. Vlastní čísla a vlastní vektory.. Uvažujme endomorfismus ϕ na reálném vektorovém prostoru R s maticí [ϕ] K = vzhledemkekanonickébázi K 6. (a) Najděte všechna vlastní čísla a všechny jim příslušné vlastní vektory ϕ. (b) rozhodněte, zda je ϕ diagonalizovatelný, (c) existuje-li,najděteortonormálníbázír sestandardnímskalárnímsoučinem, vůči níž má ϕ diagonální matici. (a) Máme zjistit, pro která reálná(vlastní) čísla λ existuje nenulový(vlastní) vektorv,aby ϕ(v)=λv.tomůžemeekvivalentněvyjádřitvetvaru(ϕ λid)(v)= 0,avmaticovémzápisuprolibovolnoubázi BprostoruR vetvaru ([ϕ] B λe)[v] T B=[(ϕ λid)] B [v] T B=[0] T B=(0,0) T. Hledáme tedy všechna taková λ R, pro něž existuje netriviální řešení homogenní soustavyrovnicsečtvercovoumaticí[(ϕ λid)] B.Tonastáváprávětehdy,kdyžje matice[ϕ] B λesingulární.spočítámetedynejprvevlastníčíslamaticeendomorfismu vzhledem k nějaké pevně zvolené bázi. Poznamenejme, že při tom nezáleží na volbě báze, ale je důležité, abychom počítali s maticí endomorfismu, tj. s maticí daného homomorfismu vzhledem k stejné bázi v definičním oboru i oboru hodnot. Vnašempřípaděbudemepracovatsmaticí[ϕ] K. Určíme charkteristický polynom matice det([ϕ] K λe)=( λ)(6 λ) 4=λ 9λ+4=(λ )(λ 7). Vlastníčíslamatice[ϕ] K jsoutedyprávěkořenycharakteristickéhopolynomu, tedyčíslaa7.dálebudemepostupnědosazovatdomatice[ϕ] K λevypočtená vlastníčíslaabudemehledatvlastnívektorymatice[ϕ] K,tedynenulovářešení homogenních soustav rovnic s maticemi, která tvoří právě souřadnicové vektory vlastních vektorů endomorfismu ϕ: 4 [ϕ] K E=, [ϕ] 4 K 7 E=. Snadno zjistíme, že všechny nenulové násobky vektoru(, ) jsou vlastními vektorymatice[ϕ] K příslušnýmivlastnímučísluavšechnynenulovénásobkyvektoru (,)jsouvlastnímivektorymatice[ϕ] K příslušnýmivlastnímučíslu7. Konečněmáme-lispočítanésouřadnicevlastníchvektorů[v] K vzhledemkekanonické bázi, okamžitě vidíme, že množinu všech vlastních vektorů příslušných vlastnímu číslu tvoří (, ) {(0, 0)} a množinu všech vlastních vektorů příslušnýchvlastnímučíslu7tvoří (,) {(0,0)}. (b) Uvážíme-li, že máme dvě různá vlastní čísla endomorfismu na prostoru dimenze, víme, že jde o diagonalizovatelný endomorfismus. Protože jsme v(a) našlivlastnívektorystačívzítbázi M = ((,),(,)),abychomdostalimatici 0 [ϕ] M = vzhledemkbázi M. 0 7 (c)protožejematice[ϕ] K symetrická,jdeounitárnědiagonalizovatelnoumatici, tedy víme, že požadovaná ortonormální báze existuje. Snando nahlédneme, že B = ( 5 (,), 5 (,))jeortonormálníbázeprostorur sestandardnímskalárním 0
0 součinema[ϕ] B =. Na závěr poznamenejme, že bází s požadovanými 0 7 vlastnostmiexistujeprávěosm:(± 5 (,), ± 5 (,))a(± 5 (,), ± 5 (,)).. Najděte všechna vlastní čísla a všechny vlastní vektory reálné matice A = a rozhodněte, zda je(ortogonálně) diagonalizovatelná. Předně si všimněme, že je matice A reálná symetrická, proto ortogonálně diagonalizovatelná, což nám usnadní výpočet vlastních čísel a vektorů. Nejprve určíme vlastní čísla. Mohli bychom standardně spočítat charakteristický polynomdet(a λe)anajítjehokořeny.vnašempřípadějeovšemsnadnéuhádnoutvlastníčíslo,protožematicea E= je zjevně singulární. Vyřešíme-li homogenní soustavu rovnic s maticí A E dostaneme všechny příslušnévlastnívektoryv,tedyv (,,0),(,0,) \ {0}.ProtožejeAortogonálně diagonalizovatelná, víme, že další vlastní vektor musí být kolmý na vektory příslušnévlastnímučíslu,tedymusíležetvpodprostoru (,,0),(,0,) = (,,).Proto(,,)musíbýtvlastnívektormaticeAaspočítáme-lisoučin A (,,) T =(4,4,4) T,dostávámedruhé(aposlední)vlastníčíslo4.Zopakujme,že v 4 jevlastnívektorpříslušnývlastnímučíslu4,právěkdyžv 4 (,,) \{0},tedy, že (,, ) je množina všech řešení homogenní soustavy s maticí. Nazávěrpoznamenejme,žespektrum σ(a)={,,4}ažeznalezenýchvlastních čísel a dimenzí podprostorů vlastních vektorů(tzv. geometrické násobnosti) můžemezjistit,žecharakteristickýpolynommaticeajedet(a λe)= (λ ) (λ 4). 4 0.. MějmematiciA= 4 nadtělesemz 5. 0 4 (a) Najděte(nadZ 5 )všechnavlastníčíslaavšechnyvlastnívektorymaticea, (b) dokažte, že je matice A diagonalizovatelná, (c) najděteregulárnímaticipnadz 5,pronižjeP APdiagonální. (a)nejprvehledámenadtělesemz 5 kořenypolynomu p(λ)=det(a λe)= 4λ +4λ +.Prostýmdosazením,zjistíme,že p()=0ap()=0,tedyvlastní číslamaticeajsouprávěa.dáleřešímehomogennísoustavyrovnicsmaticí A EA E: 0 0 A E= 4 0, A E= 4 4 0 0 Zřejmě například vektory(, 0, ) a(0,, 0) tvoří bázi podprostoru vlastních vektorů příslušných vlastnímu číslu a vektor(,, 4) tvoří bázi podprostoru vlastních vektorů příslušných vlastnímu číslu.
7./8.4. (b)uvážíme-li,žeposloupnost M=((,0,),(0,,0),(,,4))jebázeZ 5,vidíme, že je matice A diagonalizovatelná. (c) Interpretujeme-li matici A jako matici endomorfismu ϕ zhledem ke kanonickébáziavezmeme-limaticipřechodup=[id] BK,pakvidíme,žeP AP= 0 0 [Id] KB[ϕ] K [Id] BK =[ϕ] B = 0 0.Tedyzjistilijsme,žeP=[Id] BK = 0 0 0 0. 0 4.4. Nechť ψjeendomorfismusnavektorovéprostorur nadtělesemreálných číseldanýpředpisem ψ(x,y,z)=(x+y+ z,x y+z, y). (a) Najděte všechna vlastní čísla a všechny vlastní vektory endomorfismu ψ, (b) existuje-li, najděte bázi B, vůči níž ma endomorfismus ψ diagonální matici, (c) najdětematiciendomorfismů ψ a ψ 54 vzhledemkekanonickébázi, (d)určetevlastníčíslaavšechnyvlastnívektoryendomorfismu ψ 8. (a)nejprvesnadnourčímematiciendomorfismu[ψ] K = vzhle- demkekanonickébázi K apoténajdemejejívlastníčísla.mámetřirůznávlastní 0 0 čísla0,a.vyřešíme-lisoustavysmaticemi[ψ] K +E = 0, 0 0 [ψ] K 0E=,[ψ] K E=. najdeme právě všechny 0 0 0 vlastnívektory (,0, ) \ {0}, (,, ) \ {0}a (,,) \ {0}. (b)posloupnost B=((,,),(,0, ),(,, ))jetvořenavlastnímivektory příslušnými různým vlastním číslům, tudíž jde o lineárně nezávislou posloupnost.protoje BbázeR a[ψ] B = 0 0 0. 0 0 0 0 (c)uvědomíme-lisi,že[ψ n ] B =[ψ] n B,určímesnadnomatice ψ a ψ 54 vzhledem kbázi: [ψ ] B =[ψ] B = 0 0 0 0 0 0 0 ( ) = 0 0 0 0 0 =[ψ] B, 0 0 54 0 0 0 0 [ψ 54 ] B =[ψ] 54 B = 0 0 0 = 0 0 0 =[ψ ] B, 0 0 ( ) 54 0 0
Tedyokamžitěvidíme,že[ψ ] K = a[ψ 54 ] K = = 0 0 0 0 5 5 0 0. 4 4 (d)učiníme-liobdobnouúvahujakov(c),vidíme,žematice[ψ n ] B =[ψ] n B,a tedyiendomorfismus ψ n mávlastníčísla λ n provlastníčíslaendomorfismu ψ, tedy ψ 8 právevlastníčísla0,.je-linavícv λ vlastnívektorpψ(v λ )=λv λ,pak ψ n (v λ )=λ n v λ,tedy (,, ) \ {0}a (,,) \ {0}jsouvlastnívektory ψ 8 příslušnévlastnímučíslua (,0, ) \ {0}jsouvlastnívektory ψ 8 příslušné vlastnímu číslu 0. Uvážíme-li, že s vlastními vektory příslušnými stejnému vlastnímu číslu jsou vlastními vektory i jejich lineární kombinace, pak. (, 0, ) (,, ),(,,) \{0}jsouprávěvšechnyvlastnívektoryendomorfismu ψ 8. 4.5..5. SpočítejteA 0,jestliže 4 0 (a)a= 4 nadz 5, 0 4 (b)a= nad tělesem R, 0 0 (c) A= nadtělesemz 0 7. Podobnějakov.4(c)uvážíme,žeP A n P=(P AP) n prolibovolnouregulárnímaticip,tedya n =P(P AP) n P. (a) Využijeme-li hodnot spočítaných v.(c), dostáváme 0 0 0 0 0 A 0 = 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 =PEP = 0 0. 0 0 (b)využijeme-lihodnotyhodnotspočítanév.4apoložímep=[id] BK = 0 0 0,pakP A n P=[ψ] B = 0 0 0, proto 0 0 0 0 A 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 =P 0 0 0 P =A = 0 0. 0 0 4 4 = 5.5.
4 n (c) Indukcí nahlédneme, že = 0 ( ( A 0 0 )) = 0 ( ( n ) ),proto 0 6 =. 0 5.6. NajdětereálnouortogonálnímaticiU,pronížjeU T 5 UnadR 5 diagonální. Nejprve podobně jako v. určíme vlastní čísla jim příslušné vlastní vektory. Jednovlastníčíslojezřejmě λ=avyřešímehomogennísoustavurovnicsmaticí A E = adostanemevlastnívektoryv (,,0),(,0,) \{0}, a protože další vlastní vektor musí být kolmý na vektory příslušné vlastnímu číslu,tj.ležívpodprostoru (,,0),(,0,) = (,,),jejímnapříkladvektor (,,).NyníspočítámeA(,,) T =(9,9,9) T,odkuddostávámevlastnímučíslo λ=9. Nyní najdeme ortonormální báze obou podprostorů vlastních vektorů. Pro vlastní číslo9stačínormalizovat,abychomdostalivektor (,,)apro λ=najdeme ortonormálníbázi( (,,0), 6 (,,))podprostoru (,,0),(,0,) napříkladgramovou-schmidtovouortogonalizací.nynípoložme B=( (,,), (,,0), 6 (,,)).Protožeje Bortonormálníbáze,jezřejměmaticepřechoduU=[Id] BK ortogonálnía U T 5 AU= 0 5 6 5 6 6 6 6 0 6 9 0 0 = 0 0. 0 0.7.Nechťje fsymetrickábilineárníformanareálnémvektorovémprostorur s 5 maticí[f] K = 5 vzhledemkekanonickébázi.najdětebázi B,kteráje 5 ortonormální vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu ω a polární vzhledem k symetrické bilineární formě f. Stačínámvzítortonormálníbázi Bz.6,onížvíme,že 4 0 0 [f] B =[Id] T BK [f] K [Id] BK =U T AU= 0 0, 0 0 tedy Bjepolárníbáze f.
5.8. Najděte polární bázi symetrické bilineární formy g na vektorovém prostoru R,kterájeortonormálnívzhledemkestandardnnímuskalárnímusoučinu,jestliže [g] K = 5 Postupujeme stejně jako v úlohách.6 a.7. Nejprve standardním způsobem najdemespektrunmatice[g] K,tedy σ([g] K )={,,7}.Provlastníčíslonajdemepodprostorvlastníchvektorů V = (,,0),(,0, ) aprovlastníčíslo 7tvořípodprostorvlastníchvektorů V 7 = (,,).ZbývánámnapříkladpomocíGrammovy-Schmidtovyortogonalizacenajítortonormálníbázi V (tedynapříklad( (,,0), (,, ))anormalizovatvektor(,,).nyníje M = ( (,,0), (,, ), 6 (,,))ortonormálníbázír,kterájezároveňpolárnívzhledemke g.závěrempoznamenejme,že[g] K = 0 0 0 0 0 0 7.5. 5 4.. BuďM=,N= komplexních čísel. 4. Jordanův kanonický tvar,k= 0 (a) SpočítejtevlastníčíslaavlastnívektorymaticM,NaK, (b)najdětejordanůvkanonickýtvarmaticm,nak, (c) rozhodněte,kterédvojicematicm,nakjsoupodobné. matice nad tělesem (a) Obvyklým způsobem snadno zjistíme, že charakteristický polynom matice MaNje(λ ) acharakteristickýpolynommaticekje(λ )(λ ),proto σ(m)={,}, σ(n)={,}aσ(k)={,}.nynívyřešímehomogenísoustavy 0 rovnicsmaticemim E=,N E=,K E= a 0 0 0 K E= Tedy množina vlastních vektorů matice M je (, ) \{(0, 0)}, množina vlastních vektorů matice N je (, ) \{(0, 0)} a množina vlastních vektorů maticekje (0,) (,) \ {(0,0)}. (b) Víme, že Jordanův kanonický tvar matice má na diagonále právě hodnoty spektra a nad diagonálou nuly nebo jedničky. Přitom různá vlastní čísla určují různé Jordanovy buňky, proto je matice K diagonalizovatelná, a proto podobná 0 Jordanově matici.maticeminmohoubýtpodobnépouzejordanovým 0 ( ) 0 maticím nebo,podobnostsprvníznichbyovšemznamenala,žeje 0 0 matice M či N diagonalizovatelná, zatímco v(a) jsme zjistili, že vlastní vektory ani matice M ani matice N netvoří bázi, tedy matice diagonalizovatelné nejsou. ( Tedy ) je Jordanův kanonický tvar matice M i N roven právě Jordanově buňce. 0
6 (c)víme,žedvěpodobnématicemajínutněstejnáspektra,tedymaticeknení podobná matici M ani N. Na druhou stranu, dvě matice se stejným Jordanovým kanonickým tvarem jsou podobné, tedy M N 4.. Najděte Jordanův kanonický tvar a zjistěte, zda jsou si podobné, komplexní 4 maticea= ab=. 0 0 Uoboumaticsnadnozjistíme,žedet(A λe)=det(b λe)= λ +λ λ+=( λ) Obětedymajístejnéspektrumamusíbýtpodobnéjednéz následujících matic v Jordanově kanonickém tvaru: 0 0 0 0 J = 0 0, J = 0 0, J = 0. 0 0 0 0 0 0 PodobnostsmaticíJ =Ebyznamenala,žejematicediagonalizovatelná,což zjevně ani pro A ani B neplatí. Uvědomme si, že podprostor vlastních vektorů matice A ani B musí mít stejnou dimenzi jako podprostor vlastních vektorů jejich Joradnova normálníhoo tvaru matice. Tedy matice A E respektive B E musí mít stejnouhodnostjakomaticej i EpropříslušnýJordanůvnormálnítvarmatice. Protože h(a E)=ah(B E)=,jematiceAnutněpodobnáJordanově maticij amaticebjepodobnájordanověmaticij.zjordanovyvětypotom plyne,žematicej aj nejsoupodobné,protonejsoupodobnéanimaticeaa B. 9.5. 4.. ( Najděte regulární ) ( matici ) P nad tělesem komplexních čísel, pro níž platí, že 5 P P=. 0 5 Využijemeúdaje,kteréjsmeomaticiM= zjistili v 4.. Označme ϕendomorfismusnaprostoruc smaticí[ϕ] K =Mvzhledemke kanonické bázi. Podobně jako u úloh týkajících se diagonalizovatelnosti můžeme problémpřevéstnaotázkunalezeníbáze B=(v,v( )vůčinížbudemítmatice ) endomorfismu ϕjordanůvkanonickýtvar,tj[ϕ] B =. To ovšem znamená, 0 že ϕ(v )=v a ϕ(v )=v +v.odtudokamžitěvidíme,ževektorv jeprávě vlastnímvektoremmaticem,zvolmenapříkladvektor(, )adruhývektorv dostanemejakořešenínehomogennísoustavyrovnic(m E)v T =v T smaticí ( takhledanoumaticip=[id] BK = ).Vidíme,žesoustavuřešínapříkladvektor(,0),našlijsme. 0 0.5.
4.4. Mějme komplexní matice G =,H= 0. (a) NajděteJordanůvkanonickýtvarmaticGaH, (b)spočítejteg 50, (c) existuje-li,najdětepřirozené n,prokteréh n =0. (a)opětnejprvespočítámecharakteristicképolynomydet(g λe)= (λ+) adet(h λe)= λ,tedy σ(g)={,, }aσ(h)={0,0,0}.nynístejně jako v 4. využijeme pozorování, že pro dvě podobné matice h(a λe) = h(b λe) AaBplatí,že h(a λe)=h(b λe)prokaždáskalár λ,speciálněprovlastní čísla.protože h(g+e)=ah(h)=,dostáváme 0 0 0 G 0, H 0 0. 0 0 0 0 0 (b) Známe-li Jordanův normální tvar J matice G a spočítáme-li regulární matici P,prokterouG=PJP G 50 =PJ 50 P,zbydenámprotourčitJ 50. Matici P spočítáme stejným způsobem jako v 4.. Tedy hledáme nejdřív vlastní vektorv,tj.vyřešímehomogennísoustavurovnicsmaticíg+eapotéřešíme nehomogennísoustavyrovnic(g+e)v T =v T a(g+e)v T =v T (A+E)v=v, tedy postupně hledáme řešení soustav s maticemi: 0 0, 0, 0. 0 Spočítalijsme,ženapříkladv =(,0, ),v = (,,0)av = 9 (,,0).Tyto vektory sepíšeme do matice přechodu P = 0 9 odkanonickébázikbázi 0 0 0 0 (v,v,v )aobvyklýmzpůsobemurčímeinverznímaticip =. ( ) 50 ( 50 50 ) Dáleurčímepodobnějakov.5(c)hodnotuJ 50 = 0 ( ) 50 50. 0 0 ( ) 50 KonečnězbývádopočítatG 50 =PJ 50 P = 9 50 5 0 0 576 75 575 = 0 9 0 50 = 50 5 50. 0 0 0 0 65 775 64 (c) Uvažujeme stejně jako v(b), tedy uvědomíme si, že existuje regulární matice n 0 0 0 0 Q,prokterouH n =Q 0 0 Q stačínahlédnout,že 0 0 0a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 =0,tedyhledanéminimální n=. 9 7
8 4.5. Je-li ϕendomorfismusnac smaticí[ϕ] K = vzhledem ke 4 kanonickébázi K,najdětebázi,vůčinížmá ϕjordanovumatici. Nejprvemusímeurčitspektrum σ(ϕ)={,,}.definujme f= ϕ Id.Určíme jádrakerfaker f.nejprvespočítámematice 0 [f] K =[ϕ] K E= 0,[f ] K =[f] K = 0 0 0 0 a[f ] K = [f] K = 0.Dálenajdemeřešeníhomogenníchsoustavrovnicsdanýmimaticemi,cožbudouprávějádraendomorfismů f, f a f.tedykerf = C,Kerf = (0,,0),(,0, ) aker f = (,0, ).Zvolímevektordoplňku Ker f vprostorukerf,například(,0,0).konečněspočítámevektory f(,0,0)= (,,)af (,0,0)=(,0,)apoložíme B=((,0,),(,,),(,0,0)). 0 Potom[ϕ] B = 0. 0 0 Další úlohy () Najděte všechna vlastní čísla a všechny jim příslušné vlastní vektory endomorfismu ϕnareálnémvektorovémprostorur 4 aarozhodněte,zdaje ϕ diagonalizovatelný jestliže 4 7 4 7 (a) [ϕ] K4 = 0 0 0, (b) [ϕ] K 4 = 0 0 0 0, 0 0 0 4 0 0 0 4 4 4 4 4 0 0 (c) [ϕ] K4 = 4 4 4 4 4 4, (d) [ϕ] K 4 = 4 0 0 0 0 4, 4 4 4 4 0 0 4 4 (e) ϕ=id, (f) ϕ=0. () Najděte všechna vlastní čísla a všechny vlastní vektory reálné matice A = 0 0 0,arozhodněte,zdajematicediagonalizovatelná 0 () NajdětenadtělesemZ 7 všechnavlastníčíslaavšechnyvlastnívektorymaticea= a existuje-li, najděte regulární matici P, pro niž je 4 4 P APdiagonílní.
0 0 0 0 (4) MějmekomplexnímaticeG= 0,H= 0. 4 5 4 5 (a) NajděteJordanůvkanonickýtvarmaticGaH, (b)spočítejteg 5 ah 5, (c) najděte Jordanův kanonický tvar matic GH a HG. (5) Najděte polární bázi symetrické bilineární formy f na vektorovém prostoru R n,kterájeortonormálnívzhledemkestandardnnímuskalárnímusoučinu, jestliže (a) n=a[g] K =, 4 0 (b) n=a[g] K = 0, (c) n=8ag(e i,e j )=+δ ij, (d) n=4ag(e i,e j )=i+j. 9