3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě.

Transkript

1 3. Hodoceí přesost měřeí a vytyčováí. Odchyky a toerace ve výstavbě. 3. Úvod o měřeí obecě 3. Chyby měřeí a jejch děeí 3.. Omyy a hrubé chyby 3.. Systematcké chyby 3..3 Náhodé chyby 3.3 Výpočet charakterstky přesost měřeí 3.4 Zpracováí přímých měřeí stejé přesost 3.5 Zpracováí přímých měřeí estejé přesost 3.6 Příkady a zpracováí výsedků přímých měřeí 3.7 Záko hromaděí směrodatých odchyek 3.8 Příkady a apkac ZHSO 3.9 Vybraé pojmy z geometrcké přesost staveb 3.0 Vytyčovací odchyky ve výstavbě

2 3. Úvod o měřeí obecě. V geodéz měříme především déky, úhy, a dáe také apř. čas, vekost síy tíže apod. Výsedek měřeí je charakterzová čísem, závsým též a vobě jedotek. Ze zkušeost patí : opakuje se měřeí téže večy, tak př sebevětší pečvost jsou získáy obecě růzé výsedky. Je to tím, že žádé měřeí eze zoovat od moha rušvých vvů, havě : - edokoaost ašch smysů, - edokoaost přístrojů, - vější vvy, - edostatečá zaost všech okoostí, které způsobují chyby měřeí atd.

3 3. Úvod o měřeí obecě. Omezováím chyb apř. využtím přesějšího přístroje ze sížt jejch vv, a tak zvýšt přesost měřeí. Proměvé, vem početé, a eje proto v podstatě epostžteé vvy určují číseě výsedek měřeí, který je v určtých mezích áhodou (bovoou a epředvídateou) večou. Rozdíost výsedků měřeí vypývá z fyzkáí podstaty prostředí. Př měřeí a jeho zpracováí je hedáa ejspoehvější hodota výsedku měřeí, odhadováa její přesost a meze její spoehvost. Měřeím č zpracováím měřeí NIKDY ezískáme skutečou hodotu večy, vždy se jedá o odhad. 3

4 3. Chyby měřeí a jejch děeí. Výsedek každého měřeí je evyhuteě zatíže skutečou chybou ε, která je souhrem působeí jedotvých vvů. Skutečou chybu měřeí ε ze vyjádřt pomocí skutečé (správé) hodoty večy X a měřeé hodoty : ε = X Chyby měřeí : - hrubé chyby a omyy, - evyhuteé (áhodé, systematcké). 4

5 3. Chyby měřeí a jejch děeí. 3.. Omyy a hrubé chyby Omyy ejsou způsobey objektvím podmíkam měřeí, ae esprávým úkoy měřče (omy, epozorost, špatá mapuace s přístrojem apod.) Hrubé chyby mohou vzkat akupeím epřízvých vvů ebo jejch eobvykou vekostí jako apř. sý vítr ebo vbrace obrazu cíe v daekohedu. Měřeí s těmto chybam jsou v příkrém rozporu s kotroím měřeím - je uté dvojí měřeí ebo měřeí adbytečých hodot. Nejsou chybam evyhuteým a dáe ejsou uvažováy. 5

6 3. Chyby měřeí a jejch děeí. 3.. Systematcké chyby. Vzkají z jedostraě působících příč,za stejých podmíek ovvňují měřeí ve stejém smysu, tj. chyba měřeí má stejé zaméko vekost. Dáe je ze dět a : - kostatí (př každém měřeí stejé zaméko vekost, apř. chybá déka pásma), - proměvé (jejch vv se měí v závsost a podmíkách měřeí, apř. a tepotě atmosféry apod., jejch vv může mít růzá zaméka). Systematcké chyby je možo potačt seřízeím (rektfkací) přístrojů a pomůcek před měřeím a vhodou metodkou zpracováí měřeí. 6

7 3. Chyby měřeí a jejch děeí. 3.. Náhodé chyby. Takové chyby, které př stejé měřeé večě, metodě měřeí, podmíkách a pečvost, áhodě abývají růzé vekost zaméka. Jedotvě emají žádé zákotost a jsou vzájemě ezávsé, epředvídateé a ezdůvodteé. Ve větších souborech (vícekrát opakovaé měřeí) se však jž řídí jstým statstckým zákotostm. Náhodé chyby stejého druhu mají charakter áhodé večy s ormáím rozděeím pravděpodobost. 7

8 3. Chyby měřeí a jejch děeí. Vastost áhodých chyb : - pravděpodobost vzku kadé č záporé chyby určté vekost je stejá, - maé chyby jsou pravděpodobější (četější) ež veké, - chyby ad určtou mez se evyskytují (resp. považujeme je za hrubé). Hustota pravděpodobost ϕ(x) (také frekvečí fukce) ormáího rozděeí N(E(x),σ ): { x E ( x )} ( x ) e σ ϕ =, x (, ). σ π 8

9 3. Chyby měřeí a jejch děeí. ϕ(x) Frekvečí křvka ormáího rozděeí P B = ϕ A ( x )dx A B x E(x) - σ E(x) - σ E(x) E(x) + σ E(x) + σ Pravděpodobost P, že měřeí bude zatížeo chybou o vekost padoucí do tervau <A;B> je rova poše vyšrafovaé v grafu. 9

10 3. Chyby měřeí a jejch děeí. Někok hodot pravděpodobostí P, charakterzujících ormáí rozděeí : A B P E(x) E(x) + σ 0,34 E(x) σ E(x) + σ 0,68 E(x) E(x) + σ 0,477 E(x) σ E(x) + σ 0,954 E(x) E(x) + 3σ 0,499 E(x) 3σ E(x) + 3σ 0,997 E(x) E(x) +,000 0

11 3. Chyby měřeí a jejch děeí. Co to je směrodatá odchyka σ? Je to parametr popsující ormáí rozděeí. Ve vztahu k měřeí je to charakterstka přesost. Z hedska chyb měřeí je třeba vždy tuto charakterstku terpretovat s ohedem a předchozí tabuku, a tedy s uvědomt, že apř. v tervau < -σ ; σ > od měřeé hodoty se vyskytuje hedaá hodota geometrckého parametru s pravděpodobostí 95 % (za předpokadu, že měřeí mají ormáí rozděeí). Výsedkem vvu áhodých a systematckých chyb je skutečá chyba měřeí : ε = + c

12 3.3 Výpočet charakterstky přesost měřeí. Jako charakterstka přesost měřeí se téměř výhradě využívá směrodatá odchyka σ. Druhy směrodatých odchyek : zákadí : z vekého souboru měřeí, kde, výběrová : ze souboru mešího. Výpočet : ε [ ] εε = σ = = = = ε = X

13 3.4 Zpracováí přímých měřeí stejé přesost Př praktckém měřeí kromě ěkoka máo specfckých případů skutečou hodotu ezáme a v takovémto případě je jako ejpravděpodobější odhad skutečé hodoty možo použít artmetcký průměr. Rozdíy průměré hodoty a jedotvých měřeí jsou pak azýváy opravam v, ze kterých se počítá výběrová směrodatá odchyka σ, přesěj vyjádřeo, její odhad. Výpočet patí pro měřeí stejé přesost (= stejé váhy rové jedé). v [ ] σ vv = = = = = [ ] = = = v = 3

14 3.4 Zpracováí přímých měřeí stejé přesost. Směrodatá odchyka je také áhodá veča pokud provedeme stejě apř. x 0 měřeí a vypočteme dvakrát směrodatou odchyku, obecě ebude stejá. Je pro ustrac je zde uvede vzorec pro výpočet odhadu směrodaté odchyky směrodaté odchyky. σ σ = σ kde je adbytečý počet měřeí, zde = () / ( ) 0,7 0,50 0,35 0,4 0,6 0,0 0,07 0,03 4

15 3.4 Zpracováí přímých měřeí stejé přesost. Pokud je záma směrodatá odchyka jedoho měřeí a byo měřeo vícekrát, směrodatá odchyka průměré hodoty se vypočte pode vzorce σ = σ 5

16 3.5 Zpracováí přímých měřeí estejé přesost. Pokud měřeí emají stejou přesost a tato přesost je záma, je uto zvot jý postup zpracováí. Hodota výsedku měřeí je pak získáa jako vážeý průměr [ p] [ p] = = = = Váhy se určují : p c = σ p p, kde c je voeá kostata. 6

17 3.5 Zpracováí přímých měřeí estejé přesost. Směrodatá odchyka hodoty určeé vážeým průměrem se vypočte [ pvv] [ p]( ) = = = σ = = = p p v ( ), kde opravy se vypočtou v = 7

18 3.6 Příkady a zpracováí výsedků přímých měřeí. Příkad : Déka bya měřea opakovaě pětkrát za stejých podmíek a stejou metodou (= se stejou přesostí). Vypočtěte průměrou déku, přesost jedoho měřeí a přesost průměru. / m v / m vv / m 5,68-0,004,96E-06 5,66 0,0006 3,60E ,67-0,0004,60E ,64 0,006 6,76E ,68-0,004,96E-06 Σ 8,33 0,000,E-05 σ = 5,666 m, = 0,007 m, = 0,00075 m σ 8

19 3.6 Příkady a zpracováí výsedků přímých měřeí. Příkad : Déka bya měřea opakovaě pětkrát růzým metodam (= s růzou přesostí). Vypočtěte průměrou déku a přesost průměru. / m σ / m p. p v / m 5,68 0,0030 0,69 3,908-0,003 5,66 0,000,56 8,79 0, ,67 0,005,00 5,67-0, ,64 0,0035 0,5,869 0, ,68 0,005,00 5,68-0,003 Σ 4,77 6,83 Voba c = 0,005, = 5,667 m, = 0,00056 m σ 9

20 3.7 Záko hromaděí směrodatých odchyek. V moha případech eze ebo eí výhodé přímo měřt určovaou hodotu, a tato se pak určuje zprostředkovaě č výpočtem z jých měřeých hodot. Příkadem může být pocha trojúheíka, jsou- měřey dvě stray a úhe. Potřebujeme eje vypočítat hedaou hodotu, ae také určt její směrodatou odchyku. Záme fukčí vztah mez večam, dokážeme j vypočítat pomocí zákoa hromaděí směrodatých odchyek (ZHSO). ZHSO vychází ze zákoa hromaděí skutečých chyb, který je zaože a totáím dferecáu fukčího vztahu. 0

21 3.7 Záko hromaděí směrodatých odchyek. Záko hromaděí skutečých chyb : Fukčí vztah : y = f ( x, x, x 3, x 4, x 5,..., x k ) Patí : ( ) 3 y + ε = f x + ε, x + ε, x + ε,..., x + ε y x x x3 k x k Vzhedem k tomu, že skutečé chyby jsou oprot měřeým hodotám vem maé, ze rozvout pravou strau vztahu pode Tayorova rozvoje s omezeím pouze a čey prvího řádu. f f y f ( x,..., x )... x + ε = + ε + + ε x y k x x k k

22 3.7 Záko hromaděí směrodatých odchyek. Záko hromaděí skutečých chyb : f f f f ε = ε + ε + ε ε x x x x y x x x3 x k 3 k Skutečé chyby měřeých več zpravda ezáme, ae záme jejch směrodaté odchyky a Záko hromaděí směrodatých odchyek je dá vztahem : f f f σ = σ + σ σ y x x x x x xk k

23 3.7 Záko hromaděí směrodatých odchyek. Záko hromaděí směrodatých odchyek patí za ásedujících podmíek :. Jedotvé měřeé večy, a tedy jejch skutečé chyby, musí být vzájemě ezávsé.. Skutečé chyby mají áhodý charakter, jejch zaméko a vekost se řídí ormáím rozděeím. 3. Chyby jsou oprot měřeým hodotám maé, parcáí dervace musí zůstat praktcky kostatí, změí - se měřeé hodoty o hodoty chyb. 4. Jedotvé čey musí mít stejý fyzkáí rozměr. 3

24 3.8 Příkady a apkac ZHSO. Příkad : Jsou zámy dvě déky a = 34,35 m, b = 8,3 m, které byy změřey se σ a =σ b = 0,00m. Dáe by změře úhe ω = 5,345, σ ω = 0,0045. Určete směrodatou odchyku pochy trojúheíka. a ω b 4

25 3.8 Příkady a apkac ZHSO. Fukčí vztah : P = a b s( ω ) Skutečé chyby : ε P = b s( ω ) ε a + a s( ω ) ε b + π + a b cos( ω ) ε ω ρ = π 5

26 3.8 Příkady a apkac ZHSO. Směrodaté odchyky : b s( ) P a a s( ) b σ = ω σ + ω σ + σ ω + a b cos( ω ) ( ρ ) Úprava pro σ a = σ b = σ d : ( b a ) σ = + s ( ω ) σ P d + 4 σ ( a b cos( )) ω + ω 4 ( ρ ) Po dosazeí : σ P = 0,043 m, P = 384,983 m. 6

27 3.8 Příkady a apkac ZHSO. Příkad : Odvoďte vzorec pro směrodatou odchyku průměru z měřeí, záte- směrodatou odchyku jedoho měřeí σ. Fukčí vztah : [ ] = = Záko hromaděí skutečých chyb : ε = ε + ε ε { } Víme, že všecha měřeí mají stejou směrodatou odchyku. O skutečých chybách ae evíme c (je to áhodá veča) a proto NELZE závorku zjedodušt. Obecě patí : ε ε... ε 7

28 3.8 Příkady a apkac ZHSO. Záko hromaděí směrodatých odchyek : Ze zadáí víme, že všecha měřeí mají stejou směrodatou odchyku. Proto patí : σ = σ =... = σ = σ σ σ = σ + σ σ = σ = { } ( ) 8

29 3.9 Vybraé pojmy z geometrcké přesost staveb. Zákadí hodota geometrckého parametru Skutečá hodota g.p. Skutečá odchyka Mezí odchyka Přesost kotroího měřeí Hodota uvedeá v projektové dokumetac. Hodota ve skutečost. Rozdí mez projektovaou a měřeou hodotou. Největší přípustá odchyka pro výsedky měřeí. Odvíjí se od požadovaé přesost určeí geometrckého parametru. 9