Ustálená odezva harmonicky (polyharmonicky) buzených soustav
|
|
- Barbora Pospíšilová
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Ustálená odezva harmonicky (polyharmonicky) buzených soustav Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc. Komplexní čísla Každémukomplexnímučíslu c=a+ib,kdei= jeimaginárníjednotka,přiřaďme jehoabsolutníhodnotu(modul) c = a + b aúhel ϕ,kterýsvírájehoobrazv Gaussově rovině s kladnou reálnou poloosou(tzv. argument). Na obr. je znázornění zavedených pojmů v Gaussově rovině. Zřejmě platí Im c b = Im c c ϕ a = Re c Re Obrázek : Atributy komplexního čísla Dále odtud plyne cos ϕ= a c =Re c, sin ϕ= b c c =Im c. c c=a+ib=rec+iim c= c cos ϕ+i c sin ϕ= c (cosϕ+isin ϕ). Z teorie funkcí komplexní proměnné je znám tzv. Eulerův vztah cos ϕ+isin ϕ=e iϕ, kde e= je základ přirozených logaritmů. Proto je c= c e iϕ. Toto vyjádření komplexního čísla je známo jako jeho exponenciální tvar.. Komplexní popis harmonických funkcí Mějme harmonickou funkci s kruhovou frekvencí ω tvaru a(t)=a c cos ωt+a s sin ωt. ()
2 Přiřaďme k této funkci tzv. komplexní amplitudu ā vztahem ā=a c ia s () a komplexní funkci(tzv. rotující fázor) a(t) vztahem a(t)=āe iωt. (3) Potom platí a(t)=a(t) iȧ(t) ω. (4) Proověřenítohototvrzenídosadímedo(3)zakomplexníamplituduz()azEulerova vztahu.protožei =,dostaneme ā(t)=(a c ia s )(cos ωt+isin ωt)=a c cos ωt ia s cos ωt+ia c sin ωt+a s sin ωt= Derivací() vznikne = a c cos ωt+a s sin ωt+i(a c sin ωt a s cos ωt). (5) ȧ(t)=ω( a c sin ωt+a s cos ωt). (6) Dosazením()a(6)do(5)vzniknevztah(4).Vztahjetímověřen. Poznámka:Zřejměje ā = a c+ a s= a.zapíšeme-likomplexníamplituduvexponenciálním tvaru máme ā=ae iϕ, kdecos ϕ= ac,sin ϕ= as.protožeje a a ā(t)=āeiωt = ae iϕ e iωt = ae i(ωt+ϕ),představuje rotující fázor komplexní číslo o absolutní hodnotě rovné reálné amplitudě, jež rotuje konstantní úhlovou rychlostí ω v Gaussově rovině(obr.). Průmět tohoto rotujícího fázoru do reálné osy dává reálnou harmonickou funkci a(t). Komplexní amplituda ā představuje v jediné veličině informaci jak o reálné amplitudě harmonické funkce, tak o fázovém posunutí této harmonické funkce při jejím zápisu v kosínovém tvaru. Potom totiž je Im a (t) ωt ϕ a a (t) Re Obrázek : Komplexní amplituda a rotující fázor harmonické funkce
3 a(t)=acos(ωt ϕ). (7) Zcela analogicky lze postupovat v případě vektorové harmonické funkce a(t)=a c cos ωt+a s sin ωt. (8) Zavedemeknítotižvektorkomplexníchamplitud ā=a c ia s akomplexnívektorovoufunkci(tzv.vektorrotujícíchfázorů) ā(t)=āe iωt,kde ā(t)=a(t) i ω da(t) dt. (9) 3. Ustálená odezva harmonicky buzené soustavy s více stupni volnosti v reálném oboru Uvažujme nyní harmonicky buzenou kmitající soustavu o pohybové rovnici M q(t)+b q(t)+kq(t)=f c cosωt+f s sin ωt, () kde Mjematicehmotnosti, Bmaticetlumení, Kmaticetuhosti, f c vektorkosinových amplitudbuzení,f s vektorsinovýchamplitudbuzeníaωbudícífrekvence.řešenírovnice ()lzepsátvetvaru q(t)=q h (t)+q p (t), kde q h (t)jeobecnéřešeníhomogennírovnice(snulovoupravoustranou)aq p (t)je jediné, odhadnuté, tzv. partikulární řešení příslušné maticové rovnice(). Homogenní řešení, závisející na počátečních podmínkách, se pro případ stabilních soustav(to jest soustav, jejichž všechna vlastní čísla mají zápornou reálnou část) se vzrůstající dobou provozu postupně utlumí. Pro takové soustavy totiž platí lim q t h(t)=, takže homogenní řešení se pro jakékoliv počáteční podmínky stane v dostatečně dlouhém čase neměřitelným. Partikulární řešení však zůstává a zatěžuje soustavu v libovolně dlouhém čase. Říkáme, že toto řešení popisuje ustálený stav soustavy. Vzhledem k tomu, že v přítomnosti tlumení nejsou vlastní čísla soustavy ryze imaginární, lze partikulární řešení(které od této chvíle už označujeme bez indexu) odhadovat jako harmonickou funkci s budící frekvencí ω, tedy jako Derivacemi získáme q(t)=q c cosωt+q s sin ωt. () q(t)=ω( q c sin ωt+q s cos ωt); q(t)= ω (q c cos ωt+q s sin ωt). Protože partikulární řešení musí rovnici() splňovat, dosadíme do ní předchozí výrazy, čímž vznikne vztah 3
4 ω Mq c cosωt ω Mq s sin ωt ωbq c sin ωt+ωbq s cos ωt+kq c cos ωt+kq s sin ωt= = f c cos ωt+f s sin ωt, jenžmábýtisplněnvlibovolnémčase.musíseprotorovnatkoeficientyjakucosωttak u sin ωt. Srovnáním těchto koeficientů získáme soustavu maticových rovnic tvaru (K ω M)q c + ωbq s = f c, () ωbq c +(K ω M)q s = f s. (3) Pokud je budící frekvence různá od všech vlastních frekvencí přidružené konzervativní soustavy, existuje inverzní matice apotomz()určíme Dosazením do(3) máme po dílčí úpravě T=(K ω M) q c = T(f c ωbq s ). (4) ωbtf c + ω BTBq s + T q s = f s. Pokudmatice ω BTB+ T jeregulární,vyplýváodtud q s =(ω BTB+ T ) (f s + ωbtf c ). (5) Přiznalosti q s potomz(4)určímeiq c,čímžjepartikulárnířešeníurčeno. 4. Ustálená odezva harmonicky buzené soustavy s více stupni volnosti v komplexním oboru Rychleji a efektivněji lze partikulární řešení určit převedením matematického modelu ()dokomplexníhotvaru.derivací()anásobenímkonstantou i ω (ijeimaginární jednotka) dostaneme M ( i ω ) ( d q(t) + B i dt ω ) ( d q(t) + K i dt ω ) dq(t) = i df(t). dt ω dt Sečtením této rovnice s rovnicí() dostaneme vzhledem k platnosti(9), že M q(t)+b q(t)+kq(t)=f(t), (6) kde q(t) je rotující fázor ustálené odezvy(partikulárního řešení()) a f(t) je rotující fázor buzení. Jestliže podle definice píšeme q(t)= qe iωt ; f(t)= fe iωt, kde qa fjsoupříslušnékomplexníamplitudy,dostanemederivováním(protožesymboly rotujícího fázoru a derivace lze zaměnit, jak se snadno přesvědčíme z definice) 4
5 a posléze dosazením do(6) vznikne q(t)=iωqe iωt ; q(t)= ω qe iωt ω Mqe iωt +iωbqe iωt + Kqe iωt = fe iωt. Tato rovnice musí být splněna v libovolném čase. Koeficienty u exponenciální funkce na obou stranách rovnice se proto musí rovnat. Odtud získáme výraz ( ω M+iωB+ K)q= f (7) udávající důležitý vztah mezi komplexní amplitudou buzení a ustálené odezvy soustavy. Komplexní matice Z(ω)=K ω M+iωB (8) se nazývá matice dynamické tuhosti soustavy. Její reálná i imaginární část závisí na budícífrekvenci ω.pro ω=je Z= K.Lzedokázat,žematice Z(ω)jeprolibovolné ω regulární. Matice k ní inverzní, tedy matice G(ω)=Z (ω)=(k ω M+iωB) (9) se nazývá matice dynamické poddajnosti nebo též matice frekvenčních přenosů soustavou. Násobíme-li(7) zleva maticí G(ω) získáváme Podle definice komplexní amplitudy zřejmě q= G(ω)f. () přičemž q(t)=q c cosωt+q s sin ωt, q c =Req; q s = Im q. Tím je úloha získání ustálené odezvy q(t) soustavy vyřešena. Poznámka: Jestliže je buzena pouze j tá souřadnice soustavy, např. funkcí f = =cos ωt(pro t ),je f=,...,,,,..., T,přičemžjedničkasenacházína j tém místě.podle(),jestližeoznačujeme G=g ij,jepotom q= q i =g ij ; i=,...,n, j=,...,n. Prvek g ij matice Gprotovyjadřujefrekvenčnípřenosmezi j toubuzenousouřadnicí a odezvou v místě i té zobecněné souřadnice. 5. Charakteristiky ustálené odezvy Komplexníamplituda q i i tézobecněnésouřadnicesoustavyjekomplexníčíslo,jehož modul vyjadřuje reálnou amplitudu ustálené odezvy a argument vyjadřuje fázové zpožděnípřikosínovémvyjádřeníharmonickéfunkce q i (t).obapopisovanéparametry závisejínabudícífrekvenci ω.závislost q i (ω) nazývámeamplitudovouchrakteristikou ustálené odezvy v i té zobecněné souřadnici(podle starého názvosloví amplitudo-frekvenční charakteristikou). 5
6 Závislost-arg q i (ω)nazývámefázovouchrakteristikouustálenéodezvyvi tézobecněné souřadnici(podle starého názvosloví amplitudo-fázovou charakteristikou). Obětytocharakteristikyjsoureálné.Zobrazíme-lipřímokomplexníamplitudu q i (ω)v Gaussově rovině se záporně orientovanou imaginární osou, obdržíme frekvenční chrakteristiku ustálené odezvy v i té zobecněné souřadnici(podle starého názvosloví amplitudo-fázo-frekvenční charakteristiku). V popisované Gaussově rovině získáme křivku, jež bude parametrizována budící frekvencí(pro každou frekvenci ω získáme obecně jiný bod této charakteristiky). Spojením tohoto bodu s počátkem Gaussovy roviny získáme úsečku, jejíž délka odpovídá reálné amplitudě ustálené odezvy na buzení příslušné frekvence. Pokud na obou osách Gaussovy roviny zvolíme stejné měřítko, odpovídá úhel sklonu ϕ této úsečky s kladně orientovanou reálnou poloosou argumentu ustálenéodezvyzobecněnésouřadnice q i (obr.3). Im q i q (ω ) i L (ω ) = q i (ω ) ϕ (ω ) i Re q i Obrázek 3: Frekvenční charakteristika 6. Ustálené odezva proporcionálně tlumené soustavy řešená modální metodou Uvažujme nyní proporcionálně tlumenou soustavu s pohybovou rovnicí(), kde B = = αm+ βkprovhodnékonstanty αaβ.víme,žezmíněnápohybovárovniceplatí pro případ harmonického partikulárního řešení i pro rotující fázory. Platí tedy rovnice (6). Provedeme-li modální analýzu přidružené konzervativní soustavy, tedy soustavy o pohybové rovnici M q(t)+kq(t)=, získámevlastnífrekvenceω i uloženédospektrálnímaticeλ=diagω iam normou znormovanévlastnívektory v i,uloženéposloupcíchdomodálnímatice V.Protuto maticitedyplatívztah V T MV = E n,kde E n jejednotkovámaticeřádu n.zdefiničního vztahu pro problém vlastních hodnot zapsaného pro všechny vlastní hodnoty najednoupotéplyne,že V T KV =Λ.Zproporcionalitymaticetlumenípakplyneexistencepoměrnýchútlumů D i >,žeplatí V T BV =diagd i Ω i.modálnítransformace rovnice(6) ve tvaru q(t)=vx(t) () dávápolevémnásobenímaticí V T přiuváženídiagonalizačníchvztahůvýše,žepro rotující fázory modálních souřadnic x(t) platí 6
7 E n ẍ(t)+diagd i Ω i ẋ(t)+diagω ix(t)=v T f(t). () Píšeme-li podle definice rotujícího fázoru při jeho derivování f(t)= fe iωt ; x(t)= xe iωt ; ẋ(t)=iω xe iωt ; ẍ(t)= ω xe iωt ; dosazenímdo()azkrácenímnenulovýmčleneme iωt získáme ( ω E n +diagω i+iωdiagd i Ω i ) x=v T f. Protože všechny matice na levé straně rovnice jsou diagonální, můžeme psát x=(diagω i ω +id i Ω i ω) V T f. Inverzní matice k diagonální matici s nenulovými prvky na diagonále zřejmě existuje, je rovněž diagonální s převrácenými hodnotami původních prvků na diagonále. Proto je x=diag V T f. (3) Ω i ω +id i Ω i ω Dosazenímdo()zdefinicerotujícíhofázoruzískámepozkráceníčiniteleme iωt,že dosazením z(3) vzniká finální výsledek q= V x. q= Vdiag V T f. (4) Ω i ω +id i Ω i ω Srovnáním s() získáme pro proporcionálně tlumené soustavy výraz G(ω)=Vdiag V T. (5) Ω i ω +id i Ω i ω Proprvek g jk (ω)maticedynamicképoddajnosti,tedyprofrekvenčnípřenosmezi k tou buzenou souřadnicí a ustálenou odezvou v místě j té zobecněné souřadnice, potom zřejmě platí g jk (ω)= n i= v ji v ki Ω i ω +id i Ω i ω. (6) Protože modální matice je reálná, dostáváme odtud pro netlumenou soustavu reálný přenos tvaru g jk (ω)= n i= v ji v ki Ω i ω. Bezohledunapořadíindexů ja kpřikonvergenci ωkω i rostezřejměabsolutníhodnota i tého sčítance nade všechny meze. Amplituda ustálené odezvy libovolné zobecněné souřadnice při libovolném harmonickém buzení tedy roste nade všechny meze. Jedná se o tzv. stavy rezonance, kterých je tolik, kolik má soustava stupňů volnosti. Poznámka: V případě nenulového(proporcionálního) tlumení je situace složitější. Korektně můžeme posoudit pouze chování jednotlivých(komplexních) sčítanců v(6). Jejich absolutní hodnota je zřejmě tvaru ji v ki v (Ω i ω ) +4Di Ωω.Chápeme-litentovýrazjako i 7
8 funkci budící frekvence ω, bude zřejmě maximální právě když je jmenovatel minimální. Protože argument odmocniny je kladný, stačí zkoumat minimum funkce γ(ω)=(ω i ω ) +4D iω iω. Nutnou podmínkou extrému je nulová první derivace. Řešíme tedy rovnici dγ dω =(Ω i ω )( ω)+8d iω iω=. (7) Vyloučíme nulovou budící frekvenci, takže krácením dostaneme ekvivalentní rovnici Ω i+ ω +D iω i= ω i = ±Ω i D i. (8) Fyzikální význam má samozřejmě jen řešení se znaménkem plus. Pod odmocninou musí být kladné číslo, takže D i > D i <. =.77. Protytopoměrnéútlumyjebudícífrekvence ω i v(8)stacionárnímbodemjmenovatele i tého sčítance(6). Že příslušný stacionární bod je skutečně minimem se přesvědčíme podle znaménka druhé derivace. Zřejmě d γ dω =43ω +Ω i(d i ), Minimum jmenovatele(6) má za postačující podmínku kladnost druhé derivace, ovšem ve stacionárním bodě. Protože podle(8) d γ dω (ω i)=43ω i( D i)+ω i(d i ), máme postačující podmínku maxima i tého sčítance(6) ve tvaru 3Ω i( D i)+ω i(d i ) > D i <. =.77. Pro tyto poměrné útlumy se vyvine maximum každého sčítance ve(6). Chování celéhovýrazu(6)vokolíbodůdanýchvýrazy(8)ovšemzávisínachováníiostatních sčítanců. Je proto závislé např. na hustotě spektra vlastních frekvencí i na hodnotách souřadnic příslušných vlastních vektorů. Je proto možné(a pro soustavy s větším počtem stupňů volnosti dokonce velmi pravděpodobné), že se v bodech(8) extrémy(6) vůbec nevyvinou. Příklad: Uvažujme soustavu tvaru oboustranně vetknutého přímého řetězce(např. podélněkmitajících)hmotpodleobrázku4,oparametrech m, m kg, k, k, k 3 N/ma b, b, b 3 Ns/m.Určímematicidynamicképoddajnosti(frekvenčníchpřenosů)soustavy aamplitudovéafrekvenčnícharakteristikyobousouřadnicpřibuzeníhmoty m funkcí cos ωt. Řešení:Uvažujeme-lijakozobecněnésouřadnicevýchylky q i hmotzestatickýchrovnovážných poloh, má matematický model soustavy zřejmě tvar soustavy diferenciálních rovnic M q(t)+b q(t)+kq(t)=f(t), 8
9 k k k 3 m m b b b3 Obrázek 4: Řetězec se dvěma stupni volnosti kdematicehmotnosti M,tlumení Batuhosti Kmajítvar M= m m b + b ; B= b b b + b 3 k + k ; K= k k k + k 3. Podle(8)promaticidynamickétuhosti Z(ω)=z jk (ω)platí Z(ω)= m ω + k + k +iω(b + b ) k iωb k iωb m ω + k 3 + k +iω(b 3 + b ) Inverzní matici pak určíme z definice jako Z (ω)=g(ω)=g jk (ω)= kdesohledemnasymetriimatice Z z (ω) z (ω) det Z(ω) z (ω) z (ω) det Z(ω)=z (ω)z (ω) z (ω). Vektor komplexních amplitud buzení je podle zadání reálný a má tvar Podle() potom což vzhledem k předchozím výrazům dává f T =,. q i (ω)=g i (ω),, q (ω)= k + k m ω +iω(b + b ) k + k m ω +iω(b + b )k 3 + k m ω +iω(b 3 + b ) (k +iωb ), q (ω)= k +iωb k + k m ω +iω(b + b )k 3 + k m ω +iω(b 3 + b ) (k +iωb ). Reálná část jmenovatele je zřejmě polynom čtvrtého stupně v proměnné ω a imaginární část je polynom třetího stupně. Absolutní hodnota jmenovatele se proto v okolí nekonečna (tedy pro velmi vysoké budící frekvence) chová jako polynom čtvrtého stupněvproměnné ω.reálnáčástčitatelevýrazu q (ω)jepolynomdruhéhostupně a imaginární část polynom prvního stupně v proměnné ω. Absolutní hodnota čitatele výrazu q (ω)seproto vokolínekonečna chovájakopolynomdruhéhostupně.reálná 9
10 částčitatelevýrazu q (ω)jekonstantaaimaginárníčástjepolynomprvníhostupněv proměnné ω. Proto se jeho absolutní hodnota v okolí nekonečna chová jako polynom prvního stupně. Odtud ihned plyne, že lim q (ω) = lim ω ω q (ω) =. Odezva na vysoké budící frekvence je tedy u obou souřadnic neměřitelná. Soustava na tak vysoké frekvence nestačí reagovat. Frekvenční charakteristika obou souřadnic modelu proto končí v počátku Gaussovy roviny. Amplitudová charakteristika má pak osu ω za asymptotu. Pro nulovou budící frekvenci(což odpovídá statické odezvě na jednotkovou sílu, jež působínahmotu m )zřejměplatí q ()= k + k (k + k )(k + k 3 ) k = k + k k k + k k 3 + k k 3 ; q ()= k k k + k k 3 + k k 3. Z těchto hodnot vycházejí frekvenční charakteristiky. Protože se jedná o hodnoty reálné, vycházejí frekvenční charakteristiky obou souřadnic z příslušných hodnot na reálné ose. Zároveň z těchto hodnot vycházejí i amplitudové charakteristiky. Měníme-li budící frekvence ω a vykreslíme-li v Gaussově rovině bod po bodu křivky q (ω)a q (ω),dostanemefrekvenčnícharakteristikyobousouřadnic.vykreslenímzávislostí q (ω) a q (ω) dostanemeamplitudovécharakteristikyobousouřadnic.pro číselnéhodnoty m = m =kg, k = k = k 3 = 4 N/m, b = b = b 3 = Ns/m jsou příslušné charakteristiky odezvy obou hmot uvedeny na obrázcích 5. a 6. Zobrázkůjepatrno,ževokolíbudícíchfrekvencí ω =rad/saω =7rad/s se vyskytují rezonanční stavy, vyznačující se extremálními amplitudami ustálené odezvy. V okolí těchto hodnot budící frekvence se silně mění i fázové zpoždění odezvy, jak se můžeme přesvědčit z frekvenčních charakteristik, při volbě ekvidistantního dělení v budící frekvenci(na obrázcích po 5rad/s). Zvedneme-li tlumení o řád(na Ns/m), pak příslušné charakteristiky jsou na obrázcích7.a8.jeznichpatrno,žerezonančnístavvokolíbudícífrekvence ω =7 rad/s se už nevyvinul. Rovněž změna fázového zpoždění v okolí první rezonance není zdaleka tak výrazná jako při malém tlumení, Poznámky:. Jestliže určíme vlastní frekvence přidružené konzervativní soustavy, vyřešíme frekvenční rovnici det( Ω M+ K)= m Ω + k + k k k m Ω + k + k 3 = = m m Ω 4 Ω m (k + k 3 )+m (k + k )+(k + k )(k + k 3 ) k =. Jedná se o bikvadratickou rovnici, pro naše číselné zadání tvaru Ω Ω +3 8 = majícířešeníω = 4,Ω =3 4.Vlastnífrekvencesoustavymajítudížhodnoty Ω =rad/saω = 3. =73.rad/s,cožvelicedobřekoresponduje se získanými rezonančními stavy.
11 x 4 ta souradnice frekvencni charakteristika ω min = ω max =3 ω=5 4 3 Im Re x 4 6 x Amplitudova charakteristika b= b= b3= 4 5 amplituda odezvy ω rad/s Obrázek 5: Charakteristiky odezvy-.souřadnice-nižší tlumení 5 x 4 ta souradnice frekvencni charakteristika ω min = ω max =3 ω=5 4 3 Im Re x 4 6 x 4 Amplitudova charakteristika b= b= b3= 5 amplituda odezvy ω rad/s Obrázek 6: Charakteristiky odezvy-.souřadnice-nižší tlumení. Protože soustava je lineární, stačí určovat charakteristiky pro jednotková buzení. Pro jakákoliv jiná buzení budou charakteristiky násobeny(ve všech bodech stejnou) konstantou a jejich kvalita tudíž zůstane zachovaná. 3. Pro měření fázového zpoždění odezvy přímo z frekvenční charakteristiky je potřeba měřítko reálné i imaginární osy Gaussovy roviny volit stejné.
12 4 x 5 ta souradnice frekvencni charakteristika ω min = ω max =3 ω=5 3 Im Re x 5 5 x 5 Amplitudova charakteristika b= b= b3= amplituda odezvy ω rad/s Obrázek 7: Charakteristiky odezvy-.souřadnice-vyšší tlumení 6 x 5 ta souradnice frekvencni charakteristika ω min = ω max =3 ω=5 5 4 Im Re x 5 8 x 5 Amplitudova charakteristika b= b= b3= amplituda odezvy ω rad/s Obrázek 8: Charakteristiky odezvy-.souřadnice-vyšší tlumení 7. Ustálená odezva na polyharmonické buzení Nechť budící funkce má tvar součtu konečného počtu p harmonických funkcí budících frekvencí ω,...,ω p.pohybovárovnicesoustavymápotomtvar
13 p M q(t)+b q(t)+kq(t)= (f ic cos ω i t+f is sin ω i t), (9) i= kde f ic a f is jsouvektorypořaděkosínovéasínovéamplitudy i téhosčítancebudící funkce. Ustálený stav soustavy popisuje opět partikulární řešení rovnice(9). Protože zmíněná soustava diferenciálních rovnic je lineární, platí pro její partikulární řešení principsuperpozice.nechť q i (t)jepartikulárnířešenísoustavy M q(t)+b q(t)+kq(t)=f ic cos ω i t+f is sin ω i t. (3) Potom partikulární řešení soustavy(9) má tvar p q(t)= q i (t). (3) i= Rovnice(3) má ovšem harmonickou pravou stranu, takže platí i pro rotující fázory q i (t).zavedeme-likomplexníamplitudy q i propartikulárnířešenía f i = f ic if is pro buzení, dostaneme podle předchozí kapitoly mezi nimi vztah q i =( Mω i+ K+iω i B) f i. (3) Označíme-li q ic =Re q i a q is = Im q i,pak(reálné)partikulárnířešení(3)mátvar q i (t)=q ic cos ω i t+q is sin ω i t a podle(3) partikulární řešení rovnice(9) potom je p q(t)= (q ic cos ω i t+q is sin ω i t). (33) i= Poznámka:Označíme-li q i = q (i) j n j=(njepočetstupňůvolnostisoustavy),pak q (i) j = = q (i) jc + q (i) js jereálnáamplituda j tésouřadnicepartikulárníhořešení q i (t).příslušná j tásouřadnice q j (t)vektoru(33)potomje kde ϕ (i) j p p q j (t)= (q jccosω (i) i t+q jssin (i) ω i t)= q (i) j cos(ω i t+ϕ (i) j ), i= i= jeargumentkomplexníamplitudy q (i) j. Obvykleseprovádějíhorníodhady q justálenéodezvy q j (t)nezávislénačase.protože platí cos(ω i t+ϕ (i) j ) prolibovolné i,ja t,odhadujeme p q j (t) = i= q (i) j cos(ω i t+ϕ (i) p j ) i= q (i) j cos(ω i t+ϕ (i) j ) p i= q (i) j =q j. (34) Tento odhad(součtem reálných amplitud jednotlivých partikulárních řešení) je skutečným horním odhadem platným pro libovolný čas t. Protože rotující fázory jednotlivých partikulárních řešení rotují různými úhlovými rychlostmi a startují v čase t = z různých fází, zřídkakdy se v jednom čase sejdou na stejném argumentu. Ovšem pouze v tomtopřípaděbyv(34)protentočasplatilaznaménkarovnosti.tojedůvod,pročse odhad q jjevívněkterýchpřípadechjakozbytečněkonzervativní(přílišvelký).zavádíme ještětzv.efektivní horní odhadˆq j jako 3
14 p ˆq j = q (i) j. (35) i= V matematice se dokazuje tzv. zobecněná trojúhelníková nerovnost platná pro libovolná komplexní čísla ve tvaru p q (i) j i= p i= q (i) j,. Podle(34)a(35)jeˆq j q j,atudíž(35)nemusíbýtskutečnýmhornímodhademodezvy. Můžetedyexistovatčas,vněmžustálenáodezva q j (t)budevětšínež horníodhad ˆq j. Pokudzkoumámeodezvunaomezenémčasovémintervaluabudícífrekvence ω i mají vysokýnejmenšíspolečnýnásobek,tentopřípadnenastaneaˆq j jeméněkonzervativním hornímodhademodezvy q j (t). 8. Ustálená odezva na periodické buzení Jestližeprofunkci f(t)existujekladnéčíslo T,žeplatí f(t)=f(t+ T)prolibovolný čas t,říkáme,žefunkce fjeperiodickáanejmenšízčísel Tnazvemejejíperiodou. Nechťvšechnyfunkce f j (t)vevektorupravýchstran f(t)vpohybovérovnicijsou funkcemi s toutéž periodou T. Jsou-li tyto funkce rozumné (například na intervalu délky periody po částech spojité a monotónní), lze je rozvinout ve Fourierovu řadu, jež konverguje k dané funkci v bodech její spojitosti. Pohybovou rovnici lze tedy psát ve tvaru M q(t)+b q(t)+kq(t)= (f jc cos jωt+f js sin jωt)= j= = f + (f jc cos jωt+f js sin jωt), (36) j= kde ω je tzv. základní budící frekvence, jež souvisí s periodou T pravých stran pohybové rovnice vztahem ω= π T. (37) Vektory f, f jc a f js jsoutzv.vektoryfourierovýchkoeficientů,prokteréplatí f = T T f(t)dt; f jc = T T T f(t)cos jωtdt; f js = f(t)sin jωtdt; j=,,.... (38) T Označme q (konstantnívektor)partikulárnířešenírovnice a q j (t)partikulárnířešenírovnice M q(t)+b q(t)+kq(t)=f (39) M q(t)+b q(t)+kq(t)=f jc cos jωt+f js sin jωt. (4) 4
15 Vzhledem k platnosti principu superpozice je p p q(t)=q + q j (t)= q j (t) (4) j= j= partikulárním řešením rovnice(36), ve které na pravé straně stojí prvních p sčítanců. Z matematiky víme, že pokud nekonečná funkcionální řada q j (t)konvergujestejnoměrně, lze(4) rozšířit limitním přechodem p i na partikulární řešení rovnice(36).definujeme-likomplexníamplitudy f j = f jc if js projednotlivábuzenía q j = q jc iq js propříslušnápartikulárnířešenírovnice(4),platímezinimi,stejně jako v předchozí kapitole, vztah q j =( j ω M+ K+ijωB) fj, (4) přičemžneindexovéiznačíimaginárníjednotku.označíme-li q jc =Re q j a q js = = Im q j,dostávámepodle(4) j= p q(t)=q + (q jc cos jωt+q js sin jωt). j= V případě stejnoměrné konvergence řady vpravo pro p lze tento limitní přechod provést a vyjádřit tak partikulární řešení(36) jako q(t)=k f + (q jc cos jωt+q js sin jωt), (43) j= kde q = K f jepartikulárnířešenírovnice(39)ajednotlivékomplexníamplitudy partikulárních řešení rovnic(4) jsou určeny v(4). Poznámka:Funkcecos jωtisin jωtmajízřejměperiodu T j.chovajíseprotoperiodicky ivzhledemkperiodě T.Vzhledemkdefiniciperiodypotomlzemezevintegrálech(38) shodněposunoutolibovolnéposunutí.posunutímo T získámevýrazyanalogickék(38), vnichžsebudeintegrovatpřessymetrickýinterval( T ; T ).Licháfunkceintegrovaná přes symetrický interval zřejmě dává jako výsledek nulu. Protože součin sudé a liché funkcejefunkcelicháaprotožecos jωtjeprokaždé jfunkcesudáasin jωtjepro každé j funkce lichá, dostáváme následující tvrzení: Je-li souřadnice vektoru pravých stran f(t) funkce lichá, jsou její kosínové Fourierovy koeficienty nulové. Je-li tato funkce naopak sudá, jsou její sínové Fourierovy koeficienty nulové. Příklad:Nechťnahmotu m soustavypodleobr.4působíperiodickyproměnnásílas periodou T =3s,kteránaintervalu( T ; T )máprůběh F(t)=t (obr.9).určíme ustálenouodezvusoustavyproparametry m = m =kg, k = k = k 3 = 4 N/m a b = b = b 3 =Ns/mnapopsanébuzení. Řešení: Podle(38) určíme nejprve příslušné Fourierovy koeficienty k funkci F(t). Použijeme přitom posunutí mezí o polovinu periody. Pro konstantní složku platí F = T T T t dt= t3 3T Protožebudícífunkcejesudá,je F js =provšechna j.dáleje 5 T T = T. (44)
16 4 perioda=3 s 3 F(t) cas t s Obrázek 9: Průběh periodické funkce buzení F jc = T T T t cos jπ T tdt. Dvojí aplikací integrace per partes(vždy derivujeme polynom a integrujeme harmonickou funkci) dostaneme F jc = T Tt jπ sinjπ T t+ T t 4j π cosjπ T t T3 8j 3 π 3sinjπ T t T T. První a třetí sčítanec v obou mezích vymizí(sínus přirozeného násobku π), takže je F jc = T T ( T j π + T )cos jπ= ( )j T j π, (45) protože kosínus sudého násobku π je jedna a lichého násobku π pak mínus jedna. Vzhledem k tomu, že budící funkce F(t) je všude spojitá, konverguje Fourierova řada tvaru F + F jc cos jωt=t j= + ( ) j cosπj t π j= j T ve všech bodech k této funkci. Její částečné součty pro různý počet sčítanců jsou uvedeny na obr.. Z obrázku je patrno, že pro dobré nasimulování hrotů grafu(bodů, v nichž neexistuje derivace) je potřeba větší počet sčítanců. Pro vyjádření konstantního členu ustálené odezvy invertujeme podle definice matici k + k tuhosti K= k soustavy. Dostaneme k k + k 3 K k3 + k = k. (46) k k + k k 3 + k k 3 k k + k Protožebudícísílapůsobínahmotu m,mávektorbuzenítvar 6
17 soucet n scitancu Fourierovy rady periodicke funkce t=. n= n=5 n= n=.5 F(t) N cas t s Obrázek : Částečné součty Fourierovy řady periodické funkce z obr.9 f(t)=f(t) Podle(43),(44) a(46) pro konstantní vektor ustálené odezvy platí q = K f = F K = = T (k k + k k 3 + k k 3 ). F k k + k k 3 + k k 3 k k + k k k + k =. (47) Jednotlivé sčítance ve Fourierově řadě(43) jsou partikulárními řešeními rovnice M q j (t)+b q j (t)+kq j (t)=f jc cosπj t T. Přechodemkekomplexnímfunkcímdostanememezikomplexníamplitudou q j partiku- lárníhořešeníakomplexníamplitudou f j = F jc buzení podle(4) vztah q j = G(j,T)F jc = ( M 4π j + K+iB πj ) F T jc T. Matice dynamické poddajnosti G(jω)=G(j,T)=g kl (j,t) jeurčenavpříkladěnastraně8(stejnásoustavavobouúlohách).platítedypro ω= πj T 7
18 q () j (ω)=f jc k + k m ω +iω(b + b ) k + k m ω +iω(b + b )k 3 + k m ω +iω(b 3 + b ) (k +iωb ), (48) q () k +iωb j (ω)=f jc k + k m ω +iω(b + b )k 3 + k m ω +iω(b 3 + b ) (k +iωb ), (49) kdejsmeoznačili q j = q (i) j pro i =, (souřadnice komplexní amplitudy partikulárního řešení s j tým sčítancem Fourierovy řady buzení). Jestliže píšeme je q(t)=q + q (i) j j= =Re q (i) j Re q () j Re q () j +iim q (i) j, cos πj t T Im q() j sin πj t T cos πj t T Im q() j sin πj t T funkcionální řada, která(pokud konverguje stejnoměrně) konverguje k partikulárnímu řešení pohybové rovnice soustavy s popsanou periodickou pravou stranou, jež vyjadřuje příslušnou ustálenou odezvu soustavy na definované periodické buzení. Ve finálním vztahu(5)jekonstantnívektor q dánv(47),komplexníamplitudy j téhosčítance řadyprojednotlivésouřadnice ijsoudányv(48)a(49),kde ω = πj a Fourierovy T koeficienty F jc jsoupodle(45). (5).8 x 4.6 soucet 5 ti scitancu Fourierovy rady odezvy srovnani souradnic.hmota.hmota.4. q i (t) m cas t s Obrázek : Součet 5-ti sčítanců Fourierových řad odezev Srovnání obou souřadnic vektoru q(t) je pro částečný součet 5-ti sčítanců uvedeny na obr.. Na obr.. je uvedeno srovnání částečných součtů různého počtu sčítanců pro druhouhmotumodelu.protožezákladnífrekvenceprodanouperioduje ω= π. =. 3 8
19 .8 x 4.6 soucet n scitancu Fourierovy rady odezvy srovnani poctu scitancu n= n=5 n= n=5.4. q (t) m cas t s Obrázek : Částečné součty Fourierovy řady odezvy druhé hmoty rad/s, tedy silně v podrezonanční oblasti, nejsou kmity v uvedeném měřítku na grafu vůbec patrné. Jestliže zvolíme periodu T =.s, čemuž odpovídá základní frekvence ω = 3.4rad/s, tedy blíže k první rezonanci, jest situace jiná. Kmity ovíjející tvar budící funkce jsou pak zřetelné, jak je vidět na obrázku x 5 soucet 5 scitancu Fourierovy rady odezvy pro periodu T=. s q (t) m cas t s Obrázek 3: Součet 5-ti sčítanců Fourierovy řady odezvy. hmoty- perioda T=.s Poznámka: Slušelo by se ještě ověřit, zda řada v(5) skutečně konverguje stejnoměrně na libovolném časovém intervalu. Ověříme to konstrukcí konvergentní číselné majoranty k řadám, vyjadřujícím jednotlivé souřadnice vektoru q(t) v(5). Uvedené řady lze zřejmě 9
20 přepsat do tvaru (ϕ (i) j j= q() j q () j cos ( ) πj T t+ϕ() j ) cos ( πj T t+ϕ() j jsou fázové posuny dané argumenty příslušných komplexních amplitud). Vzhledem k omezenosti harmonických funkcí na každém časovém intervalu v absolutní hodnotě jedničkou, jsou číselné majoranty k funkcionálním řadám v(5) tvaru j= q (i) j, i=,. Zbývádokázatjejichkonvergenci.Protože ω= πj,vyplývázrozboruvpříkladěna T straně8,že q () j seprodostatečněvelká jchovájako j a q () j dokoncejako j 3.Dále podle(45)existujekonstanta A,že F jc A.Odtudihnedplyneexistencekonstant B j a C,žeprodostatečněvelká j q () j B j 5a q() j C j. 4 Z matematiky víme, že řada j= j konvergujeprovšechna α >.Řady q (i) α j tedy j= tvoří konvergentní majoranty a(5) skutečně konverguje k parikulárnímu řešení pohybové rovnice s periodickou pravou stranou.
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
VíceTéma: Modální analýza a volné kmitání slabě tlumených lineárních kmitavých soustav
Téma: Modální analýza a volné kmitání slabě tlumených lineárních kmitavých soustav Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Volné kmitání konzervativních(netlumených) soustav je popsáno maticovou pohybovou
VíceNauka o Kmitání Přednáška č. 4
Nauka o Kmitání Přednáška č. 4 Odezva lineárního systému na obecnou periodickou budící funkci Ing. Antonín Skarolek, Ph.D. Katedra mechaniky, pružnosti a pevnosti Technická Univerzita v Liberci 213 Ustálená
VíceSIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY
SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY TEMATICKÉ OKRUHY Signály se spojitým časem Základní signály se spojitým časem (základní spojité signály) Jednotkový skok σ (t), jednotkový impuls (Diracův impuls)
VíceKMS cvičení 6. Ondřej Marek
KMS cvičení 6 Ondřej Marek NETLUMENÝ ODDAJNÝ SYSTÉM S DOF analytické řešení k k Systém se stupni volnosti popisují pohybové rovnice: x m m x m x + k + k x k x = m x k x + k x = k x m x k x x m k x x m
VíceNejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.
U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek
VíceNecht na hmotný bod působí pouze pružinová síla F 1 = ky, k > 0. Podle druhého Newtonova zákona je pohyb bodu popsán diferenciální rovnicí
Počáteční problémy pro ODR2 1 Lineární oscilátor. Počáteční problémy pro ODR2 Uvažujme hmotný bod o hmotnosti m, na který působí síly F 1, F 2, F 3. Síla F 1 je přitom úměrná výchylce y z rovnovážné polohy
VíceKMS cvičení 5. Ondřej Marek
KMS cvičení 5 Ondřej Marek Ondřej Marek KMS 5 KINEMAICKÉ BUZENÍ ABSOLUNÍ SOUŘADNICE Pohybová rovnice: mx + b x x + k x x = mx + bx + kx = bx + kx Partikulární řešení: x = X e iωt x = iωx e iωt k m b x(t)
VíceX31EO2 - Elektrické obvody 2. Kmitočtové charakteristiky
X3EO - Elektrické obvody Kmitočtové charakteristiky Doc. Ing. Petr Pollák, CSc. Letní semestr 5/6!!! Volné šíření není povoleno!!! Fázory a spektra Fázor harmonického průběhu Û m = U m e jϕ ut) = U m sinωt
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
Více1 Modelování systémů 2. řádu
OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka
Více9. cvičení z Matematické analýzy 2
9. cvičení z Matematické analýzy 7. listopadu -. prosince 7 9. Určete Fourierovu řadu periodického rozšíření funkce ft = t na, a její součet. Definice: Necht f je -periodická funkce, která je integrabilní
VíceMatematickým modelem soustavy je známá rovnice (1)
1. Lineární dynamické systémy 1.1 Rezonanční charakteristiky lineárních systémů s jedním stupněm volnosti Závislost amplitudy vynucených kmitů na frekvenci nazýváme amplitudo-frekvenční charakteristikou.
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,
VíceDiferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
VíceMatematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3
Matematika 3 Úloha 1 Co lze říci o funkci imaginární část komplexního čísla která každému komplexnímu číslu q přiřazuje číslo Im(q)? a. Je to funkce mnohoznačná. b. Je to reálná funkce komplexní proměnné.
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceNechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.
Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné
VíceAplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceOtázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VícePřechodné děje 2. řádu v časové oblasti
Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti EO2 Přednáška 8 Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu ÚVODEM Na předchozích přednáškách jsme se seznámili s obecným postupem řešení přechodných dějů, jmenovitě pak
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Více18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VícePříklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Více1.8. Mechanické vlnění
1.8. Mechanické vlnění 1. Umět vysvětlit princip vlnivého pohybu.. Umět srovnat a zároveň vysvětlit rozdíl mezi periodickým kmitavým pohybem jednoho bodu s periodickým vlnivým pohybem bodové řady. 3. Znát
VíceMonotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
VícePrůvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
Více3. přednáška 15. října 2007
3. přednáška 15. října 2007 Kompaktnost a uzavřené a omezené množiny. Kompaktní množiny jsou vždy uzavřené a omezené, a v euklidovských prostorech to platí i naopak. Obecně to ale naopak neplatí. Tvrzení
VíceLineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2
Cvičení Lineární rovnice prvního řádu. Najděte řešení Cauchyovy úlohy x + x tg t = cos t, které vyhovuje podmínce xπ =. Máme nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce ht = tg t a
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VícePavlína Matysová. 5. listopadu 2018
Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby
VíceSIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cz, Kamenice 3, 4. patro, dv.č.424 INVESTICE Institut DO biostatistiky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a analýz IV. FREKVENČNÍ TRASFORMACE SPOJITÉ
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceFunkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
VíceDiferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
VíceKomplexní analýza. Fourierovy řady. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Fourierovy řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVU v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 1 / 20 Úvod Často se setkáváme s periodickými
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
VíceObsah. Kmitavý pohyb. 2 Kinematika kmitavého pohybu 2. 4 Dynamika kmitavého pohybu 7. 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9
Obsah 1 Kmitavý pohyb 1 Kinematika kmitavého pohybu 3 Skládání kmitů 6 4 Dynamika kmitavého pohybu 7 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9 6 Nucené kmity. Rezonance 10 1 Kmitavý pohyb Typy pohybů
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
Více. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0
Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy
VíceMatematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Více16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 1 16 Fourierovy řady 16.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceDiferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
VíceBudeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu a, b : 2 ) y i p i+ 1
ODR - okrajová úloha Teorie (velmi stručný výběr z přednášek) Okrajová úloha 2. řádu Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceFunkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 013 Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy Studijní program Učitelství pro základní školy - obor Učitelství fyziky
VíceKomplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Laplaceova transformace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Laplaceova transformace 1 / 18 Definice Definice Laplaceovou
Více9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty
9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
VíceSoustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceKTE/TEVS - Rychlá Fourierova transformace. Pavel Karban. Katedra teoretické elektrotechniky Fakulta elektrotechnická Západočeská univerzita v Plzni
KTE/TEVS - Rychlá Fourierova transformace Pavel Karban Katedra teoretické elektrotechniky Fakulta elektrotechnická Západočeská univerzita v Plzni 10.11.011 Outline 1 Motivace FT Fourierova transformace
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Více6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH
Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
VíceTeorie měření a regulace
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace 22.z-3.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ druhá část tématu předmětu pokračuje. oblastí matematických pomůcek
VíceMatematika I (KMI/PMATE)
Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce
Více25.z-6.tr ZS 2015/2016
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace Typové členy 2 25.z-6.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ třetí část tématu předmětu pokračuje. A oblastí
VíceŘešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,
Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()
VíceDefinice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe
Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O
VíceUrčete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx =
. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Věta 1 (Abelovo-Dirichletovo kritérium konveregnce Newtonova integrálu). Necht a R, b R a necht a < b. Necht f : [a, b) R je
Více9.7. Vybrané aplikace
Cíle V rámci témat zaměřených na lineární diferenciální rovnice a soustavy druhého řádu (kapitoly 9.1 až 9.6) jsme dosud neuváděli žádné aplikace. Je jim společně věnována tato závěrečné kapitola, v níž
Více1 Rozdělení mechaniky a její náplň
1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů
Více(test version, not revised) 9. prosince 2009
Mechanické kmitání (test version, not revised) Petr Pošta pposta@karlin.mff.cuni.cz 9. prosince 2009 Obsah Kmitavý pohyb Kinematika kmitavého pohybu Skládání kmitů Dynamika kmitavého pohybu Přeměny energie
Vícey = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1
ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což
Vícesin(x) x lim. pomocí mocninné řady pro funkci sin(x) se středem x 0 = 0. Víme, že ( ) k=0 e x2 dx.
Použití mocniných řad Nejprve si ukážeme dvě jednoduchá použití Taylorových řad. Příklad Spočtěte následující limitu: ( ) sin(x) lim. x x ( ) Najdeme lim sin(x) x x pomocí mocninné řady pro funkci sin(x)
Více1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
VíceSIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cziba.muni.cz II. SIGNÁLY ZÁKLADNÍ POJMY SIGNÁL - DEFINICE SIGNÁL - DEFINICE Signál je jev fyzikální, chemické, biologické, ekonomické
VíceMKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.
MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární
Více[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici
[1] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá se při řešení lineárních soustav... a v mnoha dalších aplikacích
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Více19 Hilbertovy prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VíceInverzní Laplaceova transformace
Inverzní Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 6. přednáška MSP čtvrtek 30. března
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
Více