Sbírka p íklad k p edná²ce Matematická analýza I a II. Lubo² Pick

Sbírka p íklad k p edná²ce Matematická analýza I a II Lubo² Pick

Obsah Kapitola. Opakování st edo²kolské látky, logika, aiomy reálných ísel. Opakování st edo²kolské látky, logika, matematická indukce Výsledky 2 2. Aiomy reálných ísel 2 Výsledky 3 Kapitola 2. Posloupnosti 5 3. Vlastní ita posloupnosti 5 Výsledky 6 4. V ty o itách 6 Výsledky 7 5. Monotónní posloupnosti, nerovnosti s logaritmy, íslo e 7 Výsledky 9 P íklady písemkové obtíºnosti Kapitola 3. ady 6. Konvergence ad úvod Výsledky 7. ady s nezápornými leny Výsledky 3 8. ady s reálnými leny 3 Výsledky 4 Kapitola 4. Limity funkcí 5 9. Limity funkcí 5 Výsledky 6. Derivace funkce, l'hospitalovo pravidlo 6 Výsledky 7. Pr b h funkce 7 Kapitola 5. Taylor v polynom 9 2. Taylor v polynom 9 Kapitola 6. Primitivní funkce 2 3. Snadné úpravy 2 4. Integrace trigonometrických funkcí 2 5. Metoda integrování per partes 22 6. Substituce 22 7. Lepení 22 8. Integrace racionálních funkcí 22 9. Integrace iracionálních funkcí 22 2. Eulerovy substituce 22 Kapitola 7. Funkce více prom nných 23 2. Základní pojmy 23 Výsledky 23 iii

iv OBSAH 22. Limita a spojitost 24 Výsledky 26 23. Derivace a totální diferenciál 26 Výsledky 27 24. etízkové pravidlo 28 Výsledky 28 25. Implicitní funkce 29 Výsledky 29 Kapitola 8. Metrické prostory II 3 26. Úplné metrické prostory 3 27. Banachova v ta o kontrakci 32 28. Souvislé prostory 33 Kapitola 9. Oby ejné diferenciální rovnice 35 2. Základní rovnice, separace prom nných 35 2. Homogenní rovnice 36 22. Eaktní rovnice 37 23. Lineární rovnice. ádu 38 24. Lineární rovnice vy²²ího ádu 38 25. Systémy lineárních rovnic. ádu 39 Kapitola. Lebesgue v integrál v R n 4 35. Konvergence Lebesgueova integrálu 4 Výsledky 42 36. Zám na ady a integrálu 43 Výsledky 43 37. Zám na ity a integrálu 44 38. Integrál závislý na parametru 44 Výsledky 46 Kapitola. K ivkový a plo²ný integrál v R n 47 39. K ivkový integrál. druhu 47 Výsledky 48 4. K ivkový integrál 2. druhu 49 Výsledky 5 4. Greenova v ta 5 Výsledky 5 42. Plo²ný integrál. druhu 5 Výsledky 52 43. Plo²ný integrál 2. druhu 52 Výsledky 53

KAPITOLA Opakování st edo²kolské látky, logika, aiomy reálných ísel. Opakování st edo²kolské látky, logika, matematická indukce.. V oboru reálných ísel e²te nerovnost log 3 2 3 + 3)..2. Nakreslete graf funkce f) =..3. Ur ete deni ní obor a obor hodnot funkce f) = 2..4. Rozhodn te o správnosti následujících výrok a napi²te jejich negace. N y N : z > y < z) a R ε > α R R : a, a + ε) α < ); a R ε > α R R : a, a + ε) α < )..5. Hádanky z ostrova poctivc a padouch podle R. Smullyana): i) Jdete kolem t í obyvatel ostrova a zeptáte se: Kolik je mezi vámi poctivc? A odpoví nez eteln, tak se zeptáte B: Co íkal A? B odpoví: A íkal, ºe je mezi námi jediný poctivec. Nato ekne C: Nev te B, ten lºe! Co jsou B a C? ii) A ekne: Bu jsem já padouch a nebo B je poctivec. Co jsou A a B? iii) A ekne: Já jsem padouch, ale B je poctivec. Co jsou A a B? iv) A ekne: B a C mají stejnou povahu. Nato se zeptáte C: Mají A a B stejnou povahu? Co odpoví C?.6. i) Dokaºte, ºe 2 + 3) Q. ii) Pro která n N platí: n Q? iii) Dokaºte pomocí vhodného protip íkladu, ºe neplatí výrok iv) Nyní dokaºte, ºe neplatí ani výrok n N : n 2 + n + 4 je prvo íslo. n N, n < 4 : n 2 + n + 4 je prvo íslo..7. Dokaºte, ºe následující vztahy platí pro v²echna n N: ) ) ) n + n n = + ; k + k k + n ) n = 2 n ; k k= n ) n k = n2 n. k k=.8. Dokaºte zobecn nou Bernoulliovu nerovnost: n N 2 : + ) n + n. Návod: pouºijte matematickou indukci s krokem n n + 2.)

2. OPAKOVÁNÍ ST EDO KOLSKÉ LÁTKY, LOGIKA, AXIOMY REÁLNÝCH ƒísel.9. Spo t te n k= kk + )... Nech a,..., a n jsou kladná reálná ísla. Ozna me postupn A n, G n, H n aritmetický, geometrický a harmonický pr m r ísel a,..., a n, tedy Dokaºte nerovnost A n = a + + a n, n G n = n a a 2... a n, n H n = a + +. a n H n G n A n. Druhá z t chto nerovností se asto ozna uje jako tzv. AG nerovnost. Návod: pouºijte matematickou indukci s krokem n 2n a potom znovu se zp tným krokem n n k d kazu druhé nerovnosti. První nerovnost pak dokaºte pouºitím druhé nerovnosti na p evrácené hodnoty ísel a,..., a n.).. Dokaºte nerovnost.2. Dokaºte nerovnost n N : n + n + + + 2n > 2 3. + ) n + n. n n) Návod: pouºijte AG nerovnost pro ísla a = a 2 = = a n = Výsledky n n, a n =.) Cvi ení.4: V²echny výroky jsou pravdivé. Cvi ení.5: i) B je padouch a C je poctivec; ii) oba jsou poctivci; iii) oba jsou padou²i; iv) ano. Cvi ení.6: ii) n = k 2, k N; iii) n = 4; iv) n = 4. Cvi ení.9:. Aiomy t lesa. 2. Aiomy reálných ísel jsou jednozna n deno- 2.. Dokaºte následující tvrzení: i) Jestliºe pro n jaké, y, z R platí + y = + z, pak y = z. ii) Nech R,. Pak opa ný prvek ) a inverzní prvek vány. iii) Platí: R : =. iv) Platí:, y R : ) y) = y.

VÝSLEDKY 3 2.2. Nech a, b R. Dokaºte následující vztahy: 2.) = ; 2.2) a) = a; 2.3) a = ) a; 2.4) a) b = a b) = a b). Aiomy uspo ádání. 2.3. 2.5) Nech, y R. Dokaºte následující vztahy: < ; 2.6) 2.7) 2.8) < < ; < y < + y 2 < < y < y < ; < y, kde 2 = + ; 2.9) 2.) 2.) Aiom o supremu. < ; < < y y < ; < < <. 2.4. Zjist te, zda následující mnoºiny mají supremum a inmum. Pokud ano, ur ete je. A = { n } ; n N ; { } n + ) n B = ; n N ; n { } C = n )n ; n N ; { D = q Q; q < } 3 ; E = {sin cos ; R}. Výsledky Cvi ení 2.4: sup A =, inf A = ; sup B = 3, inf B = ; 2 sup C neeistuje, inf C = ; sup D = 3, inf D neeistuje; sup E = 2, inf E = 2.

KAPITOLA 2 Posloupnosti 3.) 3.2) 3.3) 3.4) 3.5) 3.6) Limita posloupnosti základy. 3.. Který z následujících výrok platí? 3. Vlastní ita posloupnosti n = A n+ = A; n+ = A n = A; n = A 2n = A; 2n = A n = A; a n b n n n; a n < b n n < n. 3.2. Nalezn te p íklad posloupnosti a n takové, ºe a n konverguje, ale a n diverguje. 3.3. M jme dánu posloupnost {a n }. Zkonstruujeme z ní novou posloupnost {b n } pomocí jedné z následujících úprav: vyhodíme z {a n } kone n mnoho len ; p idáme do {a n } kone n mnoho len ; vyhodíme z {a n } nekone n mnoho len ; p idáme do {a n } nekone n mnoho len ; vyhodíme z {a n } kaºdý sudý len; p idáme do {a n } íslo mezi kaºdé dva leny; zp eházíme kone né mnoºství len. Rozhodn te, která z t chto operací bude mít vliv na konvergenci {b n } v závislosti na konvergenci {a n }. 3.4. Pomocí denice ity posloupnosti ur ete, která z následujících posloupností má a která nemá itu. V p ípadech, kdy ita eistuje, ji ur ete. 3.7) 3.8) 3.9) ) n ) 6n 2, n 5n 2, 7n 3 )n n + 2n 2 4n 4 ; sin n n 2, n + 3 n, 3 n + 2 3 n ; 2 n n!, n 5 2 n, n! n n. 3.5. Spo ítejte následující ity: 3.) 4 n + 2 4 n + 3 n + 3 3 n, n + 4) n + 3) n + 2) n ; ) ) ) 3.) 2 2 3... 2 n, 2 2 + 3 2 2 + 5 2 3 + + 2n 2 n ) ; 3.2) n 2 n + 3 n + )n n n 5, 4 2 2 8 2... 2n 2;

6 2. POSLOUPNOSTI 3.3) n k= kk + ), )n n3 n n n6 + 4. 3.6. Udejte p íklad posloupnosti racionálních ísel, která konverguje k iracionálnímu íslu. Udejte p íklad posloupnosti iracionálních ísel, která konverguje k racionálnímu íslu. 3.7. Jestliºe se reálné íslo b opakuje nekone n mnohokrát jako len konvergentní posloupnosti {a n }, pak a n = b. Dokaºte! Výsledky Cvi ení 3.: V²echny výroky jsou platné krom 3.4) a 3.6). Cvi ení 3.2: ) n. Cvi ení 3.4: 3.7) neeistuje, 6 5,. V²echny ostatní ity jsou rovny. Cvi ení 3.6: + n )n, π n. 4. V ty o itách 4.. Vyberte konvergentní podposloupnost divergentní posloupnosti a n = ) n 2 n 2 ). 4.2. Nech a n konverguje k a nech b n je omezená. Potom a nb n =. Dokaºte! 4.3. Vy²et ete konvergenci posloupnosti n n! 4.4. Rozhodn te, která z následujících posloupností je i) omezená, ii) monotonní, iii) konvergentní. Pokud eistuje ita, ur ete ji. 4.) n n, n n, n + n, n 2 + ) n, 3 /n, sin π 2n. 4.5. Dokaºte následující Stolzovu v tu: Nech {a n }, {b n } jsou dv posloupnosti, {b n } je rostoucí a neomezená a platí: a n+ a n = A. b n+ b n Potom také a n = A. b n 4.6. Vypo ítejte pro pevné p N p + 2 p + + n p p + 2 p + + n p 4.2) n p+ ; n p n ). p + Návod: pouºijte Stolzovu v tu.)

5. MONOTÓNNÍ POSLOUPNOSTI, NEROVNOSTI S LOGARITMY, ƒíslo e 7 Rekurentn zadané posloupnosti. 4.7. Spo ítejte itu následující rekurentn zadané posloupnosti: a = k, k, a n+ = k + a n. 4.8. Nech, y jsou kladná reálná ísla. Denujeme a = y, a n = ) + a n. 2 a n Dokaºte, ºe a n je klesající a konverguje k, a to bez ohledu na volbu y. Pouºijte a 4 k p ibliºnému výpo tu 2. 4.9. Spo ítejte itu následující rekurentn zadané posloupnosti: a =, a 2 =, a n = 2 a n 2 + a n ). 4.. Spo ítejte itu následující rekurentn zadané posloupnosti: a = a, a 2 = b, a n = a n 2 a n, a, b >. Výsledky Cvi ení 4.: 2 n 2 ). Cvi ení 4.3: Cvi ení 4.6: Cvi ení 4.7: Cvi ení 4.9: diverguje k +. p+, 2p. 2 + k + 4. 2 3. a 5. Monotónní posloupnosti, nerovnosti s logaritmy, íslo e 5.. Nech {a n } a {b n } jsou posloupnosti reálných ísel, spl ující Dokaºte, ºe potom {a n } má itu. a n+ a n b n, n N, b n =. 5.2. Dokaºte, ºe posloupnost + n )n je rostoucí a ºe posloupnost + n )n+ je klesající. Odtud vyvo te, ºe ob tyto posloupnosti mají spole nou itu. Tuto itu ozna íme symbolem e. Pro kaºdé n N tedy platí 5.) + n) n < e < + ) n+ n 5.3. Nech {a n } je posloupnost kladných reálných ísel spl ující Dokaºte, ºe potom a a n =. + ) an = e a n ) an = e. a n

8 2. POSLOUPNOSTI 5.2) 5.3) 5.4) 5.4. Nalezn te následující ity: 5.5. Dokaºte nerovnost + 2 n) n, + n 2 ) n + 2n 2 + n) 3n, n ; n) + ) 2 2 n ; ) n, + n) n e. Návod: pouºijte Bernoulliovu nerovnost a p íklad 5.2.) 5.6. Dokaºte nerovnost 2 n 99 + 5 n k + < log + ) < k k, k N. Návod: pouºijte nerovnost log + ), která platí pro v²echna > a pro v²echna je ostrá), a vztah + k = k+ ).) 5.7. Dokaºte nerovnost 2 + 3 + + n < log n < + 2 + 3 + +, n N, n 2. n Návod: pos ítejte nerovnosti v p íkladu 5.6 pro k =,..., n.) 5.8. Dokaºte, ºe konverguje posloupnost a n = + 2 + 3 + + log n. n Návod: dokaºte, ºe posloupnost je monotónní a omezená.) 5.9. Spo t te itu ) n. n + + n + 2 + n + 3 + + ). 2n 5.. Dokaºte nerovnosti ) n n + n ) n n! <, n! < e, n 2 2 2 Návod: pouºijte matematickou indukci, Bernoulliovu nerovnost a denici ísla e.) 5.. Dokaºte nerovnost n ) n 5.5) < n! < e 2 n ) n+, n 2. e e Návod: pouºijte matematickou indukci a elementární nerovnosti 5.).) 5.2. Dokaºte následující v tu: Nech {a n } je posloupnost s kladnými leny, spl ující podmínku a n+ = A. a n Potom také n an = A. 5.3. Dokaºte, ºe n n! n = e. Návod: pouºijte v tu z p íkladu 5.2. Elementární d kaz plyne z odhad 5.5) a v ty o dvou policajtech.)

VÝSLEDKY 9 5.4. Dokaºte, ºe v ta z p íkladu 5.2 neplatí obrácen. Návod: a n = 3+ )n 2 n+.) P íklady pro koumáky. 5.5. Spo t te itu 5.6. Nech n n ), >. b = 2, b n+ = 2 + b n, n N. Spo t te itu 2n 2 b n. Návod: Poloºte b n = 2 cos β n pro vhodné β n. 5.7. Bu te a n, b n posloupnosti, a n = A, b n = B. Poloºme t n = n n a k b n k. k= Dokaºte, ºe posloupnost t n konverguje a najd te její itu. Co by se stalo, kdybychom vynechali faktor n? P íklad pro etrémní koumáky. 5.8. Nech posloupnost {a n } spl uje podmínku Potom eistuje a m+n a m + a n, m, n N. Dokaºte! a n n. Výsledky Cvi ení 5.4: 5.2) e 2, e 3, e. 5.3),. 5.4) e,. Cvi ení 5.9: log 2. Cvi ení 5.5: log. Cvi ení 5.6: π 2.

2. POSLOUPNOSTI 5.9. Spo t te itu posloupnosti P íklady písemkové obtíºnosti n8 ) 2 cos n 2 2 + n ) 4. 5.2. Spo t te itu posloupnosti pro a, b R, a >, b >, 3 ) 3 2n + a 2n + b 3 n + )3n + 2). 5.2. Pro která α R je posloupnost {a n } i) omezená, ii) konvergentní: ) ) α a n = loge n2 + ) arcsin n 4 ) n. + 7 5.22. Spo t te itu posloupnosti pro α R n + α ) ) n e α. n 5.23. Spo t te itu posloupnosti 5.24. Spo t te itu posloupnosti + log + )) n 2 +. n n2 + π 2 arctg n ).

KAPITOLA 3 ady 6. Konvergence ad úvod 6.. Zjist te, zda následující ady konvergují a pokud ano, ur ete jejich sou et. 6.) nn + ), ) n n2 + 3n + 4 2n 2, + 5 3 + 3 5 + 5 7 +... ; 6.2) n= n= + + + + + +... ; 6.3) + 2 2 + 3 3 + 4 4 +... ; { a n, kde a n = n jestliºe n je d litelné t emi; 6.4) jestliºe n není d litelné t emi. n= 6.2. M jme dánu adu n= a n. Provedeme jednu z následujících úprav: vyhodíme kone n mnoho len ; p idáme kone n mnoho len ; vyhodíme nekone n mnoho len ; p idáme nekone n mnoho len. Rozhodn te, která z t chto operací m ºe mít vliv na konvergenci. n Výsledky 7.) 7.2) Cvi ení 6.: 6.) konverguje k sou tu, diverguje, konverguje k sou tu 2. 6.2) diverguje. 6.3) konverguje k sou tu. 6.4) diverguje. Srovnávací kritérium. 7. ady s nezápornými leny 7.. Pomocí srovnávacího kritéria zjist te, zda následující ady konvergují i divergují. n= n 2 + 3n + 4 2n 2 + 5) 2, n 2 n 3 +, n= n= n= 3 n2 + 4 3 n 2 + 3 n. 2 + n 3n ; 7.2. Dokaºte následující v tu: ada n= n, α R, je konvergentní práv tehdy, kdyº α >. α Návod: dokaºte, ºe pro α > lze adu n= n odhadnout shora konvergentní geometrickou α adou ) n, n= 2 a ºe pro α lze adu α n= n odhadnout zdola divergentní harmonickou α adou.)

2 3. ADY Cauchyovo, d'alembertovo a Raabeovo kritérium. 7.3. Zjist te, zda následující ady konvergují i divergují. Pouºijte bu srovnávací nebo Cauchyovo nebo d'alembertovo nebo Raabeovo kritérium. 7.3) 7.4) 7.5) 7.6) n= n! 2 n2, 2 n n!, n!) 2 2n)!, n! n n ; n= n= ) 3 2 2 5 2 2)... ) 2n+ 2 2 ; n= n= n 2 ) n= 2 + n, n n= n 3 2 + ) n) n 3 n, n= n log n, n= n n+ n ) n + n ; n= n ) 2n log n + cos n. 2 + cos n 7.4. Ur ete, pro které hodnoty a > konvergují následující ady. 7.7) 2n)! n!) 2 a n ; 7.8) 7.9) 7.) n= n= a n n! n n ; n a logn + ) log n) 4 ; n=2 n= n!e n n n+a. Návod: pro 7.9) pouºijte nerovnosti v p íkladu 5.6 a pro 7.) pouºijte Raabeovo kritérium.)

8. ADY S REÁLNÝMI ƒleny 3 Výsledky Cvi ení 7.: 7.) konverguje, diverguje, diverguje. 7.2) konverguje. Cvi ení 7.3: 7.3) konverguje Cauchy & Cvi ení 3.4), konverguje d'alembert), konverguje Cauchy & Cvi ení 5.3). 7.4) konverguje Cauchy, Cvi ení 4.3 & 3.9)), konverguje d'alembert). 7.5) konverguje Cauchy), diverguje není spln na nutná podmínka konvergence), diverguje není spln na nutná podmínka konvergence). 7.6) konverguje Cauchy), konverguje funkce + 2+ je rostoucí na intervalu [, ], a tedy adu lze shora odhadnout konvergentní adou 2 2n log n. n= 3) Cvi ení 7.4: 7.7) konverguje práv kdyº a 4, ) d'alembert a Raabe), 7.8) konverguje práv kdyº a, e) d'alembert a první nerovnost ve Cvi ení 5.), log+) 7.9) konverguje práv kdyº a, 3) základní ita ení 7.2) = a v ta z Cvi- 7.) konverguje práv kdyº a 3 2, ) Raabe). 8. ady s reálnými leny Dirichletovo, Abelovo a Leibnizovo kritérium. 8.. Vy²et ete konvergenci ad ) ) 8.) n n 3, 8.2) n= n= sinπn/3) n +, R zná kritéria pro konvergenci ad. n= n= n= 3 n + ) n 2 n n 4 n + ) n n ; cos n 2 ) n6 + n n 3). n= 8.2. Ur ete, pro která z R konvergují následující ady n 3 z n 2 n 2 n 8.3), n! zn, n 2 zn, 8.4) ) n+ z n, n n= n= z n n 2, n= n= n= n 3 3 n zn ; ) n+ z 2n+. 2n + 8.3. P esv d te se, ºe pro vy²et ení konvergence ady [ ] 2 3 5... 2n ) a n, kde a n =, 2 4 6... 2n n= nelze pouºít Cauchyovo, d'alembertovo ani Raabeovo kritérium. Dokaºte, ºe tato ada diverguje.

4 3. ADY Výsledky Cvi ení 8.: 8.) konverguje neabsolutn Leibniz), konverguje absolutn adu lze shora odhadnout konvergentní adou n= 3 4) n). 8.2) konverguje neabsolutn Dirichlet), konverguje absolutn adu lze shora odhadnout konvergentní adou n= n6 + n n 3) ).

KAPITOLA 4 Limity funkcí 9. Limity funkcí 9.. Spo t te následující ity: 9.) 9.2) sina), a >, tg 2 ), tg sin cos 3 3, sin2). cos 2 ; 9.2. Spo t te následující ity: a e 2 9.3), a >, 3 9.3. Najd te a, b R tak, aby 2 + a b) =. 9.4. Spo t te následující ity: e sin cos 9.4), + 9.5) + m) n + n) m 9.5. Spo t te následující ity: + 2, m, n N, π 3 log e e. + ) ; tg 3 3 tg cos + π 6 ). 9.6) tg ) tg2), π 4 + 3 + 5 ) 2, log ) + 4 log3 ). 9.6. Spo t te následující ity: log + sin ) 9.7), 2 + + e sin2) e arcsin e 2 sin π 6, + ). tg tg 9.8) 9.9) 9.7. Spo t te ity následujících posloupností: + 9.8. Spo t te: n n 2 ), n4 + 2n 3 n 4 + ) n ; sin2π n 2 + ). 9.) 9.) + arcsin ) log + ), + sinπ))cotgπ) ; 2 + sin cos. 5

6 4. LIMITY FUNKCÍ Výsledky Cvi ení 9.: a, 2, 2, 2, 3 4. Cvi ení 9.2: log a, 2 3, e. Cvi ení 9.3: a =, b = 2. Cvi ení 9.4:, 2, mn 2 m n), 2. Cvi ení 9.5: e, 3 5, 4 log 3. Cvi ení 9.6: 2,, 3. Cvi ení 9.7: e, log 2,. Cvi ení 9.8:, e, 4 3.. Derivace funkce, l'hospitalovo pravidlo.. Spo t te: ).) π 4 arctg. +.2. Spo t te následující ity:.2) + cos )), + cos cos ), ± e 2.3. Denujme funkci f) = { e pro ; 2 pro =. Ur ete, zda má funkce f derivaci v bod a pokud ano, spo t te ji..4. Spo t te následující ity:.3).4) π 4 arcsin 3 tg 2 sin 2, 2 )tg π 2 ) ; ) 2, a + ) a 2, a >..5. Najd te asymptotu funkce pro +. f) = + + ).6. Spo t te ity následujících funkcí:.5) sin ) cos ; e e 2 sin, π 2 arctg ).

. PR B H FUNKCE 7.7. Spo t te derivace i jednostranné, pokud oboustranná neeistuje) následujících funkcí:.6) f) = { arctgtg 2 ) pro π 2 + kπ, k Z, π 2 pro = π 2 + kπ, k Z;.7) f) = ma{min{cos, /2)}, /2)};.8) f) = e 2 ;.9).).).2) f) = arccos + 2 ; { 2 sin f) = + cos ) pro, pro = ; f) = ), pro > ; f) = ma{ + 4 arctgsin ), }. Výsledky Cvi ení.: 2. Cvi ení.2: e 2,, ±. Cvi ení.3: f ) = 2. Cvi ení.4:.3) 3, e 2 π..4) e 6, a. Cvi ení.5: e + 2e. Cvi ení.6: e 3, 2, e 2 π..). Pr b h funkce.. Vy²et ete pr b hy následujících funkcí f) = arcsin 2 2 + ;.2) f) = ;.3) f) = log e; f) = log tg.4) ; 4.5) f) = sin ) cos ;.6) f) = 2..2. Vy²et ete pr b hy funkcí v prvních dvou p íkladech nemusíte vy²et ovat konveitu) f) = cos cos 2, f) = cos )e 2 3 sin, f) = log ) 3 3 log, f) = ) ep + ).

8 4. LIMITY FUNKCÍ.3. Vy²et ete pr b h funkcí: sin 3 + cos 2, 2 π arctg 2, 3 2 2 ), arccos 2, 4 arcsin π arctg ) 2.

KAPITOLA 5 Taylor v polynom 2.) 2.2) 2.3) 2.4) 2.5) 2.6) 2.7) 2.8) 2.9) 2. Taylor v polynom 2.. Napi²te Taylor v polynom funkce f) = e 2 2 stupn 3 v bod. 2.2. Napi²te Taylor v polynom funkce f) = stupn 3 v bod. 2.3. Spo t te p ibliºn 5 25. 2.4. e²te p ibliºn rovnici e 3 ) 3 =. Porovnejte s p esným e²ením = 2.822... 2.5. Pomocí Taylorova polynomu spo t te následující ity. cos e 2 2 4 ; a + a 2 2 ; e sin + ) 3 ; sinsin ) 3 2 5 ; cotg ; 6 6 + 5 6 ) 6 5 ; 2 log + )) ; cos ) sin 3 ; sin e 2 6 4. 2.6. Ur ete, pro které α R jsou následující veli iny srovnatelné s α pro. Poté spo t te 2.) 2.) 2.2) Potom 2.7. Nech Dokaºte! f) α. f) = tgsin ) sintg ), = +; f) = + ), = +; f) = + + 2 ), =. f) = + k + o). f)) = e k. 9

KAPITOLA 6 Primitivní funkce 3. Snadné úpravy 3.. Spo t te následující primitivní funkce: 3.) + 5) 3 d, sin2 + 7) d, 3.2) 3.3) 3.4) d 2 5, d 2 3 2, tg 2 d, sin2) d, d, 2 + 4 d, + ) 2 d; + 2 d; arctg + 2 d; d + cos. 3.2. Pomocí jednoduchých substitucí spo t te následující primitivní funkce: sinlog ) d 3.5), d + ), d 2 ; 3.6) sin 2 + d, cos 2 2 + + d, + 2 + 2 + 9 d; 3.7) d e +, d, d e 2 + 2 ). 4. Integrace trigonometrických funkcí 4.. Pomocí trigonometrických vzorc ur ete následující primitivní funkce: 4.) sin 2 d, sin 3 d, sin 4 d; 4.2) d sin 2 cos 2, sin cos sin 4 + cos 4 d, d sin cos 3 ; 4.3) d d d cos 4 sin 3 cos 5 sin 2 cos ; 4.4) d sin sin 3 cos 5 + sin d, d 2 sin cos + 5. 2

22 6. PRIMITIVNÍ FUNKCE 5. Metoda integrování per partes 5.. Pomocí metody integrování per partes spo t te následující primitivní funkce: 5.) e sin d, arcsin d, log d; arcsin d 5.2) 2 d, + 2 ) n, arctg ) d. 5.2. Pomocí metody integrování per partes odvo te formule pro následující primitivní funkce: 5.3) e a sin b d, arcsin d, sinlog ) d. 6. Substituce 6.. Pomocí vhodné substituce spo t te následující primitivní funkce: log 2 3 d, 8 2 d, cos 6.) ; 2 + cos2) 6.2) 2 + d, 2 + + 4 d, 7. Lepení log + + 2) + 2 d. 7.. Procvi te si lepení primitivních funkcí na následujících p íkladech: 7.) d, e d, ma{, 2 } d; d 7.2) + sin 2 ; 2 + d; + ) d. 8. Integrace racionálních funkcí 8.. Pomocí rozkladu na parciální zlomky spo t te následující primitivní funkce: 3 + 3 5 2 + 6 d, 2 2 d, 4 8.) 4 + 5 2 + 4 ; 8.2) 3 d, d + 6, 3 3 + 2 d. 9. Integrace iracionálních funkcí 9.. Spo t te následující primitivní funkce: e 2 9.) e + 2 d, 2 d, 9.2) + d, d + + +, 2. Eulerovy substituce d + + 3 ; 2 + + 2 d. 2.. Pomocí Eulerových substitucí spo t te následující primitivní funkce: 2.) d + 2 + +, d + 2 ; 2 2 + 3 + 2 2 + 3 + 2, 2 2.2) 2. 2

KAPITOLA 7 Funkce více prom nných kde 2. Základní pojmy 2.. Na rtn te grafy následujících funkcí: f, y) = 3 2 y ), 2, y 4 2; 4 f, y) = 9 2 y 2 ; f, y) = 2 + y 2 ; f, y) = 2 + y 2. 2.2. Na rtn te graf funkce jedné prom nné) F t) = fcos t, sin t), f, y) = { y ); y < ). 2.3. Ur ete a na rtn te deni ní obory následujících funkcí: f, y) = + y ; f, y) = 2 y 2 ; f, y) = 2 + y 2 ; ) f, y) = arccos ; f, y) = log y; f, y) = sin + y 2 + y 2. 2.4. Ur ete a na rtn te vrstevnice následujících funkcí: f, y) = + y; f, y) = 2 + y 2 ; f, y) = 2 y 2 ; f, y) = + y) 2 ; f, y) = y ; f, y) = 2 + 2y 2 ; f, y) = y; f, y) = e 2 2 +y 2 ; f, y) = y > ). 2.5. Spo t te f, y 2y ), jestliºe f, y) = 2 +y. 2 2.6. Ur ete ft), jestliºe f ) y 2 +y = 2 > ). 2.7. Nech z = y + f ) a z = pro y =. Ur ete funkce f a z. 2.8. Nech z = + y + f y) a z = 2 pro y =. Ur ete funkce f a z. 2.9. Ur ete f, y), jestliºe f + y, y ) = 2 y 2. Výsledky Cvi ení 2.: Cvi ení 2.2: trojúhelník, sféra, kuºel, paraboloid. F t) = { [ 3 4 π + 2kπ, π 4 + 2kπ]; π 4 + 2kπ, 5π 4 + 2kπ). 23

24 7. FUNKCE VÍCE PROM NNÝCH Cvi ení 2.3:, ) [, ); kruh { 2 + y 2 } ; dopln k téhoº kruhu v R 2 ; plocha ohrani ená dv ma tupými úhly vymezenými p ímkami y = a y = 2 bez po átku; polorovina { + y < }; sjednocení mezikruºí {2kπ 2 + y 2 2k + )π}. Cvi ení 2.4: rovnob ºné p ímky, soust edné kruºnice, hyperboly se spole nou asymptotou y = ±, rovnob ºné p ímky, svazek paprsk vycházejících z po átku bez po áte ního bodu; soust edné podobné elipsy, hyperboly leºící v kvadrantech I a III s asymptotami blíºícími se k sou- adným osám; k ivky y = C log. Cvi ení 2.5: f, y ) = f, y). Cvi ení 2.6: ft) = + t 2. Cvi ení 2.7: ft) = 2t + t 2, z, y) = + y. Cvi ení 2.8: ft) = t 2 t 2, z, y) = 2y + y) 2. Cvi ení 2.9: f, y) = 2 y +y. 22. Limita a spojitost 22.. Nech Dokaºte, ºe a tedy neeistuje. 22.2. Nech Dokaºte, ºe sice ale p esto neeistuje. f, y) = y + y. ) f, y) =, y f, y) = y f, y) [,y] [,] ) f, y) = y 2 y 2 2 y 2 + y) 2. y f, y) [,y] [,] ) f, y) =, ) f, y) =, 22.3. Nech Dokaºte, ºe sice ani jedna z it neeistuje, ale p esto eistuje. ƒemu se tato ita rovná? f, y) = + y) sin f, y) y ) f, y) [,y] [,] ) ) sin. y ) f, y) y

22. LIMITA A SPOJITOST 25 kde 22.4. Spo t te ) f, y) a y b a y b f, y) = 2 + y 2 2 + y 4, a = b = ; y ) f, y), a f, y) =, a =, b = +; + y ) π f, y) = sin, a = b = ; 2 + y y + y ), a =, b = ; f, y) = y tg f, y) = log + y), a =, b =. 22.5. Spo t te následující ity: = + y [,y] [, ] 2 y + y 2 ; 22.6. Dokaºte, ºe funkce = siny) ; [,y] [,a] = [,y] [,a] 2 + y 2 ) 2 y 2 ; = [,y] [,a] + ) 2 +y ; = log + ey ) [,y] [,] 2 + y. 2 f, y) = { 2y 2 +y 2 2 + y 2 ); 2 + y 2 = ), je spojitá jako funkce prom nné i prom nné y, ale není spojitá jako funkce dvou prom nných. 22.7. Dokaºte, ºe funkce f, y) = { 2 y 4 +y 2 2 + y 2 ); 2 + y 2 = ), je spojitá v bod [, ] po v²ech p ímkách = t cos α, y = t sin α, t, ), α [, 2π], ale p esto není v bod [, ] spojitá. 22.8. Zjist te, zda je funkce spojitá na svém deni ním oboru. 22.9. Zjist te, zda lze funkci f, y) = arcsin ) y f, y) = 2 + y 2 2 y 3 2 + y 2 dodenovat v bod [, ] tak, aby byla spojitá na R 2. 22.. Zjist te, zda lze funkci f, y) = 3 y 3 y dodenovat na p ímce y = tak, aby byla spojitá na R 2.

26 7. FUNKCE VÍCE PROM NNÝCH 22.. Zjist te, zda lze funkci f, y) = dodenovat v bod [, ] tak, aby byla spojitá na R 2. sin) sin3 y) cos 2 + y 2 ) 22.2. Najd te podmínky na konstanty a, b, c, aby eistovala ita = y [,y] [,a] a 2 + by + cy 2. Výsledky Cvi ení 22.3: Cvi ení 22.4:, ; 2, ;, ;, ;,. Cvi ení 22.5: ; a; ; e; log 2. Cvi ení 22.8: ano Cvi ení 22.9: ano, f, ) =. Cvi ení 22.: ano, f, ) = 3 2. 23. Derivace a totální diferenciál 23.. Dokaºte, ºe pro funkci dvou prom nných f, y) a pro libovolné pevné a R platí 23.2. Spo t te f d, a) = f, a) d ) f, ), jestliºe f, y) = + y ) arcsin. y 23.3. Spo t te f, ), f y, ), jestliºe f, y) = 3 y. Má funkce f, y) v bod [, ] totální diferenciál? 23.4. Má funkce v bod [, ] totální diferenciál? 23.5. Má funkce v bod [, ] totální diferenciál? f, y) = 3 3 + y 3 f, y) = e 2 +y 2 23.6. Spo t te pro funkce f, y) = f, f y, 2 f 2, 2 f y, 2 f y 2 f, y) = 4 + y 4 4 2 y 2 ; f, y) = y + y ; f, y) = y 2 ; cos 2 y f, y, z) = ; f, y) = y ; f, y) = log + y 2) ; f, y) = arctg y ; ) z ; f, y, z) = y z ) ; f, y, z) = y z). y

VÝSLEDKY 27 23.7. Nech Dokaºte, ºe 23.8. Nech Dokaºte, ºe neeistuje f, y) = {y 2 y 2 2 +y, 2 2 + y 2 ;, 2 + y 2 =. 2 f y, ) 2 f, ). y f, y) = { 2y 2 +y, 2 2 + y 2 ;, 2 + y 2 =. 2 f, ). y 23.9. Spo t te první a druhý diferenciál následujících funckí: f, y) = m y n, f, y) = y, f, y) = log 2 + y 2 ; f, y) = e y, f, y) = y + yz + z, f, y) = z 2 + y 2. 23.. Odhadn te chybu následujících veli in v závislosti na chyb jednotlivých promn nných: ) + y + ) m + ) n, log + ) log + y), arctg. + y 23.. Objem válce s podstavou o polom ru r a vý²ce h je dán vzorcem V = πr 2 h. Je-li vý²ka v = 5 cm zm ena s p esností na.5 cm a polom r podstavy r = 3 cm je zm en s p esností na. cm, ur ete, s jakou nejv t²í moºnou chybou je ur en objem válce V. 23.2. Plocha trojúhelníka ABC je dána vzorcem P = bc sin α 2 Víme-li, ºe veli iny b, c, α byly nam eny s p esností na % a úhel α byl zm en na π/4, dokaºte, ºe výsledná plocha je ur ena s maimální chybou men²í neº 2.8%. Výsledky Cvi ení 23.2:. Cvi ení 23.3:,, ne. Cvi ení 23.4: ne. Cvi ení 23.5: ano. Cvi ení 23.: + m + ny, y, + y. Cvi ení 23.:, 345π.

28 7. FUNKCE VÍCE PROM NNÝCH 24. etízkové pravidlo 24.. Spo t t kde a 24.2. Spo t t kde a T r a T θ, T, y) = 3 y + y 3 = r cos θ, y = r sin θ. dh dt, Ht) = sin 3 y = 2t 2 3, y = t2 2 5t +. 24.3. Polom r podstavy r rota ního kuºele roste o 2 cm za sekundu a vý²ka h roste o 3 cm za sekundu. Spo t t míru r stu objemu V v okamºiku, kdy r = 5 cm a h = 5 cm. 24.4. Lokální atmosférická teplota T závisí na prostorových sou adnicích, y, z daného bodu a na ase t podle vzorce T, y, z, t) = y + t). + z Teplom r je p ipevn n k meteorologickému balónu, který se pohybuje atmosférou po k ivce dané parametrickými rovnicemi Ur ete míru zm ny teploty v ase t =. = t, y = 2t, z = t t 2. Výsledky Cvi ení 24.: T r = 3r2 cos 3 θ + sin 3 θ ) 2r cos θ sin θ, T θ = 3r2 sin θ cos θ) cos θ sin θ + r 2 sin 2 θ cos 2 θ ). Cvi ení 24.2: dh dt = t + 5) cos 2 t2 + 5t ). Cvi ení 24.3: dv dt = 25π cm3 s. Cvi ení 24.4: teplota roste o 4 stup za hodinu.

VÝSLEDKY 29 25. Implicitní funkce 25.. Vypo ítejte derivaci y ) implicitní funkce y = y) denované následujícími p edpisy: ) y 2 + 2y y 2 = a 2, log 2 + y 2 = arctg ; ) y ε sin y = < ε < ); y = y y), y = 2 arctg y ). 25.2. Vypo ítejte parciální derivaci z y implicitní funkce z = z, y) denované p edpisem z 2 + y 3 = z y. 25.3. Vypo ítejte parciální derivaci y implicitní funkce = y, z) denované p edpisem y 3 = y z. 25.4. Vypo ítejte parciální derivaci y z implicitní funkce y = y, z) denované p edpisem e yz 2 z log y = π. 25.5. Vypo ítejte parciální derivaci z implicitní funkce z = z, y) denované p edpisem F 2 z 2, y 2 + z) =, kde F je diferencovatelná funkce dvou prom nných. Výsledky Cvi ení 25.: + y y, + y y, ε cos y, y 2 log ) 2 log y), y. Cvi ení 25.2: 3y 4 + z y 2zy 2. Cvi ení 25.3: 3y 2 y 3. Cvi ení 25.4: 2 y log y y 2 e yz yze yz 2. z Cvi ení 25.5: 2 F 2 z 2, y 2 + z ) + z F 2 z 2, y 2 + z ) 2z F 2 z 2, y 2 + z) F 2 z 2, y 2 + z).

KAPITOLA 8 Metrické prostory II 26. Úplné metrické prostory 26.. Zopakujte si d leºité denice z teorie metrických prostor : metrika, metrický prostor, koule, otev ená mnoºina, uzav ená mnoºina, vnit ek, uzáv r, konvergentní posloupnost, ita posloupnosti, kompaktní mnoºina, omezená mnoºina, spojité zobrazení. 26.2. Pr m rem neprázdné mnoºiny A v metrickém prostoru P, ϱ) nazveme íslo diam A = sup {ϱ, y);, y A}. Ur ete pr m r následujících mnoºin: [, ],, 2), {3} [, ), jednotková koule v R n, jednotková krychle v R n,, ), interval, 5) s diskrétní metrikou. 26.3. Charakterizujte v²echny neprázdné podmnoºiny metrického prostoru P, ϱ), které mají nulový pr m r. 26.4. Dokaºte diam A = diam Ā. 26.5. Nech P, ϱ) je metrický prostor a nech { n } P je posloupnost. ekneme, ºe { n } je cauchyovská, jestliºe spl uje BolzanovuCauchyovu podmínku, tedy ε > n m, n n : ϱ n, m ) < ε. V prostoru reálných ísel s eukleidovskou metrikou platí, ºe posloupnost je konvergentní práv kdyº je cauchyovská. Dokaºte na p íkladu, ºe v obecném metrickém prostoru toto tvrzení neplatí. 26.6. Metrický prostor P, ϱ) se nazývá úplný, jestliºe kaºdá cauchyovská posloupnost { n } P je konvergentní. Dokaºte, ºe i) prostor a, b) není úplný; ii) prostor [a, b] je úplný; iii) prostor C[, ]) s metrikou je úplný. ϱf, g) = sup f) g) [,] 26.7. Charakterizujte v²echny cauchyovské posloupnosti v diskrétním prostoru. Je diskrétní prostor úplný? 26.8. Dokaºte následující Cantorovu v tu: Metrický prostor P, ϱ) je úplný práv tehdy, kdyº má následující vlastnost: pro libovolnou posloupnost uzav ených mnoºin spl ující P A A 2 A n... diam A n je mnoºina n N A n jednobodová. Návod: K d kazu nutnosti vezm te pro kaºdé n libovolný bod n A n a dokaºte, ºe posloupnost { n } je cauchyovská a tedy konvergentní a ºe její ita je zárove jediným bodem v pr niku mnoºin A n. 3

32 8. METRICKÉ PROSTORY II K d kazu posta itelnosti denujte pro danou cauchyovskou posloupnost { n } mnoºiny A n = { n, n+, n+2,... } a dokaºte, ºe mají jednobodový pr nik, který je zárove itou posloupnosti { n }. 26.9. Ukaºte na p íkladu, ºe odstraníme-li z Cantorovy v ty p edpoklad diam A n, pak se m ºe stát, ºe pr nik mnoºin A n bude prázdný. Shoduje se tento fakt s va²í intuitivní p edstavou? 26.. Nech P = R a je-li, y = ; y je-li =, y ; ϱ, y) = je-li = y; + y je-li, y, y. Ur ete, zda i) P, ϱ) je metrický prostor; ii) P, ϱ) je úplný; iii) P, ϱ) je kompaktní. Ur ete diam P. Najd te v²echny otev ené mnoºiny a v²echny kompaktní mnoºiny prostoru P, ϱ). 27. Banachova v ta o kontrakci 27.. Zobrazení T : P P se nazývá kontrakcí, jestliºe eistuje γ [, ) tak, ºe ϱt, T y) γϱ, y) pro kaºdé, y P. Dokaºte následující tvrzení: Nech T je kontrakce na P a P je libovolný bod. Denujeme posloupnost { n } p edpisem n+ = T n, n N. Potom { n } je cauchyovská. 27.2. Dokaºte, ºe d sledkem tvrzení z p íkladu 27. je následující Banachova v ta o kontrakci : Nech P, ϱ) je úplný metrický prostor a nech T : P P je kontrakce. Potom T má na P práv jeden pevný bod, to jest eistuje práv jedno P takové, ºe T =. 27.3. Nech P = N a ϱm, n) = m n. Ur ete, zda i) P, ϱ) je metrický prostor; ii) P, ϱ) je úplný; iii) P, ϱ) je kompaktní. Ur ete diam P. Najd te v²echny otev ené mnoºiny a v²echny kompaktní mnoºiny prostoru P, ϱ). Jsou jednobodové mnoºiny otev ené? 27.4. Nech P = N a ϱm, n) =. Denujeme zobrazení m n T : n n +. Zobrazení T z ejm nemá pevný bod. Lze odtud usoudit, ºe T není kontrakce na P? Jestliºe ne, dokaºte to n jak jinak. 27.5. Nech P = N \ {} a ϱm, n) =. Denujeme zobrazení m n T : n n 2. Zobrazení T z ejm nemá pevný bod. Dokaºte, ºe p esto je T kontrakce na P. Jak je to moºné? 27.6. Nech P, ϱ) je metrický prostor a nech T : P P spl uje ϱt, T y) < ϱ, y) pro kaºdé, y P, y. Uv domte si, ºe T nemusí být kontrakce na P! Zobrazení mající tuto vlastnost nazýváme neepanzívní. Najd te p íklad metrického prostoru a neepanzívního zobrazení, které není kontrakcí.

28. SOUVISLÉ PROSTORY 33 27.7. Platí následující modikace Banachovy v ty pov²imn te si, ím je vyváºeno zeslabení p edpokladu na zobrazení T ): Nech P, ϱ) je kompaktní metrický prostor a nech T : P P je neepanzívní. Potom T má na P práv jeden pevný bod. Dokaºte! Návod: Studujte vlastnosti funkce f : P R denované p edpisem f) = ϱ, T ). 28. Souvislé prostory 28.. V prostoru C[, ]) se supremovou metrikou denujeme pro dv dané funkce g, h C[, ]) úse ku: f : [, ] C[, ]), fa) = g + ah g). Dokaºte, ºe: i) úse ka je oblouk; ii) f je stejnom rn spojitá na [, ]; iii) C[, ]) je obloukov souvislý prostor. V²imn te se, ºe sta í dokázat jen jedno z tvrzení i)iii). Které? 28.2. Zkoumejte, jaké vlastnosti musíme vyºadovat od metrického prostoru, aby v n m bylo moºno n jakým rozumným zp sobem zadenovat úse ku a aby platila analogie tvrzení z p edcházejícího p íkladu. Pro jakou t ídu metrických prostor takto automaticky zajistíme obloukovou souvislost? 28.3. Ukaºte na p íkladu, ºe uzáv r obloukov souvislé mnoºiny nemusí být obloukov souvislá mnoºina. Návod: Graf funkce f) = sin ),, ). 28.4. Ukaºte p íklad mnoºin A, B takových, ºe A B A, A je obloukov souvislá mnoºina, B není obloukov souvislá mnoºina. Návod: V R 2 vezm te v²echny úse ky délky vycházející z po átku a mající sm rnice n, n N. To je mnoºina A. Mnoºinu B vytvo te tak, ºe k A p idáte je²t úse ku {[, y] R 2 ; [ 2, ], y = }. Je A obloukov souvislá? Co je A? Platí A B A? Je B obloukov souvislá?

KAPITOLA 9 Oby ejné diferenciální rovnice 2. Základní rovnice, separace prom nných 2.. Uhodn te n jaká e²ení následujících diferenciálních rovnic. Najdete v²echna e²ení? y = ; y = 5; y = 3; y = sin2); y = 4y. 2.2. Uhodn te partikulární e²ení diferenciálních rovnic, která spl ují p íslu²nou okrajovou podmínku: y = 3, y2) = 4; y = 4y, y) = 7. 2.3. Zkuste najít n které obecné e²ení diferenciální rovnice y + λ 2 y =. Nyní najd te partikulární e²ení, které spl uje okrajové podmínky y) = 4, y ) = 3. 2.4. Najd te v²echna maimální e²ení diferenciálních rovnic y = + y 2 ; y = sin y 2 + 2y + ) { ; y y log 2 y), y >, = y =. Na rtn te integrální k ivky e²ení v²ech uvedených rovnic! 2.5. Jestliºe se potkají dv e²ení rovnice y = f, y), kde f je spojitá funkce dvou prom nných, pak na sebe tato dv e²ení navazují hladce. Dokaºte! Rovnici y = y log y e²í nap íklad funkce y a y = e, R. Tato dv e²ení se potkávají v bod [, ], ale nenavazují na sebe hladce. Pro to není ve sporu se shora uvedeným tvrzením? 2.6. Najd te maimální partikulární e²ení diferenciální rovnice y sin = y log y, procházející bodem [ π 2, e] a na rtn te jeho graf. Jaký je maimální interval, na který lze toto e²ení roz²í it? 2.7. Najd te v²echna maimální e²ení diferenciálních rovnic Na rtn te integrální k ivky e²ení! y = +y ; y y = b + 2 y ), y) =. 2.8. Primitivní popula ní model popisuje vývoj ur ité populace tak, ºe r st po tu jedinc P v ase t je p ímo úm rný P, takºe podle tohoto modelu je vývoj populace ízen diferenciální rovnicí dp dt = kp, kde k > je konstanta úm rnosti, závislá na typu populace, kterou studujeme. Dokaºte, ºe pak P t) = Ae kt, 35

36 9. OBYƒEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE kde A je n jaká kladná konstanta daná po áte ním stavem populace. Promyslete si sestavení a vy e²ení obecné rovnice a pak spo ítejte následující p íklad. Bakteriální kultura roste v ase t úm rn po tu jednotlivých bakterií P = P t). Na za átku je 5 bakterií, po jednom dni máme 8 bakterií. Bude jich po dal²ích 2 hodinách více neº? Vedla by lineární aproimace ke stejnému záv ru? 2.9. Podstatn lep²í popula ní model neº ten, který byl popsán v p edcházejícím p íkladu, bere v potaz tzv. maimální kapacitu ºivotního prost edí. Ta je dána íslem N, coº je nejvy²²í moºný po et len dané populace, který se je²t v daném ºivotním prost edí uºiví. Ov te si, ºe podle tohoto modelu je vývoj populace ízen diferenciální rovnicí dp = kp N P ). dt Dokaºte, ºe vývoj stavu populace je pak dán funkcí P t) = knent + ke Nt, kde k je konstanta úm rnosti. Vy e²te si obecnou rovnici a na rtn te její integrální k ivky. Porovnejte s p íkladem 2.8! Pak spo ítejte následující p íklad. Na ostrov, který skýtá pastvu pro nejvý²e 2 králík, dorazilo 3 králík. Po prvním roce jich zde ºije jiº 8. Bude jich za dal²í rok více neº? 2.. Králík roste podle tzv. allometrického zákona d dv = k v, kde, v ozna ují ²í ku a vý²ku králíka a k je konstanta úm rnosti. Na za átku má králík ²í ku 5 cm a vý²ku 5 cm. Po n jaké dob má králík cm vý²ky a 5 2 cm ²í ky. Králík má k dispozici noru o ²í ce 2 cm a vý²ce 24 cm. Ur ete, zda mu bude d ív úzká nebo nízká. 2.. Brouk Pytlík nemá rád teplotu niº²í neº 6 mraven ích stup. V 8 hodin ráno mravenci zatopí v peci, na níº Pytlík leºí, na stup, a odejdou do práce. Ve 3 hodin je teplota v místnosti 8 stup. Místnost vychládá rychlostí úm rnou rozdílu okamºité teploty v místnosti a venkovní teploty, která je stabiln rovna 2 stup m. Vydrºí Pytlík do 8 hodin, kdy se mravenci vrátí z práce a zatopí? 2.2. P i pádu s padákem je sm rem dol p sobící gravita ní síla rovna G = mg, kde m je hmotnost para²utisty a g je konstantní gravita ní zrychlení. Sm rem vzh ru p sobící síla F zp sobená odporem padáku je úm rná kvadrátu okamºité rychlosti, tedy F = kv 2, kde k je materiálová konstanta vyjad ující kvalitu padáku. Vývoj okamºité rychlosti sm rem dol v = vt) v ase t je tedy ízen diferenciální rovnicí mg kv 2 = m dv dt. Dokaºte, ºe bez ohledu na po áte ní rychlost v) se bude rychlost po dost dlouhé dob za p edpokladu, ºe para²utista ská e z dostate né vý²ky) blíºit konstantní rychlosti v = mg k. 2.3. Popi²te k ivku v rovin, která prochází bodem [2, 3] s následující vlastností: úse ka libovolné její te ny, vymezená pr se íky této te ny se sou adnými osami, se p lí v bod dotyku. 2. Homogenní rovnice 2.. Má-li diferenciální rovnice tvar y = f y ), lze ji p evést substitucí z = y z ) + z) = fz), na tvar coº je rovnice se separovanými prom nnými. e²te diferenciální rovnice y = y + sin 2 y ), y = y2 + y, y = y, y = y log,, y >. y

22. EXAKTNÍ ROVNICE 37 2.2. e²te diferenciální rovnice 2.3. e²te diferenciální rovnice y = e y/ + y, y = y2 2 2, Má-li diferenciální rovnice tvar 2 + y 2) y = 2y. y = + y y, y = y + y. 22. Eaktní rovnice 22.) h, y)y + f, y) = a eistuje-li funkce dvou prom nných u, y) taková, ºe 22.2) u y = h, y), u = f, y), pak se taková rovnice nazývá eaktní. Dosud jsme chápali u jako funkci dvou prom nných. Protoºe ale y = y), m ºeme chápat u = u, y)) jako funkci jedné prom nné ). Pak ji derivujeme neparciáln,tj. du d. Pov²imn me si, ºe eaktní rovnici 22.) lze p epsat ve tvaru du d = a ºe v²echna e²ení této rovnice jsou implicitn popsána pomocí k ivek tvaru u, y) = C, C R. Jak rozpoznat, zda je daná rovnice eaktní? Jsou-li funkce h a f spojité, pak k tomu, aby rovnice 22.) byla eaktní, musí platit h = f y. Tento vztah lze povaºovat za test eaktnosti rovnice. Navíc jej lze snadno ov it. Jestliºe je rovnice eaktní, jak najít funkci u? M ºeme se nap íklad pokusit tuto funkci uhodnout. Pokud to nejde, m ºeme funkci u získat integrací vztah 22.2). 22.3) 22.4) 22.5) 22.. e²te diferenciální rovnice y logsin ) 3y 2) + y cotg + 4 =, y 3 2 y 2 + e y) + 2y 3 + 2 = ; y + y 2 = y ; y 2 siny) 2y ) + cosy) y siny) =. Jestliºe rovnice není eaktní, m ºeme ji n kdy p evést na eaktní tvar pomocí integra ního faktoru. Rovnici 22.) vynásobíme zatím neznámou funkcí ϕ. Aby byla tato nová rovnice eaktní, musí splnit test, tj. musí platit hϕ) = fϕ) y, tedy 22.6) ϕ h + h ϕ = f ϕ y + ϕ f y, coº je ale parciální diferenciální rovnice pro ϕ. To je úloha t º²í neº p vodní rovnice. Z tohoto d vodu v t²inou hledáme funkci ϕ závislou jen na jedné ze dvou prom nných. Pokud nap. ϕ = ϕ), pak je ϕ y = a 22.6) získá tvar ϕ ϕ = h f y h ), a to je jiº snadno e²itelná rovnice pro ϕ se separovanými prom nnými. 22.2. Uvaºujte diferenciální rovnici y 3y = 2) + y 2 6y =. P esv d te se, ºe rovnice není eaktní. Hledejte integra ní faktor ve tvaru ϕ = ϕy) a rovnici vy e²te.

38 9. OBYƒEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 23.. Diferenciální rovnice tvaru 23. Lineární rovnice. ádu y + p)y = q), kde p, q jsou funkce jedné prom nné, se nazývá lineární rovnicí. ádu. e²te následující diferenciální rovnice pomocí integra ního faktoru. y + y = ; y 4y = 23.2. Rovnice tvaru y + y = 2, y2) = 3 ; y + 3y =, y) = ; y 2y = 4 + e, y) = ; y + y e =, ya) = b a)y ) + b)y) α = b), α,, se nazývá Bernoulliova. Substitucí y = z α p evedeme Bernoulliovu rovnici na lineární. Tu vy e²íme a dopo ítáme y ze substituce. e²te následující Bernoulliovy diferenciální rovnice: y + y = y 2 log ; y + 2y = 2 3 y 3. 24. Lineární rovnice vy²²ího ádu 24.. U následujících diferenciálních rovnic nalezn te fundamentální systém e²ení a uhodn te alespo jedno partikulární e²ení. y 5y + 4y = e 3 ; y y + y y = sin ; y y = e 2 + ). Návod: Partikulární e²ení hledejte po ad ve tvaru y = ae 3, y = a sin) + b cos) a y = ae 2 + be + ce, dosa te do rovnice a dopo ítejte reálné koecienty a, b, c. 24.2. U následujících diferenciálních rovnic nalezn te reálný fundamentální systém e²ení a uhodn te partikulární e²ení. y + 4y = cosn); y y = 3. Návod: Partikulární e²ení hledejte ve tvaru y = a sinn) + b cosn), respektive ve tvaru y = a 3 + b 2 + c + d, dosa te do rovnice a dopo ítejte reálné koecienty a, b, c, d. 24.3. Zrekonstruujte nehomogenní lineární diferenciální rovnici s konstantními koecienty, jestliºe víte, ºe její fundamentální systém e²ení je [e, e ] ; [, 2 ]. 24.4. Metodou sniºování ádu vy e²te rovnici Návod: Poloºte z = y. y = 4 y, y) =, y ) = y ) =.

25. SYSTÉMY LINEÁRNÍCH ROVNIC. ÁDU 39 24.5. Nalezn te reálný fundamentální systém e²ení následujících lineárních homogenních diferenciálních rovnic: y 4) + y 3y 5y 2y = ; y 4) + 2y + y = ; y + 4y + 3y = ; y + y 2y =. 25. Systémy lineárních rovnic. ádu 25.. Nech, y, z jsou diferencovatelné funkce prom nné t R. e²te systém diferenciálních rovnic = 2 y z y = 2 y 2z z = 2z + y. 25.2. Nech, y, z jsou diferencovatelné funkce prom nné t R. e²te systém diferenciálních rovnic = 3 2y z y = 3 4y 3z z = 2 4y. 25.3. Nech, y, z jsou diferencovatelné funkce prom nné t R. e²te systém diferenciálních rovnic = 2 + 2z y y = + 2z z = y z. 25.4. Nech, y, z jsou diferencovatelné funkce prom nné t R. e²te systém diferenciálních rovnic = 2y z y = y + z z = y. 25.5. Nech, y, z jsou diferencovatelné funkce prom nné t R. e²te systém diferenciálních rovnic = 4 + 5y 2z y = 2 2y + z z = y + z. 25.6. Nech, y, z jsou diferencovatelné funkce prom nné t R. e²te systém diferenciálních rovnic = y + z y = + y z z = 2z y.

4 9. OBYƒEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 25.7. Nech, y, z jsou diferencovatelné funkce prom nné t R. e²te systém diferenciálních rovnic = 2 + y y = 2y + 4z z = z.

KAPITOLA Lebesgue v integrál v R n 35. Konvergence Lebesgueova integrálu 35.. Vy²et ete, pro které hodnoty p íslu²ných parametr konvergují následující Lebesgueovy integrály: 35.) 35.2) 35.3) s log ) k e d, k Z; p ) q d; p e d; log α 35.4) + k d; π/2 35.5) tg ) a d; 35.6) + q d; 35.7) 35.8) 35.9) 35.) 35.) π p cos a p log sin a d; a d; a + d; log p d; d; 35.2) log + e ) d; 35.3) 35.4) sin p d; sin 2 3 + 3 d. 35.2. Vy²et ete, pro které hodnoty p íslu²ných parametr konvergují následující Lebesgueovy integrály: 35.5) 35.6) π 2 arctg ) α d; arccos log q /) d. 4

42. LEBESGUE V INTEGRÁL V R n Výsledky Cvi ení 35.: 35.) : s >, k > ; 35.2) : p, q > ; 35.3) : p > ; 35.4) : α >, k > ; 35.5) : a, ); 35.6) : < p + < q; 35.7) : a R < p < 3; 35.8) : < a ; 35.9) : a R; 35.) : a, 2 ); 35.) : p > 2 ; Cvi ení 35.2: 35.2) : konverguje; 35.3) : nekonverguje pro ºádné reálné p; 35.4) : nekonverguje. 35.5) : α < ; 35.6) : q < 3 2.

VÝSLEDKY 43 36. Zám na ady a integrálu 36.. V následujících p íkladech rozvi te integrovanou funkci v adu, ov te moºnost zám ny ady a integrálu a vyjád ete integrál jako íselnou adu. 36.) log + ) d; 36.2) 36.3) 36.4) 36.5) 36.6) 36.7) 36.8) 36.9) 36.) 36.) Cvi ení 36.: 36.5) : log ) d; e d; e + d; p + q d; e cos d; p log d; p log + d; p log + 2 d; log log ) d; log log + ) d. Výsledky 36.) : π 2 2 36.2) : π2 6 ; π 2 36.3) : 6 ; π 2 36.4) : 2 ; ) ) k p + kq, < p < q; p k + )q k= 36.6) : ) k k! 2k)! ; k= ) 2 36.7) :, p > ; p + k + k=

44. LEBESGUE V INTEGRÁL V R n 36.8) : ) 2 ) k, p > ; p + k + k= 36.9) : ) k+ 2k + p + ; k= 36.) : 2 π2 6 ; 36.) : π 2 2 2 log 2 37. Zám na ity a integrálu 37.. V následujících p íkladech vy²et ete, zda lze zam nit itu a integrál, a pokud ano, spo t te itu. 37.) 37.2) 37.3) 37.4) 37.5) n p + n 2 2 d; n d; + 2n d + d; n )n /n log + n) n e n d. e cos d; 38. Integrál závislý na parametru 38.. Vy²et ete deni ní obor funkce F a její spojitost, najd te ity v krajních bodech nebo se o to aspo pokuste), vyjád ete derivaci funkce podle v ty o derivování integrál závislých na

38. INTEGRÁL ZÁVISLÝ NA PARAMETRU 45 parametru. 38.) 38.2) 38.3) 38.4) 38.5) 38.6) 38.7) 38.8) 38.9) 38.) 38.) F a) = F a) = F a) = F a) = F a) = F a) = F a) = F a) = F a) = F a) = F a) = π π a e d; a + 2 d; + a d; e a cos d; sin a + 2 d; sin + a 2 d; a log d; e a d; log + a sin ) arcsin a tg a d. d; d;

46. LEBESGUE V INTEGRÁL V R n 38.2. Rozhodn te, pro které hodnoty parametr konvergují následující Lebesgueovy integrály a spo t te jejich hodnoty pomocí v ty o derivování integrál závislých na parametru. 38.2) 38.3) 38.4) 38.5) 38.6) 38.7) 38.8) 38.9) Cvi ení 38.2: Ja) = π F a, k) = Ka, b) = F a) = F p, q) = F a, b) = F a) = F a) = log + a cos ) d; cos k sina) e d; π 2 loga 2 + 2 ) b 2 + 2 d; arctga sin ) d; sin p ) q ) d; log arctga) arctgb) d; e a d; a log d. Výsledky 38.2) : Ja) = π arcsin a, a [, ]; a ) 38.3) : F a, k) = arctg, a R, k, ); k 38.4) : Ka, b) = π log a + b ), a, b R, b ; b 38.5) : F a) = π 2 log a + ) + a 2 38.6) : F p, q) = log, a R; ) p + q +, p >, q >, p + q > ; p + )q + ) 38.7) : F a, b) = π 2 log a, a, b > nebo a = b R; b 38.8) : F a) = π2 6a 2 ; 38.9) : F a) = log a +.

KAPITOLA K ivkový a plo²ný integrál v R n 39.. Spo t te délku oblouku mezi body [,, ] a [3, 3, 2]. 39. K ivkový integrál. druhu C = {[, y, z] R 3 ; = 3t, y = 3t 2, z = 2t 3 } 39.2. Spo t te délku k ivky C = {[r, ϕ] R 2 ; r = a sin 3 ϕ ), ϕ [, 3π]} 3 kde a >. 39.3. Spo t te délku prostorové k ivky C, zadané rovnicemi y = a arcsin a, od bodu [,, ] do bodu [, y, z ], kde a >. a 2 z = a 4 log a a + 39.4. Ur ete, která k ivka má v t²í délku, zda kruºnice o polom ru a nebo elipsa s poloosami, 2a, kde a >. 39.5. Spo t te k ivkový integrál C 2 + y 2 ds, kde C je kruºnice se st edem v bod [ 2, ] o polom ru 2. 39.6. Spo t te k ivkový integrál C e 2 +y 2 ds, kde C je konvení uzav ená k ivka sloºená ze t í oblouk, zadaných v polárních sou adnicích pomocí následujících parametrizací: kde a >. ϕ =, r [, a]; r = a, ϕ [, π 4 ]; ϕ = π, r [, a], 4 39.7. Spo t te k ivkový integrál 2 + y 2 + z 2) ds, kde C je oblouk ²roubovice, zadaný parametricky = a cos t, y = a sin t, z = bt, t [, 2π]. C 47

48. K IVKOVÝ A PLO NÝ INTEGRÁL V R n 39.8. Spo t te k ivkový integrál kde C je obvod astroidy, kde a >. C ) 4 4 3 + y 3 ds, C = {[, y] R 2 ; 2 3 + y 2 3 = a 4 3, 39.9. T ºi²t drátu tvaru rovinné k ivky C, jehoº lineární hustota je dána f, y), má sou adnice T = [, y ], kde = f, y) ds, y = yf, y) ds, M C M C p i emº M = f, y) ds je hmotnost drátu. C Ur ete sou adnice t ºi²t oblouku homogenní cykloidy, zadané parametricky kde a >. = at sin t), y = a cos t), t [, π], 39.. Dokaºte, ºe je-li k ivka zadána v polárních sou adnicích v R 2 tak, ºe r = rϕ) kde jako obvykle = r cos t, y = r sin t), pak platí vztah 39.) ds = rϕ) 2 + r ϕ) 2 dϕ. 39.. S pomocí 39.) spo t te k ivkový integrál I = y ds, kde C je Bernoulliova lemniskáta, zadaná rovnicí 2 + y 2) 2 = a 2 2 y 2), kde a >. 39.2. S pomocí 39.) spo t te délku kardioidy srdcovky), zadané rovnicí ) 2 2 + y 2 = +. 2 + y 2 C Výsledky Cvi ení 39.: Cvi ení 39.2: Cvi ení 39.3: Cvi ení 39.4: Cvi ení 39.5: Cvi ení 39.6: Cvi ení 39.7: Cvi ení 39.8: 5 3 2 πa + z elipsa 2 πe a 4a + 2e a ) ) a2 + b 2πa 2 2 + 2π)3 b 2 3 4a 7 3

4. K IVKOVÝ INTEGRÁL 2. DRUHU 49 Cvi ení 39.9: Cvi ení 39.: Cvi ení 39.: T = [ 4a 3, 4a ] 3 2a 2 2 2) 8 4. K ivkový integrál 2. druhu 4.. Spo t te k ivkový integrál 2 2y) d + y 2 2y) dy, C) kde C je ást oblouku paraboly y = 2 s po áte ním bodem [, ] a koncovým bodem [, ]. 4.2. Spo t te k ivkový integrál C) + y) d y) dy 2 + y 2, ) kde C je kladn orientovaná kruºnice o polom ru a se st edem v po átku. 4.3. Spo t te k ivkový integrál kde C je cykloida, zadaná parametricky C) 2a y, ) d s, = at sin t), y = a cos t), t [, 2π], jejíº orientace je dána touto paramaterizací, a kde a >. 4.4. Spo t te k ivkový integrál C) kde C je ást oblouku asteroidy, zadané rovnicí kde a >, z bodu [, a] do bodu [a, ]. y 2 d + 2 dy, 5 3 + y 5 3 2 3 + y 2 3 = a 2 3, 4.5. Spo t te k ivkový integrál yz d + z dy + y dz, C) kde C je jeden závit ²roubovice, zadané parametricky ) b ϕt) = a cos t, a sin t, 2π t, t [, 2π], jejíº orientace je dána touto paramaterizací, a kde a, b >. 4.6. Spo t te k ivkový integrál y d + z dy + dz, C) kde C je pr se nice ploch, zadaných rovnicemi z = y, 2 + y 2 =, jejíº orientace je dána kladnou orientací pr m tu této k ivky do roviny y.

5. K IVKOVÝ A PLO NÝ INTEGRÁL V R n 4.7. Vypo t te práci silového pole F, y, z) =, y, z y) po obvodu k ivky jejíº orientace je dána touto paramaterizací. {[t 2, 2t, 4t 3 ], t [, ]}, 4.8. Vypo t te práci silového pole, které p sobí v kaºdém bod [, y, z], [, y] [, ] mimo osu z) silou nep ímo úm rnou druhé mocnin vzdálenosti od osy z a mí í kolmo k ose z. jaká práce se vykoná p i pohybu hmotného bodu po tvrtkruºnici C = {[cos t,, sin t], t [, π 2 ]}? 4.9. Kapalina proudí rychlostí V, y) =, 2y). Ur ete mnoºství kapaliny, která prote e za jednotku asu elipsou, zadanou rovnicí Cvi ení 4.: Cvi ení 4.2: Cvi ení 4.3: Cvi ení 4.4: Cvi ení 4.5: Cvi ení 4.6: Cvi ení 4.7: Cvi ení 4.8: kde k je konstanta úm rnosti. Cvi ení 4.9: 2 4 + y2 9 =. Výsledky 4 5 2π 2πa 2 3 6 πa 4 3 π 5 2 ) 2 k, 2 8π 4. Greenova v ta 4.. Pomocí Greenovy v ty vypo ítejte k ivkový integrál y 3 + log ) d + 3 + y 2 ) dy, C) kde C) je kladn orientovaná hranice oblasti { G = [, y] R 2, 2 + y 2 6, y } 3. 4.2. Pomocí Greenovy v ty vypo ítejte k ivkový integrál y 2 dy 2 y d, kde C) je kladn orientovaná kruºnice 2 + y 2 = a 2, a >. C)

42. PLO NÝ INTEGRÁL. DRUHU 5 4.3. Pomocí Greenovy v ty vypo ítejte k ivkový integrál + y) d y) dy, kde C) je kladn orientovaná elipsa 2 a + y2 2 b =, a, b >. 2 C) 4.4. Pomocí Greenovy v ty vypo ítejte k ivkový integrál I = e cos y) d y sin y) dy), C) kde C) je kladn orientovaná hranice oblasti Cvi ení 4.: Cvi ení 4.2: Cvi ení 4.3: Cvi ení 4.4: 42.. Spo t te obsah sféry 42.2. Spo t te obsah rovinné plochy G = { [, y] R 2, < < π, < y < sin }. Výsledky 63π 2 πa 4 2 2πab 5 eπ ) 42. Plo²ný integrál. druhu M = {[, y, z] R 3, 2 + y 2 + z 2 = r 2 }, r >. M = {[, y, z] R 3, z = a + by, 2 + y 2 }, a, b >. 42.3. Spo t te obsah ásti povrchu rota ního hyperboloidu M = {[, y, z] R 3, z = y, 2 + y 2 }. 42.4. Spo t te obsah st ny nádoby tvaru rota ního paraboloidu M = {[, y, z] R 3, z = 2 + y 2), 2 + y 2 }. 2 42.5. Spo t te obsah povrchu anuloidu, jehoº pr ez má polom r R 2, p i emº vzdálenost st edu pr ezové kruºnice od jeho osy je R, R > R 2. 42.6. Spo t te plo²ný integrál. druhu kde M je helikoid, zadaný parametrizací M z ds, M = {[t cos s, t sin s, s] R 3, 42.7. T ºi²t plochy M je dáno vzorcem T = [ t, y t, z t ] = ds M M t [, a], s [, 2π]}. ds, Vypo ítejte t ºi²t homogenního rota ního paraboloidu M y ds, M z ds. M = {[, y, z] R 3, 2 + y 2 = 2z, z 2}.