Měření citlivosti ceny dluhopisů #

Transkript

1 ěřeí citlivosti cey dluhopisů # Jarmila Radová * Pro aalýzu dluhopisů ás kromě základích ukazatelů, k imž bezesporu patří současá hodota a výosost do doby splatosti dluhopisu, bude zaímat další faktor, který e důležitý pro každého ivestora do dluhopisů, eboť te chce vědět, aká e citlivost (změa) cey dluhopisu, pokud se změí úrokové sazby a trzích resp. pokud se posuou současé výosové křivky. Ivestoři chtěí především vědět, ak veliké e eich úrokové riziko a akým způsobem e ovlivěa hodota eich úrokově citlivých ivestic změou úrokových měr. Proto se budeme podroběi zabývat veličiou, která e pro tyto aalýzy ezbytá a to durací dluhopisů. itlivost cey dluhopisu Vydeme-li ze vztahu pro výpočet současé hodoty dluhopisu, resp. vztahu pro výpočet výososti do doby splatosti dluhopisu, PV = + = ( + ( +, () kde = ročí kupóová platba, = meovitá hodota dluhopisu, = počet let do doby splatosti, PV = současá hodota dluhopisu, i = průměrá ročí požadovaá výosost. e možo popsat vliv faktorů působících a změu cey dluhopisu v důsledku změy úrokové sazby: citlivost cey e přímo úměrá době splatosti dluhopisu; citlivost cey dluhopisu e tím větší, čím meší e velikost kupóové sazby, to zameá, že ecitlivěší sou dluhopisy s ulovým kupóem; cea dluhopisu e citlivěší a pokles úrokových sazeb ež a eich vzrůst; citlivost dlouhodobého dluhopisu a změu úrokových sazeb e větší ež citlivost krátkodobého dluhopisu; citlivost cey e vyšší při ižších tržích úrokových mírách ež při vyšších. itlivost zde počítáme ako poměr rozdílu ce při dvou růzých úrokových sazbách ku původí ceě. atematicky můžeme uvedeé vazby odvodit ásleduícím způsobem. Předpokládeme dluhopis s dobou splatosti a ceou P při výososti i. Druhý dluhopis má dobu splatosti # * Čláek e zpracová ako ede z výstupů výzkumého proektu Kredití riziko a kredití deriváty registrovaého u Gratové agetury České republiky pod evidečím číslem 402/06/0890 Doc. RNDr. Jarmila Radová, Ph.D. docetka, vedoucí katedry; Katedra bakovictví a poišťovictví, Fakulta fiací a účetictví, Vysoká škola ekoomická v Praze, ám. W. hurchilla 4, Praha 3; <radova@vse.cz>. 4

2 Radová, J.: ěřeí citlivosti dluhopisů. 2 = + d a má steou kupóovou sazbu k a meovitou hodotu ako prví dluhopis. Pro ceu druhého dluhopisu pak platí P 2 = P = ) ( ) ( ) + ( + i + i + i 2, (2) kde = ročí kupóová platba, = meovitá hodota dluhopisu,, 2 = počet let do doby splatosti prvího resp. druhého dluhopisu, P,P 2 = současá hodota prvího resp. druhého dluhopisu, i = průměrá ročí požadovaá výosost. Úpravou vztahu (2) získáme d ( + -) d + ( P2 P ) ( + =, (3) i kde d = rozdíl dob do splatosti obou zkoumaých dluhopisů Podíveme se a aalýzu pravé stray vztahu (3). Výraz v prví závorce e vždy kladý pro libovolou výši výososti i. Výraz v druhé závorce e pro >, tedy pro > 00 i proto platí P 2 > P. kladý, pro cey dluhopisů Pro < 00 e výraz v druhé závorce a pravé straě vztahu (3) záporý a tedy P 2 < P. Z výše uvedeé aalýzy vyplývá, že s rostoucí dobou do splatosti se zvyšue citlivost cey dluhopisu a úrokové sazbě. Při sížeí úrokové sazby se zvýší a aopak. Dochází k rotaci křivky závislosti cey a úrokové sazbě kolem bodui =. Teto závěr e graficky prezetová a obr.. Aalogickými matematickými postupy lze odvodit všechy výše zmíěé vztahy, které se týkaí citlivosti cey dluhopisu a úrokovou sazbu a uvedeé faktory. Díky těmto pozatkům e možo formulovat základí ivestorské strategie. Jestliže e očekává pokles úrokových měr (posu výosové křivky dolů), poroste cea, proto sou vyhledáváy dluhopisy s maximálí citlivostí a změu úrokové míry, tedy dlouhodobé dluhopisy s ízkým kupóem. Jestliže očekáváme růst úrokových měr (posu výosové křivky ahoru) a tím pokles ce dluhopisů, hledáme dluhopisy miimálě citlivé a změy úrokových měr, tedy krátkodobé dluhopisy s vysokou kupóovou sazbou. íra, která popisue citlivost dluhopisu či spíše eho cey a změy úrokových měr, se azývá durace, ebo-li středí doba splatosti, též středí doba životosti ebo průměrá doba trváí dluhopisu. 42

3 Český fiačí a účetí časopis, 2007, roč. 2, č. 3, s Obr. : itlivost cey dluhopisu a úrokové sazbě a době splatosti P(=50) P(=5) ,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0, 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,2 P i Zdro: vlastí výpočty Durace ako citlivost cey dluhopisu Durace e vážeým průměrem dob splatosti edotlivých plateb, přičemž vahou každé platby by měla být eí důležitost, akou má pro celkovou hodotu dluhopisu. Přesěi řečeo de o vážeý průměr dob splatosti edotlivých fiačích toků spoeých s dluhopisem, přičemž váhy sou dáy ako poměrý příspěvek edotlivých diskotovaých fiačích toků do celkové cey dluhopisu. Váhu každé platby e možo vyádřit vztahem: kde w t t ( + =, P t t = pro t=,2,... kupóová platba a pro t= kupóová platba včetě meovité hodoty, w = váha t-té platby z dluhopisu pro t=,2,... t i = výosost do doby splatosti, P = cea dluhopisu. (4) Průměrou vážeou dobu splatosti tedy dostaeme tak, že výše uvedeé váhy vyásobíme číslem t, které charakterizue počet let (obecěi období) do splatosti každého peěžího toku, který daá váha charakterizue. 43

4 Radová, J.: ěřeí citlivosti dluhopisů. D = t= t w t, (5) kde D = durace dluhopisu, Durace e edím z esledovaěších ukazatelů při akékoli problematice zkoumaící dluhopisy, a to hed ze tří důvodů: e ukazatelem průměré splatosti dluhopisu, e edou z hlavích pomůcek při řízeí portfolia dluhopisů, e měřítkem citlivosti cey a změu úrokové sazby. Pro matematické odvozeí durace, musíme vyít ze zámého výrazu pro ceu dluhopisu. Tato veličia se odvozue ako změa cey při změě úrokové míry. Změíme-li úrokovou míru eboli výosost i o hodotu i, platí podle Taylorova rozvoe pro fukci P( 2 dp d P 2 P ( i + = P( + i + i +..., di 2 di (6) kde P( = cea při úrokové míře(požadovaé výososti, dp di = derivace cey podle úrokové sazby, d 2 P di = druhá derivace cey podle úrokové sazby, i = změa úrokové sazby. Vzhledem k tomu, že úrokové sazby sou vyádřey desetiým číslem obvykle výrazě meším ež, apříklad 0,05, a změa úrokové sazby eště meším desetiým číslem, můžeme druhou, třetí a další mociy změy úrokové míry zaedbat. Pro středí dobu splatosti můžeme tedy z výše uvedeého Taylorova rozvoe odvodit P( i + P( = P( P P = dp i = D P( di i, (7) kde D = odifikovaá acalayova durace, Čím e větší durace, tím e větší vliv změy úrokové sazby a ceu dluhopisu. Ve výrazu pro výpočet durace se obevilo zaméko míus z toho důvodu, aby durace byla vyadřováa kladým číslem. Ze vztahu vidíme, že durace e bezrozměrá edotka udávaící elasticitu cey podle změy úrokové míry. Často bývá uváděo, že durace udává průměrou dobu životosti v letech. To platí však e pro dluhopisy s ročí výplatou kupóových plateb. Durace obecě udává průměrou životost v počtu kupóových období dluhopisu. Následuící výrazy pro durace sou odvozey zcela obecě pro délku období 44

5 Český fiačí a účetí časopis, 2007, roč. 2, č. 3, s rovou délce kupóového období daého dluhopisu. Pokud bychom chtěli vyádřit durace v letech, musíme výsledek dělit počtem kupóových plateb za rok. Durace tedy může být použita ako měřítko rizika ebo volatility cey dluhopisu. Využití této veličiy e však omezeo ásleduícími předpoklady: výosová křivka e plochá, výosová křivka se posouvá pro všechy doby splatosti steě, změa úrokových sazeb e malá. Častěi se používá acaulayova durace D defiovaá ako středí doba splatosti dluhopisu, která vychází ze vztahu P P + i = P( dp di i + i = D i + i = ( + D i, (8) + i kde P( = cea při úrokové míře(požadovaé výososti, dp di = derivace cey podle úrokové sazby, D, resp. D = acalayova resp. modifikovaá acaulayova durace, i = změa úrokové sazby. Na základě algebraických úprav vztahu pro výpočet současé hodoty dluhopisu () D = = = ( + ( + + ( + + ( +, (9) kde D = středí doba splatosti durace dluhopisu, = kupoová platba, kterou můžeme vyádřit k*, k = kupoová sazba, i = výosost do doby splatosti, přičemž meovatel zlomku e cea dluhopisu při úrokové sazbě i. Podíveme se eště a aalýzu durace z hlediska omezeosti této veličiy v závislosti a době splatosti, velikosti kupóové i úrokové sazby. Vztah mezi durací a dobou do splatosti Pro dluhopisy s ulovým kupóem e durace vždy rova době splatosti, ak vyplývá ze vztahu (9). Pro dluhopisy s kupóovou platbou e durace vždy meší ež doba splatosti. Je to dáo tím, že ivestor získává kupóové platby, které může a trhu reivestovat. Ve vztahu k době splatosti lze vyvodit ásleduící závěry: Pro dluhopisy s půlročí kupóovou platbou se při složeém úročeí musí používat půlročí úroková míra p.s. Pro ié délky období toto platí aalogicky. 45

6 Radová, J.: ěřeí citlivosti dluhopisů. durace dluhopisů e meší ebo rova době splatosti dluhopisu, přičemž rovost astává pouze pro diskotovaé dluhopisy, roste-li doba splatosti, roste též durace, ale mezí přírůsky průměré doby přímů sou klesaící, eboť splátka omiálí hodoty má u dlouhodoběších dluhopisů meší vliv a celkovou současou hodotu dluhopisu. Pro všechy hodoty sazeb i a k má durace limitu: i + lim D = = +, i i kde D = durace kozoly dluhopisu s ekoečou dobou splatosti, i = výosost do doby splatosti, Toto má smysl zkoumat zeméa pro dluhopisy, které maí hodě dlouhou dobu splatosti a sou tedy podobé kozole. Durace kozoly e možo tedy vyádřit vztahem (0). Platí tedy, že čím e doba splatosti dluhopisu delší, tím více durace více kovergue k výrazu (0), z ěhož e patré, že se durace s prodlužuící se dobou do splatosti stává ezávislou a kupóové sazbě. Tuto vlastost ilustrue ásleduící graf, kde i = 0,05 a durace kovergue k číslu 2. Obr. 2: Závislost durace a době do splatosti dluhopisu (0) duratio k=2% k=5% k=8% Zdro: vlastí výpočty Platí-li i = k, cea dluhopisu e rova meovité hodotě, pak durace emá maximum steě ako pro hodoty i < k, tedy pro dluhopisy, eichž cea e vyšší ež meovitá hodota, a e stále rostoucí, ale stále mešími přírůstky. Tyto závěry ilustrue Obr. 2, který e zkostruová pro úrokovou sazbu i=5 % a tedy křivky pro kupóovou sazbu k=5 %, resp. 46

7 Český fiačí a účetí časopis, 2007, roč. 2, č. 3, s k = 8 % emaí maximum, sou stále rostoucí a koverguí k číslu, které udává duraci kozoly, dáou vztahem(0). Pro hodoty i > k, tedy pro dluhopisy, eichž cea e pod meovitou hodotou, durace edříve roste, potom dosáhe vrcholu a poté kovergue opět k číslu, které e dáo výrazem (0). Durace má absolutí maximum. Obr. 2 ilustrue tuto skutečost křivkou pro k = 2 %. Z právě odvozeých vztahů lze vyvodit zaímavý závěr: dluhopisy s ízkou kupóovou sazbou a s ceou meší ež e meovitá hodota, mohou mít vyšší hodotu durace ež dlouhodoběší dluhopisy, eichž cea e vyšší ež meovitá hodota. Vzhledem k tomu, že durace e měřítkem citlivosti cey a úrokovou sazbu, e za výše uvedeých podmíek možé, že krátkodoběší dluhopisy budou citlivěší a změu úrokových sazeb ež dlouhodoběší dluhopisy. Zkoumáí durace pro dlouhý časový horizot má své praktické opodstatěí. Na americkém trhu se běžě vyskytuí dluhopisy s dobou splatosti ad 30 let a dokoce společost Walt Disey emitovala dluhopis se splatostí v roce I v České republice se uvažue o emisi státích dluhopisů se splatostí 50 let. Posledí, íže uvedeý ukazue závislost durace a dvou proměých a vidíme, že vziklá formace e plocha. Obr. 3: Závislost durace a době do splatosti a úrokové sazbě Duratio % 40% 0,0% 0% 20,00% i 0 50,00% Zdro: vlastí výpočty Vztah mezi durací a kupóovou sazbou Z prezetovaých vztahů vyplývá, že čím vyšší e kupóová sazba, tím ižší e durace dluhopisu. Z toho vyplývá, že evyšší durace při každé době splatosti bude mít dluhopis s ulovým kupóem. Zerobody ebo též diskotovaé dluhopisy sou tedy citlivěší a pohyb úrokových sazeb ež dluhopisy kupóové a vykazuí větší míru rizika. 47

8 Radová, J.: ěřeí citlivosti dluhopisů. elkově můžeme říci, že vyšší kupóové platby e možo lépe reivestovat ež ižší a tím tedy klesá riziko spoeé s dluhopisem. Vztah mezi durací a počtem kupóových plateb Ne všechy dluhopisy, ak už sme uvedli, vypláceí kupóové platby ročě. Obecě můžeme říci, že čím častěší bude výplata kupóových plateb, tím bude durace ižší. Durace se s rostoucím počtem kupóových sižue, eboť edotlivé kupóové platby získá ivestor dříve a může e využít k dalším ivesticím. á totiž možost pružěi reagovat a vývo úrokových sazeb. Pro libovolý počet kupóových plateb m ročě upravíme výrazu (9) a evidetě bude stačit: vydělit výši ročí kupóové platby číslem m, vydělit ročí výosost do doby splatosti číslem m, vyásobit počet let do doby splatosti číslem m. Duraci pak dostaeme v m-tiách roku. Na ročí bázi převedeme vyděleím číslem m. Vztah mezi durací a výosostí do doby splatosti Veličia durace e ovlivňováa výší úrokové míry. Čím e úroková míra vyšší, tím více klesaí současé hodoty budoucích kupóových plateb s tím, že ty evzdáleěší vykazuí evětší relativí pokles. To ovlivňue čitatele vzorce pro durace a tedy můžeme říci, že čím vyšší e úroková míra (výosost), tím ižší e durace. Teto závěr iž ilustroval Obr.., z ěhož vyplývá, že s rostoucí dobou do splatosti e pokles durace při růstu úrokových sazeb strměší, při vysokých úrokových sazbách může durace krátkodobého dluhopisu být vyšší ež durace dlouhodobého dluhopisu. Koruová durace Dalším ástroem odvozeým od durace e tzv. koruová durace. 2 Je defiováa vztahem: D KOR P( = D P( = Dm, () ( + kde D = acaulayova durace modifikovaá, D = KOR koruová durace, D = acaulayova durace, i = výosost do doby splatosti, P( = cea dluhopisu, 2 Zpravidla se používá poem dolarová durace, ale pro dluhopisy emitovaé v českých koruách i můžeme azývat koruová durace. 48

9 Český fiačí a účetí časopis, 2007, roč. 2, č. 3, s D KOR přímo udává změu cey dluhopisu a to v Kč. Vzhledem k tomu, že se a trhu udává cea procetem meovité hodoty, pak koruová durace udává změu této cey. Efektiví modifikovaá durace Posledí formou durace, a kterou zde upozoríme, e tzv. efektiví modifikovaá durace D E, což e durace zištěá přímo z reálých dat. Někdy se setkáváme s pomem empirická durace. Často e třeba zát citlivost cey dluhopisu a změu výosové křivky. Podobě ako modifikovaou acaulayovu durace můžeme efektiví durace vyádřit vztahem (7) dp D E =, di P dp P kde = lim. di i 0 i Efektiví duraci můžeme vypočítat ako procetuelí změu cey při velmi malé změě spotové výosové křivky. Ozačme si i() = i,.i 2,..., i spotové sazby pro edotlivá období do doby splatosti. alá změa spotových sazeb zameá, že se všechy sazby posuou o i. Tedy i ()=i()+ i. ea dluhopisu při výosové křivce i() e P a při výosové křivce i () e P. Rozdíl mezi ovou as původí ceou ozačme P = P P Efektiví durace budeme tedy počítat v situaci, kdy se výosová křivka posuula o ι a cea dluhopisu se změila o P. Pak efektiví durace e dáa vztahem: kde D E % P P = i P =, (2) i D = E efektiví durace, i = změa úrokové sazby, P = acaulayova durace, Efektiví modifikovaá durace e skutečá míra citlivosti cey při daých podmíkách a trhu. Tato veličia má istou specialitu, eboť se zde můžeme setkat s růzými estadardími hodotami, které se iak při aalýze pomocí durace evyskytuí. Způsobue to pohyb ce a reálých trzích, který se emusí řídit e a pouze pohybem úrokových měr. Vypočítaá efektiví durace může být apříklad větší ež doba do splatosti dluhopisu (při velké změě cey a malém posuu úrokové míry), či dokoce záporá (apříklad pokud cea epatrě vzroste a úroková míra také vzroste). Efektiví durace se pokusili ěkteří ekoomové dokoce spočítat i u akcií. 3 3 Ekoomové Reilly a Sidha se pokusili spočítat a odhadout durace akcií. Odhaduí, že se většiou achází v rozmezí od 0-ti do 20-ti let. Efektiví durace se pokusil vypočítat také Leibowitz u akcií obsažeých v S&P 500 a odhadue, že se achází mezi 0 až 7 lety. Podle Reilly Brow (2004, s. 580). 49

10 Radová, J.: ěřeí citlivosti dluhopisů. Další možosti aalýzy pomocí durace Ačkoli se v práci zaměřueme a fixě úročeé dluhopisy, azačíme stručě, ak e možé veličiu durace využít i pro ié typy dluhopisů. Tato problematika e velmi rozsáhlá a vede i ke kombiacím dluhopisů s ěkterými typy fiačích derivátů. Durace vypověditelých dluhopisů Vypověditelý dluhopis e emitová s tím, že e emitet může a základě svého rozhodutí splatit i ve zkráceé lhůtě před dobou splatosti. Většiou maí tyto dluhopisy garatovaou dobu, před kterou emohou být vypovězey. Pro staoveí cey (současé hodoty) takového dluhopisu, musíme vzít v úvahu ak ormálí předpokládaou splatost, tak splatost zkráceou. Právo vypovědět dluhopis e výhodou pro emiteta, protože mu zaišťue možost sížeí budoucích ákladů. Emitet proto vyplácí ivestorovi prémii ve formě zvýšeé meovité hodoty. Pro ivestora e ákup takového dluhopisu aopak evýhodou, protože může doít k poklesu výosu za dobu držby v případě, že ceý papír bude skutečě předčasě splace. Emitet umoří dluhopis tehdy, estliže úroková sazba poklese atolik, že úspory z emise ového ceého papíru při této ižší úrokové sazbě převýší vypláceou prémii. Výrazy pro výpočet durace, které sme odvodili v předcházeících odstavcích, se týkaí stadardích dluhopisů s fixí kupóovou sazbou. ůžeme však zkoumat též durace vypověditelých dluhopisů. V tom případě e úloha vypočítat durace složitěší, i když sou používáy dříve odvozeé postupy. Problém spočívá v tom, že doba splatosti se eustále řídí aktuálí ceou a výosostí do doby splatosti. Vycházíme z toho, že vypověditelý dluhopis e v zásadě portfolio složeé z dlouhé pozice evypověditelého dluhopisu a z krátké pozice kupí (call) opce. Tomu odpovídá ceová rovice ea vypověditelého dluhopisu = ea evypověditelého dluhopisu cea kupí opce Při klesaících úrokových sazbách bude vzrůstat cea dluhopisu, icméě vzrůst cey vypověditelého dluhopisu bude omeze vzrůstem cey opce. Pravděpodobost brzkého využití opce se bude zvyšovat a cea vypověditelého dluhopisu se proto bude blížit ceě krátkodobého dluhopisu s dobou splatosti zhruba odpovídaící době využití opce. Při vzrůstaících úrokových sazbách bude klesat cea primárího dluhopisu i cea opce. Pravděpodobost využití opce bude klesat a cea volatelého dluhopisu se proto bude blížit ceě primárího dluhopisu. Připomeňme eště, že při vzrůstaících úrokových sazbách cea krátkodobého dluhopisu klesá pod ceu dlouhodobého dluhopisu a při klesaících sazbách vzrůstá cea dlouhodobého ad ceu krátkodobého. Pro durace vypověditelého dluhopisu můžeme zformulovat podobou rovici ako pro eho ceu: 50

11 Český fiačí a účetí časopis, 2007, roč. 2, č. 3, s Durace vypověditelého dluhopisu = Durace evypověditelého dluhopisu durace kupí opce (Fabozzi, 998, s. 09). Jedozačě lze říci, že možost předčasého splaceí dluhopisu durace, eboli průměrou dobu do splatosti, sižue, poěvadž splátku meovité hodoty dluhopisu můžeme pouze uspíšit a v případě, že se předčasé splaceí erealizue, i steě získáme v době splatosti. Durace dluhopisů s pohyblivou kupóovou sazbou Ivestoři do těchto typů ceých papírů dostávaí vyplaceou kupóovou platbu, eíž výše e vázáa a vývo ěkteré referečí úrokové sazby. To velmi ztěžue výpočet, eboť ezáme přesé hodoty peěžích toků spoeých s dluhopisem v budoucu. aitelé dluhopisů s pohyblivou kupóovou sazbou (FRN) obvykle získávaí kupóové platby dvakrát ročě. V de výplaty kupóové platby dochází rověž k astaveí ové kupóové sazby a základě vývoe veličiy, a íž e kupóová sazba vázáa (Grobel, 987). ůžeme tedy říci, že se eí velikost odvíí od trží úrokové sazby. Zároveň v teto de má další kupóová platba splatost ve výši počtu dí d, které zbývaí do eího splaceí. Současou hodotu budoucích kupóových plateb získáme diskotováím pomocí úrokové míry rové míře, podle které se počítá ebližší kupóová platba. Dode-li poté ke zvýšeí úrokové míry, hodota budoucí kupóové platby a meovitá hodota sou a eí výši ezávislé. Zameá to, že durace FRN bude steá ako durace dluhopisu, který vyplácí kupóovou platbu a meovitou hodotu za d dí, tedy bude rova d/360. Komplikace astává v případě, že kupóová sazba e vázáa ee a referečí úrokovou sazbu, ale též a prémii za riziko, která e ivestorům placea z dluhopisů, které esou bezrizikové. Tato prémie ebývá kostatí v čase, ale měí se změami úrokových sazeb. Roste-li spread (rozpětí) této rizikové prémie, prodlužue se durace FRN (Solik, 988) a aopak. Pak tedy elze durace FRN aproximovat dobou do ásleduící kupóové platby. íra, kterou použieme pro diskotováí ásleduících plateb e rova r * = r + β, (3) kde r = referečí úroková sazba (bezriziková,) ß = riziková prémie. Empiricky e prokázáo, že současá hodota e citlivěší a změy rizikového spreadu ež a změy variabilí úrokové míry. itlivost cey FRN lze vyádřit pomocí acaulayovy durace a durace rizikového spreadu. Platí: kde P = D r Dβ β, P (4) D = acaulayova duratio, r = změa referečí úrokové sazby, P = změa cey, D = durace rizikového spreadu, β ß = změa rizikové prémie, 5

12 Radová, J.: ěřeí citlivosti dluhopisů. Durace rizikového spreadu e defiováa ako durace pevě úročeého dluhopisu založeého a referečí úrokové sazbě a úrokového spreadu, který e splatý v době splatosti FRN. Durace druhé geerace Jak sme iž dříve uvedli, e výraz pro výpočet durace (7) odvoze za istých omezuících předpokladů, k imž patří předpoklad ploché výosové křivky a eí steé pohyby pro všechy doby do splatosti. Výhoda tohoto postupu spočívá v relativí sadosti a edoduchosti výpočtu. Nevýhoda e dáa tím, že uvedeé předpoklady ebývaí vždy splěy, a proto vypočteé výsledky emusí být zcela přesé. Předpokládeme yí, že výosová křivka eí plochá. Pro výpočet současé hodoty dluhopisu a zároveň pro výpočet durace ebudeme tedy používat kostatí požadovaou výosost, ale budeme uvažovat spotové úrokové míry pro růzé doby splatosti, kterými budeme diskotovat budoucí platby spoeé s dluhopisem. Durace, pak dostaeme ve tvaru D = = = ( + i ) ( + i ) + ( + i ) + ( + i ), (5) kde D i = středí doba splatosti durace dluhopisu, = kupoová platba, kterou můžeme vyádřit k*, = spotové úrokové míry pro růzé doby splatosti, Teto výraz e ěkdy azývá ako Fisher-Weilova durace (Fische Weil, 97). Z tohoto výrazu e zřemé, že při rostoucí výosové křivce e Fisher-Weilova durace větší ež acaulayova, protože současá hodota vzdáleěších kupóových plateb má ve Fisher- Weilově durace ižší váhu. Další přístup k defiici durace e založe a výpočtu pomocí budoucích edoročích úrokových měr (forwardových měr), kterými se diskotuí budoucí peěží toky spoeé s dluhopisem (Bierwag Kaufma, 988). Durace pak vypočítáme dle vztahu: D = = k = = k = ( + f ( + f ) k k ) k k + + k = k = ( + f ( + f ) k k ) k k, (5) kde D = středí doba splatosti durace dluhopisu, = kupoová platba, kterou můžeme vyádřit k*, f = forwardové edoleté úrokové míry pro růzé doby splatosti, k 52

13 Český fiačí a účetí časopis, 2007, roč. 2, č. 3, s Oba uvedeé výrazy pro durace se ěkdy azývaí durace druhé geerace.v závislosti a skloech výosových křivek se daí očekávat odlišé výsledky, ak už sme uvedli výše. Při rostoucích výosových křivkách bude durace druhé geerace vyšší ež acaulayova a aopak. Při horizotálích výosových křivkách sou přirozeě výsledky aprosto steé, ako při použití výososti do doby splatosti. Výhodou klasické durace e edoduchost výpočtu výososti do doby splatosti proti složitému odhadováí možých forwardových měr. Předpokládeme yí erovoběžé posuy výosové křivky. Na základě zkoumáí výosových křivek e zámo, že se měí ee eich úroveň, ale též sko. ěí-li se časová struktura úrokových sazeb erovoběžým způsobem, bude současá hodota dluhopisu i durace iá ež při rovoběžém posuu. Pokud při rostoucí výosové křivce vzrostou dlouhodobé úrokové sazby více ež krátkodobé, bude v takovém případě durace ižší, ež by byla při rovoběžém posuu výosové křivky, a to i v případě, že by byl růst výososti do doby splatosti steý ak při rovoběžém tak při erovoběžém posuu výosové křivky. Toto můžeme vysvětlit tím, že vzdáleěší platby souviseící s dluhopisem budou mít meší váhu při výpočtu současé hodoty dluhopisu, ež by měly v případě rovoběžého posuu (růstu) výosové křivky. Lze tedy říci, že strměší tvar výosové křivky povede k většímu poklesu durace i současé hodoty dluhopisu ež rovoběžý posu výosové křivky. A aopak, arováí výosové křivky povede k mešímu poklesu durace a současé hodoty dluhopisu ež při rovoběžém poklesu výosové křivky. Imuizace a headgig Durace i v té edodušší formě měří citlivost cey dluhopisu a změu úrokových sazeb. ůžeme i tedy použít pro měřeí rizika změy úrokových sazeb. Budeme-li uvažovat portfolio dluhopisů e možo durace použít pro: headgig, kdy durace portfolia e rova ule, imuizaci, kdy durace portfolia e rova ivestičímu horizotu. Headgig tedy zameá, že se sažíme vyrušit změy ce dluhopisů obsažeých v portofoliu. Protože záme hodoty durace edotlivých dluhopisů obsažeých v portfoliu, sme schopi astavit durace celého portfolia a ulu. Protože však cey většiy dluhopisů (ceých papírů) a fiačích trzích sou pozitivě korelováy, používáí se k headgigu spíše fiačí deriváty. Ukažme si pricip pro vzáemé hedgováí pozic dvou dluhopisů. Díky koruové durace víme, o kolik se přibližě změí cea edoho dluhopisu při očekávaém posuu eho výososti do doby splatosti. Podle změy cey akoupíme či prodáme druhý dluhopis tak, aby se vzáemé změy ce určeé pomocí D KOR egovaly. Vše samozřemě silě závisí a předpokladech o budoucích posuech výosových měr edotlivých dluhopisů. Při imuizaci chceme docílit určitého výosu a daou dobu, která e rova ivestičímu horizotu. Výos v případě imuizace eí ovlivě pohyby úrokových měr. Jelikož však existue elieárí vztah mezi durací a postupě se zkracuící dobou do splatosti, e třeba stále portfolio přestavovat tak, aby byl dodrže původí časový horizot, po který má být portfolio imuizováo. Doba do splatosti však eí ediým faktorem, který ovlivňue duraci. Víme, že klesaící úrokové sazby zvyšuí duraci a k tomu se musí při imuizaci 53

14 Radová, J.: ěřeí citlivosti dluhopisů. portfolia též přihlížet. Je třeba změit složeí portfolia ve prospěch krátkodoběších dluhopisů. Závěr Kromě měřeí citlivosti ce dluhopisů a změy úrokových sazeb se durace využívá při řízeí portfolií dluhopisů. Teoreticky e možé imuizovat portfolio vůči změám úrokových sazeb tím, že středí doba splatosti portfolia bude rova požadovaé době držby. Účelem takového přístupu e saha ivestora o dosažeí požadovaé výososti bez ohledu a to, zda úrokové sazby rostou či klesaí. Durace e pro ivestora užitečým ástroem ke staoveí ceové citlivosti dluhopisu, t. k určeí závislosti cey a kupóové sazbě, době splatosti a úrokové sazbě. Ivestoři mohou porovat pohyb ce růzých dluhopisů způsobeých změou úrokové sazby edoduše porováím eich durace. Durace, ak iž bylo výše uvedeo, slouží k rychlému staoveí ové cey způsobeé změou úrokové sazby. I když tato cea eí zcela přesá, eboť sme zaedbali druhou a další derivace cey podle úrokové sazby, vzhledem k malým změám úrokové sazby většiou postačue. Literatura [] Bierwag, G. O. Kaufma, G. G. (998): Duratio odels, Joural of Portfolio aagemet, 988, roč. 5, č., s [2] Fabozzi, F. J. Fabozzi, T. D. (998): The Hadbook of Fixed Icome Securities, Homewwod, Irwi, 998. [3] Fischer, L. Weil, R. A. (97): opig with the Risk of Iterest-Rate Fluctuatios: Returs to Bodholders from Naive ad Optimal Strategy. Joural of Busiess, 97, roč. 44, č. 4, s [4] Grobel R. A. (2003): Uderstadig the Duratio of FRN. New York, Salomo Brother, [5] Reilly, F. K. Brow, K.. (2004): Ivestmet Aalysis ad Portfolio aagemet. Forth Worth, The Dryde Press, [6] Solik B. (996): Iteratioal Ivestmets. Readig, Addiso-Wesley,

15 Český fiačí a účetí časopis, 2007, roč. 2, č. 3, s ěřeí citlivosti cey dluhopisů Jarmila Radová ABSTRAKT V příspěvku sou aalyzováy růzé typy durace,což e míra reakce cey dluhopisu a změu úrokových sazeb, přičemž se zkoumaí edotlivé faktory, které ovliví eí výši a tím i změu cey v důsledku změy úrokové sazby. Jsou diskutováy růzé přístupy k výpočtu durace a ukázá eí výzam pro řízeí portfolia dluhopisů. Klíčová slova: Durace; Výosost do doby splatosti; Imuizace. easurig of bod price sesitivity ABSTRAT I this article is aalyzed duratio as a measure of iterest risk of bods. We study sigificat factors which ifluece o highess of duratio ad also price chace of bods. We discuss differet ways to calculate duratio ad also we try to show its importace to maagemet of bods portfolio. Key words: Duratio; Yield to maturity; Immuizatio. JEL classificatio: G2, G24. 55