ANALÝZA VLIVU NUMERICKÉ APERTURY A ZVĚTŠENÍ NA HODNOTU ROZPTYLOVÉ FUNKCE BODU A.Mikš, J.Novák, P. Novák katedra fyziky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze Abstrakt Práce se zabývá aalýzou vlivu velikosti umerické apertury a příčého zvětšeí optické fyzikálě dokoalé soustavy a hodotu rozptylové fukce bodu. Je uvedea skalárí teorie určeí rozptylové fukce bodu pro zobrazeí osového bodu optickou soustavou s koečou umerickou aperturou. Úvod Rozptylová fukce bodu je základí charakteristikou zobrazovacích vlastostí optické soustavy. S í přímo souvisí problematika rozlišovací schoposti optické soustavy a problematika optické fukce přeosu. V optické literatuře [,,3,4] je problematika rozptylové fukce bodu uváděa je pro případy optických soustav s velmi malou umerickou aperturou. Tyto vztahy velmi dobře vyhovují pro velkou řadu optických soustav s kterými se v praxi setkáváme, eboť se právě jedá o optické soustavy (dalekohledy, fotografické objektivy apod.), jejichž umerická apertura bývá malá. Např. fotografický objektiv o cloovém čísle c=,4 má umerickou aperturu A=/c=0,36. Typickým reprezetatem optických soustav s velkou umerickou aperturou jsou mikroskopové objektivy. V čláku jsou uvedey aalytické vztahy umožňující provést výpočet rozptylové fukce bodu pro osový bod fyzikálě dokoalé optické soustavy s umerickou aperturou koečé hodoty a určitým příčým zvětšeím. Tyto vztahy přecházejí v limitím případě ekoečě malé umerické apertury v klasický vztah uváděý v optické literatuře a jsou tedy jeho zobecěím. Úkolem této práce je ukázat vliv umerické apertury a zvětšeí optické soustavy a její rozptylovou fukci bodu a to z hlediska skalárí teorie vlěí. Difrakčí itegrál Uvažujme skalárí vlové pole. Jak je zámo z teorie elektromagetického pole [-6], můžeme určit stav pole U(P) v libovolém bodě P oblasti omezeé plochou S, je-li zámo pole U(M) a této ploše ik r i e U ( P) = U ( M ) cos(, r) ds λ, () r S kde M je bod plochy S, r je vzdáleost bodu P(u,v,R) od bodu M(x,y,z), cos(,r) je kosius úhlu, který svírá ormála k ploše S se směrem r, k = π/λ je vlové číslo a λ je vlová délka zářeí v daém prostředí. Vypočítejme si yí itegrál () pro případ optické soustavy zatížeé aberacemi. Plocha S echť je vloplochou vystupující z optické soustavy. Bod M(x,y,z) echť je libovolý bod a vloploše S, dále pak echť P(x P,y P,z P ), ležící v obrazové roviě optické soustavy, je bod v kterém chceme určit stav pole a bod P o (x o,y o,z o ), také ležící v obrazové roviě optické soustavy, echť je středem kulové plochy (referečí plochy) o poloměru R. Jestliže bod P leží blízko středu plochy S, platí pro vzdáleost r bodu P od bodu M ásledující vztah xu + yv u + v r R +. R R Je-li plocha S dáa rovicí z = z(x,y), potom pro elemet ds této plochy platí [8]
Ozačíme-li ds z z = + dxdy = Ddxdy x + y. dostáváme Ozačíme-li dále p = x /R, q = y/r, D =. p q F( p, = U ( p, D exp( ik W ), o u s =, λ o v t =, λ o kde k o = π/λ o a λ o je vlová délka světla ve vakuu, potom uvedeý vztah () můžeme psát ve tvaru (cos(,r) ) U ( s, t) = C S F( p, e πi( ps+ qt) dpdq, () kde C je kostata. Vztah () ám tedy umožňuje určit stav pole (amplitudu pole) v obrazové roviě optické soustavy s koečou umerickou aperturou. Z tohoto vztahu je patro, že pole U(s,t) je úměré Fourierově trasformaci fukce F(p,. π π B B u P P u A A OS S S p p Obr.: Schéma pro výpočet rozptylové fukce bodu fyzikálě dokoalé optické soustavy
3 Rozptylová fukce bodu fyzikálě dokoalé optické soustavy Fyzikálě dokoalou optickou soustavou azýváme optickou soustavu, jejíž vlastosti jsou omezey pouze difrakcí světla. Takováto soustava je prosta aberací a vloplocha z í vystupující je tedy plocha kulová. Zkoumejme yí zobrazeí osového bodu. Vyšetřovaá situace je zázorěa a obr.. Osový bod A je optickou soustavou OS zobraze do bodu A, π a π jsou roviy vstupí a výstupí pupily optické soustavy. Body P a P jsou středy vstupí a výstupí pupily. S je vloplocha do optické soustavy vstupující a S je vloplocha z optické soustavy vystupující. Výzam ostatích symbolů je patrý z obrázku. Abychom určili amplitudu v obrazové roviě optické soustavy, musíme zát fukci F(p, utou pro výpočet itegrálu (). Je-li soustava fyzikálě dokoalá je vlová aberace W optické soustavy rova ule (W = 0) a fukce F(p, je dáa vztahem F ( p, = U ( p, D. Dále musíme určit fukci U(p, = U(x,y), což je amplituda a vloploše vystupující z optické soustavy. Ze zákoa zachováí eergie [3, 4] plye U ds U d = S, kde U je amplituda a vloploše S do optické soustavy vstupující a U = U(x,y) je ámi hledaá amplituda a vloploše S vystupující z optické soustavy, ds je elemet vloplochy S vstupující do optické soustavy a ds elemet vloplochy S vystupující z optické soustavy, a jsou idexy lomu předmětového a obrazového prostředí. Dosazeím do předcházejícího vztahu dostáváme, užitím Abbeho siové podmíky, pro výraz U D U D = U m P 4 ( si u ) / ( M si u ) / 4 kde m P je příčé zvětšeí optické soustavy v pupilách, m je příčé zvětšeí optické soustavy a M = m. Ozačíme-li T amplitudovou propustost optické soustavy, potom platí F T = T U D = U. (3) 4 ( ) / ( ) / 4 m P si u M si u Pomocí tohoto vztahu můžeme určit fukci F, potřebou pro výpočet amplitudy pole podle vztahu (3) a to pro případ zobrazeí osového bodu předmětu. Zavedeme-li ve výstupí pupile polárí souřadice r a ϕ a v obrazové roviě polárí souřadice ρ a ψ, potom můžeme vztah () psát ve tvaru π [ iτrcos( ϕ ψ) ] U ( r, ϕ)exp U ( ρ, ψ) = K r dr dϕ, (4) 4 0 0 ( r si u ) / ( Mr si u ) max kde u max je aperturí úhel paprsku procházejícího okrajem výstupí pupily, K je kostata a τ je dáo vztahem τ = ρ si u = πρ λ c, k o max / 0 max / 4
kde c = / si u max je cloové číslo optické soustavy. Předpokládejme yí, že příčé zvětšeí v pupilách mp = a předmětové a obrazové prostředí je vzduch. Dále předpokládejme, že amplitudová propustost optické soustavy je rova jedé (ebo je kostatí). Za těchto předpokladů můžeme ve vztahu (4) položit U(r,ϕ) =. Pro malé aperturí úhly tj. pro u max 0 přechází vztah (4) v klasický vztah [,,3] uváděý v optické literatuře a sice J ( τ) U ( τ) =. (5) τ Vidíme tedy, že pro dostatečě přesý výpočet rozptylové fukce bodu optické soustavy mající velkou umerickou aperturu je uté použít vztah (4) a e klasický vztah (5) uváděý v literatuře. Rozptylovou fukci bodu poté lze vypočítat ze vztahu I = UU. (6) 4 Aalýza vlivu umerické apertury a zvětšeí a hodotu rozptylové fukce Na základě uvedeých vztahů (4) a (6) pro aalytický výpočet amplitudy a rozptylové fukce pro případ fyzikálě dokoalé optické soustavy s kruhovou vstupí pupilou a umerickou aperturou koečé hodoty je provedea počítačová simulace daého problému s užitím MATLABu. Je ukázáa závislost hodot rozptylové fukce bodu pro růzé velikosti umerické apertury a příčého zvětšeí fyzikálě dokoalé optické soustavy. Na obr. jsou zázorěy ormalizovaé rozptylové fukce bodu fyzikálě dokoalé optické soustavy pro 4 růzé hodoty umerické apertury. Prví křivka je pro případ ulové hodoty umerické apertury tj. křivka shodá s klasickou rozptylovou fukcí podle vztahu (5), další pak jsou pro růzé hodoty umerické apertury. Obr.: Rozptylová fukce bodu fyzikálě dokoalé optické soustavy Na obr.3 je poté ukázáa závislost prvího miima rozptylové fukce (poloměr Airyho disku) a hodotě umerické apertury NA optické soustavy. Z obrázku je patrý vliv hodoty umerické apertury optické soustavy a hodotu prvího miima rozptylové fukce bodu. Jak je vidět z obou
obrázků, klasický vztah (5) je dostatečě přesý pro optické soustavy s velikostí umerické apertury NA 0,5 tj. pro optické soustavy s cloovým číslem větším ež (tj. pro všechy fotografické objektivy). Pro optické systémy s hodotou umerické apertury větší ež 0,5 je vhodější použít obecý vztah (4) amísto klasického vztahu (5). Z obou obrázků je patré, že s rostoucí umerickou aperturou dochází ke zužováí prvího miima rozptylové fukce. Obr.3: Závislost hodoty prvího miima rozptylové fukce bodu a umerické apertuře Nyí budeme zkoumat závislost tvaru rozptylové fukce bodu a hodotě příčého zvětšeí optické soustavy. Na obr.4 je zobrazea tato závislost pro tři růzé hodoty zvětšeí a je porováa se vztahem pro malé umerické apertury. Obr.4: Rozptylová fukce bodu fyzikálě dokoalé optické soustavy (růzá zvětšeí)
Obr.5: Závislost hodoty prvího miima rozptylové fukce bodu a zvětšeí Na obr.5 je poté ukázáa závislost prvího miima rozptylové fukce (poloměr Airyho disku) a hodotě příčého zvětšeí m optické soustavy. Z obrázku je patrý vliv hodoty příčého zvětšeí optické soustavy a hodotu prvího miima rozptylové fukce bodu. Z obrázku je patré, že v závislosti a příčém zvětšeí dochází k zužováí i rozšiřováí prvího miima rozptylové fukce oproti klasickému vztahu (5). 5 Závěr V čláku bylo pojedáo o výpočtu rozptylové fukce bodu a základě skalárí teorie vlového pole. Byl odvoze vztah pro výpočet amplitudy vlového pole v obrazové roviě optické soustavy. Teto vztah platí i pro soustavy s velkou umerickou aperturou. Dále byl odvoze aalytický vztah pro výpočet amplitudy vlového pole při zobrazeí osového bodu fyzikálě dokoalou optickou soustavou s umerickou aperturou koečé hodoty a kostatí amplitudovou propustostí. Na základě tohoto vztahu bylo ukázáo že amplituda pole prvě abývá ulové hodoty v jiém bodě ež jak plye z klasické teorie. S problematikou rozptylové fukce bodu je úzce spjata problematika rozlišovací schoposti optických soustav. Z odvozeých vztahů je patro, že rozptylová fukce optické soustavy závisí a příčém zvětšeí a umerické apertuře optické soustavy. Na základě odvozeého vztahu pro výpočet rozptylové fukce bodu optických soustav s umerickou aperturou koečé hodoty byla provedea aalýza vlivu umerické apertury a příčého zvětšeí a hodotu ormalizovaé rozptylové fukce bodu. Oba zkoumaé parametry (umerická apertura a příčé zvětšeí) způsobují změy tvaru rozptylové fukce. Prví miimum difrakčího obrazce (tzv.airyho disk) se měí se změou hodoty umerické apertury a příčého zvětšeí. Zvyšováím umerické apertury dochází k zužováí Airyho disku. Práce byla podpořea v rámci projektu MSM68407700 Miisterstva školství ČR a gratu IGS CTU0500.
Literatura [] J.W.Goodma: Itroductio to Fourier Optics. McGraw-Hill, New York, 968. [] B.Havelka: Geometrická optika I. NČSAV, Praha, 955. [3] M.Bor, E.Wolf, Priciples of Optics. Oxford Uiversity Press, New York, 964. [4] M.V.Klei: Optics. Joh Wiley & Sos, Ic., New York, 970. [5] A.Mikš: Aplikovaá optika 0. Vydavatelství ČVUT, Praha 000. [6] L.Haňka: Teorie elektromagetického pole. SNTL, Praha, 975. [7] V.J.Arsei: Matematičeskaja fizika. Nauka, Moskva, 966. [8] K.Rektorys: Přehled užité matematiky. SNTL, Praha, 968. Prof.RNDr.Atoí Mikš,CSc., katedra fyziky, FSv ČVUT, Thákurova 7, 66 9 Praha 6. tel: 4354948, fax: 333336, e-mail: miks@fsv.cvut.cz Ig.Jiří Novák,PhD., katedra fyziky, FSv ČVUT, Thákurova 7, 66 9 Praha 6. tel: 4354345, fax: 333336, e-mail: ovakji@fsv.cvut.cz Ig.Pavel Novák, katedra fyziky, FSv ČVUT, Thákurova 7, 66 9 Praha 6. tel: 4354345, fax: 333336, e-mail: xovakp9@fsv.cvut.cz