. cvi ení -Opakování geometrie IR n, p íklady () Najd te velikost úhlu mezi hlavní diagonálou krychle a diagonálou jedné ze stran, která s ní má spole ný vrchol. (2) Dokaºte ºe x y = y x. (3) Dokaºte ºe x (y + z) = x y + x z (4) Dokaºte ºe x (y z) = (x z)y (x y)z (5) Zjist te zda p ímka procházející body (,, ) a (,, 6) je kolmá na p ímku procházející body ( 4, 2, ) a (, 6, 2). (6) Najd te rovnici pro rovinu procházející bodem (, 4, 5), která je kolmá na vektor (7,, 4). (7) Najd te rovnici pro rovinu obsahující body (,, ), (,, ), (, 2, 3). (8) Necht P je bod leºící mimo rovinu danou t emi rruznými body Q, R,. Ozna me a = QR, b = Q, c = QP. Dokaºte ºe vzdálenost bodu P od roviny spl uje d = a (b c). a b (9) Dokaºte ºe následující matice jsou invertibilní. Najd te inverzní matici pou- ºitím metody elementárních sloupcových operací, a metodou determinantu. 2 2 2 2,, () Najd te ortogonální matici, která redukuje následující matici na diagonální tvar. Pouºijte p itom fakt, známý jako v ta o hlavních osách, který íká ºe symetrickou matici lze p evést na diagonální matici pomocí orthogonální transformace sou adnic. ( 5 3 3 5 ), ( ) 2 2 3 2. 3 2 () P evedte ortogonální transformaci na diagonální tvar následující kvadratické polynomy (pouºitím maticové reprezentace kvadratických polynomru, jakoºto bilineárních forem): 5x 2 6xy + 5y 2, 2x 2 + 4 3xy 2y 2.
2 2. cvi ení 2- Mnoºiny a spojitost () Diametr mnoºiny M je denován vzorcem diam(m) = sup{ x y, x, y M} tanovte diametr mnoºin: M = [, ] 2, M = [, ] 3 etc. (2) Ur ete vnit ek, hranici a uzáv r mnoºin: M = {(x, y) : x 2 + 2x + y 2 3, x 2 4x + y 2 } M = {(x, y, z) : x + y + z > } Q..racionální ísla (3) estrojte p íklady mnoºin v IR 2 s následujícími vlastnostmi: nemá vnit ní bod ani vn j²í bod nemá hrani ní bod nemá vn j²í bod a je uzav ená nemá ºádný hromadný bod, ale není kone ná je uzav ená a kaºdý její bod je izolovaný (4) Dokaºte ºe sjednocení libovolného systému otev ených mnoºin je otev ená mnoºina. Platí téº pro prrunik? (5) Najd te deni ní obory funkcí f(x, y) = ln(xy ), f(x, y) = xy x 2 + y, f(x, y, z) = ln( x 2 y 2 z 2 ) f(x, y) = ln(4 x2 y 2 ) x 2 +y 2 (6) Najd te ity (x,y) (,) (x,y) (,) sin(x 2 +y 2 ) x 2 +y 2, sin(x+y) x+y, x 2 +xy+y 2 (x,y) (,) x 2 y 2, (x,y) (,) (x,y) (,) x y x 2 +y 2, 2xy x 2 +2y 2, xz 2 y 2 z (x,y,z) (,2,3) xyz (x,y,z) (,,) (x2 + y 2 ) x2 y 2 (x,y,z) (,,) xy+yz+xz x 2 +y 2 +z 2, x 2 y 2 z 2 (x,y,z) (,,) x 2 +y 2 +z 2, (7) Zjist te zda existuje c IR takové, aby následující funkce byla spojitá { x 2 y 3 f(x) = 2x 2 +y, (x, y) (, ) 2 c, (x, y) = (, ).
3 3. cvi ení 3-Parciální derivace () Najd te následující sm rové derivace f(x, y) = e x cos y, P (, π 6 ), u = i j f(x, y, z) = z 3 x 2 y, P (, 6, 2), u = (3, 4, 2). (2) Najd te te nou rovinu ke grafu funkce z = 2x 2 + y 2, v bod (,, 3) z = xy + sin(x + y), v bod (,, ) (3) Najd te linearizaci funkce f(x, y, z) = e xy2 + x 4 yz v bod (,, ). (4) Najd te rovnici te né roviny k elipsoidu x 2 + 2y 2 + z 2 = která je rovnob ºná s rovinou 4x + 2y + z =. (5) Najd te rovnici te né roviny k elipsoidu x 2 25 + y2 6 + z2 9 = která vytíná stejné úseky na v²ech sou adnicových osách. (6) Najd te parciální derivace následujících sloºených funkcí. dw dt kde w = x y + y z, x = t, y = cos(2t), z = e 3t z s, z u s, u t, kde z = xey + ye x, x = s 2 t, y = st 2 t pro s =, t =, kde u = xy + yz + zx, x = st, y = est, z = t 2. (7) Najd te gradient f v bod P a najd te rychlost rrustu f v P ve sm ru vektoru u. f(x, y) = e x sin y, P (, π 4 ), u = (, 2) f(x, y, z) = xy + yz 2 + xz 3, P (2,, 3), u = ( 2,, 2). (8) Najd te jednotkový sm r nejv t²ího rrustu dané funkce v bode P. f(x, y) = x 2 y + e xy sin y, P (, ) f(x, y, z) = xe y + z 2, P (, ln 2, 2 ).
4 4. cvi ení 4-5, Parciální derivace a extrémy () Najd te derivace následujících sloºených funkci. w = x 2 + y 2 + z 2, x = st, y = s cos(t), z = s sin t, u = xy + yz + zx, x = st, y = e st, z = t 2. z = y 2 tan x, x = t 2 uv, y = u + tv 2. (2) Najd te kritické body následujících funkcí: f(x, y) = x 2 + y 2 + 4x 6y f(x, y) = y x y 2 x + 6y f(x, y, z) = x 4 + y 4 + z 4 (3) Najd te lokální extrémy následujících funkcí: f(x, y) = 2x 2 + 3xy + 4y 2 5x + 2y, f(x, y) = x 3 y 3 2xy + 6 (4) Najd te absolutní extrémy funkce f(x, y) = x 2 + y 2 na trojúhelníku ohrani eném p ímkami x =, y =, y + 2x = 2. (5) Najd te absolutní extrémy funkce f(x, y) = x 2 xy + y 2 na mnoºin x + y. (6) Najd te absolutní extrémy funkce f(x, y, z) = x+y+z na mnoºin x 2 +y 2 z. (7) Necht f(x, y) = e xy2. Najd te f x, f y (, ). Ov te ºe platí f xy = f yx. Najd te f xxy. Necht f(x, y, z) = x 5 + yz 2 + sin(xy) + cos(zx). Najd te f x, f yx, f zz. (8) Najd te Taylorruv polynom druhého stupn pro funkci v okolí bodu f(x, y) = x 2 y 3 2x 4 + y 2, (x, y) = (, ) f(x, y, z) = xy 2 z 3, (x, y, z) = (, 2, ) f(x, y, z) = xe y cos z, (x, y, z) = (,, ) (9) Kruhový talí s rovnicí x 2 + y 2 je zah átý na teplotu T (x, y) = x 2 + 2y 2 x. Najd te nejteplej²í a nejstuden j²í bod na talí i. () Pouºitím Lagrangeových multiplikátorru najd te rozm ry obdélníku s maximálnim obsahem, který lze vepsat do elipsy x 2 6 + y2 9 =, a jehoº strany jsou rovnob ºné s osami sou adnic. () Najd te bod v rovin dané rovnicí 2x y + z =, který je nejblíºe bodu ( 4,, 3) (2) Najd te bod na plo²e zadané rovnicí z 2 = xy +, který je nejblíºe po átku sou adnic. (3) Najd te t i pozitivní ísla jejichº sou in je maximální, a jejichº sou et je roven. (4) Najd te extrémy funkce s vazebnou podmínkou: f(x, y) = x 2 y 2, x 2 + y 2 = f(x, y, z) = x y + 3z, x 2 + y 2 + 4z 2 = 4 f(x, y, z) = x 4 + y 4 + z 4, x 2 + y 2 + z 2 = f(x, y) = x 2 + y 2, x 2 2x + y 2 4y =. (5) Najd te úhel sev ený dv ma plochami v bod x 2 + y 2 + z 2 = 8, (x ) 2 + (y 2) 2 + (z 3) 2 = 6, (2,, 2) (6) Ove te p edpoklady v ty o implicitní funkci pro rovnici xe y + sin(x, y) + y ln 2 =, kde y je diferencovatelná funkce prom nné x kolem (, ln 2). po ítejte dy dx v tomto bod.
5 5. Cvi ení 6-Dvojný integrál () Integrujte f(x, y) = y cos(xy) p es obdélník x π, y. (2) Integrujte f(x, y) = xe xy p es obdélník x, y. (3) Integrujte f(x, y) = x+y p es obdélník x 2, y. (4) Zm te po adí integrace následujících integrálru x y π sin x f dy dx + 2a 2ax f dx dy f dy dx 2 2 x f dy dx f dy dx 2ax x 2 y 2 (5) Nakreslete oblast integrace a spo ítejte integrál 3y 3 e xy dx dy. (6) Nakreslete oblast integrace, ur ete vhodné po adí integrace a spo ítejte integrál 2 4 x 2 xe 2y 4 y dy dx 8 2 dy dx 3 x y 4 + (7) Vypo ítejte integrál pouºitím polárních sou adnic x2 + y D 2 d kde D je ohrani eno k ivkou r = + cos θ. (8) Vypo ítejte plochu kv tu D, kde D je ohrani eno k ivkou r = cos 6θ. (9) Vypo ítejte integrál p echodem do polárních sou adnic 2 4 y 2 x 2 (x 2 + y 2 ) dx dy e (x2 +y 2) dy dx () Pouºijte substituci u = x + 2y, v = x y pro výpo et integrálu 2/3 2 2y y (x + 2y)e (y x) dx dy () Najd te hmotnost a polohu teºi²t trojúhelníka s vrcholy (, ), (, ), (4, ), hustota je rovna ρ(x, y) = x. (2) Najd te hmotnost a polohu teºi²t ásti roviny ohrani ené parabolou y = 9 x 2 a osou x, hustota je rovna ρ(x, y) = y. (3) Najd te objem rota ního t lesa ohrani eného paraboloidem z = x 2 + y 2 nad kruhem x 2 + y 2 9. (4) Najd te objem rota ního t lesa ohrani eného paraboloidy z = 3x 2 +2+3y 2 a z = 4 x 2 y 2.
6 () Na rtn te oblast integrace 6. Cvi ení 7-Trojný integrál z y 2x x+y x π 2 4 z 2 3 9 x 2 x (2) Vypo t te (3) fdxdydz fdzdydx fdxdzdy fdydzdx e x dv kde = {(x, y, z), y, x y, z x + y}. ydv kde je ohrani eno shora rovinou z = x + 2y, a leºí nad oblastí v rovin xy, ohrani ené k ivkami y = x 2, y =, x =. xydv kde je ty st n s vrcholy (,, ), (,, ), (,, ), (,, ). xdv kde je ohrani eno paraboloidem x = 4y 2 + 4z 2 a rovinou x = 4. 3 3x 3 3x y π ln(sin y) z dz dy dx e x dx dz dy. (4) Najd te objem t lesa ohrani eného eliptickým válcem 4x 2 + z 2 = 4 a rovinami y =, y = z + 2. (5) estavte v²echna po adí integrace pro integrál fdv kde je ohrani eno plochami: x 2 +z 2 = 4, y =, y = 6, (resp. z =, z = y, x 2 = y 9x 2 +4y 2 +z 2 = )
7 7. Cvi ení 8-ubstituce v trojném integrálu () Na rtn te oblast integrace a spo t te π 2 2π 2 4 r 2 π 2 (2) Vypo t te rdzdrdϑ ρ 2 sin φdρdϑdφ x 2 + y 2 dv kde = {(x, y, z), x 2 + y 2 4, z 2}. x 2 dv kde je vnit ek válce x 2 +y 2 =, ohrani ený shora kuºelem z 2 = 4x 2 +4y 2 a z. xe (x2 +y 2 +z 2 ) 2 dv kde je mezikoulí o vnit ním polom ru a vn j²ím polom ru 2. (3) P evedte do cylindrických sou adnic a spo t te x 2 x 2 2 x 2 y 2 (x 2 + y 2 3 ) 2 dzdydz x 2 +y 2 y 2 x 2 +y 2 x 2 +y 2 xyzdzdxdy (4) P evedte do sférických sou adnic a spo t te 3 9 x 2 3 9 x 2 9 x2 y 2 z x 2 + y 2 + z 2 dzdydz 3 9 y 2 8 x 2 y 2 x 2 +y 2 (x 2 + y 2 + z 2 )dzdxdy
8 () Integrujte f podél k ivky. f(x, y) = x+y2 +x 2, 8. Cvi ení 9-K ivkový integrál x2 C: y = 2 od (, /2) do (, ). f(x, y) = x + y, C: x 2 + y 2 = 4 v prvním kvadrantu od (2, ) do (, 2). f(x, y, z) = x y 3z 2, r(t) = cos(2t)i + sin(2t)j + 5tk, t 2π. (2) Najd te práci sily F vykonanou na ástici F = (3x 2 3x)i + 3zj + k, podél p ímky r(t) = ti + tj + tk, t. F = (y + z)i + (z + x)j + (x + y)k, podél k ivky r(t) = ti + t 2 j + t 4 k, t. po ítejte C F dr kde F = yi xj, podél k ivky x2 + y 2 = od (, ) do (, ). (3) Pouºijte Greenovu v tu k výpo tu integrálu (3y, 2x)ds, kde C je hranicí C oblasti x π, y sin x, pozitivn orientované. (4) Pouºijte Greenovu v tu k nalezení práce síly F = 2xy 3 i + 4x 2 y 2 j podél hranice p i pohybu proti hodinovým ru i kám, oblasti v prvním kvadrantu ohrani eném osou x, p ímkou x =, a k ivkou y = x 3. (5) Zjist te zda vektorová pole jsou konzervativní, a najd te jejich potenciální funkci. F = (y sin z)i + (x sin z)j + (xy cos z)k F2 = ( y 2 2xz, 2yz 2xy, y 2 x 2 ) F3 = yi + (x + z)j yk (6) Dokaºte ze práce síly F = (x 2 +y)i+(y 2 +x)j+ze z k podél k ivky z (,, ) do (,, ) nezávisí na dráze.
9 9. Cvi ení -Plo²ný integrál () Najd te plochu ásti roviny x+2y+z = 4, která leºí uvnit válce x 2 +y 2 = 4. (2) Najd te plochu ásti roviny 2x + 3y z =, která leºí nad obdélníkem [, 4] [2, 4]. (3) Najd te plochu paraboloidu z = x 2 + y 2, která leºí pod rovinou z = 9. (4) po ítejte z d, kde je ástí válce x 2 + y 2 = mezi rovinami z = a z = x +. (5) po ítejte yz d, kde je povrch zadaný parametricky rovnicemi x = uv, y = u + v, z = u v, u 2 + v 2. (6) po ítejte (x 2 z + y 2 z) d, kde je povrch polokoule x 2 + y 2 + z 2 = 4, z. po ítejte F d kde: (7) F = e y i + ye x j + x 2 yk, a je ástí paraboloidu z = x 2 + y 2, nacházející se nad tvercem x, y s horní orientací. (8) F = xi + xyj + xzk, a je ástí roviny 3x + 2y + z = 6, která leºí nad prvním oktantem s orientací nahoru. (9) Pomocí tokesovy v ty spo ítejte rotf d, kde F =< xyz, x, e xy cos z >, je ástí sféry x 2 + y 2 + z 2 =, z, orientované nahoru. () Pomocí tokesovy v ty spo ítejte F dr, kde F =< xz, 2xy, 3xy >, C je C hranice ásti roviny 3x + y + z = 3, v prvním oktantu p i pohledu shora. () po ítejte práci síly F = (x x + z 2 )i + (y y + x 2 )j + (z z + y 2 )k pro ástici pohybující se po okraji sféry x 2 + y 2 + z 2 = 4, v prvním oktantu p i pohledu shora. Pouºitím Gaussovy v ty spo ítejte tok pole F p es ( F d), kde (2) F = 3y 2 z 3 i + 9x 2 yz 2 j 4xy 2 k, a je povrch krychle (±, ±, ±); (3) F = x 3 i + y 3 j + z 3 k, a je sféra x 2 + y 2 + z 2 =. (4) Ov te Gaussovu v tu pro pole F(x, y, z) =< 3x, xy, 2xz >, kde je krychle ohrani ená rovinami x =, x =, y =, y =, z =, a z =.
Cvi ení () Zjist te zda ada konverguje (resp. absolutn konverguje): 2 2 n +3 n (q 3) n n 2 +2n 5 n q n (+q) n n= n= n=2 3 n n! n n n(ln n) 3/2 ( ) n (n+7) n (4n 2) n n=2 n 2 ln n n=2 n n cos(nπ) n=2 2 ln n (4n 2) n (2) Najd te polom r a interval konvergence: ( ) n xn 4 n n 2 2 k +( 3) k+ k+ (x + ) k (n+5) 3 x n n! 2+sin n n sin n n 2 n=2 n(x+2) n 2 n + k= (3) Najd te Taylorovu adu a její interval konvergence: f(x) = sin(x 2 ), x = f(x) = 2 3 5x, x = f(x) = ln(2 + x 2 x ), x = f(x) = f(x) = 3 2x ( x) x 2 = f(x) = x+3 x 3 f(x) = x x = 3 f(x) = ln x 4 x x = x 2 x 2, x = x = 2 ln n n n 3 ( ) n n+ n 2 + f(x) = e x (2x + ) x = f(x) = (x + ) sin(2πx) x = (4) Najd te Fourierovu adu funkce f(t) = 3 sin 2 t + 2 cos 2 t, t (, 2π) f(t) = f(t) = f(t) = f(t) = cos 4 t, t (, 2π) { cos t pro t < π 2, π 2 < t < π,, t (, π) { cos t pro t < π 2, π 2 < t < π,, t (, π) { sin t pro t < π 2, π 2 < t < π,, t (, π)