Carl Friedrich Gauss

Transkript

1 Carl Friedrich Gauss F. KOUTNÝ, Zlí ( ) Každé vyprávěí o ěkom, kdo žil dávo, je utě je kompilací prameů a odkazů, které v ejlepším případě pocházejí od jeho pamětíků. Rámec tohoto textu tvoří úryvky kihy [], která poprvé vyšla před víc ež lety. Na ě avazují věcé kometáře a další odkazy. Na moho pojmů spojeých s Gaussovým jméem se bohužel edostae.

2 Gauss Dětství DĚTSTVÍ C. F. Gauss pocházel z velmi chudé rodiy. Jeho otec, Gebhard Dietrich Gauss (744-88), byl zedíkem a mistrem vodích staveb, ale vykoával růzé příležitosté práce. Pomáhal apř. jedomu obchodíkovi při trzích v Brauschweigu a Lipsku. Protože dobře psal a počítal, fugoval také jako účetí. Posledích 5 let života pracoval jako zahradík. Byl to absolutě poctivý, přímý a čestý muž. Ale doma byl paovačý a často hrubý, takže malý Carl s ím těžko mohl avázat důvěrější vztah. Carl se arodil v Brauschweigu. duba 777 v domě, z ěhož se později stalo museum a jež byl ozače pamětí deskou. Dům byl ziče při áletu 5. říja 944. Matka Dorothea (74-89) datum jeho arozeí ezala, věděla je, že to bylo ve středu 8 dí před Naebevstoupeím Páě. To se Gausovi stalo později podětem k sestaveí vzorce pro výpočet data velikooc. Dorothea se přistěhovala do Brauschweigu a 776 se provdala za Gebharda Gausse. Byla to žea s přirozeou iteligecí, bez předsudků, dobrosrdečá a charakterí. Její velký sy byl jejím jediým dítětem, její hrdostí. Lula k ěmu s velkou láskou, stejě jako o k í. Měla dobré zdraví, ale posledí 4 roky života už byla slepá. Dožila se úctyhodých 96 let. Už v ejraějším věku Gauss vykazoval mimořádé vlohy. Když se růzých čleů rodiy doptal, jak se čtou jedotlivá písmea abecedy, aučil se ještě před školou sám číst. Zvládl také aritmetiku a počítáí zpaměti tak, že udivoval rodiče a jejich přátele. Gaussův otec pracoval přes léto jako předák zedíků. Ve čtvrtek se počítaly a vyplácely výplaty. Když ěkdo pracoval přesčas, dostal úměrě víc. Jedou ale letý chlapec vykřikl: Tati, te výpočet je špatě! a řekl, jak by to mělo být správě. Předtím totiž epozorová počítáí sledoval. Když otec pečlivě zkotroloval výpočet, zjistil, že chlapec měl pravdu. Později Gauss v legraci říkával, že se aučil dřív počítat ež mluvit. V 7 letech r. 784 začal Gauss chodit do obecé školy (St. Katharie Volkschule). Třídou byla ízká místost s žáky, hrbolatou podlahou a ízkým stropem. Učitel J. G. Bütter se procházel po třídě sem a tam, v ruce rákosku, což byl tehdy ezbytý vyučovací prostředek. Gauss po dvou letech bez problémů postoupil do aritmetické třídy. Jedou Bütter zadal příklad: sečíst všecha přirozeá čísla od do, tedy vypočíst s = Za chvilku Gauss položil svou tabulku s číslem 55 a stůl. Bütter se sarkasticky podíval a malého chlapce, ale te seděl klidě, přesvědče o správosti výsledku. Uměl také vysvětlit, jak k výsledku přišel: s = ( + ) + ( + 99) + ( + 98) + + (5 + 5) = 5 = 5 5. Bütter mu potom koupil kihu o aritmetice a brzy dospěl k ázoru, že už emá, co by chlapce mohl aučit. Bütter ebo jeho pomocík Bartels dokoce pozvali Gaussova otce, aby si s ím promluvili o dalším chlapcově vzděláí. A tak se stalo, že i dříve tvrdohlavý otec souhlasil s tím, že chlapec už ebude muset spřádat každý de svůj díl lu. Otec prý po

3 Gauss Dětství této rozmluvě odesl vřeteo a zadí dvůr a později z ěj aštípal třísky a rozděláváí ohě v kuchyi. Po večerech teď Gauss mohl při svíčce vysedávat ad kihami o matematice. Obstarával mu je Bütterův pomocík J. C. M. Bartels, který se sám o matematiku itezivě zajímal a později (od r. 88) vedl let katedru matematiky a uiversitě v Kazai (jeho studetem byl N. I. Lobačevskij). Gauss v letech zvládl biomickou větu a sezámil se s ekoečými řadami, což mu otevřelo cestu k ifiitesimálímu počtu. Joha Christia Marti Bartels měl velkou zásluhu a dalším Gaussově osudu, protože o schopostech svého žáka iformoval vlivé osoby, zejméa E. A. W. Zimmermaa, který byl profesorem matematiky, fyziky a přírodí historie a zdejším Collegiu Caroliu. Zimmerma byl později císařem povýše do šlechtického stavu a stal se tajým radou u dvora brušvického vévody. Jedoho de ařídil Barthelsovi, aby přivedl mladého Gausse. Profesor Hellwig, ový učitel matematiky a Katharieu, vrátil prví písemou práci Gaussovi s tím, že by bylo zbytečé, aby takový matematik poslouchal jeho výklad. Podle Gaussových vlastích slov to bylo téměř proti otcově vůli, že odešel z Bütterovy školy a za podpory přátel začal studovat atické jazyky. Brušvická vévodkyě jedou ašla mladého Gausse poořeého do ějaké kihy. Po počátečí edůvěře pozala, že te malý chlapec skutečě rozumí tomu, co čte. Velmi překvapea to řekla vévodovi, Karlu Vilému Ferdiadovi (75-86), a te si pro malého Gausse echal poslat. Když lokaj přišel ke Gaussům, poslali ho ejdřív za starším evlastím bratrem Georgem. Te se velmi divil a protestoval. Pak se ale vyjasilo, že přišel za mladším Carlem, za tím budižkičemu, který věčě vězel osem v kihách. Prostředí zámku bylo pro chudého a plachého 4letého chlapce oslivé. Ale taktí vévoda s vědomím, že před sebou má velmi výjimečého člověka, věděl, jak si získat jeho důvěru a jak použít prostředků potřebých pro další rozvoj jeho taletu. Gauss odešel obohace ěkolika způsoby. Dostal své prví logaritmické tabulky, s vévodovou pomocí astoupil do Collegia Carolium, předchůdce yější Techische Uiversität Carolo-Wilhelmia zu Brauschweig. Byl zříze speciálí účet, z ěhož byly Gaussovi hrazey studijí pomůcky a školé. Neí pochyb, že kromě toho ho vévoda podporoval ještě dalšími dary z vlastích příjmů.

4 Gauss Studetská léta. Prví vědecké práce STUDENTSKÁ LÉTA - PRVNÍ VĚDECKÉ PRÁCE Collegium Carolium byla škola vyplňující mezeru mezi gymáziem a uiversitou. Studovali zde budoucí úředíci, architekti, ižeýři, obchodíci, statkáři a získávali široký základ pro své povoláí před specializací. Vyučovaly se klasické i moderí jazyky, věrouka a morálka, filosofie, obecá, církeví a literárí historie, civilí a kaoické právo, matematika, fyzika, aatomie, ěmecká poezie a řečictví, teorie krása v malířství a sochařství, cvičeí v kresleí a rýsováí, v hudbě, taci, šermu a jízdě a koi, tělocvik a opracováí skla. Důležitější ež samoté předměty však byl duch ústavu. Žáci byli vedei jako ositelé ové kultury, svobodější a ušlechtilejší. Učitelé věovali žákům své ejlepší schoposti. Gauss se 8. úora 79 se zapsal pod číslem 46 jako Joha Friedrich Carl Gauss, Bruswick. Jméo Joha později ikdy euváděl a všude a jeho písemostech je je Carl Friedrich Gauss. Na Collegiu Caroliu dokočil studium atických jazyků a učil se moderí jazyky. Studoval zde 4 roky a sám itezivě studoval matematiku. Zdá se, že ejvíc studoval práce Newtoa, Eulera, Lagrage. U Newtoa oceňoval axiomatický přístup a přesost. Gaussův deík z mládí malý 9strákový sešit považovaý des za jede z ejvzácějších dokumetů historie vědy zůstal ezámý až do r. 898, kdy jej mezi rodiými papíry ašel Gaussův vuk. Obsahuje 46 krátkých zázamů o Gaussových objevech od 796 do 84. V posledím roce svého pobytu v rodém Brauschweigu 795 Gauss objevil metodu ejmeších čtverců. Daiel Huber z Basileje i Adrie-Marie Legedre tuto metodu objevili také. Legedre ji uveřejil 85 v Nouvelles méthodes pour la détermiatio des orbites, ale Gauss ji publikoval až v r. 89. Při měřeí vyvstává utost klasifikace chyb. Jako příklad si představme, že lidí si astaví idividuálě a měřidle ve tvaru vzdáleost metr a krokováím bude měřit apř. obvod fotbalového hřiště. Můžeme čekat, že takto získaé počty kroků asi ebudou stejé. Těžko však lze předem říci, kolikrát se jedotlivé počty kroků vyskytou. Všechy vytvoří ějakou možiu celých čísel, tříd, a celkový počet měřeí = se podle počtu kroků přirozeě rozpade a skupiy s pořadím,,,, m. Zvolme třeba m = a měřeí modelujme áhodým geerováím čísel X = a + a + a + a + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 + a 8 + a 9, kde a j, j =,, 9 áhodě abývají hodotu ebo. Totéž se děje při hodu micemi, začí-li x k počet těch micí, a kterých v k-tém hodu padla hlava. Po = simulacích ebo hodech vytvoří počty i stejých x k podobý graf jako a obr..

5 4 Gauss Studetská léta. Prví vědecké práce 5 Četost i Třída i Obr. Distribuce áhodě geerovaých čísel x k., k =,,. Čísla x k se vyskytují s růzými četostmi. Reprezetují diskrétí áhodou veličiu X patřící do biomického rozděleí []: pravděpodobost, že počet X pade do třídy k je m p m k ( p) k = k k =. k Měřeí se však zpravidla týká veliči, které, aspoň zdálivě, vypadají jako spojité, tedy s hodotami z oboru reálých čísel (apř. účastíků udělá měřidlem kroků a vzdáleost počátečího a kocového bodu se přesě změří pásmem). Biomické rozděleí pro, m přechází do ormálího čili Gaussova rozděleí s hustotou pravděpodobosti f(x; µ, σ) = exp [ x µ ]. π σ σ Četost X Obr. Diskrétí četosti z obr. a hustota odpovídajícího ormálího rozděleí s µ=4.4, σ =.7. Obr. ukazuje průběh fukce f pro vhodé hodoty µ, σ ve srováí s diskrétími hodotami četostí z obr.. Distribučí fukci F(x) = x π σ x µ ( ) e t σ dt se zpravidla

6 5 Gauss Studetská léta. Prví vědecké práce říká Gaussův ebo Gaussův-Laplaceův itegrál. Hodoty jeho ormovaé verze x µ Φ(u) = F( ) ebo hodoty iverzí fukce Φ ( α) pro zadaou pravděpodobost σ α se tradičě uvádějí ve statistických tabulkách jako kritické hodoty []. Parametry ormálího rozděleí se odhadují takto: + µ = m x f(x) dx k x k = x (výběrový průměr) k= m σ + = (x µ) f(x) dx k ( xk x) = s (výběrový rozptyl) k= Staoveí statistik x a s je podstatou částí zpracováí dat každého měřeí. Proto i v docela jedoduchých kalkulátorech jsou zabudováy programy pro jejich výpočet. ZÁKON CHYB. REGRESE Gaussův záko chyb říká: jedotlivá měřeí jsou ezávislá a chyba jedotlivého měřeí má ormálí rozděleí. Je to však vlastě je doporučeí a předpoklad, který emusí vždy platit. I přesto bývá obvykle užitečý a umožňuje vyslovovat moho důležitých tvrzeí. U malých souborů dat, u ichž elze distribuci příslušé áhodé veličiy ověřit, ezbývá ež předpoklad ormality použít. Nemělo by se ale zapomět, že tím uvažovaou áhodou veličiu aproximujeme jiou áhodou veličiou s ormálím rozděleím. To se týká měřeí a jejich aplikací, apř. při regulaci výroby, hodoceí kvality výrobků atd. Jsou-li soubory dat dostatečě velké (stovky a tisíce), často lze ukázat, že předpoklad ormality eplatí. To platí apř. pro tržby v obchodech ebo áklady podiku, cey prodaých jízdeek a železičích staicích, tržby a beziových pumpách, spotřebu vody ebo elektrické eergie v domácosti, pevost materiálů atd. (apř. [] (Tesile Stregth of Materials) ebo[]). Úlohu regrese spočívající v tom, jak proložit adekvátí fukci shlukem bodů získaých apř. měřeím hodot fukce, řešilo už před Gaussem více matematiků. Třeba Laplace avrhl 774 miimalizaci absolutích hodot reziduálů, r i = f(x i ) y i, i =,,, tj. rozdílů mezi hodotou zvoleé fukce f v bodě x i a změřeou hodotou y i. V jedoduchém případě přímky, f(x) = a + bx, jde v Laplaceově pojetí o úlohu S (a, b) = r i i= = i= a + bx i y i mi Tato úloha je sice matematicky korektí, ale je epříjemá. Problémy působí absolutí hodota při změě zaméka jedotlivých reziduálů r i (a, b). Numericky sado řešitelá se stala až yí, v době počítačů, metodami přímé miimalizace.

7 6 Gauss Studetská léta. Prví vědecké práce Potíže s eexistecí derivací zmizí při áhradě absolutích hodot ri čtverci r i, S(a, b) = r i i= = ( ) i= a + bx i y i mi Parametry a, b lze ajít z uté podmíky pro extrém, tj. aulováí prvích derivací S(a, b) = ( a i= i= a + b xi i= S(a, b) = (a xi +b x b To jsou tzv. ormálí rovice. i= yi i= ) =, i xi yi i= ) =. Z předpokladu ormality chyb ε y u y plye také ormalita regresích koeficietů (parametrů) a možost určit chyby jejich odhadu, tedy přesost staoveí, a základě rozptylu var ε y = σ y. Víc o lieárí i elieárí regresi, odhadech parametrů, přidružeé statistice atd. je uvedeo apř. v [, ]. DISTRIBUCE PRVOČÍSEL Jak zámo, prvočíslo je přirozeé číslo dělitelé je a samým sebou jiými slovy, prvočíslo má je triviálí dělitele. Např. v prví stovce je 5 prvočísel:,, 5, 7,,, 7, 9,, 9,, 7, 4, 4, 47, 5, 59, 6, 67, 7, 7, 79, 8, 89, 97. Gauss se zabýval výskytem prvočísel už ve škole v letech 79 ebo 79. Možia prvočísel uspořádaá podle velikosti se ejsaději získává tzv. Eratostheovým sítem. Jeho ideu předvedeme a možiě čísel M = {,, }. Číslo je dělitelé je a, proto je prvočíslo. V možiě M ho echáme, ale vyloučíme všechy jeho další ásobky, tedy sudá čísla 4, 6,, : {,, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, } {,, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, }. Dalším číslem je, které je podle defiice prvočíslem a zase vyloučíme všechy jeho zbylé liché ásobky, tj. 9, 5 {,, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, } A tím jsme už skočili, protože pro ejvětší prvočíslo p, jehož ásobky vylučujeme, musí platit p = 4.47 Obr. ukazuje počty prvočísel N() meších ebo rových zvoleému číslu. V rozsahu do 6 je N() /. Ale, jak ukazuje obr. 4, vzdáleost prvočísel se v průměru zvětšuje, takže pro velká by takový odhad byl hodě adsazeý. Mohem lepší odhad avrhl Legedre. Má tvar L() =. l

8 7 Gauss Studetská léta. Prví vědecké práce A Gauss objevil odhad, který epublikoval, ale o kterém se zmiňoval později [4], G() = Li() = kde fukce Li je itegrálí logaritmus. dt, l t 6 5 N ( ) Obr. Počty N() prvočísel, kde je přirozeé číslo < 6. p k -p (k -) N( ) Obr. 4 Tred vzrůstu rozdílu stých čleů v poslouposti prvočísel uspořádaé podle velikosti. Pro ilustraci Legedreova a Gaussova odhadu N() jsme provedli příslušé výpočty pro = m, m=,, 9 a sestrojili obr. 5. Pozámka. Podle věty o středí hodotě dt =, kde < θ <. Proto l t l( θ) lim Li() = lim l( θ) = lim l lim / + l( θ) / l = lim l. A skutečě, Jacques Hadamard a Charlesde la Vallée Poussi ezávisle dokázali r. 896 pomocí Riemaovy fukce, že platí

9 8 Gauss Studetská léta. Prví vědecké práce lim N ( ) = l. 5 Rel. chyba, % 4 (G()/N()-)% abs(l()/n()-)% 5 5 log Obr. 5 Relativí chyby počtu prvočísel N() při Gaussově, G(), a Legedreově, L(),odhadu. TROJÚHELNÍKOVÁ ČÍSLA Další Gaussův objev z teorie čísel je vyjádře v jeho deíku takto: um = + +. To začí: každé přirozeé číslo lze vyjádřit součtem ejvýš tří trojúhelíkových čísel. Trojúhelíková čísla jsou počty kroužků v trojúhelících a obr. 6. Platí = ( + (-) + + ) = (+)/ = + = ( + )!.! ( )! Obr. 6 Prví trojúhelíková čísla. Trojúhelíková čísla tvoří třetí šikmou liii shora v Pascalově trojúhelíku kombiačích čísel (obr. 6 vpravo). Pod imi, v další (čtvrté) liii, jsou součty všech trojúhelíkových čísel ad imi. Trojúhelíková čísla začí maximálí počty růzých prvků v symetrické čtvercové matici. Dají se zavést také postupým psaím přirozeých čísel do horí ebo dolí trojúhelíkové matice způsobem zřejmým z ásledujícího schématu:

10 9 Gauss Studetská léta. Prví vědecké práce = = = =4 =5 = Gaussovo tvrzeí ilustruje těchto ěkolik příkladů: 7 = +, 8 = + +, 9 = +, 9 = atd.. srpa 795 vydal brušvický vévoda ařízeí [], že z vévodské poklady se má vyplácet 58 tolarů ročě studetu Gaussovi, který odešel. říja 795 studovat do Göttige a uiversitu Georgia Augusta. Podle vlastích Gaussových slov odešel do Göttige proto, že v tamější kihově bylo velké možství matematické literatury. Gaussova podpora se v r. 8 zvýšila a 4 tolarů a 8 a 6 tolarů. Uiversitu Georgia Augusta v Göttige založil 77 král Jiří II. Aglický. Tato uiversita brzy získala pověst jedé z ejlepších ěmeckých uiversit a to patrě platí dodes. Tehdy 8letý Gauss astoupil do skvělé itelektuálí atmosféry prodchuté humaitími ideály. Mezi jeho učiteli byl apř. fyzik Georg Christoph Lichteberg, jehož humoré Večery při svíčce vyšly i u ás v době totality [6]. Mezi důvěré přátele patřil Farkas Wolfgag Bolyai, ze staré uherské šlechtické rodiy, který přišel do Göttige v září 796. Později apsal: Sezámil jsem se Gaussem, který zde v té době studoval. Dodes jsme přáteli i když se s ím emohu srovávat. Byl velmi skromý a moc se epředváděl Celé roky jste s ím mohli být a přitom epozat jeho velikost. Jaká škoda, že jsem epochopil, jak otevřít tuto tichou kihu bez ázvu a číst z í. Nevěděl jsem, kolik toho zá, a když viděl můj temperamet, vážil si mě, aiž věděl, jak jsem bezvýzamý. Zaujetí pro matematiku (eprojevovaé aveek) a aše morálí shoda ás spojovaly, takže když jsme se procházeli, byli jsme třeba hodiy zticha, každý zaměstá svými vlastími myšlekami. Gauss jedou řekl, že Bolyai byl jediý, kdo uměl proikout do jeho ázorů a základy matematiky. O svém tehdejším studiu Eulera a Lagrage později Gauss apsal: Byl jsem povzbuze jejich svěžím zápalem a sledováím jejich postupů. A utvrdil jsem se ve svém rozhodutí posuout hraice této široké oblasti vědy dál. Pak. březa 796 teto 9letý studet udělal objev, který určil jeho další kariéru. Dokázal, že lze pravítkem a kružítkem, euklidovsky, sestrojit pravidelý 7úhelík [,4].

11 Gauss Studetská léta. Prví vědecké práce KOMPLEXNÍ ČÍSLA. KONSTRUKCE MNOHOÚHELNÍKŮ Komplexí čísla se explicitě objevila v matematice r. 545 v kize Girolama Cardaa Ars maga při řešeí kubické rovice. Byla dlouho přijímáa jaksi rozpačitě, jako objekty, které ěkdy existují a jidy e (G. W. Leibiz). L. Euler zavedl symbol i = a zjistil také, že řešeí rovice z = se dá psát ve tvaru z = cos φ + i si φ [7]. Des se komplexí čísla z = x + iy probírají a středích školách a zázorňují se jako body (x, y) v kartézské soustavě souřadic: reálé složky Re z = x a horizotálí ose a imagiárí složky Im z = y a vertikálí ose (obr. 7). Roviě komplexích čísel se říká Gaussova rovia, ale v západích zemích také Argadova rovia. Jea Robert Argad totiž ideu zobrazeí komplexích čísel v roviě publikoval 86, ale ještě dříve (799) s í přišel Caspar Wessel (Nor). Termí komplexí číslo zavedl teprve Gauss 8. Obr. 7 Zobrazeí komplexího čísla z = x + iy jako bodu (x, y) v kartézské roviě. Od dob starých Řeků se předpokládalo, že euklidovsky, tj. pravítkem a kružítkem, se dají kostruovat je pravidelé mohoúhelíky s počtem stra p = s =,, a dále p =.,.5,..5, kde =,, Při kostrukci pravidelého p-úhelíka jde o rozděleí úhlu π a p stejých úhlů π/p. To lze převést a algebraickou úlohu řešeí rovice z p =. Platí z p = z p =, tedy z =. Každé komplexí číslo, jehož absolutí hodota je, lze psát ve tvaru z = cos φ + i si φ. Podle Moivreovy věty je z p = cos (pφ) + i si (pφ). Z rovice z p = = cos (pφ) + i si(pφ) plye pφ = kπ, kde k je celé číslo. Protože se zajímáme je o úhly φ < π, je k = a φ = π/p. Výpočtem bodů (cos (φ), si(φ)) se v roviě xy dostaou vrcholy pravidelého p-úhelíka. Jejich spojeím přímkami vzike pravidelý p-úhelík. To des umí každý grafický software. Při euklidovské kostrukci však je k dispozici je jeda hraa pravítka a kružítko. Tím se možosti velmi zužují. Uveďme ěkolik příkladů s algebraickou iterpretací. Rovici z p = dáme tvar = z p = (z )(z p + z p + + z + ). Triviálím kořeem je z =. Další kořey jsou kořey reciproké rovice z p + z p- + + z + =. Pro p = dostáváme rovici = z = (z ) (z + z + ), která má koře z = a další dva se ajdou řešeím kvadratické reciproké rovice z + z + =.

12 Gauss Studetská léta. Prví vědecké práce ± 4 ± i Zřejmě z, = =. Kořey jsou zakresley a obr. 8 vlevo. Pro p = 4 dostáváme rovici = z 4 = (z )(z + z + z + ) = (z )(z + )(z + ) = (z )(z i)(z + )(z + i), Zázorěí kořeů z =,, z 4 = i je a obr. 8 vpravo. p = p = 4 Obr. 8 Kořey rovice z p = jako vrcholy pravidelého p-úhelíka pro p =, 4. Případ p = 5 je trochu složitější. Zřejmě = z 5 = (z ) (z 4 + z + z + z + ). Aulováí druhého sčítace vede k reciproké rovici z 4 + z + z + z + =. Protože eí jejím kořeem, lze ji dělit z. Pak z + z + + /z + /z = (z + /z) + (z + /z) =. Substituce u = z + /z vede a kvadratickou rovici u + u = s kořey u, = ± 5. Čtyři kořey původí rovice dostaeme řešeím rovic u z + /z = u,, tedy z, ± u, 4 u, z + =. Zřejmě z,, 4, 5 =. Při geometrické kostrukci potřebujeme zát délku stray, tj. vzdáleost sousedích vrcholů. Bod z = + i. je výchozí, bod z = (u + i (u = ( 5 )/ ). Délka stray je pak 4 u )/ je sousedí d = u 4 u ) + 4 ( = ( u u ) + ( u )(+ 4 ) = u = 5 = 5 5. Kořey z 5 = a euklidovská kostrukce pravidelého pětiúhelíka je a obr. 9. Pozámka. Numerické hodoty kořeů u, u a z,, z 4 lze sado získat v EXCELu:

13 Gauss Studetská léta. Prví vědecké práce u = ( 5 )/ = u = ( 5 + )/ = z = i z 4 = i z = i z 5 = i Obr. 9 Euklidovská kostrukce pravidelého pětiúhelíka. Úsečka () má délku + 5 ( =. Oblouk se středem A a poloměrem () prote osu x v bodě B, jehož spojice s bodem z = i + (úsečka ()) má délku (( 5 ) / ) = 5 / = ( 5 5) / = d. Pravidelý šestiúhelík lze rozdělit a 6 rovostraých trojúhelíků se společým vrcholem. Dvě kolmé přímky protíající se ve středu kružice protou obvod kružice ve vrcholech čtverce a rozpůleím úhlů vzike pravidelý osmiúhelík. Gauss publikoval 8 tvrzeí: je-li p Fermatovo číslo, tedy m p = +, m =,,, dá se euklidovsky kostruovat pravidelý p-úhelík [,4,8]. Jiými slovy: reciproká m rovice stupě p = vede a postupé řešeí kvadratických rovic. To jsme viděli a m =, u pravidelého trojúhelíka a pětiúhelíka. Euklidovskou kostrukci těchto dvou mohoúhelíků se učí žáci a základí škole. Pro m = dostaeme p = 7. To byl aprosto ečekaý objev. Sám Gauss ho považoval za tak výzamý, že si přál mít pravidelý 7-úhelík vytesá a áhrobku. Kameík to ale odmítl s tím, že mohoúhelík s tolika straami se při běžém pohledu eodliší od kružice. Ale p = 7 se přece je uplatilo v podobě 7cípé hvězdy a podstavci památíku, který Gaussovi postavili v rodém Brauschweigu. Možost euklidovské kostrukce 7-úhelíka ukazuje vzorec [,] cos π = (7 7) (7 7) (7 + 7), 7 6 který Gauss uveřejil 8 v kize Disquisitioes arithmeticae. Prvočíslo p = 7 eí Fermatovo. Vrcholy 7-úhelíka dostaeme z rovice

14 Gauss Studetská léta. Prví vědecké práce = z 7 = (z )(z 6 + z 5 + z 4 + z + z + z +). Ale stupeň polyomu z 6 + z 5 + z 4 + z + z + z + eí mociou. To tedy zameá [8], že sedmiúhelík euklidovsky sestrojit elze. Kořey rovice = z 6 + z 5 + z 4 + z + z + z + = z (z + z + z z z lze samozřejmě s libovolou přesostí aproximovat umericky. O algebraické iterpretaci euklidovských kostrukcí je více uvedeo a koci kihy [8]. Euklidovská kostrukce pravidelého 7úhelíka je popsáa v [,]. Pro úplost uvádíme, že všecha zámá Fermatova prvočísla jsou m 4 m Pozámka. Uveďme ještě pár slov k Fermatovým číslům F m = +. F 5 = + = , ale toto číslo, jak dokázal už Euler 7, je dělitelé 64 [8-]. Podobě F 6 = + = 64 + = je složeé (Ladru, 88) [8]. Také pro m = 7, 8, 9,, jsou F m složeá čísla. A dosud (9) evíme, je-li Fermatových prvočísel víc ež uvedeých 5. Velká Fermatova čísla se využívají při šifrováí. m 6 + z ) ZÁKLADNÍ VĚTA ALGEBRY Gauss apsal svou doktorskou disertaci 799 pod formálím vedeím Johaa Friedricha Pfaffa z uiversity v Helmstedtu. Tématem disertace byl důkaz tzv. základí věty algebry: každý polyom kladého stupě ad tělesem komplexích čísel má aspoň jede komplexí koře. Název disertace zěl: Demostratio ova theorematis, omem fuctioem algebraicam ratioalem itegram uius variabilis i factores reales primi vel secudi gradus resolvi posse. (Nový důkaz věty, že každá celá racioálí fukce jedé proměé se dá rozložit a souči faktorů prvího a druhého stupě). Na uiversitě v Helmstedtu mu pak byl bez obvyklé ústí zkoušky 6. červa 799 uděle titul doktora filosofie (PhDr.). Kiží vydáí disertace fiacoval brušvický kíže. V důkaze ale byly logické mezery. Gauss se k základí větě algebry vracel a dokázal ji růzými způsoby ještě třikrát [5,-5]. Pozámka. Jede krátký důkaz této věty (a řádcích) je založe a Liouvilleově větě z teorie fukcí komplexí proměé []. Podobě krátkých důkazů založeých a růzých pricipech je des zámo víc. TEORIE ČÍSEL - ALGEBRA Svou prví číselě teoretickou práci z r. 798 publikoval Gauss v r. 8 v kize Disquisitioes arithmeticae. V í vytvořil moderí přesý matematický styl. Obsahuje tzv. základí větu aritmetiky: každé celé lze jedozačě rozložit a souči moci prvočísel. Dále je v í ová algebra kogruecí. Pro kogruece zavedl symbol a zápis a b (mod m) používaý od těch dob, zameá, že (a b) je dělitelé m.

15 4 Gauss Studetská léta. Prví vědecké práce Titulí straa Disquisitioes. Na kogruece arazili matematici již před Gaussem, apř. malá Fermatova věta říká: je-li p prvočíslo, je m p m (mod p). Tuto větu zobecil již L. Euler [8]. Striktí teorii kogruecí vytvořil však Gauss. Kiha Disquisitioes arithmeticae začíá věováím, z ěhož je pro přiblížeí tehdejší doby a situace uvádíme prví věty: Nejjasějšímu kížeti a páu Karlu Vilému Ferdiadovi, vévodovi Brušviku a Lüeburgu Nejjasější kíže, považuji za své ejvětší štěstí, že mohu tuto svou práci ozdobit Vaším ejctěějším jméem. Věuji Vám ji jako posvátý projev mé syovské oddaosti. Kdyby ebylo Vaší přízě, ejjasější kíže, ikdy bych se emohl sezámit s vědou Gauss řekl: Matematika je královou věd a teorie čísel je královou matematiky. Kihu Disquisitioes arithmeticae (Pojedáí o aritmetice) avrhl vydavatel apsat v latiě, aby se tak stala přístupou pro větší počet vzdělaců. Gauss ovládal latiu tak dobře, že podle Moritze Catora by ai Cicero v textu ic eupravoval (kdyby ovšem zal matematiku). Přesto právě kvůli matematickému vyjadřováí vzikly určité problémy s korekturami. Zádrhelem bylo apř. slovo algoritmus []. Lagrage, kterého Napoleo azval vysokou pyramidou matematiky, po přečteí Disquisitioes apsal mladému učeci: Vaše Disquisitioes Vás jedím rázem vyesly mezi ejpředější matematiky a posledí kapitolu (teorie děleí kružice pro kostrukci mohoúhelíků) hodotím jako ejkrásější aalytický objev po dlouhém čase. O Laplaceovi, autoru Méchaique céleste, před ímž se v úctě skláěl každý čle fracouzské akademie, se říká, že zvolal: Brušvický kíže objevil ve své zemi víc ež plaetu: adhvězdého ducha v lidském těle! To se stalo brzo potom, co Gauss zveřejil svůj prví důležitý astroomický příspěvek. Několik let později Laplace žádal Napoleoa, aby jeho vojska při tažeí ušetřila uiversití město Göttige, protože tam žije ejvýzamější matematik. Zajímavé je také Gaussovo vlastí míěí: Disqusitioes patří už historii a v ovém vydáí, proti ěmuž bych ebyl, ale do ěhož teď vůbec emám chuť, bych eměil ic s výjimkou oprav chyb. Je bych přidal osmou kapitolu, která v době vydáí byla v podstatě hotová, ale ebyla už vytištěa, aby příliš evzrostly áklady s tiskem. Práce zamýšleé 8. kapitoly vyšly v periodických časopisech uiversity.

16 5 Gauss Studetská léta. Prví vědecké práce Kompletí sezam Gaussových prací bez kižích publikací čítá 4 položek. Je zvláští, že Gauss apsal je málo prací čistě algebraického charakteru. CERES Plaetku Ceres objevil. leda 8 Giuseppe Piazzi z Palerma. Zpráva o tom se dostala do Německa až téměř po půl roce. Piazzi mohl plaetku pozorovat je do. úora, protože pak tomu bráilo Sluce. O svém objevu a dalších pozorováích Piazzi apsal krátké sděleí. V ěm uvedl výpočet kruhové dráhy a výpočty dalších astroomů, v dodatku pak opraveý sezam vlastích pozorováí. Výpočty ukázaly, že dráha Ceres eí parabolická a musí tedy být eliptická. Mezitím Gauss, který dostal v Brauschweigu časopis Moatliche Correspodez s těmito iformacemi, přerušil své matematické bádáí a začal se sám zabývat výpočtem dráhy Ceres. Podle zázamů 9 a v jeho deíku vypracoval v září a říju 8 ovou praktickou metodu výpočtu. Systematicky hledal orbitu, která ejlíp vyhovuje aměřeým hodotám. Bylo potřebé ajít řešeí co ejdřív, aby plaetka mohla být a obloze zovu alezea. Gauss využil ástrojů projektiví geometrie a metody ejmeších čtverců. Po obtížých výpočtech alezl ze tří bodů orbitálí elipsu plaetky [,8]. Vypočetl efemeridy Ceres po 6 dech, od 5.. do..8. Podle ich F. X. vo Zach (Gotha) plaetku Ceres v oci 7. prosice 8 skutečě ašel.. leda 8 ji ašel zovu a ezávisle také W. Olbers (Breme), který později objevil další plaetky. Oba o tom apsali Gaussovi a mezi Olbersem a Gaussem se potom rozviula trvalá korespodece. Výpočet dráhy plaetky Ceres a zveřejěí těchto událostí představilo Gausse jako teoretického astrooma ejvyšší třídy. Byl schope vypočíst dráhu komety za hodiu, což Eulerovi starými metodami trvalo dy. Roku 86 byl Gauss jmeová profesorem astroomie a ředitelem astroomické observatoře uiversity v Göttige. Fukci ředitele hvězdáry pak zastával až do koce života. Astroomické výpočty kromě aalytických a geometrických ástrojů vyžadují umerické metody. Gauss byl skvělý počtář a edělal chyby. Kromě toho byl esmírě vyalézavý a obohatil každou oblast, v íž musel řešit ějaký problém. Pro výpočet orbit plaet vzal apř. za jedotku délky vzdáleost Země Sluce, AU. Problémy se sažil vždy řešit úplě, takže jeho průkopické práce vytvořily základ ěkolika discipli. Pokusíme se astíit podstatu ěkterých jeho metod.

17 6 Gauss Studetská léta. Prví vědecké práce Část Německa ejvíc spojeá s Gaussovým životem.

18 Gauss Numerické metody 7 NUMERICKÉ METODY Gaussova elimiačí metoda Idea řešeí systému lieárích rovic elimiací pochází z. stol. před.l. Řešeí soustavy lieárích rovic a x + a x + + a x = b, a x + a x + + a x = b, a x + a x + + a x = b ebo maticově A x = b je des běžou záležitostí. Např. v Excelu se zadá matice A, vytvoří se iverzí matice A a tou se zleva vyásobí vektor b, x = A b. To je ovšem podmíěo regularitou matice A, tj. lieárí ezávislostí jejích řádků r,, r. Regularita A se eměí lieárími operacemi s řádky, tj. ásobeím řádků eulovými čísly a sčítáím []. Gauss formuloval algoritmus, který převede matici A rozšířeou o vektor (matici) pravých stra b a horí trojúhelíkovou matici (tj. s ulami pod diagoálou) lieárími ekvivaletími úpravami []. Řešme systém 4 lieárích rovic s rozšířeou maticí (A b) = = 4 r r r r. Prví řádek echáme beze změ, druhý řádek ásobíme, sečteme s prvím a výsledky píšeme místo druhého řádku. Symbolický zápis: r + r r. Pak od třetího řádku odečteme druhý a výsledky píšeme a třetí řádek, r r r. Na čtvrtý řádek apíšeme čtvrtý řádek plus třetí řádek, r 4 + r r. Protože a. řádku dostaeme je sudá čísla, vydělíme jej. Takže Úpravami r 7 + r r a r 4 + r r 4 a ásledým děleím dostaeme

19 8 Gauss Numerické metody Operací r 4 r r 4 a děleím ového řádku r 4 získáme horí trojúhelíkovou matici ekvivaletí původí A Dosavadí postup je tzv. přímý chod Gaussovy elimiace. Při zpětém chodu přejde trojúhelíková matice v jedotkovou a vektor (matice) pravých stra v (matici) řešeí x. Zpětý chod se při ručím počítáí obvykle už eprovádí a ezámé se vypočtou přímo. V ašem případě je a čtvrtém řádku x 4 = 4. Třetí řádek je x + x 4 = 7, tj. x = (7 x 4 )/ =. Z druhého řádku plye x = ( 4x 4 x )/7 = ( 4 4 )/7 = 4/7 =. Z prvího řádku dostaeme x = ( x 4 x + x )/ = ( 8 + )/ =. U malých soustav je přímý výpočet v Excelu samozřejmě výhodější: A = 4 / = / 6 / / 6 / 6 / / 6 / 6 / / 6 / 6 / / 6 / 6 / /, x = A b =. 4 Pozámka. Gauss zavedl pojem determiat, stěžejí pojem lieárí algebry. Např. v ašem případě je det A = 6, det A = /6 = Čtvercová matice tvořeá vektory řádků a sloupců je regulárí, právě když determiat této matice je eulový. Předvedeý postup řešeí rovice Ax = b patří mezi tzv. fiití metody. Lze ho použít k mauálímu výpočtu iverzí matice A (místo b zaujme jedotková matice). Když matice A je hodě velká, objeví se problém úspory počtu operací. Výhodější pak je iteračí řešeí, při ěmž se vyjde z ějakého odhadu řešeí x a je ásobeím a sčítáím matic se vytváří posloupost x, x,, která za určitých podmíek koverguje k řešeí x. Je to apř. tehdy, když ve všech řádcích jsou prvky a diagoále domiatí, tj. a ik < a ii pro k i, kde i, k =,,. V ašem příkladě děleím diagoálími elemety upravíme rovici Ax = b a x + Bx = c, kde B = (a ik /a ii ), c i = b i /a ii, i, k =,,, k i. Teď lze defiovat metodu prosté iterace vztahem: x r+ = c Bx r, r =,,... Tyto úpravy a další výpočty můžeme sado dělat v Excelu ásobeím matic. Tak s výše uvedeou maticí A dostaeme c =.75, B =.5.5. Zvolme x = Další iterace (získaé v Excelu prostým kopírováím) jsou x = , x =.5, x =.5,, x 6 =.9845,, x =.99976,

20 9 Gauss Numerické metody Jedou z moha dalších iteračích metod je Gaussova-Seidelova metoda. Její ideou je použít při výpočtu ité složky x r už vypočteých a tedy přesějších i složek x r. Podrobější výklad a podmíky kovergece lze ajít v literatuře o umerických metodách, apř. [], a iteretu atd. Řešeí soustavy dvou elieárích rovic Gaussův algoritmus řešeí soustavy elieárích rovic f(x, y) =, g(x, y) =, představuje dvojrozměrou podobu metody seče pro řešeí jedé rovice h(x) = []. Vychází z předpokladu, že fukce f a g jsou defiováy v dostatečě velké oblasti roviy xy, popř. v celé roviě. Rovice f(x, y) = defiuje průsečici grafu fukce f s roviou xy, tedy křivku v této roviě. Rovice g(x, y) = defiuje druhou průsečici. Předpokládáme, že obě tyto rovié křivky se protíají v ějakém bodě (x fg, y fg ), který máme ajít. V roviě xy zvolíme trojúhelík s vrcholy () = (x, y ), () = (x, y ), () = (x, y ). Jim odpovídají dvě trojice bodů (x i, y i, f(x i, y i )), (x i, y i, g(x i, y i )), i =,,. Ty defiují dvě roviy π f, π g protíající roviu xy ve dvou přímkách, o ichž samozřejmě předpokládáme, že jsou růzoběžé a mají tedy průsečík ( x, y). Pokud jsme trojúhelík ()()() volili šťastě, bude ( x, y) ležet blíže řešeí (x fg, y fg ). Přesost iterace lze testovat odchylkou δ = max { xj xk, yj yk δ = f ( x, y) + g ( x, y) (popř. veličiou : j, k =,, } apod.). Trojúhelík ()()() můžeme také volit tak, aby fukce f a g měily ve vrcholech zaméka. Odchylka má být meší ež Obr. Náčrt iterace při řešeí soustavy f(x, y) = g(x, y) = Gaussovou metodou.

21 Gauss Numerické metody předepsaá přesost ε. Neí-li tato podmíka splěa, ahradí ový bod ( x, y) te bod trojúhelíka ()()(), v ěmž je zvoleá odchylka ejvětší, a krok se zopakuje. Pro ázorost je jede krok metody uvede graficky a obr.. Podrobější výklad je v []. Gaussovu metodu ejlíp osvětlí příklad. Řešme soustavu rovic f(x, y) = cos (x + y ) =, g(x, y) = x y =. V tomto jedoduchém případě z druhé rovice plye y = x /, což po dosazeí do prví rovice dá rovici o jedé ezámé x: cos (x + x 4 /4) =, tedy x + x 4 /4 = (k+/)π, kde k je libovolé celé číslo. Omezíme se a. kvadrat roviy xy (x, y > ), tj. k =. Pak x 4 + 4x π / = a (x ), = ± 4 + π. Zajímáme se je o kladé kořey, tedy (x ) = 4 + π. Odtud (zase je kladý koře) x = (x = a dále y = Algoritmus Gaussovy metody. Zvolíme trojúhelíka, v ěmž očekáváme ulový bod obou fukcí, třeba vrcholy (x, y ) = (.5,.5), (x, y ) = (.5,.5), (x, y ) = (.5,.) a vypočteme f = f(x, y ) =.75565, g = g(x, y ) =.75, δ = ) g f + =.987, f = f(x, y ) =.687, g = g(x, y ) =.5, δ = g f + =., f = f(x, y ) = , g = g(x, y ) =.75, δ = g f + =.9, Roviy určeé body (x, y, f ), (x, y, f ), (x, y, f ) a (x, y, g ), (x, y, g ), (x, y, g ) protíají roviu xy ve dvou růzoběžkách, jejichž průsečík ( x, y) se ajde ásledově. Iteračí krok: Vypočteme d = (f g f g ), d = (f g f g ), d = (f g f g ), D = D f = D g = x = x x x y y y f f f f f f f f f g g g g g g g g g D f = , D = d d + d = , = x d x d + x d = 4.945, = y d y d + y d = , y = D g =.6458, f = f( x, y) =.896, g = g( x, y) = , δ = D g f + = Nový bod ( x, y) ahradí (x, y ) s ejvětší ormou chyby δ, f, g ahradí f, g. Iterace se opakuje, dokud orma chyb i δ eí meší ež zvoleá přesost ε.

22 Gauss Numerické metody Předvedeý výpočet byl provede v Excelu. Stačí zadat prví krok a další se s utými substitucemi je kopírují. Výsledky prvího a dalších kroků ukazuje ásledující tabulka. iterace i x i y i i f = f(x i, y i ) i g = g(x i, y i ) i δ E-.89E- 4.95E- Přesost dosažeá v 7. kroku obvykle stačí a tak výpočet ukočíme. Gaussovy iterpolačí polyomy Mějme v roviě možiu tzv. iterpolačích uzlů {(x i, y i ): i =,,, }. Při iterpolaci se sestrojí polyom P(x) stupě takový, že P(x i ) = y i pro i =,,,. To lze udělat moha způsoby. Nejpřirozeější je kostrukce Lagrageova polyomu. Volíme L(x) = p (x) y + + p (x) y. Aby mohlo platit P(x i ) = y i, musí být p i (x i ) =. Toho se dosáhe ásobeím faktorů (x x k )/(x i x k ), k i, k =,,. Tedy explicitě ( x x )( x x ) K( x x ) ( x x )( x x) K( x x ) L(x) = y + + ( x x )( x x ) K( x x ) ( x x )( x x ) K( x x Výhodou Lagrageova polyomu je obecost ve vzdáleostech uzlů, evýhodou je výpočetí pracost. Iterpolace se začě zjedoduší u ekvidistatích uzlů iterpolace, tj. když x i+ = x i + h, h >. Pak lze sestavit tabulku diferecí y i = y i+ y i, y i = y i+ y i = y i+ y i+ + y i, Po zavedeí ové proměé q = (x x )/h můžeme pracovat apř. s Newtoovým polyomem (pro iterpolaci vpřed) y N(x) = y + y q + y q(q ) + + q(q ) (q +).!! Formálí podobost s Taylorovým rozvojem může být ještě víc zřejmá, defiujeme-li k q = q(q ) (q k+), k =,, : N(x) = y + y y q + y q + + q.!! Gauss využil diferecí vpřed i vzad a sestavil dvě iterpolačí formule. Lze je ajít v obou kihách [] a dalších kihách o umerické matematice. Des výzam iterpolace mezi hodotami z tabulek ebo výsledků pracých výpočtů začě poklesla. Iterpolačí polyomy tvoří spíš základ jiých umerických metod, apř. itegrace. ) y.

23 Gauss Numerické metody Gaussova umerická itegrace (kvadratura) Omezíme se a fukce dostatečě hladké a itervalu [a, b], tj. s derivacemi dostatečě vysokého řádu. Pricipem umerické itegrace je áhrada itegrovaé fukce vhodým polyomem, popř. kombiací polyomů ízkého řádu, které se itegrují velmi sado. Bez velké teorie odvodíme -uzlovou Gaussovu kvadraturí formuli. Substitucí x(t) = a + b + b a t převedeme iterval [a, b] a [, ] a fukci f ahradíme iterpolačím polyomem P b a f(x) dx = b a f(x(t)) dt b a P(t) dt. Budeme hledat uzly t i a koeficiety A i kvadraturí formule ejvyšší přesosti P(t) dt = A P( t ) + A P( t ) + AP ( t ), tj. přesé pro polyomy co ejvyššího stupě. Protože pro lichá s, s =,, 5, t s dt = + t s =, s + můžeme pracovat je se sudými s. Budeme-li požadovat symetrii uzlů, tj. t = t, t = a koeficietů, A = A, stačí pro určeí tří ezámých A, A, t prví tři itegrály: t dt = A + A =, t dt = A t + A t = A t = /, t 4 dt = A t 4 + A t 4 = A t 4 = /5. Neliearita tohoto systému je sice komplikací, ale tu vyváží požadovaá symetrie. Děleím posledí rovice prostředí dostaeme t = /5 a t = / Z druhé rovice pak plye A = /( t ) = 5/9 a z prví A = A = 8/9. Takže b a P(t) dt = 9 [5P( (/5) ) + 8P() + 5P( (/5) )] f(x) dx = b a 8 a obecě ( b a)(.6) a + b ( b a)(.6) 5 f ( a + ) + 8 f ( ) + 5 f ( b ). Pozámka. Předvedeé odvozeí Gaussovy -uzlové itegračí formule je sice jedoduché, ale eukazuje hlaví ideu Gaussovy itegrace. Tou je využití ortogoálích polyomů P k (t), tedy takových, že P i (t) P k (t) dt = pro i k. Zřejmě P = a P = t jsou ortogoálí a [, ]. Koeficiety kvadratického polyomu P (t) = a t + a t + a ortogoálího k P a P musí splňovat rovice

24 Gauss Numerické metody P (t) P (t) dt = ( a t + a + a ) = (/) a + a = (a / + a ) =, P (t) P (t) dt = ( a t + a t + a t) = (/) a =, tedy P (t) = a t + a = a t + a = a ( t + ). Můžeme požadovat, aby P k () = pro k =,,, Pak z P () = a ( + ) = a = plye a = / a P (t) = ( t )/. Podobým způsobem ajdeme koeficiety kubického polyomu P (t) = a t + a t + a t + a ortogoálího k P, P a P : P (t) P (t) dt = ( a t + a t + a t + a ) dt = (/) a + a = (a / + a ) =, P (t) P (t) dt = P (t) P (t) dt = [ ( a t 4 + a t + a t + a t) dt = (a /5 + a /) =, ( a t 5 + a t 4 + a t + a t ) dt P (t) P (t) dt ] = (6a /5 + 6a / a / a ) = (6a /5 + 6a / a / a ) =(/5 /) a =, takže a =, a = a a = a /5. Pak P (t) = a t a t = t a (t /5). Z požadavku P () = plye a = 5/, tedy P (t) = (5/) t (t /5). Je vidět, že kořey P (t) jsou právě t, t, t už odvozeé Gaussovy -uzlové itegračí formule. Uzly dalších Gaussových formulí s jiými počty bodů jsou kořey takto defiovaých polyomů P k (t), tzv. Legedreových polyomů [,]. Pro úplost uvedeme prvích šest P k (t). P (t) = P (t) = (5/) t (t /5) P (t) = t P 4 (t) = (5t 4 t + )/8 P (t) = ( t )/ P 5 (t) = t (6t 4 7t + 5)/8 Víc o umerické itegraci je v [] ebo [] a dalších učebicích umerických metod. Při umerickém výpočtu itegrálu ejde je o to získat ějakou přibližou hodotu, ale je žádoucí zát přesost. Odhad chyby se jedoduše získá půleím itervalu. Je-li G hodota získaá podle -uzlové Gaussovy formule pro iterval [a, b] a G součet a + b výsledků této formule a itervalech [a, ] a [ a + b, b], je chyba meší ež G G. Číslo G = G + extrapolace) [, ]. Příklad. Počítejme itegrál I = G G 6 je přesější odhad itegrálu (Richardsoova xdx. Primitiví fukce k x je x /, proto I = Výpočty -uzlovou Gaussovou formulí pro iterval [, ] jsou v ásledující tabulce. t i t A i i A i t i t i / = t A i A i i t i G =.8976 G =.888

25 4 Gauss Numerické metody Richardsoovou extrapolací dostaeme G = G + (G G )/6 = Relativí chyba je G /I =.9%. Pokud bychom chtěli dosáhout přesosti třeba ε = 5 6, mohli bychom použít Gaussovu formuli v itervalech [,.5], [.5, ], [,.5], [.5, ]. Dostali bychom G [,.5] =.659, G [.5, ] =.4965, G [,.5] =.55878, G [.5, ] = Z prví trojice v posledím sloupci předchozí tabulky dostaeme G [, ] =.6698 a s polovičím krokem G [,.5] + G [.5, ] = To zameá, že a itervalu [, ] jsme přesosti ε edosáhli a výpočet musí pokračovat. Na itervalu [, ] dostaeme G [, ] =.895 a G [,.5] + G [.5, ] =.895, takže zde požadovaé přesosti dosažeo bylo. Itervaly [,.5], [.5, ] se rozpůlí, vypočtou se G [,.5] =.8647, G [.5,.5] =.569, G [.5,.75] =.97, G [.75, ] =.654. Nyí G [,.5] + G [.5,.5] =.66, což se liší od G [,.5] =.659 o víc ež ε. Proti tomu G [.5,.75] + G [.75, ] =.4964 a to se liší od G [.5, ] =.4965 o méě ež ε, takže výpočet by zřejmým způsobem pokračoval je a itervalu [,.5], pak a [,.5], [,.5], [,.65], Máme-li představu o průběhu itegrovaé fukce, je ekoomičtější volit hed erovoměré rozděleí přizpůsobeé rychlosti změ fukce a itegrovat ezávisle v jedotlivých itervalech (včetě půleí a odhadu chyby). Např. itegrálí logaritmus a str. 7 jsme počítali po itervalech [, + ], =,, (5 let)

26 5 Gauss Difereciálí geometrie DIFERENCIÁLNÍ GEOMETRIE Jako pracovího ástroje se v difereciálí geometrii používá metod matematické aalýzy. Studují se objekty růzých dimezí, které vzikou regulárími zobrazeími itervalů (souborů itervalů) euklidovských prostorů. Regulárí zobrazeí je spojitě diferecovatelé a jeho derivace splňují určité podmíky pro zajištěí vzájemé jedozačosti [,4,5]. Křivky Možiě vektorů x(t) pro t z itervalu [a, b] (zápis t [a, b]) říkáme křivka a veličia t je parametr křivky, objektům x(u, v) pro (u, v) [a u, b u ] [a v, b v ] říkáme plochy. Je-li vektor x(t) dvojrozměrý, defiuje roviou křivku, má-li vektor x tři složky, mluvíme o prostorové křivce atd. Objekt {x(u, v)} v trojrozměrém prostoru azýváme plochou a u, v jsou parametry plochy. Gauss zůstal u objektů těchto dimezí. Nic však ebráí rozšířeí uvedeých pojmů do více dimezí, i když se ztratí fyzikálí ázorost. Příklady. Rovost x(t) = x( t) = x + a cost vyjadřuje elipsu se středem (x, y ) a poloosami y( t) y + bsi t r cost a, b. Rovost x(t) = r sit = (r cos t, r si t, at) T, kde T začí traspozici, vyjadřuje šroubovici at aviutou s úhlem stoupáí α = arcta (a/r) a kruhovou válcovou plochu s osou rotace z v prostoru xyz. U křivek je často uté staovit jejich délku ad ějakým itervalem [a, b]. Délka křivky se získá prostě itegrací elemetu délky dx(t) = s [a, b] = b a dx(t) = b a x& ( t) dt přes iterval [a, b] x& ( t) dt = b a x& i ( t) dt, =,, Příklad. Obvod elipsy s poloosami a, b (a b), x = a cos u, x = b si u, je L = π i= x& ( u) du = 4 π/ x& ( u) du = 4 π / ( asi u) + ( bcosu) du / = 4a π cos u + ( b / a) cos u du = 4a π ( b / a )cos udu. Substitucí u = π/ v (du = dv, v() = π/, v(π/) = ) se posledí itegrál převede a ( b / a ) cos ( π / v) ( dv) = a v v π π ( b / ) si d, / což je úplý eliptický itegrál druhého druhu, E( b / a ). Tedy, / / L = 4a E( b / a ). V případě a = b dostaeme kružici. Její obvod L = = 4a E()= 4a v případě b = je E() = π / π / π / dv = 4a π/ = πa; ( / a ) si v dv = cos v dv = a L = 4a.

27 6 Gauss Difereciálí geometrie Obr. Roviá křivka. Křivku koečé délky si můžeme představit jako kus měděého drátu, ohebého vláka atd. Slovo oblouk se váže s ěčím okrouhlým, částí kružice, válce apod. U hladké křivky lze očekávat, že okolí ějakého bodu křivky x(t) bude lépe aproximovat oblouk kružice ež teča. Taková ejtěsěji se přimykající, oskulačí kružice má střed a ormále (obr. ) a její poloměr se ajde z rovosti elemetu oblouku křivky a elemetu oblouku kružice. Zvolíme-li t = x = x, y(x) = x (x), je takže ds(x) = + y ( x) dx = R dα(x) = R d arcta y (x) = R R(x) = ( + y ( x)) y ( x) /. y (x) dx, + y ( x) Sadější je maipulace s převráceou hodotou poloměru křivosti, jíž se říká křivost a začí se κ: Obecěji ds(t) = x & ( t) + y& ( t) dt, dα( x) y ( x) κ(x) = = = R( x) ds( x) ( + y ( x)) dα(t) = d dt arcta y& ( t) & y x& && x y& dt = dt = x& ( t) y& x& + x& a křivost && y x& && x y& κ(t) = /r(t) = dα(t)/ds(t) =. / ( x& + y& ) /. && y x& && x y& dt x& + y&

28 7 Gauss Difereciálí geometrie Pohybuje-li se bod po křivce, měí se teča, ormála, poloměr křivosti. Střed křivosti přitom opisuje křivku zvaou evoluta. Sama původí křivka se azývá evolveta. Např. evolvetou ke kružici je spirála zázorěá a obr.. Obr. Evolveta ke kružici (spirála). U prostorových křivek přibývá možostí [,4]. K tečě T(τ) ke křivce v bodě x(t), T(τ) = x(t)+ x& (t) (τ t), existuje yí ekoečě moho ormál vyplňujících ormálovou roviu. Volba délky s oblouku křivky za parametr přiáší zjedodušeí. Vektor t(s) = x (s) je jedotkový, x (s) =, a vektor t (s) = x (s) defiuje prví ebo hlaví křivost κ(s) = x (s). Protože skalárí souči t(s).t(s) =, je t (s).t(s) =. Jedotkový vektor (s) = t (s)/ t (s) kolmý a t(s) se azývá vektor hlaví ormály. Vektor b(s) kolmý a t(s) i (s), b(s) = t(s)x(s), kde x začí vektorový souči, se azývá jedotkový vektor biormály a trojice (t(s), (s), b(s)) pohyblivý hlaví ebo Freetův trojhra. Veličia κ(s) = b (s) se azývá druhá ebo torzí křivost. Víc je uvedeo v [,4]. Plochy Objektům {x(u, v): (u, v) U} v trojrozměrém prostoru říkáme plochy. Příklad. Pro a > defiují rovosti (obr. 4) x( u, v) a cosu cos v x(u, v) = = x ( u, v) x( u, v) asi u cos v asi v zobrazeí možiy [, π) [, π/) do poloprostoru x >. Zřejmě x + x + x = a, takže vzdáleost bodů x(u, v) od počátku je kostatí. Takto je defiováa horí polokoule se středem a poloměrem a. Rovost u = cost defiuje meridiá (poledík), v = cost defiuje rovoběžku.

29 8 Gauss Difereciálí geometrie Obr. 4 Parametrizace kulové plochy. Volbou hodot u, u dostáváme a ploše body x(u, u ). Pro jede parametr kostatí a druhý proměý, apř. u = c = cost, a u proměé dostaeme parametrickou čáru. Pro jede parametr měící se s pevým krokem, přičemž te druhý probíhá celý svůj obor dostaeme síť parametrických čar. Příkladem mohou být zeměpisá délka a šířka a globusu. Pro měřeí vzdáleosti dvou bodů a ploše F(u, u ) = se zavede tečá rovia v bodě určeá dvěma tečami k parametrickým čarám v tomto bodě. Pro bod (c, c ) jsou tyto tečy daé vektory e = dx(u, c ) e = dx(c, u ) u = c = ( x (u, c ), u u = = ( x (c, u ), c u x u (u, c ), x (c, u ), u x u x (u, c )) T u = c.du, (c, u )) T u c u =.du. Rovoběžík určeý trojicí {x(c, c ), e, e } defiuje délkový elemet plochy x(u, u ) v bodě x(c, c ) ds(c, c ) = dx(c, c ) = dx(u, c ) u = c + dx(c, u ) i plošý elemet (obsah ifiitesimálího rovoběžíka, obr. 5 ) u = c da(c, c ) = dx(u, c ) u = c x dx(c, u ) u = c = e e, = e +e Čtverec délky elemetu křivky, tj. vzdáleosti bodů (c, c ) a (c, c ) + e + e, je ds = (e du + e du ). (e du + e du ) = e. e du + e. e du du + e. e du = g du + g du du + g du.

30 9 Gauss Difereciálí geometrie Obr. 5 Elemet plochy x(u, u ) v bodě x(c, c ). g g Matice G = (g ij ) = reprezetuje metrický tezor plochy (symetrický tezor g g. řádu). Kvadratická forma ds = du T G du je tzv. prví fudametálí forma plochy. Plošý elemet (obr. 5) je da = e e du du = e e si α du du = g g ( cos ) du du α = g gg ( ) du du = gg g gg du du a celá plocha přiřazeá možiě U v parametrickém prostoru je A = gg g du du = g g ( cos α) du du. U U Příklad. Plocha polokoule o poloměru a (obr. 4). Podle předchozího příkladu x asiu cosv e = dx(u, v) = u du = M x acosu cosv du, u x a cosu si v e = dx(u, v) = v dv = M asi u si v du. x a cosv v Dále g = e.e = ( a si u cos v) + (a cos u cos v) + = a cos v, g = e.e = ( a si u cos v)( a cos u si v) + (a cos u cos v)( a si u si v) + =, g = e.e = ( a cos u si v) + ( a si u si v) + (a cos v) = a, takže π π/ π π/ π A = gg g du du = a cos v. a du dv = a ( cos v dv) du= a U. du = πa. Úhel dvou křivek a ploše, které se protíají v bodě plochy x(u, u ), je rove úhlu sevřeému jejich tečými vektory v tomto bodě (obr. 5). Např. úhel parametrických čar zavedeých a kulové ploše (rovoběžek a poledíků a obr. 4) je α = arccos g g g = arccos = Čáry procházející daým bodem plochy umožňují defiovat lokálí křivost, ormálu k ploše atd. Podobě jako křivost rovié křivky je rova křivosti oskulačí kružice, π.

31 Gauss Difereciálí geometrie dá se křivost plochy v jejím bodě chápat jako křivost příslušé oskulačí kvadriky (elipsoidu, hyperboloidu atd.). Gauss defioval křivost plochy pomocí sférického obrazu okolí, kdy směr vektoru vější ormály v bodě plochy určuje bod a jedotkové kulové ploše. Příslušý aparát je však složitější, proto je odkazujeme a literaturu. Gaussova křivost plochy je souči jejích hlavích křivostí (maximálí a miimálí v bodě) a je určea je metrickým tezorem plochy a. a. derivacemi jeho složek. To je slavá Gaussova theorema egregium [5]. Jedu plochu lze zobrazit bez zkresleí délek a jiou plochu právě tehdy, mají-li obě plochy v odpovídajících si bodech stejou Gaussovu křivost. Do roviy lze tedy rozviout je plochy s ulovou Gaussovou křivostí (válec, kužel a ěkteré přímkové plochy), ikoli elipsoidy. S tím souvisí uté zkresleí geografických map. Rozšířeí difereciálí geometrie do -rozměrého prostoru azačil ve své iauguračí předášce (854) Gaussův žák B. Riema (86-866). Práce ve více rozměrech však vyžaduje složitý aparát tezorový počet [5]. S difereciálí geometrií se deší studeti setkávají spíš ve fyzice ež při studiu matematiky (pokud se ovšem especializují a geometrii). Obecá teorie relativity ukázala souvislost geometrie s fyzikou. Přechod do více dimezí umožil sjedoceí růzorodých fyzikálích polí. Tímto směrem se des ubírá také hledáí jedoté teorie reality s produkty jako teorie stru, m-teorie apod. Ty přecházejí z ázorých rozměrů do rozměrého prostoru, jehož geometrie je velmi, velmi složitá [6-9]. Difereciálí geometrie utě vybočuje z mezí daých axiomy a postuláty euklidovské geometrie. Např. a globusu může každý hed vidět, že kocové body oblouku rovíku odpovídajícího 9 zeměpisé délky a severí pól vytvářejí sférický trojúhelík se součtem vitřích úhlů 9 = 7, ikoli 8. Nazveme-li hlaví kružice a kulové ploše přímkami (jejich rovia prochází středem kulové plochy), pak bodem mimo daou hlaví kružici elze vést žádou rovoběžku. Apriorí důvod, proč by fyzikálí svět měl vyhovovat právě axiomům euklidovské geometrie, eexistuje. Gauss byl z obvykle uváděé trojice objevitelů eeuklidovské geometrie Bolyai, Gauss, Lobačevskij prvím (kolem r. 8), kdo si toto všecho dobře uvědomoval. Sám ale ezveřejil ic, co by přímo odporovalo Euklidovi, Katovi a běžému empirickému chápáí fyzikálího světa. Někdy se říká, že Gauss se speciálě zajímal o součet úhlů v tzv. velkém trojúhelíku ze svých geodetických měřeí. Šlo o trojúhelík se straami: Hoher Hage u Göttige Brocke (Harz) (vzdáleost 68km), Brocke Großer Iselsberg (Thüriger Wald) (vzdáleost 6km), Großer Iselsberg Hoher Hage (vzdáleost 84km). Pokud se světlo šíří přímočaře, jde o roviý trojúhelík. V rámci přesosti měřeí statisticky výzamá odchylka součtu úhlů od 8 zjištěa ebyla.