Poznámky k přednášce o grupách

Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 Poznámky k přednášce o grupách Defnce a příklady grup Příklad : Cyklcká grupa o čtyřech prvcích Příklad : Grupy matc Příklad : Grupa O(n) 4 Příklad 4: Grupa U(n) 4 5 Příklad 5: Cyklcká grupa C n 4 6 Příklad 6: Grupa permutací S n a grupa symetre pravdelného n-úhelníku D n 5 Působení grupy 6 Působení grupy na množně 6 Působení grupy na sebe 7 Generátory SU() 7 4 Fundamentální reprezentace 9 5 Dmenze reprezentace SU(N) 6 Přdružená reprezentace SU() 7 Součnové reprezentace SU() 8 Mesonový oktet 9 Baryonový oktet 4 Baryonový dekaplet 4 Skládání spnů grupa SU() 6 Objemový element na grupě 7 Charakter reprezentace 8 4 Lorentzova grupa a Dracova rovnce 9 4 Lorentzova grupa 9 4 Grupa SL(C) 4 Vlastnost spnorů 44 Lorentzova transformace spnorů 45 Vlnová rovnce pro částce se spnem / - Dracova rovnce 4 46 Dracova rovnce v elektromagnetckém pol 5 47 Hesenbergův obraz 6 48 Rovnce kontnuty 6

Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 Defnce a příklady grup Podle knhy S Sternberga Defnce grupy: Grupa G je množna na které je zadána bnární operace násobení G G p q p q G () která je asocatvní a zaručuje exstenc jednotkového a nversního prvku tj platí p q r = p q r p q r G e G e p = p e = p p G () = = p G p p p p e p G Příklad : Cyklcká grupa o čtyřech prvcích (a) dtvní grupa celých čísel modulo 4 ( Z 4 ) Prvky grupy jsou { } a { } { } c { } e = 4 48 8 = 5 9 7 b = 6 6 = 7 5 (b) Reálné matce s obvyklou operací násobení matc () e = a = b = c = (c) Grupa rotační symetre čtverce C 4 kde rotace (kladné hodnoty odpovídají otáčení prot směru hodnových ručček) (4) e a π b π c π π (5) Grupovou operací je prosté složení transformací Tabulka násobení je Tabulka Všechny tř příklady odpovídají jedné abstraktní grupě cyklcké grupě se čtyřm prvky e a b c e e a b c a a b c e b b c e a

Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 c c e a b Příklad : Grupy matc S několka příklady jsme se jž setkal Grupovou operací je vždy obyčejné násobení matc Takže máme například (a) Obecná reálná lneární grupa n proměnných GL( n R ) tvořená matcem Q dmenze n n s reálným prvky splňujícím podmínku detq (b) Specální reálná lneární grupa n proměnných SL ( n R ) tvořená matcem Q dmenze n n s reálným prvky splňujícím podmínku detq = (c) Obecná komplexní lneární grupa n proměnných GL( n C ) tvořená matcem Q dmenze n n s komplexním prvky splňujícím podmínku detq (d) Specální komplexní lneární grupa n proměnných SL ( n C ) tvořená matcem Q dmenze n n s komplexním prvky splňujícím podmínku detq = Příklad : Grupa O(n) Grupa všech lneárních transformací Q n-rozměrného prostoru které zachvávají eukledovskou vzdálenost n Q v = v v R (6) Zapsáno v ortonormální báz = j = k = j = k = = j = k = j = k = n n n n n n j j k k j k T j k Q v Q v = v v Q Q = n n j k n n j k T j k j k T v v Q Q = v v δ Q = Q (7) Matce Q musí tedy být ortogonální Tvoří množna takových matc grupu? socatvta je zaručena vlastnostm násobení matc Dále pro Q = Q Q platí T T T ( Q Q ) Q Q Q Q ( Q Q ) = = = (8) tedy součn ortogonálních matc je opět ortogonální matce Jednotková matce je denttou nversní matce nversním prvkem grupy Determnant matc z grupy je je roven ± Ortogonální matce s determnantem rovným jedné tvoří podgrupu SO(n)

Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 4 4 Příklad 4: Grupa U(n) Ve vektorovém prostoru nad polem C komplexních čísel máme standardní hermteovský skalární součn Platí u w n T u = w = ( u w) = u w = un wn (9) = u n w n T T T T + + ( u w) ( u) w u w u w ( u w) = = = = () Matce zachovávající skalární součn musí být untární + + ( Qu Q w) ( u Q Q w) ( u w) Q Q = = = () Zcela stejně jako pro ortogonální matce ukazujeme že untární matce tvoří grupu U(n) Pro determnant máme ( Q + Q) ( Q + ) ( Q) ( Q) det = det det = det = () Matce s determnantem rovným jedné tvoří podgrupu SU(n) Například matce grupy SU() mají tvar { } { } { } { } ρ exp ϕ ρ exp χ ρ χ ρ ϕ exp exp () 5 Příklad 5: Cyklcká grupa C n Označme ω π exp n = Potom tabulka násobení (4) Tabulka ω ω ω ω n ω ω n n ω ω ω ω ω ω n ω ω ω n ω ω n n ω ω ω

Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 5 n ω n ω n ω ω ω n Příklad pro n = 4 jsme už uvedl Tabulky násobení pro n= a n = jsou Tabulka Tabulka 4 + + + + + 6 Příklad 6: Grupa permutací S n a grupa symetre pravdelného n-úhelníku D n Nejprve zjstěme počet prvků v dané grupě Označme s permutac množny n prvků Počítejme možnost s s() s() (5) s n s n s n n s n s n s n n s n n Zjevně obsahuje S n n! prvků Grupa symetre pravdelného n-úhelníku D n obsahuje n rotací (mez nm rotac o nulový úhel tedy jednotku grupy) a n překlopení podél os symetre Má tedy n prvků Věnujme se trojúhelníku Tady zahrnuje podgrupa D celou grupu S Na obrázku je znázorněno působení D Jak to odpovídá permutacím? Otočení o je otočení o π je a konečně otočení o 4π je Překlopení kolem osy procházející je překlopení kolem osy procházející je a překlopení kolem osy procházející je

Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 6 Obrázek Působení grupy Působení grupy na množně ť G je grupa a M množna Působení grupy na množně je zobrazení G M a m a m M a b m = ab m e m = m m M Příklady: působení grupy rotací SO() v trojrozměrném eukledovském prostoru grupy SL ( C ) v Mnkovskho prostoročase nebo působení S na množně vrcholů rovnostranného trojúhelníku body a m tj Orbta bodu m M () př působení grupy G (orbtu značíme G m ) je podmnožna M tvořená M G m = { a m a G} () Podmnožna grupy G pozůstávající z prvků pro které platí a m bodu m a značí se G m Grupové vlastnost jsou splněny neboť a m m e m m a m m = = = a m = m b m = m ab m = m ť orbta obsahuje ( G m) = m se nazývá sotropní grupou () N prvků Je-l n prvkem orbty bodu m potom exstuje prvek grupy a G takový že a m = n Pokud exstuje ještě jný prvek pro který n = b m je a b G m znamená že pro každý prvek n exstuje právě N ( G m ) prvků zobrazujících m do n Máme tak To

Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 7 N = N ( ) N (4) G G m G m Pro případ rovnostranného trojúhelníka je pro obecný bod sotropní grupou pouze dentta tedy N( G ) = N ( G n) = 6 pro vrcholy a středy stran tvoří sotropní grupu dentta a překlopení kolem m osy procházející daným bodem tedy N( G ) = N ( G n) = a nakonec pro střed trojúhelníka je sotropní grupou celá grupa m S tedy N( G ) = 6 N ( G n) = m Je-l celá množna M vyčerpána jednou orbtou mluvíme o transtvním působení grupy Působení grupy na sebe V případě že množnou M je sama grupa G je její působení dané levým násobením (tj b ab ) transtvní To vdíme z toho že pro lbovolné dva prvky b a c grupy exstuje prvek a = cb takový že ab cb b c = = Dále je zřejmé že sotropní grupa lbovolného prvku pozůstává pouze z dentty neboť ab = b a = e Bohatší strukturu dostaneme působí-l grupa podobnostní transformací tj b ab a Je to grupová operace neboť = = a ( ab a ) a = a a b a a = b a c b a c a cb c a a cbc a Můžeme vytvářet třídy podobných prvků b a c jsou podobné exstuje-l a takové že ab a (5) = c (6) Identta je třída s jedným prvkem neboť a ea = e pro lbovolný prvek Isotropní grupa prvku b obsahuje všechny prvky a pro které ab a = b Je to dentta a pokud je b od ní různý pak také b a pokud je b b pak také b Opět platí N = N ( ) N (7) G G b G b Jsou-l prvky grupy matce je třída podobných matc tvořena matcem B a C exstuje-l matce taková že B = C (8) Matce mají stejné vlastní hodnoty a tedy stejnou stopu Generátory SU() K popsu generátorů transformace X z SU() potřebujeme hermteovské matce T a a = 8:

Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 8 a ( θ ) X = exp T a () Tyto matce jsou zobecněním matcτ z SU() jejchž vložení dot a zvýrazníme tím že místo některých nul budeme psát tečky: T = T = T = T4 = T5 T6 = = T7 = T8 = Matce T a jsou normovány tak že platí () Tr ( T T ) = δ () a b ab a splňují komutační relace [ ] T T = f T (4) a b ab c c Soups strukturních konstant je 458 678 = f47 = f46 = f57 = f45 = f56 = f67 = f f = f = další spočteme záměnou vzhledem k úplné antsymetr ndexů tj (5) f abc = f bc a = f cab = fbac = f acb = f cba (6) Defnujeme skalární součn a působení operátorů jako + [ ] T T Tr T T T T T T (7) a b a b a b a b Než se budeme zabývat SU() vraťme se k SU() Obecně hodnost (počet komutujících generátorů) grupy SU(N) je N řád (počet generátorů) je N Pro SU() máme T = T T = = Vlastní vektory operátoru T jsou (značeny vlastním hodnotam) (8)

Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 9 Hledejme teď další stav pro který bude [ ] (9) T T = α T T T = α T () Všmněme s že T není hermteovský neboť ([ ]) + + + + = = α T T T T T T T () Exstuje obecný postup pro výpočet α ale tady zvolíme přímý výpočet Potom je [ ] [ ] [ ] T = a T + a T T T = a T T + a T T = a T a T a a α a a = a a a + a α α = a = a = T = + T T T = = = Pro SU() to ovšem bude zajímavější Máme teď dva komutující operátory [ ] vlastní stavy jsou 8 e = = e e = = = = () () T T = a příslušné (4) Rozdíly ve vahách jsou ( ) ( ) ( ) a také totéž s opačným znaménky Příslušné operátory jsou T ( ± ) = T ± T T ± ± = T4 ± T5 T ± = T6 ± T7 (5) Na ose x je spn na ose y hypernáboj To hodně přpomíná kvarky up down a strange 4 Fundamentální reprezentace V dalším vezměme tabulku této fundamentální reprezentace I Y Q = I + Y kvark

Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 e ( ) e ( ) e ( ) u d s α β γ a budeme konstruovat komplkovanější Důležté je že s pomocí tensorů ε a ε α β γ můžeme uvažovat pouze tensory s jen horním nebo jen dolním ndexy Tak tensor β µν β α µν β Y Y = ε Y (4) α α Jž jsme vděl že stopa je nvarant musíme tedy jako reducblní reprezentac brát pouze tensory s Y α = Jak se to projeví u ekvvalentního tensoru? Počítejme α α α λ α β γ λ β γ λ Yα = δλ Yα = ελ β γ ε Yα = ελ β γ Y = (4) 5 Dmenze reprezentace SU(N) Teď chvíl obecně o SU(N) Některé skupny ndexů jsou symetrzovány jné antsymetrzovány Tensor řádu n rozdělíme jako N n n n n = n n n + (5) N = Pro dmenz reprezentace platí vztah! N ( ) D n n n N = ( n n ) ( n n ) ( n n N ) + + + ( n n + ) ( n nn + N )! N ( n ) N nn + N! (5) Platí zřejmě ( ) = ( ) (5) D n n n D n n n n n n N N N N N N N

Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 Několk příkladů Pro SU() je D ( n n ) = n n + Celkový spn je S ( n n ) takové reprezentace je D = S + což souhlasí Pro fundamentální reprezentac D N N = = N!!! ( N ) = Dmenze ( N ) (54) Stejnou dmenz má sdružená reprezentace D N ( N ) (55) N = = N!!! ( N ) Povšmněme s jž zmňované zvláštnost u SU() kdy původní a sdružená reprezentace jsou ekvvalentní Dmenze adjungované reprezentace je D N symetrcké reprezentace je D N ( n ) N = dmenze úplně N + n = n (56) 6 Přdružená reprezentace SU() Zpět k SU() Sdružená reprezentace k fundamentální má tabulku I Y Q = I + Y antkvark e e ( ) s e e ( ) d e e ( ) u 7 Součnové reprezentace SU() Přrozeně př vkládání jednotlvých fundamentálních representací musí ndexy v řádku neklesat ve směru zleva doprava ve sloupc růst ve směru shora dolů Uvažujme teď součn

Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 = = 6 (7) Přpomeňme důležté dentty α β γ γ µν λ µ ν µ ν ε ε = δ ε ε = δ δ δ δ (7) α β δ δ α β λ α β β α V tensorovém značení odpovídá (7) rozkladu kde Vezměme součn u α v β = ( u α v β + u β v α ) + ( u α v β u β v α ) = S α β + ε α β γ γ (7) α β α β β α α β S = ( u v + u v ) γ = εα β γ u v (74) = = 8 (75) V tensorovém značení u v u v u v β u v T S T α = α δα µ + δα µ = α + δα µ = (76) Tento záps vyjadřuje rozklad do dvou reducblních reprezentací fyzkálně pak vázané stavy kvark antkvark Proč ndex? V zápsu kde budeme mít jen horní ndexy (vz (4) a (4)) máme skutečně objekt antsymetrcký v prvních dvou ndexech Dále uvažujme součn β µν β α µν β β γ λ T T = ε T ε T = (77) α α λ β γ = = ( ) = ( 6 ) = ( 6 ) ( ) = ( 8 ) ( 8 ) S (78) Případ s jsme jž rozebral Reprezentac 6 odpovídá symetrcký tensor S α β Budeme tedy mít α β γ α β γ λ β γ α λα γ β µ µ µ ρ v S w = S + ( ε δ µ + ε δ µ ) Tλ Tλ = ελ ρ v S w (79) µ α β γ α β γ γ β α α γ β Tµ = S = ( S w + S w + S w )

Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 8 Mesonový oktet Máme (vz (76)) Máme = ψ ψ δ ψ ψ (8) T β β β µ α α α µ α α ψ ψ α u u d d s s T β α u s d s P I Y Q = I + Y J = K + K u d π + d u π s u s d u u ( d d + s s ) d d ( u u + s s ) s s ( u u + d d ) K K T T T Poslední tř řádky nejsou přímo částce platí podmínka nulové stopy Trplet podgrupy SU() doplňuje stav T T ( u u d d ) π = =

Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 4 K tomuto stavu je ortogonální η = T = ( u u + d d s s ) 6 Snglet představuje částce / η = u u + d d + s s 9 Baryonový oktet Jakkol jsou v něm nejznámější částce je oktet jednoduchý pouze co do obsahu kvarků Paulho prncp však vyžaduje správné namíchání symetrcké a antsymetrcké část tj 8S a 8 protože celkový spn tří kvarků je Podstatně jednodušší je oprot tomu stuace u dekapletu scelkovým spnem tří kvarků Uvedeme proto jen složení u u d u d d Q = I + Y I Y P J = p n u u s + Σ d d s d s s u s s Σ Ξ Ξ u d + d u s Σ u d d u s Λ Baryonový dekaplet

Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 5 S α β γ u u u { u u d } { u d d } d d d I Y Q = I + Y P J = + + + { u u s } * Y + { u d s * } Y { d d s } * Y { u s s } { d s s } * Ξ * Ξ s s s Ω Výraz ve složených závorkách reprezentuje úplnou symetrzac tj { u u d} = ( u u d + u d u + d u u) { u d s} = ( u d s + su d + d s u + d u s + s d u + u s d ) 6 () Jak je ale možné že fermony mají symetrckou vlnovou funkc? Přrozeně že nemají exstuje ještě barevná grupa SU() a tam je dekaplet sngletem R B ( RBY BRY + BYR YBR + YRB RYB) () Y 6 Takže nakonec máme P = P ( colour) P ( flavour) P ( spn) P ( space) P = P ( barva) P ( vůně ) P ( spn) P ( prostor) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ()

Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 6 Skládání spnů grupa SU() ť teď fundamentální reprezentac představuje spnový stav elektronu tj stav s s = Jak se sečtou dva stavy? Máme opět = D D = D D ( ) ( ) Pro komplkovanější stuac = () () a D D = D D ( ) ( ) = D D = D ( ) ( ) () Zkusíme vkládání částc: nejprve pro Dostáváme trplet Dále pro D tj (4) + (5) D tj pro kdy dostáváme snglet Pro sdruženou representac (6) (7) ( ) D (8) dostáváme (například) dublet pokud nejprve symetrzujeme + (9)

Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 7 Objemový element na grupě Hledáme (levo)nvarantní n-formu kde n je dmenze grupy Ω = ω ω n () Jeden z postupů je najít n (levo)nvarantní jedna forem Mějme reprezentac grupy na Matce dmenze k k reprezentuje prvek a grupy ( j ) ( j ) k C resp = a d = da () ť B je matce reprezentující pevně daný prvek grupy b Potom máme k R Platí L B () * b L d = L L d = B d B = * * * b b b B B d = d (4) Má tedy matce d jako prvky nvarantní jedna formy Příklad z SU(): α β = α α + β β = β α Potom + d α β dα d β = = = β α d β dα α dα + β d β α d β + β dα d = β dα + α d β α dα + β d β Vezmeme tř nezávslé formy a vytvoříme vnější součn ( α dα β d β ) ( α d β β dα ) ( β dα α d β ) ( α α dα d β + β β d β dα ) ( β dα + α d β ) = dα d β ( β dα + α d β ) + + + = Dferencováním normovací podmínky dostaneme α dα + α dα + β d β + β d β = d β = ( α dα + α dα + β d β ) β (5) (6) (7) (8) a po dosazení do (7)

Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 8 dα d β β dα + α d β = α α β + dα d β dα = dα d β dα β β V polárních souřadncích α = u + v β = x + y u = cos θ v = snθ cos ψ x = snθ snψ cos ϕ y = snθ snψ snϕ (9) () je dα d β dα = sn θ snψ dθ dψ dϕ () β což po normování dává výsledek ( θ π ψ π a ϕ π sn θ sn ψ dθ dψ dϕ Ω = () π Ponecháme-l jen úhel θ máme po záměně θ θ cosθ Ω = d θ θ π () π Charakter reprezentace V dagonální reprezentac exp Charakter je pak { jθ} exp { jθ} () j j j + m = j k = ( θ ) exp{ mθ} exp{ ( j ) θ} exp{ kθ} = = + = exp j + θ exp j + θ exp{ ( j + ) θ} exp{ jθ} = = exp{ θ} exp θ exp θ sn j + θ sn θ Platí ()

Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 9 π cosθ ( θ ) ( θ ) dθ = δ π k j j k () 4 Lorentzova grupa a Dracova rovnce 4 Lorentzova grupa S obvyklým značením ct x G = ( g k ) = x = ( x ) = (4) y z můžeme defnovat skalární součn dvou čtyřrozměrných vektorů jako T k x y = x G y = g x y (4) k Lorentzova transformace je lneární zobrazení které zobrazuje prostoročas sám na sebe a které zachovává skalární součn x x = Λ x x x = Λ x (4) / k / k Podmínka pro nvaranc skalárního součnu je T T T T T ( x) G ( y) x G y x G y G G Λ Λ = Λ Λ = Λ Λ = (44) Použjeme-l zápsu ve složkách můžeme (44) přepsat na ( T k ) l m k gl m k g k Λ = Λ Λ Λ = (45) Jsou-l Λ a Μ Lorentzovy transformace jsou také Λ a Λ Μ Lorentzovy transformace což snadno odvodíme l m r s r s k = l m Λr Λs Λ Λ = k r s Λ Λ k g g g r l m r s l m s k = lm Μ Μ k = r s Λl Λm Μ Μ k = r s Λ Μ Λ Μ k g g g g (46) Lorentzovy transformace tvoří grupu Grupa má čtyř podmnožny charakterzované sgnaturou determnantu a Λ neboť det Λ = Λ Λ = (47) ( j ) Specální Lorentzova grupa je tvořena transformacem s det Λ = a j = sgn Λ = Máme

Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 L : det Λ = sgn Λ = I L + + + + L : det Λ = sgn Λ = I L + + s L : det Λ = sgn Λ = I L + s t + L : det Λ = sgn Λ = I L t (48) Specální Lorentzova grupa obsahuje dentckou transformac další podmnožny jsou charakterzovány I s (prostorová nverse) I t (časová nverse) a I st (časoprostorová nverse) defnovaných pomocí vztahů j I x = x I x = x s j I x = x I x = x t ( st ) ( st ) j I x = x I x = x s t j j j (49) Se specální Lorentzovou grupou je spojena grupa komplexních matc druhého řádu s determnantem rovným jedné platí SO( ) SL( C) Z = 4 Grupa SL(C) Čtyřvektoru x přřadíme komplexní matc ˆx vztahem xˆ = x ˆ σ ˆ σ = = ˆ σ = ˆ σ = ˆ σ = takže (4) x + x x x xˆ = (4) x + x x x Platí det xˆ = x x tr { ˆ ˆ x = xσ } (4) Každé dvojc matc { ˆ λ ˆ λ} SL ( C ) lze přřadt Lorentzovu transformac Λ zobrazením = ˆ ˆ = Λ (4) / / xˆ λ xˆ λ + x x Matc ˆλ lze zapsat jako součn hermteovské matce a untární matce ˆ λ ( u ω ) exp ˆ σ u exp ˆ = σ ω (44)

Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 Důkaz: Zapšme ˆ λ ˆ λ exp( ˆ σ u) + = potom ˆ exp ˆ exp ˆ ˆ σ u λ σ u λ = ˆ exp ˆ ˆ σ u λ = exp ˆ σ ω Jný způsob zápsu ˆ ϕ θ λ = exp n ˆ exp n ˆ ϕ σ θ σ = ϕ ϕ θ θ cosh nϕ σ snh cos + nθ σ sn Protože pro Paulho matce platí ( σ a)( σ b ) = a b + σ ( a b ) ˆ ˆ ˆ můžeme poslední vztah přepsat na ˆ ϕ θ ϕ θ λ = cosh cos nϕ nθ snh sn + ϕ θ ϕ θ ϕ θ n snh cos n cosh sn n n snh sn ˆ ϕ + θ ϕ θ σ + (45) (46) (47) (48) 4 Vlastnost spnorů Přpomeňme Paulho matce (pro úplnost dodejme jednotkovou matc) σ = σ x σ y σ z = = = (49) V trojrozměrném případě je operace nverse provedená dvakrát návratem k původní souřadné soustavě proto u tensorových velčn je a π nejsou ekvvalentní) dvě možnost ˆ ˆ ˆ ˆ P P P P P ˆ = ˆ U trojrozměrných spnorů mohou nastat (rotace o = = ± = = ± (4) Ve čtyřrozměrném prostoru však prostorová nverse mění znaménko pouze tří ( x y z) ze čtyř ( c t x y z ) časoprostorových souřadnc a nekomutuje tedy s rotacem souřadnc které obsahují časovou osu Specálně pro Lorentzovu transformac platí = ( ) ˆ ˆ P L V L ˆ V P ˆ (4)

Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 Př transformac z vlastní Lorentzovy grupy transformuje se spnor jako = + = + = (4) / / ξ α ξ β ξ ξ γ ξ δ ξ α δ β γ Koefcenty α β γ a δ jsou funkcem úhlů rotace čtyřrozměrné souřadné soustavy Blneární forma ξ Ξ ξ Ξ (4) je nvarantem (částce se spnem nula složená ze dvou částc se spnem /) Je užtečné zavést matc která umožňuje snžovat a zvedat ndexy a tak využívat součtové konvence B g B = g ξ g Bξ ξ g ξb = = = (44) Potom můžeme psát místo (4) ξ Ξ = ξ Ξ = nv (45) V nerelatvstcké teor určuje * * ψ ψ + ψ ψ hustotu pravděpodobnost a je tedy skalární * * velčnou proto musí být spnorová transformace (4) untární ( α = δ β = γ ) V relatvstcké teor je hustota pravděpodobnost časupodobnou složkou čtyřvektoru a podmínka untarty nevznká Proto musíme uvažovat ne jeden spnor ale dvojc spnorů ξ a η transformujících se podle komplexně sdružených representací Lorentzovy grupy ξ podle (4) a η podle / * * / * * * * * * η = α η + β η η = γ η + δ η α δ β γ = (46) Komponenty spnoru který se transformuje podle komplexně sdružené representace Lorentzovy grupy budeme značt tečkou nad velkým písmenem Pro zvedání a snžování ndexů platí tady vztah (44) Působení operátoru prostorové nverse můžeme nyní zapsat jako (volíme representac kde ˆ P = ) nebol ˆ ˆ Pξ = η ɺ Pη ɺ = ξ (47) ˆ ɺ ˆ ɺ Pξ = η Pη = ξ Dvojce bspnorů ( ξ η ) ɺ a ( ) (48) Ξ Η ɺ representuje mmo jné skalární a vektorové velčny Pro skalární velčny (skalár a pseudoskalár) je ɺ ζ = ξ Ξ ˆ + η ɺ Η P ζ = ζ ɺ ζ = ξ Ξ ˆ η ɺ Η Pζ = ζ Pro vektorové velčny (49)

Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 Vzhledem k relacím Bɺ Bɺ Bɺ ˆ Bɺ ζ = ξ Η + Ξ η P ζ = ζ ɺ B Bɺ Bɺ Bɺ ˆ Bɺ ζ = ξ Η Ξ η Pζ = ζ ɺ B ( ζ ) a a a Tr{ } a Tr{ } ζ = ɺ = σ + σ = ζ σ = ζ B (4) (4) odpovídá první případ čtyřrozměrnému vektoru (s trojrozměrným polárním vektorem) a druhý případ čtyřrozměrnému pseudovektoru (s trojrozměrným axálním vektorem) ( ) = ( ) ˆ ( ) = ( ) Pˆ a a a a P a a a a (4) 44 Lorentzova transformace spnorů Vztahů mez bspnorem ζ a čtyřvektorem transformace Označme a využjeme pro nalezení konkrétního tvaru koefcentů ɺ ɺ α β ξ ζ ζ ɺ ɺ L = ξ = η = ( η η ) ζ = γ δ ɺ ɺ ξ ζ ζ Pro nfntesmální transformac píšeme = L = L = L L / / + / + ξ ξ η η ζ ζ L = + λ ζ = ζ + λ ζ + ζ λ + / Př nfntesmální Lorentzově transformac máme jednak a také δ δ V Tr { ζ } = δ = δ V Tr / a = a a n V = a n / a a a n V a n { σ ζ } { } { } / + a = Tr ζ σ = a + Tr ζ σ λ + λ σ / + a = Tr{ ζ } = a + Tr { ζ ( λ + λ ) } Porovnáním obou zápsů dostaneme S využtím vztahu δ V + λ = λ = σ n n σ n = (4) (44) (45) (46) (47) (48)

Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 4 můžeme psát pro konečné velkost rychlost L φ exp cosh snh φ φ = σ = σ tanh φ = V Př nfntesmální rotac souřadnc v geometrckém prostoru máme pak / Tr { } / δ θ a = a δ θ n a = a ζ σ n a = a odkud δ θ + λ = λ = n σ Pro konečné rotace potom L exp θ n cos θ ( n) sn θ = σ = + σ (49) (44) (44) (44) 45 Vlnová rovnce pro částce se spnem / - Dracova rovnce Př známém vztahu mez čtyřvektory a spnory můžeme operátoru čtyřmpulsu p ˆ přřadt operátorový spnor pˆ Bɺ které se značením můžeme přepsat na resp pˆ Bɺ Jedné vhodné relatvstcky nvarantní výrazy jsou pak Bɺ pˆ η m pˆ ɺ = ξ ɺ ξ = mη ɺ (44) B B B ξ ηɺ ξ = η = ξ η ɺ ( ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ) p σ + p σ η = mξ p σ p σ ξ = mη (444) (445) Zavedení bspnorů a γ matc je posledním krokem př odvození obvyklého tvaru Dracovy rovnce Se značením přejde (445) na ξ ψ = γ = σ γ = σ η σ σ (446) ( ˆ ) γ pˆ γ p ψ = mψ Zcela kompaktní záps dostaneme po zavedení matc ( ˆ ) (447) p ˆ γ pˆ p m ψ = (448) V souřadncové representac (na chvíl v SI jednotkách)

Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 5 p m c ψ = p = γ = + γ x c t = ˆ ˆ ħ = + t ( ˆ ) ˆ ħ ħ ħ γ ħ ψ H ψ H cα m c β kde matce α a β jsou dány vztahy σ α = γ γ = β = γ = σ α α α α δ β α α β β k + k = k + = = (449) (45) 46 Dracova rovnce v elektromagnetckém pol Se čtyřpotencálem Φ Φ = = c c a záměnou (v komutačních relacích vystupuje zobecněný mpulz) oprot volné částc (45) p p e (45) dostáváme Dracovu rovnc ve vnějším elektromagnetckém pol ( ˆ ) γ pˆ e ψ = m cψ (45) kde γ je čtyřvektor matc které mají ve spnorové representac tvar (jsou možné jné representace získané untárním transformacem) σ ( ) γ = γ γ γ = γ = σ (454) a ψ je čtyřkomponentový bspnor V souřadncové representac je pˆ ˆ = ħ = p ħ ħ = ħ ħ (455) x c t c t a Dracova rovnce má tvar c ħ Φ + ( + ) = t ħ (456) γ e γ e m c ψ nebo po přepsání

Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 6 kde jsme označl ˆ ( ) ψ ħ = cα pˆ e + β mc + eφˆ ψ (457) t = = γ β α β γ (458) 47 Hesenbergův obraz Přpomeňme s vztah pro časovou změnu operátoru v Hesenbergově obraze d ˆ ˆ ˆ ˆ F = H F F + d t ħ t Zavedeme operátor mechanckého mpulzu ˆ π = p ˆ e r ˆ (459) (46) Výpočet komutátorů ˆ H rˆ ħ cα = a trochu komplkovaněj S využtím vztahu dostaneme Tedy ( ˆ ) e ec ec α ( α ) ˆ H pˆ ħ ħ ħ e r = Φ + α = α + α + α + α = α + α B ( ˆ ) ˆ ˆ e ħ ec ħ H p e r = Φ + α B d rˆ d t = cα d ˆ π = e Φ + e cα B d t (46) (46) (46) (464) (465) Charakter operátoru rychlost dal vznk názvu Ztterbewegung 48 Rovnce kontnuty Dracovu rovnc γ m c c t γ ħ + ħ ψ = (466) γ + = γ γ γ tedy komplexně sdružíme a s využtím vztahů

Mchal Lenc Poznámky ke grupám 465 7 + + γ = γ γ = γ (467) napíšeme jako γ m c c t γ ħ ħ ψ (468) * ɶ + ɶ = Rovnc (468) transponujeme na (dferencální operátory působí doleva) ψ + γ m c c t γ ħ + ħ = (469) + a po zavedení Dracova sdružení ψ = ψ γ s využtím antkomutačních relací γ matc máme ψ γ m c c t γ ħ + ħ + = (47) S použtím symbolů = γ můžeme (466) a (47) zapsat jako a a ( pˆ m c) ψ ψ ( pˆ m c) = + = (47) Vynásobení první rovnce v (47) zleva ψ a druhé rovnce zprava ψ dává výrazy jejchž sečtením dostáváme rovnc kontnuty j x k k k k = j = ψ γ ψ (47) Časupodobná komponenta je = = > j ψ γ ψ ψ + ψ