Využití spočívá v možnosti určit velikost jedné ze stran pravoúhlého trojúhelníku ze znalosti velikosti zbývajících dvou stran.

Transkript

1 Pthgoro ět Pltí pro proúhlý trojúhelník. Znění: Osh čtere nd přepono proúhlého trojúhelník je roen sočt osh čterů nd oěm oděsnmi. Vžití spočíá možnosti rčit elikost jedné e strn proúhlého trojúhelník e nlosti elikosti ýjííh do strn. Př.: Oděsn proúhlého trojúhelník mjí elikost 4 m 3 m. Určete elikost jeho přepon. = 4 m = 3 m =? 4m 3m 16m 9m Přepon trojúhelník má elikost 5 m. 5m 5m Př.: Oděsn proúhlého trojúhelník má elikost 6 m přepon 10 m. Určete elikost drhé oděsn. = 6 m = 10 m =? 8m 10m 6m 100m 36m 64m Oděsn trojúhelník má elikost 8 m. Př.: Šárk střílel lk. Stál odě S. Prní šíp dopdl do od D 1 dáleném 30 m od od S. Drhý šíp dopdl do od D dáleném 60 m od od S (i oráek níže). Urči ájemno dálenost oo šípů po jejih dopd. D 1 Uědom si, o již íš o Pthgoroě ětě poks se příkld spočítt. Výsledek je přiližně 67 metrů. S D

2 Goniometriké fnke Následjíí ore pltí pro proúhlý trojúhelník. nke se nýjí tngens (tg), sins (sin) kosins (os) možňjí proúhlém trojúhelník počítt úhl, které jednotlié strn sírjí, neo rčit elikosti jednotliýh strn (je ntno nát spoň jedn e strn jeden úhlů). Definie goniometrikýh fnkí proúhlém trojúhelník. nke tngens (tg) nke tngens rčitého úhl proúhlém trojúhelník je definoán jko poměr protilehlé oděsn (oděsn nproti dného úhl) přilehlé oděsn (oděsn přiléhjíí k dném úhl). tg tg tg není definoáno nke sins (sin) nke sins rčitého úhl proúhlém trojúhelník je definoán jko poměr protilehlé oděsn (oděsn nproti dného úhl) přepon. sin sin sin není definoáno nke kosins (os) nke sins rčitého úhl proúhlém trojúhelník je definoán jko poměr přilehlé oděsn (přiléhá k dném úhl) přepon. os os os není definoáno Pro rčoání hodnot úhlů tké hodnot goniometrikýh fnkí je potřeí mět požít mtemtikýh tlek, neo rději klklátorů. Bde ted ntné si jistit, jk se n dném klklátor s goniometrikými fnkemi prje.

3 Př.: Oděsn proúhlého trojúhelník mjí elikost = 4 m = 3 m. Určete elikost úhl. tg 3 m tg 0,75 4 m tg 0,75 Úhel má elikost 36,9 úhel elikost ,9 tg 4 m tg 1,33 3 m tg 1,33 53 Př.: Oděsn proúhlého trojúhelník má elikost = 7,8 m = 6 m. Určete elikost úhl. sin 6 m sin 0,77 7,8 m sin 0,77 50,4 os 6 m os 0,77 7,8 m os 0,77 39,6 Úhel má elikost 50,4 úhel elikost 39,6. Př.: Oděsn proúhlého trojúhelník má elikost = 7 m úhel = 50,4. Určete elikost přepon. os 7m 7m os os50,4 0,77 9,1m Přepon má elikost 9,1 m. Př.: Oděsn proúhlého trojúhelník má elikost = 3 m úhel = 53. Určete elikost oděsn úhel. Vžij sýh nlostí o goniometrikýh fnkíh předhoíh řešenýh příkldů ýše poks se tento příkld počítt. Výsledek je přiližně = 4 m úhel = 36,9.

4 Úpr fikálníh orů ikální ore jso lstně ronie, proto pro úpr fikálníh orů můžeme žít šehn nlosti, které o roniíh náme mtemtik. Přesto eďme rčitá pridl, která pro úpr požijeme. ikální eličin, ktero heme pomoí ore počítt, msí stát n leé strně ronie. Pokd se nháí n pré strně ronie, můžeme ájemně tto strn prohodit, niž se pltnost ronie měnil. ikální eličin můžeme lioolně přeádět jedné strn ronie n drho, pokd ošem dodržíme následjíí pridl: Jestliže má fikální eličin n jedné strně ronie nménko kldné (+), pk po přeod n drho strn ronie íská nménko áporné (-), nopk. Jestliže je fikální eličin n jedné strně ronie čitteli (tkže násoí), po přeod n drho strn ronie je e jmenoteli (ted dělí), nopk Př.: Z následjíího ore jádřete eličin. Ahom mohli jádřit eličin, msí stát n leé stráně ronie o smotě. Proto jsme přeedli eličin n drho strn ronie. Protože n leé strně ronie eličin násoil (l čitteli), pk po přeod de dělit (de e jmenoteli). Př.: Z následjíího ore jádřete eličin. Ahom mohli jádřit eličin, msí stát n leé stráně ronie o smotě. Proto jsme přeedli eličin n drho strn ronie. Protože n leé strně ronie eličin dělil (l e jmenoteli), pk po přeod de násoit (de čitteli). Př.: Z následjíího ore jádřete eličin. Ahom mohli jádřit eličin, msí stát n leé stráně ronie o smotě. Proto jsme ájemně prohodili oě strn ronie pk přeedli eličin n drho strn ronie. Protože n leé strně ronie eličin násoil, pk po přeod de dělit. Př.: Z následjíího ore jádřete eličin. V tomto přípdě prohodíme mei seo eličin i. Protože eličin n leé strně ronie násoí (je čitteli), pk přeod n drho strn de dělit (je e jmenoteli). Protože eličin n pré strně ronie dělí (je e jmenoteli), pk pro přeod n drho strn ronie de násoit (de čitteli). Př.: Z následjíího ore jádřete eličin. Ahom mohli jádřit eličin, msí stát n leé stráně ronie o smotě. Proto jsme přeedli eličin n drho strn, le tím se měnilo její nménko kldného n áporné. Pk jsme přeedli číslo tké n drho strn ronie. Protože n leé strně ronie násoí, de po přeod n drho strn dělit

5 Složené lomk Jso to lomk složené e do dílčíh lomků. Pro přeod lomk složeného n lomek jednodhý pltí pridlo, že jednodhém lomk de čitteli sočin nějšíh členů e jmenoteli sočin nitřníh členů. nější člen nitřní člen Př.: Přeeďte složené lomk n jednodhé. d d d d d 1 d d Slčoání fikálníh orů Je ěžným půsoem při ýpočteh, kd sločením do neo i íe orů ískáme jeden ore jediný. Počet ýpočtů se menšje ýpočet se jednodšje rhlje. Do prního ore le dosdíme eličin ore pr. Př.: Slčte následjíí ore. 1 Př.: Vžijte sýh nlostí úpr orů jádřete následjííh orů eličin. 3 Př.: Vžijte sýh nlostí úpr orů slčte následjíí ore jádřete nih eličin.

6 Vájemný th fikálníh eličin e fikálním ori (čtení e ori) ikální eličin, které jso e ori osžen, spol ájemně soisí tké se moho ájemně oliňot. Nní se nčíme tto ájemno soislost nlét mět ji požít. Této činnosti se tké někd říká čtení soislosti e fikálním ori, kráeně čtení e ori. Ahom mohli soislosti nlét, msíme se nejpre nčit požít následjíí pridl. Vjdeme oeného ore edeného leo. To sie není fikální ore, le pridl něm pltí stejně, přičemž deme žot, že, jso rčité fikální eličin. 1. Veličin n leé strně ronie () je áislá n eličináh n pré strně ronie (,).. Veličin n leé strně ronie (), je áislá n eličináh n pré strně čitteli () přímo úměrně. To nmená, že kolikrát se eličin ětší, tolikrát se ětší i eličin nopk, kolikrát se eličin menší, tolikrát se menší i eličin. 3. Veličin n leé strně ronie (), je áislá n eličináh n pré strně e jmenoteli () nepřímo úměrně. To nmená, že kolikrát se eličin ětší, tolikrát se menší eličin nopk, kolikrát se eličin menší, tolikrát se ětší eličin. Př.: V následjíím ori nleněte ájemné th mei eličinmi rčete, jkým půsoem se oliňjí. p S p je tlk, který niká při ronoměrném roložení tlkoé síl n rčité kolmé ploše. je tlkoá síl, která půsoí kolmo n dno ploh, která se n ní ronoměrně rokládá S je osh ploh, n ktero se dná síl ronoměrně rokládá Pokd míme e ori číst, pk můžeme jednončně říi, že tlk p je přímo úměrný elikosti půsoíí tlkoé síl nepřímo úměrný elikosti osh ploh S. To nmená npř., že kdž se tlkoá síl 3 krát ětší, tk se tlk p tké 3 krát ětší. Neo kdž se tlkoá síl 5 krát menší, tk se tlk p roněž 5 krát menší tp. Ale roněž tk jestliže se elikost osh ploh S 6 krát ětší, pk se tlk p 6 krát menší. Neo kdž se osh ploh S 50 krát ětší, pk se tlk p 50 krát menší tp. Př.: V následjíím ori nleněte ájemné th mei eličinmi rčete, jkým půsoem se oliňjí. E k m E k je pohoá energie pohjíího se těles m je hmotnost pohjíího se těles Pokd míme e ori číst, pk můžeme jednončně říi, že pohoá energie těles E k je přímo úměrná hmotnosti těles m přímo úměrná drhé monině elikosti rhlosti. To nmená npř., že jestli se hmotnost těles m 4 krát ětší rhlost se nemění, pk se pohoá energie těles E k tké 4 krát ětší. Neo pokd se hmotnost těles krát menší rhlost se nemění, pohoá energie těles E k se krát menší tp. Podoně pokd se rhlost těles 5 krát ětší rhlost se nemění, pk se pohoá energie těles E k 5 krát ětší, protože rhlost se sie 5 krát ětšil, le e ori je drhá monin rhlosti tk se energie pohoá ětší 5 krát, tp. Př.: V následjíím ori nleněte ájemné th mei eličinmi rčete, jkým půsoem se oliňjí. Vžijte nlostí e čtení e fikálníh oríh pokste se smi njít jk spol eličin následjíím ori soisí jk se nájem oliňjí. U I R I je elektriký prod protékjíí odičem U je elektriké npětí n koníh odiče R je elektriký odpor odiče

7 Čísl eponeniálním tr Čísl eponeniálním tr. Požíjí se pro jednodšší účelnější ápis elmi elkýh neo nopk elmi mlýh čísel. Zápis má so lstní strktr. Skládá se mntis, nménk eponent e smotného eponent. 8, eponent mntis nménko Ukák ápis čísel eponeniálním tr čísel eponent přiroeném tr: = = = 3, , = , = , =, Násoení čísel eponeniálním tr Oený ore pro tto operi je: = (.) = = = Dělení čísel eponeniálním tr Oený ore pro tto operi je:.10 :.10 = (:) : = : = :.10-3 = Umonění čísel eponeniálním tr Oený ore pro tto operi je: (.10 ) =.10. ( ) = (3.10 ) 3 = Př.: Vpočtěte následjíí příkld Př.: Pomoí klklátor počtěte následjíí příkld: 5 3,5.10.6,5.10 7, (6.10 )

8 Skládání ektoroýh eličin Vektoroé fikální eličin (ektor) jso rčen: nčko elikostí jednotko směrem Kždo ektoroo eličin můžeme náornit grfik orientono úsečko (úsečk se šipko kjíí směr). Hlní rčjí í prk ektor: ektoroá přímk (nositelk ektor) rčje poloh ektor roině neo prostor počáteční od ektor (rčje místění ektor n ektoroé příme) elikost ektor je nčená délko úsečk směr ektor je nčený šipko Postp grfikého náornění ektor 1. Zolíme hodné měřítko. Nkreslíme ektoroo přímk počáteční od ektor P 3. Pomoí měřítk nneseme elikost ektor ne ektoroo přímk 4. Šipko nčíme směr ektor 5. Vektor nčíme dohodnto nčko Ve fie se čsto setkááme s fikálními je, kd e stejném okmžik půsoí několik ektoroýh eličin. V tkoém přípdě se účink fikálníh eličin skládjí do ýsledného účink, Skládáním ektoroýh eličin romíme nleení ýsledné ektoroé eličin (ýslednie), která sými účink nhrdí účink skládnýh eličin. Ukážeme se nní půso, jkými se moho ektoroé eličin skládt půso rčení ýslednie grfik ýpočtem. 1. skládání ektorů stejného směr Vektoroé eličin leží n stejné ektoroé příme.. skládání ektorů opčného směr Vektoroé eličin leží n stejné ektoroé příme. Výslednie má stejný směr jko ětší e skládnýh ektorů. Vžd msíme od ětšího ektor odečítt ektor menší.

9 3. skládání ektorů růného směr Vektor doplníme n ektoroý čtřúhelník, e kterém je ýslednie ětší úhlopříček. V přípdě, že ektor sírjí jiný úhel než 90 (i oráek leo), pk se skládání ektorů řeší jen grfiko metodo. Pro ýpočet ýslednie tkoém přípdě, se požíjí metod, které se mtemtie nčíte e ššíh ročnííh. Pokd ektor sírjí úhel 90 (i oráek leo), pk pro ýpočet ýslednie žijeme Pthgoro ět. Př.: Znáorněte ektor síl = 5 N, která směřje sisle hůr = 30 N, která sírá s odoroným směrem úhel o elikosti 30. Měřítko: 1m 10N 30 Př.: Určete ýslednii sil 1 = 30 N = 0 N, jestliže jso síl: ) stejného směr ) opčného směr ) sírjí úhel 90 Úloh řešte grfik i početně. Měřítko: 1 m 10 N ) 1 Podle měřítk 1 m 10 N. Pro délk ektor pltí, že 5 m. Pro elikost ýsledné síl pltí = 50 N. Výpočet: 1 30N 0N 50N

10 ) 1 - Podle měřítk 1 m 10 N. Pro délk ektor pltí, že 1 m. Pro elikost ýsledné síl pltí = 10 N. Výpočet: 1 30N 0N 10N ) Podle měřítk 1 m 10 N. Pro délk ektor pltí, že 3,6 m. Pro elikost ýsledné síl pltí = 36 N. 1 Výpočet: N 30N 0N 1300N