4)vorecdává D u f(1,2)= f(1,2) (h,k)= 2h+4k,přesnějkjsmetomělivýševýpočtempodledefinice. 4

5 Grdient v sobě skrývá jímvé informce. Grdient spád. Předstvmesi,žejsmevbodě,sedímengrfurohlížímese,jktenpovrch vpdá. Podle toho, kterým směrem se díváme, tk stoupá či klesá, rchlost stoupání čiklesáníjedánsměrovouderivcí. Jinkřečeno,jedánvýrem f( ) u,kde u jsou jednotkové vektor. Podle námého vorce pltí f( ) u= f( ) u cos(α)= f( ) cos(α), kdecos(α)jeúhelmeivektor f( ) u. Vidíme,žestoupámenejrchleji,pokudsevdámetk,bcos(α)=1,cožjepro α = 0 neboli v směru grdientu. Tím dostáváme první jímvý pontek: Grdient f( )udávásměrnejvětšíhorůstufunkcevbodě,funkcetmroste rchlostí f( ). Obdobně odvodíme, že přesně v opčném směru f( ) se njdeme směr největšího spádu. Je dobré si připomenout, že v těchto úvhách vidíme vektor f( ) v rámci definičního oboru D(f)n vodorovnémútvru vgrfu,hnedubodu (viobráekníže). Grdient vrstevnice. Jsmestálevbodě sedímengrfu. Tímtobodemjistěprocháínějkáúroveň, jmenovitě úroveň c = f( ), tudíž tké bod leží n příslušné hldině konstntnosti(což jekřivkvdefiničnímoboru).pokudsevdámebodu přesnětímsměrem,kterým v té chvíli vede tto hldin konstntnosti, ončme jej u, pk oprávněně čekáme, žesehodnotfunkcelespoňchvílinemění. Tonmená, že D u f( ) = 0neboli f( ) cos(α)=0neboli α= π 2. Jinými slov, směr, kterým bodu vcháí hldin konstntnosti, je kolmý n směr nejvššího růstu dný grdientem. Grdient f( ) je vžd kolmý n hldinu konstntnosti procháející bodem. Toto je velice užitečné, pomocí grdientu odvoujeme rovnice růných užitečných útvrů. Grdient tečn, proimce Jižjsmesiříkli,žeprofunkcivíceproměnnýchnemásmslmluvitotečně. Kdž si le předstvíme grf funkce dvou proměnných, npdne nás, že b mohl eistovt tečná rovin. Pro funkce tří proměnných pk eistuje tečný tříroměrný prostor td. Jkjenjdeme? Tím,žesenchvílioprostímeodgeometriepodívámesentečn 5

6 nltick. Víme,žetečnvbodě jetkovápřímk,kteránejlépeevšechpřímek proimuje chování f okolo bodu, f() f()+f ()( ). Jkbchomconejlépeproimovlihodnotfunkce f(,)okolobodu =( 1, 2 )? Předstvmesi,žesenějokousíčekposuneme,jmenovitěovektor u=(h,k).jkse mění funkce? Nmístopohbujkobdigonálníhosedostejnéhomíst( 1 +h, 2 +k)dostneme, pokudnejprvepopojdemeohpodélos pkokpodélos.tenprvnípohbje ovšem jednoroměrná áležitost, měníme jednu proměnnou, tm už odhdnout měnu funkce umíme, použijeme derivování v příslušném směru: f( 1 +h, 2 ) f( )+ ( )h. Zbodu( 1 +h, 2 )seteďposunemevesměruos obdobněodhdujeme Dáme to dohromd: f( 1 +h, 2 +k) f( 1 +h, 2 )+ ( 1+h, 2 )k. f( 1 +h, 2 +k) f( )+ ( )h+ ( 1+h, 2 )k. h k V obráku jsou hodnot použité při proimci výrněn kolečk, tímco správná hodnot kroužkem. Tečkovné přímk jsou jednotlivé tečn ve směru os použité při proimci. Pokud je funkce f dosttečně pěkná, tk se při pohbu o oprvdu miniturní kousek nestčíderivce přílišměnit,onenposunohnedbámedostneme f( 1 +h, 2 +k) f( )+ ( )h+ ( )k. Jink psáno, f(,) f( )+ ( )( 1)+ ( )( 2). 6

7 Výrnprvéstrněoprvdudefinujerovinujetopřesnět,kteroujsmehledli. Její rovnice je = f( )+ ( )( 1)+ ( )( 2) neboli ( )+ ( ) = d. Jetotedrovindnánormálovýmvektorem ( ( ), ( ), 1) Obdobná úvh pltí i ve více roměrech, máme odhd tečnou ndrovinu T( )=f( )+ f( ) f( )+ n i=1 n i=1 i ( )( i i ) i ( )( i i )=f( )+ f( ) ( ). I de se íská stndrdní tvr rovnice ronásobením. Jestliže f( )rošířímeojednusouřdnicinvíc,jmenovitěpřidáme 1jko n+1- souřdnici, dostneme vektor kolmý n tečnou ndrovinu ke grfu v bodě. f Uvžujme f(,)= bod(1,2).njdemetečnoundrovinukegrfuvtomto bodě. Spočítlijsmevýšeže f(1,2)=(2,4).normálovývektorkegrfujetednpříkld n=(2,4, 1). Skrjkýbodmátečnárovinjít?Protože f(1,2)=5,jetobod(1,2,5).mámebod normálový vektor, toho npíšeme rovnici rovin sndno: 0= n ( (,,) (1,2,5) ) =2( 1)+4( 2) ( 5) = 2+4 =5. Alterntiv: Tečnárovinmávhledemk f(1,2)rovnici2+4 + A = 0. Dosenímbodu(1,2,5)dostneme2+8 5+A=0ted A= 5,odtud2+4 5=0. Závěr:Tečnárovinkegrfu fvbodědném =(1,2)márovnici2+4 =5. Jké ještě informce nám dává grdient? 7

8 Funkceporostenejrchleji,pokudsebodu(1,2)vdámevesměru(2,4)nebolive směru(1, 2)(kždý kldný násobek má stejný směr), rchlost růstu funkce pk bude f(1,2) = (2,4) = 20=2 5. Bod(1,2) D(f)ležínhldiněkonstntnosti f(1,2)=5nebolinkružnicidné rovnicí =5. Vbodě(1,2)jevektor f(1,2)=(2,4)kolmýntutokřivku, dík čemuž hrvě ískáme rovnici tečn k této křivce: 0= f(1,2) ((,) (1,2))=2( 1)+4( 2) = 2+4=10. Závěr:Kružnice =5mávbodě(1,2)tečnudnourovnicí +2=5. Znormálovéhosměru(1,2)dostnemenámýmtrikemkněmukolmývektorvIR 2, třeb(2, 1) cob směr tečný k oné hldině konstntnosti. 8