Cvičení z VOAFu v.0.1

Transkript

1 Cvičení z VOAFu v..1 Josef Schmidt říjn 18 1 schmijos@fjfi.cvut.cz

2 Obsh 1 Mlé kmity 1.1 Pohybové rovnice Sestvení pohybových rovnic pomocí sil Sestvení pohybových rovnic pomocí potenciálu Podélné kmity dvou závží Metod módů Obecná kuchřk Kinetická potenciální energie Podélné kmity tří závží Mlé kmity Příčné kmity dvou závží Počáteční podmínky Normální souřdnice Normální souřdnice obecně Vícerozměrný pohyb Příkldy D vlnová rovnice Fourierovy řdy 1.1 Fourierovy řdy Sudé liché prodloužení Příkldy Fourierovy řdy obdélníkových pilovitých kmitů Pohyb struny Řešení vlnové rovnice seprcí proměnných Řešení počátečních podmínek pro pevné konce Příkld s kldívkem Výsledky příkldů Mlé kmity

3 Kpitol 1 Mlé kmity V této kpitole se budeme zbývt vyšetřováním pohybu systémů okolo stbilní rovnovážné polohy. Pohybové rovnice mechnických systémů závží n pružinkách. Hledání řešení pomocí metody módů. inerizce pohybových rovnic pomocí metody mlých kmitů. Hledání konkrétního řešení pomocí zdných počátečních podmínek Normální souřdnice konfigurční prostor C obvody 1.1 Pohybové rovnice Nejprve se nučíme sestvovt pohybové rovnice jednoduchých mechnických systémů to sice soustv závží pružinek. Zčněme motivčním příkldem jedním závžím upevněným mezi dvěm pružinmi (příkld 1.1 v [], viz obrázek 1.1. k m k Obrázek 1.1: Závží n pružinkách. Délk nentžené pružiny necht je Sestvení pohybových rovnic pomocí sil Velikost pružinové síly působící n těleso, ke kterému je pružin uchycen, je dán následujícím vzthem: F p = k(l l, (1.1 kde k je pružnost pružiny, l je ktuální délk pružiny l je délk nentžené pružiny (v klidovém stvu.

4 Podélné kmity Uvžujme nyní podélné kmity závží, tj. nechme těleso kmitt v přímce, ve které pružiny leží (tzn. ve vodorovném směru. Zved me krtézskou souřdnici x, která bude odměřovt výchylku z rovnovážné polohy, viz obrázek x x O ( Krtézská souřdnice x popisující výchylku při podélných kmitech příslušné délky levé prvé pružinky. x F (b Síly F 1, resp. F, působící od levé, resp. prvé, pružiny. FP Obrázek 1.: Souřdnice síly při podélných kmitech. Délky levé, resp. prvé, pružiny jsou pk l = +x, resp. l P = x, (vychýlení do kldného směru levou pružinu nthuje prvou zkrcuje. Velikosti sil jsou pk tvru: F = k( + x, F P = k( x. (1. Vlstní pohybová rovnice je dná druhým Newtonovým pohybovým zákonem, kde n prvou strnu doszujeme působící síly, přičemž dáváme pozor n znménko, podle toho, kterým směrem síly působí. evá pružin thá z závží směrem dolev, tzn. do záporného směru zvedené souřdnice, prvá pružin doprv, tedy to kldného směru 1 : Po úprvě máme mẍ = F + F P = k( + x + k( x = kx. (1.3 což je rovnice hrmonického oscilátoru s úhlovou frekvencí ω = x(t = A cos kde A je mplitud kmitvého pohybu ϕ je fázový posun. Příčné kmity ẍ + k x =, (1.4 m k m její řešení je tvru ( k m t + ϕ, (1.5 Nechme dále závží kmitt příčně, tzn. kolmo n přímku, ve které pružiny leží v rovnovážném stvu. Omezme se pouze n rovinu ppíru, bychom zůstli u jednorozměrného pohybu. Zvedeme krtézskou souřdnici y odměřující výchylku z rovnovážné polohy, viz obrázek Tto rgumentce pltí, pokud je pružin delší než její klidová délk. Pokud pltí l < l, pk pružin n těleso tlčí, směr síly se otočí, le zároveň se změní znménko závorky (l l. Tkže explicitní znménk u sil zůstnou nezměněná. Dlší možné (ekvivlentní tvry řešení jsou x(t = B sin(ωt + ψ, x(t = C cos ωt + D sin ωt, x(t = Re [exp (i(ωt + φ]. 3

5 + y y Obrázek 1.3: Krtézská souřdnice y popisující výchylku při příčných kmitech. O Velikost sil od jednotlivých pružin bude stejná bude následujícího tvru: F = F P = k( + y, (1.6 kde l = + y. Síly jsou znázorněné n obrázku 1.4. Vidíme, že nás ni tk nezjímá velikost sil F F P, jko spíše jejich průměty do svislého směru F p F P p jejich součet F p = F p +F P p. F FP Obrázek 1.4: Síly od levé prvé pružiny F F P působící n příčně vychýlené závží. F p Z podobnosti trojúhelníků znázorněných n obrázku 1.5 sndno určíme vzth pro průměty F p F P p : F p F = F P p F P = ( y y F p = F P p = + y + y F P = ky 1, + y (1.7 kde jsme ve vyjádření vprvo přidli minus, jelikož průměty sil vždy působí do záporného směru souřdnice y. + y, F y, F p Obrázek 1.5: Závží n pružinkách. Pohybová rovnice je pk po doszení z (1.7: mÿ = F p = F p + F P p = ky ( 1. (1.8 + y *Řešení pohybové rovnice příčných kmitů Pohybová rovnice (1.8 je příkldem jednorozměrného pohybu se silou závislou n poloze F (y. Tto rovnice se dá vyřešit vynásobením ẏ zintegrováním podle čsu t. [ ( ] dt mẏÿ = kẏ y 1 1 ( + y mẏ = k y 1 dy, (1.9 + y (kde n prvé strně dostneme integrci podle y, jelikož ẏ dt = dy dt dt = dy. Nlevo jsme dostli kinetickou energii závží T = 1 mẏ n prvé strně máme integrál ze síly pružiny po dráze, což je 4

6 vlstně minus potenciální energie pružiny, zde U(y = 1 k( + y + c. Dostli jsme tedy vlstně zákon zchování mechnické energie, po doszení: T + U = 1 mẏ + k( + y = E, (1.1 kde jsme integrční konstntu c preznčili n E předstvující celkovou energii mechnického systému. Tuto diferenciální rovnici prvního řádu řešíme seprcí proměnných, následným zintegrováním: dt = t t = y y m dy (E k(, ( y m dy (E k(. (1.1 + y Dostli jsme řešení v tzv. kvdrturách. Řešení závisí n dvou konstntách: n počáteční poloze y v čse t pk n celkové energii E, která se v průběhu pohybu zchovává. Pokud se nám přesné řešení nepozdává, npříkld protože integrál se nedá spočítt (nebo nám nevyhovuje závislost t(y, můžeme se uchýlit k následujícím proximcím, které sice nedjí přesné řešení, le dá se s ním dobře prcovt z jistých podmínek se příliš neodchyluje od řešení přesného. Aproximce dokonlé pružnosti Pokud máme pružinu s mlou (nebo ideálně nulovou klidovou délkou (tzn. můžeme druhý člen v závorce n prvé strně pohybových rovnic (1.8 znedbt máme výslednou rovnici (po úprvě: ÿ + k y =, (1.13 m tedy stejnou jko v přípdě podélných kmitů (1.4. Jejím řešení je tedy hrmonický pohyb s k úhlovou frekvencí ω = m. Tuto proximci nemůžeme použít, pokud námi použité pružiny podmínku dokonlosti ni zdlek nesplňují. Aproximce mlých kmitů V proximci mlých kmitů předpokládáme mlé výchylky z rovnovážné polohy. Zde tedy y mlé, přesněji řečeno y. V tomto přípdě můžeme v druhém členu v závorce n prvé strně pohybových rovnic (1.8 proximovt + y dostneme rovnici ÿ + k m ( 1 y =. (1.14 Řešení této rovnice je opět hrmonický pohyb, le tentokráte s menší úhlovou frekvencí ω = ( k m 1 než při proximcí dokonlé pružnosti. V podkpitole 1.4 se budeme proximcí mlých kmitů zobírt podrobněji obecně. Tuto proximci je možné použít vždy vždy je možné systém vybudit z rovnovážné polohy dosttečně málo. 5

7 1.1. Sestvení pohybových rovnic pomocí potenciálu Někdy nechceme prcovt přímo se silmi, npříkld protože nechceme řešit znménk podle toho, km síly míří, nebo prcně vymýšlet potřebné průměty. Můžeme všk njít potenciální funkci systému síly získt mechnicky pomocí derivování. Potenciální energie pružiny U p je dná následujícím vzthem U p = 1 k(l l, (1.15 kde, opět, k je tuhost pružiny, l je ktuální délk pružiny l je klidová délk pružiny. V nšem přípdě je celková potenciální energie dná součtem potenciálů od jednotlivých pružin. Pro podélné kmity je oznčme potenciál U podél (x, tvr této funkce je U podél (x = 1 k( + x + 1 k( x. (1.16 Pro příčné kmity mějme funkci U příčné (y s konkrétním tvrem U přícné (y = 1 k( + y. (1.17 Máme-li obecný potenciál U(x 1,..., x n, pk síl F i působící n i-té těleso je dán jko Pohybové rovnice pro podélné příčné kmity jsou tedy F i = U x i. (1.18 mẍ = du podél dx, mÿ = du příčně ; (1.19 dy provedením derivcí n prvé strně se dostneme přesně k rovnicím (1.4, resp. ( Podélné kmity dvou závží Přejděme nyní k hledání pohybových rovnice komplikovnějšího mechnického systému: dvou závží n pružinkách, kterým umožníme kmitt podélně, viz obrázek 1.6. k m k m k Obrázek 1.6: Dvě závží n třech pružinkách. Klidová délk pružin je. Zvedeme nyní krtézské souřdnice odměřující výchylky těles z rovnovážných poloh. Musíme tedy použít dvě krtézské osy x 1 x, kždá z nich bude mít počátek O 1 O v místě rovnovážné polohy příslušného závží. Viz obrázek x 1 x 1 + x x O 1 x 1 O x Obrázek 1.7: Podélné výchylky jednotlivých závží k nim zvedené souřdnice x 1 x znázorněné délky jednotlivých pružin. 6

8 Oznčme síly působící n jednotlivá závží jko n obrázku 1.8. F 1 F1P F FP Obrázek 1.8: Síly působící n jednotlivá závží. Velikosti těchto sil jsou potom (dle obrázků : F 1 = k(+x 1, F 1P = k( x 1 +x, F = F 1P, F P = k( x. (1. Pokud nechceme prcovt se silmi, můžeme si npst potenciál U jko funkci výchylek U(x 1, x : U(x 1, x = 1 k [ ( + x 1 + ( x 1 + x + ( x ]. (1.1 Pohybové rovnice jsou pk dné druhým Newtonovým pohybovým zákonem pro jednotlivá závží (síly zpisujeme se znménky podle toho, km síl působí: mẍ 1 = F 1 = F 1 + F 1P = U x 1, mẍ = F = F + F P = U x. (1. Po doszení konkrétních vyjádření sil (1. (nebo provedení derivcí potenciálu obdržíme: mẍ 1 = k( + x 1 + k( x 1 + x = kx 1 + kx, mẍ = k( x 1 + x + k( x = kx 1 kx (1.3 Přesuňme všechny členy dolev tím získáme finální tvr pohybových rovnic pro podélné kmity dvou závží n pružinkách: mẍ 1 + kx 1 kx =, mẍ kx 1 + kx =. (1.4 Než se pustíme do jejich řešení, resp. použití metody jejich řešení, přepišme tyto pohybové rovnice do tzv. mticového tvru. Zpišme výchylky x 1 x do vektoru x, tzn. x = (x 1, x T. Nyní musíme njít mtice T U o velikosti x (T, U R,, které budeme nzývt mticí kinetické potenciální energie (viz tké kpitol 1.3, pro které nbudou pohybové rovnice mticového tvru: T x + U x =. (1.5 Sndno nhlédneme, že musí jít o následující mtice: ( ( ( m (ẍ1 k k x1 + =, (1.6 m k k ẍ x tzn. T = ( m, U = m ( k k k k. (1.7 7

9 1. Metod módů Posuňme se nyní k řešení pohybových rovnic (1.6. Zkusme předpokládt, že by přípustným řešením byly tzv. módy kmitvý pohyb, kdy všechny těles kmitjí se stejnou úhlovou frekvencí. Mtemticky zpsáno zkusíme předpokládt řešení tvru (předpokládejme následující nstz: x(t = A cos(ωt + ϕ, (1.8 kde A je mplitud módu, konsttní vektor = ( 1, T nzývejme vektor poměrů mplitud, ω je úhlová frekvence módu ϕ je fázový posun hrmonického pohybu. Vektor úhlová frekvence ω jsou ztím neurčené prmetry tyto budeme chtít určit tk, by nstz (1.8 byl pokud možno řešením pohybových rovnic (1.5 (konkrétně rovnic (1.6. Druhá derivce nstzu (1.8 je x(t = Aω cos(ωt + ϕ. (1.9 Po doszení do pohybových rovnic (1.6 dostneme [( ( ] m ( ω k k + A cos(ωt + ϕ =. (1.3 m k k Chceme, by náš nstz byl netriviálním řešením, určitě tedy poždujeme, by A by byl rovnice (1.3 splněn pro t R. Můžeme pk člen A cos(ωt + ϕ vykrátit. Dostneme se tk k podmínce ( k mω k k k mω = ( U ω T =. (1.31 Poždvek netrivility řešení vede n poždvek. Chceme tedy, by mtice násobící vektor měl netriviální jádro tzn. byl singulární. Singulritu mtice sndno určíme pomocí determinntu. Poždujeme jeho nulovost: ( k mω k = det k k mω = (k mω ( k = m ω 4 4kmω + 3k (1.3 Toto vede n hledání kořenů polynomu v proměnné ω (hmostnost m tuhost k je zdná, hledáme přípustné úhlové frekvence ω: ( ω 1, = 4km ± 16k m 1m k m = k m ± k m = Nšli jsme tedy následující dvě přípustné úhlové frekvence: { k m 3k m (1.33 ω 1 = k m, ω = 3k m. (1.34 Ještě k nim musíme njít příslušné vektory poměrů mplitud. Tzn. řešíme rovnici (1.31 pro nlezené úhlové frekvence (hledáme jádro mtic s konkrétními hodnotmi ω. Po doszení ω 1 = k m : ( k k k k ( ( 1 1. (1.35 Tedy příslušný hledný vektor je 1 = (1, 1 T (nebo jeho libovolný nenulový násobek. Pro ω = 3k m : ( ( ( k k (1.36 k k 1 1 8

10 Řešením je vektor = (1, 1 T (nebo jeho násobek. Máme tedy následující dv přípustné módy: ( ( ( ( 1 k 1 3k x(t = A cos 1 m t + ϕ, x(t = A cos 1 m t + ϕ (1.37 Pohybové rovnice (1.6 jsou ovšem lineární. Řešením je tedy i libovolná lineární kombince výše zmíněných módů: ( ( ( x1 (t 1 1 x(t = = A x (t 1 cos(ω 1 1 t + ϕ 1 + A cos(ω 1 t + ϕ (1.38 (kždý mód může mít svůj fázový posun, tzn. jsme zvedli oznčení ϕ 1 ϕ. Je toto nlezené řešení (1.38 úplné řešení pohybových rovnic? Měli jsme dvě obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu, obecné řešení by mělo záviset n 4 konstntách dných počátečními podmínkmi. To nše nlezené řešení splňuje (mplitudy módů A 1 A jejich fázové posuny ϕ 1 ϕ, tkže se jedná o kompletní popis pohybu dného systému závží s pružinkmi Obecná kuchřk Postup hledání módů popsný v předchozí sekci je zcel obecný. Zpišme kuchřku, podle které se dá vždy postupovt. 1. Zvedu souřdnice x = (x 1,..., x n R n, které odměřují výchylku z rovnovážné polohy.. Npíši pohybové rovnice ve tvru T x + U x =, kde T, U R n,n jsou konstntní mtice. 3. Předpokládám řešení ve tvru x(t = A cos (ωt + ϕ, R n je konstntní vektor poměrů mplitud. 4. Dosdím do pohybových rovnic požduji netrivilitu řešení, tzn. A. Dostnu ( U ω T =. Tyto podmínky vedou n tzv. sekulární rovnici U ω T =. 5. Sekulární rovnice je polynom n-tého stupně v ω. Njdu příslušné kořeny ωk. K nim njdu příslušné vlstní vektory k jko řešení rce ( U ωk T k =. 6. Obecné řešení pohybu je pk tvru Poznámky: x(t = n A k k cos (ω k t + ϕ k. k=1 Konstnty úhlových rychlostí ω k vektorů mplitud k jsou dné fyzikálním systémem, tzn. npříkld hmotnostmi jednotlivých závží tuhostmi jednotlivých pružin. Integrční konstnty mplitudy módů A k fázových posuvů ϕ k jsou dné počátečními podmínkmi, tzn. npříkld počátečními polohmi rychlostmi jednotlivých závží. Jedná se skutečně o úlohu hledání vlstních čísel vektorů. Vezmeme-li rovnici (U ω T = vynásobíme ji mticí T 1, dostneme ( T 1 U = ω, tedy hledáme vlstní čísl ω vlstní vektory mtice T 1 U. 9

11 Jelikož hledáme kořeny tvru ω, potřebujeme, by tyto vycházely kldné. To je zjištěno, pokud jsou mtice T U pozitivně definitní. Pro fyzikální systémy, které vychylujeme ze stbilní rovnovážné polohy, je toto vždy splněno. Může se stát, že některé ω k je násobným kořenem sekulární rovnice. Pk se jedná o tzv. degenerovnou úlohu. Nestne se ovšem nic jiného než to, že příslušné úhlové frekvenci ω k přísluší více lineárně nezávislých vektorů poměrů mplitud (tzn. pro dné ω k je jádro mtice U ω k T vícedimenzionální. 1.3 Kinetická potenciální energie Uvžujme, že se nám podří kinetickou T potenciální U energii systému zpst v následujícím tvru T = 1 x T T x = 1 n T ij ẋ i ẋ j, U = 1 xt U x = 1 n U ij x i x j, (1.39 i,j=1 tzn. jko tzv. kvdrtické formy v rychlostech x (pro kinetickou energii T v polohách x (pro potenciální energii U. Mtice T U opět uvžujeme konstntní. Z tvru kvdrtické formy musí být tyto mtice nutně symetrické, U ij = U ji, T ij = T ji. Potom pohybové rovnice jsou opět tvru T x + U x =. (1.4 tedy připrvené pro metodu módů. Ukžme, že to tk je. Newtonovy pohybové rovnice jsou tvru m i ẍ i = F i = U m i ẍ i + U =. (1.41 x i x i Spočítejme derivci U x i s použitím tvru U z (1.39: U x i = 1 n j,k=1 U jk (x j x k = 1 x i n j,k=1 U jk (δ ij x k +x j δ ik = 1 i,j=1 n U ik x k + 1 k=1 n U ji x j = j=1 n U ij x j, (1.4 kde jsme použili vzth x i x j = δ ij δ ij je Kroneckerovo delt. N prvé strně nám skutečně vyšel složkový zápis výrzu U x. Postupme dále. V nšem přípdě je mtice kinetické energie vždy digonální, s hmostnostmi jednotlivých těles n digonále: T = n i=1 1 m iẋ i, T = dig (m 1,..., m n = m 1... m n Pk zjevně m i ẍ i = n j=1 T ijẍ j, nebot T ij = δ ij m i. Máme tedy rovnice j=1 (1.43 n (T ij ẍ j + U ij x j =, (1.44 j=1 což je jen složkový zápis mticových rovnic (1.4. 1

12 1.3.1 Podélné kmity tří závží Uvžujme systém tří závží n pružinkách jko n obrázku 1.9 (klidová délk pružinek musí být, jelikož nemáme krjní těles zvně upevněn. m k M k m Obrázek 1.9: Tři závží n třech pružinkách. Klidová délk pružin je. Povolujeme pouze podélné výchylky zvedeme tedy souřdnice x 1, x x 3 jko n obrázku 1.1. x 1 + x x + x 3 O 1 x 1 O x O 3 x 3 Obrázek 1.1: Podélné výchylky jednotlivých závží k nim zvedené souřdnice x 1, x x 3 znázorněné délky jednotlivých pružin. Funkce potenciální energie U(x 1, x, x 3 sndno npíšeme pomocí délek pružin znázorněných n obrázku 1.1: U(x 1, x, x 3 = 1 k( x 1 + x + 1 k( x + x 3 = 1 k(x 1 + x + x 3 x 1 x x x 3. (1.45 Pk příslušná mtice U kvdrtické formy 3 potenciální energie, U = 1 xt U x, je U = 1 k k x 1 k k (x 1, x, x 3 k k k x U = k k k. (1.46 k k x 3 k k Celková kinetická energie je dán součtem kinetických energií jednotlivých závží, funkce kinetické energie T (ẋ 1, ẋ, ẋ 3 má následující tvr T (ẋ 1, ẋ, ẋ 3 = 1 mẋ Mẋ + 1 mẍ 3 = 1 m ẋ 1 (ẋ 1, ẋ, ẋ 3 M ẋ, (1.47 m ẋ 3 3 Pro kvdrtický polynom P (x 1, x, x 3 = 1x 1 + x + 3x 3 + b 1x 1x + b 13x 1x 3 + b 3x x 3 = vypdá příslušná mtice kvdrtické formy P následovně: P = b 1 b 13 1 b 1 b 3 b 13 b P ijx ix j i,j=1 11

13 zde je přepis pomocí mtice kvdrtické formy (tentokrát v rychlostech x sndný. Výsledné mtice jsou k k m U = k k k, T = M. (1.48 k k m Tyto mtice U T již můžeme použít k nlezení vlstního pohybu systému pomocí metody módů Mlé kmity Co dělt, když se potenciální energie nedá zpst ve tvru U = 1 n i,j=1 U ijx i x j, tzn. jko kvdrtickou funkci výchylek z rovnovážné polohy? (Pk síly nejsou lineární funkcí výchylek, F i = n j=1 U ijx j pohybové rovnice nejsou tvru T x + U x =. Pokud chceme použít metodu módů, je třeb se uchýlit k proximci mlých kmitů. Tto spočívá v proximci potenciální funkce U( x pomocí Tylorov polynomu do druhého řádu 5 okolo středu v rovnovážné poloze, tzn. pro x = : n U U( x = U(x 1,..., x n = U( + x i + 1 n U x i x j +... (1.49 x i x i x j i=1 x= Člen nultého řádu U( je konstnt oznčující nulovou hldinu potenciálu můžeme jí volit libovolně, položíme ji tedy rovnou nule. Člen prvního řádu obshuje výrz pro síly: F i = U x i, le jelikož je vyčíslen v bodě x =, tzn. v rovnovážné poloze, tk z definice rovnovážné polohy musí tyto síly vymizet. V Tylorově rozvoji je tk první nenulový člen právě druhý řád rozvoje. Oznčíme-li si U ij jko U ij = U x i x j (1.5 x= máme rozvoj funkce U( x ve tvru U( x = 1 i,j=1 x= n U ij x i x j +... (1.51 i,j=1 Znedbáním všech vyšších řádů dostneme přibližné vyjádření U mlé ( x = 1 n U ij x i x j = 1 xt U x, (1.5 i,j=1 4 Až n to, že nemůžeme. Aby metod módů fungovl (tzn. poskytl obecné řešení dných pohybových rovnic, musí mít systém stbilní rovnovážnou polohu (což se promítne do toho, že mtice U bude pozitivně definitní. Zde jsně vidíme, že celá soustv se může volně pohybovt ve vodorovném směru, systém tudíž nemá tendenci se vrcet do rovnovážné polohy nemáme tedy k dispozici stbilní rovnovážnou polohu. Ale pohybové rovnice jsou smozřejmě určené správně. 5 Tylorův polynom do druhého řádu v jedné proměnné pro funkci f(x se středem v bodě x = má následující tvr f(x = f( + f ( x + 1 f ( x +... nebo při zápisu derivce jko df máme dx f(x = f( + df x + 1 d f x +..., dx dx x= kde svislou čárou vyznčujeme doszení bodu středu x =. Pro funkci více proměnných jednoduše derivujeme podle všech (kombincí proměnných všechny členy sčítáme. x= 1

14 které je přesně tvru, který potřebujeme do metody módů. Toto vyjádření U mlé ( x dobře proximuje přesnou funkci U( x pro dosttečně mlé výchylky z rovnovážné polohy, kdy lze znedbt vyšší řády Tylorov polynomu (které budou úměrné lespoň kubické mocnině 6 výchylek x i Příčné kmity dvou závží Jedním z přípdů, kdy přesný výrz pro potenciální energii nelze npst ve tvru U = 1 xt U x je příkld 1.8 v [] příčné kmity dvou závží n třech pružinách, viz obrázek 1.11, kde jsou zároveň znázorněné zvedené krtézské souřdnice odměřující výchylky z rovnovážné polohy. y 1 y k m k m k ( Prmetry systému: hmotnosti závží m, tuhosti pružinek k, vzdálenosti mezi závžími. l 1 l l3 O 1 O (b Příslušné krtézské souřdnice y 1 y odměřující výchylku příčných kmitů z rovnovážné polohy. Délky jednotlivých pružinek jsou l 1 = + y 1, l = + (y 1 y, l 3 = + y. Obrázek 1.11: Příčné kmity dvou závží n třech pružinkách. Délky pružin při výchylkách y 1 y jsou n obrázku Funkce potenciální energie U(y 1, y má pk přesný tvr [ ( U(y 1, y = 1 ( ( ] k + y1 + + (y 1 y + + y. Hledná mtice U bude obshovt následující prvky ( U11 U U = 1 = U 1 U ( U y1 U y y 1 U y 1 y U y (1.53, (1.54 y 1 = kde svislou čárou vyznčujeme doszení bodů y 1 = y = do druhých derivcí. Zčněme derivovt. Po spočtení první derivce 7 dle y 1 lehké úprvě výrzu obdržíme [( ( ] U = k 1 y y 1 + y (y 1 y = k [y 1 + P (y 1 y ], + (y 1 y ( Člen třetího řádu polynomu by měl tvr 1 3! n i,j,k=1 3 U x ix jx k. x i x j x k 7 Nemůžeme zde dosdit body y 1 = y =!!! Pk už bychom těžko mohli počítt druhé derivce... x= 13

15 kde jsme si výrzy v levé prvé kulté závorce pro zkrácení zápisu oznčili jko P. Nyní můžeme počítt druhé derivce. Schémticky tyto derivce vypdjí následovně: U 11 = ( [ U = k y 1 y 1 y 1 y1 = y y1 = + y 1 = y y 1 ] P (y 1 y y y1 = + P y 1 = (y 1 y, 1 y 1 U 1 = U 1 = ( [ U = k + y y 1 y1 P ] (y 1 y = y y1 = + P y 1 = (y 1 y. y (1.56 Nyní si všimneme, že derivce výrzů P nemusíme počítt, jelikož se stejně vynulují díky členům y 1 y1 = = (y 1 y y1 = =. Výsledné zbylé výrzy pk jsou [ ] ( U 11 = k y1 = + P y 1 = = k 1 [ ] (, U 1 = U 1 = k P y1 = = k 1, (1.57 kde jsme již jen do oznčeným výrzů P dosdili rovnovážnou polohu (y 1 =, y =. Derivce podle y bychom získli jednoduše záměnou y 1 y. Výsledná mtice U je tvru: ( k k U = ( k k, k = k 1. (1.58 Systém se tedy kvlittivně chová stejně jko u podélných kmitů s pružinkmi modifikovné tuhosti k = k ( 1 bude mít tedy stejné módy jko systém s podélnými kmity, jen úhlové frekvence budou obshovt k místo k. Vidíme, že počítt tyto mtice ručně je čiré utrpení. Proto to, ž n školní výjimky, budeme vždy svěřovt počítči... (Viz npříkld kpitol Počáteční podmínky Metod módů nám umožňuje nlézt obecné řešení pohybu zdného fyzikálního systému, který vychylujeme ze stbilní rovnovážné polohy. Po zdání počátečních podmínek můžeme nlézt konkrétní řešení, které tyto podmínky splňuje. Zkusme si to konkrétně n příkldu podélných kmitů dvou závží n třech pružinách (viz obrázek 1.6 v sekci Obecné řešení vyšlo (viz sekce 1. ve tvru ( ( ( x1 (t 1 1 x(t = = A x (t 1 cos(ω 1 1 t + ϕ 1 + A cos(ω 1 t + ϕ. (1.59 Jko počáteční podmínky vezměme, že těles jsou v čse t = v klidu první těleso je vychýlené o vzdálenost A do kldného směru: x 1 ( = A, x ( =, ẋ 1 ( =, ẋ ( =. (1.6 Dosdíme-li (1.59 do (1.6 (s příslušným vypočítáním první derivce máme x 1 ( = A 1 cos ϕ 1 + A cos ϕ = A, x ( = A 1 cos ϕ 1 + A cos ϕ =, ẋ 1 ( = A 1 ω 1 sin ϕ 1 A ω sin ϕ =, ẋ ( = A 1 ω 1 sin ϕ 1 A ω sin ϕ =, (

16 Sečtením, resp. odečtením, rovnic (1.61, které jsou v páru, tzn. x 1 ( ± x ( = A ẋ 1 ( ± ẋ ( = dostneme A i cos ϕ i = A, A i sin ϕ i =, i {1, }. (1.6 Máme tedy dvě identické soustvy rovnic pro neznámé A 1, ϕ 1 A, ϕ. Rovnice A i sin ϕ i = implikuje bud A i = nebo sin ϕ i =. Pokud by ovšem A i =, pk nelze splnit rovnici A i cos ϕ i = A. Tzn. musí pltit A i sin ϕ i =. Pltí tedy ϕ i = k i π, k i Z. Tomu pk odpovídá cos ϕ i = ( 1 k i tedy A i = ( 1 k i A. Počáteční podmínky by měly vést n jednoznčné řešení. Je tomu tk? Smozřejmě stčí uvžovt fázové posuny pouze z jednoho intervlu periodicity funkcí sin cos, npř. ϕ i, π, osttní řešení jsou smozřejmě stejná. Stále nám le zbývjí dvě řešení: A i = A, ϕ i = ; A i = A, ϕ i = π. (1.63 Tyto jsou le tké stejná díky identitě cos(x + π = cos x. Výsledné konkrétní řešení získáme doszením výsledných A i ϕ i do obecného řešení (1.59: x(t = A ( 1 cos(ω 1 1 t + A ( 1 cos(ω 1 t, (1.64 tedy směs obou módů se stejnou mplitudou stejným fázovým posuvem. Z jkého intervlu tedy obecně brát fázové posuny, bychom rovnou dostli jednoznčné řešení nemuseli ověřovt, že řešení jsou stejná? Jsou dvě možnosti: Bud trváme n tom, že mplitud by měl být kldné číslo, A >. Potom potřebujeme fáze z intervlu ϕ, π (tzn. záporné znménko umíme ngenerovt pomocí fází ϕ π. Anebo si řekneme, že mplitud může být libovolné reálné číslo, A R, pk le uvžujeme fáze pouze z intervlu ϕ, π. 1.6 Normální souřdnice Ilustrujme pojem normálních souřdnic n příkldě podélných kmitů dvou závží n třech pružinkách (viz obrázek 1.6 v sekci Obecné řešení je tvru (viz sekce 1.: x(t = A 1 ( 1 1 cos(ω 1 t + ϕ 1 + A ( 1 1 cos(ω t + ϕ. (1.65 Uvžujme nyní prostor všech možných poloh, v jkých se tento fyzikální systém může nlézt. Tomuto prostoru se říká konfigurční prostor C. V nšem přípdě se jedná o množinu všech výchylek z rovnovážné polohy, tzn. (x 1, x C = R, viz obrázek 1.1. Pokud vybudíme první mód, bude systém opisovt úsečku ve směru vektoru 1 ; nlogicky pokud vybudíme druhý mód. Viz obrázek Chtěli bychom nyní zvést nové souřdnice (η 1, η, které budou mít tkovou vlstnost, že kmitá-li systém v prvním módu, tk celý pohyb budes popisovt pouze souřdnice η 1 druhá souřdnice η bude nulová. Anlogicky pro systém vybuzený do druhého módu, pk chceme η 1 = pouze η popisující polohu systému. Podíváme-li se znovu n obrázek 1.1, vidíme, že stčí vést nové souřdné osy ve směrech vektorů poměru mplitud 1, což je znázorněno n obrázku

17 x (x 1, x x 1 1 Obrázek 1.1: Konfigurční prostor dvou podélně kmitjících závží. Poloh systému je jednoznčně určen bodem (x 1, x R = C v konfigurčním prostoru. Zároveň jsou zde zkresleny vektory poměrů mplitud 1. x x x 1 x ( Kmitání systému v prvním módu. (b Kmitání systému v druhém módu. Obrázek 1.13: Schemticky zkreslené trjektorie v konfigurčním prostoru systému kmitjícím v jednotlivých módech. x η e e 1 x 1 1 η 1 Obrázek 1.14: Normální souřdnice (η 1, η mířící ve směrech vektorů poměru mplitud 1. Bzické vektory e 1 e mířící ve směrech os x 1 x. 16

18 Chceme tedy přejít od souřdnic x = (x 1, x k novým souřdnicím η = (η 1, η pomocí mtice přechodu P definovné jko x = P η ( tedy tké η = P 1 x. Potřebujeme mtici P tkovou, že když jí předhodíme souřdnice η = (1, T, tk dostneme vektor 1 když vektor η = (, 1 T, tk dostneme vektor. Tuto podmínku zjevně splňuje následující mtice P = ( ( 1 ( = ( 1 1, ( tzn. do sloupců dáme jednotlivé vektory i. Rozepsáno po složkách (do jednotlivých souřdnic máme x 1 = η 1 + η, x = η 1 + η, η 1 = x 1 x, η = x 1 + x (1.67 V těchto normálních souřdnicích vypdá pohyb systému následovně: ( ( ( ( η1 (t 1 A1 cos(ω η(t = = A η (t 1 cos(ω 1 t + ϕ 1 + A cos(ω 1 t + ϕ = 1 t + ϕ 1 (1.68 A cos(ω t + ϕ Pohybové rovnice v normálních souřdnicích mjí tvr η k + ω k η k =, k {1, }, (1.69 jelikož řešení (1.68 předstvuje nezávislé hrmonické oscilátory v jednotlivých normálních souřdnicích Normální souřdnice obecně Již brzy. 1.7 Vícerozměrný pohyb Podívejme se n příkld 1.9 v [], kde uvžujeme kmity jednoho závží v rovině zvěšeného n čtyřech pružinkách, viz obrázek m k y k x k y k x ( Prmetry systému: hmotnost závží m tuhosti pružinek k x k y. (b Vzdálenosti rovnovážné polohy od uchycení. Obrázek 1.15: Kmity závží v rovině zvěšeného n čtyřech pružinkách. Zved me krtézské souřdnice (x, y odměřující výchylku z rovnovážně polohy jko n obrázku 1.16 vlevo. Vektor výchylek je tedy x = (x, y. Délk jednotlivých pružin je znázorněná n obrázku 1.16 vprvo. 17

19 y x + ( y ( + x + y ( x + y O x x + ( + y ( Krtézské souřdnice (x, y odměřující výchylku z rovnovážně polohy. (b Délky jednotlivých pružin při vychýlení n pozici (x, y. Obrázek 1.16: Kmity závží v rovině zvěšeného n čtyřech pružinkách. Funkce potenciální energie U(x, y má tvr: U(x, y = 1 [ ( k ( ] x ( + x + y + ( x + y + [ 1 ( k ( ] y x + ( y + x + ( + y. (1.7 Tto zjevně není ve tvru U = 1 xt U x. Musíme tedy použít proximci mlých kmitů, tzn. npočítt druhé prciální derivce v místě x =, y = : ( U U x U = x y. (1.71 x=,y= U z y Toto rději svěříme počítči... Npříkld v progrmu Wolfrm Mthemtic: U = (1/*kx*((Sqrt[(+x^+y^]-^+(Sqrt[(-x^+y^]-^+ (1/*ky*((Sqrt[x^+(-y^]-^+(Sqrt[x^+(+y^]-^; D[U, x, x] /. {x->, y->} D[U, x, y] /. {x->, y->} D[U, y, y] /. {x->, y->} Výsledkem pk je U y ( ( kx + k U = y 1 ( k x 1. (1.7 + ky Kinetická energie je zde T (ẋ, ẏ = 1 m(ẋ + ẏ = 1 ( (ẋ m (ẋ, ẏ m ẏ T = ( m, (1.73 m tzn. jelikož tělesu nyní umožňujeme kont dvourozměrný pohyb, hmotnost těles m se v mtici T objeví dvkrát tedy pro kždou souřdnici, která je k popisu pohybu těles použit. Výsledné (proximovné pohybové rovnice jsou ( mẍ + [k x + k y 1 ] x =, ( mÿ + [k x 1 18 ] + k y y =. (1.74

20 Jelikož mtice U vyšl digonální, tk máme nezávislé pohybové rovnice dvou hrmonických oscilátorů můžeme rovnou psát řešení: ( ( ( x(t 1 x(t = = A y(t x cos(ω x t + ϕ x + A y cos(ω 1 y t + ϕ y, (1.75 kde ( ωx = k x + k y 1 (, ωy = k x + k y. ( Hodnoty úhlových frekvenci jsou vlstně docel intuitivní. Vybudíme-li mód kmitjící ve směru x chovjí se vodorovné pružiny jko při podélných kmitech, ztímco svislé pružiny se chovjí jko při příčných kmitech tto část úhlové frekvence obshuje fktor 1. U svisle kmitjícího módu je tomu nopk. 1.8 Příkldy 1. Pohybové rovnice. Nlezněte pohybové rovnice k nim příslušné mtice T U, definovné pomocí T x + U x =. Sestvte pohybové rovnice pro tři podélně kmitjící závží n čtyřech pružinkách. k m k m k m k Obrázek 1.17: Podélné kmity třech závží n čtyřech pružinkách.. Módy systému. Nlezněte módy obecné řešení tvru N x(t = A k k cos (ω k t + ϕ k k=1 pro systémy popsné následujícími mticemi T U: b c d T = T = T = T = ( m m ( m 3m ( m m ( m m ( 3k k, U = k 6k ( 5k k, U = k 5k ( k k, U = k 4k ( 3k k, U = k 6k ; ; ; ; 19

21 e f g h T = m m m, U = Nápověd: Jedn z vlstních frekvencí je ω = T = m m m 3k k k 4k k k 5k k m., U = Nápověd: Jedn z vlstních frekvencí je ω = T = m m m k m., U = Nápověd: Jedn z vlstních frekvencí je ω = T = m m 3m k m., U = Nápověd: Jedn z vlstních frekvencí je ω = k m. k k k k k k k k k k k k k 4k k k k 4k 3k 3k 6k 3. Mlé kmity. Nlezněte mtice U pro následující funkce potenciální energie U:. ;.. b c U(x 1, x = 1 ] [x k 1 + (x x 1 + 4x, U(x 1, x, x 3 = 1 ] [x k 1 + (x x 1 + (x 3 x + x 3, [ ] U(y = k + y d [ U(x 1, x = 1 ( k + l sin x l sin x 1 l l ( mgl cos x 1 + cos x. l l + l ( cos x l ] cos x 1 l

22 Kpitol 1D vlnová rovnice Fourierovy řdy V této kpitole se budeme zbývt hledáním řešení jednorozměrné vlnové rovnice řešením počátečních podmínek pohybu konečně dlouhé struny. Fourierovy řdy. Vlnová rovnice. Metod seprce proměnných. Hledání konkrétního řešení pomocí zdných počátečních podmínek..1 Fourierovy řdy Mějme periodickou funkci f : R R s periodou. Pk Fourierovou řdou f F nzveme následující funkci funkce f f F (z = + + kde koeficienty m b m jsou dné vzthy: m = 1 Poznámky: ( m cos mπz + b m sin mπz, (.1 f(z cos mπz dz, m N ; b m = 1 f(z sin mπz dz, m N. (. Koeficient se tedy spočte jko = 1 f(z dz (.3 pk výrz vlstně předstvuje průměrnou funkční hodnotu funkce f (n intervlu,. Pokud se stne, že funkce f je sudá (f(x = f( x nebo lichá (f(x = f( x, pk se Fourierov řd (.1 vzorce pro koeficienty m b m (. zjednodušší. 1

23 Pro sudé funkce máme koeficienty m = výsledná Fourierov řd f(z cos mπz dz, m N ; b m =, (.4 f F (z = + + Pro liché funkce dostáváme výrzy pro koeficienty Fourierov řd je tvru m =, m N ; b m = f F (z = + m cos mπz. (.5 f(z sin mπz dz, m N, (.6 b m sin mπz. (.7 Konvergence k funkci f. Nejprve, bychom vůbec mohli k dné funkci f njít její Fourierovu řdu f F, potřebujeme koeficienty m b m musí tedy konvergovt integrály (.. To je zjištěno poždvkem, by funkce f byl integrbilní, tzn. by integrál f(z dz existovl byl konečný. Dále bychom chtěli, by pltilo f F = f; tedy že příslušná Fourierov řd f F konverguje k smotné původní funkci f. N toto existuje řd postčujících podmínek. Pokud existují obě konečné jednostrnné derivce v dném bodě z (pk je v tomto bodě funkce nutně již spojitá, pk Fourierov řd konverguje k funkci f, f F (z = f(z. Pokud existují konečné jednostrnné limity derivcí 1 v bodě z (pk funkce v tomto bodě může mít skok, pk Fourierov řd konverguje k f F (z = 1 ( lim f(z + lim f(z, (.8 z z + z z tedy k průměru jednostrnných limit; přípdně přímo k funkční hodnotě, pokud je funkce v bodě z spojitá. Význm. Rozkld funkce f do její Fourierovy řdy říká, že se periodická funkce f dá složit pouze z (vhodně zvolených hrmonických funkcí sin cos ( konstnty. Dále se jedná vlstně o rozkld vektoru f z vektorového prostoru periodických funkcí F do (nekonečné báze B = {(cos k m z + m=, (sin k mz + }, (.9 kde k m = mπ. Jestliže nvíc zvedeme sklární součin dvou periodických funkcí f g (f, g F jko f, g := 1 f(zg(z dz, (.1 potom koeficienty m b m nejsou nic jiného než koeficienty lineární kombince získné jko projekce vektoru f n vektory báze pomocí sklárního součinu (.1 : m = f, cos k m z, b m = f, sin k m z, (.11 těmto koeficientům se v lineární lgebře říká Fourierovy koeficienty. 1 A existují derivce n okolí bodu z (vyjm bodu z tento poždvek je někdy již schován v poždvku existence limity, někdy le ne v závislosti n přesné definici pojmu limit. S výjimkou koeficientu, kde nám vdí nejednotkovost funkce f(z = 1, f, f =.

24 .1.1 Sudé liché prodloužení Mějme funkci f :, R. Definujme její tzv. sudé liché prodloužení f sudé : R R f liché : R R. f(z z Obrázek.1: Funkce f :, R. Nejprve definujeme funkce f sudé f liché n intervlu, tk, by souhlsily s původní funkcí f: f sudé, = f, f liché, = f. (.1 Pk dodefinujeme funkce f sudé f liché n intervlu, tkto: f sudé (z = f( z, f liché (z = f( z, z,, (.13 tzn. tk, by funkce f sudé byl sudá n intervlu, funkce f liché lichá n,. N závěr funkce f sudé f liché jednoznčně dodefinujeme n celé R tk, by se jednlo o periodické funkce s periodou. Výsledek těchto prodloužení pro konkrétní přípd funkce f n obrázku.1 vidíte n obrázku.. f sudé z z f liché ( Sudé prodloužení f sudsé. (b iché prodloužení f liché. Obrázek.: Sudé liché prodloužení funkce f. Ze zdné funkce f :, R jsme získli periodické sudé, resp. liché, funkce f sudé, resp. f liché. Můžeme tedy počítt jejich Fourierovy řdy, které díky sudosti, resp. lichosti, vyjdou v následujících tvrech: f sudé (z = + + m cos mπz, f liché(z = + b m sin mπz, (.14 3

25 kde koeficienty m b m jsou dle (.4, resp. (.6, dné jko m = b m = f sudé (z cos mπz f liché (z sin mπz dz = dz = f(z cos mπz f(z sin mπz kde jsme využili toho, že f sudé (z = f liché (z = f(z pro z,. Pk pltí dz, dz, (.15 f(z = + + m cos mπz = + b m sin mπz pro z,. (.16 Podřilo se nám tedy funkci f vyjádřit jko lineární kombinci bud pouze funkcí sinus nebo pouze funkcí cosinus! To by se nám někdy v budoucnu mohlo hodit, npříkld při hledání konkrétního řešení pohybu struny délky zdných počátečních podmínek. Poznámk: Při prodlužování jsme zcházeli poněkud lehkomyslně s krjními body z = z =. U lichého prodloužení může nstt problém pokud f( f( (funkce pk nemůže být lichá, resp. periodická. Tento problém můžeme bez obv ignorovt, jelikož koeficienty Fourierovy řdy m b m jsou dné integrálními vzorci integrály nejsou citlivé n změnu funkční hodnoty integrovné funkce v jednom bodě. Můžeme si tedy předstvovt, že při lichém prodlužování redefinujeme původní funkci f tk, že položíme f( = f( =..1. Příkldy Fourierovy řdy obdélníkových pilovitých kmitů Obdélníkové kmity: Uvžujme funkci f(z ve tvru obdélníkových kmitů jko n obrázku.3. A f(z z A Obrázek.3: Obdélníkové kmity s periodou mplitudou A. Jedná se o lichou funkci použijeme tedy vzthy (.6 pro koeficienty b m : b m = A sin mπz dz = [ ] mπz cos = mπ mπ (1 ( 1m, (.17 kde jsme dosdili funkční hodnotu f(z n intervlu,, což je konstnt A. Výsledná Fourierov řd (.7 je pk tvru f(z = + mπ (1 ( 1m sin mπz = + k=1 4 (k 1π kde jsme n závěr přešli k sumci jen přes liché (nenulové členy. 4 (k 1πz sin, (.18

26 Pilovité kmity: Dále uvžujme funkci f(z ve tvru pilovitých kmitů jko n obrázku.4. A f(z z Obrázek.4: Pilovité kmity s periodou mplitudou A. Jedná se o sudou funkci použijeme nyní vzthy (.4 pro koeficienty m. Potřebujeme funkční předpis n intervlu,. Jedná se o úsečku procházející body [, A] [, ], tedy f(z = A z + A z,. (.19 Koeficienty m pk spočteme pomocí per prtes: m = ( A cos mπz A dz =... = (πm (1 ( 1m. (. Jelikož výsledek dává smysl jen pro m, je třeb si koeficient spočítt zvlášt : = Po doszení je výsledná Fourierov řd (.5 tvru f(z = A + + A (πm (1 ( 1m cos mπz A z + A dz =... = A (.1 kde jsme opět n závěr přešli k sumci jen přes liché (nenulové členy.. Pohyb struny = A + + 4A (k 1πz π cos, (. (k 1 Pohyb struny budeme popisovt funkcí ψ(z, t popisující příčnou výchylku struny v kždém místě struny z v kždém čse t, viz obrázek.5. Tento pohyb se (v proximci mlých výchylek řídí jednorozměrnou vlnovou rovnicí ψ ρ t = T ψ z, (.3 kde ρ je délková hustot struny T je npětí ve struně. k=1 ψ(z, t z z Obrázek.5: Příčná výchylk struny je popsán funkcí ψ(z, t. Nyní budeme uvžovt strunu konečné délky ntženou mezi body z = z =. Abychom mohli hledt řešení vlnové rovnice (.3 je třeb ještě dodt tzv. okrjové podmínky. Tyto popisují chování struny v místech uchycení, tzn. pro z = z =. 5

27 Pevné konce: ψ(, t = ψ(, t =. Tyto okrjové podmínky se diskutovly n přednášce vedly k obecnému řešení tvru: ψ(z, t = + A m sin ( ( mπz T mπ cos ρ t + ϕ m (.4 n = 4 n = 3 n = n = 1 z Obrázek.6: První čtyři módy pohybu struny s pevnými konci. Tečkovně jsou nznčeny tvry módů posunuté o polovinu čsové periody. Volné konce: ψ ψ z (, t = z (, t =. Tyto budeme podrobně diskutovt v následující sekci..1. Jeden konec pevný, druhý volný: ψ(, t = ψ z (, t = 3. Toto nechme k diskuzi smotnému čtenáři...1 Řešení vlnové rovnice seprcí proměnných Nlezněme obecné řešení pohybu struny délky (n souřdnicích z, s okrjovými podmínkmi volných konců. Toto je příkld.9 v []. Máme tedy vlnovou rovnici ψ ρ t = T ψ z (.5 popisující příčnou výchylku struny ψ(z, t společně s okrjovými podmínkmi ψ ψ (, t =, z (, t =, t R. (.6 z Řešení se pokusíme njít metodou seprce proměnných. Předpokládáme řešení ve tvru ψ(z, t = Z(z T (t, (.7 s neznámými funkcemi Z(z T (t jedné proměnné. Pokud tento nstz dosdíme do vlnové rovnice (.5 obdržíme ρ Z(z T (t = T Z (zt (t, (.8 pokud nyní tuto rovnici vydělíme ρ Z(z T (t obdržíme seprovnou rovnici 3 Anebo obráceně: ψ (, t = ψ(, t =. z Z Z (z = T T (t, z, t R, (.9 ρ T 6

28 kde levá strn je závislá pouze n proměnné z prvá strn pouze n t. Jelikož tto rovnice musí být splněn pro všechn z, t R, tk se levá prvá strn musí rovnt společné konstntě 4, oznčme ji C: Z Z (z = C = T T (t. (.3 ρ T Jednoduchou úprvou dospějeme ke dvěm obyčejným diferenciálním rovnicím pro funkce Z(z T (t se ztím neurčenou konstntou C: Z + CZ =, T + C T ρ T =. (.31 Než se pustíme do řešení rovnic (.31, podívejme se n okrjové podmínky (.6, do kterých dosdíme nstz (.7: ψ (, t = Z (T (t =, ψ (, t = Z (T (t =. (.3 Poždujeme-li netriviální T (t ( tedy i nenulové řešení ψ(z, t, tk se okrjové podmínky (.3 redukují n: Z ( =, Z ( =. (.33 Tyto tedy budeme muset splnit při řešení levé rovnice (.31. Pust me se do toho, řešme rovnici Z + CZ = se ztím neurčenou konstntou C. Rozlišme tři přípdy podle toho, jestli C <, C = nebo C > (což zcel mění chrkter řešení: Přípd C < : Diferenciální rovnice Z C Z = má řešení v podobě Derivce má pk tvr Z(z = c 1 e C z + c e C z, (.34 Z (z = c 1 C e C z c C e C z (.35 okrjové podmínky (.33 vedou n = Z ( = c 1 C c C = c1 = c, (.36 = Z ( = c 1 C e C c C e C e C = e C. (.37 Vidíme, že pro nenulové nelze okrjové podmínky netriviálně splnit (pouze pro c 1 = c =. Pro C < tedy nelze nlézt netriviální řešení. 4 Zderivujeme-li rovnici (.9 podle proměnné z, resp. t, obdržíme: ( d Z =, = d ( ρ T. dz Z dt T Pokud má funkce nulovou derivci, musí tto funkce být konstntní: T Z Z = C1, ρ T T T = C. Ukázli jsme tedy, že se se levá, resp. prvá, strn rovnice (.9 rovnjí konstntě C 1, resp. C. Ale jelikož se levé strny výše npsných rovnic rovnjí pro z, t, tk musí být C 1 = C. 7

29 Přípd C = : Rovnice pro Z(z se zjednodušší n Z = Z(z = c 1 z + c, (.38 s řešením v podobě lineární funkce. Okrjové podmínky (.33 vedou n Z (z = c 1, Z ( = Z ( = c 1 =, (.39 zůstlo nám tedy netriviální řešení Z(z = c. Řešme k tomu čsovou rovnici pro T (t: T = T (t = s 1 t + s, (.4 opět s řešením v podobě lineární funkce. Pokud zkombinuje tyto výsledky v nstzu (.7 dostneme ψ (z, t = Z(zT (t = c (s 1 t + s = v t + z, (.41 kde jsme přejmenovli integrční konstnty n v = c s 1 z = c s. Toto řešení předstvuje rovnoměrný přímočrý pohyb struny podél osy z. Přípd C > : A poslední přípd je diferenciální rovnice tvru Z + CZ = s řešením npř. ve tvru ( Z(z = A cos C z + ϕ, Z (z = A ( C sin Cz + ϕ (.4 Okrjové podmínky (.33 nyní vedou n rovnice = Z ( = A C sin ϕ ϕ =, (.43 = Z ( = A ( C sin C + ϕ. (.44 Jejich řešením je ϕ = 5 ( sin C = C = mπ, m N. (.45 Uvžujeme pouze m N, jelikož pro m = nelze rovnici splnit pro m < dostáváme stejná řešení (jen se zápornými mplitudmi. Přípustné hodnoty konstnty C tedy můžeme indexovt přirozeným číslem m: ( mπ C m =. (.46 Kždé konstntě C m přísluší řešení tvru které je řešením rovnice Z m (z = A cos Z + ( mπz, (.47 ( mπ Z =. (.48 Ještě nám ke kždému přípustnému C m (splňující okrjové podmínky zbývá řešit příslušnou čsovou rovnici pro T (t, viz (.31 vprvo: T + ( mπ T T =. (.49 ρ 5 ze sndno ověřit, že pro ϕ = kπ, k, bychom dostli stejnou sdu řešení. 8

30 Tto má řešení npř. tvru: T m (t = B sin ( mπ T t + ϕ m. (.5 ρ Výsledné řešení pohybu struny ψ m (z, t příslušející přípustné hodnotě konstnty C m získáme doszením do (.7: ( ( mπz mπ T ψ m (z, t = Z m (zt m (t = A m cos sin t + ϕ m, (.51 ρ kde jsme sdružili závislé integrční konstnty pojmenovli je A m = AB. Tyto řešení předstvují vibrční módy struny 6. Jelikož vlnová rovnice (.5 je lineární, je řešením i lineární kombince všech výše nlezených řešení: ψ(z, t = ψ (z, t + + ψ m (z, t, (.5 kde koeficienty lineární kombince zstnou mplitudy A m schovné již ve funkcích ψ m (z, t ( konstnty v z v ψ (z, t. Zvedeme-li oznčení vlnového čísl k m úhlové frekvence ω m následovně k m = mπ, ω T T mπ m = k m = ρ ρ, (.53 můžeme psát výsledné obecné řešení nlezené metodou seprce proměnných jko ψ(z, t = v t + z + A m cos (k m z sin (ω m t + ϕ m. (.54 Konstnty v, z, A m ϕ m jsou dány počátečními podmínkmi, nproti tomu konstnty ω m k m jsou dány vlstnostmi fyzikálního systému, který zkoumáme, zde tedy délkou struny, její hustotou ρ npětím v ní T. N obrázku.7 jsou znázorněny první čtyři módy tohoto řešení (tzn. funkce ψ 1 ž ψ 4. n = 4 n = 3 n = n = 1 z Obrázek.7: První čtyři módy pohybu struny s volnými konci. Tečkovně jsou nznčeny tvry módů posunuté o polovinu čsové periody. 6 Řešení vyšlo ve tvru tzv. stojtých vln, tzn. ve tvru ψ(z, t = Z(z cos(ωt + ϕ, kde si vln zchovává svůj tvr Z(z jen se mění její mplitud hrmonickou funkcí. Více tké v kpitole??. 9

31 Vzth mezi vlnovým číslem k úhlovou frekvencí ω se nzývá disperzní vzth zde má jednoduchou podobu: T ω = k. (.55 ρ.3 Řešení počátečních podmínek pro pevné konce Nyní chceme njít konkrétní pohyb struny, máme-li zdné příslušné počáteční podmínky. Npišme si kuchřku této úlohy zde konkrétně pro okrjové podmínky pevných konců. Nejprve vlstní podrobné zdání obecné úlohy. Máme obecné řešení pohybu struny pro okrjové podmínky pevných konců: kde ψ(z, t = + A m sin(k m z sin(ω m t + ϕ m, (.56 k m = mπ, ω m = T ρ k m. (.57 Počáteční podmínky jsou tvořeny počáteční polohou struny počáteční rychlostí struny (pro jednoduchost volíme, že jsou zdné v čse t =. Tyto jsou zdné funkcí počáteční polohy f :, R (musíme zdt počáteční výchylku kždého bodu struny funkcí počáteční rychlosti g :, R (to smé pro počáteční rychlost kždého bodu struny. Nše hledné konkrétní řešení tedy musí splňovt: ψ(z, = f(z, ψ (z, = g(z, z,. (.58 t Abychom tohoto dosáhli, máme k dispozici integrční konstnty A m ϕ m, jejichž hodnotu budeme hledt: A m =? ϕ m =? (.59 Jk n to? Odpověd dává následující kuchřk: 1. Rozepsné počáteční podmínky. Rozepišme levé strny rovnic (.58, tzn. dosd me čs t = do obecného řešení (.56 jeho čsové derivce: ψ(z, = + ψ + t (z, = (A m sin ϕ m sin mπz (A m ω m cos ϕ m sin mπz = f(z, = g(z. (.6. iché prodloužení funkcí f g. Nyní bychom potřebovli npst funkce f g jko řdy, které budou obshovt pouze funkce sin mπz. Toho sndno dosáhneme, pokud si spočítáme Fourierovy řdy funkcí f g v lichém prodloužení (viz kpitol.1.1: f(z = + f m sin mπz, g(z = + kde koeficienty f m g m jsou dné následujícími vzorci: f m = f(z sin ( mπz dz, 3 g m = g m sin mπz, (.61 g(z sin ( mπz dz. (.6

32 3. Výsledné rovnice pro koeficienty A m, ϕ m. Vlstní rovnice pro koeficienty A m ϕ m získáme porovnáním řd (.6 (.61 člen po členu: Tyto rovnice můžeme (formálně 7 vyřešit:.3.1 Příkld s kldívkem A m sin ϕ m = f m, A m ω m cos ϕ m = g m. (.63 A m = fm + g m ωm, tg ϕ m = f mω m. (.64 g m Uvžujme strunu délky s pevnými konci, do které v čse t = přesně uprostřed uhodíme kldívkem šířky z tk, že to příslušnému úseku struny udělí počáteční rychlost v (jedná se o příkld.13 v []. Viz obrázek.8. z v Obrázek.8: Kldívkem udeříme do struny. Pro tuto fyzikální situci jsou výsledné funkce počáteční polohy f počáteční rychlosti g znázorněny n obrázku.9. Počáteční výchylk struny je nulová počáteční rychlost struny je nulová všude kromě úseku, kterému kldivo udělilo rychlost v. f(z v g(z z z ( Funkce počáteční polohy f. z (b Funkce počáteční rychlosti g. Obrázek.9: Počáteční podmínky dné funkcemi f g. Fourierovy koeficienty lichého prodloužení f jsou triviálně f m =. Dále si spočtěme koeficienty lichého prodloužení g, g m : g m = = v mπ + z g(z sin mπz dz = ( mπ ( z cos ( cos z v sin mπz dz = v Rovnice pro koeficienty A m ϕ m jsou (pro f m = : [ mπ cos mπz ( mπ ( mπ ( + z = v mπ sin mπ sin ] + z z z. (.65 A m sin ϕ m =, A m ω m cos ϕ m = g m. (.66 7 Formální je druhá rovnice, která ve skutečnosti reprezentuje dvě rovnice sin ϕ m = fm A m cos ϕ m = gm A mω m, které jednoznčně definují úhel ϕ m pro A m. Pokud A m =, příslušný mód chybí n jeho fázi nezáleží. 31

33 Pro tková m, kdy g m =, máme A m =. Pro g m dostneme A m (jink by nešl splnit druhá rovnice z první rovnice tedy ϕ m =, tím pádem z druhé rovnice A m = gm ω m tento výrz je zjevně pltný i pro g m =. Výsledné řešení pro zdné počáteční podmínky je tedy tvru ψ(z, t = + g m ω m sin(k m z sin(ω m t, (.67 km bychom mohli dosdit konkrétní výrz pro g m z (.65 kde, opět, máme k m = mπz ω m = T ρ k m. 3

34 Kpitol 3 Výsledky příkldů 3.1 Mlé kmity 1. Pohybové rovnice m k k T = m, U = k k k m k k. Módy systému k ω 1 = m, ω = 7k b ω 1 = 6m, ω = c ω 1 = (3 k (3 k 7k m, 1 = (, 1, = ( 1, 3k m, ω = m, 1 = (3, 4, = (, 1 (3+ k (3+ k m, 1 = (1 +, 1, = (1, 1 d ω 1 = m, ω = m, 1 = (, 1, = (, 1 k e ω 1 = m, ω 4k = m, ω 7k 3 = m, 1 = (,, 1, = (, 1,, 3 = (1,, ( k f ω 1 = m, ω k = m, ω (+ k 3 = m, 1 = (1,, 1, = ( 1,, 1, 3 = (1,, 1 k g ω 1 = m, ω k = m, ω 5k 3 = m, 1 = (, 3, 1, = ( 1,, 1, 3 = (, 1, 1 (3 5k h ω 1 = m, ω = 3 = (1, 5 1, 1 3. Mlé kmity k m, ω 3 = (3+ 5k m, 1 = (1, 5 1, 1, = ( 3,, 1, b ( 3k k U = k 6k k k U = k k k k k 33

35 c d U = ( k ( 1 ( k + mg U = l k k k + mg l 34

36 itertur [1] J. Tolr, Vlnění, optik tomová fyzik (Zákldní kurz fyziky FJFI, [] J. Tolr, J. Koníček, Sbírk řešených příkldů z fyziky, Vlnění, Vydvtelství ČVUT, Prh, 5 [3] F. S. Crwford Jr., Berkeley Physics Course, Volume 3, Wves (In SI Units, McGrw Hill Eduction (Indi Privte imited, New Delhi, 16 35