VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FKULT INFORMČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTV INFORMČNÍCH SYSTÉMŮ FCULTY OF INFORMTION TECHNOLOGY DEPRTMENT OF INFORMTION SYSTEMS VÝPOČET LGEBRICKÝCH ROVNIC BKLÁŘSKÁ PRÁCE BCHELOR S THESIS UTOR PRÁCE UTHOR EV KUCHŘOVÁ BRNO

2 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FKULT INFORMČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTV INFORMČNÍCH SYSTÉMŮ FCULTY OF INFORMTION TECHNOLOGY DEPRTMENT OF INFORMTION SYSTEMS VÝPOČET LGEBRICKÝCH ROVNIC LGEBRIC EQUTIONS CLCULTIONS BKLÁŘSKÁ PRÁCE BCHELOR S THESIS UTOR PRÁCE UTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR Ev Kuchřová Doc. Ig. Jiří Kuovský, CSc. BRNO

3 bstrkt Práce se zbývá řešeím soustv lieárích lgebrických rovic metodou převodu soustvu rovic difereciálích, ukáže le i jié zámější metody. V teoretické části popisuje mtemtické operce s mticemi. V práci jsou pomocí progrmů Mtlb TKSL vyřešey příkldy porováy jejich hodoty výsledků. K dispozici jsou zdrojové tety, které se vkládjí do progrmů. Je ukázá fukčost metody převodu soustvy lieárích rovic soustvu rovic difereciálích. K vyřešeí soustvy difereciálích rovic je použit Eulerov metod. Popisuje se i prlelí řešeí soustvy rovic. V rámci této práce byl vytvoře progrm lidif, který umožňuje převod mezi soustvmi rovic. Jk byl vrže, implemetová jk se s ím prcuje, zhruje jed kpitol této práce. Klíčová slov Lieárí lgebrické rovice, soustv rovic, difereciálí rovice, umerické metody, mtice, mtemtické operce s mticemi, Eulerov metod, TKSL, Mtlb. bstrct This work ivestigtes the solutio of lier lgebric equtios by coversio to the system of differetil equtios. Moreover, severl more frequetly used methods re described i dditio. The theoreticl prt of work describes the mthemticl. Net, the emples of usig the Mtlb TKSL progrms re preseted to show d compre the results of clcultios. The source codes used re icluded. The work proves tht the solutio of lgebric equtios by the coversio to the system of differetil equtios is pplicble d further solved by the Euler s method. The prllel solutio is lso described. s the output of this work, the lidif progrm ws developed. It relizes the coversio mog the systems of equtios. Filly, the descriptio of the work progress, desig, implemettio d usge of the progrm re summrized. Keywords Lier lgebric equtios, system of equtios, differetil equtio, umeric metod, mtri, mthemticl opertios with mtries, Euler method, TKSL, Mtlb. Citce Ev Kuchřová: Výpočet lgebrických rovic. Bro,, bklářská práce, FIT VUT v Brě.

4 Výpočet lgebrických rovic Prohlášeí Prohlšuji, že jsem tuto bklářskou práci vyprcovl smosttě pod vedeím Doc. Ig. Jiřího Kuovského, CSc. Uvedl jsem všechy literárí prmey publikce, ze kterých jsem čerpl. Ev Kuchřová.květ Poděkováí Rád bych poděkovl Doc. Ig. Jiřímu Kuovskému, CSc. z poskytuté rdy pomoc při řešeí této bklářské práce. Ev Kuchřová,. Tto práce vzikl jko školí dílo Vysokém učeí techickém v Brě, Fkultě iformčích techologií. Práce je chráě utorským zákoem její užití bez uděleí oprávěí utorem je ezákoé, s výjimkou zákoem defiových přípdů..

5 Obsh Úvod... Mtice.... Mtemtické operce..... Sčítáí mtic..... Násobeí mtic..... Násobeí mtice číslem..... Odečítáí mtic..... Trspoová mtice.... Vlstosti mtemtických opercí..... Sčítáí..... Násobeí..... Trspozice... Soustv lieárích lgebrických rovic.... Řešeí soustvy lgebrických rovic..... Přímé metody..... Iterčí metody..... Převod soustvu difereciálích rovic.... Problémy při řešeí..... Zokrouhlovcí chyby..... Podmíěost soustvy..... Lieárě závislé řádky... Soustv difereciálích rovic.... Řešeí difereciálích rovic..... Eulerov metod.... Prlelí řešeí soustvy difereciálích rovic.... Problémy při řešeí..... Lokálí globálí chyb..... Nestbilit soustvy..... Kovergece metody... Progrmy umožňující výpočet soustv rovic.... Progrm TKSL...

6 . Progrm Mtlb.... Srováí TKSL Mtlbu... Progrm lidif.... Poždvky.... Implemetce.... Ukázk práce s progrmem... Závěr... Litertur... Sezm příloh...

7 Úvod Tto bklářská práce byl vyprcová jko přehled možostí řešeí soustv lgebrických rovic. Změřuje se tké mtemtické operce s mticemi, které jsou k vyřešeí soustv potřebé. Popisuje růzé metody, jk se doprcovt k řešeí soustv lgebrických rovic, včetě ukázky práce s progrmem Mtlb. Cílem bylo sezámeí se s metodou převodu soustv lieárích lgebrických rovic soustvu difereciálích rovic, její ásledé řešeí, ke kterému je možo využít softwrový prostředek (progrm TKSL), vytvořit progrm, který by převedl soustvu lieárích rovic soustvu rovic difereciálích bez utosti vytvářeí zdrojových tetů. Práce je rozděle do sedmi kpitol. Příloh obshuje muál k progrmu lidif, který byl vytvoře v rámci této práce, jeho zdrojový tet. Jelikož se soustvy lieárích rovic řeší tké pomocí mtic, je jim věová druhá kpitol. Obecě se v í popisují mtice zákldí mtemtické operce d imi. Pro ilustrci jsou uvedey příkldy. Třetí kpitol se zbývá metodmi řešeí soustv lieárích rovic. Jsou v í popsé metody přímé, iterčí i převod soustvu rovic difereciálích, opět s ázorými příkldy tké problémy, které mohou vzikout při řešeí. Ve čtvrté kpitole jsou popsáy difereciálí rovice, jejich řešeí pomocí Eulerovy metody, problémy při řešeí prlelí řešeí soustv difereciálích rovic. Pátá kpitol přibližuje řešeí soustv rovic pomocí progrmů Mtlb TKSL. Ukzuje, že metod řešeí soustvy lieárích rovic pomocí převodu soustvu difereciálích rovic fuguje. Šestá kpitol sezámí s vytvořeým progrmem lidif. Nstíí jeho ávrh práci s ím. V posledí, sedmé kpitole jsou shruty příosy práce postřehy při jejím zprcováváí řešeí.

8 Mtice Mtice se ejvíce upltňují při řešeí soustv rovic, kterými se budeme zbývt. Proto si o ich shreme pár zákldích iformcí, které se ám budou při pozdějších výpočtech převodech mezi soustvmi rovic hodit, ukážeme si ázoré příkldy. Mticí typu m rozumíme schém m reálých ebo kompleích čísel uspořádých do m vodorových řd svislých sloupců. Obecě můžeme mtici zpst m K O K m Mtice mohou být růzého typu. Čtvercovou mticí zýváme tkovou mtici, když m, tedy počet řádků se rová počtu sloupců. Potom hlví digoál mtice je tvoře čísly,,, K m. Většiou se le setkáváme s obdélíkovou mticí, kdy m. Čtvercovou mtici, jejíž determit je eulový, ozčujeme jko mtici regulárí. Mtice, které ejsou regulárí, ozčujeme jko sigulárí. Rovjí-li se všechy prvky v mtici ule, pk se jedá o ulovou mtici. Jedotkovou mticí zýváme tkovou mtici, jejíž prvky hlví digoále se rovjí jedé osttí prvky jsou ulové. Dvě mtice jsou si rovy, když jsou stejého typu pro jejich libovolé idey pltí ij b ij, zjedodušeě řečeo, obě mtice obshují stejé prvky. Setkt se můžeme i s trojúhelíkovou mticí. Buď s horí trojúhelíkovou mticí, která má všechy prvky pod hlví digoálou rovy ule, ebo s dolí trojúhelíkovou mtici, jejíž všechy prvky d hlví digoálou jsou ulové.. Mtemtické operce.. Sčítáí mtic Sčítt mtice můžeme pouze tehdy, jsou-li stejého typu součet je mtice C, pro kterou pltí kde i,, K,m j,, K,. ij ij ij m. Mějme mtice B, pk jejich c b (.)

9 Příkld. Máme-li mtice, B pk ( ) B... Násobeí mtic Vyásobit mtice B můžeme pouze tehdy, když je počet sloupců mtice stejý jko počet řádků mtice B. Zjedodušeě můžeme říct, že ásobíme řádky mtice sloupci mtice B. Mámeli tedy mtici typu p m mtici B typu p, pk jejich vyásobeím dosteme mtici C typu m, pro kterou pltí pj ip j i j i ij b b b c K (.) kde i,m,, K j,,, K. Příkld. Máme-li mtice, B pk ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B... Násobeí mtice číslem Vyásobíme-li mtici typu m libovolým číslem d, je součiem mtice C stejého typu jkým je mtice, tedy m. Pro mtici C pk pltí ij ij d c (.) kde i,m,, K j,,, K.

10 Příkld. Máme-li mtici libovolé číslo, d pk ( ) ( ) d... Odečítáí mtic Když umíme sčítt ásobit mtice, můžeme tyto zlosti využít k odečteí dvou mtic. Rozdílu docílíme tk, že k mešeci přičteme mešitel vyásobeý ( ). Stejě jko u součtu mtic můžeme odečítt pouze mtice stejého typu m. ( ) B B (.) Příkld. Máme-li mtice, B pk ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B... Trspoová mtice Trspoová mtice je tková, která vzike tk, že změíme řádky z sloupce. Když máme mtici typu m, po trspoováí se z í ste mtice T typu m pro i pltí ji T ij (.) kde i,m,, K j,,, K.

11 Příkld. Máme-li mtici pk T.. Vlstosti mtemtických opercí.. Sčítáí Jk jsme si řekli před chvílí, sčítt mtice můžeme pouze ty, které jsou stejého typu. Pro ě pk pltí záko distributiví, komuttiví i socitiví. Máme-li mtice C B,,, pk ( ) ( ) B B C B C B.. Násobeí Pro ásobeí mtic pltí stejé zákoy jko pro sčítáí kromě zákou komuttivího. ( ) ( ) ( ) ( ) C B C B C B C C B C B C B Nepltost komuttivího zákou B B si budeme demostrovt příkldu. Porováím výsledků uvidíme, že výsledé mtice jsou rozdílé. Příkld. Máme-li mtice, B

12 pk B, B... Trspozice Použít můžeme pouze ásledující prvidl T T T ( B) B T T T ( B) B

13 Soustv lieárích lgebrických rovic Soustvu m lieárích lgebrických rovic o ezámých M M m m K K K m,, K, můžeme zpst ve tvru b M M b b m kde, b jsou reálá čísl. m m K zápisu jedotlivých rovic můžeme využít idey i j. Ide i vyjdřuje i -tou rovici soustvy, v šem přípdě př. K K b i i ij j i j, ide j ozčuje j -tou proměou, př.. Pro idey pltí,, K j,, K, i,m Pk soustvu obecě zpisujeme ve tvru ebo ve tvru mticovém kde M m M m m i K K M K ij j. b j (.) B (.) M m b b M M m bm Mtici zýváme mticí soustvy, se zývá vektor ezámých B vektor prvých str.. Řešeí soustvy lgebrických rovic Vyřešit soustvu lieárích lgebrických rovic můžeme pomocí moh umerických metod. ť už to jsou metody přímé (př. Crmerovo prvidlo, Gussovou elimičí metod, iverzí mtice, ), iterčí metody (prostá iterce, Jcobiho metod, Guss-Seidlov metod, ) ebo metod převodu soustvy lieárích rovic soustvu rovic difereciálích.

14 V této práci se budeme zbývt řešeím soustv rovic o ezámých b b b K M M M M K K kde,, K jsou hledé ezámé dále budeme předpokládt, že mtice soustvy je regulárí... Přímé metody Pomocí přímých metod dosteme řešeí po koečém počtu kroků. Vyvrujeme-li se zokrouhlovcích chyb, můžeme řešeí povžovt z přesé. Crmerovo prvidlo Máme-li soustvu rovic, pk kždou ezámou i můžeme vypočítt pomocí vzthu D D i i (.) kde i D je determit mtice soustvy, která vzike hrzeím i -tého sloupce vektorem prvých str D je determit mtice soustvy. bychom mohli použít Crmerovo prvidlo, musí být determit mtice soustvy eulový jk uvidíme ásledujícím příkldu, toto prvidlo eí vhodé používt, máme-li velkou soustvu rovic, protože s kždou rovicí ám přibývjí mtemtické operce výpočty jsou složitější. Příkld. Vyřešte soustvu rovic Nejprve vypočítáme všechy determity ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D ( ) ( ) ( ) D

15 ( ) ( ) ( ) D po doszeí do vzthu pro výpočet jedotlivých ezámých pk dostáváme koečé řešeí,, D D D D D D. Gussov elimičí metod Pricipem této metody je postupé vylučováí jedotlivých ezámých pomocí elemetárích úprv z rovic tk, by ám v ěkteré rovici zůstl jeom jed ezámá, jejíž hodotu vyčteme. Osttí ezámé pk získáme doszeím již vypočteých ezámých do příslušých rovic, tzv. pomocí zpěté substituce. Při řešeí ejdříve získáme rozšířeou mtici soustvy. Tj. převedeí vektoru prvých str k mtici soustvy z í se ásledě budeme sžit získt mtici trojúhelíkového tvru. b b b M O M K Důležitou podmíkou je, že prvek esmí být ulový. le pokud tomu tk je, řádky mtice můžeme libovolě přehodit, bychom tuto podmíku splili, řešeí ám to ic eměí. Dále budeme postupovt, že k druhému ž -tému řádku mtice přičítáme ásobky prvího řádku mtice tk, bychom získli všechy prvky pod prvkem ulové. Podobě pokrčujeme u dlších prvků, tedy bychom získli pod prvkem smé ulové prvky, musíme přičíst ásobky druhého řádku k třetímu ž -tému řádku. Tkto postupujeme tk dlouho, dokud edosteme mtici trojúhelíkového tvru. b b b M O K Když jsme se dostli k mtici trojúhelíkového tvru, můžeme určovt hodoty ezámých pomocí ásledujícího vzthu b. (.)

16 Než přejdeme k příkldu, měli bychom si říct, že e vždy je vhodé použít tuto metodu. Jedá se o přípd, kdy řádku, pomocí kterého chceme elimiovt, je ul. Potom bychom museli dělit ulou to elze. Proto se provádí tzv. pivotizce, což zmeá, že změíme -tý řádek z řádek, který má v -tém sloupci ejvětší bsolutí hodotu. Příkld. Vyřešte soustvu rovic Nejdříve vytvoříme rozšířeou mtici soustvy převedeme ji mtici trojúhelíkového typu. Nyí vidíme, že z třetího řádku můžeme jedoduše vypočítt, z druhého řádku pk pomocí dopočítáme z prvího řádku pomocí dopočítáme ( ). Obecě je Gussov elimičí metod čsově áročá. Když řešíme rovic, musíme provést ritmetických opercí. Proto se hodí spíše pro soustvy, které eobshují moho rovic. Guss-Jordov metod Vychází z Gussovy elimičí metody. Postup je stejý, jeom ehledáme mtici trojúhelíkového tvru, le mtici digoálího tvru. Tz. prvky hlví digoály mjí hodotu, osttí prvky jsou ulové, tedy

17 b b b Můžeme si všimout, že hodoty ezámých určíme sáz, le postup k získáí mtice digoálího tvru je zčě pomlejší jko u Gussovy elimičí metody.. Elimice s výběrem hlvího prvku Jedá se opět o pozměěou Gussovu elimičí metodu, při jejíž použití by eměly být zokrouhlovcí chyby tk velké. Při použití metody postupujeme ásledově. V prvím kroku vybereme z -tého sloupce prvek s ejvětší bsolutí hodotou. V dlším kroku řádek, kterém se prvek s ejvětší bsolutí hodotou chází, vložíme místo -tého řádku mtice, pomocí kterého pk elimiujeme. Teto postup opkujeme tk dlouho, dokud ezískáme mtici trojúhelíkového typu. Příkld. Mějme rozšířeou mtici soustvy pk k řešeí dojdeme ásledově. Vybrý hlví prvek je vždy dvkrát podtržeý. Zpětou substitucí získáme výsledek,,. Iverzí mtice Pomocí iverzí mtice můžeme řešit pouze soustvy rovic, které vytvoří čtvercové mtice. Mámeli čtvercovou mtici čtvercovou mtici jedotková mtice, pk se mtice, které jsou ve vzthu I, kde I je zývá iverzí mticí k mtici. by měl mtice iverzí mtici, musí být regulárí, tz. její determit musí být eulový. Pk při řešeí soustvy lieárích rovic můžeme použít iverzí mtici. Soustvu rovic v mticovém tvru píšeme po vyásobeí rovice iverzí mticí po úprvě B dostáváme B

18 b. (.) Poz. Iverzí mtici k mtici můžeme získt pomocí determitů. Postupujeme ásledově: O M M L L. (.) Jiou možostí je rozšířit původí mtici o jedotkovou mtici. Vziklou mtici budeme uprvovt tk dlouho, dokud se ám strě mtice eobjeví jedotková mtice. Potom jsme došli k řešeí strě, kde původě byl jedotková mtice, dostáváme mtici iverzí. Příkld. Vyřešte soustvu rovic Nejprve vytvoříme iverzí mtici poté dosdíme do vzorce b dojdeme k řešeí,.

19 .. Iterčí metody Při iterčích metodách počítáme přibližé hodoty řešeí. Počet kroků, kterými se dosteme k řešeí pk závisí př. poždové přesosti. Těmito metodmi je vhodé řešit řídké soustvy rovic, které mjí málo eulových prvků, protože rozdíl od přímých metod ebudeme muset provádět tolik mtemtických opercí. Problémem je, že e vždy dojdeme k výsledku. Důvodem je kovergece metod, která eí vždy jedoduchá k určeí. Proto bychom měli před použitím iterčích metod zkotrolovt, zd ke kovergeci dojde. Můžeme si tké určit mimálí počet kroků itercí, které provedeme. Necházíme-li řešeí, výpočet ukočíme, tedy řekeme, že metod diverguje. Obecě je pricip iterčích metod jedoduchý. Z prví rovice si vyjádříme prví ezámou, z druhé druhou td., dokud evyjádříme posledí ezámou. Poté si zvolíme počátečí proimci, kterou dosdíme do prvých str rovic vypočítáme dlší složku proimce. logicky pokrčujeme, ž splíme podmíky pro ukočeí výpočtu. Vzorec pro prostou iterci je ásledující ( r) r b (.) Příkld. Vyřešte soustvu rovic Nejdříve převedeme soustvu rovic podle vzthu pro iterci,,,, pk postupujeme podle popsého postupu dostáváme tbulku jedotlivých kroků itercí kroky iterce,,,,,,,, Tbulk. Kroky výpočtu itercí Pro srováí máme přesé hodoty,. Vidíme, že k řešeí se dostáváme již v kroku, tedy metod koverguje. Kdybychom pokrčovli v itercích, výsledek by se zpřesňovl.

20 Nesmíme zpomeout podmíku ukočeí itercí. V tomto příkldu ám bude stčit výsledek zokrouhleý čtyři desetiá míst, ebo určíme mimálí počet kroků itercí tj.. Jcobiho metod Zákldí iterčí metodou je Jcobiho metod. bychom tuto metodu mohli použít, digoálí prvky mtice soustvy esmí být ulové. V Jcobiho metodě se používá rozkld mtic soustvy součet tří mtic D L U (.) kde D - digoálí mtice, L - dolí trojúhelíková mtice, U - horí trojúhelíková mtice. Pomocí úprv pk dostáváme vzorec pro Jcobiho iterci ( r) C r d kde C je tzv. iterčí mtice Jcobiho metody. Pro prvky c ij mtice C vektor c d ij i ij, i j, cii bi Vzorec můžeme přepst ve složkovém zápisu i ( r ) ii bi ij ii j j i ii r j, i,, K, d i pltí (.) (.) Jk již bylo řečeo zčátku podkpitoly, bychom došli k řešeí pomocí této metody, musí kovergovt. Podmíkou pro kovergeci je, by mtice soustvy C byl digoálě domití. Tz. bsolutí hodot v kždém řádku mtice je větší ež součet bsolutích hodot všech osttích prvků dém řádku mtice c ij < j j i c ii, i,, K, (.) bsolutí hodot v kždém sloupci mtice je větší ež součet bsolutích hodot všech osttích prvků v dém sloupci mtice. c ij < i i j c jj, j,, K, (.)

21 Guss-Seidlov metod Postup je stejý jko v Jcobiho metodě. Rozdíl je pouze te, že k výpočtu dlší proimce se použijí ejovější přibližé hodoty řešeí. Vzorec pro vyjádřeí metody ve složkovém zápisu i ( r ) ( r ) r b, i,, K, (.) i i ij j ii ij j j i j Guss-Seidlov metod koverguje, když je mtice soustvy digoálě domití ebo pozitivě defiití. Pozitivě defiití mtice je tková mtice, která je čtvercová regulárí, tj. má eulový determit, dokoce pltí det > Můžeme kosttovt, že Guss-Seidlov metod koverguje rychleji ež metod Jcobiho. Dále eistují tkové mtice soustv, které kovergují u Guss-Seidlovy metody, ztímco u Jcobiho metody divergují, totéž pltí i opk. Jcobiho metodu můžeme počítt prlelě, kždá ezámá se počítá zvlášť. Guss-Seidlov metod je počítá sériově, protože se ejprve musí vypočítt všechy ezámé, by se mohlo doszovt, eí tk áročá pměť počítče jko metod Jcobiho. Relčí metody Slouží k urychleí kovergece Jcobiho Guss-Seidlovy metody, kdy si vyjádříme rozdíl mezi dvěmi itercemi r i r i r i, (.) který spolu s relčím prmetrem ω změí vzorec pro Guss-Seidlovu metodu ásledově kde i,, K, (,) i i ( r ) ω ( r ) r r bi ij j ij j ( ω i ) ii j j i ω, obvykle ω,). Tto metod se ozčuje jko superrelčí. Budeme-li prvé strě vzorce psát r j místo (.) ( r), dosteme relci Jcobiho metody. j.. Převod soustvu difereciálích rovic Tto metod eí tolik používá zámá jko osttí, le i pomocí í se djí řešit soustvy lieárích rovic. Můžeme ji zřdit mezi metody iterčí, kdy se sžíme lézt ustáleé řešeí. K převodu soustvy lieárích lgebrických rovic soustvu rovic difereciálích slouží jedoduchý lgoritmus, který budeme demostrovt příkldu.

22 Příkld. Mějme soustvu lieárích lgebrických rovic pk v prvím kroku pro převedeí soustvy si pro soustvu lieárích rovic vytvoříme mtici soustvy mtici prvých str B, tedy, B. Následě vytvoříme trspoovou mtici T k mtici soustvy T. Předchozí kroky jsme provedli, bychom mohli dosdit do vzorce, díky kterému získáme soustvu difereciálích rovic. B T T (.) Pro ulehčeí počítáí vyjádříme původí rovice pomocí proměých,,, q q q q jejich prvé stry převedeme levou. Tyto proměé ám vytvoří mtici C typu. Pk ebudeme muset ásobit dvě mtice typu poté je ještě odečítt od dlšího součiu dvou mtic typu, le pouze vyásobíme dvě mtice typu, což je jedodušší. q q q q Použijeme-li mtici C, pk se ám vzorec B T T změí vzorec C T dostáváme difereciálí rovice q q q q q q q q q q q q q q q q

23 ť už si počítáí pomocí proměých q, q, q, q ulehčíme ebo e, v obou přípdech získáme růzými mtemtickými úprvmi soustvu difereciálích rovic, kterou už můžeme zdt do výše zmíěých progrmů (TKSL, Mple, Mtlb) k jejímu úplému vyřešeí. Nesmíme zpomeout zdt počátečí podmíky, které budou př. ( ), ( ), ( ), ( ) Při použití této metody ásobíme ěkolik mtic. Jsou-li soustvy veliké, může dojít k vysokým árokům pměť počítče čs.. Problémy při řešeí.. Zokrouhlovcí chyby Při řešeí lieárích rovic se zokrouhlovcích chyb evyvrujeme téměř ikdy. Jsou způsobeé tím, že počítáme se zokrouhleými hodotmi, které používáme při dlších výpočtech jejich výsledky opět zokrouhlíme, tkže se chyby zvyšují... Podmíěost soustvy Numerické úlohy můžeme brát tk, že vstupím hodotám přiřzujeme výstupí dt. Výsledek je hodě citlivý mlé změy ve vstupích hodotách. Jestliže reltivě mlým změám vstupích hodot odpovídjí reltivě mlé změy výstupích hodot, pk můžeme říct, že soustv je dobře podmíěá. Zd je soustv dobře podmíěá ám určí číslo podmíěosti soustvy mělo co ejvíce blížit k ule. reltiví chyb vstupích hodot C p reltiví chyb výstupích hodot C p, které by se

24 N příkldu si ukážeme, jk vypdá šptě podmíěá soustv, kdy reltivě mlá změ vstupí hodoty způsobí reltivě velkou změu výstupí hodoty. Výsledek se ezměí i volbou jié metody k vyřešeí soustvy. Příkld. Mějme soustvu lieárích rovic,y, jejím vyřešeím dosteme výsledek, y. Zmešíme-li u druhé rovice čle y o., dosteme ásledující soustvu,, y, kterou vyřešíme dosteme výsledek, y... Lieárě závislé řádky Obshuje-li soustv lieárích rovic ějkou rovici, která je ásobkem jié, potom při převodu soustvy mtici soustvy jejím ásledým řešeím pomocí ěkteré výše popsé metody, dosteme u těchto rovic ulové koeficiety lezeé řešeí tk bude ulové.

25 Soustv difereciálích rovic Obyčejá difereciálí rovice -tého řádu se zpisuje ( ) ( ) ( ) y f, y, y, K, y (.) ( esmíme zpomeout počátečí podmíky ( ) ( ) ) ( ) ( ) y y y y K y y.,,, Difereciálí rovici -tého řádu můžeme převést rovici prvího řádu pomocí substitucí výsledá soustv rovic prvího řádu pk bude y z, y z, M y f z y, z y, K, z y (.) y y ( ) ( ) (, z, z, z, K, z ) y ( ) y y y (.). Řešeí difereciálích rovic Při řešeí difereciálích rovic jejich soustv ás většiou ezjímá spojitá fukce jko výsledek, le pouze přibližé hodoty řešeí. Ty získáme pomocí bodů pomocí umerických metod vypočítáme body y, y, K y, K,, které si vygeerujeme,. Výsledé přibližé hodoty řešeí pk můžeme porovt s hodotmi přesého řešeí tj. y ( ) y( ), y( ),, y( ), K. V této práci si popíšeme Eulerovu metodu řešeí difereciálích rovic ásledě prlelí řešeí soustvy difereciálích rovic... Eulerov metod Jedá se o ejjedodušší le e příliš přesou metodu prvího řádu k řešeí difereciálích rovic. Vyjádřit ji můžeme vzorcem kde h vyjdřuje délku kroku metody. y,, (.) ( i ) yi h f ( i yi )

26 získáme vzorec Pokud zohledíme i lokálí chybu y h L y K ( i ) y( i ) h y ( i ) y K f ( i, y i ) přepíšeme y ( i ) h (.) Důvodem e příliš velké přesosti je, že při počítáí ásledujícího kroku z i do i používáme celém itervlu kosttí hodotu derivce f ( i, y i ), která se všk v průběhu kroku měí. bychom dosáhli pomocí Eulerovy metody přesějších výsledků, měli bychom počítt s co ejmeším krokem. Příkld. Vypočtěte pomocí Eulerovy metody rovici itervlu,, y y, y ( ). bychom ukázli, že je lepší zvolit meší krok, vyřešíme metodu s kroky h,, h,, h,. K dispozici budeme mít tké přesé hodoty řešeí k porováí s přibližými hodotmi. K řešeí použijeme vzorec y ( ) y h f (, y ) hodoty ezámých: řešeí s krokem h : y y y y y y y y y y y y h h h h h h i i i i. Po doszeí dostáváme ásledující ( y ), ( ), ( y ),, (,,), ( y ),, (,,), ( y ),, (,,), ( y ),, (,,), ( y ),, (,,), řešeí s krokem h : y y y y y y h h h ( y ), ( ), ( y )., (,,), ( y ),, (,,), řešeí s krokem h : y y h y y h ( y ), ( ), ( y )., (,,),

27 přesé hodoty: y y y y y y,,,,,, Obrázek. Výsledý grf řešeí pro porováí jedotlivých výsledků. Prlelí řešeí soustvy difereciálích rovic Soustvu vyřešíme pomocí Eulerovy metody. V jedotlivých krocích metody můžeme rovice počítt ezávisle sobě, tj. prlelě. Řešeí ukážeme příkldu. Příkld. Mějme soustvu difereciálích rovic s počátečími podmíkmi y y y ( ), y( )

28 pk postupujeme ásledově. Z rovic vypočítáme y. Jejich hodoty pk dosdíme do dlšího kroku metody, jeho výsledky pk dosdíme opět do dlšího kroku, postup opkujeme, dokud se ám řešeí eustálí. Krok Eulerovy metody si zvolíme libovolě, př. h,. y y y y h h, h ( y ), ( ), ( y ), ( ), ( y ),, (,, ) ( y ),, (,, ), M td. Z prvím dvou kroků je zřejmé, jk se postupuje, proto ebudeme vypisovt všechy výpočty do ustáleého řešeí, le postčí ám tbulk s vyřešeými hodotmi. Tbulk eobshuje hodoty ž do ustáleého řešeí, le pro ilustrci to stčí. Vidíme, že k ustáleému řešeí už moc kroků ezbývá., y, y -,, y -,, y -,, y -,, y -,, y -,, y -,, y -,, y -,, y -,, y -,, y -,, y -,, y -,, y -,, y -,, y -,, y -,, y -,, y -,, y -,, y -,, y -,, y -,, y -,, y -,, y -,, y -,, y -, Tbulk. Kroky výpočtu Eulerovou metodou

29 Obrázek. Grfické řešeí Obrázek. Grfické řešeí y Pro srováí jsme soustvu rovic vyřešili i v progrmu TKSL, který se k výsledku doprcuje použitím metody Tylorov typu. Obrázek. Grfické řešeí progrmem TKSL

30 . Problémy při řešeí.. Lokálí globálí chyb Lokálí chyby se můžeme dopustit při jedokrokových metodách, předpokládáme-li, že všechy hodoty, které jsme při počítáí použili, byly přesé. Vyjádřit ji můžeme jko rozdíl přibližého řešeí v dém bodě i řešeí, které splňuje podmíku ( i ) y i y. V této práci byl popsá pouze Eulerov metod, tj. jedokroková metod. le eistují tké vícekrokové metody při kterých se v dlším kroku epoužívjí hodoty pouze z jedoho předchozího kroku, le z více kroků. U těchto vícekrokových metod se vyskytuje globálí chyb, která vzike hromděím se více lokálích chyb... Nestbilit soustvy Neí-li mtice soustvy pozitivě defiití, vyjde ám estbilí řešeí, tj. epřesé. Můžeme kosttovt, že estbilí soustv je tková, jejíž determit mtice soustvy se blíží ule. Stbilí řešeí je tkové, které se ustálí určité hodotě, tedy používáme-li krokové metody, pk výsledky ásledujících kroků jsou po určité době kosttí. Máme-li soustvu difereciálích rovic, kterou jsme získli převodem ze soustvy lieárích rovic pomocí lgoritmu popsého v kpitole.., dosteme vždy stbilí soustvu. Důvodem je ásobeí trspoovou mticí. Obrázek. Nestbilí řešeí Obrázek. Stbilí řešeí

31 .. Kovergece metody Stejě jko u řešeí lieárích rovic, tk i u rovic difereciálích poždujeme, by přibližé řešeí kovergovlo. Přesost metody, ám ovlivňuje použitá délk kroku h, viz. (.. Eulerov metod). by řešeí kovergovlo k přesému řešeí, měl by se použitý krok h blížit co ejvíce k ule. Řádem metody je ozčová rychlost kovergece metody. Je to tkové přirozeé číslo p, pro které pltí, že je-li h mlé, pk velikost lokálí chyby d i je p h.

32 Progrmy umožňující výpočet soustv rovic. Progrm TKSL Progrm TKSL umožňuje počítt soustvy difereciálích rovic. K řešeí používá metodu Tylorov typu. Práce s progrmem je jedoduchá. Příkld. Mějme soustvu lieárích rovic Pomocí progrmu lidif ji převedeme soustvu rovic difereciálích určíme počátečí podmíky, krok metody, dobu výpočtu vyřešíme progrmem TKSL. Soustvu difereciálích rovic můžeme do progrmu pst ručě ebo ji číst ze souboru. Zápis zdrojového kódu je ásledující vr,; cost dt.,tm,epse-; system ' -* -* &; ' -* -* &; sysed. Poté stčí zdt příkz ru v horím meu vykreslí se výsledý grf s hodotmi řešeí.

33 Obrázek. Grfické řešeí progrmem TSKL N dlším příkldu ukážeme, že e vždy ám vyjdou přesé hodoty. Ztímco v podkpitole., kde tu smou soustvu rovic řešíme v progrmu Mtlb, o. Příkld. Mějme soustvu lieárích rovic: Postup bude stejý jko v předchozím příkldu. Pro ázorost opět uvedeme zdrojový kód progrmu TKSL vr,,,,; cost dt.,tm,epse-; system ' -* * -* * -* &; ' * -* * -* * - &; ' -* * -* -* -* &; ' * -* -* -* * &; ' -* * -* * -* &; sysed.

34 Obrázek. Grfické řešeí progrmem TKSL. Progrm Mtlb V progrmu Mtlb vyřešíme stejé soustvy lieárích rovic jko v kpitole.. Důvodem je, bychom dokázli, že řešíme-li soustvu rovic lieárích rovic převodem soustvu rovic difereciálích, dosteme stejé, resp. přibližé výsledky, jko když řešíme soustvu lieárích rovic umericky ebo lyticky. K řešeí lieárích rovic se v progrmu Mtlb používá fukce solve. Nejprve se progrm sží vyřešit soustvu rovic lyticky pokud eleze řešeí, přejde k metodám umerickým. ásledující kód Vyřešeím příkldu. lezeme hodoty řešeí,. Do progrmu se píše [,] solve( *-, ** )

35 Obrázek. Řešeí v progrmu Mtlb Vyřešíme i příkld., uvedeme zápis kódu do progrmu Mtlb spočíté hodoty řešeí, které jsou,,,,. [,,,,] solve( *-*-, -*-*, *-*-*, *-*--, -** ). Srováí TKSL Mtlbu Některé soustvy lieárích rovic, které jsme zdli v progrmu Mtlb, byly vyřešey přesěji ež v progrmu TKSL z pomoci převodu soustvu difereciálích rovic. Při řešeí šptě podmíěých soustv rovic jsme v progrmu TKSL eměli problém získt výsledky, ztímco v progrmu Mtlb jsme se k výsledkům edoprcovli. Závěrem můžeme říct, že prvděpodobost získáí výsledků při řešeí soustv lieárích rovic je větší, řešíme-li je pomocí progrmu TKSL s využitím lgoritmu převodu soustvu difereciálích rovic.

36 Progrm lidif Jedím z cílů této bklářské práce bylo vytvořit jedoduchý progrm, který by převedl zdou soustvu lieárích rovic soustvu rovic difereciálích. Progrm pk ulehčí mohdy zdlouhvé počítáí při převodu mezi jedotlivými soustvmi.. Poždvky Hlvím poždvkem bylo spuštěí plikce v operčím systému Widows. Dále, by při velkém počtu rovic, uživtel emusel zdávt všechy prvky, tz. ulové prvky mtice se zdávt emusí. Jelikož progrm bude sloužit spíše demostrčě, prcuje pouze s celými čísly. Mimálí počet lieárích rovic, který může být zdý, byl stove. Posledím poždvkem bylo uložeí převedeé soustvy do tetového souboru.. Implemetce Při vrhováí se předpokládlo, že uživtel rozumí dé problemtice, proto se zdávjí pouze prvky mtic, e celé lieárí rovice. Progrm byl psá v jzyce C v progrmovcím prostředí Microsoft Visul Studio. V celém progrmu se prcuje s mticemi provádí se s imi tkové mtemtické operce, by se získl poždový výsledek. Nejdříve jsou v progrmu deklrové dvě sttické mtice obshující ulové prvky. Mtice o rozměrech, která předstvuje mtici soustvy, mtice B o rozměrech předstvující vektor prvých str. Dále tři fukce, které ám provedou operce s mticemi - trspouj_mtici, sobei_mtice, eguj_mtici. Nčítáí jedotlivých prvků mtice je řešeo pomocí stdrdího vstupu ve fukci cti_mtici. Jkmile jsou mtice čtey, zkopíruje se mtice do mtice T pomocí fukce kopiruj_mtici. Mtice T je ásledě trspoová. Poté jsou vytvořey dlší dvě mtice C (ásobek T ) D (ásobek T B), jejichž prvky jsou použity do výpisu výsledku. Pro zobrzeí výsledku slouží fukce vypis_vysledek, která volá fukci setrdky. T z sebe vypíše eulové prvky mtice C, ke kterým přidá příslušou ezámou, prvky mtice D. Pro výpis do souboru vysledek.tt slouží fukce vypis_vysledek_do využívjící tké fukci setrdky.

37 . Ukázk práce s progrmem Fukčost plikce ukážeme soustvě lieárích rovic: Po spuštěí progrmu jsme vyzví, bychom zdli mtici soustvy. Nejprve zdáme číslo řádku, potvrdíme eterem, to smé u sloupce hodoty prvku. logicky pokrčujeme, dokud ezdáme všechy koeficiety mtice soustvy, pk stiskeme klávesu q opět potvrdíme eterem. Po stiskutí klávesy q můžeme zdávt vektor prvých str. Zde zdáváme pouze číslo řádku hodotu. Po ukočeí zdáváí opět stiskeme klávesu q, tím spustíme výpočet v dlším okě se ám zobrzí výsledé rovice. K ukočeí progrmu stiskeme libovolou klávesu ebo použijeme křížek v prvém horím rohu. Vygeerové rovice si můžeme zkopírovt z plikce ebo je použít z výstupího souboru vysledek.tt, který se uloží do dresáře, ve kterém máme progrm uložeý. Obrázek. Zdáváí jedotlivých prvků

38 Obrázek. Zobrzeí výsledé soustvy rovic

39 Závěr Cílem této práce bylo sezámeí se s výpočtem soustv lieárích lgebrických rovic především pomocí převodu soustvu rovic difereciálích ověřeí správosti výsledků. K ulehčeí převodu mezi soustvmi byl vytvoře jedoduchý progrm lidif. Závěrem můžeme říct, že výsledky získé pomocí metody převodu závisí vlstostech mtice soustvy. Npř. velikost chyby závisí hodotě determitu. Čím více se determit blíží ule, tím jsou získé hodoty epřesější. Srováme-li metodu převodu difereciálí rovice s iterčími metodmi, zjistíme, že metod převodu je rychlejší, protože jedotlivé iterce mohou být počíté prlelě. Pro soustvy, které obshují málo rovic je zse vhodější použít umerické metody. Zřejmě tké můžeme říci, že řešíme-li soustvu pomocí převodu, dosteme řešeí s větší prvděpodobostí, ež kdybychom ji řešili jiými metodmi. Soustvy difereciálích rovic byly řešey v progrmu TKSL, le eistuje i ovější verze TKSL/C, která je psá v jzyce C. Do budouc by tedy bylo možé propojit progrm TKSL/C s progrmem lidif, který by mohl být ještě rozšíře zdokole.

40 Litertur [] Rektorys, K.: Přehled užité mtemtiky, SNTL, Prh,. [] Fjmo, B., Růžičková, I.: Mtemtik, Vysoké učeí techické v Brě Fkult elektrotechiky komuikčích techologií, Bro. [] Kovár, M.: Mticový tezorový počet, Vysoké učeí techické v Brě Fkult elektrotechiky komuikčích techologií, Bro. [] Dostál, Z.: Lieárí lgebr, Vysoká škol báňská Techická uiverzit Ostrv, Ostrv,. [] Vicher, M.: Numerická mtemtik, [] WWW stráky: Mtemtik olie. [] WWW stráky: High performce computers.

41 Sezm příloh Příloh. Muál progrmu lidif Příloh. Zdrojový tet progrmu lidif Příloh. CD se spustitelým progrmem lidif

42 Příloh. Muál progrmu lidif. Spustťe plikci lidif.ee.. Zdejte prvky mtice soustvy. Zdávt se smí pouze celá čísl, jsou-li prvky ulové, zdávt se emusí. Pro potvrzeí zdávího čísl stiskěte eter. Pro kotrolu se vypíší koeficiety zdého prvku jeho hodot. Po ukočeí zdáváí stiskěte q potvrďte eterem.. Zdejte prvky vektoru prvých str. Pro zdáváí hodot pltí totéž jko v předcházejícím bodě. Po zdáí všech hodost stiskěte q potvrďte eterem. Následuje převod.. Zobrzí se výsledá soustv. plikci ukočete stiskutím libovolé klávesy ebo klikutím křížek v prvém horím rohu.. Výsledek je ulože do souboru vysledek.tt, který se chází ve stejé složce jko plikce lidif.ee.

43 Příloh. Zdrojový tet progrmu lidif /* Soubor: lidif.cpp * Dtum:.. * utor: Ev Kuchrov, kuch@stud.fit.vutbr.cz * Popis: Progrm umozujici prevod soustv lierich lgebrickych rovic soustvu rovic diferecilich */ #iclude <cstdlib> #iclude <cstdio> #iclude <stdlib.h> #iclude <iostrem> #iclude <fstrem> #iclude <sstrem> #iclude <strig> usig mespce std; cost it SIZE_SLOUPEC ; cost it SIZE_RDEK ; it [SIZE_SLOUPEC][SIZE_RDEK] ; // sttick vyulov mtice o rozmerech it B[][SIZE_RDEK] ; // sttick vyulov mtice o rozmerech void trspouj_mtici(it mt[][size_rdek], it sloupec) it posu, tmp ; for(it i ; i< sloupec; i) for(it j posu; j< SIZE_RDEK; j) tmp mt[j][i]; mt[j][i] mt[i][j]; mt[i][j] tmp; posu; void sobei_mtice(it m[][size_rdek], it m[][size_rdek], it mb[][size_rdek], it m_slo, it mb_slo) it m_rd SIZE_RDEK, m_slo mb_slo; for (it i ; i < SIZE_RDEK; i)

44 for (it j ; j < mb_slo; j) m[j][i] ; for (it k ; k < m_slo; k) m[j][i] m[k][i] * mb[j][k]; void kopiruj_mtici(it mt[][size_rdek], it mt[][size_rdek], it sloupec) for(it i ; i< sloupec; i) for(it j ; j< SIZE_RDEK; j) mt[i][j] mt[i][j]; void eguj_mtici(it mt[][size_rdek], it sloupec) for(it i ; i< sloupec; i) for(it j ; j< SIZE_RDEK; j) mt[i][j] * -; void cti_mtici() chr tmp[]; it cislo, rdek, sloupec, hodot; strig retez; bool ulozeo flse; // citi mtice while(retez.compre("q")! ) if(!ulozeo) system("cls"); // smzi obrzovky cout << "\Zdejte mtici soustvy : \(q KONEC zdvi, prejit k zdvi vektoru prvych str)"<<edl; cout <<"Cislo rdku: "; ci >> retez; fflush(stdi); // zdvi rdku // ctei hodoty z klvesice istrigstrem mystrem(retez); // prevedei it if (mystrem >> cislo) // pokud se prevod povedl

45 spritf(tmp,,"%d",cislo); if(cislo< cislo >SIZE_RDEK strle(tmp)! retez.legth()) ulozeo flse; cotiue; else rdek cislo; rdek--; else ulozeo flse; cotiue; // zdvi sloupce cout <<"Cislo sloupce: "; ci >> retez; // ctei hodoty z klvesice fflush(stdi); istrigstrem mystrem(retez); // prevedei it if (mystrem >> cislo) // pokud se prevod povedl spritf(tmp,,"%d",cislo); if(cislo< cislo >SIZE_SLOUPEC strle(tmp)! retez.legth()) ulozeo flse; cotiue; else sloupec cislo; sloupec--; else ulozeo flse; cotiue; cout <<"Hodot: "; ci >> retez; // zdvi hodoty // ctei hodoty z klvesice

46 fflush(stdi); istrigstrem mystrem(retez); // prevedei it if (mystrem >> cislo) // pokud se prevod povedl spritf(tmp,,"%d",cislo); if(strle(tmp) retez.legth()) hodot cislo; [sloupec][rdek] hodot; cout<<"nstveo ["<<rdek<<","<<sloupec<<"] "<<hodot<<edl; ulozeo true; else ulozeo flse; cotiue; ulozeo flse; retez ""; // zdvi mtice B while(retez.compre("q")! ) if(!ulozeo) system("cls"); // smzi obrzovky cout << "\Zdejte vektor prvych str B: \(q KONEC zdvi B, prejit k prevodu soustvy rovic)"<<edl; cout <<"Cislo rdku: "; ci >> retez; fflush(stdi); // zdvi rdku // ctei hodoty z klvesice istrigstrem mystrem(retez); // prevedei it if (mystrem >> cislo) // pokud se prevod povedl spritf(tmp,,"%d",cislo); if(cislo< cislo >SIZE_RDEK strle(tmp)! retez.legth()) ulozeo flse;

47 cotiue; else rdek cislo; rdek--; else ulozeo flse; cotiue; cout <<"Hodot: "; ci >> retez; fflush(stdi); // zdvi hodoty // ctei hodoty z klvesice istrigstrem mystrem(retez); // prevedei it if (mystrem >> cislo) // pokud se prevod povedl spritf(tmp,,"%d",cislo); if(strle(tmp) retez.legth()) hodot cislo; B[][rdek] hodot; cout<<"nstveo B["<<rdek<<", ] "<<hodot<<edl; ulozeo true; else ulozeo flse; cotiue; void vypis_mtici(it mt[][size_rdek],it sloupec, strig lbel) cout<< lbel<<":"<<edl; for(it i ; i< sloupec; i) for(it j ; j< SIZE_RDEK; j) if(mt[i][j]! ) cout<<"["<<i<<"]["<<j<<"] "<< mt[i][j]<<edl;

48 void setrdky(strig rdek[size_rdek], it C[][SIZE_RDEK], it D[][SIZE_RDEK]) bool sel flse, prvisloupec true; chr buff[]; it ide ; for(it j ; j< SIZE_RDEK; j) sel flse; // sel eulovou hodotu v mtici prvisloupec true; // evypisovi '' u prviho sloupce for(it i ; i< SIZE_SLOUPEC; i) if(c[i][j] > && prvisloupec) // prvi sloupec je kldy spritf(buff, " %d*%d", C[i][j],i); rdek[ide] buff; sel true; prvisloupec flse; else if(c[i][j] > &&!prvisloupec) // dlsi kldy sloupec spritf(buff, " %d*%d", C[i][j],i); rdek[ide] buff; sel true; prvisloupec flse; else if (C[i][j] < ) // zpory sloupec spritf(buff, " %d*%d", C[i][j],i); rdek[ide] buff; sel true; prvisloupec flse; if(sel) // pokud bylo lezeo cislo, vypisi mtici B if(d[][j] > ) // pokud je hodot v B kld ebo rov ule spritf(buff, " %d ", D[][j]);

49 rdek[ide] buff; spritf(buff, " %d' ", j); rdek[ide] buffrdek[ide]; ide; else if (D[][j] < ) // pokud je hodot v B zpor spritf(buff, " %d ", D[][j]); rdek[ide] buff; spritf(buff, " %d' ", j); rdek[ide] buffrdek[ide]; ide; void vypis_vysledek(it C[][SIZE_RDEK], it D[][SIZE_RDEK]) strig rdek[size_rdek] ""; setrdky(rdek, C, D); //vypis for(it i ;i<size_rdek; i) if(rdek[i].compre("")! ) cout<<rdek[i]<<edl; void vypis_vysledek_do(cost chr *fileme, it C[][SIZE_RDEK], it D[][SIZE_RDEK]) strig rdek[size_rdek] ""; setrdky(rdek, C, D); ofstrem myfile; // vypis do souboru myfile.ope (fileme, ios::out); // pro pridi zmeit ios::pp for(it i ;i<size_rdek; i)

50 if(rdek[i].compre("")! ) myfile<<rdek[i]<<edl; myfile.close(); it mi(it rgc, chr *rgv[]) cti_mtici(); system("cls"); // smzi obrzovky it T[SIZE_SLOUPEC][SIZE_RDEK] ; kopiruj_mtici(, T, SIZE_SLOUPEC); // zkopirovi mtice do mtice T trspouj_mtici(t, SIZE_SLOUPEC); // trspoovi mtice T it C[SIZE_SLOUPEC][SIZE_RDEK] ; sobei_mtice(c, T,, SIZE_SLOUPEC, SIZE_SLOUPEC); // sobei trspoove mtice T s mtici eguj_mtici(c, SIZE_SLOUPEC); // vysledek promeych,,..., it D[][SIZE_RDEK] ; sobei_mtice(d, T, B, SIZE_SLOUPEC, ); T s mtici B // vysobei trspoove mtice cout<<"vysled soustv diferecilich rovic:\"<<edl; vypis_vysledek(c, D); // vypsi vysledku obrzovku cout<<"\"<<edl; vypis_vysledek_do("vysledek.tt", C, D); // ulozei vysledku do souboru system("puse"); retur EXIT_SUCCESS;