Další velmi užitečné výsledky kinetické teorie

Transkript

1 Daší emi užitečné ýsedky kinetické teorie Kinetická teorie nám umožní definoat a yočítat daší zajímaé eičiny, které jsou emi řínosné e akuoé fyzice a technice :. Částicoý déšť Veičina částicoý déšť určuje střední očet nárazů moeku na stěnu definoaný za jednotku času na jednotku ochy. Je to emi užitečná, římo zákadní eičina ři zkoumání interakcí částic ynu s orchy ených átek e akuoém systému - rní řadě s nitřním orchem ohraničujích stěn ( minué kaitoe jsme už rozkoumai zákadní interakci částic s orchem ružnou srážku a úsěšně jsme ododii její důsedek tak ynu.) Veičina částicoý déšť má ae širší yužití s její omocí můžeme stanoit očet doadů moeku na ouze myšenou ochu, umístěnou kdekoi objemu ynu a definoat tak částicoý tok touto ochou (jako očet částic rošý danou ochou za jednotku času). Při jejím ýočtu by rinciiáně byo možné oužít stejný ostu, jako ři ýočtu taku - tj. mohi bychom tuto eičinu yjádřit jako : Z dtds dn V x dsdt. Uažte šak, že tento integrá už nebude možné řeést na známou střední hodnotu (obsahuje ichou funkci). Musíme roto oužít jiný ostu : d N Využijeme skuinu moeku, které mají ode Maxweoa rozděení eikost rychosti interau d tj. šechny tyto moekuy mají rakticky stejnou eikost rychosti : dn f ( ) d A směr ektorů jejich rychosti yjádříme omocí sférických souřadnic iz násedující obrázky :

2 V těchto souřadnicích je směr ektoru určen děma úhy ( ϑ, ϕ ). Ašak i když máme obroský soubor moeku ynu, nemusí mít tento řesný směr ani jediná moekua (je to stejné, jako bychom zoii určitou eikost rychosti na ose také by ji nemusea mít žádná moekua). Je tedy nutno stejně jako na ose eikosti rychostí zoit ro úhy maé, diferenciání interay. Stanoíme tedy, aby úhy ϑ, ϕ ežey zadaných (emi maých, diferenciáních) sojitých interaech eikosti d ϑ, dϕ - tedy aby atio : ϑ ϕ ( ϑ, ϑ + dϑ) ( ϕ, ϕ + dϕ) Jak je idět z obrázku, touto obou astně zadáme (emi maý, diferenciání) rostoroý úhe, e kterém už jistě budou ežet ektory rychostí nenuoého očtu moeku : ds rdϑr sinϑdϕ dω sinϑdϑdϕ. r r Všechny moekuy ošem étají do šech možných úhů - tedy do ceého rostoroého úhu π. Do zadaného úhu d ω ak směřuje ouze úměrná část z cekoého očtu moeku, daná oměrem: dω π ϑ, ϕ ) mohou na ošku eikosti ds doadnout za d t moekuy až z maximání zdáensti.dt - tedy cekem na doadnou šechny moekuy ze Dáe uažme, že ři zadaném směru rychosti ( čas šikmého áce o objemu: ds dt cosϑ A ak jen sečteme šechny tyto moekuy ro šechny možné eikosti a šechny možné směry rychosti (odoídající doadům moeku na ošku ds z ceého oorostoru):

3 Z dtds π ϑ π ϕ dn V ds dt dω cosϑ π πv N N f ( )d π sinϑ cosϑ dϑ π dϕ N V n. Výsedný zorec ro částicoý déšť je tedy emi jednoduchý : Z n Počet nárazů částic za jednotku času na jednotku ochy. Střední oná dráha Tato eičina charakterizuje déku dráhy, kterou moekua uetí mezi děma srážkami. U neusořádaného ohybu moeku jsou samozřejmě déky drah mezi děma o sobě jdoucími srážkami různé a roto se očítá střední hodnota těchto drah. Vztah ro střední dráhu ze ododit z jednoduchého modeu, který ukazuje násedující obrázek: Předokádáme, že šechny moekuy jsou kidu a ouze jedna se ohybuje rychostí o eikosti. Tato moekua - jako koue o ooměru r - uetí za jednotku času dráhu eikosti a narazí řitom do šech moeku, které jsou od její dráhy zdáené maximáně o zdáenost R r, tedy narazí do šech moeku objemu: π R Počet moeku tomto objemu yjásříme omocí koncentrace moeku jako :

4 n π R Tento očet moeku je ak roen očtu srážek, ke kterým dojde na zdáenosti. Tedy růměrná zdáenost mezi děma srážkami bude jednoduše : nπ R nπ R nσ kde jsme označii σ geometrický říčný růřez moekuy : σ π R Předokad o nehybnosti ostatních moeku jistě není sráný - je nutné ještě uažoat zájemnou rychost mezi ybranou moekuou a ostatními moekuami - tedy její reatiní rychost: Pode obrázku určíme reatiní rychost jako rozdí rychostí uažoané moekuy a některé sousední moekuy : r r r re ; Jestiže oužijeme cosinoou ětu : re + cosα a uděáme formáně střední hodnoty na obou stranách, dostaneme : re { + { cos α Pak uážíme, že na raé straně osední čen je nuoý (roč?) a rní da čeny jsou střední kadratické rychosti, tedy dostaneme : re z toho ak odmocněním dostaneme jednoduše (řesné odození ošem není jednoduché): re Po dosazení do zorce ro střední onou dráhu ak znikne řesnější ztah: n σ

5 Střední onou dráhu dáe oiňuje naohed řekaiá záisost σ na rychosti moeku - tj. na teotě ynu. Jedná se ae astně o známý je, zcea běžný ři studiu zájemných reakcí různých částic chemii, e fyzice azmatu, jaderné fyzice... kdy ůodně geometrický růřez částic dostáá smys účinného růřezu reakce (určuje rychost jejího růběhu) a není již konstantní, ae obecně záisí na různých eičinách, zejména na druhu reagujících částic, na druhu jejich zájemné reakce (interakce) a také na jejich energii (kinetické). Můžeme naříkad uážit, že říadě, kdy se dě částice řitahují (da ionty oačných znamének) bude zřejmě účinný růřez jejich interakce ětší než geometrický růřez.. a ři zomaoání zájemného ohybu řed srážkou se bude účinný růřez ještě íce zětšoat. (anaogicky říadě odudiých si). (V jaderné fyzice je. šeobecně známá záisost účinného růřezu štěení jádra uranu o doadu neutronu, která yozuje nutnost oužíání moderátoru e štěném reaktoru) V našem říadě ýočtu střední oné dráhy se jedná a interakci dou neutráních moeku ynu, druhem jejich reakce je ružná srážka a záisost účinného růřezu na jejich energii je yjádřena Sutherandůým ztahem : kde σ T + T σ d σ je σ ro T a T d je tz. teota zdojení (ro T Td je σ σ ) Pak ýsedný ztah ro střední onou dráhu je: n T σ + T Dosadíme-i ještě za koncentraci n ze staoé ronice d Střední oná dráha nkt, dostaneme: k T T σ + T d Součin střední oné dráhy a taku Je idět, že součin je konstantní ro daný yn a danou teotu. Seciáně: N O,, o o C : R, m ( R,78 m T d 98-7 K (ro 9 - K ), C : R,6 m o C,9 m mtorr,9 m mtorr ) m mbar

6 Udáá se ro zduch ( o C ): m mtorr 6,6 m mbar. Počet srážek (jedné) částice za jednotku času Když oužijeme zákadní úahy z očátku minuého odstace o střední oné dráze, dostaneme : N z t nσ. Objemoá hustota srážek Daší oužíanou eičinou je očet srážek (šech částic) jednotce objemu za jednotku času, též nazýanou objemoá hustota srážek. Víme, že jednotce objemu je n moeku a každá z nich absouje z srážek za jednotku času, cekem tedy n z srážek. Tím jsme ae každou srážku zaočítai dakrát a ýsedek musíme yděit děma: Z nz n.. Střední zdáenost moeku Tato eičina se někdy očítá ro odhad zdáeností moeku ynu, řičemž oužijte ředstay, že moekuy jsou raideně rozmístěny bodech kubické mřížky. Jedné moekue tak řísuší jedna eementární kryche o hraně a, tedy objem a. Z definice hustoty ak yne: a. n Domácí úko Vyočítejte a oronejte šechny definoané eičiny ro někoik taků ceém oboru akua. Stanote také koncentraci moeku n ze staoé ronice ynu nkt, ři teotě o C. 6

7 Náod k řešení : Použijte ředchozí ronice s jednoduchými úraami : nkt n a kt n konst. z kde n Z Z n nz konst. 8kTN πmn a a 8RT πm [Pa] [mbar] n [mm - ] a [mm] [m] z [s - ] Z [s - mm - ] Z [s - mm - ] 6,, 6 6, ,8,9,, 6, ,8 8,9,, 6,6 7 8,8,9 7, 6 7, 66,7 8,8,9,, ,8 7,9 Podrobně rozkoumejte hodnoty tabuce a jejich interay. Naezněte zajímaé souisosti. Které eičiny jsou asi nejdůežitější, jakých situacích? (konec kaitoy) K. Rusňák, erze / 7