Úlohy domácího kola kategorie A

Transkript

1 5. ročík Mtemtické olympiády Úlohy domácího kol ktegorie. Je-li S obsh trojúhelíku o strách, b, c T obsh trojúhelíku o strách +b, b + c, c +, pk pltí T 4S. Dokžte zjistěte, kdy ste rovost. Řešeí. Vyjádřeí obshu S obecého trojúhelíku z délek jeho str, b, c je dáo Heroovým vzorcem S = s(s )(s b)(s c), kde s = + b + c. ez ozčeí s pro polovičí obvod je zápis Heroov vzorce poěkud delší: S = 4 ( + b + c)(b + c )( + c b)( + b c). () Udělejme mlou odbočku všiměme si, jk Heroův vzorec epřímo testuje zámé erovosti, které zručují eisteci trojúhelíku: Čísl, b, c jsou délkmi str ěkterého trojúhelíku, právě když všichi čiitelé pod odmociou ve vzorci () jsou kldí. Podle vzorce () je obsh T trojúhelíku o strách + b, b + c, c + rove T = 4 ( +b +c)(c)()(c) = bc( + b + c). Dokzovou erovost T 4S tudíž rozepíšeme jko bc( + b + c) ( + b + c)(b + c )( + c b)( + b c); v ekvivletí erovosti mezi odmocňovými výrzy zkrátíme čiitel ( + b + c) dosteme tk erovost bc (b + c )( + c b)( + b c), () kterou yí (pro stry, b, c obecého trojúhelíku) ěkolik způsoby dokážeme. Při prvím z ich využijeme zřejmých erovostí (b c) =( b + c)( + b c), b b (c ) =(b c + )(b + c ), c c ( b) =(c + b)(c + b). (3) Protože jde o tři erovosti mezi kldými výrzy, souči jejich levých str eí meší ež souči jejich prvých str: b c (b + c ) ( + c b) ( + b c),

2 odkud po odmocěí dosteme erovost (). Tím je erovost T 4S dokázá. Z šeho postupu rověž plye, že rovost T = 4S ste, právě když budou splěy součsě tři rovosti = (b c),b = b (c ), c = c ( b), tj. právě když bude pltit = b = c (přípd rovostrého trojúhelíku). Pozmeejme, že důkzu () jsme dosáhli vyásobeím tří logických erovostí (3). Prví z ich po odmocěí obou str získá tvr erovosti mezi ritmetickým geometrickým průměrem (kldých) čísel u = + b c v = b + c: ( + b c)+( b + c) = ( + b c)( b + c), Využít tkovou G-erovost vás možá pde, když dokzovou erovost () přepíšete z původích proměých, b, c do ových proměých u = + b c>0, v= b + c>0, w= + b + c>0. Protože = (u + v), b = (u + w) z = (v + w), přejde erovost () v erovost (u + v)(u + w)(v + w) 8uvw ( ) souvislost s G-erovostmi u + v uv, u + w uw, v + w vw je sdě. Dokázt trsformovou erovost ( ) můžeme ovšem i užitím jedié G-erovosti: po rozásobeí levé stry ( ) zřejmé úprvě dosteme u v + u w + v u + v w + w u + w v 6 což je G-erovost pro skupiu šesti čleů u v, u w, v u, v w, w u, w v, uvw, eboť jejich geometrický průměr je rove 6 u v u w v u v w w u w v = uvw. N závěr uveďme ještě jede lgebrický důkz erovosti (). S ohledem symetrii předpokládejme, že mi{b, c}, položme = b 0, y = c 0přepišme erovost () jko erovost pro mohočle proměé s koeficiety závislými y: bc (b + c )( + c b)( + b c) = = ( + )( + y) ( + + y)( + y )( + y) = = [ + ( + y)+y] [ +( + y)][ ( y) ]= =[ 3 + ( + y)+y] [ 3 + ( + y) ( y) ( + y)( y) ]= = [y +( y) ]+( + y)( y). Posledí výrz je (vzhledem k tomu, že >0, 0, y 0) zřejmě ezáporý, přičemž ule se rová, právě když pltí y =0 y =0, eboli = y =0.

3 . V oboru celých čísel, y řešte rovici ( 5 ) +(y 4 ) 5 =y +5, () kde 5 zčí ásobek pěti ejbližší k číslu, příkld ( 9) 5 = 0. Řešeí. Podáme ejprve úplé řešeí úlohy, všk bez metodického kometáře, který uvedeme ž v ásledé pozámce. Nechť dvojice celých čísel, y vyhovuje rovici (). Protože součet ( 5 ) +(y 4 ) 5 je dělitelý pěti, dává číslo y při děleí pěti zbytek 4, tj. 5 (y 4). Číslo y proto eí dělitelé pěti, tkže pltí buď y =5k ±, ebo y =5k ±, kde 5k = y 5.Obě možosti teď posoudíme odděleě. Přípd y =5k±. Protože y =5k ±0k+, pltí 5 (y ), proto z podmíky 5 (y 4) plye 5 ( 4) =( ), tedy =5 +,kde5 = 5.Zpodmíky 5 (y ) plye rověž 5 (y 4 ), eboli (y 4 ) 5 = y 4, tudíž rovice () získává tvr Postupými úprvmi dosteme (5) +(y 4 ) = (5 +) y +5. (y 4 0y +5 ) 4y =5, (y 5) 4y =5, (y 5 y)(y 5 +y) =5. () N levé strě posledí rovice je souči dvou celých čísel lišících se o 4y,tedyoásobek čtyř; protože 5 = 3, stojí levé strě () souči čísel 6, ebo souči čísel 6. Tk či ok pltí 4y =6 =4, odkud y = ±6, tkže meší zobou čiitelů v () je rove 6 5 =4 5. Ztímco rovice 4 5 = žádé celočíselé řešeí emá, rovice 4 5 = 6 má řešeí =0, kterému odpovídá =5 0 + =5. Podmíku y =5k ± tedy splňují právě dvě řešeí rovice (): (, y) =(5, 6) (, y) =(5, 6). Přípd y =5k±. Protože y =5k ±0k+4, pltí 5 (y +), proto z podmíky 5 (y 4) plye 5 ( 4) = ( +), tedy =5, kde 5 = 5.Zpodmíky 5 (y +) plye rověž 5 (y 4 ), eboli (y 4 ) 5 = y 4, tudíž rovice () získává tvr Postupými úprvmi dosteme (5) +(y 4 ) = (5 ) y +5. (y 4 0y +5 )+4y =5, (y 5) +4y =5. (3) Ob sčítci v levé strě posledí rovice jsou ezáporí, tkže epřevyšují číslo 5 z prvé stry. Z erovosti 4y 5 plye y 3, což s ohledem podmíku y =5k ± zmeá, že buď y = ±, ebo y = ±3. Je-li y = ±, je rovice (3) splě, 3

4 právě když (4 5) =36, což ste pro jedié celé číslo =, kterému odpovídá =5 =8.Je-liy = ±3, přejde (3) v rovici (9 5) =6 s jediým celočíselým kořeem =, kterému odpovídá =5 =3.Podmíkuy =5k ± tedysplňují právě čtyři řešeí (, y) rovice (): dvojice (8, ), (8, ), (3, 3) (3, 3). Odpověď. Rovice () má v oboru celých čísel celkem šest řešeí (, y): dvojice (5, 6), (5, 6), (8, ), (8, ), (3, 3) (3, 3). Pozámk. Řešitelé by si měli předě uvědomit, že pro kždé celé z je číslo z 5 rovo jedomu z čísel z, z, z, z+ ebo z+ (tomu z ich, které je ásobkem pěti). Dou úlohu by bylo možé proto řešit tk, že bychom rovici () posoudili v jedotlivých přípdech =5 + r y =5k + q, kdečíslr q probíhjí (vzájem ezávisle) možiu {,, 0,, }. Tková diskuse by ovšem byl zdlouhvá, výše podé řešeí je jejím promyšleým zkráceím. Uvědomte si, že při šem postupu jsme ejdříve vyloučili přípd q =0 poté jsme již rozlišili pouze přípdy q = ± q = ±. ylo to umožěo tím, že číslo y má při děleí pěti zbytek ezávislý zméku čísl q že podle tohoto zbytku lze z rovice () jedozčě určit obdobý zbytek čísl, tedy hodotu r. Posledí trik, který jsme při řešeí upltili, spočívl v tom, že jsme do rovice () edoszovli vyjádřeí y =5k ± resp.y =5k ±, čímž se ám poěkud zjedodušil zápis příslušých rovic () (3). Dodejme ještě, že lgebrické úprvy rovice () vedoucí k rovicím () (3) ptří při řešeí rovic v oboru celých čísel k těm ejobvyklejším postupům. Řešitelům úlohy pomůžeme, když jim postupě předložíme tyto dílčí úkoly: ) Dokžte, že číslo y z libovolého řešeí (, y) rovice () eí dělitelé pěti. b) Zjistěte zbytky při děleí pěti čísel y y 4 v závislosti zbytku čísl y. c) Určete zbytek při děleí pěti čísl z libovolého řešeí (, y) rovice (), záte-li (eulový) zbytek čísl y. 3. V dém trojúhelíku protíá os úhlu stru v bodě K kružici opsou v bodě L (L ). Ozčme V střed kružice vepsétrojúhelíku, S střed kružice opsétrojúhelíku KV Z průsečík přímek SL. Dokžte, že přímk SK je tečou kružice opsétrojúhelíku KLZ. Řešeí. Skutečost, že ěkterá přímk je tečou ěkteré kružice, ověřujeme čsto pomocí důležité plimetrické poučky o tzv. úsekovém úhlu, t všk eptří k běžému gymziálímu učivu. Proto se o í zmííme před vlstím řešeím úlohy. Obrázek ilustruje zámý školský poztek o obvodových středových úhlech: Velikost ω středového úhlu S kružice k je rov dvojásobku velikosti ϕ příslušého obvodového úhlu K. N obrázku b je kromě kružice k ostředus její tětivy kresle ještě úsečk L,která svírá s tětivou úhel velikosti τ. Z rovormeého trojúhelíku S se zákldou plye, že úhel S má velikost (80 ω) =90 ω, proto úhel SL má velikost (90 ω)+τ. Přímk L je tečou kružice k, pokud je úhel SL prvý, tedy pokud pltí (90 ) ω + τ =90, eboli ω =τ. Doporučujeme provést zkoušku, i když eí utou součástí tkto podého řešeí. 4

5 L ω S ϕ K Obr. k τ ω S Obr. b k Stejá podmík ω =τ se podobě odvodí i v přípdě z obr. c, kdy středový úhel ω je větší ež 80. V obou situcích se úhel L mezi úsekem L tečy tětivou zývá úsekový úhel. Jk jsme právě dokázli, velikost ω středového úhlu S je rov dvojásobku velikosti τ úsekového úhlu L. V důsledku uvedeých vět pltí tvrzeí o shodosti obvodových úsekových úhlů, pokud tyto dv úhly vybíráme v opčých poloroviách vyťtých přímkou, které leží dotyčá tětiv kružice (obr. d). Protože velikost úsekového úhlu polohu příslušé tečy jedozčě určuje, využijeme při řešeí dé úlohy shodost obvodového úsekového úhlu ve formě této implikce: Jsou-li dáy tři růzébody,, K téže kružice k vitří bod L poloroviy opčék poloroviě K jsou-li úhly K L shodé, pk přímk L je tečou kružice k. L K τ S ω ϕ ϕ ϕ L k L ϕ ΞObr. d K k ΛObr. c Situce z ší úlohy je zázorě obr.. Kružice opsé trojúhelíkům, KV KLZ jsou ozčey po řdě k, k k. Nší úlohou je dokázt, že přímk SK je tečou kružice k ; k tomu podle předchozího odstvce stčí vysvětlit, proč jsou shodé úhly SKZ KLZ, vyzčeé obr. obloučky. Kromě toho ovšem musíme zdůvodit, proč body L S vždy leží v opčých poloroviách s hričí přímkou (jk je tomu v přípdě šeho obrázku). Střed V kružice vepsé je vždy vitřím bodem trojúhelíku, eboť je průsečíkem os jeho vitřích úhlů. Proto je bod V vitřím bodem úsečky K, z- 5

6 k V k K Z S k ΠObr. L tímco bod L leží jejím prodloužeí z bod K. odyv L proto leží v opčých poloroviách s hričí přímkou. Ozčíme-li jko obvykle α, β, γ velikosti vitřích úhlů trojúhelíku, má trojúhelík V uvrcholů vitří úhly velikostí β γ, tkže pro jeho vější úhel při vrcholu V pltí <) V K = β + γ < 90. Úhel V K je tudíž ostrý, proto střed S kružice k leží ve stejé poloroviě s hričí přímkou K jko bod V, což spolu s předchozím tvrzeím o poloze bodů V L zmeá, že body L S skutečě leží v opčých poloroviách s hričí přímkou, jkjsme potřebovli ověřit. Podle věty o obvodových středových úhlech v kružici k pltí <) SK = <) V K = β + γ, z rovormeého trojúhelíku KS tudíž plye <) SKZ = <) SK = (80 <) SK ) = (80 β γ) = α. Zbývá ám proto dokázt, že tké úhel KLZ má velikost α. Provedeme to dvěm ezávislými postupy. Při prvím z ich ejprve určíme velikost úhlu LV.Protože <) L = <) L = = γ (obvodové úhly v kružici k) <) V = β, vzhledem k vzájemé poloze úseček LV můžeme psát <) LV = <) L + <) V = (β + γ). Již dříve jsme zjistili, že tkovou velikost má i úhel V K (eboli úhel V L), tk je trojúhelík V L rovormeý: L = VL. Zároveň ovšem pltí S = VS, tkže 6

7 ob body L S leží ose úsečky V (čtyřúhelík LV S je tedy deltoid, přípdě kosočtverec ebo čtverec). Odtud plye, že úsečky V SL jsou vzájem kolmé, úhel KLZ je proto doplňkový k úhlu V K: <) KLZ =90 <) V K =90 (β + γ) = α. Tím je tvrzeí úlohy dokázáo. Při druhém způsobu určeí velikosti úhlu KLZ si ejdříve všimeme, že pltí <) LK = <) L = <) = α (obvodové úhly v kružici k), což spolu s dříve odvozeou rovostí <) SK = β + γ zmeá, že ve čtyřúhelíku LKS je součet vitřích úhlů u protějších vrcholů L S rove 80, jedá se proto o čtyřúhelík, kterému lze opst kružici. V í jsou KS KLS shodé obvodové úhly d tětivou KS,protopltí <) KLZ = <) KLS = <) KS = α (připomíáme, že KS je rovormeý trojúhelík s úhly α při zákldě K). 4. Nechť je dépřirozeéčíslo. Pro kteréhodoty reálého prmetru p má soustv rovic 4 + = p, 4 + = p 3,..., 4 + = p, 4 + = p lespoň dvě řešeí v oboru reálých čísel? Řešeí. Protože dá soustv () je velmi složitá ptrě eeistuje postup, jk v koečém lgebrickém tvru vyjádřit všech její řešeí, budeme jedk přemýšlet o podmíkách řešitelosti této soustvy, jedk hledt ěkterá její speciálí řešeí. Všiměme si ejdříve, že soustv () emá žádé řešeí pro hodotu p =0, protože hodoty levých str rovic jsou kldá čísl. Tké druhé zjištěí, které yí uvedeme, je zřejmé: -tice čísel (,,..., ) je řešeím soustvy () s hodotou prmetru p, právě když -tice opčých čísel (,,..., ) je řešeím soustvy () s opčou hodotou prmetru p. Hodoty levých i prvých str všech rovic soustvy se totiž při změě všech hodot i i p p ezměí, protože pro libovolá 0p pltí ( ) 4 + ( ) = 4 + ( p)( ) =p. Soustv () s hodotou prmetru p má tedy právě tolik řešeí, kolik jich má soustv () s hodotou prmetru p. udeme proto hledt pouze všech kldá čísl p, pro 7 ()

8 která má soustv () spoň dvě řešeí ( v odpovědi k im připojíme všech opčá čísl p.) ž do závěru řešeí budeme tedy uvžovt je kldé hodoty prmetru p soustvy (). Z kldosti jejích levých str plye, že tké všechy prvé stry p i musí být kldé, proto (s ohledem předpokld p>0) musí pltit i > 0prokždéi. Libovolé řešeí (,,..., ) soustvy () je tedy sestveo z kldých čísel. Předpokládejme yí, že pro dé p>0 ějké řešeí (,,..., ) soustvy () eistuje, všech rovic mezi sebou vyásobme. Pro kldá čísl,,..., tk dosteme rovost ( 4 + )( 4 + ) ( ) = p.... () Kždý čiitel levé strě odhdeme zdol podle zámé erovosti u + v uv, která pltí pro libovolá kldá čísl u v, přičemž rovost ste, právě když u = v (je to v podsttě erovost mezi ritmetickým geometrickým průměrem čísel u v, plyoucí sdo ze zřejmé erovosti ( u v) 0). Proto pro kždý ide i pltí 4 i + i 4 i i = i = i. (3) Důsledkem rovosti () je tudíž erovost ( )( )... ( ) p..., (4) ze které po kráceí (kldým) součiem... dosteme podmíku číslo p ve tvru p ( ), eboli p. Zformulujme, co jsme právě zjistili: má-li soustv () pro pevé p>0 lespoň jedo řešeí, pk pro toto číslo p pltí odhd p. Pro krjí hodotu p = yí soustvu () úplě vyřešíme, tj. jdeme všech její řešeí. Je-li (,,..., ) libovolé řešeí soustvy () s hodotou p = =, pk podle úvh z předchozího odstvce ste v erovosti (4) rovost, což je možé jediě tk, že rovosti stou ve všech ásobeých erovostech (3). Proto tehdy pro kždý ide i pltí 4 i =, eboli 6 i =, tj. i = 6. i Pro hodotu p = mátedysoustv()jedié(!)řešeí (,,..., )= ( 6, 6,..., 6 ). 8

9 Z výsledků předchozích dvou odstvců plye: má-li soustv () pro pevé p>0 lespoň dvě řešeí, pk pro toto číslo p pltí ostrá erovost p >. Njdeme-li proto dvě řešeí soustvy () s libovolou hodotou prmetru p>, budeme zát odpověď otázku ze zdáí úlohy. Zmíěá dvě řešeí budeme hledt mezi -ticemi (,,..., ) složeými z stejých čísel; tková -tice (,,...,) je zřejmě řešeím soustvy (), právě když je číslo řešeím (jedié) rovice 4 + = p, eboli 6 p 3 +=0. Posledí rovice je kvdrtická vzhledem k ezámé y = 3 mávoborureálýchčísel y dvě růzá řešeí y, = p ± p 8 pro kždou z ámi uvžových hodot p>, eboť pro ě pltí p 8 > 0. Pro kždé tkové p má tedy původí soustv () dvě řešeí (,..., )=( 3 y,..., 3 y ) (,..., )=( 3 y,..., 3 y ). (Nevylučujeme, že kromě těchto řešeí tehdy eistují i řešeí jiá, totiž tková, že i j pro ěkterá i j.) Odpověď. Všechy hledé hodoty p tvoří možiu ( ; ) ( ; ). 5. Njděte všechy mohočley P () s reálými koeficiety, kterépro kždéreálé číslo splňují rovost ( +)P ( ) + ( ) P ( +)=P(). () Řešeí. Dvěm odlišými postupy ukážeme, že vyhovující mohočley jsou právě mohočley tvru P () = 3 + d, kde d jsou libovolá reálá čísl. Při prvím postupu upltíme metodu, která je užitečá i při řešeí moh jiých úloh o mohočleech; říká se jí metod eurčitých koeficietů. Jko obvykle budeme čley mohočleů zpisovt v sestupém pořdí podle moci proměé ; pomocí prvích koeficietů hledého mohočleu P () = + b + c + d () vyjádříme prví koeficiety obou str rovice () pk je porováme. Zápisem () jsme zčili, že budeme skutečě počítt s prvími čtyřmi koeficiety mohočleu P (). Ukáže se totiž, že výpočty s meším počtem koeficietů k vyřešeí úlohy estčí. bychom pro mohočley stupě ejvýše 3 emuseli provádět dlší smostté výpočty, ebudeme proztím předpokládt, že koeficiet umociy v zápisu () je růzý od uly. 9

10 Njdeme ejdříve prví čley mohočleu P ( ): P ( ) = ( ) + b( ) + c( ) + d( ) = = ( ( ) + ( ) ( 3) ) + + b ( ( ) + ( ) 3... ) + + c ( ( ) ) + d ( 3... ) +...= = + [ ( + b + [( ) ( b + c + + [ ( ) ( 3 + ) ( b c + d Obdobým výpočtem zjistíme, že + b + [( ) ( + P ( +)= + [( + [( ) ( 3 + ) b + ( ) c + d ] ) b + c ] + Nyí můžeme určit prví čley mohočleu (+)P ( )+( )P (+), totiž čley s mocimi +,, (vypsli jsme je předem, bychom při ásledujícím výpočtu zbytečě evypisovli čley s ižšími mocimi ): ( +)P ( ) + ( )P ( +)= = P ( ) + P ( ) + P ( +) P ( +)= = + + [ ( + b + [( ) ( b + c + + [ ( ) ( 3 + ) ( b c + d [ ( + b + [( ) ( b + c [( + b + [( ) ( + b + c + + [( ) ( 3 + ) ( b + c + d +... [( + b [( ) ( + b + c...= = + +b + [ ( ( ) ] ) +c + + [ ( ) ( b b +d +... Nšli jsme prví čley levé stry rovice (). Vypst prví čley její prvé stry je sdé: P () = + +b +c +d +... Vidíme, že prví dv čleové levé stry se shodují s prvími dvěm čley prvé stry, ť je mohočle P () vybrá jkkoliv. Třetí čtvrté čley se již obecě eshodují jejich rovosti jsou vyjádřey podmíkmi ( ( ) ) ( +c =c ) b ( ) b +d =d, ze kterých po rozepsáí kombičích čísel dosteme rovice tvru ( 3) = 0 ( )( 4)b =0. V přípdě >3tedymusípltit =0, což zmeá, že se Všiměte si, že rovice pro koeficiet b se liší od rovice pro koeficiet pouze tím, že je v í číslo změěo číslem. Koeficiet b totiž převezme roli vedoucího koeficietu, když v zápise () vyecháme prví čle součtu (čímž sížíme stupeň o jedičku). 0

11 můžeme omezit pouze přípd =3. Tehdy je prví rovice splě pro kždé R, ztímco z druhé rovice pk plye b =0. Hledý mohočle P () je proto utě tvru P () = 3 + c + d (3) po doszeí libovolého tkového mohočleu do obou str rovice () dosteme dv mohočley, které se shodují v prvích čleech s mocimi 4, 3,.Zbývá tedy porovt posledí (bsolutí) čley obou mohočleů ( +)P ( ) + ( )P ( +) P (). Místo lgebrického výpočtu 3 využijeme obvyklý obrt, který je zlože tomto zřejmém tvrzeí: bsolutí čle mohočleu p je jeho hodot p(0) v bodě 0. Všem přípdě proto zjistíme, kdy pltí rovost P ( ) P () =0 P (0), tedy podle (3) ( c + d) ( + c + d) =0. Je to zřejmě právě tehdy, když c =. Proto jsou řešeími úlohy právě mohočley tvru P () = 3 + d, kde, d jsou libovolá reálá čísl. Nyí podáme druhé řešeí úlohy postupem, který využíváme při řešeí fukcioálích rovic. Získáváme při ěm výzmé iformce o ezámých fukcích tk, že do rovic, které hledé fukce splňují, opkově doszujeme vhodě vybréhodoty proměých. 4 Nechť je tedy P () libovolý mohočle splňující v proměé R rovici (). Dosdíme-li do í ejprve hodotu = pk hodotu =, dosteme rovosti P (0) + 0 P () = P () 0 P ( ) P (0) = P ( ), ze kterých plye, že P () = P (0) = P ( ). Ozčíme-li proto P (0) = d, márovice P () =d kořey =0, = =. Eistuje tudíž mohočle Q() tkový,že P () =( )( +)Q() +d. Toto vyjádřeí dosdíme do rovice (), bychom zjistili, jké podmíky musí splňovt mohočle Q() koeficiet d: ( +)( )( )Q( ) + d( +)+ +( )( +)( +)Q( +)+d( ) = = ( )( +)Q()+d. Čley s koeficietem d se v posledí rovici vzájem zruší zbylé čley je možé zkrátit společým čiitelem ( )( + ). Získáme tk rovici ( )Q( ) + ( +)Q( +)=Q() (4) 3 Doporučujeme provést tkový výpočet závěr řešeí jko přímou zkoušku. 4 To jsme osttě učiili již v závěru lgebrického řešeí, kdy k určeí bsolutího čleu jsme do mohočleu dosdili hodotu = 0.

12 pro ezámý mohočle Q(). Ze způsobu odvozeí plye, že rovice (4) pltí pro kždé R, které je růzé od 0, ; protože všk obě stry (4) jsou mohočley proměé, které mjí stejou hodotu pro ekoečě moho čísel, musí jít o mohočley totožé, proto rovost (4) pltí i pro {0,, }. Protože ( ) + ( + ) =, rovici (4) splňuje kždý kosttí mohočle Q() =. Původí rovici () proto vyhovuje kždý mohočle P () =( )( +) + d = 3 + d (, d R). Jié vyhovující mohočley P () eeistují, pokud ukážeme, že kždý mohočle Q() splňující rovici (4) je kosttí. NechťjetedyQ() libovolý tkový mohočle; ozčme Q() = dosďme do rovice (4) hodotu =. Dosteme 0 Q() + 4Q(3) =4Q(), odkud Q(3) = Q() =. Nyí volbou =3 v rovici (4) získáme rovost Q() + 5Q(4) =6Q(3), odkud Q(4) = 6Q(3) Q() 5 = 6 5 =. Dále volbou =4 zjistíme, že Q(5) =, td. Dokžme proto idukcí, že Q() = pro kždé celé. Pltí-li pro ějké rovosti Q() =Q( +)= (jk je tomu pro =), pk volbou = + v rovici (4) dosteme Q( +)= ( +)Q( +) ( )Q() +3 = ( +) ( ) +3 =. Důkz idukcí je hotov. Zjistili jsme, že rovost Q() = pltí pro ekoečě moho čísel, což je možé, jediě když Q() = pro kždé (kdyby byl Q() mohočle ěkterého stupě N > 0, měl by rovice Q() = ejvýše N kořeů). elé řešeí je tím ukočeo. 6. Njděte všechy čtyřstěy, kterémjí síť tvru deltoidu právě čtyři hry dé délky. (Deltoidem rozumíme koveí čtyřúhelík souměrý podle jediéze svých úhlopříček; eptří k im tedy i čtverec, i kosočtverec.) Řešeí. V prví (podsttější) části řešeí jdeme všechy čtyřstěy, které mjí síť tvru deltoidu; poté již poměrě sdo zjistíme, které z lezeých čtyřstěů mjí právě čtyři shodé hry. Uvžujme proto libovolý čtyřstě D popišme délky jeho hr písmey, y, z, u, v, w podle obr. 3. Všechy sítě čtyřstěu D rozdělíme do dvou skupi. Do prví z ich zřdíme ty sítě, v ichž ěkterá stě čtyřstěu sousedí s třemi osttími stěmi;

13 do druhé skupiy budou ptřit osttí sítě, v ichž kždá stě sousedí s ejvýše dvěm stěmi. Protože jsme ozčeí vrcholů čtyřstěu předem ijk eupřesili, budeme dále uvžovt je po jedé síti z kždé z obou skupi, totiž sítě zázorěé obr Zbývejme se kždou z ich smosttě. Síť obr. 4 je (obecě vzto) šestiúhelíkem D 3 D D, o čtyřúhelík půjde jediě tehdy, když dv z jeho úhlů u vrcholů,, budou přímé (tj. budou mít velikost 80 ). Je totiž jsé, že přímý D úhel emůže být u žádého z vrcholů D, D, D 3.Sohledem již zmíěou libovůli zčeí předpokládejme, že přímé w jsou úhly D D 3 D 3 D (vyzčeé obr. 4). Nše síť u v je tehdy čtyřúhelíkem D D 3 D, jehož stry mjí (v pořdí, v jkém z sebou cyklicky ásledují) délky u, v, w y w. Je-li teto čtyřúhelík deltoid ( e kosočtverec), musí zřejmě pltit u = v u w (obr. 6). Z osové souměrosti z podle přímky D 3 pk zjišťujeme, že pltí y = ; čtyřstě s deltoidí sítí z obr. 6 vidíte obr. 6b. Je to čtyřstě souměrý podle roviy souměrosti hry. Dodejme,že±Obr. 3 kromě erovosti u w musí pltit rověž erovost z<w, která plye z vlstosti středí příčky trojúhelíku D D D 3 trojúhelíkové erovosti pro rovormeý trojúhelík D D : z = = D D < D + D =w. D u w y z w v D D u v w y z u v u v Obr. 4 D 3 ΦObr. 5 D Síť z obr. 5 je (obecě vzto) šestiúhelíkem D D, o čtyřúhelík půjde je v těch přípdech, kdy právě dv z jeho úhlů při vrcholech,,, D budou přímé (tkové totiž emohou být úhly při vrcholech D ). S ohledem libovůli zčeí stčí uvžovt je tři ásledující přípdy. 3

14 ) Příméúhly u vrcholů D. Síť je čtyřúhelík D, jehož stry mjí v pořdí délky u + v, v,,. Zřejmě ejde o deltoid, eboť u + v v. b) Příméúhly u vrcholů. Síť je čtyřúhelík D D, jehož stry mjí v pořdí délky u, v,, v. Protože dvojice protějších str má tutéž délku v, ejde o deltoid. c) Příméúhly u vrcholů. Síť je čtyřúhelík D D, jehož stry mjí v pořdí délky u, + v,, v. Jde-li o deltoid, pk s ohledem erovost + v>musí pltit u = + v = v, tedy = u = v. V trojúhelíku D D je úsečk středí příčkou (obr. 7), tkže pltí w = D = =z. Příslušý čtyřstě vidíte obr. 7b. D D 3 u y = z u u u ΨObr. 6 w w D D w u u z ΩObr. 6b D D w =z z y ffobr. 7 D z y z fiobr. 7b Shrňme výsledky šich dosvdích úvh: Pouze dv typy čtyřstěů (obr. 6b 7b) mjí síť tvru deltoidu. Nším úkolem je yí zjistit, kdy tyto čtyřstěy mjí právě čtyři shodé hry (dé délky ). Zbývejme se ejdříve čtyřstěem z obr. 6b, jehož hry mjí délky,, z, u, u, w. Předpokládejme tedy, že právě čtyři z ich jsou rovy, které to jsou? Předě musí pltit =, jik by muselo pltit = z = u = = w, což je le ve sporu s erovostí z<w, odvozeou výše. Protože jsou vyloučey i rovosti z = u u = w (v obou přípdech by délku mělo pět hr čtyřstěu D), musí pltit u =. Vpřípdě = u je ovšem čtyřúhelík D 3 kosočtverec; 4

15 z rovoběžosti přímek D 3 plye rovost souhlsých úhlů D D 3. Rovormeé trojúhelíky D D 3 jsou tehdy shodé podle věty sus, tkže D =, eboliz = w, což je opět spor. 5 Žádý čtyřstě z obr. 6b proto eí řešeím ší úlohy. Přejděme yí k druhému typu čtyřstěů předpokládejme, že právě čtyři z hr ěkterého čtyřstěu D z obr.7b mjí délku. Protože tři jeho hry mjí délku, musí pltit = ; která (jediá) z osttích délek y, z, z je rov? V síti obr. 7 z trojúhelíku D plye + >z, tedy>z. V téže síti má trojúhelík tupý vitří úhel u vrcholu, eboť jeho vější úhel D je vitřím úhlem při zákldě rovormeého trojúhelíku D, tkže je utě ostrý. Proto je ejdelší strou trojúhelíku str, což zpíšeme tkto: y>m{, z}. Dohromdy dostáváme y>>z, s ohledem rovost = proto ezbývá, ež by pltilo z =. Nlezeými podmíkmi je již čtyřstě D jedozčě (ž shodost) urče. Délku y posledí hry vypočteme jko těžici ke strě D D trojúhelíku D D o strách,,. Vyjde ám y = 6. Řešeím ší úlohy je jediý čtyřstě z obr. 8, jeho síť tvru deltoidu je obr. 8b. D 6 flobr. 8 D D Obr. 8b Odpověď. Hledý čtyřstě je jediý: jeho tři hry délky vycházejí z jedoho vrcholu, hry protilehlé stěy mjí délku,, 6. Jed ze sítí tohoto čtyřstěu má tvr deltoidu o strách,,,. 6 5 V přípdě w = z má deltoidí síť z obr. 6 přímý úhel u vrcholu, tkže ejde o deltoid, le o trojúhelík. 6 Doporučujeme řešitelům, by tkový deltoid vystřihli z ppíru pk model čtyřstěu složili. 5